4.1 函数 教学设计 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

29.2.2 圆心角 教学设计 （2026—2027学年 人教版义务教育教科书·数学 九年级上册） 课题名称 4.1 函数 课型 新授课 教学资源 多媒体课件、圆规、直尺、圆形纸片 教学内容解析 内 容 常量与变量的概念；函数的概念（在一个变化过程中，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一确定的值与之对应）；函数的三种表示方法：列表法、关系式法、图象法；函数值的概念。 内容解析 本节是函数一章的起始课，是学生从常量数学进入变量数学的关键一课，为后续学习一次函数、反比例函数、二次函数奠定概念基础。圆周角定理的证明需要分三种情况讨论（圆心在角的一边上、内部、外部），体现了分类讨论的数学思想。 目标与目标解析 单元整体目标 《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求： ① 会计算圆的弧长； ② 了解扇形的概念，会计算扇形的面积； ③ 能运用弧长和扇形面积公式解决简单的实际问题。 课时目标（核心素养导向） 1.（数学抽象）理解常量与变量的概念，能在具体变化过程中识别变量和常量。 2.（数学抽象）理解函数的概念：在一个变化过程中，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应。 3.（几何直观）知道函数的三种表示方法：列表法、关系式法、图象法。 4.（数学运算）能根据函数关系式求给定自变量对应的函数值。 课时目标解析 达成目标1的标志：学生能在摩天轮、油箱等实例中指出变量和常量。 达成目标2的标志：学生能说出函数概念中“每一个值”与“唯一确定”两个关键词。 达成目标3的标志：学生能说出三种表示方法并能在实例中识别。 达成目标4的标志：学生能代入x的值求出对应的y。 学情分析 已有的知识、认知水平 学生在小学和七年级已经接触过用字母表示数、简单的数量关系，具备一定的列式能力，但尚未建立“变量”和“对应”的观念。 困惑点或探索点 ① 学生容易把函数理解为“一个式子”，忽略“唯一对应”的本质；② 对“x的每一个值”和“y唯一确定”两个关键词理解不深；③ 从具体实例抽象出函数概念有难度。 教学重难点 教学重点 ① 函数的概念； ② 函数的三种表示方法。 教学难点 理解函数概念中“对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应”的含义。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：函数是研究现实世界变化规律的重要数学模型，是初中数学的核心内容。 学什么：常量与变量；函数概念；三种表示法；函数值。 怎么学：采用“实例感知—归纳概括—辨析应用”的探究路径。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 环节一 活动一 车轮为什么是圆的 （约12分钟） 【实例1】摩天轮高度h（m）随时间t（s）变化的图象如图。 在这个变化过程中，t和h是数值发生变化的量，叫做变量；摩天轮半径25 m、中心高度30 m始终不变，叫做常量。 【实例2】汽车油箱中有油50 L，每行驶100 km耗油10 L，油箱剩余油量Q（L）随行驶路程s（km）变化。 关系式：Q=50−0.1s。其中s、Q是变量，50、0.1是常量。 师：出示摩天轮和油箱实例，引导学生找变量和常量。 生：指出哪些量在变，哪些量不变。 学生能否正确识别变量和常量。 从生活实例引入，发展数学抽象。 环节二 归纳概括 函数概念 （约15分钟） 【思考】上面两个实例中，对于t（或s）的每一个确定的值，h（或Q）有几个值与它对应？ 【函数定义】 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称y是x的函数。 其中x是自变量，y是因变量。 【函数值】 当x=a时，y=b，b叫做当自变量的值为a时的函数值。 师：引导学生分析两个实例的共同特征。 生：归纳出“每一个x对应唯一y”。 师：板书函数定义，强调两个关键词。 学生能否说出函数定义中的关键词。 由实例抽象出函数概念，发展数学抽象。 环节三 函数表示法 例题示范 （约10分钟） 【函数的三种表示方法】 ① 列表法：通过列出自变量与函数值的对应表表示函数关系； ② 关系式法：用含有两个变量的等式表示函数关系（如Q=50−0.1s）； ③ 图象法：用图象表示函数关系（如摩天轮h−t图）。 【例】已知函数y=2x−3，求当x=0、x=2时的函数值。 解：当x=0时，y=2×0−3=−3； 当x=2时，y=2×2−3=1。 师：介绍三种表示法，示范求函数值。 生：口头求函数值。 学生能否正确求函数值。 认识三种表示法，巩固函数概念。 环节四 练习巩固 （约5分钟） 【练习】等腰三角形的顶角y°与底角x°的关系式为y=180−2x。 （1）在这个变化过程中，变量、常量各是什么？ （2）当x=70时，y等于多少？ （答案：（1）变量x、y，常量180、2；（2）y=40） 师：出示练习题。 生：独立完成。 学生能否识别变量常量并求函数值。 练习巩固概念。 环节五 反思小结 布置作业 （约3分钟） 【小结】常量与变量；函数定义（每一个x对应唯一y）；三种表示法；函数值。 【作业】必做题：教材习题4.1；选做题：举一个生活中函数的例子。 师：引导学生总结。 生：口述函数定义。 学生能否说出函数定义。 梳理知识体系。 板书设计 4.1 函数 一、常量与变量 二、函数：对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应 三、三种表示法：列表法、关系式法、图象法 四、函数值：x=a时y的值 教学反思（课后填写） 1. 学生是否真正理解“唯一对应”的含义？ 2. 学生能否区分常量和变量？ 3. 学生能否正确求函数值？ 4. 学生常见错误有哪些？ 学科网（北京）股份有限公司 $