专题01 期中复习压轴13类题型归纳 讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题01期中复习压轴13类题型归纳 2026-2027学年七年级数学上册苏科版（新) 测试范围第1章数学与我们同行第2章有理数第3章代数式 题型归纳 第一章数学与我们同行 【题型1真实情境中的数量关系与综合核算】… .2 第二章有理数 【题型2数轴判号与绝对值化简】 5 【题型3数轴动点、距离分类与定值探究】 7 【题型4相邻数操作与不变量】 .10 【题型5新定义距离与最小值研究】 ..12 第三章代数式 【题型6整式化简、代入求值与无关项】 14 【题型7整体思想与等量代换】 .16 【题型8新定义运算与代数式比较】 .17 【题型9图案规律与区间求和】. 18 【题型10数位变换与整数条件探究】 .19 【题型11洛书幻方与整式关系推理】 20 【题型12实际情境中的代数式表示】… 23 【题型13分段计费与优惠方案选择】 ..26 【附页基础衔接与数学文化】.… 30 1 【题型1真实情境中的数量关系与综合核算】 【例1】（选自2024苏州中考第26题）某条城际铁路线共有A、B、C三个车站，每日上午均有两班次 列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发， 直达C站：两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对列车运行情况进 行研究，收集到列车运行信息如下表所示 A站发车时刻 B站到站时刻 B站发车时刻 车次 C站到站时刻 8:00 9:30 9:50 10:50 D1001 8:25 10:30 G1002 途经B站，不停车 请根据表格中的信息，解答下列问题： (1)D1001次列车从A站到B站行驶了 分钟，从B站到C站行驶了分钟： (2)记D1001次列车的行驶速度为4，离A站的路程为，；G1002次列车的行驶速度为片，离A站的路 程为4 V= ①片 2 【例1续列车运行研究】 ②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则t=75),己知=240千米小时（可换 算为4千米分钟)，在G1002次列车的行驶过程中(25≤1≤150)，若4-d,=60,求1的值. 3 【例2】（选自2025·昆山七上期中模拟第21题）某平台推出“助农”公益活动，帮助某地农户销售苹果， 计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，下表是第一周7天的销售记录(“+ ”表示超出计划量的部分，“一”表示不足计划量的部分)： 星期 二 三 四 五 六 日 -2 +5 -6 +14 -5 +15 +4 差值（千克） (1)实际销售量最接近计划销售量的是星期 (2)该平台第一周“助农”公益活动销售苹果最多的一天比最少的一天多千克： (3)若按8元/千克销售苹果，则该平台第一周“助农”公益活动销售苹果总收入多少元？ 4 【题型2数轴判号与绝对值化简】 【例3】（选自2024-2025学年·昆山七上期末模拟第23题）有理数a、b在数轴上表示的点如图所示。 a-1 0 b (1)比较：a-b 0,a1(填“>”“=”或“<”)； (2)化简：a+-2-+(a+) 【例4】（选自2025·昆山七上期中模拟第22题）有理数a,6,C在数轴上的对应点的位置如图所示。 b -1 0 (1)填空：a+b0,a-c0,c-b0(填“>”或“<”)； (2)化简：a+b-a-+lc- 6 【题型3数轴动点、距离分类与定值探究】 【例5】（选自2024昆山七上期中模拟第27题）已知，数轴上有三个点4，B,C,它们的起始位置表示的 数分别是5，-3,6，如图所示。 A B C -5-4-3-2-10123456 (1)若将点B从起始位置开始沿数轴向右移动，使得B,C两点之间的距离与A,B两点之间的距离相等， 则须将点B向右移动单位： (2)若点A从起始位置开始，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时，点B也从起始位置 开始，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点A与点B之间的距离表示为AB,点A与点C 之间的距离表示为AC,点B与点C之间的距离表示为BC,设运动的时间为·（秒）。 ①求AC-BC(用含t的代数式表示)： 7 【例5续动点距离与定值】 ②若点C也与点A,B同时从起始位置开始运动，且点C以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， 试问：是否存在一个常数k,使得k·AB-2BC的值不随运动时间t(秒)的变化而改变？若存在，请求 出常数k,并求此时k·AB-2BC的值；若不存在，请说明理由。 6 【例6】（选自2024扬州梅岭七上期中）已知表示数m的点在数轴上的位置如图所示。 L m 0 (1)在数轴上标出数m的相反数M的位置。 (2)若数m与其相反数M相距12个单位长度，则m表示的数是多少？ (3)在(2)的条件下，若表示数n的点与表示数m的相反数的点相距7个单位长度，则n表示的数是多 少？ (4)在(3)的条件下，规定一种新运算#，即m#m=(m+2)x3-”,例如2#3=(2+2)x3-3=9,根据规 定请求出m#(”)的值。（要求有解答过程） 9 【题型4相邻数操作与不变量】 【例7】（选自2024扬州梅岭七上期中）现有若干有理数排成一个圆圈，规定一次操作为：将任意相邻的 两个数都加上同一个有理数，其余各数不变。图1是小云两次操作的示意图，将圆圈上的三个数变为了相 同的数： 2 5 6 2+3=5 3+3=6 5+1=6 5 6 6 6 图1 (1)请画出相应的操作示意图，将图2圆圈上的有理数都变为相同的数（箭头上不需标注具体操作）。 1 3 3 4 图2 图3 (2)如图3，若要将圆圈上的四个数都变为相同的数，最少需要通过几次操作？给出你的判断，并说明理 由。 10 【例7续相邻操作与不变量】 (3)能否将1,2,3,5这4个有理数以某种方式排列在圆圈上，使得通过若干次操作将这4个有理数变为相同 的数？如果可以，请画出最初的排列方式与具体的操作步骤；如果不能，请说明理由。 11 【题型5新定义距离与最小值研究】 【例8】（选自2024昆山七上期中模拟第22题）对于有理数x和y,定义一种新运算“0”，规定： xooy=x+y-y (1)计算3o(-5)的值： (2)若a,b在数轴上所表示的点的位置如图所示，化简(a-)b。 6 -1 0 a l 12 【例9】（选自2026昆山七上期中模拟第27题）对于有理数4，b,c,我们称a-d-b-d为4，b到c的“行 程差”。 (1)-1,2到4的“行程差”的值等于； (2)若两个不相等的有理数x,y到1的“行程差”的值为0，求x+y的值； (3)已知x<y<6,记2,6到有理数x的“行程差”的值为m,记2,6到有理数'的“行程差”的值 为n,若n-m=2,求y-x的最小值。 13 【题型6整式化简、代入求值与无关项】 【例10】（选自20242025学年·昆山七上期末模拟第22题）己知代数式A=3x+3y+2y, B=x2-xy+x。 (1)计算A-3B, (2)当x=-1,y=3,求A-3B的值： (3)若A-3B的值与x的取值无关，求'的值。 14 【例11】（选自2024扬州梅岭七上期中）已知M=2(y+3)33-小-2ry-2。 (1)求M的化简结果。 (2)若xy满足x+2+0-=0,求M的值。 15 【题型7整体思想与等量代换】 【例12】（选自2024常州七上期中）阅读材料：我们知道，4r-2r+x=(4-2+1)r=3x,类似地，我们 把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)-2a+b)+(a+)=(4-2+l(a+b)=3(a+b)。“整体思想”是中学教 学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。 尝试应用： (1)把(a-b看成一个整体，合并3a-b2-6(a-b)+2(a-b'的结果是。 (2)已知-2y=4,求3r-6y-21的值。 拓广探索：(3)已知a-2b=6,2b-c=-8,c-d=9,求(a-c)+(2b-d)-(2h-c小的值。 16 【题型8新定义运算与代数式比较】 【例13】（选自2025昆山七上期中模拟第23题）我们规定一种新运算“⑧”：对于任意有理数m和n, 规定m图n=mn2-mn+n,如：1⑧3=1x32-1x3+3=9。 (1)求38(-2)的值： (2)化简1-x)⑧(-). (3)若A=3®x,B=1-)8(-)-2,比较A与B的大小，并说明理由。 17 【题型9图案规律与区间求和】 【例14】（选自2024常州七上期中）观察下列各式，完成下列问题。 将一些边长相等的正方形按如图方式拼图： ① ② ③ 图①中小正方形的个数：1+3=2=4： 图②中小正方形的个数：1+3+5=32=9： 图③中小正方形的个数：1+3+5+7=42=16。 (1)仿照上例，写出下一个等式一。 (2)仿照上例，计算：1+3+5+7++99。 (3)根据你所总结的规律计算21+23++79的值。 18 6I 【题型10数位变换与整数条件探究】 【例15】（选自2025扬州广陵七上期末）若一个四位数m的前两位数字相同且各位数字均不为0，则称 这个数为“巴渝数”；若把这个数的个位数字放到前三位数字组成的数的前面组成一个新的四位数，则称 这个新的四位数为“桥梁数”；记一个“巴渝数”m与它的“桥梁数”的差为F(m),例如，5536前两位 数字相同，所以5536为“巴渝数”：则6553就为它的“桥梁数”，F(5536)=5536-653=-1017。 (1)F(3312)=,F(772)= 。 (2)若一个千位数字为2的“巴渝数”m能被6整除，它的“桥梁数”能被2整除，请求出满足条件的 F(m)的最大值。 20 【题型11洛书幻方与整式关系推理】 【例16】（选自2025·昆山七上期中模拟第27题）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对 于其来源于何处，如今有各种传说。图1即洛书，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺 序把它们填入正方形方格中，就得到一个“三阶”幻方（图2）。 0-0-0 00-0-0-0-0-0 图1 8 3 4 5 9 6 7 2 图2 a b d e f g m 图3 21 A B D C E 内 图4 【观察发现】 图2“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上数字之和都等于15，中间的数为5，若将“三阶”幻方的每 行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，发现“幻方和”是 “中心数”的3倍。 【猜想验证】 猜想：“三阶”幻方的“幻方和”是“中心数”的3倍。 说明理由：如图3，将“三阶”幻方中9个数字分别用字母a,b,c,d,ef,8,m,n表示，其中“中心数”为e, 将“幻方和”用字母5表示。 由题意可知：(a+b+c)+(d+e+f)+(g+m+n)=3s 又因为(a+e+n)+(d+e+f)+(g+e+c)+(b+e+m)=4s a+b+c+d+e+f+g+m+n+3e=4s. 所以3s+3=4s,所以3e=s,即“幻方和”是“中心数”的3倍。 【解决问题】 利用上述结论解决问题： (1)如图3，己知b=3,8=4，幻方的“中心数”e=-l,则n的值为 (2)如图4，A,B,C,D,E,F是含有字母t的整式，E=4,C=3+2。 ①若幻方的“中心数”D=21+2,求整式F(用含t的式子表示)： 22 切 【例16续洛书幻方中的整式探究】 本题图4中，E=t,C=3t+2。 ②若幻方的“中心数”D=m,B=at+m,且a,m均为常数，求am的值。 24 【题型12实际情境中的代数式表示】 【例17】（选自2024扬州梅岭七上期中）某服装厂加工了一批西服，成本为每套200元，原定每套以 280元的价格销售，这样每天可销售200套，若每套在原价的基础上降低10元销售，则每天可多售出100 套。据此回答下列问题： (1)若按原价销售，则每天可获利元。（销售利润=单件利润×销售数量） (2)若每套降低10元销售，则每天可卖出套西服，共获利元。 (3)若每套西服售价降低10x元，则每套西服的售价为元，每天可以销售西服套，共可获利 元。（用含x的代数式表示） 25 【例18】（选自2024徐州七上期中第23题）小明从家搭乘出租车到博物馆，出租车的收费标准是：起步 价为10元，3千米后每千米收12元，不足1千米按1千米算。请回答下列问题： (1)小明乘车4.8千米应付费 元。 (2)小明乘车x(x为大于3的整数)千米，应付费元（结果需化简）。 (3)小明仅有15元钱，乘出租车到距家6千米的博物馆的车费够不够？请说明理由。 26 【例19】（选自2026昆山七上期中模拟第25题）为鼓励节约用水，某市自来水实行阶梯式计量水价，按 如下标准收费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过12m的部分 3元/m 超过12m'但不超过20m的部分 4元/m 超过20m°的部分 7元/m (1)若小芳家5月份用水量为10m,则5月份需交水费元： (2)若小芳家6月份的水费为52元，则6月份用水量为m, (3)若小芳家7月份用水量为m,其中x>20,则7月份应缴纳水费多少元？（用含x的代数式表示） 27 【题型13分段计费与优惠方案选择】 【例20】（选自2024常州七上期中）寒假将至，某班家委会组织学生到北京旅游，现联系了一家旅社， 这家旅行社报价为4000元/人，但根据具体报名情况推出了优惠举措： 10人及以下（含10人） 超过10人不超过20人的 人数 超过20人的部分 部分 收费标准 原价（不优惠） 3500元/人 3000元/人 (1)如果一开始参加旅游的人数为13人，则预计总费用为 元。 (2)在(1)问前提下，后来又有部分同学要求参加，设这部分同学加入后总共参与旅游的人数为x人， 若总人数还是不超过20人，则总费用为元：若总人数x超过了20人，则总费用为元。（结 果均用含x的代数式表示) 28 【例20续分段收费研究】 (3)若最后家委会支付给旅行社人均费用为原价的九折，问共有多少人参加了本次旅游？ 29 【例21】（选自2025昆山七上期中模拟第26题）为使学生熟练掌握1~2项体育运动技能，学校决定添 置一批篮球和足球，建立足球和篮球俱乐部。甲、乙两家商场同种品牌的篮球和足球标价分别相同，为支 持教育业，给出如下优惠活动方案： 类别 篮球 足球 标价 200元 150元 甲商场每件优惠 9折 8折 9 甲商场示例 200 例：买一只篮球，只需付款 10元 若所购商品不超过50件（不同商品可累计），则所购商品均按标价的9折出 乙商场 售：若所购商品超过50件（不同商品可累计），则所购商品均按标价的8.5折 出售。 (1)学校购买篮球30只，足球20只，按照甲商场优惠方式购买付款金额为元： (2)学校计划购买篮球、足球共60只。 ①若其中篮球购买了x只(x为正整数)，则按甲商场优惠方式购买付款金额为元，按乙商场优 惠方式购买付款金额为元，（用含x的代数式表示）： 30 【例21续体育器材采购方案】 学校计划购买篮球、足球共60只。 ②若其中篮球购买了40只，且计划购买篮球和足球的总费用不超过9500元，则学校应选择在甲、乙哪 个商场购买？请说明理由。 31 【附页基础衔接与数学文化】 【基础1】（选自2024盐城中考第14题）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问 题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子， 绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为尺 【基础2】（选自2026宿迁中考第9题）-3的绝对值是 【基础3】（选自2025无锡中考第1题）计算-2+3的结果为() A.-5 B.-1 c.1 D.5 【基础4】（选自2024苏州中考第10题）若a=b+2,则亿-a)}2= 【基础5】（选自2025无锡中考第13题）请写出单项式Qb的一个同类项： 1 基础6】（选自2024-2025学年·昆山七上期末模拟第11题）若单项式-2.x"y←)ym+ 的和仍是单项式， 则m-n= 32 【基础7】（选自2024-2025学年·昆山七上期末模拟第16题）如图，把一个周长为定值的长方形分割为五 个四边形，其中A是正方形，B、C、D、E都是长方形，这五个四边形的周长分别用'、、、b、 :表示，则下列各式的值为定值的是 (填序号)。 D C A E B ①l4②s+ln③+l+l,④l+lE 【基础8】（选自2024-2025学年昆山七上期末模拟第8题）定义一种关于整数n的“H”运算：当n是 n n 奇数时，结果为3+5：当”为偶数时，结果为2（其中k是正整数，且使得2为奇数）：并且运算重复 进行。例如：n=12时，第一次经“H”运算的结果是3，第二次经“H”运算的结果是14，第三次经“ H”运算的结果是7，第四次经“H”运算的结果是26…。若n=58,则第2024次经“H”运算的结 果是() A.29 B.92 C.23 D.74 33 bE 度片[.e-）+m- 衡但9 (T) :熹1（醋LI嵬解潮￥雌丁丹巾習·虫素S⑦0z忆0z目）【6股聋】 专题01 期中复习压轴13类题型归纳 2026-2027学年七年级数学上册苏科版（新） 测试范围 第1章 数学与我们同行 第2章 有理数 第3章 代数式 参考答案与试题解析 题型归纳 第一章 数学与我们同行 【题型1 真实情境中的数量关系与综合核算】 2 第二章 有理数 【题型2 数轴判号与绝对值化简】 4 【题型3 数轴动点、距离分类与定值探究】 5 【题型4 相邻数操作与不变量】 7 【题型5 新定义距离与最小值研究】 9 第三章 代数式 【题型6 整式化简、代入求值与无关项】 11 【题型7 整体思想与等量代换】 12 【题型8 新定义运算与代数式比较】 13 【题型9 图案规律与区间求和】 14 【题型10 数位变换与整数条件探究】 15 【题型11 洛书幻方与整式关系推理】 16 【题型12 实际情境中的代数式表示】 19 【题型13 分段计费与优惠方案选择】 21 【附页 基础衔接与数学文化】 23 【题型1 真实情境中的数量关系与综合核算】 【方法提示】先明确记录中的正负意义和各数量的单位，再结合完整过程分段核算。研究行程时，始发、停车、再次行驶的时刻都是分类的依据。 【例1】（选自2024·苏州中考第26题）某条城际铁路线共有、、三个车站，每日上午均有两班次列车从站驶往站，其中D1001次列车从站始发，经停站后到达站，G1002次列车从站始发，直达站；两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示． 车次 站发车时刻 站到站时刻 站发车时刻 站到站时刻 D1001 G1002 途经站，不停车 请根据表格中的信息，解答下列问题： （1）D1001次列车从站到站行驶了________分钟，从站到站行驶了________分钟； （2）记D1001次列车的行驶速度为，离站的路程为；G1002次列车的行驶速度为，离站的路程为． ①________； ②从上午开始计时，时长记为分钟（如：上午，则），已知千米/小时（可换算为千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中（），若，求的值． 【答案】（1），；（2）①；②或。 【分析】先用相同全程的实际行驶时间确定速度比，再按先行、停车、重新行驶三个阶段分析两车间的路程差。 【详解】（1）从到共分钟，从到共分钟。 （2）①D1001次列车行驶全程所用时间为分钟，G1002次列车行驶全程所用时间为分钟。因此。 ②G1002次列车的速度为千米/分钟；、两站间的路程为千米。 当G1002次列车在时出发，D1001次列车已经行驶千米。此后至，两车间的路程差每分钟减少千米。将差距从千米缩小到千米需要分钟，因此。此时D1001次列车尚未到达站，符合题意。 当时，D1001次列车在站停车，G1002次列车离站千米，尚落后千米。G1002次列车到达站的时刻为。从到，D1001次列车停在站，G1002次列车由落后千米经过并到领先千米，这一阶段两车路程差的绝对值不超过千米，不会等于千米。 当时，D1001次列车重新开始行驶，G1002次列车已经领先千米。此后至，两车间的路程差每分钟增大千米。将领先路程从千米增加到千米需要分钟，因此，也符合题意。 综上，或。核验：当时，两车路程分别为、千米；当时，两车路程分别为、千米，两次路程差的绝对值均为千米。 【易错提醒】D1001次列车在站停车二十分钟，不能把停车时间计入行驶时间；G1002次列车比D1001晚出发二十五分钟。绝对值对应两车谁在前的两种情形，但不能把停车阶段直接当作匀速追及。 【例2】（选自2025·昆山七上期中模拟第21题）某平台推出“助农”公益活动，帮助某地农户销售苹果，计划每天销售千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，下表是第一周天的销售记录（“”表示超出计划量的部分，“”表示不足计划量的部分）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 差值（千克） （1）实际销售量最接近计划销售量的是星期______； （2）该平台第一周“助农”公益活动销售苹果最多的一天比最少的一天多______千克； （3）若按元/千克销售苹果，则该平台第一周“助农”公益活动销售苹果总收入多少元？ 【答案】一 元 【分析】偏差的绝对值反映与计划量的接近程度；实际总量等于计划总量加上偏差之和。 【详解】（1）各偏差的绝对值最小为，故星期一最接近计划量。 （2）最大偏差为，最小为，相差（千克）。 （3）偏差总和为（千克），七天共销售（千克），总收入为（元）。 【易错提醒】最接近计划量看偏差的绝对值；求一周总量要加上带符号的偏差和。 【题型2 数轴判号与绝对值化简】 【方法提示】先读出数轴上的严格大小关系，再判断每个绝对值内部式子的正负。去绝对值以后，应先去括号，再合并同类项。 【例3】（选自2024-2025学年·昆山七上期末模拟第23题）有理数、在数轴上表示的点如图所示。 （1）比较：________，________（填“”“”或“”）； （2）化简：。 【答案】（1），；（2）。 【分析】结合原点两侧的位置和距离判断符号，去掉绝对值以后合并同类项。 【详解】由图可知，因此。又，所以，从而，即。 由、知，而。原式。 【易错提醒】去绝对值前须判断和的正负；原式最后的只是括号，不是绝对值。 【例4】（选自2025·昆山七上期中模拟第22题）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示。 （1）填空：______，______，______（填“”或“”）； （2）化简：。 【答案】，， 【分析】先判断三个和、差的符号，再依据各自的正负去掉绝对值。 【详解】（1）数轴给出，所以，，。 （2）原式。 【易错提醒】绝对值内部的式子为负时，去绝对值必须给整个式子变号。 【题型3 数轴动点、距离分类与定值探究】 【方法提示】把位置、路程和两点距离区分开。动点经过固定点前后要分别讨论；遇到定值问题，可观察含时间的项能否相消。 【例5】（选自2024·昆山七上期中模拟第27题）已知，数轴上有三个点，它们的起始位置表示的数分别是，如图所示。 （1）若将点从起始位置开始沿数轴向右移动，使得两点之间的距离与两点之间的距离相等，则须将点向右移动______单位； （2）若点从起始位置开始，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时，点也从起始位置开始，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，设运动的时间为（秒）。 ①求（用含的代数式表示）； ②若点也与点同时从起始位置开始运动，且点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，试问：是否存在一个常数，使得的值不随运动时间（秒）的变化而改变？若存在，请求出常数，并求此时的值；若不存在，请说明理由。 【答案】 ①时为；时为。②存在，，定值为。 【分析】先求等距位置，再以点到达点的时刻为界分析距离；最后观察含运动时间的项能否相消。 【详解】（1）。距离相等时，移到的中点，所以从起为个单位。原来距为个单位，故需右移个单位。 （2）①运动后，表示，表示，仍表示，故。到需秒。在时，，于是；在时，，于是。 ②此时表示，，。。要使值不随改变，项须相消，即。此时定值为。 【易错提醒】点经过点前后，的表示不同；第二问②中点也在运动，不能沿用第一种运动情形。 【例6】（选自2024·扬州梅岭七上期中）已知表示数的点在数轴上的位置如图所示。 （1）在数轴上标出数的相反数的位置。 （2）若数与其相反数相距个单位长度，则表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若表示数的点与表示数的相反数的点相距个单位长度，则表示的数是多少？ （4）在（3）的条件下，规定一种新运算，即，例如，根据规定请求出的值。（要求有解答过程） 【答案】在原点右侧取与到原点距离相同的点。 。 或。 或。 【分析】原图中在原点左侧。先由相反数和数轴距离确定、，再分别代入题目定义的新运算。 【详解】（1）相反数对应的两点分居原点两侧，并且到原点的距离相等。在原点右边取与图中等距的点，标为。 （2）原图显示在原点左侧，所以。两相反数到原点距离相同，它们之间距离为，因此每一点到原点的距离为，从而，。 （3）与表示的点相距个单位长度的点有两个：在其右边时；在其左边时。 （4）当时，；当时，。 【易错提醒】与一个固定点相距给定长度的点可能在其两侧，不能只取右侧的一种情况。 【题型4 相邻数操作与不变量】 【方法提示】先用少量操作尝试构造，再观察一次操作前后哪些数量关系保持不变。证明“最少”时，既要给出可行步骤，也要说明更少的次数为什么不行。 【例7】（选自2024·扬州梅岭七上期中）现有若干有理数排成一个圆圈，规定一次操作为：将任意相邻的两个数都加上同一个有理数，其余各数不变。图1是小云两次操作的示意图，将圆圈上的三个数变为了相同的数： （1）请画出相应的操作示意图，将图2圆圈上的有理数都变为相同的数（箭头上不需标注具体操作）。 （2）如图3，若要将圆圈上的四个数都变为相同的数，最少需要通过几次操作？给出你的判断，并说明理由。 （3）能否将这个有理数以某种方式排列在圆圈上，使得通过若干次操作将这个有理数变为相同的数？如果可以，请画出最初的排列方式与具体的操作步骤；如果不能，请说明理由。 【答案】图2由顺时针变为再变为。 最少次。 不能。 【分析】前两问用相邻位置同时加数来构造，最后一问观察四个位置中两组对角数的和之差。 【详解】（1）图2按“上、右下、左下”顺序记录为。先将上方和右下方的两个数都加，得到；再将右下方和左下方的两个数都加，得到。按此三幅圆圈画出示意图即可。 （2）图3按“上、右、下、左”顺序为。先将上方、右方都加，得到；再将右方、下方都加，得到，所以两次足够。若只操作一次，则另外两个相邻位置的数保持不变，而原来四个数互不相同，未操作的两个数不会相等。因此一次不行，最少次。 （3）给圆圈四个位置依次标为。每次操作都同时改变一对相邻数，使与增加同一个数，因此两组对角位置数的和之差保持不变。最后四数相等，则原来必须已有。但，若两个对角和相等，就都应为，而任意两个给定整数之和均为整数，不可能等于。所以无论怎样排列都不行。 【易错提醒】能给出两次操作只说明“两次可行”；要证明最少，还必须排除一次操作的可能。 【题型5 新定义距离与最小值研究】 【方法提示】把新定义逐字转写成已经学过的运算。涉及绝对值时先按点的位置分类，最后还要给出能够取得最小值的具体情形。 【例8】（选自2024·昆山七上期中模拟第22题）对于有理数和，定义一种新运算“”，规定：。 （1）计算的值； （2）若在数轴上所表示的点的位置如图所示，化简。 【答案】 【分析】按定义代入后，依据数轴次序判断绝对值内各式的正负，最后去括号化简。 【详解】（1）按定义，。 （2）从数轴知，所以，。原式。 【易错提醒】先辨清数轴中的、、、、的次序，再判断两个绝对值内部式子的正负。 【例9】（选自2026·昆山七上期中模拟第27题）对于有理数，我们称为到的“行程差”。 （1），到的“行程差”的值等于______； （2）若两个不相等的有理数到的“行程差”的值为，求的值； （3）已知，记，到有理数的“行程差”的值为，记，到有理数的“行程差”的值为，若，求的最小值。 【答案】 【分析】把“行程差”转化为数轴上两个距离的差。按点在的左侧或右侧分别研究，并检验最小值能否取到。 【详解】（1）。 （2）由题意，到的距离相等。又，所以它们位于的两侧并关于对称，。 （3）若，两者的“行程差”均为，不满足差为。若，则，从而，所以；例如可取得。若，则，由差为可知到的距离为，即，因，。所以最小值为。 【易错提醒】第三问必须覆盖两个点与的位置关系，并展示能实际取到最小距离的一组数。 【题型6 整式化简、代入求值与无关项】 【方法提示】先化简再代入，可以减少计算并暴露式子的结构。“与某字母无关”意味着该字母对应的项相消；非负数之和为零时，各项分别为零。 【例10】（选自2024-2025学年·昆山七上期末模拟第22题）已知代数式，。 （1）计算； （2）当，，求的值； （3）若的值与的取值无关，求的值。 【答案】（1）；（2）；（3）。 【分析】先将化简，再代入求值；最后将含的项合并，找出使它相消的。 【详解】（1）。 （2）代入，，得。 （3）将结果看作。若其值与的取值无关，的系数应为。因此，此时结果恒为。 【易错提醒】前面带负号，去括号时内每一项均需乘；与无关是的系数为，不是把取成。 【例11】（选自2024·扬州梅岭七上期中）已知。 （1）求的化简结果。 （2）若满足，求的值。 【答案】。 。 【分析】先去括号合并同类项，再利用绝对值与平方的非负性确定两个字母的值。 【详解】（1）去括号并合并同类项，。 （2）绝对值和平方均为非负数，两个非负数的和等于时，它们分别等于。所以，，即，。代入化简式，。 【易错提醒】绝对值和平方分别都是非负数；和为零要求两项同时为零。 【题型7 整体思想与等量代换】 【方法提示】把反复出现的式子看作同一个整体，先合并系数，再作代换。已知条件有多条时，可通过加减连接成所求的整体。 【例12】（选自2024·常州七上期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则。“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______。 （2）已知，求的值。 拓广探索：（3）已知，，，求的值。 【答案】。 。 。 【分析】前两问把重复出现的式子看作整体；最后一问先化简，再将三个已知关系相加形成所求式子。 【详解】（1）把当作同一个整体，原式，不必展开平方。 （2）。 （3）先去括号并合并同类项，。又，所以所求值为。 【易错提醒】把的平方看成整体即可，不必展开；加减多个已知关系时要保持符号一致。 【题型8 新定义运算与代数式比较】 【方法提示】先按定义算出各个式子，再作差比较。若差可以写成非负数与正数的和，就能说明大小关系对所有允许取值都成立。 【例13】（选自2025·昆山七上期中模拟第23题）我们规定一种新运算“”：对于任意有理数和，规定，如：。 （1）求的值； （2）化简； （3）若，，比较与的大小，并说明理由。 【答案】 【分析】依次按新定义代入、化简，最后用作差的结果说明两个代数式的大小关系。 【详解】（1）原式。 （2）原式。 （3），，故。任意有理数的平方非负，所以，从而。 【易错提醒】定义中的既出现在平方项，也出现在一次项和末项中，代入负数时必须加括号。 【题型9 图案规律与区间求和】 【方法提示】把图形的层数与数量对应起来，再用完整图形解释规律。求中间一段的和时，可以用较大的完整部分减去前面多算的部分。 【例14】（选自2024·常州七上期中）观察下列各式，完成下列问题。 将一些边长相等的正方形按如图方式拼图： 图①中小正方形的个数：； 图②中小正方形的个数：； 图③中小正方形的个数：。 （1）仿照上例，写出下一个等式______。 （2）仿照上例，计算：。 （3）根据你所总结的规律计算的值。 【答案】。 。 。 【分析】图形每增加一层，就补成一个更大的正方形。先确定完整奇数和，再相减得到所求区间的和。 【详解】（1）继续添加一层，共有个小正方形。 （2）从开始的前个连续奇数的和可拼成边长为的正方形，因此。 （3）。 【易错提醒】求至之间的奇数和时，应减去至的部分，不能把也减掉。 【题型10 数位变换与整数条件探究】 【方法提示】先按新定义准确移动数位，再结合各位数字的限制逐项筛选。求最大值时，要说明候选情形已经穷尽，而不是只展示一个数。 【例15】（选自2025·扬州广陵七上期末）若一个四位数的前两位数字相同且各位数字均不为，则称这个数为“巴渝数”；若把这个数的个位数字放到前三位数字组成的数的前面组成一个新的四位数，则称这个新的四位数为“桥梁数”；记一个“巴渝数”与它的“桥梁数”的差为，例如，前两位数字相同，所以为“巴渝数”；则就为它的“桥梁数”，。 （1）______，______。 （2）若一个千位数字为的“巴渝数”能被整除，它的“桥梁数”能被整除，请求出满足条件的的最大值。 【答案】；。 ，当时取得。 【分析】依据两个数的偶数条件限制末两位，再利用被整除的数位和特征穷尽所有候选。 【详解】（1）的“桥梁数”为，因此。的“桥梁数”为，因此。 （2）把记为十进制的四位数，其中均为至的整数。因为被整除，所以为偶数，且各位数字之和能被整除；“桥梁数”被整除，所以也为偶数。故只可能分别取、、、。 按的取值分组穷尽：当时，被整除只能有，得，桥梁数，差。当时，只有，差；当时，或，差分别为、；当时，只有，差。所以最大差为。 【易错提醒】“桥梁数”是把个位移到最前面，原来的前三位顺序不变；每一位都不能为。 【题型11 洛书幻方与整式关系推理】 【方法提示】完整阅读“观察—猜想—验证”的过程，抓住幻方和与中心数的关系。把行、列、对角线中的等量关系逐步转化为整式加减。 【例16】（选自2025·昆山七上期中模拟第27题）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说。图1即洛书，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个“三阶”幻方（图2）。 图2 图3 图4 【观察发现】 图2“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上数字之和都等于，中间的数为，若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，发现“幻方和”是“中心数”的倍。 【猜想验证】 猜想：“三阶”幻方的“幻方和”是“中心数”的倍。 说明理由：如图3，将“三阶”幻方中个数字分别用字母表示，其中“中心数”为，将“幻方和”用字母表示。 由题意可知：； 又因为； 即； 所以，所以，即“幻方和”是“中心数”的倍。 【解决问题】 利用上述结论解决问题： （1）如图3，已知，幻方的“中心数”，则的值为______； （2）如图4，是含有字母的整式，。 ①若幻方的“中心数”，求整式（用含的式子表示）； ②若幻方的“中心数”，且均为常数，求的值。 【答案】 ①；②。 【分析】先使用阅读材料已经验证的“幻方和是中心数的倍”，再综合行、列与对角线中的等量关系求值。 【详解】（1）幻方和。由中间一列，；由底行，。 （2）①底行满足，故。 ②由对角线以及底行，可得。再由左列，得。与比较同类项系数，得，且常数项满足，所以，。 【易错提醒】图4中的空白格是原题给定的空白，不能当作零；每条行、列和对角线的和都要使用同一个幻方和。 【题型12 实际情境中的代数式表示】 【方法提示】先明确单价、数量、总量之间的关系，再列代数式。起步计费、进一计费和分档计费的规则各有不同，必须依据原表和完整条件处理。 【例17】（选自2024·扬州梅岭七上期中）某服装厂加工了一批西服，成本为每套元，原定每套以元的价格销售，这样每天可销售套，若每套在原价的基础上降低元销售，则每天可多售出套。据此回答下列问题： （1）若按原价销售，则每天可获利______元。（销售利润＝单件利润销售数量） （2）若每套降低元销售，则每天可卖出______套西服，共获利______元。 （3）若每套西服售价降低元，则每套西服的售价为______元，每天可以销售西服______套，共可获利______元。（用含的代数式表示） 【答案】。 ；。 ；；。 【分析】分别求出单件利润与每天销量，再依据“销售利润＝单件利润销售数量”列式。 【详解】（1）原价每套利润为元，因此每天利润为元。 （2）售价降低元后，每天销售量为套；每套利润为元，每天利润为元。 （3）每套售价为元，单件利润为元；降价金额为元的倍，对应增加销量套，每天销量为套，所以每天利润用代数式表示为元。此处保留乘积形式即可。 【易错提醒】每天增加的是销量，单件利润却随降价减少；两者必须分别列式后再相乘。 【例18】（选自2024·徐州七上期中第23题）小明从家搭乘出租车到博物馆，出租车的收费标准是：起步价为元，千米后每千米收元，不足千米按千米算。请回答下列问题： （1）小明乘车千米应付费______元。 （2）小明乘车（为大于的整数）千米，应付费______元（结果需化简）。 （3）小明仅有元钱，乘出租车到距家千米的博物馆的车费够不够？请说明理由。 【答案】。 。 够，车费元。 【分析】先扣除起步路程，再按不足千米作千米计算的规则收费；整数路程可直接列式。 【详解】（1）超出起步路程千米，不足千米按千米算，计为千米。应付元。 （2）由于为大于的整数，超出的千米无需再取整，费用为元。 （3）路程千米时，车费为元；，所以元够车费。 【易错提醒】千米中超出起步路程的千米应按千米计费，不能直接按千米收费。 【例19】（选自2026·昆山七上期中模拟第25题）为鼓励节约用水，某市自来水实行阶梯式计量水价，按如下标准收费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 元/ 超过但不超过的部分 元/ 超过的部分 元/ （1）若小芳家月份用水量为，则月份需交水费______元； （2）若小芳家月份的水费为元，则月份用水量为______； （3）若小芳家月份用水量为，其中，则月份应缴纳水费多少元？（用含的代数式表示） 【答案】 元 【分析】按表中各档的实际用量分别计费。由水费反推用量时，先判断费用落在哪个档次。 【详解】（1）立方米未超过立方米，水费为（元）。 （2）立方米水费为（元），立方米水费为（元）。元介于元和元之间，超过立方米的用量为（立方米），总用量为（立方米）。 （3）前立方米费用为元，超过部分为立方米，故总费用为（元）。 【易错提醒】阶梯水价按“超过部分”分档计费，不能把整个月的用水量全部乘最高一档单价。 【题型13 分段计费与优惠方案选择】 【方法提示】分清“超过部分优惠”和“所有商品统一折扣”。列式时保留各部分的实际数量，选择方案时同时核对总费用与题目给出的限制。 【例20】（选自2024·常州七上期中）寒假将至，某班家委会组织学生到北京旅游，现联系了一家旅社，这家旅行社报价为元/人，但根据具体报名情况推出了优惠举措： 人数 人及以下（含人） 超过人不超过人的部分 超过人的部分 收费标准 原价（不优惠） 元/人 元/人 （1）如果一开始参加旅游的人数为人，则预计总费用为______元。 （2）在（1）问前提下，后来又有部分同学要求参加，设这部分同学加入后总共参与旅游的人数为人，若总人数还是不超过人，则总费用为______元；若总人数超过了人，则总费用为______元。（结果均用含的代数式表示） （3）若最后家委会支付给旅行社人均费用为原价的九折，问共有多少人参加了本次旅游？ 【答案】。 ；。 人。 【分析】前三种人数范围分别计费；最后用人均费用与各档价格的差额反推总人数。 【详解】（1）前人每人元，另外人每人元，总费用为元。 （2）当总人数不超过人时，总费用为元；当总人数超过人时，总费用为元。题目是分段计费，前面各段人数不随总人数重新降价。 （3）人均费用为元。若人数不超过人，与全部按元计算相比，前人一共多付元，人数至多，所以人均至少多付元，即人均至少元，大于元。因此人数超过。此时与所有人都按元计算相比，前人一共多付元，接下来的人一共多付元，共多付元。实际人均比元多元，所以人数为人。检验总费用元，元，符合题意。 【易错提醒】优惠只适用于对应人数范围的那一部分，不能把所有参加者都按最低一档收费。 【例21】（选自2025·昆山七上期中模拟第26题）为使学生熟练掌握～项体育运动技能，学校决定添置一批篮球和足球，建立足球和篮球俱乐部。甲、乙两家商场同种品牌的篮球和足球标价分别相同，为支持教育业，给出如下优惠活动方案： 类别 篮球 足球 标价 元 元 甲商场每件优惠 折 折 甲商场示例 例：买一只篮球，只需付款元 乙商场 若所购商品不超过件（不同商品可累计），则所购商品均按标价的折出售；若所购商品超过件（不同商品可累计），则所购商品均按标价的折出售。 （1）学校购买篮球只，足球只，按照甲商场优惠方式购买付款金额为______元； （2）学校计划购买篮球、足球共只。 ①若其中篮球购买了只（为正整数），则按甲商场优惠方式购买付款金额为______元，按乙商场优惠方式购买付款金额为______元，（用含的代数式表示）； ②若其中篮球购买了只，且计划购买篮球和足球的总费用不超过元，则学校应选择在甲、乙哪个商场购买？请说明理由。 【答案】 ①甲：；乙：。②乙商场。 【分析】先明确两商场的折扣规则，再分别列出购买篮球与足球的费用，最后代入具体数量比较。 【详解】（1）甲商场篮球每只（元），足球每只（元），总额为（元）。 （2）①足球为只。甲商场付款（元）。乙商场因总件数超过，全部按折，付款（元）。 ②购买只篮球时，甲付款（元），超过元；乙付款（元），未超过元。因此应选乙商场。 【易错提醒】甲商场分别给篮球、足球打折；乙商场按商品总件数决定全部商品的折扣。 【附页 基础衔接与数学文化】 【方法提示】先巩固有理数运算、同类项和整体代入，再将这些基本方法迁移到分类专题中。 【基础1】（选自2024·盐城中考第14题）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为________尺． 【答案】 【分析】比较整条绳索与半条绳索相对于同一根竿子的长短差，先确定半条绳索的长度。 【详解】整条绳索比竿子长尺，半条绳索比竿子短尺，因此整条绳索比半条绳索长尺，即半条绳索长尺。 竿子比半条绳索长尺，所以竿子长尺。 【易错提醒】整条绳索与半条绳索相比较时，应分别加上与同一根竿子的长短差。 【基础2】（选自2026·宿迁中考第9题）的绝对值是________． 【答案】 【分析】按负数绝对值的定义计算。 【详解】是负数，它的绝对值为它的相反数，即。 【易错提醒】不要把“负数的绝对值”误当作“负的绝对值”。 【基础3】（选自2025·无锡中考第1题）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】异号两数相加，用较大的绝对值减去较小的绝对值，并取绝对值较大的数的符号。 【详解】，所以选C。 【易错提醒】不要把异号相加误作两个绝对值直接相加。 【基础4】（选自2024·苏州中考第10题）若，则________． 【答案】 【分析】只需整体代入字母间的关系，不必分别确定两个字母的值。 【详解】由，得。因此。 【易错提醒】先去括号得到负二，再计算平方；不要把负数平方误写成负数。 【基础5】（选自2025·无锡中考第13题）请写出单项式的一个同类项：________． 【答案】例如（答案不唯一） 【分析】同类项要求所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同。 【详解】所含字母仍为、，相应指数分别为、，因此它与是同类项。 【易错提醒】同类项可以有不同的系数，但不能改变字母或字母的指数。 【基础6】（选自2024-2025学年·昆山七上期末模拟第11题）若单项式与的和仍是单项式，则________。 【答案】 【分析】先核对两个系数之和是否为零，再依据同类项的定义分别比较相同字母的指数。 【详解】两个给定单项式的系数和为，不为。因此要使和仍为单项式，两者必须是同类项。 比较相同字母的指数，，，于是。故。 【易错提醒】同类项必须同时比较和的指数；不能把所有指数之和相等当成同类项条件。 【基础7】（选自2024-2025学年·昆山七上期末模拟第16题）如图，把一个周长为定值的长方形分割为五个四边形，其中是正方形，、、、都是长方形，这五个四边形的周长分别用、、、、表示，则下列各式的值为定值的是________（填序号）。 ①　②　③　④ 【答案】②④ 【分析】把外框周长与各小块周长都用字母表示，再检查各候选式能否化为外框周长。 【详解】设中间正方形的边长为，左、右两条带的宽分别为、，上、下两条带的高分别为、。外框长、宽分别为、，其周长记为，则。 ；，都是定值。 会随分割而改变，也会改变，因此选②④。 【易错提醒】外框周长固定不等于每个小四边形周长都固定，应先把候选式化为外框周长或其他数量。 【基础8】（选自2024-2025学年·昆山七上期末模拟第8题）定义一种关于整数的“”运算：当是奇数时，结果为；当为偶数时，结果为（其中是正整数，且使得为奇数）；并且运算重复进行。例如：时，第一次经“”运算的结果是，第二次经“”运算的结果是，第三次经“”运算的结果是，第四次经“”运算的结果是……。若，则第次经“”运算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B（） 【分析】先完整执行奇数与偶数两种运算规则，算出前几次结果并确定循环节，再判断目标次数在循环中的位置。 【详解】依次运算：。 从第一次结果开始，六个数循环出现。，故第次结果为周期中的第项，选B。 【易错提醒】偶数分支要连续除去所有因子，直到得到奇数；确定周期后再从第一次结果开始计数。 【基础9】（选自2024-2025学年·昆山七上期末模拟第17题）计算： （1）； （2）。 【答案】（1）；（2）。 【分析】先算乘方与括号，再把除法转为乘以倒数；第一问还可利用乘法分配律简化计算。 【详解】（1）原式。 （2）原式。 【易错提醒】注意的正整数次幂在原式中没有括号，为；同时注意除以分数要乘其倒数。 1 学科网（北京）股份有限公司 $