2026-2027学年北师大版九年级数学上册 期中测试卷（第一套）（考查范围：第一章至第三章）

学校＿＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿＿　考号＿＿＿＿＿＿＿ 2026—2027 学年上学期九年级数学期中测试卷（第一套） 北师大版九年级上册数学（2026 秋版新教材） 考查范围：第一章　特殊平行四边形　第二章　一元二次方程　第三章　图形的相似　　时间：120 分钟　　满分：120 分 题序 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（　　） A. x²＋2x－1＝0　　　　B. x²＋2y－1＝0　　　　C. x(x²－1)＝2　　　　D. x²＋2÷x＝5 2. 若菱形的边长为 5，一条对角线的长为 6，则它的另一条对角线的长为（　　） A. 4　　　　B. 6　　　　C. 8　　　　D. 10 3. 下列命题中，真命题的个数是（　　） ① 四个角都相等的四边形是矩形；② 对角线互相垂直的四边形是菱形； ③ 既是菱形又是矩形的四边形是正方形；④ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 A. 1 个　　　　B. 2 个　　　　C. 3 个　　　　D. 4 个 4. 用配方法解方程 x²＋6x－7＝0 时，原方程可变形为（　　） A. (x＋3)²＝16　　　　B. (x＋3)²＝2　　　　C. (x－3)²＝16　　　　D. (x＋6)²＝16 5. 若关于 x 的一元二次方程 x²－4x＋m＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　　） A. m＜4　　　　B. m＞4　　　　C. m≤4　　　　D. m≥4 6. 已知 △ABC∽△DEF，且相似比为 1:3，若 △ABC 的面积为 12，则 △DEF 的面积为（　　） A. 36　　　　B. 48　　　　C. 72　　　　D. 108 7. 如图，在 △ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 DE∥BC。若 AD＝2，DB＝4，AE＝3，则 EC 的长为（　　） A. 4　　　　B. 5　　　　C. 6　　　　D. 9 8. 在同一时刻，一根长为 1.5 m 的直立标杆在地面上的影长为 2.5 m。此时测得一棵树在地面上的影长为 12 m，则这棵树的高度为（　　） A. 6.5 m　　　　B. 7.2 m　　　　C. 8 m　　　　D. 20 m 9. 某商品原价为 200 元，经过连续两次降价后售价为 162 元。若每次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为 x，则可列方程为（　　） A. 200(1－x)²＝162　　　　B. 200(1＋x)²＝162 C. 200(1－2x)＝162　　　　D. 200(1－x²)＝162 10. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 BC 的中点，连接 AE；过点 B 作 BG⊥AE，垂足为 F，BG 交 CD 于点 G，则 CG 的长为（　　） A. 1　　　　B. 1.5　　　　C. 2　　　　D. 2.5 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 已知 x₁、x₂ 是方程 x²－5x＋3＝0 的两个实数根，则 x₁＋x₂－x₁x₂ 的值为＿＿＿＿。 12. 若菱形的周长为 20，一条对角线的长为 6，则这个菱形的面积为＿＿＿＿。 13. 在 △ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 DE∥BC。若 AD:DB＝2:3，则 △ADE 与四边形 DBCE 的面积比为＿＿＿＿。 14. 用一段长为 40 m 的篱笆靠一面足够长的墙围成一个矩形花园（墙作为矩形的一面），若花园的面积为 200 m²，则这个矩形垂直于墙的一边的长为＿＿＿＿m。 15. 已知 △ABC 与 △DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形，且 OA:OD＝3:7。若 △ABC 的周长为 21，则 △DEF 的周长为＿＿＿＿。 16. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 运动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向点 C 运动，设运动时间为 t 秒（0＜t＜2）。当 △PBQ 的面积为 3 时，t 的值为＿＿＿＿。 三、解答题（本题共 8 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（8 分）按要求解下列一元二次方程： (1) x²＋4x－2＝0（请用配方法）； (2) 3x²－5x－2＝0（请用因式分解法）。 18.（8 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点，连接 EF、FG、GH、HE。 (1) 求证：四边形 EFGH 是菱形； (2) 若 AB＝6，BC＝8，求四边形 EFGH 的周长。 19.（8 分）如图，已知线段 a 和 b（a＞b）。 (1) 求作：菱形 ABCD，使它的边长等于 a，对角线 AC 等于 b（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2) 若 a＝10，b＝12，求所作菱形 ABCD 的面积。 20.（9 分）某文具店购进一批笔记本，进价为每本 8 元。若按每本 12 元出售，平均每月可售出 300 本；经调查发现，售价每提高 1 元，平均每月销量就减少 20 本（售价为整数元）。 (1) 若按每本 12 元出售，求该文具店销售这种笔记本的月利润； (2) 若要使销售这种笔记本的月利润达到 1560 元，且要尽量减少库存积压，则这种笔记本每本的售价应定为多少元？ 21.（9 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且 BE＝CF，连接 AE、BF，AE 与 BF 交于点 G。 (1) 求证：AE＝BF； (2) 求证：AE⊥BF； (3) 若正方形的边长为 10，BE＝5，求 AG 的长。 22.（9 分）已知关于 x 的一元二次方程 x²－(k＋2)x＋2k＝0。 (1) 求证：无论 k 取何值，这个方程总有两个实数根； (2) 若这个方程的两个实数根分别是一个矩形相邻两边的长，且该矩形的周长为 14，求 k 的值，并求出这个矩形的面积。 23.（10 分）如图，要测量河两岸相对的 A、B 两点之间的距离（点 B 在对岸，不能直接到达）。测量的同学在点 A 所在的河岸沿垂直于 AB 的方向前进 20 m 到达点 C，再沿原方向继续前进 5 m 到达点 D；然后过点 D 作 DE⊥AD，并沿 DE 前进到点 E，测得 DE＝6 m，此时 B、C、E 三点恰好在同一条直线上。求 A、B 两点之间的距离。 24.（11 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝12。点 P 从点 C 出发，沿 CB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 运动；同时点 Q 从点 A 出发，沿 CA 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动。当点 Q 到达点 C 时，两点同时停止运动。设运动时间为 t 秒（0＜t＜4），连接 PQ。 (1) 当 t 为何值时，PQ∥AB？ (2) 当 t 为何值时，△CPQ 的面积等于 2？ (3) 是否存在时刻 t，使得以 C、P、Q 为顶点的三角形与 △ABC 相似？若存在，直接写出所有满足条件的 t 的值；若不存在，请说明理由。 参考答案与详解 一、选择题 1．【答案】A 【详解】一元二次方程必须同时满足：只含一个未知数、未知数的最高次数是2、是整式方程。 A 项符合；B 项含有 x、y 两个未知数；C 项化简后为 x³－x－2＝0，最高次数是 3；D 项中 2÷x 不是整式，不是整式方程。故选 A。 2．【答案】C 【详解】菱形的对角线互相垂直平分。设两条对角线交于点 O，则 AO＝6÷2＝3，BO＝√(5²－3²)＝4。 所以另一条对角线 BD＝2BO＝8。故选 C。 3．【答案】C 【详解】① 四个角都相等时，每个角为 360°÷4＝90°，是矩形，正确； ② 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（还需是平行四边形），错误； ③ 既是菱形又是矩形的四边形四边相等且四角为直角，是正方形，正确； ④ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确。真命题共 3 个。故选 C。 4．【答案】A 【详解】移项得 x²＋6x＝7；两边同时加上一次项系数一半的平方 9，得 x²＋6x＋9＝7＋9，即 (x＋3)²＝16。故选 A。 5．【答案】A 【详解】判别式 Δ＝(－4)²－4×1×m＝16－4m。 因为方程有两个不相等的实数根，所以 Δ＞0，即 16－4m＞0，解得 m＜4。故选 A。 6．【答案】D 【详解】相似三角形的面积比等于相似比的平方。相似比为 1:3，所以面积比为 1:9。 故 S△DEF＝12×9＝108。故选 D。 7．【答案】C 【详解】因为 DE∥BC，由平行线分线段成比例得 AD:AB＝AE:AC，即 2:6＝3:AC，解得 AC＝9。 所以 EC＝AC－AE＝9－3＝6。故选 C。 8．【答案】B 【详解】同一时刻，物体的高度与影长成正比例（太阳光线是平行的）。设树高为 h m， 则 1.5:2.5＝h:12，解得 h＝12×1.5÷2.5＝7.2。故选 B。 9．【答案】A 【详解】第一次降价后的售价为 200(1－x) 元；第二次在 200(1－x) 的基础上再降价 x，售价为 200(1－x)² 元， 由题意得 200(1－x)²＝162。故选 A。 10．【答案】C 【详解】因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AB＝BC，∠ABE＝∠BCG＝90°。 因为 BG⊥AE，所以 ∠BAE＋∠ABG＝90°；又 ∠ABG＋∠CBG＝∠ABC＝90°，所以 ∠BAE＝∠CBG。 在 △ABE 和 △BCG 中，∠ABE＝∠BCG＝90°，AB＝BC，∠BAE＝∠CBG，所以 △ABE≌△BCG， 所以 CG＝BE。因为 E 是 BC 的中点，BC＝4，所以 BE＝2，即 CG＝2。故选 C。 二、填空题 11．【答案】2 【详解】由根与系数的关系：x₁＋x₂＝5，x₁x₂＝3。 所以 x₁＋x₂－x₁x₂＝5－3＝2。 12．【答案】24 【详解】菱形周长为 20，所以边长为 20÷4＝5。设对角线交于点 O，则 AO＝6÷2＝3。 由菱形对角线互相垂直，得 BO＝√(5²－3²)＝4，所以另一条对角线 BD＝8。 菱形面积＝两条对角线乘积的一半＝6×8÷2＝24。 13．【答案】4:21 【详解】因为 DE∥BC，所以 △ADE∽△ABC。由 AD:DB＝2:3 得 AD:AB＝2:5，即相似比为 2:5。 所以 S△ADE:S△ABC＝4:25。 所以 S△ADE:S四边形DBCE＝4:(25－4)＝4:21。 14．【答案】10 【详解】设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的一边长为 (40－2x) m。 由题意得 x(40－2x)＝200，整理得 x²－20x＋100＝0，即 (x－10)²＝0，解得 x＝10。 此时另一边长为 40－2×10＝20 m，符合实际。所以垂直于墙的一边长为 10 m。 15．【答案】49 【详解】位似图形是特殊的相似图形，OA:OD＝3:7 就是相似比。 相似三角形的周长比等于相似比，所以 C△DEF＝21×7÷3＝49。 16．【答案】1 【详解】运动 t 秒后，AP＝t，BQ＝2t，所以 PB＝4－t。 S△PBQ＝PB×BQ÷2＝(4－t)×2t÷2＝t(4－t)。 令 t(4－t)＝3，整理得 t²－4t＋3＝0，解得 t₁＝1，t₂＝3。 因为 0＜t＜2，所以 t＝1。 三、解答题 17．【答案】(1) x₁＝－2＋√6，x₂＝－2－√6；(2) x₁＝2，x₂＝ 【详解】(1) 移项，得 x²＋4x＝2。 配方（两边同时加上 2²＝4），得 x²＋4x＋4＝2＋4，即 (x＋2)²＝6。 开平方，得 x＋2＝±√6，所以 x₁＝－2＋√6，x₂＝－2－√6。 (2) 因式分解，得 (3x＋1)(x－2)＝0。 于是 3x＋1＝0 或 x－2＝0，所以 x₁＝2，x₂＝。 18．【答案】(1) 见详解；(2) 周长为 20 【详解】(1) 因为 E、H 分别是 AB、AD 的中点，所以 EH 是 △ABD 的中位线， 所以 EH∥BD，EH＝BD÷2。同理，FG∥BD，FG＝BD÷2。 所以 EH∥FG 且 EH＝FG，所以四边形 EFGH 是平行四边形。 又因为 E、F 分别是 AB、BC 的中点，所以 EF 是 △ABC 的中位线，EF＝AC÷2。 因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AC＝BD，所以 EF＝EH。 所以平行四边形 EFGH 是菱形。 (2) 因为 AB＝6，BC＝8，且 ∠B＝90°，由勾股定理得 AC＝√(6²＋8²)＝10，所以 BD＝AC＝10。 所以 EH＝BD÷2＝5，即菱形 EFGH 的边长为 5， 周长＝4×5＝20。 19．【答案】(1) 作图见详解（作图正确、保留痕迹即可）；(2) 面积为 96 【详解】(1) 作法步骤如下（作图时必须保留画弧的痕迹）： ① 用直尺作线段 AC＝b； ② 分别以点 A、C 为圆心、以 a 为半径作弧，两弧在直线 AC 的上方交于点 B； ③ 再在直线 AC 的下方取两弧的交点 D； ④ 顺次连接 AB、BC、CD、DA，则四边形 ABCD 就是所求作的菱形。 作图依据：由作法可知 AB＝BC＝CD＝DA＝a，即四条边都相等，而四条边都相等的四边形是菱形，且对角线 AC＝b，完全符合题意。 易错提醒：两条弧的上下两个交点都要取，缺一个点就构不成菱形；连接四条边前不要先擦去弧线痕迹。 (2) 连接 BD，设 BD 交 AC 于点 O。因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO。 因为 AC＝12，所以 AO＝AC÷2＝6。在 Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，AB＝10， 由勾股定理得 BO＝√(AB²－AO²)＝√(100－36)＝√64＝8，所以 BD＝2BO＝16。 菱形的面积＝两条对角线乘积的一半＝AC×BD÷2＝12×16÷2＝96。 方法总结：菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形，用“对角线乘积的一半”求面积最简便；也可以先求出一条对角线，再用勾股定理验证。 20．【答案】(1) 1200 元；(2) 售价应定为 14 元 【详解】(1) 每本利润为 12－8＝4 元，月销量 300 本， 月利润＝4×300＝1200（元）。 (2) 设每本售价提高 x 元（x 为非负整数），则每本利润为 (4＋x) 元，月销量为 (300－20x) 本。 由题意得 (4＋x)(300－20x)＝1560， 整理得 x²－11x＋18＝0，因式分解得 (x－2)(x－9)＝0，解得 x₁＝2，x₂＝9。 当 x＝2 时，售价为 14 元，月销量为 260 本；当 x＝9 时，售价为 21 元，月销量为 120 本。 因为要尽量减少库存积压，即销量要尽可能大，所以取 x＝2，售价为 14 元。 （检验：售价为 14 元时，月利润＝6×260＝1560 元，符合题意。） 21．【答案】(1) 见详解；(2) 见详解；(3) AG＝4√5 【详解】(1) 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°。 在 △ABE 和 △BCF 中，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，BE＝CF， 所以 △ABE≌△BCF（SAS），所以 AE＝BF。 (2) 由 △ABE≌△BCF 得 ∠BAE＝∠CBF。 在 Rt△ABE 中，∠BAE＋∠AEB＝90°；又 ∠ABG＋∠CBF＝∠ABC＝90°， 所以 ∠ABG＝90°－∠CBF＝90°－∠BAE。 在 △ABG 中，∠AGB＝180°－∠BAG－∠ABG＝180°－∠BAE－(90°－∠BAE)＝90°， 所以 AE⊥BF。 (3) 由 (2) 知 ∠AGB＝90°，所以 ∠AGB＝∠ABE＝90°；又 ∠BAG＝∠BAE（公共角）， 所以 △ABG∽△AEB，所以 AG:AB＝AB:AE，即 AG＝AB²÷AE。 在 Rt△ABE 中，AB＝10，BE＝5，由勾股定理得 AE＝√(10²＋5²)＝√125＝5√5。 所以 AG＝10²÷(5√5)＝100÷(5√5)＝20÷√5＝4√5。 22．【答案】(1) 见详解；(2) k＝5，面积为 10 【详解】(1) 判别式 Δ＝[－(k＋2)]²－4×1×2k＝(k＋2)²－8k＝k²＋4k＋4－8k＝k²－4k＋4＝(k－2)²。 因为无论 k 取何值，都有 (k－2)²≥0，即 Δ≥0， 所以无论 k 取何值，这个方程总有两个实数根。 (2) 设方程的两个实数根为 x₁、x₂，由根与系数的关系得 x₁＋x₂＝k＋2。 因为矩形相邻两边之和为周长的一半，即 x₁＋x₂＝14÷2＝7， 所以 k＋2＝7，解得 k＝5。 此时方程为 x²－7x＋10＝0，因式分解得 (x－2)(x－5)＝0，解得 x₁＝2，x₂＝5（均为正数，符合实际）。 所以矩形的面积＝2×5＝10。 23．【答案】A、B 两点之间的距离为 24 m 【详解】因为 AB⊥AD，DE⊥AD，所以 AB∥DE，所以 ∠CAB＝∠CDE＝90°。 因为 A、C、D 在一条直线上，B、C、E 在一条直线上， 所以 ∠ACB＝∠DCE（对顶角相等）。 所以 △CDE∽△CAB（两角分别相等的两个三角形相似）。 所以 CD:CA＝DE:AB，即 5:20＝6:AB。 解得 AB＝6×20÷5＝24，即 A、B 两点之间的距离为 24 m。 24．【答案】(1) t＝3；(2) t＝2；(3) 存在，t＝1 或 3 【详解】运动 t 秒时，CP＝t，AP＝t，所以 CQ＝4－t。 (1) 因为 PQ∥AB，所以 △CPQ∽△CAB， 所以 CP:CB＝CQ:CA，即 t:12＝(4－t):4， 所以 4t＝12(4－t)，即 16t＝48，解得 t＝3（0＜3＜4，符合题意）。 (2) 因为 ∠C＝90°，所以 S△CPQ＝CP×CQ÷2＝t(4－t)÷2。 令 t(4－t)÷2＝2，即 t(4－t)＝4，整理得 t²－4t＋4＝0，即 (t－2)²＝0， 解得 t＝2（0＜2＜4，符合题意）。 (3) 存在。△CPQ 与 △CAB 都是直角三角形，且直角都在点 C 处，分两种情况讨论： ① 若 CP 与 CA 对应、CQ 与 CB 对应，则 CP:CA＝CQ:CB， 即 t:4＝(4－t):12，所以 12t＝4(4－t)，即 16t＝16，解得 t＝1； ② 若 CP 与 CB 对应、CQ 与 CA 对应，则 CP:CB＝CQ:CA， 即 t:12＝(4－t):4，所以 4t＝12(4－t)，即 16t＝48，解得 t＝3。 因为 0＜t＜4，t＝1 与 t＝3 均符合题意，所以存在，t＝1 或 3。 学科网（北京）股份有限公司 $