第二十五章一元二次方程 复习练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十五章 一元二次方程 学科网（北京）股份有限公司 运用根的定义求值 中考热点(整体思想 1.已知m是方程 的一个根，求代数式(m+ 的值. 中考热点 ② 降次思想 2.若m 是方程 的一个根，求代数式 的值. 配方的应用 中考热点 ① 阅读理解 3.“a²≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式. 例如： 试用“配方法”证明：代数式 的最小值是11. 中考热点 ② 配方后根据非负性求值 4.已知等腰△ABC的三边长为a,b,c,其中a,b满足 求△ABC的周长. 中考热点 ③ 配方法+作差法比较大小 5.用“配方法”证明代数式 的值总大于 的值. 根的判别式的应用 中考热点① 利用根的判别式判断根的情况 6.函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程 的根的情况是( ) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 学科网（北京）股份有限公司 中考热点 ② 根据根的情况，求方程的字母系数的范围或值 7.等腰三角形的一边长是4，方程 的两个根是三角形的两边长，则m为( ) A.7 B.8 C.4 D.7或8 中考热点 3 利用根的判别式求代数式的值 8.已知关于x的方程 有两个不相等的实数根，请化简 四可化为一元二次方程的方程解法 中考热点 ① 可化为一元二次方程的分式方程 9.解分式方程： 中考热点 ② 可化为一元二次方程的方程组 10.解方程组： 中考热点 ③ 平方法解无理方程 11.解方程: 中考热点 ④ 换元法解方程 12.设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且 则这个直角三角形的斜边长为 . 中考热点 ⑤ 分类讨论解绝对值方程 13.方程 的解为 . 五根与系数的关系 中考热点 ① 已知一根，根据韦达定理求另一根 14.已知 是方程 的一个根，则方程另一个根是 ,c= . 中考热点 ② 已知两根的值求系数的值 15.已知x₁,x₂是关于x的方程 两个实数根. (1)求m的取值范围； (2)若 求m的值及方程的根. 学科网（北京）股份有限公司 16.如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”.例如，一元二次方程 的两个根是 则方程 是“倍根方程”. (1)通过计算，判断 是否是“倍根方程”; (2)若关于x的方程(x-2)(x-m)=0是“倍根方程”，求代数式 的值； (3)已知关于x的方程 (m是常数)是“倍根方程”，请直接写出m的值. 六 一元二次方程的应用 中考热点① 靠墙问题 17.如图，有一道长为10m的墙，计划用总长为54m的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃ABCD.若花圃ABCD的面积为72m²,则AB= m. 中考热点 ② 靠墙开门问题 18.剧院演出，工作人员准备利用一边靠墙(墙长26米)的空旷场地为提前到场的观众设立面积为300平方米的长方形等候区.如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳48米，则工作人员围成的这个长方形的相邻两边长AB,BC分别是 米, 米. 中考热点 3 小路问题 19.(2025·东莞校级月考)某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米. (1)这个车棚的长和宽分别应为多少米? (2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米? 20.如图,要设计一幅宽20cm、长30cm的图案,其中有两横一竖彩条，横、竖彩条的宽度比为1：3.如果要使彩条所占面积是图案总面积的19%，求竖彩条的宽度. 学科网（北京）股份有限公司 中考热点④ 利润问题 21.李明在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售.经过一段时间后发现：当售价是50元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出 2 件，设该商品的售价为 x 元/件(20≤x≤50). (1)用含售价x的代数式表示每天能售出该工艺品的件数为 件； (2)已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为1000元，求该商品的售价. 中考热点⑤ 动点问题 22.如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点 P从点A 沿边 AB 向点 B 以 1 cm/s的速度移动;同时,点 Q 从点 B 沿边 BC 向点 C 以 2cm /s的速度移动.问： (1)几秒时,△PBQ 的面积等于 8 cm²? (2)几秒时,△PDQ 的面积等于28 cm²? (3)几秒时,PQ⊥DQ? 中考热点⑥ 综合与探究 23.【知识背景】 我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，例如 可变形为x(x+2)=35.如图1,构造一个长为x+2、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为x+x+2的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形.大正方形的面积可表示为 也可表示为 由此可得新方程： 易得这个方程的正数解为x=5.注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根！ 【尝试应用】 (1)小颖根据赵爽的解法解方程 请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变为 即x( )=1; 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；(在画图区画出示意图，标明各边长) 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 【思维拓展】 (2)参照以上方法求出关于x的一元二次方程 bx=c(b>0,c>0)的正数解.(用含b,c的代数式表示) 学科网（北京）股份有限公司 第二十五章 一元二次方程 1.解：原式 ：m是方程 的一个根， 即 ∴原式 2.解：依题意，得 则 即m(m+1)=1. =m(m+1)+2026 =1+2026=2027. 3.证明: 的最小值为11. 4.解:∵ ∴a-3=0,b-6=0.∴a=3,b=6. ∵△ABC为等腰三角形， ∴当a,c为腰时,,c=a=3, 这时a+c=3+3=6=b,不构成三角形； 当b,c为腰时,c=b=6,构成三角形. ∴三边长分别为3,6,6. .△ABC的周长为3+6+6=15. 5.解:∵ ..不论x为何值， 总成立. ∴代数式 的值总大于 4x-7的值. 6. C 7. D 8.解：∵关于x的方程 有两个不相等的实数根， 解得a<1. ∴a-1<0. ∴原式 9.解:方程两边同乘x(x+3),得 26(x+3)-26x=0.6x(x+3). 整理，得 解得 经检验 是原方程的解， ∴原方程的解为 10.解: 由①,得y=5-x.③ 把③代入②，得 整理，得 解得 把 分别代入③， 得 ∴原方程组的解为 11.解：方程两边同时平方， 得 整理，得 解得 经检验，x=4是原方程的增根，舍去. ∴原方程的解为x=7. 12. 13. x=1或x=-2 1 15.解:(1)依题意,得.△≥0且m-2≠0,即 解得 且m≠2. (2)依题意，有以下两种情况： ①当x₁=x₂时， 这时Δ=0,得 ②当. 时， 这时 得 且m≠2, 此时方程无解. 综上所述， 方程的根为 16.解:(1)解方程 得 是“倍根方程” (2)∵(x-2)(x-m)=0, ∵(x-2)(x-m)=0是“倍根方程”, ∴m=4或m=1. 当m=4时, 当m=1时， 综上所述，代数式 的值为26或5. (3)依题意，设方程的两根分别为α，2α.根据根与系数的关系，得 解得 或 ∴m的值为13或-11. 17.12 18.15 20 19.解：(1)设与墙垂直的一面长为x米，则与墙平行的一面长为(28-2x)米. 依题意,得x(28-2x)=80,整理，得 解得x=4或x=10. 当x=4时,28-2x=20>12(舍去); 当x=10时,28-2x=8<12, ∴长为10米，宽为8米. 答：这个车棚的长应为10米，宽应为8米. (2)设小路的宽度为a米. 依题意，得(8-2a)(10-a)=54,整理，得 解得a=13>10(舍去)或a=1. 答：小路的宽度为1米. 20.解：设横彩条的宽度是x cm，竖彩条的宽度是3x cm. 依题意,得(30-3x)(20-2x)= 20×30×(1-19%), 解得 不合题意，舍去). ∴3x=3. 答：竖彩条的宽度是3cm. 21.解:(1)(160-2x) (2)由题意，得 (x-20)(160-2x)=1000,整理，得 解得 不合题意，舍去). 答：该商品的售价为30元/件. 22.解:(1)设 xs时△PBQ 的面积等于8cm²,则AP= xcm,QB=2x cm. ∴PB=6-x. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 依题意，得 解得 答:2 s或4s 时△PBQ的面积等于8cm². (2)设出发 ys时△PDQ 的面积等于28cm². S矩形ABCD-S△APD-S△BPQ-S△CDQ=S△DPQ, 6(12-2y)=28,整理，得 解得 答·2s或4s 时.△PDQ的面积等于28cm². (3)设a s 时PQ.⊥DQ,∠DQP为直角，则AP=a cm,QB=2a cm. ∴PB=(6-a) cm,CQ=(12-2a) cm.在 Rt△ADP中， 在 Rt△BPQ中， 在 Rt△CDQ中， 在 Rt△DQP中, 2a)²,整理，得 解得 答： 或6s时/sPQ⊥DQ. 23.解:第一步: 第二步：示意图如画图区所示. 第三步： (2)方程变形为x(x+b)=c.根据赵爽的解法可得新方程 ∵b>0,c>0, 负值已舍去). ..原方程的正数解为 24.解:任务一:∵ △ABC 是等腰直角三角形， ∴∠C=45° ∵四边形BDEF是矩形， ∴∠BFE=∠EFC=90°. ∴△EFC 是等腰直角三角形. ∴EF=CF=80-x. 依题意，得x(80-x)=1200,解得x=20或x=60. ∴这个矩形的长和宽分别是60 cm和20cm. 任务二：按图4上面的做法： ∴按图4下面的做法不合适. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $