精品解析：重庆市清华中学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

2026-2027学年上期九年级数学检测（一） 总分：150 考试时间：120分钟 注意：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 5. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，如果全组有名同学，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 6. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 7. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 8. 估算的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 9. 如图，在中，，是边上的中线，将绕着点C顺时针旋转，得到，连接，交于点F．若，，则（ ） A. B. C. 9 D. 10. 已知整式，规定中各项次数和为，各项系数的平方和为．其中为正整数，为非零整数，为自然数，且．若，．下列说法： ①当时，或； ②当时，函数与轴一定有两个不同的交点； ③满足条件的整式共有62种． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题6个小题，每题4分，共24分） 11. 方程的解是___________． 12. 二次函数的顶点坐标是___________． 13. 已知一元二次方程的两根为、，则_____． 14. 若实数，同时满足，，则的值为_________． 15. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了___________． 16. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论是_________．（填序号） 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中x是方程的解． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线）． 19. 已知二次函数的顶点坐标为与y轴的交点为． （1）求此二次函数的表达式 （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的大致图象（不用列表）； （3）结合函数图像，回答下列问题： ①当时，的取值范围是_________； ②直接写出当时，的取值范围是_________． 20. 综合与实践 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性研究． 【动手操作】 如图，在平行四边形中，平分，交对角线于点，用尺规完成以下基本作图：作的平分线，交对角线于点． 【问题提出】他们猜想，之间存在以下数量关系：． 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 21. 如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）已知是反比例函数图象上一点，求的面积； （3）结合图象，直接写出当时，不等式的解集为________． 22. 如图，中，，，，动点从点出发，沿着折线匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时以相同的速度从出发沿射线运动．设运动时间为秒（），的面积为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出、的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）根据图象直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过）． 23. 新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆．求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，与轴交于点，与轴交于，两点（在的左侧），连接，， （1）求抛物线的表达式； （2）点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求此时点的坐标及的最小值； （3）将该抛物线向左平移2个单位，然后再向下平移了2个单位，刚好使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 25. 如图，在中，，于点． （1）如图1，若，，求的面积． （2）如图2，将绕点C顺时针旋转到，连接交于点F，请猜想并证明，，之间的数量关系． （3）如图3，在（1）的条件下，若点、分别是、边上的两个动点，且满足，连接、，请直接写出取得最小值是多少． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上期九年级数学检测（一） 总分：150 考试时间：120分钟 注意：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】需注意含完全平方的方程需化简后再判断最高次数． 【详解】解：A选项是一元二次方程． B选项含分式，不是一元二次方程． C选项将，整理得，最高次数为1，不是一元二次方程． D选项含有两个未知数，不是一元二次方程． 2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据移项，配方，变形的步骤进行配方后，判断即可． 【详解】解： ∴； 故选D． 3. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵的图象向左平移2个单位， ∴得． ∵再向下平移2个单位， ∴得． 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程有实数根可得根的判别式非负，据此列不等式求解的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 解得． 5. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，如果全组有名同学，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析每名同学的赠送数量，再分析全组的总赠送数量，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：全组有名同学，每名同学需向除自己外的其他成员赠送标本， 每人赠送件． 全组总赠送数为件． 由全组共互赠件，得． 6. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，结合点的坐标验证、图象象限分布、函数增减性逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 当时，， ∴A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴B错误； ∵ ，当 时，函数图象在第三象限， ∴ 随的增大而减小， ∴正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小，不是增大， ∴错误． 7. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】分别将三个点的横坐标代入抛物线的解析式中求得，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 8. 估算的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】B 【解析】 【分析】先利用乘法分配律化简二次根式表达式，再估算根式结果的范围． 【详解】解：． ， ， ． 9. 如图，在中，，是边上的中线，将绕着点C顺时针旋转，得到，连接，交于点F．若，，则（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形，平行线分线段成比例，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 过作交延长线于，过作，过作，根据面积可得，再根据中线得到，接着通过证即可求解． 【详解】解：过作交延长线于，过作，过作， ，， ， 解得， ，， ， ， ，， ， ， 又为中点， ， ， ， 为中位线， ， 绕着点C顺时针旋转， ，， ， 又， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，． 故选：D． 10. 已知整式，规定中各项次数和为，各项系数的平方和为．其中为正整数，为非零整数，为自然数，且．若，．下列说法： ①当时，或； ②当时，函数与轴一定有两个不同的交点； ③满足条件的整式共有62种． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数式的操作，涉及整式的相关概念，解一元二次方程，熟练根据题意正确列举出所有情况是解题的关键； 根据条件和，可取1，2，3，4，分别计算每个下满足条件的整式的种类数，即可判断①和③；根据满足条件的整式，求其与轴的交点，即可判断②． 【详解】解：∵ P为各项次数和，即， ∴， ∴可取的值为1，2，3，4， ∵，且，为自然数，为非零整数， 当时，，此时， ∴整式为，满足， ∴， 当时，； 当时，； ∴当时，或， 故①说法正确； 当时，，此时， 整式为：，满足：， ∵，为自然数，且， ∴，，， ∴，即或或或， ∴与轴的交点为和或和，故②说法正确； 当，此时，有，有2种； 当，此时，有，有4种； 当，此时，有，有8种； 当，此时，满足条件的系数绝对值集合有3种：、、，每种有16种，共48种； ∴ 总种类数，故③说法正确； ∴ 三个说法均正确， 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每题4分，共24分） 11. 方程的解是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】方程左边已分解为两个一次因式的乘积，分别令两个因式等于0即可求出方程的解． 【详解】解：∵ ∴或 ∴，． 12. 二次函数的顶点坐标是___________． 【答案】（-2，-1） 【解析】 【分析】因为顶点式y=a（x-h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y=（x+2）2-1的顶点坐标即可． 【详解】解：∵二次函数y=（x+2）2-1是顶点式， ∴顶点坐标为（-2，-1）， 故答案为：（-2，-1）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，注意：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h． 13. 已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 14. 若实数，同时满足，，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值的非负性可知，所以可得，由可得，把代入得到关于的一元一次方程，解方程求出、的值，再把、的值代入代数式求值． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时， 可得：， ， ， 解得：， ， ； 当时， 可得：， ， 方程无解； 综上所述，． 15. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据题意可知汽车刹车后行驶的距离s关于时间t的函数是二次函数，二次函数的最大值对应汽车停下来时的前进距离，据此求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴当，即时，s有最大值，最大值为， ∴汽车刹车后到停下来前进了， 故答案为：． 16. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论是_________．（填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据抛物线对称轴为直线可得a与b的关系，从而判断②，由时可判断①，由抛物线经过点及抛物线对称轴可求出与a、与a的关系，从而判断③，将方程的解转化为抛物线与直线的交点问题，从而判断④，从而可得答案． 【详解】解：由函数图象得， 图象过点，对称轴为直线， 图象与轴的另一个交点为，， ， ，故结论②正确； 令则，即， 故结论③正确； 令，则， ， ，故结论①错误； 抛物线过点，， 抛物线的解析式为， 的两个根、为抛物线与直线的交点的横坐标， ， ， 故结论④正确； 综上，正确的结论是②③④． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线）． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， 对于（1），先移项，再配方，然后开方可得解； 对于（2），先移项，再因式分解得出因式乘积的形式，即可得出解． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得， 即， ， ，； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， 即， 或， 解得，． 18. 先化简，再求值：，其中x是方程的解． 【答案】 【解析】 【详解】解： 是方程的解， ， 则原式． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线）． 19. 已知二次函数的顶点坐标为与y轴的交点为． （1）求此二次函数的表达式 （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的大致图象（不用列表）； （3）结合函数图像，回答下列问题： ①当时，的取值范围是_________； ②直接写出当时，的取值范围是_________． 【答案】（1） （2）如图所示： （3）①② 【解析】 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，将代入上式，可得，即可求得抛物线的解析式． （2）将代入中，求解可得抛物线过，，抛物线对称轴为，进而可得关于对称的点为， 结合抛物线的点坐标为，画图即可． （3）①当时，图像位于轴下方，结合图像即可求解． ②把代入中，求解可得抛物线图像经过，且当时，图像包含，结合图像即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得二次函数的顶点坐标为 故可设抛物线的解析式为， 将代入上式，即， 解得：， ∴抛物线的解析式为，即． 【小问2详解】 解：将代入中，即， 解得：，， ∴抛物线过点，， ∵抛物线与y轴的交点为，且对称轴为， ∴抛物线上关于对称的点为， 结合抛物线的顶点坐标为，画图如图所示． 【小问3详解】 ①解：由图像可得当时，图象位于轴下方，即的取值范围是． ②解：把代入中，即， ∴抛物线图像经过， 由上可得抛物线图像经过，且当时，图像包含， 结合图像可得当时，的取值范围是． 20. 综合与实践 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性研究． 【动手操作】 如图，在平行四边形中，平分，交对角线于点，用尺规完成以下基本作图：作的平分线，交对角线于点． 【问题提出】他们猜想，之间存在以下数量关系：． 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 【答案】（1）如图所示， （2）∵四边形是平行四边形， ，， （两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， ， 又， ， 在和中 ， （全等三角形对应边相等）， 【解析】 【分析】（1）尺规作一个角的平分线，以为圆心画弧交、两点，再分别以交点为圆心画弧得到交点，连接与交点得到角平分线，与交于． （2）利用平行四边形性质得到边相等、对角相等、内错角相等，结合角平分线推出一组角相等，用证明，得到对应边． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）已知是反比例函数图象上一点，求的面积； （3）结合图象，直接写出当时，不等式的解集为________． 【答案】（1）一次函数的表达式为；反比例函数的表达式为： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求得m的值，即可求得反比例函数解析式；再利用待定系数法求—次函数的解析式即可； （2）先求出点C的坐标，再构建矩形，用矩形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）根据函数图象直接确定不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于， ∴反比例函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴反比例函数的表达式为：． 把点A、点B的坐标代入得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵是反比例函数图象上一点， ∴， 即， 如图：过B作轴，过A作轴，过B作轴，则， ∴， ∴的面积为 ． 【小问3详解】 解：由函数图象可得的解集为在的下方图象对应x的取值范围，即． 22. 如图，中，，，，动点从点出发，沿着折线匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时以相同的速度从出发沿射线运动．设运动时间为秒（），的面积为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出、的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）根据图象直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2）图象如图：；性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3）或 【解析】 【分析】（1）先用勾股定理算出，分两段讨论，点在、上，利用三角形面积公式求；两个三角形同高，面积之比等于底边长之比，化简求出． （2）通过描点、连线画出两个函数图象，观察图象增减性写出的一条性质． （3）联立解析式求出交点横坐标，对照图象得到满足的范围． 【小问1详解】 在中，，，， ． 如图：当点在上，即时， ，边上的高为， ． 如图当点在上，即时， ，边上的高为， ． 由题意可得：，过作于，则是和的高， ，即． 【小问2详解】 、图象：略； 函数的一条性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【小问3详解】 联立，解得； 联立，解得； 由函数图象可知：当时，或， 当时，或． 23. 新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆．求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1）从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为 （2）该店下调后每辆汽车的售价为万元 【解析】 【分析】（1）设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，根据月份的销售量和月份的销售量列一元二次方程求解即可； （2）设每辆汽车的售价降低万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周售出辆，根据平均每周的销售利润为万元列一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每辆汽车的售价降低万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周售出辆， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 此次销售尽量让利于顾客， ， （万元） 答：该店下调后每辆汽车的售价为万元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，与轴交于点，与轴交于，两点（在的左侧），连接，， （1）求抛物线的表达式； （2）点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求此时点的坐标及的最小值； （3）将该抛物线向左平移2个单位，然后再向下平移了2个单位，刚好使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）点的坐标为：或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）将，分别代入中，求解可得点的坐标为，点的坐标分别为：、，结合题意可得，待定系数法求得直线的表达式为：，设点，则点，即，当时，取得最大值，进而求得点、，，将点向右平移个单位得到点，连接交轴于点，过点作，连接，利用平行四边形的判定和性质可得，故此时为最小． （3）根据平移的性质可得新抛物线的表达式为：，待定系数法求得直线的表达式为：，再分成点在下方时，当点在上方时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：；· 【小问2详解】 解：将代入中，即， ∴点的坐标为， 将代入中，即， 解得：，， ∴点的坐标分别为：、， ∵点为线段的中点，，， ∴点， 设直线的表达式为， 将，分别代入上式，即 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， ∴， ∴当时，取得最大值， 即点、， ∴， 将点向右平移个单位得到点，连接交轴于点，过点作，连接， ∵，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，则， 则此时为最小； 【小问3详解】 解：∵抛物线向左平移2个单位，然后再向下平移了2个单位，可得新抛物线， ∴新抛物线的表达式为：， 设直线的表达式为， 将，分别代入上式，即 解得：， ∴直线的表达式为：， 当点在下方时， ∵， ∴则， 则直线和表达式中的值相同， 设直线的表达式为， 将代入上式，即 解得：， ∴的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点； 当点在上方时，同理可得，点，直线的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点； 综上，点Q的坐标为：或． 25. 如图，在中，，于点． （1）如图1，若，，求的面积． （2）如图2，将绕点C顺时针旋转到，连接交于点F，请猜想并证明，，之间的数量关系． （3）如图3，在（1）的条件下，若点、分别是、边上的两个动点，且满足，连接、，请直接写出取得最小值是多少． 【答案】（1） （2）解：； 证明如下：如图，过点E作交的延长线于点G， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件利用等腰直角三角形的性质得出的值，再由勾股定理得出的值，进而求得的值，最后利用三角形面积公式即可求得结果； （2）过点E作交的延长线于点G，证得，得出，再证得，，继而得到，由此得出结论； （3）过点C作，取，延长，取点E，使，连接、，，，，且与交于点，证明，得出，根据垂直平分，得出，说明，得出当E、P、F三点共线时，最小，即最小，证明，得出，，求出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点C作，取，延长，取点E，使，连接、，，，，且与交于点，点如图所示： 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当E、P、F三点共线时，最小，即最小， ∴当点P在点处时，最小，且最小值为的长， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $