专题01 正数与负数.数轴及绝对值与相反数 期中复习讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题01正数与负数.数轴及绝对值与相反数期中复习讲义 1.理解正数、负数的定义，会识别相反意义的量，能用正负数表示生活中相反意义的量，掌握正负数的实际应用；掌握有理数定义与分类，理解 0 的特殊含义，能辨析 “非正数、非负数” 这类带 “非” 字的有理数概念。 2.掌握数轴三要素：原点、正方向、单位长度，能规范画数轴，会在数轴上标出有理数、读出数轴上点代表的数；利用数轴比较有理数大小，理解数轴上两点之间距离的几何含义，建立数形结合思想。 3.理解相反数、绝对值的概念，会求一个数的相反数和绝对值，牢记绝对值具有非负性；掌握利用绝对值比较两个负数大小的方法，结合数轴理解相反数的几何意义，解决与距离有关的简单计算。 4.辨析易混概念：分清相反数、绝对值二者的区别；记住 0 的相反数和绝对值都是 0；清楚绝对值等于某个正数的数有两个，不要漏解。 5.综合运用数轴、相反数、绝对值完成化简、求值与简单推理计算，规范处理符号化简问题，减少符号类计算失误。 6.易错点警示：判断相反意义的量，只需意义相反，与数量大小无关；数轴上右侧的数大于左侧的数；负数的绝对值是它的相反数；审题注意区分 “非负、非正”，不要漏掉数字 0。 题型 考察方向 难度 题型一 正负数概念与相反意义的量 ★ 题型二 正负数的实际应用 ★★ 题型三 有理数的定义及分类 ★ 题型四 数轴的三要素及其画法 ★ 题型五 用数轴上的点表示有理数 ★ 题型六 利用数轴比较有理数的大小 ★★ 题型七 数轴上两点之间的距离 ★★ 题型八 数轴上点的平移 ★★★ 题型九 数轴上找原点 ★★ 题型十 数轴上整点覆盖问题 ★★★ 题型十一 数轴上的规律探究 ★★★★ 题型十二 绝对值的几何意义 ★★ 题型十三 求一个数的绝对值 ★ 题型十四 绝对值非负性 ★★ 题型十五 绝对值的其他应用 ★★★ 题型十六 有理数大小比较 ★★ 题型十七 有理数大小比较的实际应用 ★★ 题型十八 相反数的定义及应用 ★ 题型十九 化简多重符号 ★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:基础核心概念 1. 正数 定义：像3、0.5、、+7这样大于 0的数叫做正数。 书写规则：正数前面的 “+”（正号）可以省略不写，如+5可直接写作5。 读法：+5读作 “正五”，省略正号的5直接读 “五”。 2. 负数 定义：在正数前面添上符号 “-”（负号）得到的数叫做负数，如-3、-0.2。 书写规则：负数前面的 “-”绝对不能省略，省略后就变成正数。 读法：-6读作 “负六”，不能读作 “减六”。 3. 数字 0（本节重中之重，易考填空） (1)0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界； (2)0不只有 “没有” 一层含义，还可表示基准、标准： 温度0C：水结冰的标准温度，不是没有温度； 海拔0米：海平面的基准高度，不是没有高度。 4.概念区分对比表 类别 与 0 的大小关系 符号特点 举例 正数 大于 0 可带+，+可省略 2、+1.5、 0 等于 0 无正负号 0 负数 小于 0 必须带-，不可省略 -4、-0.8、- 知识点02:核心应用：用正负数表示相反意义的量 1. 判定标准 两个量必须同时满足两点，才能用正负区分： 意义相反；② 具有同类数量。 例：上升与下降、收入与支出、向东与向西、零上与零下，均为相反意义的量； “上升 5 米” 和 “支出 20 元” 不属于同类量，不能用正负表示。 2. 使用规则 (1)先人为规定其中一种意义的量为正，则与之相反意义的量为负； (2)规定具有灵活性，题目未固定时可自主设定，结果不唯一； (3)书写必须带单位，不能只写数字。 3.常见相反意义量分类表（考试高频素材） 正向规定 对应负向 生活实例 零上温度 零下温度 零上8C记作+8C，零下3C记作-3C 收入、盈利 支出、亏损 收入 300 元记作+300元，支出 120 元记作-120元 上升、增加 下降、减少 水位上升 0.6m 记作+0.6m，水位下降 0.4m 记作-0.4m 向东、向北 向西、向南 向东走 10km 记作+10km，向西走 5km 记作-5km 高于海平面 低于海平面 山峰海拔 + 600m，盆地海拔 - 150m 知识点03:数的分类 层级 1：本节课基础分类（按正负划分，课堂必考） 现阶段学习的数字，以 0 为界分为三类： 正数：所有大于 0 的数，包含正整数、正分数（有限小数、无限循环小数）； 0：单独一类，无正负属性； 负数：所有小于 0 的数，包含负整数、负分数（负有限小数、负无限循环小数）。 ⚠关键提醒 (1)0 不能放入正数集合、负数集合； (2)小数、分数同样分正负，不只有整数有正负； (3)π 这类无限不循环小数，本节课不参与分类。 层级 2：延伸分类（衔接下一节《有理数》预习拓展） 1. 有理数整体划分 有理数分为两大类：整数、分数 (1）整数：正整数、0、负整数； (2）分数：正分数、负分数（有限小数、无限循环小数都属于分数）。 2. 两种分类标准对比表 分类标准 细分种类 包含数字类型 按正负划分（本节课重点） 正数、0、负数 正数：正整数、正分数 负数：负整数、负分数 按整数 / 分数划分（下一节） 整数、分数 整数：正整数、0、负整数 分数：正分数、负分数 知识点04:数轴的定义与三要素（本节课核心重点） 1. 数轴定义 规定了原点、正方向、单位长度的一条直线叫做数轴。 2. 数轴三要素（三者缺一不可，判断数轴必考） 原点：直线上取一点记作数字 0，是正数、负数的分界点； 正方向：规定直线向右为正方向，必须画向右的箭头；向左自然为负方向； 单位长度：选取统一长度作为标准，数轴上每一格长短完全相等，刻度均匀。 3. 判断数轴对错核心标准 只要缺少任意一个要素、单位长度不统一、无向右箭头，都不是规范数轴。 错误数轴常见问题 错误举例 改正要求 缺少原点（无 0 刻度） 直线只有刻度，没有标注 0 在直线中间标注原点 O，写上数字 0 无正方向箭头 直线两端都没有箭头 直线最右端画出向右箭头 单位长度不统一 刻度一格长、一格短 所有相邻刻度间隔长度完全相同 箭头画在左侧 向左画箭头当作正方向 正方向固定向右，只在右端画箭头 4. 规范画数轴五步标准步骤（答题书写规范） ① 画一条水平直线； ② 在直线中间选取一点，标注原点O，下方写数字 0； ③ 在直线右端画出向右的箭头（正方向）； ④ 从原点开始，向左、向右依次截取长度相等的线段； ⑤ 在刻度下方依次标注对应整数：…-3、-2、-1、0、1、2、3…。 知识点05数轴上的点与有理数之间的关系 1. 一一对应关系 每个有理数都可以用数轴上的唯一一点来表示； 也可以说，每个有理数都对应数轴上的唯一一点。 说明： 所有有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）都能在数轴上找到对应的点； 数轴上的点不仅能表示有理数，还能表示无理数（如π、），但本节课只研究有理数部分。 2. 正负数在数轴上的位置规律 设a是一个正数，则： 表示数a的点在数轴的正半轴（原点右侧），与原点的距离是a个单位长度； 表示数-a的点在数轴的负半轴（原点左侧），与原点的距离是a个单位长度。 数的符号 所在半轴 与原点的距离 示例 正数 a 正半轴（右） a 个单位 3 在原点右侧，距原点 3 格 负数 -a 负半轴（左） a 个单位 -3在原点左侧，距原点 3 格 0 原点 0 个单位 原点本身 3. 核心结论总结 有理数 → 数轴点：每个有理数都对应数轴上唯一的点； 位置判断：正数在右，负数在左，0 在原点； 距离相等：a与-a到原点的距离相同，仅方向相反。 知识点06:利用数轴比较有理数大小（必考基础题型） 1. 核心大小规律（必背） 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2. 延伸大小关系推论 正数 > 0； 负数 < 0； 正数 > 一切负数。 知识点07:绝对值几何定义 数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。 记作：|a|，a为任意有理数。 关键点：距离不可能是负数，因此任意数的绝对值一定是非负数，即 |a|0。 举例：数轴上表示-4的点到原点距离为 4，则|-4|=4；表示0的点就在原点，|0|=0。 知识点08:绝对值代数法则（去绝对值核心） 知识点09:绝对值五大核心性质 1.非负性（最重要） 任意有理数的绝对值|a|0； 推论：若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部都为 0。 例：|x-2|+|y+3|=0，则x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3。 2.互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|-a|。 3.若|x|=m(m>0)，则x=m 或 x=-m（一正一负两个解）。 例：|x|=5，x=5或x=-5； 补充：若|x|=0，仅有唯一解x=0。 4.绝对值的乘积、商性质： 5.|a-b|几何含义：数轴上表示a、b两点之间的距离。 知识点10:相反数 (一）两层定义 几何定义：数轴上分别在原点两侧，到原点距离相等的两个点所表示的数，互为相反数，两点关于原点对称。 代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 补充规定：0 的相反数是 0，0 是唯一相反数等于自身的数。 (二）求相反数的方法 数a的相反数记作-a，即在这个整体前面添加负号。 正数：5的相反数是-5； 负数：-3.2的相反数是-(-3.2)=3.2； 字母、代数式：x的相反数-x；a-b的相反数-(a-b)。 (三）多重符号化简规则 负号个数决定最终符号，口诀：奇负偶正 式子中所有正号可以直接去掉，不影响结果； 数清楚负号总个数：负号为偶数，结果为正；负号为奇数，结果为负。 例： -[-(+7)]，2 个负号，偶数，结果7； -[-(-5)]，3 个负号，奇数，结果-5。 (四）相反数核心等量关系 若a、b互为相反数，则 a+b=0； 反之，若a+b=0，则a、b互为相反数。 题型一：正负数概念与相反意义的量 1．在，，，，，，这些数中，正数有（     ）个． A． B． C． D． 2．下列选项中具有相反意义的量是（     ） A．气温上升和下降 B．胜1局和亏损1万元 C．盈利200元和支出300元 D．走了100米和跑了100米 3．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成书于公元一世纪左右．全书共分为九章，总结了战国和秦汉时期的数学成就，内容十分丰富．在“方程”一章中，首次正式引入了负数的概念．如果将盈利500元记作元，那么元表示（    ） A．亏损700元 B．支出700元 C．亏损元 D．支出元 题型二：正负数的实际应用 4．邢台市平乡县被誉为“中国童车之乡”．某童车厂仓库把童车入库记为正，出库记为负．若出库80辆记作“辆”，则“辆”表示（     ） A．出库60辆 B．出库辆 C．入库辆 D．入库60辆 5．如表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，纵式和横式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是__________． 6．下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据表中给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市_____代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上） 城市 时差/h 纽约 悉尼 伦敦 罗马 题型三：有理数的定义及分类 7．下列有关整数的说法中，正确的是（     ） A．整数由正整数和负整数组成 B．没有最大的整数，但有最小的整数 C．整数、分数和0统称为有理数 D．非负整数就是自然数 8．下列说法中，其中错误的有____________个 ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数； ④非负数就是正数； ⑤不仅是有理数，而且是分数； ⑥带“”号的数一定是负数； ⑦无限小数不都是有理数； ⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数． 9．下列各数（以此规律类推），下列说法正确的是（     ） A．只有5个分数 B．只有2个整数 C．只有2个负数 D．只有3个非负数 题型四：数轴的三要素及其画法 10．下列数轴画法正确的是（     ） A． B． C． D． 11．下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 12．已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）      A．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 C．小刚所在的位置对应的数有可能是 D．小颖和小红间的距离为7 题型五：用数轴上的点表示有理数 13．点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 14．如图，在数轴上表示2.4的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 15．如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 题型六：利用数轴比较有理数的大小 16．在数轴上，表示数的点在表示数的点的左侧，且，均不为0．下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 17．实数a，b在数轴上所表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 18．已知有理数满足，在数轴上，表示和的两点之间只有两整数、（不包括和），下面有三个结论：①a的值可以是；②；③，所有正确结论的序号为（   ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 题型七：数轴上两点之间的距离 19．如图，数轴上两点的距离为点表示的数为，点在点的右侧，则点表示的数为（   ） A． B．5 C．0 D．无法确定 20．在数轴上的点到表示的点的距离是5，那么点表示的数是（   ） A．5 B．3 C． D．3或 21．如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A，B，C，D，先让正方形上的顶点A与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2026将与正方形上的哪个字母重合（     ） A．字母A B．字母B C．字母C D．字母D 题型八：数轴上点的平移 22．数轴上点A表示的数是，将点A向右移动2个单位长度后得到点B，此时点B表示的数是（   ） A．1 B． C．0 D．2 23．为数轴上表示的点，将点移动个单位长度到点，则点所表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 24．数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 题型九：数轴上找原点 25．如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 26．如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 27．如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 题型十：数轴上整点覆盖问题 28．数轴上表示整数的点称为整点，若在数轴上任意画一条长为3个单位长度的线段，则线段盖住的整数点个数共有（     ） A．1个或2个 B．2个或3个 C．4个或3个 D．5个或4个 29．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2028的点与圆周上重合的点表示的数字是（    ） A． B． C． D． 30．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2024厘米的线段，则线段盖住的整点个数是（     ） A．2021或2022 B．2022或2023 C．2023或2024 D．2024或2025 题型十一：数轴上的规律探究 31．正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（   ）． A． B． C． D． 32．电子跳蚤从数轴上表示的点出发，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，，按此规律，跳完第次后，它落在数轴上表示的数是______． 33．正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2029所对应的顶点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 题型十二：绝对值的几何意义 34．若，则x等于（     ） A．5 B． C． D．0或5 35．已知是最大的负整数，和互为相反数，的绝对值为，，可以推断出________，这四个数的绝对值之和等于________． 36．下列结论成立的是（     ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 题型十三：求一个数的绝对值 37．已知，下列四个结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 38．若a≠0，则的值为（　　） A．2 B．0 C．±1 D．0或2 39．如果m是负数，且，那么______． 题型十四：绝对值非负性 40．已知为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（     ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 41．关于，下列说法正确的是（     ） A．当时，有最大值9 B．当时，有最小值13 C．当时，有最小值9 D．当时，有最大值13 42．若与b互为相反数，则a______b（用“”“”“”“”填空）． 题型十五：绝对值的其他应用 43．绝对值不小于2且小于的负整数是_______． 44．式子|x﹣3|+|x+4|有最小值，其最小值是___． 45．若x为任意有理数，│x│表示在数轴上x到原点的距离，│x－a│表示在数轴上x到a的距离，│x－3│+│x+1│的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十六：有理数大小比较 46．在下列各数中，比小的数是（     ） A．2025 B． C．2027 D． 47．把、、这三个数按从大到小的顺序排列 _____． 48．下列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十七：有理数大小比较的实际应用 49．以下是四个城市某一天同一时刻的气温，其中气温最高的是（     ） A．保定 B．承德 C．石家庄 D．张家口 50．小杰自行车上的一个螺帽松了，他准备用扳手紧一下．他拿了一套扳手，它们的尺寸大小分别是：，，，，，，小杰用的扳手太小，用的扳手太大，那么选项中的扳手，小杰不可以选择（     ）的扳手． A． B． C． D． 51．某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（    ） A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折 C．先提价，再降价 D．先提价，再降价 题型十八：相反数的定义及应用 52．若A代表一个数，满足．从相反数的角度来看，A代表的数是(      ) A．2027 B． C． D． 53．下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（     ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 54．一个数的平方与绝对值都是它的相反数，这个数是__． 55．用“”与“”表示一种法则：，，如：，则________． 题型十九：化简多重符号 56．化简：________． 57．化简的结果是________． 58．用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则______． 59．下列各组数中，值相等的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 解答题 60．把下列各数的序号填入相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩ 负有理数集合：{__________________…}；     非负整数集合：{__________________…}； 负分数集合：{__________________…}； 正数集合：{__________________…} 61．如图，点在数轴上，点表示的数是，点表示的数是． (1)点表示的数为____，点表示的数为____； (2)在数轴上表示出点，点； (3)将点表示的数由小到大排列出来． 62．下表是某年1月份我国几个城市的平均气温，请将各城市的平均气温按从高到低的顺序排列． 北京 上海 沈阳 广州 济南 63．如图所示，点、、、在数轴上对应的数分别为、、、，其中是最大的负整数，、满足，且． (1)________；________；线段________； (2)若点在线段上移动，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍时，则点在数轴上表示的数为多少？请算出来． 64．如图，数轴上的点A，B分别表示有理数a，b，且，． (1)求a，b的值； (2)A，B两点相距多少个单位长度？ (3)若点C在点A、B之间，且点C到点B的距离是点C到点A的距离的，求点C表示的数； (4)点P从点A出发，第1次向左移动1个单位长度，第2次向右移动2个单位长度，第3次向左移动3个单位长度，第4次向右移动4个单位长度，…，依次操作2025次后，求点P表示的数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01正数与负数.数轴及绝对值与相反数期中复习讲义 1.理解正数、负数的定义，会识别相反意义的量，能用正负数表示生活中相反意义的量，掌握正负数的实际应用；掌握有理数定义与分类，理解 0 的特殊含义，能辨析 “非正数、非负数” 这类带 “非” 字的有理数概念。 2.掌握数轴三要素：原点、正方向、单位长度，能规范画数轴，会在数轴上标出有理数、读出数轴上点代表的数；利用数轴比较有理数大小，理解数轴上两点之间距离的几何含义，建立数形结合思想。 3.理解相反数、绝对值的概念，会求一个数的相反数和绝对值，牢记绝对值具有非负性；掌握利用绝对值比较两个负数大小的方法，结合数轴理解相反数的几何意义，解决与距离有关的简单计算。 4.辨析易混概念：分清相反数、绝对值二者的区别；记住 0 的相反数和绝对值都是 0；清楚绝对值等于某个正数的数有两个，不要漏解。 5.综合运用数轴、相反数、绝对值完成化简、求值与简单推理计算，规范处理符号化简问题，减少符号类计算失误。 6.易错点警示：判断相反意义的量，只需意义相反，与数量大小无关；数轴上右侧的数大于左侧的数；负数的绝对值是它的相反数；审题注意区分 “非负、非正”，不要漏掉数字 0。 题型 考察方向 难度 题型一 正负数概念与相反意义的量 ★ 题型二 正负数的实际应用 ★★ 题型三 有理数的定义及分类 ★ 题型四 数轴的三要素及其画法 ★ 题型五 用数轴上的点表示有理数 ★ 题型六 利用数轴比较有理数的大小 ★★ 题型七 数轴上两点之间的距离 ★★ 题型八 数轴上点的平移 ★★★ 题型九 数轴上找原点 ★★ 题型十 数轴上整点覆盖问题 ★★★ 题型十一 数轴上的规律探究 ★★★★ 题型十二 绝对值的几何意义 ★★ 题型十三 求一个数的绝对值 ★ 题型十四 绝对值非负性 ★★ 题型十五 绝对值的其他应用 ★★★ 题型十六 有理数大小比较 ★★ 题型十七 有理数大小比较的实际应用 ★★ 题型十八 相反数的定义及应用 ★ 题型十九 化简多重符号 ★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:基础核心概念 1. 正数 定义：像3、0.5、、+7这样大于 0的数叫做正数。 书写规则：正数前面的 “+”（正号）可以省略不写，如+5可直接写作5。 读法：+5读作 “正五”，省略正号的5直接读 “五”。 2. 负数 定义：在正数前面添上符号 “-”（负号）得到的数叫做负数，如-3、-0.2。 书写规则：负数前面的 “-”绝对不能省略，省略后就变成正数。 读法：-6读作 “负六”，不能读作 “减六”。 3. 数字 0（本节重中之重，易考填空） (1)0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界； (2)0不只有 “没有” 一层含义，还可表示基准、标准： 温度0C：水结冰的标准温度，不是没有温度； 海拔0米：海平面的基准高度，不是没有高度。 4.概念区分对比表 类别 与 0 的大小关系 符号特点 举例 正数 大于 0 可带+，+可省略 2、+1.5、 0 等于 0 无正负号 0 负数 小于 0 必须带-，不可省略 -4、-0.8、- 知识点02:核心应用：用正负数表示相反意义的量 1. 判定标准 两个量必须同时满足两点，才能用正负区分： 意义相反；② 具有同类数量。 例：上升与下降、收入与支出、向东与向西、零上与零下，均为相反意义的量； “上升 5 米” 和 “支出 20 元” 不属于同类量，不能用正负表示。 2. 使用规则 (1)先人为规定其中一种意义的量为正，则与之相反意义的量为负； (2)规定具有灵活性，题目未固定时可自主设定，结果不唯一； (3)书写必须带单位，不能只写数字。 3.常见相反意义量分类表（考试高频素材） 正向规定 对应负向 生活实例 零上温度 零下温度 零上8C记作+8C，零下3C记作-3C 收入、盈利 支出、亏损 收入 300 元记作+300元，支出 120 元记作-120元 上升、增加 下降、减少 水位上升 0.6m 记作+0.6m，水位下降 0.4m 记作-0.4m 向东、向北 向西、向南 向东走 10km 记作+10km，向西走 5km 记作-5km 高于海平面 低于海平面 山峰海拔 + 600m，盆地海拔 - 150m 知识点03:数的分类 层级 1：本节课基础分类（按正负划分，课堂必考） 现阶段学习的数字，以 0 为界分为三类： 正数：所有大于 0 的数，包含正整数、正分数（有限小数、无限循环小数）； 0：单独一类，无正负属性； 负数：所有小于 0 的数，包含负整数、负分数（负有限小数、负无限循环小数）。 ⚠关键提醒 (1)0 不能放入正数集合、负数集合； (2)小数、分数同样分正负，不只有整数有正负； (3)π 这类无限不循环小数，本节课不参与分类。 层级 2：延伸分类（衔接下一节《有理数》预习拓展） 1. 有理数整体划分 有理数分为两大类：整数、分数 (1）整数：正整数、0、负整数； (2）分数：正分数、负分数（有限小数、无限循环小数都属于分数）。 2. 两种分类标准对比表 分类标准 细分种类 包含数字类型 按正负划分（本节课重点） 正数、0、负数 正数：正整数、正分数 负数：负整数、负分数 按整数 / 分数划分（下一节） 整数、分数 整数：正整数、0、负整数 分数：正分数、负分数 知识点04:数轴的定义与三要素（本节课核心重点） 1. 数轴定义 规定了原点、正方向、单位长度的一条直线叫做数轴。 2. 数轴三要素（三者缺一不可，判断数轴必考） 原点：直线上取一点记作数字 0，是正数、负数的分界点； 正方向：规定直线向右为正方向，必须画向右的箭头；向左自然为负方向； 单位长度：选取统一长度作为标准，数轴上每一格长短完全相等，刻度均匀。 3. 判断数轴对错核心标准 只要缺少任意一个要素、单位长度不统一、无向右箭头，都不是规范数轴。 错误数轴常见问题 错误举例 改正要求 缺少原点（无 0 刻度） 直线只有刻度，没有标注 0 在直线中间标注原点 O，写上数字 0 无正方向箭头 直线两端都没有箭头 直线最右端画出向右箭头 单位长度不统一 刻度一格长、一格短 所有相邻刻度间隔长度完全相同 箭头画在左侧 向左画箭头当作正方向 正方向固定向右，只在右端画箭头 4. 规范画数轴五步标准步骤（答题书写规范） ① 画一条水平直线； ② 在直线中间选取一点，标注原点O，下方写数字 0； ③ 在直线右端画出向右的箭头（正方向）； ④ 从原点开始，向左、向右依次截取长度相等的线段； ⑤ 在刻度下方依次标注对应整数：…-3、-2、-1、0、1、2、3…。 知识点05数轴上的点与有理数之间的关系 1. 一一对应关系 每个有理数都可以用数轴上的唯一一点来表示； 也可以说，每个有理数都对应数轴上的唯一一点。 说明： 所有有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）都能在数轴上找到对应的点； 数轴上的点不仅能表示有理数，还能表示无理数（如π、），但本节课只研究有理数部分。 2. 正负数在数轴上的位置规律 设a是一个正数，则： 表示数a的点在数轴的正半轴（原点右侧），与原点的距离是a个单位长度； 表示数-a的点在数轴的负半轴（原点左侧），与原点的距离是a个单位长度。 数的符号 所在半轴 与原点的距离 示例 正数 a 正半轴（右） a 个单位 3 在原点右侧，距原点 3 格 负数 -a 负半轴（左） a 个单位 -3在原点左侧，距原点 3 格 0 原点 0 个单位 原点本身 3. 核心结论总结 有理数 → 数轴点：每个有理数都对应数轴上唯一的点； 位置判断：正数在右，负数在左，0 在原点； 距离相等：a与-a到原点的距离相同，仅方向相反。 知识点06:利用数轴比较有理数大小（必考基础题型） 1. 核心大小规律（必背） 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2. 延伸大小关系推论 正数 > 0； 负数 < 0； 正数 > 一切负数。 知识点07:绝对值几何定义 数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。 记作：|a|，a为任意有理数。 关键点：距离不可能是负数，因此任意数的绝对值一定是非负数，即 |a|0。 举例：数轴上表示-4的点到原点距离为 4，则|-4|=4；表示0的点就在原点，|0|=0。 知识点08:绝对值代数法则（去绝对值核心） 知识点09:绝对值五大核心性质 1.非负性（最重要） 任意有理数的绝对值|a|0； 推论：若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部都为 0。 例：|x-2|+|y+3|=0，则x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3。 2.互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|-a|。 3.若|x|=m(m>0)，则x=m 或 x=-m（一正一负两个解）。 例：|x|=5，x=5或x=-5； 补充：若|x|=0，仅有唯一解x=0。 4.绝对值的乘积、商性质： 5.|a-b|几何含义：数轴上表示a、b两点之间的距离。 知识点10:相反数 (一）两层定义 几何定义：数轴上分别在原点两侧，到原点距离相等的两个点所表示的数，互为相反数，两点关于原点对称。 代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 补充规定：0 的相反数是 0，0 是唯一相反数等于自身的数。 (二）求相反数的方法 数a的相反数记作-a，即在这个整体前面添加负号。 正数：5的相反数是-5； 负数：-3.2的相反数是-(-3.2)=3.2； 字母、代数式：x的相反数-x；a-b的相反数-(a-b)。 (三）多重符号化简规则 负号个数决定最终符号，口诀：奇负偶正 式子中所有正号可以直接去掉，不影响结果； 数清楚负号总个数：负号为偶数，结果为正；负号为奇数，结果为负。 例： -[-(+7)]，2 个负号，偶数，结果7； -[-(-5)]，3 个负号，奇数，结果-5。 (四）相反数核心等量关系 若a、b互为相反数，则 a+b=0； 反之，若a+b=0，则a、b互为相反数。 题型一：正负数概念与相反意义的量 1．在，，，，，，这些数中，正数有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在，，，，，，这些数中，正数有，，，共个． 2．下列选项中具有相反意义的量是（     ） A．气温上升和下降 B．胜1局和亏损1万元 C．盈利200元和支出300元 D．走了100米和跑了100米 【答案】A 【分析】根据相反意义的量需满足意义相反且为同一种类的量即可判断． 【详解】解：选项A：气温上升和下降意义相反，均为气温变化量，符合要求． 选项B：胜局属于比赛结果，亏损万元属于收支范畴，不是同类量，不符合． 选项C：盈利的相反意义是亏损，支出的相反意义是收入，二者不属同一属性的相反意义，不符合． 选项D：走米和跑米是不同的运动方式，不具有相反意义，不符合． 3．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成书于公元一世纪左右．全书共分为九章，总结了战国和秦汉时期的数学成就，内容十分丰富．在“方程”一章中，首次正式引入了负数的概念．如果将盈利500元记作元，那么元表示（    ） A．亏损700元 B．支出700元 C．亏损元 D．支出元 【答案】A 【分析】此题主要考查了正负数的意义，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：根据题意，盈利500元记作元， ∴元表示亏损700元， 故选：A． 题型二：正负数的实际应用 4．邢台市平乡县被誉为“中国童车之乡”．某童车厂仓库把童车入库记为正，出库记为负．若出库80辆记作“辆”，则“辆”表示（     ） A．出库60辆 B．出库辆 C．入库辆 D．入库60辆 【答案】D 【详解】解：若出库80辆记作“辆”，则“辆”表示入库60辆． 5．如表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，纵式和横式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是__________． 【答案】 【分析】根据表格所给的不同算筹符号分别对应到的数字和古人在个位数上划上斜线以表示负数，找出各数位对应的数字即可得到答案． 【详解】解：根据表格中的对应规则可知：百位数对应，十位数对应，个位数对应， 个位数上划上了斜线，说明此数是负数， 所以“”所表示的数是． 6．下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据表中给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市_____代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上） 城市 时差/h 纽约 悉尼 伦敦 罗马 【答案】C 【分析】本题考查正数与负数，根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】解：若以24小时制计时间， 第一个表的时间为8点或20点， 第二个表的时间为9点或21点， 第三个表的时间为4点或16点， 第四个表的时间为3点或15点， 第五个表的时间为6点或18点， 因为悉尼时间比北京时间多2个小时， 所以北京的时间只可能是4点或16点，此时E是悉尼，A是伦敦，B是罗马，D是纽约． 故答案为：C． 题型三：有理数的定义及分类 7．下列有关整数的说法中，正确的是（     ） A．整数由正整数和负整数组成 B．没有最大的整数，但有最小的整数 C．整数、分数和0统称为有理数 D．非负整数就是自然数 【答案】D 【分析】抓住0在数的分类中的归属，结合整数、有理数、自然数的定义判断各选项. 【详解】解：A选项：整数包括正整数、0、负整数，该说法遗漏0，错误. B选项：整数没有最大值，也没有最小值，错误. C选项：有理数是整数和分数的统称，0属于整数，分类重复，错误. D选项：非负整数包括0和正整数，与自然数范围一致，正确. 8．下列说法中，其中错误的有____________个 ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数； ④非负数就是正数； ⑤不仅是有理数，而且是分数； ⑥带“”号的数一定是负数； ⑦无限小数不都是有理数； ⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数． 【答案】6/六 【分析】本题考查了正负数的定义以及有理数的分类，熟练掌握相关概念和有理数分类解题关键．正数比0大，0比负数大；有理数的分类有两种，第一种是整数和分数，第二种是正有理数，0，负有理数．根据正负数的定义以及有理数的分类进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：负整数小于0，故0不是最小的整数，说法①错误； 有理数包括正数、负数和0，故说法②错误； 正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，故说法③错误； 非负数就是0和正数，故说法④错误； 不是有理数，故说法⑤错误； 如不是负数，带“”号的数不一定是负数，说法⑥错误； 无限小数包括无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数，故说法⑦正确； 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，说法⑧正确． 综上所述，错误的有①②③④⑤⑥． 故答案为：6． 9．下列各数（以此规律类推），下列说法正确的是（     ） A．只有5个分数 B．只有2个整数 C．只有2个负数 D．只有3个非负数 【答案】A 【分析】利用有理数的分类方法判断即可． 【详解】解：A、分数：，，，，，共5个，故此选项正确； B、整数：0，只有1个，故此选项错误； C、负数：，，，共3个，故此选项错误； D、非负数：，，，0，（以此规律类推），共5个，故此选项错误． 题型四：数轴的三要素及其画法 10．下列数轴画法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 数轴需具备原点、正方向和单位长度三要素， 项，到与到的距离不相等，单位长度不统一，故错误； 项，直线右端无箭头，缺少正方向，故错误； 项，具备原点、正方向、单位长度，且刻度均匀，故正确； 项，原点左侧数字标注顺序错误，应位于的左侧，故错误． 11．下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），解题的关键是依据三要素逐一验证选项是否符合数轴的定义． 明确数轴的三要素，依次检查各选项是否包含原点、正方向且单位长度均匀，从而选出符合数轴定义的选项． 【详解】解：选项A：缺少正方向（无箭头），不是数轴； 选项B：单位长度不均匀（“”到“0”的距离与“0”到“1”的距离不一致），不是数轴； 选项C：缺少原点（没有标注“0”），不是数轴； 选项D：包含原点（0）、正方向（右箭头）、单位长度均匀，符合数轴的定义． 故选D 12．已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）      A．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 C．小刚所在的位置对应的数有可能是 D．小颖和小红间的距离为7 【答案】C 【分析】根据数轴的定义：包含原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴，有理数的大小比较，数轴上两点之间距离：右边点表示的数减去左边点表示的数，即可判断． 【详解】解：A.小明所在的位置表示数，故此项结论正确； B.四人自南向北，且由南向北表示的数越来越大，所以向北为正方向，故此项结论正确； C.小刚所在的之位置对应的数在与之间，而在与之间，故此项结论错误； D.小颖和小红间的距离为，故此项结论正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数轴的定义，在数轴上比较两数大小，数轴上两点之间的距离，理解定义，能根据图形提供的信息解题是解题的关键． 题型五：用数轴上的点表示有理数 13．点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设点表示的数为， 由数轴可知，， 观察四个选项可知，只有选项B符合． 14．如图，在数轴上表示2.4的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】先确定2.4所在的区间范围，再匹配数轴上对应的点即可． 【详解】解：由数轴可知表示2.4的点应在数轴上2和3之间的位置． 所以，在数轴上表示2.4的点是点． 15．如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，正方形滚动一周的长度为4，从到2024共滚动2026个单位长度，由，即可作出判断． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合， 故选：C． 题型六：利用数轴比较有理数的大小 16．在数轴上，表示数的点在表示数的点的左侧，且，均不为0．下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵数轴上表示数的点在表示数的点的左侧， ∴，故A正确，B错误； 若，，满足数的点在表示数的点的左侧，且，均不为0， ∴，，故C错误； 若，，满足数的点在表示数的点的左侧，且，均不为0， ∴，故D错误． 17．实数a，b在数轴上所表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，且， ∴． 18．已知有理数满足，在数轴上，表示和的两点之间只有两整数、（不包括和），下面有三个结论：①a的值可以是；②；③，所有正确结论的序号为（   ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】A 【分析】此题考查有理数与数轴上点的对应关系，比较有理数的大小，由条件且a与之间只有两个整数（不包括端点），推导出a的取值范围为，此时之间的整数必为0和1，从而验证各结论 【详解】∵，在数轴上，表示和的两点之间只有两整数、（不包括端点）， ∴ （若，则之间整数多于两个），且（若，则之间整数少于两个）， 即 当时，，之间整数为0和1，符合条件，故①正确； ∵ 之间整数恒为0和1， ∴ ，故②正确； ，故③正确； ∴ ①②③均正确， 故选：A 题型七：数轴上两点之间的距离 19．如图，数轴上两点的距离为点表示的数为，点在点的右侧，则点表示的数为（   ） A． B．5 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离． 根据数轴上两点间的距离公式作答即可． 【详解】解：∵数轴上两点的距离为点表示的数为，点在点的右侧， ∴点表示的数为． 故选：B． 20．在数轴上的点到表示的点的距离是5，那么点表示的数是（   ） A．5 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴； 根据数轴上两点间的距离列式计算即可． 【详解】解：∵点到表示的点的距离是5， ∴点表示的数是或 故选：D． 21．如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A，B，C，D，先让正方形上的顶点A与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2026将与正方形上的哪个字母重合（     ） A．字母A B．字母B C．字母C D．字母D 【答案】B 【分析】计算起点到终点的距离，利用正方形周长为4的周期性，通过余数判断对应顶点即可． 【详解】解：∵正方形边长为1， ∴正方形周长为4， ∵起点对应数，终点对应数2026， ∴滚动的总距离为， ∵， ∴数轴上的数2026对应的点与正方形滚动1个单位长度后落在数轴上的顶点重合， ∵正方形顺时针滚动，起始点为，则滚动1个单位长度后落在数轴上的点为， ∴数轴上的数2026将与正方形上的字母重合． 题型八：数轴上点的平移 22．数轴上点A表示的数是，将点A向右移动2个单位长度后得到点B，此时点B表示的数是（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查数轴上点的平移，熟练掌握平移规则是解题的关键． 根据数轴上点的移动规则，向右移动时数值增加，向左移动时数值减少，即可得点表示的数． 【详解】解：∵点表示的数是，将点A沿数轴向右移动2个单位长度得到点， ∴点表示的数是． 故选：A． 23．为数轴上表示的点，将点移动个单位长度到点，则点所表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，关键在于掌握数轴上的点平移时数的大小变化规律． 分为当点向左移动个单位长度和当点向右移动个单位长度，两种情况进行分析即可． 【详解】解：∵为数轴上表示的点，将点移动个单位长度到点， ∴当点向左移动个单位长度时，点为； 当点向右移动个单位长度时，点为． 故选：C． 24．数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移（动点问题），由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，推出开始运动后，，即可求解． 【详解】解：由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，， 开始运动后，， ∵， ∴，整理得：； ∵在运动过程中始终满足， ∴，解得：， 故选：C． 题型九：数轴上找原点 25．如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【答案】A 【详解】解：∵B点表示的数为正数， ∴原点在B点的左边， ∴可以是原点的为点A． 26．如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上找原点，据中点求出点表示的数，进而即可求解，理解中点和数轴的定义是解题的关键． 【详解】解：是线段的中点， 点表示的数是， ∴原点位于线段上，且靠近点， 故选：． 27．如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的点的特征，熟悉相关性质是解题的关键．根据数轴上点的位置和有理数加法的性质，即可判断原点可能的位置． 【详解】解：若A点为原点，则，，，故符合题意； 若B点为原点，则，，无法判断，故不符合题意； 若C点为原点，则，，，故不符合题意； 若D点为原点，则，，，故不符合题意； 故选：A． 题型十：数轴上整点覆盖问题 28．数轴上表示整数的点称为整点，若在数轴上任意画一条长为3个单位长度的线段，则线段盖住的整数点个数共有（     ） A．1个或2个 B．2个或3个 C．4个或3个 D．5个或4个 【答案】C 【详解】解：当线段的起点在整点时，覆盖4个数，当线段的起点不在整点时，即在两个整点之间时覆盖3个数． 综上可知，线段盖住的整点个数共有4个或3个． 29．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2028的点与圆周上重合的点表示的数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算到数轴上表示2028的点经过了多少个周期，根据余数判断此时圆周上重合的数字． 【详解】解：∵，， ∴数轴上表示2028的点为第508个周期上的第3个数， ∴数轴上表示2028的点与圆周上重合的点表示的数字是2． 30．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2024厘米的线段，则线段盖住的整点个数是（     ） A．2021或2022 B．2022或2023 C．2023或2024 D．2024或2025 【答案】D 【分析】分线段的端点是否与整点重合两种情况讨论求解． 【详解】解：若线段的端点恰好与整点重合， 设点表示整数，则点表示整数，盖住的整点个数为． 若线段的端点不与整点重合， 设点在整点与之间，则点在整点与之间，盖住的整点为从到的所有整数，共2024个． ∴线段盖住的整点个数为2024或2025． 题型十一：数轴上的规律探究 31．正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组是解题的关键．由图可知正方形边长为1，当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1，可知其四次一循环，由此可确定出2024所对应的点． 【详解】解：当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1， 每4次翻转为一个循环组， ， 与2024对应的点是点． 故选：B． 32．电子跳蚤从数轴上表示的点出发，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，，按此规律，跳完第次后，它落在数轴上表示的数是______． 【答案】 【详解】解：向右移动个单位长度可表示为，向左移动个单位长度可表示为， ∴当它跳第次落下时，落点在数轴上表示的数是： ． 33．正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2029所对应的顶点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】根据正六边形翻转规律，确定数轴上整数点对应的顶点呈周期性变化，周期为6，据此解答即可． 【详解】解：由题意得，点，，，，，对应的数分别为0，1，2，3，4，5， 点再次对应的数为6，点再次对应的数为7， 顶点对应的数以6为周期循环， ， 数2029对应的顶点与数1对应的顶点相同，即为点A． 题型十二：绝对值的几何意义 34．若，则x等于（     ） A．5 B． C． D．0或5 【答案】C 【分析】根据，，可得，即可根据绝对值的意义求解． 【详解】解：， ， ． 35．已知是最大的负整数，和互为相反数，的绝对值为，，可以推断出________，这四个数的绝对值之和等于________． 【答案】 四个数的绝对值之和为7 【分析】先确定的值，利用相反数性质得到和的关系，再结合已知乘积等式和的绝对值推导的取值，最后计算四个数的绝对值之和． 【详解】解：是最大的负整数， ． 和互为相反数， ． ， ． 将，代入得：， 化简得． ，且乘积， ，结合得． 将代入得，解得，即． ， ， 计算四个数的绝对值之和：． 36．下列结论成立的是（     ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：A、若，则，原结论不成立； B、若，则或，原结论成立； C、若，则，原结论不成立； D、若满足，但是，原结论不成立． 题型十三：求一个数的绝对值 37．已知，下列四个结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的绝对值． 由x的取值范围可知，x不包括端点，绝对值非负且小于5，且可取0． 【详解】解：∵， ∴，且， ∴． 故选：C． 38．若a≠0，则的值为（　　） A．2 B．0 C．±1 D．0或2 【答案】D 【分析】对的大小进行分类讨论去绝对值即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 故选：D． 【点睛】本题考查求一个数的绝对值，①当a是正数时，；②当a是负数时，． 39．如果m是负数，且，那么______． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义得到的所有可能值，再结合为负数的条件确定最终结果． 【详解】解：， ， 是负数， ． 题型十四：绝对值非负性 40．已知为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（     ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】B 【分析】根据绝对值的非负性，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴当时，的值最大为． 41．关于，下列说法正确的是（     ） A．当时，有最大值9 B．当时，有最小值13 C．当时，有最小值9 D．当时，有最大值13 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，有最小值9． 42．若与b互为相反数，则a______b（用“”“”“”“”填空）． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，根据绝对值的非负性，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵与b互为相反数， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 题型十五：绝对值的其他应用 43．绝对值不小于2且小于的负整数是_______． 【答案】，，， 【分析】本题考查绝对值和有理数大小比较，关键是掌握绝对值的性质；找出绝对值不小于2且小于的所有负整数即可得解． 【详解】解：绝对值不小于2且小于的整数包括：，，，， ∴绝对值不小于2且小于的负整数有：，，，． 故答案为：，，，． 44．式子|x﹣3|+|x+4|有最小值，其最小值是___． 【答案】7 【分析】|x﹣3|+|x+4|表示在数轴上表示数x的点到表示数3与表示数﹣4的距离之和，因此当x在3与﹣4之间时，这个距离之和最小，最小值为3与﹣4之间的距离7． 【详解】解：|x﹣3|+|x+4|表示在数轴上表示数x的点到表示数3的点与表示数﹣4的点的距离之和， 因此当﹣4≤x≤3时，这两个距离之和就是表示数3的点与表示数﹣4的点之间的距离，为7，即：|x﹣3|+|x+4|＝7， 当x＜﹣4或x＞3时，这两个距离之和都会大于表示数3的点与表示数﹣4的点的距离，即：|x﹣3|+|x+4|＞7， ∴当﹣4≤x≤3时，|x﹣3|+|x+4|有最小值，最小值是7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义．解题的关键是明确数轴表示数的意义和方法，理解数轴上两点距离的计算方法是正确计算的前提． 45．若x为任意有理数，│x│表示在数轴上x到原点的距离，│x－a│表示在数轴上x到a的距离，│x－3│+│x+1│的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据表示数轴上与两数对应的点之间的距离，可知当处于3和中间时，取得最小值，即为数轴上3和之间的距离． 【详解】解：表示数轴上与两数对应的点之间的距离， 表示数轴上数与3和数与对应的点之间的距离之和， 当时，代数式有最小值，最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴上的两点之间的距离，明确表示数轴上与两数对应的点之间的距离是解题的关键． 题型十六：有理数大小比较 46．在下列各数中，比小的数是（     ） A．2025 B． C．2027 D． 【答案】D 【分析】比小的数是绝对值大于的负数． 【详解】解：∵ ，， ∴ 排除选项A,C. ∵ ， ∴ ，排除选项B． ∵ ， ∴ ． 47．把、、这三个数按从大到小的顺序排列 _____． 【答案】 【分析】本题考查了百分数、分数与小数的互化及大小比较，解题的关键是将百分数、分数统一转换为小数形式，再通过比较小数大小确定原数的排列顺序． 先将百分数转换为小数，再将分数转换为小数（保留多位小数便于精确比较）；最后将转换后的小数与比较大小，按从大到小排列原数． 【详解】解：转换百分数：； 转换分数：； 比较小数大小：， 对应原数为． 故答案为：． 48．下列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，正数大于零，负数小于零；负数的绝对值越大，这个数反而越小．据此一一判断各选项即可． 【详解】解：A、因为，，，所以即，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项正确，符合题意； D、、，即，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 题型十七：有理数大小比较的实际应用 49．以下是四个城市某一天同一时刻的气温，其中气温最高的是（     ） A．保定 B．承德 C．石家庄 D．张家口 【答案】A 【分析】四个气温均为负有理数，通过比较绝对值大小确定最大数值，对应最高气温． 【详解】解：∵，，，，， ∴，即保定气温最高． 50．小杰自行车上的一个螺帽松了，他准备用扳手紧一下．他拿了一套扳手，它们的尺寸大小分别是：，，，，，，小杰用的扳手太小，用的扳手太大，那么选项中的扳手，小杰不可以选择（     ）的扳手． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过通分统一分母，比较各选项尺寸与、的大小，找出不符合可用范围的选项． 【详解】解：将和通分为分母是64的分数： ，， ∴可用扳手尺寸需满足尺寸， ∵， ∴小杰不可以选择的扳手． 51．某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（    ） A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折 C．先提价，再降价 D．先提价，再降价 【答案】B 【分析】设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可． 【详解】设原件为x元， ∵先打九五折，再打九五折， ∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元， ∵先提价，再打六折， ∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元， ∵先提价，再降价， ∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元， ∵先提价，再降价， ∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元， ∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x 故选B 【点睛】本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，并能进行有理数大小的比较是解题的关键． 题型十八：相反数的定义及应用 52．若A代表一个数，满足．从相反数的角度来看，A代表的数是(      ) A．2027 B． C． D． 【答案】B 【分析】互为相反数的两个数相加和为0，据此即可解答． 【详解】解：∵，从相反数的角度来看，2027与A互为相反数， ∴A代表． 53．下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（     ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据0的相反数是0；互为相反数的两个数的和为0，对各说法进行判断作答即可． 【详解】解：若a、b互为相反数，则，正确，故①符合要求； 若，则a、b互为相反数，正确，故②符合要求； 若a、b互为相反数，当时，无意义，故③说法错误，不符合要求； 若，则，即，a、b互为相反数，正确，故④符合要求； 综上，正确的结论是①②④． 54．一个数的平方与绝对值都是它的相反数，这个数是__． 【答案】0或/或0 【分析】因为一个数的平方与绝对值都是非负数，而且这个非负数等于它的相反数，所以这个数一定是非正数，即0或负数，然后分别对0和负数进行分析，即可得答案． 【详解】解：一个数的平方与绝对值都是非负数，而且这个非负数等于它的相反数， 这个数一定是非正数，即0或负数， 的相反数也是0， 0符合题意； 任何一个负数的绝对值都等于它的相反数，一个负数的平方等于它的相反数的只有， 符合题意， 综上所述，这个数是0或， 故答案为：0或． 【点睛】本题主要考查平方和绝对值的非负性，解题的关键是要进行严格地分析，不出现漏解． 55．用“”与“”表示一种法则：，，如：，则________． 【答案】 【分析】本题为新定义运算题，先根据运算法则计算两个括号内的结果，再计算外层运算得到最终结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式转化为， ∵， ∴． 题型十九：化简多重符号 56．化简：________． 【答案】 【详解】解：． 57．化简的结果是________． 【答案】 【分析】首先根据在一个数的前面添加一个负号等于求这个数的相反数，把中括号去掉，再根据绝对值的定义求出结果． 【详解】解： ． 58．用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则______． 【答案】2025 【详解】解： ． 59．下列各组数中，值相等的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题主要考查的是相反数和绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．根据相反数的定义以及绝对值的性质解答即可． 【详解】解：，，不符合题意； ，，不符合题意； ，，不符合题意； ，，符合题意； 故选D． 解答题 60．把下列各数的序号填入相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩ 负有理数集合：{__________________…}；     非负整数集合：{__________________…}； 负分数集合：{__________________…}； 正数集合：{__________________…} 【答案】①⑥⑦⑨…；④⑤…；⑥⑦⑨…；②③⑤⑧⑩… 【详解】解：负有理数集合：{①⑥⑦⑨…}； 非负整数集合：{④⑤…}； 负分数集合：{⑥⑦⑨…}； 正数集合：{②③⑤⑧⑩…} 61．如图，点在数轴上，点表示的数是，点表示的数是． (1)点表示的数为____，点表示的数为____； (2)在数轴上表示出点，点； (3)将点表示的数由小到大排列出来． 【答案】(1)解：由数轴知，点表示的数为，点表示的数为； (2)解：如图即为所求， (3)解：由数轴知，． 【分析】（1）从数轴上直接写出即可； （2）根据题中点，点表示的数，直接在数轴上表示即可； （3）由点在数轴上的位置比较大小即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 62．下表是某年1月份我国几个城市的平均气温，请将各城市的平均气温按从高到低的顺序排列． 北京 上海 沈阳 广州 济南 【答案】 广州、上海、济南、北京、沈阳． 【详解】 解： 各城市平均气温分别为：北京，上海，沈阳，广州，济南． ∵，，，，， ∴， ∴． 答：各城市平均气温从高到低排列为广州、上海、济南、北京、沈阳． 63．如图所示，点、、、在数轴上对应的数分别为、、、，其中是最大的负整数，、满足，且． (1)________；________；线段________； (2)若点在线段上移动，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍时，则点在数轴上表示的数为多少？请算出来． 【答案】(1)，， (2)点在数轴上表示的数为或或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的非负性，解题的关键是利用分类讨论的思想求解． （1）根据最大的负整数为可求出的值，再根据非负性求出，，最后根据数轴上两点间的距离公式求出； （2）先求出，再分当时，当时，当时，求出，最后根据两点间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：是最大的负整数， ， ， ，， 解得，， ， 故答案为：，，； （2），， ， 当时，则， 点表示的数为； 当时，则， 点表示的数为； 当时，则， 点表示的数为； 综上所述，点在数轴上表示的数为或或． 64．如图，数轴上的点A，B分别表示有理数a，b，且，． (1)求a，b的值； (2)A，B两点相距多少个单位长度？ (3)若点C在点A、B之间，且点C到点B的距离是点C到点A的距离的，求点C表示的数； (4)点P从点A出发，第1次向左移动1个单位长度，第2次向右移动2个单位长度，第3次向左移动3个单位长度，第4次向右移动4个单位长度，…，依次操作2025次后，求点P表示的数． 【答案】(1)， (2)A，B两点相距3个单位长度 (3) (4)操作2025次后点P表示的数为 【分析】（1）根据绝对值性质确定a、b的可能取值，结合数轴判断a、b的符号； （2）明确数轴两点距离计算方法，代入数值计算即可； （3）设未知数表示点C对应的数，表示出点C到A、B的距离，根据题意列等式，分类讨论去绝对值求解； （4）列出移动后点P表示的数的算式，分组找规律计算，计算出最终结果． 【详解】（1）解：∵，，且由数轴可知， ∴，． （2） 答：A，B两点相距3个单位长度． （3）设点C表示的数为x，由题意得： 即 则或 解得或． ∵点C在点A、B之间，即， ∴． （4）点P初始位置为，每次移动对应加减移动距离，因此2025次操作后点P表示的数为： 观察算式，从第二项起每相邻两项为一组，每组的和为1： ，，…， 共有组，因此分组部分的和为； 最终结果为：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $