4.2 认识一次函数（讲义）数学新教材北师大版八年级上册.

第四章 一次函数 4.2 认识一次函数 课标要点 1.结合具体实例，理解一次函数、正比例函数的概念，掌握一次函数的一般表达式。 2.能辨析一次函数与正比例函数的包含关系，识别函数解析式特征。 3.能从实际情境、均匀变化问题中抽象变量关系，建立一次函数模型。 4.结合实际问题确定自变量取值范围，发展模型观念、抽象能力、应用意识核心素养。 5.体会从特殊到一般、数形结合的数学思想，能用函数视角分析生活中的线性变化规律。 学习重难点 重点： 1.掌握一次函数与正比例函数的概念及解析式结构特征。 2.熟练辨析一次函数、正比例函数，掌握的核心限制条件。 3.能根据简单实际问题，正确列出一次函数关系式。 难点： 1.深度理解均匀变化的本质，从实际情境中抽象出一次函数模型。 2.准确区分一次函数与正比例函数的从属关系，规避概念混淆。 3.根据实际意义精准确定自变量的取值范围，完善函数建模过程。 4.理解解析式中参数的实际含义，建立代数式子与实际情境的对应关系。 知识点 一次函数 定义：形如（为常数，）的函数，叫做一次函数。其中是自变量，是因变量。 特别提醒 解析式必须是关于的整式；自变量的最高次数必须为1；不能等于0，可以为任意常数。 易错提醒 误认为只要含有的一次式就是一次函数。例如，分母含有自变量，不是整式，不属于一次函数。 教材延伸 当时，一次函数简化为，也就是正比例函数，说明正比例函数属于特殊的一次函数。 随学随练 1．下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义，形如，进行逐项判断即可． 【详解】解：一次函数的标准形式为， 对于：，分母含，不是一次函数，不符合题意； 对于：，的最高次数为，是二次函数，不符合题意； 对于：，符合形式，的最高次数为，且，是一次函数，符合题意； 对于D：，的指不是，不是一次函数，不符合题意． 2．下列函数中，是的一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：中的次数为，中的次数为，中的系数为，均不是一次函数，不符合题意； 中的次数为且系数不为，是一次函数，故选项B符合题意． 3．下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：中自变量的次数为2，是二次函数，不符合题意； 选项B：是反比例函数，不是整式函数，不符合题意； 选项C：符合一次函数的形式（，），是一次函数，符合题意； 选项D：不是自变量的一次整式，不属于一次函数，不符合题意． 4．已知函数为一次函数，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据形如，其中为常数，的函数是一次函数；可知：． 5．函数是一次函数，则m的值为______． 【答案】 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 由可得， 由可得， ∴． 知识点 正比例函数 基本概念：形如（是常数，）的函数，叫做正比例函数，叫做比例系数。 特别提醒 正比例函数解析式中不含常数项；是前提条件；是一次函数的特例。 易错提醒 认为一次函数就是正比例函数，混淆从属关系。一次函数不一定是正比例函数，但正比例函数一定是一次函数。 教材延伸 正比例函数描述的是两个变量成正比例变化，对应现实中单价固定、匀速运动等比值恒定的变化模型。 随学随练 1．下列函数中，是正比例函数的是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一般地，形如（k是常数，且）的函数叫作正比例函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、含常数项，故不是正比例函数； B、中的次数为2，故不是正比例函数； C、不是整式形式，故不是正比例函数； D、是正比例函数． 2．下列各函数中表示是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义，只需根据正比例函数的定义，逐一判断各选项函数的形式即可得到结果． 【详解】解：根据定义，形如（为常数，且）的函数叫做关于的正比例函数， ∵ 是一次函数，常数项不为，不符合正比例函数定义，排除A； ∵ 是二次函数，的次数为，不符合定义，排除B； ∵ 是反比例函数，不符合定义，排除C； ∵ 符合的形式，且，满足正比例函数定义； ∴ 选D． 3．已知，若是的正比例函数，则的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】结合正比例函数的定义，从自变量次数、系数两个限制条件入手列式求解. 【详解】解：由题意得且， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴. 4．已知函数是正比例函数，则常数的值是_____． 【答案】2 【分析】根据正比例函数的定义，其常数项为0，据此列方程求解即可得到的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴． 知识点 一次函数的判定 定义：把函数表达式整理化简后，对照一次函数的形式，判断是否满足一次函数的全部条件。 特别提醒 判定前先对式子化简；重点检查三点：整式、自变量次数为1、一次项系数不为0。 易错提醒 化简前看到次数为1就直接判定，忽略化简后系数为0的情况。如，化简后，不是一次函数。 教材延伸 已知函数是一次函数求参数，需要同时列出两个条件：自变量次数等于1，一次项系数不等于0。 随学随练 1．下列函数中，属于一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义，一般地，形如（，是常数，）的函数叫做一次函数，逐一判断各选项的函数形式，即可得到正确结果． 【详解】解：选项A中不符合一次函数定义； 选项B中中的次数为，不符合一次函数定义； 选项C中可整理为，其中，，符合一次函数的形式； 选项D中是常数函数，的系数，不符合一次函数的要求． 2．下列函数中，是的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，形如（）的函数是一次函数，逐项分析，即可得出答案． 【详解】解：选项A：，不满足一次函数的定义，故不是一次函数，不符合题意； 选项B：，不满足一次函数的定义，故不是一次函数，不符合题意； 选项C：，满足一次函数的定义，是一次函数，符合题意； 选项D：，不满足一次函数的定义，故不是一次函数，不符合题意． 故选：C． 3．下列四个等式中，是的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、，的最高次数为2，不是一次函数，故此选项不符合题意； B、，解出，不是函数关系，故此选项不符合题意； C、，形式为，其中，是一次函数，故此选项符合题意； D、，和未指定为常数且，因此不一定是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 4．下列函数中，属于一次函数的有___________．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①不属于一次函数； ②属于一次函数； ③不属于一次函数； ④属于一次函数； ⑤，当时，属于一次函数； 属于一次函数的有②④． 故答案为：②④ 知识点 一次函数的值 概念：在一次函数中，给定自变量一个确定的值，代入解析式计算得到对应的值，就是这个自变量对应的函数值。 特别提醒 已知求，直接代入计算；已知求，转化为一元一次方程求解。 易错提醒 代入负数时，漏加括号，造成符号运算错误。如，，误算成。 教材延伸 函数值可以通过解析式、表格、图象三种方式获取，三种表达形式可以互相转化。 随学随练 1．当时，函数的值等于（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数的函数值，把自变量的值代入一次函数解析式中即可求解． 【详解】解：当时，； 故选：A． 2．已知y是x的正比例函数，且当时，，当时，y的值为（   ） A．6 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】先根据正比例函数定义设出函数解析式，再利用已知条件求出比例系数，最后代入x的值计算y即可． 【详解】解：∵y是x的正比例函数， ∴设函数解析式为， 将代入解析式得：， 解得， ∴函数解析式为， 当时，． 3．在函数中，当时，y的值为__________． 【答案】5 【分析】将代入函数解析式计算即可得到的值. 【详解】解：把代入函数，得 . 4．与自变量的关系如图所示，当的值每增加1时，的值增加____________． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的函数值变化知识点，掌握一次函数中自变量变化时函数值变化量的计算方法是解题的关键． 先根据函数表达式求出增加1后的函数值，再用新函数值减去原函数值，得到的增加量． 【详解】解：∵ ∴当的值增加1时，新的值为 ∴对应的新的值为 ∴的增加量为 ∴的值增加2． 故答案为：2． 知识点 一次函数自变量的值或取值范围 定义：使一次函数解析式有意义，同时符合实际问题背景的自变量所有可取的值。 特别提醒 整式形式的一次函数，代数式层面自变量可取全体实数；实际问题需要额外限制范围。 易错提醒 整式解析式默认全体实数，做题时直接增加根式、分式限制条件，混淆函数类型。 教材延伸 自变量取值范围的边界，对应实际问题的临界点，解题时要判断端点能否取等号。 随学随练 1．当为（     ）时，的值为0． A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了已知一次函数的函数值，求对应自变量的值，理解和掌握函数值的定义是解题的关键． 将代入函数解析式，解一元一次方程即可求解． 【详解】解： 当时，代入得，， 解得． 故选：C． 2．若函数，则当函数值时，自变量的值是（   ） A．1或1.5 B．1 C．1.5或 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质，根据分段函数进行分段求解是解题的关键． 根据分段函数的定义，分别在自变量不同取值范围内求解函数值，并验证所求函数值是否在对应自变量不同取值范围内． 【详解】解：∵ 当时，， 令，则， ∴， 又∵ ，符合条件． 当时，， 令，则， ∴， ∵，不满足，故舍去． 故选：B． 3．若函数，则当函数值时，自变量的值是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查求自变量的值，解题的关键是分段讨论． 根据的不同区间分段讨论，把分别代入对应区间的表达式，求解即可． 【详解】解：由已知可得，或， 解得，或， 故选：． 4．根据如图所示的程序计算函数 的值，若输出 的值是 ，则输入的值为__________． 【答案】0或28 【分析】观察程序计算图，分情况讨论，根据输入的值，列出方程，即可求出答案． 【详解】解：当时，， 由题意得， 解得； 当时，， 由题意得， 解得； 综上，输入的值为0或28． 知识点 实际问题中的一次函数建模 定义：在均匀变化的实际情境里，找出两个变量之间的等量关系，列出一次函数关系式，并确定自变量的取值范围。 特别提醒 均匀变化的特征：自变量每增加固定量，函数值增加或减少固定量；关系式写完，必须标注自变量取值范围。 易错提醒 只列出函数关系式，忽略实际意义，自变量取负数、小数（如人数）等不符合现实的数值。 教材延伸 代表单位变化量，代表初始基础量，例如话费套餐月租为，每分钟通话费为。 随学随练 1．我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系 【答案】B 【分析】本题考查函数关系的识别，根据题意设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，可以得到，即可得出结论． 【详解】解：设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，投放x枚石子后水面高度为y，则，符合一次函数解析式， 故选B． 2．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长L（）与重物质量x（）的关系如下表所示：当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长L（）是（    ） 弹簧总长L（） 13 14 15 16 17 重物质量x（） A．27 B． C．20 D． 【答案】A 【分析】先从表格中找出弹簧伸长量和重物质量的变化规律，得到与的函数关系式后，代入的值计算即可． 【详解】解：由表格数据可得，重物质量每增加，弹簧总长增加， ∴重物质量每增加，弹簧伸长， ∵弹簧原长为， ∴可得与的关系式为， 将代入得，． 3．水池原有水，水匀速从排水管排出，全部排完．剩余水量与排水时间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算每分钟排水速度，再根据剩余水量等于原有水量减去排出水量得到函数解析式，最后根据实际意义确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵水池原有水，全部排完， ∴每分钟排水量为 ， ∵剩余水量原有水量分钟排出的水量， ∴，整理得， 又∵排水时间最小为，最多排完全部水， ∴自变量的取值范围为，即函数解析式为． 4．用8cm长的细铁丝围成一个等腰三角形，腰长为xcm，底边长为ycm． （1）求y关于x的函数解析式； （2）在如图的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】（1）； （2）画图如下： 【分析】（1）由周长定义可得y关于x的函数解析式，求自变量x的取值范围，要注意三角形的特点，两边之和大于第三边． （2）由（1）的结论，在平面直角坐标系中描点，连线即可． 【详解】解：（1）由题意，得2x+y＝8， ， 由，得， 又， ， 故， ； 5．某水果店售卖草莓，售价固定，每日销售额随售卖时长变化而变化．设售卖时长为小时（自变量），销售额为元（因变量），部分售卖数据如下表： 售卖时长（小时） 1 2 3 4 销售额（元） 80 160 240 320 (1)根据表格数据，写出与的变量关系式； (2)分析销售额随售卖时长的变化趋势； (3)若当日草莓全部售完用时6.5小时，求当日总销售额； (4)若当日固定成本为150元，求售卖5小时的纯利润． 【答案】(1)（）；(2)销售额随售卖时长的增加而均匀增大，每增加1小时，销售额增加80元.(3)当日总销售额为520元.(4)售卖5小时的纯利润为250元. 【分析】（1）先判断变量关系类型，观察表格中x与y的比值是否为定值，因为售价固定，所以y与x成正比例函数关系，用待定系数法求函数关系式． （2）根据所得函数关系式的比例系数符号，如果比例系数为正，那么销售额随售卖时长增加而上升，直接分析变化趋势． （3）对于已知售卖时长求销售额的问题，将对应的x值代入已求得的函数关系式，计算得到y值即可． （4）计算纯利润时，先代入求得对应销售额，因为纯利润=销售额-固定成本，所以用所得销售额减去固定成本即可得到结果． 【详解】（1）解： ∵ 表格中销售额与售卖时长的比值为定值 ， ∴ 设（）． 将，代入， 得 ． ∴ 与的变量关系式为（）． （2） 解：∵ 中， ， ∴ 销售额随售卖时长的增加而均匀增大，每增加1小时，销售额增加80元． （3）解：当时 ， ． 答：当日总销售额为520元． （4）解：当时 ， 销售额为（元） ． 纯利润为（元） ． 答：售卖5小时的纯利润为250元． 拓展 一次函数中的模型观念 结合生活计费、行程、几何等真实情境，识别均匀变化的变量关系，抽象出一次函数模型。理解的实际意义，能用一次函数表达式刻画两个变量之间的线性变化规律，借助模型分析变量变化，感受一次函数作为描述均匀变化问题的数学工具，初步建立利用函数模型解决实际问题的思维。 素养拓展要点 1.能在实际情境中识别均匀变化特征，区分一次函数模型与其他变化模型。 2.能提取情境中的基础量与单位变化量，自主列出一次函数关系式。 3.结合现实背景确定自变量取值范围，检验模型结果是否符合实际意义。 4.能够解释解析式中参数对应的实际含义，体会数学与生活的联系。 活学活用 1．王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式； （2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用， 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为． （2）解：当时， 甲旅行社收取总费用（元） 乙旅行社收取总费用（元） ∵， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 2．某社区健身场馆推出了两种健身付费的方式． 方式一：先购买会员卡（每张会员卡100元，只限本人使用），凭卡健身每次再付费5元． 方式二：不购买会员卡，每次健身付费8元． 小张计划到该场馆去健身，设他健身的次数为x（x为正整数），两种健身方式的费用分别为元，元． (1)分别写出，与x之间的函数关系式． (2)若小张计划健身的总费用为280元，则他选择哪种付费方式健身的次数比较多？ 【答案】(1)（为正整数）；（为正整数）. (2)选择方式一付费健身的次数更多 【分析】（1）根据两种健身付费的方式列出对应的函数关系式即可； （2）求出两个函数的函数值为280时自变量的值，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得（为正整数），（为正整数）； （2）解：当时，则，解得， 当时，则，解得， ∵， ∴选择方式一健身的次数比较多； 答：他选择方式一付费健身的次数比较多． 3．甲苯是一种重要的化工原料，它可以用于制作炸药、农药、油漆等，各行业都有应用．已知甲苯的沸点在标准大气压下高于，因为温度计量程限制，无法测量其沸点，为了测量甲苯的沸点，设计了以下实验，在实验室安全通风环境下，取一定质量的甲苯在烧杯中用酒精灯均匀加热，甲苯的初温为，每隔分钟记录一次温度，得到了如表所示的数据． 时间 温度 (1)因为酒精灯均匀加热，实验中某个时间的温度在测量中出现了错误，请指出表中错误的温度并修改； 请在直角坐标系中描出表中修正后的数据对应的点，并将这些点连起来； (2)根据以上判断，写出关于的关系式； (3)当加热分钟时，甲苯沸腾了，请推算甲苯的沸点是多少． 【答案】(1)时间为分钟的时候温度是不正确的，正确的温度应该是； 如图所示； (2)； (3)甲苯的沸点为． 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表格信息即可求解； 根据描点，连线即可画图； （）利用待定系数法即可求解； （）当当时，求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知每隔分钟，温度增加， ∴时间为分钟的时候温度是不正确的，正确的温度应该是； 略 （2）解：设关于的关系式为， 由题意可得， 解得， ∴； （3）解：当时，，所以甲苯的沸点为． 拓展 一次函数问题中的抽象能力 从大量实例中剥离无关背景，提炼出一次函数、正比例函数的代数形式，抽象概括出两类函数的概念与结构特征。辨析一次函数与正比例函数的从属关系，通过对比、归纳掌握函数判定的条件，完成从具体实例到抽象代数表达式的思维过渡，发展从具体到一般的数学抽象思维。 素养拓展要点 1.能从不同实例中抽象得到的形式，抓住、自变量次数为1的核心条件。 2.准确辨析正比例函数是特殊的一次函数，理清二者的包含关系。 3.能依据概念判断一个函数是否为一次函数或正比例函数，识别各类干扰式子。 4.学会根据函数类型，反向列式求解参数，锻炼符号抽象与逻辑推理能力。 活学活用 1．写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数，是否为的正比例函数． ①等边三角形的周长与边长之间的关系； ②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量（升）与已行驶的距离（千米）之间的关系； ③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系； ④设一长方体盒子高为，底面是正方形，求这个长方体的体积（）与底面边长（）之间的关系． 【答案】 解：①，是一次函数，也是正比例函数． ②，是一次函数，不是正比例函数． ③是一次函数，不是正比例函数． ④，既不是一次函数，也不是正比例函数． 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解此题的关键． 根据三角形周长公式表示出与之间的关系式即可；②根据余油量耗油量原油量表示出与之间的关系式即可；③根据乘车费起步价燃油附加费加收的乘车费表示出与之间的关系式即可；④根据长方体的体积底面积高表示出与之间的关系式即可． 2．某物流公司推行环保运输政策，通过分段计价引导客户集约化运输，并制定如下计价规则． 计价规则 货物质量不超过时，单价为6元； 货物质量超过但不超过时，超过部分单价为5元； 货物质量超出时，超出的部分单价为4元，并一次性额外收取30元的碳排放附加费． 设货物质量为，运费为y（元）． (1)若货物A质量为，货物B质量为，分别计算两个货物的运费； (2)当时，求y与x的函数解析式； (3)若某货物的运费为170元，求该货物质量为多少？ 【答案】(1)货物A的运费为48元；货物B的运费为85元 (2) (3)27.5千克 【分析】本题考查了一次函数的应用、求代数式的值、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）直接根据计价规则计算即可得解； （2）根据计价规则列出函数解析式即可； （3）先判断出当运费为170元时，，再根据题意得出，解方程即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：当时，元； 当时，元； （2）解：由题意可得：当时，； （3）解：∵当时，； ∴当运费为170元时，， ∴， 解得． ∴包裹质量为27.5千克． 3．如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为．经测量，得到下表中数据． 双层部分长 0 2 8 14 20 单层部分长度 152 148 136 112 (1) ； (2)根据表中数据规律，试写出与之间的表达式； (3)按小文的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度． 【答案】(1)124；(2)；(3) 【分析】（1）观察表格可得，双层部分长度每增加，单层部分长度就减少，由此计算即可得出结果； （2）由表格可知，单层部分长度最长为，双层部分长每增加，单层部分长度就减少，则当双层部分长增加时，单层部分长度就减少，由此即可得出结果； （3）设双层部分的长度为，则单层部分长度为，根据背带的长度等于单层部分与双层部分长度的和，列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：观察表格可得，双层部分长度每增加，单层部分长度就减少， ∴； （2）解：由表格可知，单层部分长度最长为，双层部分长每增加，单层部分长度就减少，则当双层部分长增加时，单层部分长度就减少， ∴， 即与之间的关系式为． （3）解：设双层部分的长度为，则单层部分长度为， 背带的长度等于单层部分与双层部分长度的和， ， 解得， 故此时双层部分的长度． 题型 识别正比例函数 解题贴士 在一次函数基础上再加一个条件：常数项；必须同时满足三条：整式形式；次数为1 ；正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 ▌例1 下列关于的函数中，是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、不符合的形式，不是正比例函数，不符合题意； B、，符合的形式，是正比例函数，符合题意； C、不符合的形式，不是正比例函数，不符合题意； D、不符合的形式，不是正比例函数，不符合题意． ▌对点练1-1．下列函数关系式中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 正比例函数需满足形如（为常数且）， A选项是反比例函数，不符合定义； B选项，其中，符合正比例函数定义； C选项含常数项，属于一次函数，不符合正比例函数定义； D选项是二次函数，的次数为2，不符合定义． ▌对点练1-2．下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、符合正比例函数的定义，符合题意； B、是一次函数，常数项不为，不是正比例函数，不符合题意； C、是反比例函数，不符合正比例函数的形式，不符合题意； D、中未说明，当时不是正比例函数，不符合题意． 题型 识别一次函数 解题贴士 1.先化简：将式子整理成最简整式形式。 2.两关必查：自变量 的次数为 1次、一次项系数 。 3.三不判定：含 、含 、不含自变量（常数）都不是一次函数。 4.只要符合 ，即为一次函数。 ▌例1下列函数中，一次函数的式子是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项与D选项的分母均含自变量，不符合一次函数是含自变量的整式的要求； B选项中自变量的最高次数为2，不符合一次函数定义； C选项符合一次函数（为常数，）的形式． ▌对点练1-1.下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据一次函数的定义进行解答即可，一次函数的定义：一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【详解】解：A、，自变量x的最高次数为2，不是一次函数，故该选项不符合题意； B、，是一次函数，故该选项符合题意； C、，不是一次函数，故该选项不符合题意； D、，不是一次函数，故该选项不符合题意． ▌对点练1-2.下列函数关系式：①；②；③；④；⑤，一次函数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】形如（是常数）的函数叫做一次函数，据此解答即可； 【详解】解：①，③，⑤均为一次函数； ②中的次数为，不是一次函数；④中的最高次数为，不是一次函数；综上，一次函数共有3个； 题型 根据一次函数的定义求参数的值 解题贴士 列双重条件：自变量次数；一次项系数；正比例函数求参数要三条件：次数=1；系数≠0；常数项=0；必检验：算出参数后代回原式，舍去使系数为0的解（最常考易错点）。 ▌例1函数是关于的一次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义，一次函数要求自变量的一次项系数不为，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：函数是关于的一次函数 一次项系数满足 解得， 因此的取值范围是． ▌例2 若关于变量，的函数是正比例函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】形如（为常数且）的函数是正比例函数，要求常数项为0，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴常数项满足， 解得． ▌对点练1-1若函数是一次函数，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．任意实数 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一次函数的定义，列出关于m的方程与不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 由得，或， 又∵，即， ∴， 故选：A． ▌对点练1-2若函数是关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义，x 的系数不能为零，解答即可． 本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴ x 的系数， ∴， 故选：A． ▌对点练1-3 已知函数是正比例函数，则__________． 【答案】 【分析】一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做正比例函数，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：函数是正比例函数， ∴， ∴． 题型 求一次函数的值 解题贴士 1.已知求：直接代入、负数带括号。 2.严格按四则运算顺序计算，先乘除后加减。 3.算出结果无需讨论范围（纯代数计算）。 ▌例1已知一次函数，当时，的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查求一次函数的函数值．将代入函数表达式即可求解． 【详解】解：当时，， 故选：A． ▌对点练1-1当时，函数的值是（　　）． A．0 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查求函数值，把代入计算即可． 【详解】,, 故选：C． ▌对点练1-2已知函数，当自变量x增加1时，函数值（    ） A．增加1 B．增加2 C．增加3 D．减少2 【答案】C 【分析】本题考查了求一次函数自变量或函数值．通过计算自变量增加1前后的函数值之差，确定函数值的变化量，即可作答． 【详解】解：∵函数， 当自变量x增加1，则， ∴， 即当自变量x增加1时，函数值增加3， 故选：C． ▌对点练1-3 已知函数，当时，函数y的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数的函数值，根据，故把把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ 依题意，把代入得， 故答案为： 题型 求一次函数的自变量的值或取值范围 解题贴士 1.已知求：代入解析式，转化为一元一次方程求解。 2.纯代数式一次函数：自变量取值范围为全体实数。 3.实际问题必须限制范围：长度、重量、费用 ≥0；人数、个数必须为非负整数；求出的自变量值不在范围内直接舍去。 ▌例1一次函数的表达式为，当时，自变量x的值为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了求一次函数的自变量的值， 将代入，得，求出解即可． 【详解】解：当时，， 解得． 故答案为：4． ▌对点练1-1已知函数，则当函数值时，自变量的值是__________________． 【答案】4 【分析】把代入函数，分别求出x的值，再舍去不合题意的值即可． 【详解】解：分类讨论：当时，， 解得：． ∵， ∴此时不符合，舍去； 当时，， 解得：． ∵， ∴此时符合． 综上可知自变量的值是4． 故答案为：4． ▌对点练1-2 如图是一个运算程序示意图，若开始输入x后，输出y值为13，则输入的x为_____． 【答案】或5 【分析】本题主要考查了求一次函数的自变量，根据运算程序示意图分两种情况求解即可． 【详解】解：当时， 此时运算公式为：．则可得方程， 根据绝对值的定义可得出． ∵， ∴符合条件，舍去． 当时， 此时运算公式为：．则可得方程． 解得，，符合这个条件． 故输入的x为：或5， 故答案为：或5 题型 根据具体问题列一次函数并求值 解题贴士 先找两个核心量：：单位变化量（每增加1份变化多少）；：初始基础量（没有变化时的原始数值） 固定建模公式：；列式后必须写自变量取值范围；最后根据题目给定条件代入求值。 ▌例1 一个深度为的长方体污水处理池，容积为，底面积为． (1)写出用表示的函数表达式． (2)当时，求的值． 【答案】(1)（）；(2) 【分析】（1）根据长方体体积公式求解即可； （2）把代入（1）中表达式，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵一个深度为的长方体污水处理池，容积为，底面积为， ∴． （2）解：∵，， ∴． ▌例2 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长）另外三边用木栏围成，木栏长． (1)设平行于墙的一边长为x，垂直于墙的一边y，求y与x的函数关系式． (2)若养鸡场面积为200平方米，求鸡场垂直于墙的一边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列一次函数解析式、一元二次方程的应用，（1）根据题意求解即可； （2）根据长方形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， 解得， ∴， 答：鸡场垂直于墙的一边长为． ▌对点练1-1某银行一年期存款利率为，记存入的本金为x元，一年到期时的本息和为y元． (1)写出y关于x的函数解析式； (2)存入10000元，一年到期时的本息和是多少元？ 【答案】(1)（）；(2)10150元 【分析】（1）利用本息和=本金+本金×年利率的关系推导函数解析式； （2）将本金代入（1）中的解析式计算本息和． 【详解】（1）解：∵一年期存款年利率为，本金为元， ∴一年的利息为元， ∴本息和， ∵本金为正数， ∴自变量的取值范围是， 即（）； （2）解：当时，． 答：一年到期时的本息和是10150元． ▌对点练1-2书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额． 【答案】(1)；(2)1400元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据优惠方案，列出函数关系式即可； （2）把代入（1）中的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）当时，， 故校团委购买这些书法套具的实际付款总额为元． ▌对点练1-3 如图，在中，，，，点为边上一动点，当动点沿从点向点运动时，的面积发生了变化．设长为，的面积为． (1)求与的关系式； (2)当点运动到的中点时，的面积是多少？ (3)若的面积为，则的长为多少？ 【答案】(1) (2)点运动到的中点时，的面积为 (3)当的面积为时，的长为 【分析】对于（1），根据三角形的面积公式用含有x的代数式表示y即可； 对于（2），将代入关系式计算即可； 对于（3），将代入关系式求出x即可． 【详解】（1），所以与的关系式为； （2）当时，， 所以点运动到的中点时，的面积为； （3）当时，，解得， 所以当的面积为时，的长为． 题型7 一次函数与实际问题建模 解题贴士 1.先判断模型：题目出现均匀、匀速、单价固定、稳步增减→必是一次函数模型。 2.剥离生活语言，转化数学语言：月租、起步价、固定成本→对应 ；每千米、每件、每分钟费用→对应 3.建模三步法：找变化关系；列函数式；定取值范围 4.能结合结果解释的实际意义。 ▌例1.小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境时说，海拔每增加，气温下降．小华在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为．试写出山上气温T（）与该处距山脚垂直高度h（）之间的函数关系式．当小华乘缆车到达山顶时，发现温度为，求山高． 【答案】函数关系式为，山高为 【分析】先求出每升高，气温下降，再根据山上气温等于山脚气温减去高度h对应的总降温求出函数关系式，将代入函数关系式计算即可． 【详解】解：已知海拔每增加，气温下降， 因此每升高，气温下降． 山脚气温为，山上气温等于山脚气温减去高度h对应的总降温， 因此函数关系式为：， 将山顶温度代入函数关系式得：， 解得． ▌对点练1-1 “绿叶”家政服务公司选派16名清洁工去打扫新装修的“海天”宾馆的房间，房间有大、小两种规格，每名清洁工一天能打扫4个大房间或5个小房间．设派x人去清扫大房间，其余人清扫小房间，清扫一个大房间工钱为80元，清扫一个小房间工钱为60元． (1)写出家政服务公司每天的收入y（元）与x（人）之间的函数关系式： (2)应该怎样安排这16名清洁工清扫？才能一天为“绿叶”家政服务公司创收5000元． 【答案】(1) (2)应该安排这10名清洁工清扫大房间，6名清扫小房间 【分析】（1）设派x人去清扫大房间，则人清扫小房间，根据题意列出y（元）与x（人）之间的函数关系式即可； （2）把，代入求解即可． 【详解】（1）有x人清扫大房间，则有人清扫小房间 ∴ （2）解得：， 答：应该安排这10名清洁工清扫大房间，6名清扫小房间． 【点睛】本题考查了列一次函数解析式，已知函数值求自变量x的值，属于基础题，第（1）问要写出自变量的取值范围是易错点． ▌对点练1-2甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息，甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示． (1)求出图中a、b、c的值； (2)在乙出发多少秒后，甲、乙两人相距米？ 【答案】(1)，，； (2)乙出发秒或者秒后，甲、乙两人相距米． 【分析】（1）由函数图象可以分别求出甲的速度为4米/秒，乙的速度为5米/秒，就可以求出乙追上甲的时间a的值，b表示甲跑完全程时甲、乙之间的距离，c表示乙出发后多少时间，甲走完全程就用甲走完全程的时间−2就可以得出结论； （2）分别求出8秒到100秒和100秒到123秒的解析式，再把代入即可解出x值． 【详解】（1）解：由题意及函数图象可以得出： 甲的速度为：（米/秒），乙的速度为：500÷100＝5（米/秒）， （秒）； （米）， （秒）， 所以． （2）设秒和秒的解析式分别为和， 把代入得解得， 把代入得解得， 秒解析式：，秒的解析式， 当时，则， 所以在乙出发秒或者秒后，甲、乙两人相距米 基础通关 1．下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数的形式为（，为常数，且），正比例函数是特殊的一次函数． 【详解】解：A、不符合一次函数定义，排除； B、中的次数为，不符合一次函数定义，排除； C、中，，，满足一次函数定义，是一次函数； D、未规定，若则不是一次函数，不符合要求，排除． 2．下列函数中，不是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义逐一判断选项即可得到答案，一次函数要求自变量为整式，且最高次数为1． 【详解】解：A、是正比例函数，属于一次函数，不符合题意； B、，是一次函数，不符合题意； C、，是一次函数，不符合题意； D、中，是分式，不符合一次函数的定义，不是一次函数，符合题意． 3．若关于变量x，y的函数是正比例函数，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义得到常数项为0，列方程求解即可得到a的值 【详解】解：∵函数是正比例函数 ∴函数的常数项满足 解得 4．下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（   ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系 C．小明进行短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系 D．铅笔每支元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系 【答案】D 【分析】正比例函数的形式为（为不等于的常数），写出各选项变量的函数关系式，再根据定义判断即可． 【详解】解：对于选项A：正方形面积与边长的关系式为，不是正比例函数，不符合题意； 对于选项B：等腰三角形周长为，底边长与腰长的关系式为，不是正比例函数，不符合题意； 对于选项C：短跑中时间与速度的关系式为，不是正比例函数，不符合题意； 对于选项D：总价与购买数量的关系式为，是正比例函数，符合题意． 5．下列选项中，不是“均匀”变化的现象是（     ） A．正方形的面积与边长的关系 B．按固定单价买作业本，总花费与购买数量的关系 C．汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间之间的关系 D．读书时每天读同样多的页数，一本书剩余页数与读书天数的关系 【答案】A 【分析】均匀变化的本质是两个变量满足一次函数关系，即自变量每增加1个单位，因变量的变化量恒定，据此分析各选项的函数关系即可得出答案． 【详解】解：首先明确，均匀变化要求自变量每增加1个单位时，因变量的变化量始终相等，对应函数为一次函数， 对各选项分析如下： A：设正方形边长为，面积为，可得，当从1增加到2，增加，当从2增加到3，增加，变化量不相等，不是均匀变化； B：设作业本单价为（为常数），购买数量为，总花费为，可得，是一次函数，自变量每增加1，因变量增加，变化量恒定，是均匀变化； C：设汽车速度为（为常数），行驶时间为，路程为，可得，是一次函数，变化量恒定，是均匀变化； D：设书总页数为，每天读页（为常数），读书天数为，剩余页数为，可得，是一次函数，自变量每增加1，因变量减少，变化量恒定，是均匀变化； 因此选A． 6．氢气在氧气中燃烧生成水：，实验测得：在完全反应的情况下，参加反应的氢气质量（单位：g）与生成水的质量（单位：g）成正比例关系．当生成水时，消耗氢气，若要生成水，需要消耗氢气（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题已知与成正比例，根据正比例函数的定义设出解析式，代入已知条件求出函数解析式，再将生成水的质量代入解析式即可求出消耗氢气的质量． 【详解】解：∵参加反应的氢气质量与生成水的质量成正比例， ∴设， 把，代入解析式得， ， 解得， ∴与的函数解析式为， 当时，， ∴需要消耗氢气． 7．在探究水的吸热能力的实验中，使用恒定功率的热源对水进行加热．实验发现，在加热过程中，水的温度升高值与加热时间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据（水的质量恒定），根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 加热时间 水温升高值 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据数据变化趋势判断函数类型，由表格数据可知，加热时间增大时，温度升高值也随之增大，因此排除反比例函数形式的选项C、D，再通过计算确定比例系数，验证得到函数关系式． 【详解】解：设与的函数关系式为 ， 将， 代入关系式得 ， 解得 ， 验证其余数据：当时， ，符合表格数据， 当时， ，符合表格数据， 当时， ，符合表格数据， 因此与之间的函数关系式为 ， 故选B． 8．我们把直角坐标平面内到轴距离是到轴距离倍的点称为“特殊点”．那么一次函数的图象上的“特殊点”坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“特殊点”的定义得到坐标满足的等量关系，结合点在一次函数图象上求解即可得到结果． 【详解】解：设所求“特殊点”坐标为， ∵“特殊点”满足到轴距离是到轴距离的倍， ∴， ∵该点在的图象上， ∴． ①当时，解得，代入得，得到点坐标为； ②当时，化简得，方程无解； ∴一次函数图象上的“特殊点”坐标为． 9．若函数是一次函数，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义，需满足的次数为，且一次项系数不为，列条件求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解得或， ∵一次项系数不为，即，得， ∴的值为． 10．已知：是关于的一次函数，则________． 【答案】 【详解】解：由一次函数的定义得,解得． 11．如图，如果输入的值为，那么输出的值为__________；如果输出的值为，则输入的值为_________． 【答案】 或/11或 【分析】根据运算程序直接求解出的值；根据的值分情况讨论代入解析式中求解的值即可． 【详解】若输出的值为，， 输出； 若输出的值为， 令，解得，，符合题意； 令，解得，，符合题意； 若输出的值为，则输入的值为或． 12．已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，则当时，的值为_____． 【答案】0 【分析】根据正比例的定义设出和的表达式，得到关于的函数式，再代入已知的，的值求出待定系数，最后代入计算的值即可． 【详解】解：∵与成正比例，与成正比例， ∴，， ∵， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴， 当时，． 13．已知一次函数． (1)当为何值时，? (2)当为何值时，? 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）将代入一次函数解析式，转化为一元一次方程求解； （2）将代入一次函数解析式，直接计算得到的值． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得； （2）解：把代入， 得． 14．用函数解析式表示下列问题中y与x的关系： (1)一个长方体的长为，宽为，高为，体积为； (2)某水箱有水，以的速度开始往外放水，放水时间为，剩余水量为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长方体的体积公式，解答即可； （2）根据剩余水量等于原有水量减去放出的水量，放出水量等于放水的速度乘以时间，求解即可． 【详解】（1）解：根据长方体的体积公式，得 ． （2）解：根据题意，得． 15．已知与成正比例，且当时，； (1)求出与之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】（）利用待定系数法求函数的解析式即可； （）把代入解析式，便可求出的值； （）把代入解析式，便可求出的值． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∴，解得：， ∴， ∴与之间的函数关系式； （2）解：把代入得，； （3）解：把代入得，， ∴． 素养提升 1．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，掌握一次函数的形式为，正比例函数是一次函数中的特殊情况是解题的关键． 一次函数的形式为，正比例函数是的特殊情况，需要找出是一次函数但的选项． 【详解】解：A、，符合形式，且，，是一次函数但不是正比例函数，符合题意； B、，x的最高次数为2，不是一次函数，不符合题意； C、，符合形式，，是正比例函数，不符合题意； D、，x在分母上，不是一次函数，不符合题意． 故选：A． 2．按如图所示的方式操作．下列说法中，正确的是（     ） A．y不是x的函数 B．y是x的函数，且是正比例函数 C．y是x的函数，且是一次函数 D．当时， 【答案】C 【分析】先根据按键操作列出关系式，依据函数定义可知是的函数，该式符合的一次函数形式，因存在常数项不是正比例函数，再将代入计算得，即可解答． 【详解】根据操作流程：输入，乘以，再减得到， ∴， A．对于任意一个，都有唯一确定的与之对应，所以是的函数，故本选项错误，不符合题意． B．正比例函数形式为（无常数项），而存在常数项，不是正比例函数，故本选项错误，不符合题意． C．符合一次函数标准形式，因此是的一次函数，故本选项正确，符合题意． D．将代入解析式：    ，故本选项错误，不符合题意． 3．已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解绝对值方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据正比例函数的定义可得到，，解之代入求值即可． 【详解】解：函数是正比例函数， ，， 解得：，， ， 故选：D． 4．水钟在我国古代叫“漏刻”或“漏壶”，如图②是一种原始漏刻的示意图，水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶中，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏箭”）．假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子就会均匀升高．则下图表示浮子升高的高度与经历时间之间关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高解答即可． 【详解】解：∵漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高， ∴浮子的高度与对应注水时间成正比，高度随时间的增大而增大， ∴浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是正比例函数， 观察各选项，只有选项C符合． 5．定义：若点中的，满足（为常数，且），则称点为“生长点”，下列各点是一次函数图象上的“生长点”的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，新定义．根据“生长点”的定义，点需满足方程组且，同时位于直线上，需逐一验证选项是否满足条件． 【详解】解：A、 当时，，故点在一次函数图象上，则，，不唯一，不符合题意； B、当时，，故点在一次函数图象上，则，，符合题意； C、当时，，故点在一次函数图象上，则，，不唯一，不符合题意； D、当时，，故点不在一次函数图象上，不符合题意； 故选：B． 6．若点满足，则称点具有性质．例如点具有性质．如图，在长方形中点，点，轴，轴．长方形边上存在两点，均具有性质，则线段长为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知，点、的坐标满足， ， 则点、为直线与长方形边的交点，如图所示， ，， 代入得，，， ，， ，， ． 故选：C． 7．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离．已知点在一次函数的图象上，点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，绝对值的意义，根据曼哈顿距离的定义，结合点在直线上的条件，将曼哈顿距离表达式化简为，再分区间讨论不同范围下的取值． 【详解】解：点在直线上， ， 点，代入曼哈顿距离公式：， A、当，，， ， 由于，，故， 故选项错误，不符合题意； B、当，，， ， ， 故选项错误，不符合题意； C、当，，， 此时， 故选项错误，不符合题意； D、当，，， 由于，， ， 故选项正确，符合题意； 故选：D． 8．一次函数的图象经过点和若时，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的图象过，两点，则有，，所以，然后代入求解即可，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象过，两点， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 9．新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 【答案】5 【分析】根据新定义写出对应一次函数，利用正比例函数的定义得到常数项为，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：根据新定义可知，“关联数”对应的一次函数为 ，其中，符合一次函数定义． ∵该一次函数是正比例函数， ∴， 解得：． 10．如图，在中，，，，点P是上一点，设的长为，的面积为S． （1）S与x之间的函数表达式为_______． （2）当的面积为18时，则的长为_______． 【答案】 2 【分析】本题考查求函数表达式，已知函数值求自变量的值，求出函数表达式是解题的关键． （1）由题意得，由三角形面积公式即可求解； （2）由（1）中所得，解方程即可求解． 【详解】解：（1）， 则， 故答案为：； （2）当时，即， 解得：， ∴， 故答案为：2． 11．在平面直角坐标系中，对于，有如下规定：，则称点B为点A的“友谊点”．举例：的友谊点是，而的友谊点是． (1)点的“友谊点”是________； (2)点的“友谊点”在函数的图象上，求m的值； (3)已知点在函数的图象上，求点A的友谊点B的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)；(2)6；(3) 【分析】本题主要考查了新定义运算，一次函数的性质，解题的关键是理解定义，熟练掌握一次函数的性质． （1）根据“友谊点”定义直接计算即可； （2）先根据定义计算的“友谊点”，再将“友谊点”代入函数中求出m； （3）先根据点在函数的图象上得，再根据的取值范围确定的取值范围，进而根据“友谊点”定义得出取值范围． 【详解】（1）解：，， ， “友谊点”为； （2）解：，， ， 点的“友谊点”为， 点的“友谊点”在函数的图象上， ， ； （3）解：点在函数的图象上， ， ， ， ． 12．将长为、宽为的长方形白纸按下图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为． (1)根据上图将表格补充完整． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … (2)设张长方形白纸黏合后的总长度为，求关于的函数解析式，并判断是不是的一次函数． (3)你认为长方形白纸黏合起来的总长度可能为吗？请说明理由． 【答案】(1)75；180；(2)，是；(3)不可能．理由如下： 令，得， 解得． 为正整数， 长方形白纸黏合起来的总长度不可能为． 【分析】（1）根据题意，每增加张白纸，黏合部分宽为，会减少，计算即可得出答案； （2）根据（1）中的结论每增加张白纸，黏合部分宽为，会减少，那么张长方形白纸黏合后会减少，由此可得到解析式，再判断是不是的一次函数即可； （3）把代入（2）中的关系式，若为整数，即可达到总长度为，反之则不能． 【详解】（1）解：由题意，得张长方形白纸黏合后的长度为， 张长方形白纸黏合后的长度为． 补充表格： 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … （2）解：由题意可得． 故关于的函数解析式为，是的一次函数． （3）解：不可能．理由如下： 令，得， 解得． 为正整数， 长方形白纸黏合起来的总长度不可能为． 【点睛】本题主要考查了函数关系式，规律型图形变化类，根据题意找出图形变化的规律列出函数关系式是解决本题的关键． 13．若九（1）班共有45名同学，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，那么全班同学共通过多少次视频电话呢？用点A1，A2，A3，⋯，A45分别表示第1名同学，第2名同学，第3名同学…第45名同学，把通话次数y与该班级人数x之间的关系用以下图表表示： (1)填写图中第四个图中y的值为 ，第五个图中y的值为 ．通过探索发现，通话次数y与该班级人数x之间的关系式 ． (2)若九（1）班全体女生相互之间共通话300次，该班共有多少名女生？ 【答案】(1)10，15， (2)该班共有25名女生 【分析】（1）根据所给表格，得出班级人数与通话次数之间的关系式即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可． 本题考查了一次函数以及找规律列代数式，找出图中的变化规律是解题关键． 【详解】（1）解：（1）由题知， 第一个图中y的值为：， 第二个图中y的值为：， 第三个图中y的值为：， …， 所以第个图中y的值为：， 由得，． 当时， 第四个图形中的值为：； 当时， 第五个图形中的值为：． 故答案为：10，15，； （2）由题知， ， 解得或（舍去）， 所以该班共有25名女生． 故答案为：25． 14．如图，在长方形中，．点为线段的中点．动点按照的路径，以每秒的速度运动；动点按照从点到点的路径，以每秒的速度运动；两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，___________；当时，___________． (2)用含代数式表示线段． (3)以为边向上作正方形，正方形与长方形重叠部分的面积为，用含代数式表示． (4)在（3）问的条件下，当重叠部分的面积等于3时，___________． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据点P、Q的运动速度，求出结果即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可； （3）分三种情况：当时，当时，当，根据的长度求出重叠部分的面积即可； （4）根据重叠部分的面积等于3列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点为线段的中点， ∴， 当时，，， ∴， ∴； 当时，，， ∴， ∴； （2）解：当时，，， ∴； 当时，，， ∴； 综上分析可知：； （3）解：当时，， ∵此时， ∴， ∴重叠部分面积：； 当时，， 令， 解得：， 当时，重叠部分面积为：； 当时，重叠部分面积为：； 综上分析可知：． （4）解：当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去） 综上分析可知：当重叠部分的面积等于3时，． 迁移创新 1．已知整式，其中为自然数，，，，，，…，均为正整数．下列说法：①若，，，则；②若，，且，则；③若，且，则一次函数的图像过．其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用多项式展开、赋值法，结合k，b均为正整数的条件，逐个判断三个说法的正误即可. 【详解】解：当时， ， ∴， ∴，故①正确； ∵，， 令得， ∵为正整数， ∴， 最高次项系数， ∵为正整数， ∴， ∴，故②正确； ∵，， 令得， ∵都是正整数， ∴， 对于一次函数，当时，， ∴ 一次函数图像过 故③正确； 综上，三个说法都正确，正确个数为. 2．如图，一种圆环的外圆直径是，环宽．若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则当时，y的值为___________．    【答案】 【分析】本题考查图形类规律探究，函数关系式．根据题意写出相应的函数关系式，然后代入数值计算即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； ， ∴， 当时，， 故答案为：． 3．对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数进行了相关探究：对一次函数（）进行探究后，得出下列结论：①是“不动点函数”，且只有一个不动点；②是“不动点函数”，且不动点是；③是“不动点函数”，且有无数个不动点．以上结论中，你认为正确的是_____．（填写正确的序号） 【答案】③ 【分析】本题考查了新定义“不动点函数”的理解及一次函数不动点的求解，解题的关键是根据不动点的定义，将问题转化为解方程． 根据不动点定义，对每个一次函数求解方程；对于，方程 无解，不是不动点函数；对于，解方程得，不动点为，原结论错误；对于，方程恒成立，有无数个不动点． 【详解】解：根据不动点定义，令， 对于①：，解方程，得，无解，故①错误； 对于②：，解方程，得，，此时，不动点为，故②错误； 对于③：，解方程，恒成立，故有无数个不动点，③正确． 故答案为：③． 4．在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“吉祥点”． (1)求函数的图象上所有“吉祥点”的坐标； (2)证明：无论k为何值，函数（，k为常数）的图象总经过一个确定的“吉祥点”； (3)若直线l：与直线，直线分别交于点A，B，直线与直线交于点C．记线段围成的区域（不含边界）为W．若区域W内没有“吉祥点”，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) ， 无论k为何值，函数（，k为常数）的图象总经过一个确定的“吉祥点”：； (3)或时，W内没有整数点 【分析】（1）由“吉祥点”的定义可知时，不是整数，所以只有，是函数图像上的整点； （2）把函数关系式整理为 ，发现图象一定过“吉祥点”； （3）解出，，，然后根据，，，，，分情况解题即可． 【详解】（1）解：x是整数，时，是一个无理数， 时，不是整数， ，即函数的图象上“吉祥点”的坐标是； （2）略 （3）解：由题意，，，， 点B始终直线的右侧（也就是直线在直线的右侧，点B的左侧）， 当时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意； 当时，y轴将W分成左右两部分，左边部分内点的横坐标在－1到0之间（不包括y轴），右边部分的点纵坐标在0到1之间（包括y轴），故时W内无整点； 当时， W内无整点； 当时，W内可能存在的整数点横坐标只能为－1， 此时边界上两点坐标为和，； 故时，W内无整点； 当时， W内无整点； 当时，横坐标为－2的边界点为和，线段长度为，故必有整点． 综上所述：或时，W内没有整数点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 一次函数 4.2 认识一次函数 课标要点 1.结合具体实例，理解一次函数、正比例函数的概念，掌握一次函数的一般表达式。 2.能辨析一次函数与正比例函数的包含关系，识别函数解析式特征。 3.能从实际情境、均匀变化问题中抽象变量关系，建立一次函数模型。 4.结合实际问题确定自变量取值范围，发展模型观念、抽象能力、应用意识核心素养。 5.体会从特殊到一般、数形结合的数学思想，能用函数视角分析生活中的线性变化规律。 学习重难点 重点： 1.掌握一次函数与正比例函数的概念及解析式结构特征。 2.熟练辨析一次函数、正比例函数，掌握的核心限制条件。 3.能根据简单实际问题，正确列出一次函数关系式。 难点： 1.深度理解均匀变化的本质，从实际情境中抽象出一次函数模型。 2.准确区分一次函数与正比例函数的从属关系，规避概念混淆。 3.根据实际意义精准确定自变量的取值范围，完善函数建模过程。 4.理解解析式中参数的实际含义，建立代数式子与实际情境的对应关系。 知识点 一次函数 定义：形如（为常数，）的函数，叫做一次函数。其中是自变量，是因变量。 特别提醒 解析式必须是关于的整式；自变量的最高次数必须为1；不能等于0，可以为任意常数。 易错提醒 误认为只要含有的一次式就是一次函数。例如，分母含有自变量，不是整式，不属于一次函数。 教材延伸 当时，一次函数简化为，也就是正比例函数，说明正比例函数属于特殊的一次函数。 随学随练 1．下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是的一次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 4．已知函数为一次函数，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．函数是一次函数，则m的值为______． 知识点 正比例函数 基本概念：形如（是常数，）的函数，叫做正比例函数，叫做比例系数。 特别提醒 正比例函数解析式中不含常数项；是前提条件；是一次函数的特例。 易错提醒 认为一次函数就是正比例函数，混淆从属关系。一次函数不一定是正比例函数，但正比例函数一定是一次函数。 教材延伸 正比例函数描述的是两个变量成正比例变化，对应现实中单价固定、匀速运动等比值恒定的变化模型。 随学随练 1．下列函数中，是正比例函数的是(     ) A． B． C． D． 2．下列各函数中表示是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 3．已知，若是的正比例函数，则的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 4．已知函数是正比例函数，则常数的值是_____． 知识点 一次函数的判定 定义：把函数表达式整理化简后，对照一次函数的形式，判断是否满足一次函数的全部条件。 特别提醒 判定前先对式子化简；重点检查三点：整式、自变量次数为1、一次项系数不为0。 易错提醒 化简前看到次数为1就直接判定，忽略化简后系数为0的情况。如，化简后，不是一次函数。 教材延伸 已知函数是一次函数求参数，需要同时列出两个条件：自变量次数等于1，一次项系数不等于0。 随学随练 1．下列函数中，属于一次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．下列四个等式中，是的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数中，属于一次函数的有___________．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 知识点 一次函数的值 概念：在一次函数中，给定自变量一个确定的值，代入解析式计算得到对应的值，就是这个自变量对应的函数值。 特别提醒 已知求，直接代入计算；已知求，转化为一元一次方程求解。 易错提醒 代入负数时，漏加括号，造成符号运算错误。如，，误算成。 教材延伸 函数值可以通过解析式、表格、图象三种方式获取，三种表达形式可以互相转化。 随学随练 1．当时，函数的值等于（    ） A．3 B． C． D． 2．已知y是x的正比例函数，且当时，，当时，y的值为（   ） A．6 B． C．9 D． 3．在函数中，当时，y的值为__________． 4．与自变量的关系如图所示，当的值每增加1时，的值增加____________． 知识点 一次函数自变量的值或取值范围 定义：使一次函数解析式有意义，同时符合实际问题背景的自变量所有可取的值。 特别提醒 整式形式的一次函数，代数式层面自变量可取全体实数；实际问题需要额外限制范围。 易错提醒 整式解析式默认全体实数，做题时直接增加根式、分式限制条件，混淆函数类型。 教材延伸 自变量取值范围的边界，对应实际问题的临界点，解题时要判断端点能否取等号。 随学随练 1．当为（     ）时，的值为0． A．2 B． C． D．1 2．若函数，则当函数值时，自变量的值是（   ） A．1或1.5 B．1 C．1.5或 D．1.5 3．若函数，则当函数值时，自变量的值是（    ） A． B．或 C． D．或 4．根据如图所示的程序计算函数 的值，若输出 的值是 ，则输入的值为__________． 知识点 实际问题中的一次函数建模 定义：在均匀变化的实际情境里，找出两个变量之间的等量关系，列出一次函数关系式，并确定自变量的取值范围。 特别提醒 均匀变化的特征：自变量每增加固定量，函数值增加或减少固定量；关系式写完，必须标注自变量取值范围。 易错提醒 只列出函数关系式，忽略实际意义，自变量取负数、小数（如人数）等不符合现实的数值。 教材延伸 代表单位变化量，代表初始基础量，例如话费套餐月租为，每分钟通话费为。 随学随练 1．我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系 2．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长L（）与重物质量x（）的关系如下表所示：当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长L（）是（    ） 弹簧总长L（） 13 14 15 16 17 重物质量x（） A．27 B． C．20 D． 3．水池原有水，水匀速从排水管排出，全部排完．剩余水量与排水时间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（     ）． A． B． C． D． 4．用8cm长的细铁丝围成一个等腰三角形，腰长为xcm，底边长为ycm． （1）求y关于x的函数解析式； （2）在如图的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 5．某水果店售卖草莓，售价固定，每日销售额随售卖时长变化而变化．设售卖时长为小时（自变量），销售额为元（因变量），部分售卖数据如下表： 售卖时长（小时） 1 2 3 4 销售额（元） 80 160 240 320 (1)根据表格数据，写出与的变量关系式； (2)分析销售额随售卖时长的变化趋势； (3)若当日草莓全部售完用时6.5小时，求当日总销售额； (4)若当日固定成本为150元，求售卖5小时的纯利润． 拓展 一次函数中的模型观念 结合生活计费、行程、几何等真实情境，识别均匀变化的变量关系，抽象出一次函数模型。理解的实际意义，能用一次函数表达式刻画两个变量之间的线性变化规律，借助模型分析变量变化，感受一次函数作为描述均匀变化问题的数学工具，初步建立利用函数模型解决实际问题的思维。 素养拓展要点 1.能在实际情境中识别均匀变化特征，区分一次函数模型与其他变化模型。 2.能提取情境中的基础量与单位变化量，自主列出一次函数关系式。 3.结合现实背景确定自变量取值范围，检验模型结果是否符合实际意义。 4.能够解释解析式中参数对应的实际含义，体会数学与生活的联系。 活学活用 1．王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 2．某社区健身场馆推出了两种健身付费的方式． 方式一：先购买会员卡（每张会员卡100元，只限本人使用），凭卡健身每次再付费5元． 方式二：不购买会员卡，每次健身付费8元． 小张计划到该场馆去健身，设他健身的次数为x（x为正整数），两种健身方式的费用分别为元，元． (1)分别写出，与x之间的函数关系式． (2)若小张计划健身的总费用为280元，则他选择哪种付费方式健身的次数比较多？ 3．甲苯是一种重要的化工原料，它可以用于制作炸药、农药、油漆等，各行业都有应用．已知甲苯的沸点在标准大气压下高于，因为温度计量程限制，无法测量其沸点，为了测量甲苯的沸点，设计了以下实验，在实验室安全通风环境下，取一定质量的甲苯在烧杯中用酒精灯均匀加热，甲苯的初温为，每隔分钟记录一次温度，得到了如表所示的数据． 时间 温度 (1)因为酒精灯均匀加热，实验中某个时间的温度在测量中出现了错误，请指出表中错误的温度并修改； 请在直角坐标系中描出表中修正后的数据对应的点，并将这些点连起来； (2)根据以上判断，写出关于的关系式； (3)当加热分钟时，甲苯沸腾了，请推算甲苯的沸点是多少． 拓展 一次函数问题中的抽象能力 从大量实例中剥离无关背景，提炼出一次函数、正比例函数的代数形式，抽象概括出两类函数的概念与结构特征。辨析一次函数与正比例函数的从属关系，通过对比、归纳掌握函数判定的条件，完成从具体实例到抽象代数表达式的思维过渡，发展从具体到一般的数学抽象思维。 素养拓展要点 1.能从不同实例中抽象得到的形式，抓住、自变量次数为1的核心条件。 2.准确辨析正比例函数是特殊的一次函数，理清二者的包含关系。 3.能依据概念判断一个函数是否为一次函数或正比例函数，识别各类干扰式子。 4.学会根据函数类型，反向列式求解参数，锻炼符号抽象与逻辑推理能力。 活学活用 1．写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数，是否为的正比例函数． ①等边三角形的周长与边长之间的关系； ②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量（升）与已行驶的距离（千米）之间的关系； ③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系； ④设一长方体盒子高为，底面是正方形，求这个长方体的体积（）与底面边长（）之间的关系． 2．某物流公司推行环保运输政策，通过分段计价引导客户集约化运输，并制定如下计价规则． 计价规则 货物质量不超过时，单价为6元； 货物质量超过但不超过时，超过部分单价为5元； 货物质量超出时，超出的部分单价为4元，并一次性额外收取30元的碳排放附加费． 设货物质量为，运费为y（元）． (1)若货物A质量为，货物B质量为，分别计算两个货物的运费； (2)当时，求y与x的函数解析式； (3)若某货物的运费为170元，求该货物质量为多少？ 3．如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为．经测量，得到下表中数据． 双层部分长 0 2 8 14 20 单层部分长度 152 148 136 112 (1) ； (2)根据表中数据规律，试写出与之间的表达式； (3)按小文的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度． 题型 识别正比例函数 解题贴士 在一次函数基础上再加一个条件：常数项；必须同时满足三条：整式形式；次数为1 ；正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 ▌例1 下列关于的函数中，是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．下列函数关系式中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． ▌对点练1-2．下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 题型 识别一次函数 解题贴士 1.先化简：将式子整理成最简整式形式。 2.两关必查：自变量 的次数为 1次、一次项系数 。 3.三不判定：含 、含 、不含自变量（常数）都不是一次函数。 4.只要符合 ，即为一次函数。 ▌例1下列函数中，一次函数的式子是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1.下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2.下列函数关系式：①；②；③；④；⑤，一次函数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型 根据一次函数的定义求参数的值 解题贴士 列双重条件：自变量次数；一次项系数；正比例函数求参数要三条件：次数=1；系数≠0；常数项=0；必检验：算出参数后代回原式，舍去使系数为0的解（最常考易错点）。 ▌例1函数是关于的一次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 ▌例2 若关于变量，的函数是正比例函数，则的值为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1若函数是一次函数，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．任意实数 ▌对点练1-2若函数是关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m为任意实数 ▌对点练1-3 已知函数是正比例函数，则__________． 题型 求一次函数的值 解题贴士 1.已知求：直接代入、负数带括号。 2.严格按四则运算顺序计算，先乘除后加减。 3.算出结果无需讨论范围（纯代数计算）。 ▌例1已知一次函数，当时，的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌对点练1-1当时，函数的值是（　　）． A．0 B． C．3 D．4 ▌对点练1-2已知函数，当自变量x增加1时，函数值（    ） A．增加1 B．增加2 C．增加3 D．减少2 ▌对点练1-3 已知函数，当时，函数y的值为________． 题型 求一次函数的自变量的值或取值范围 解题贴士 1.已知求：代入解析式，转化为一元一次方程求解。 2.纯代数式一次函数：自变量取值范围为全体实数。 3.实际问题必须限制范围：长度、重量、费用 ≥0；人数、个数必须为非负整数；求出的自变量值不在范围内直接舍去。 ▌例1一次函数的表达式为，当时，自变量x的值为______． ▌对点练1-1已知函数，则当函数值时，自变量的值是__________________． ▌对点练1-2 如图是一个运算程序示意图，若开始输入x后，输出y值为13，则输入的x为_____． 题型 根据具体问题列一次函数并求值 解题贴士 先找两个核心量：：单位变化量（每增加1份变化多少）；：初始基础量（没有变化时的原始数值） 固定建模公式：；列式后必须写自变量取值范围；最后根据题目给定条件代入求值。 ▌例1 一个深度为的长方体污水处理池，容积为，底面积为． (1)写出用表示的函数表达式． (2)当时，求的值． ▌例2 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长）另外三边用木栏围成，木栏长． (1)设平行于墙的一边长为x，垂直于墙的一边y，求y与x的函数关系式． (2)若养鸡场面积为200平方米，求鸡场垂直于墙的一边长． ▌对点练1-1某银行一年期存款利率为，记存入的本金为x元，一年到期时的本息和为y元． (1)写出y关于x的函数解析式； (2)存入10000元，一年到期时的本息和是多少元？ ▌对点练1-2书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额． ▌对点练1-3 如图，在中，，，，点为边上一动点，当动点沿从点向点运动时，的面积发生了变化．设长为，的面积为． (1)求与的关系式； (2)当点运动到的中点时，的面积是多少？ (3)若的面积为，则的长为多少？ 题型7 一次函数与实际问题建模 解题贴士 1.先判断模型：题目出现均匀、匀速、单价固定、稳步增减→必是一次函数模型。 2.剥离生活语言，转化数学语言：月租、起步价、固定成本→对应 ；每千米、每件、每分钟费用→对应 3.建模三步法：找变化关系；列函数式；定取值范围 4.能结合结果解释的实际意义。 ▌例1.小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境时说，海拔每增加，气温下降．小华在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为．试写出山上气温T（）与该处距山脚垂直高度h（）之间的函数关系式．当小华乘缆车到达山顶时，发现温度为，求山高． ▌对点练1-1 “绿叶”家政服务公司选派16名清洁工去打扫新装修的“海天”宾馆的房间，房间有大、小两种规格，每名清洁工一天能打扫4个大房间或5个小房间．设派x人去清扫大房间，其余人清扫小房间，清扫一个大房间工钱为80元，清扫一个小房间工钱为60元． (1)写出家政服务公司每天的收入y（元）与x（人）之间的函数关系式： (2)应该怎样安排这16名清洁工清扫？才能一天为“绿叶”家政服务公司创收5000元． ▌对点练1-2甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息，甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示． (1)求出图中a、b、c的值； (2)在乙出发多少秒后，甲、乙两人相距米？ 基础通关 1．下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，不是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．若关于变量x，y的函数是正比例函数，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．4 4．下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（   ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系 C．小明进行短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系 D．铅笔每支元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系 5．下列选项中，不是“均匀”变化的现象是（     ） A．正方形的面积与边长的关系 B．按固定单价买作业本，总花费与购买数量的关系 C．汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间之间的关系 D．读书时每天读同样多的页数，一本书剩余页数与读书天数的关系 6．氢气在氧气中燃烧生成水：，实验测得：在完全反应的情况下，参加反应的氢气质量（单位：g）与生成水的质量（单位：g）成正比例关系．当生成水时，消耗氢气，若要生成水，需要消耗氢气（     ） A． B． C． D． 7．在探究水的吸热能力的实验中，使用恒定功率的热源对水进行加热．实验发现，在加热过程中，水的温度升高值与加热时间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据（水的质量恒定），根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 加热时间 水温升高值 A． B． C． D． 8．我们把直角坐标平面内到轴距离是到轴距离倍的点称为“特殊点”．那么一次函数的图象上的“特殊点”坐标为（    ） A． B． C． D． 9．若函数是一次函数，则m的值为________． 10．已知：是关于的一次函数，则________． 11．如图，如果输入的值为，那么输出的值为__________；如果输出的值为，则输入的值为_________． 12．已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，则当时，的值为_____． 13．已知一次函数． (1)当为何值时，? (2)当为何值时，? 14．用函数解析式表示下列问题中y与x的关系： (1)一个长方体的长为，宽为，高为，体积为； (2)某水箱有水，以的速度开始往外放水，放水时间为，剩余水量为． 15．已知与成正比例，且当时，； (1)求出与之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 素养提升 1．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．按如图所示的方式操作．下列说法中，正确的是（     ） A．y不是x的函数 B．y是x的函数，且是正比例函数 C．y是x的函数，且是一次函数 D．当时， 3．已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．水钟在我国古代叫“漏刻”或“漏壶”，如图②是一种原始漏刻的示意图，水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶中，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏箭”）．假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子就会均匀升高．则下图表示浮子升高的高度与经历时间之间关系的是（     ） A． B． C． D． 5．定义：若点中的，满足（为常数，且），则称点为“生长点”，下列各点是一次函数图象上的“生长点”的为（　　） A． B． C． D． 6．若点满足，则称点具有性质．例如点具有性质．如图，在长方形中点，点，轴，轴．长方形边上存在两点，均具有性质，则线段长为（　　） A．3 B． C． D． 7．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离．已知点在一次函数的图象上，点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．一次函数的图象经过点和若时，则的值为______． 9．新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 10．如图，在中，，，，点P是上一点，设的长为，的面积为S． （1）S与x之间的函数表达式为_______． （2）当的面积为18时，则的长为_______． 11．在平面直角坐标系中，对于，有如下规定：，则称点B为点A的“友谊点”．举例：的友谊点是，而的友谊点是． (1)点的“友谊点”是________； (2)点的“友谊点”在函数的图象上，求m的值； (3)已知点在函数的图象上，求点A的友谊点B的纵坐标的取值范围． 12．将长为、宽为的长方形白纸按下图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为． (1)根据上图将表格补充完整． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … (2)设张长方形白纸黏合后的总长度为，求关于的函数解析式，并判断是不是的一次函数． (3)你认为长方形白纸黏合起来的总长度可能为吗？请说明理由． 13．若九（1）班共有45名同学，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，那么全班同学共通过多少次视频电话呢？用点A1，A2，A3，⋯，A45分别表示第1名同学，第2名同学，第3名同学…第45名同学，把通话次数y与该班级人数x之间的关系用以下图表表示： (1)填写图中第四个图中y的值为 ，第五个图中y的值为 ．通过探索发现，通话次数y与该班级人数x之间的关系式 ． (2) 若九（1）班全体女生相互之间共通话300次，该班共有多少名女生？ 14．如图，在长方形中，．点为线段的中点．动点按照的路径，以每秒的速度运动；动点按照从点到点的路径，以每秒的速度运动；两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，___________；当时，___________． (2)用含代数式表示线段． (3)以为边向上作正方形，正方形与长方形重叠部分的面积为，用含代数式表示． (4)在（3）问的条件下，当重叠部分的面积等于3时，___________． 迁移创新 1．已知整式，其中为自然数，，，，，，…，均为正整数．下列说法：①若，，，则；②若，，且，则；③若，且，则一次函数的图像过．其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，一种圆环的外圆直径是，环宽．若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则当时，y的值为___________．    3． 对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数进行了相关探究：对一次函数（）进行探究后，得出下列结论：①是“不动点函数”，且只有一个不动点；②是“不动点函数”，且不动点是；③是“不动点函数”，且有无数个不动点．以上结论中，你认为正确的是_____．（填写正确的序号） 4．在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“吉祥点”． (1)求函数的图象上所有“吉祥点”的坐标； (2)证明：无论k为何值，函数（，k为常数）的图象总经过一个确定的“吉祥点”； (3)若直线l：与直线，直线分别交于点A，B，直线与直线交于点C．记线段围成的区域（不含边界）为W．若区域W内没有“吉祥点”，直接写出k的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $