精品解析：重庆市南开中学校2026-2027学年九年级上学期第10月学情自测数学试题

数学（二） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一．选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简含根号的数，再结合有理数、无理数的定义判断，含的数为无理数． 【详解】解：∵是整数，是有限小数，是分数． ∴均属于有理数． ∵是无理数． ∴是无理数． 2. 下列是中国传统文化图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 3. 已知一粒米的质量是千克，这个数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为．若的面积是，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形，位似比为， ∴，且相似比为， ∴， ∵， ∴， 故选C． 5. 下列调查中，适合用普查方法的是（ ） A. 了解一批科学计算器的使用寿命 B. 调查某班学生每周课前预习的时间 C. 了解某种奶制品中蛋白质的含量 D. 调查全国中小学生课外阅读情况 【答案】B 【解析】 【分析】从调查范围、是否具有破坏性两方面判断各选项是否适合普查． 【详解】解：∵了解计算器使用寿命、检测奶制品蛋白质含量均具有破坏性， ∴ A、C不适合普查，不符合题意； ∵ 某班学生人数少，调查范围小，可全面调查， ∴ B适合普查，符合题意； ∵ 全国中小学生数量庞大，调查范围广， ∴ D不适合普查，不符合题意． 6. 用黑白两种颜色的正方形瓷砖按如图规律铺设，那么第个图案中白色瓷砖的块数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察图形，分别数出前三个图案中白色瓷砖的块数，归纳出第个图案中白色瓷砖块数的公式，代入计算即可． 【详解】解：第1个图案中白色瓷砖有块，； 第2个图案中白色瓷砖有块，； 第3个图案中白色瓷砖有块，； 第个图案中白色瓷砖有块； 当时，． 7. 《九章算术》中盈不足章有如下记载：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？”译文：若干人合伙买一块美石，每人出钱，多出钱；每人出钱，还差钱．问人数和美石的价格各是多少？设有人，一块美石为钱，可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以美石价格为等量，结合两种出钱的盈、不足情况列方程组即可． 【详解】解：设有人，一块美石为钱， ∵每人出钱，多出钱， ∴， ∵每人出钱，还差钱， ∴， ∴可列方程组为． 8. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、选项一次函数，，二次函数：开口向上，说明，二次函数对称轴：，则，矛盾， A选项错误； B、选项一次函数，，二次函数：开口向下，说明，矛盾， B选项错误； C、选项一次函数，，二次函数开口向上，说明，对称轴，则，所有性质均一致，C选项正确； D、选项一次函数，，二次函数开口向下，说明，二次函数对称轴：，则，矛盾，D选项错误． 9. 如图，边长为的正方形中，为上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，满足，连接，交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，延长到M，使得，连接，根据三角形全等，三角形相似，勾股定理，解方程，解答即可． 【详解】解：连接，延长到M，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 根据勾股定理，得， ∴ 解得， ∴，， 延长交的延长线于点N, ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得，， ∴， ∴． 10. 对于整式，把它的系数倒过来排列，得到新的整式，称为的“倒序式”．已知满足：，为正整数，，，均为整数，且．下列说法： ①当，时，若为二项式，则满足条件的整式共有个； ②若是方程的一个非零实数根，则是方程的根； ③当，，且时，若函数与的图象在轴上有公共点，则满足条件的所有整式的和为． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒序式的定义，逐一分析三个说法的正确性，结合整式的项数、方程的根、二次函数与x轴的交点等知识推导． 【详解】解：①当，时，，其中为正整数，为整数，且． 由倒序式定义，． 为二项式，则且，又，故只需． 由，，，得： 当时，，即，对应2个； 当时，，即，对应2个； 当时，，即，不符合． 故满足条件的共有4个，①正确． ②是的非零实数根， ． ，两边同除以，得： ， 整理得， 即，故是的根，②正确． ③当，，时，由得， 此时，． 函数与的图象在轴上有公共点，即存在实数使得且． 将两式相减，得，即． 分两种情况： 1．若，则，此时与轴有交点即满足条件． 由得，即． 此时判别式，符合条件，对应为，． 2．若，则，即或为公共根． 当时，，即，结合，解得，（舍去），对应． 当时，，即，结合，解得，（舍去），对应． 综上，满足条件的为，，，． 它们的和为：，故③正确． 二．填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 在一个不透明的盒子里有个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同．若摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率为______________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据概率的计算公式，用红球个数除以所有球的总个数，即可求出摸到红球的概率． 【详解】解：∵盒子里总共有球个，其中红球有个， ∴摸到红球的概率为． 12. 如图，已知，，则______________． 【答案】100 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 13. 如图，数轴上在点，点之间且表示整数的点有______________个． 【答案】 【解析】 【分析】先确定，再根据范围得出答案． 【详解】解：∵， ∴点A，点B之间的整数有， 一共有6个． 14. 若一个直角三角形的两条直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】设直角三角形的两条直角边为方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再结合勾股定理计算斜边长． 【详解】解：设直角三角形两条直角边的长分别为，，斜边长为， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴． 15. 已知四位数的各数位数字互不相同且均不为，删去百位数字得到，删去十位数字得到，若，那么称这个数为“允公”数．若四位数是“允公”数，则______________；若“允公”数还满足能被整除，则满足条件的的最大值为______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先将用数位上的数字表示，代入已知等式化简，利用整除性质得到的值，再整理得到的关系式，枚举得到所有可能的，结合被整除的条件，求最大的． 【详解】解：由题意得：， ， ， 代入得： ， 化简右边得：， 左右消去，整理得： ， 左边是的倍数，因此右边也是的倍数，是的倍数，故是的倍数， ∵是的整数， ∴； 将代入等式化简得：， ∵是的正整数， ∴，即，， 时，； 时，； 时，； 时，（舍去）， 所有可能的为， ， 能被整除，与互质，故能被整除， ∵， ∴能被7整除， 要最大，需尽可能大，再尽可能大，依次验证： 当时：， ∴当能被7整除时，就能被7整除， ∵a是的正整数， ∴， ∵， ∴与d重复，不符合题意舍去； 当时：， ∴当能被7整除时，就能被7整除， ∵a是的正整数， ∴， 此时各数位上的数为，互不相同，均不为，符合题意， ∴此时； 当 时：， ∴当能被7整除时，就能被7整除， ∵a是的正整数， ∴， 此时各数位上的数为，互不相同，均不为，符合题意， ∴此时； ∵， ∴最大是． 16. 如图，在矩形中，．动点从出发，以每秒的速度沿运动，到达后停止，连接，与对角线交于点．设运动时间为秒，在不与、重合时，记，关于的函数图象如图所示，在函数图象上，且最高点为，则______________．过作交直线于点，连接，当时，的值为_______________． 【答案】 ①. ②. 4或25##25或4 【解析】 【分析】表示出，证明，得到，当时，求出，然后将代入求出，得到，此时点P和点C重合，然后利用即可求出；当时，分两种情况讨论：当点P在上时，利用勾股定理求出，证明，得到，然后代入求解；当点P在上时，证明点A，B，Q，E在同一个圆上，得到，设，，表示出，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：根据题意得， ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ 当时，设 将代入得， ∴ ∴ 将代入得， ∴ 由图象得，当时， ∴此时，点P和点C重合 ∵四边形是矩形 ∴ ∴，即 ∴； 当时，如图，当点P在上时 ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴，， ∵，即 ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴； 如图，当点P在上时 ∵四边形是矩形 ∴，， ∵，即 ∴ ∴点A，B，Q，E在同一个圆上 ∴ ∴ 设， ∴ ∵ ∴ ∴ 根据题意得， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ 综上所述，当时，的值为4或25． 三．计算题：（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）解答时给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，取两个解集的公共部分得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式， 解得； 解不等式， 解得； 所以不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【解析】 【详解】解： ， ， 原式． 四．解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 为了解学生使用绘画工具进行创意作图的情况，从七年级、八年级各随机抽取名学生，记录每位学生完成一幅完整创意作品的实际操作用时（时长不足一分钟按一分钟计）．整理数据分为四组（A组：分钟，B组：分钟，C组：分钟，D组：分钟），并将数据进行分析，下面是部分信息： 抽取的七年级名学生用时数据： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 抽取的八年级名学生用时在B组的数据：，，，，，，． 七．八年级所抽取的学生用时统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 八年级所抽取的学生用时扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）结合表格中的统计量，比较七年级、八年级学生使用绘画的效率哪个更高（用时越短代表操作效率越高），请写出一条理由； （3）七年级共有人，八年级共有人，请估计七、八年级使用绘画用时不超过7分钟的学生共有多少人？ 【答案】（1）8，8，10 （2）八年级效率更高．理由：平均数相同（都是9.2），八年级中位数8，小于七年级中位数8.5，八年级的众数为7，小于七年级的8，说明八年级学生使用绘画的效率更高． （3）估计七、八年级使用绘画用时不超过7分钟的学生共有745人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义计算即可得出a，b的结果；求出组的数据个数，即可求出的值； （2）根据中位数和众数分析即可得出结果； （3）用1200乘以七年级所有学生中使用绘画用时不超过7分钟的学生的人数所占的比例，用1100乘以八年级所有学生中使用绘画用时不超过7分钟的学生的人数所占的比例，再求和即可． 【小问1详解】 解：七年级数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 众数是出现次数最多的数，8出现4次，次数最多，所以； 八年级A组数据的个数为：， B组7个数据为：，，，，，，， C组数据的个数为：， D组数据的个数为：， 中位数是第10、11个数的平均数，即； ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计七、八年级使用绘画用时不超过7分钟的学生共有745人． 20. 综合与实践 在学习了菱形的判定方法后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】如图，在平行四边形中，．用尺规完成基本作图：作出对角线的垂直平分线，交于点，交于点，交于点，连接、． 【问题提出】他们猜想：四边形是菱形． 【问题解决】任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请你完成猜想的证明过程． 【答案】（1） （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图知，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）按线段垂直平分线的尺规作图方法完成即可； （2）证明，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证明． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 证明：略． 21. 重庆作为山水之城，美丽之地，凭借独一无二的立体城市风貌、两江夜景、特色美食与巴渝文化，持续受到全国游客的青睐．今年国庆，重庆洪崖洞迎来了全国众多游客旅游打卡．洪崖洞一文创店重点推出洪崖洞“浮雕款”和“平面款”冰箱贴，“浮雕款”冰箱贴每个售价是“平面款”冰箱贴每个售价的倍．国庆第一天，“浮雕款”冰箱贴销售额为元，“平面款”冰箱贴销售额为元，且“平面款”冰箱贴比“浮雕款”冰箱贴售出的数量多个． （1）求国庆第一天“浮雕款”冰箱贴、“平面款”冰箱贴每个的售价分别是多少元？ （2）国庆第六天，“浮雕款”冰箱贴每个售价比国庆第一天降低了元，销售数量增加了个；“平面款”冰箱贴每个售价与国庆第一天相同，销量减少了个．已知国庆第六天两款冰箱贴的总销售额与国庆第一天两款冰箱贴的总销售额相等，求的值． 【答案】（1）“浮雕款”冰箱贴每个售价50元，“平面款”冰箱贴每个售价25元． （2）的值为5． 【解析】 【分析】（1）以“平面款”冰箱贴售价为未知数，根据两款冰箱贴的销量差列分式方程求解． （2）根据国庆第六天总销售额与第一天总销售额相等的等量关系列一元二次方程，结合的条件取舍解． 【小问1详解】 解：设国庆第一天“平面款”冰箱贴每个售价为元，则“浮雕款”冰箱贴每个售价为元． 由题意得： 化简得：  解得：  检验：当时，，， 故，是原方程的解． ∴   答：国庆第一天“浮雕款”冰箱贴每个售价50元，“平面款”冰箱贴每个售价25元． 【小问2详解】 解：国庆第一天“浮雕款”冰箱贴销量为（个），“平面款”冰箱贴销量为（个）． 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵ ，  ∴ ， 答：的值为5． 22. 如图，在矩形中，，，是边的中点，点和点分别从点和点同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，连接，，过点作交于点．设运动时间为秒，记的面积为，与的周长之比为． （1）直接写出，关于的函数表达式，并分别写出的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系（图）中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时，的取值范围（近似值保留到小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1），， （2）；的最大值为3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点在和上两种情况求出的面积，证明可得出与的周长之比为． （2）画出函数，的图象，写出函数的一条性质即可； （3）联立方程组，求出交点坐标，结合函数图象写出时的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 当点在上时，， 当点在上时，， ∵点以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴， ∵，，， ∴的周长， ∵， ∴， 又， ∴， ∴周长之比相似比， ∴，， 当时，在线段上，，， ∴； 当时，在线段上，，， ∴， 过点作于点，则 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴ 综上，； 【小问2详解】 解：图略 的性质：的最大值为3 【小问3详解】 解：联立， 解得， 结合图象得：时，的取值范围为． 23. 中秋佳节，某古城开展“中秋探月”定向打卡活动，以古城街巷为场地还原古时赏月寻踪路线．如图：四个打卡点，，，在同一平面内，其中位于的正北方向，位于的正东方向米处，位于的北偏西方向米处，位于的西南方向．（参考数据：，，） （1）求，两处打卡点之间的距离；（结果保留根号） （2）小叶从打卡点沿方向前往打卡点，小枫从打卡点沿方向前往打卡点，两人同时出发，小叶的速度与小枫的速度之比为，当小叶距离打卡点多少米时，小枫位于小叶的东北方向上？（结果精确到米） 【答案】（1），两处打卡点之间的距离为米； （2）当小叶距离打卡点米时，小枫位于小叶的东北方向上． 【解析】 【分析】（1）过点C作交于点F，过点B作交于点E，利用所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出和的值，进而得到的值，有三个角都是直角的四边形是矩形，利用三角形内角和定理和等角对等边求出的值，根据线段之间的关系可得到的值，矩形的对边相等，从而求出的值； （2）东北方向，即小枫位于小叶的东偏北上，作垂线找出直角三角形，利用所对的直角边是斜边的一半和勾股定理、等角对等边进行求解． 【小问1详解】 解：过点C作交于点F，过点B作交于点E，则，如下图所示， 由题可知，， 在中，，，（米）， （米）， （米）， （米）， 在四边形中，，，， 四边形是矩形， （米），， 在中，，，（米）， ， ， （米）， 米， 米， 答：，两处打卡点之间的距离为米； 【小问2详解】 设小叶距离打卡点x米时，小枫位于小叶的东北方向上，如下图所示，则（米），（米）， 过点M作，则，， （米）， 米， 在中，，，米， （米）， （米）， （米）， 在中，，， ， ， ， （米），（米）， ， 解得：（米）， 所以，当小叶距离打卡点米时，小枫位于小叶的东北方向上． 【点睛】出现和找直角三角形． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点是线段上一动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，当的面积最大时，是第一象限内抛物线上一点，连接，，若四边形的面积为的最大面积的倍，求点的坐标； （3）在（2）问条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，是平移后抛物线上一点，射线交直线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点，代入抛物线解析式中，即可求出抛物线解析式； （2）设点，先根据题意分别求出直线、、的解析式，将直线、解析式联立求出点的坐标，根据，从而求出的表达式，即可求出的最大值，连接，设，由建立方程求解即可求出点的坐标； （3）当点在第一象限时，过点作轴，与轴交于点，先根据题意求出平移后，由得出从而求出直线解析式为，与联立即可求出第一个点的横坐标，作等腰，此时点也符合题意，设，利用求出，进而求出的解析式，与联立即可求出第二个点的横坐标． 【小问1详解】 解：将点，代入抛物线解析式中得： ，解得：， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：如图所示，设点，，则， ∵抛物线解析式为， 令，得， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将点代入解析式得：，解得：， ∴直线的解析式为， 将直线解析式与直线解析式联立得： ，解得：， ∴点，即， ∴ ， ∴当时，取最大值为，此时直线的解析式为， ∴， 连接，设，，即，， ∴， ∴，解得：或， ∴点的坐标为或． 【小问3详解】 解：如图所示，当点在第一象限时，过点作轴，与轴交于点， ∵， ∴沿射线的方向平移，即当向左平移个单位长度时，就要向下平移个单位长度， ∴，解得：， ∴沿射线的方向平移个单位长度，即向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵原抛物线解析式为， ∴平移后， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∴，即点， 设直线解析式为，将点，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 又∵平移后， 令，解得：或（舍去）， ∴此时点的横坐标为， 将直线解析式与直线的解析式联立得： ，解得：， ∴点， ∴， 如图所示，在上取一点作等腰，此时，， ∴此时点也符合题意， 设， ∴，解得：或， 当时，对应的是点的坐标， ∴， 设直线解析式为，将点，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 令，解得：或（舍去）， ∴此时点的横坐标为， 综上：点的横坐标为或． 25. 在中，，，过点作直线，是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）如图，若，，，求线段的长； （2）如图，若点在射线上（不与点重合），过点作交直线于点，连接，为线段的中点，连接．用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图，若，连接，为线段的中点，连接．点为直线上一点，连接，将沿直线翻折至所在平面内得到，点的对应点是点，连接．当与均取得最小值时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）解：， 证明：∵， ∴， ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， 即． 在和中， ∴， ∴，． 如图，延长至，使，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∵为的中点，为的中点， ∴在中，是中位线， ∴， ∵点、、、在同一直线上，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （3） 【解析】 【分析】（1）由、得是等边三角形；由旋转得，证得；再由得，在中用勾股定理即可求出； （2）先证得、；倍长至，由证得；又、分别为、的中点，中位线得；由得，，故； （3）先由知道与直线所夹的锐角恒为，再用三角形中位线判断点的轨迹是过中点且与成的直线，用轴对称把化为两点间的线段求其最小值；再由翻折得，判断点在以为圆心、为半径的圆上，求得的最小值． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴，， ∴，． ∵，， ∴， ∴， 即． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴在中，， ∴． 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设． ∵， ∴是等边三角形，，． ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 即． 在和中， ∴， ∴，． 如图，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴与直线所夹的锐角恒为， ∴点的轨迹在过点且与直线成角的直线上， ∵为的中点，为的中点， ∴在中，是中位线， ∴，． ∵、都在直线上， ∴， ∴点的轨迹在过且平行于的直线上， ∴直线经过，且与的夹角为． 作点关于直线的对称点，连接、， 则， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值，最小值为． ∵，与的夹角为， ∴点到的距离为（角所对的直角边是斜边的一半）， ∴． ∵，与的夹角为， ∴与的夹角为． ∵，， ∴是等边三角形， ∴点到的距离为，点到的垂足到的距离为． ∵点到的距离为，垂足为，且点与点在的两侧， ∴点、沿垂直于方向相距，沿方向相距， ∴， ∴． 设于点， ∵，与的夹角为， ∴，， ∴在中，， ∴． ∵垂直平分， ∴点到的距离为． ∵取最小值时、、三点共线，点、到的距离分别为、， ∴由平行线截线段成比例，， ∴，． 在中，， ∴． ∵点在线段上， ∴， ∴． ∵点是点关于直线的对称点， ∴， ∴点的轨迹在以为圆心、为半径的圆上． ∵， ∴当点落在线段上时，取得最小值， ∴． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（二） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一．选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是中国传统文化图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一粒米的质量是千克，这个数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为．若的面积是，则的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查中，适合用普查方法的是（ ） A. 了解一批科学计算器的使用寿命 B. 调查某班学生每周课前预习的时间 C. 了解某种奶制品中蛋白质的含量 D. 调查全国中小学生课外阅读情况 6. 用黑白两种颜色的正方形瓷砖按如图规律铺设，那么第个图案中白色瓷砖的块数为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中盈不足章有如下记载：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？”译文：若干人合伙买一块美石，每人出钱，多出钱；每人出钱，还差钱．问人数和美石的价格各是多少？设有人，一块美石为钱，可列方程组（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，边长为的正方形中，为上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，满足，连接，交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 对于整式，把它的系数倒过来排列，得到新的整式，称为的“倒序式”．已知满足：，为正整数，，，均为整数，且．下列说法： ①当，时，若为二项式，则满足条件的整式共有个； ②若是方程的一个非零实数根，则是方程的根； ③当，，且时，若函数与的图象在轴上有公共点，则满足条件的所有整式的和为． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 在一个不透明的盒子里有个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同．若摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率为______________． 12. 如图，已知，，则______________． 13. 如图，数轴上在点，点之间且表示整数的点有______________个． 14. 若一个直角三角形的两条直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长为______________． 15. 已知四位数的各数位数字互不相同且均不为，删去百位数字得到，删去十位数字得到，若，那么称这个数为“允公”数．若四位数是“允公”数，则______________；若“允公”数还满足能被整除，则满足条件的的最大值为______________． 16. 如图，在矩形中，．动点从出发，以每秒的速度沿运动，到达后停止，连接，与对角线交于点．设运动时间为秒，在不与、重合时，记，关于的函数图象如图所示，在函数图象上，且最高点为，则______________．过作交直线于点，连接，当时，的值为_______________． 三．计算题：（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）解答时给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 18. 先化简，再求值：，其中． 四．解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 为了解学生使用绘画工具进行创意作图的情况，从七年级、八年级各随机抽取名学生，记录每位学生完成一幅完整创意作品的实际操作用时（时长不足一分钟按一分钟计）．整理数据分为四组（A组：分钟，B组：分钟，C组：分钟，D组：分钟），并将数据进行分析，下面是部分信息： 抽取的七年级名学生用时数据： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 抽取的八年级名学生用时在B组的数据：，，，，，，． 七．八年级所抽取的学生用时统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 八年级所抽取的学生用时扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）结合表格中的统计量，比较七年级、八年级学生使用绘画的效率哪个更高（用时越短代表操作效率越高），请写出一条理由； （3）七年级共有人，八年级共有人，请估计七、八年级使用绘画用时不超过7分钟的学生共有多少人？ 20. 综合与实践 在学习了菱形的判定方法后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】如图，在平行四边形中，．用尺规完成基本作图：作出对角线的垂直平分线，交于点，交于点，交于点，连接、． 【问题提出】他们猜想：四边形是菱形． 【问题解决】任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请你完成猜想的证明过程． 21. 重庆作为山水之城，美丽之地，凭借独一无二的立体城市风貌、两江夜景、特色美食与巴渝文化，持续受到全国游客的青睐．今年国庆，重庆洪崖洞迎来了全国众多游客旅游打卡．洪崖洞一文创店重点推出洪崖洞“浮雕款”和“平面款”冰箱贴，“浮雕款”冰箱贴每个售价是“平面款”冰箱贴每个售价的倍．国庆第一天，“浮雕款”冰箱贴销售额为元，“平面款”冰箱贴销售额为元，且“平面款”冰箱贴比“浮雕款”冰箱贴售出的数量多个． （1）求国庆第一天“浮雕款”冰箱贴、“平面款”冰箱贴每个的售价分别是多少元？ （2）国庆第六天，“浮雕款”冰箱贴每个售价比国庆第一天降低了元，销售数量增加了个；“平面款”冰箱贴每个售价与国庆第一天相同，销量减少了个．已知国庆第六天两款冰箱贴的总销售额与国庆第一天两款冰箱贴的总销售额相等，求的值． 22. 如图，在矩形中，，，是边的中点，点和点分别从点和点同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，连接，，过点作交于点．设运动时间为秒，记的面积为，与的周长之比为． （1）直接写出，关于的函数表达式，并分别写出的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系（图）中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时，的取值范围（近似值保留到小数点后一位，误差不超过）． 23. 中秋佳节，某古城开展“中秋探月”定向打卡活动，以古城街巷为场地还原古时赏月寻踪路线．如图：四个打卡点，，，在同一平面内，其中位于的正北方向，位于的正东方向米处，位于的北偏西方向米处，位于的西南方向．（参考数据：，，） （1）求，两处打卡点之间的距离；（结果保留根号） （2）小叶从打卡点沿方向前往打卡点，小枫从打卡点沿方向前往打卡点，两人同时出发，小叶的速度与小枫的速度之比为，当小叶距离打卡点多少米时，小枫位于小叶的东北方向上？（结果精确到米） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点是线段上一动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，当的面积最大时，是第一象限内抛物线上一点，连接，，若四边形的面积为的最大面积的倍，求点的坐标； （3）在（2）问条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，是平移后抛物线上一点，射线交直线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 25. 在中，，，过点作直线，是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）如图，若，，，求线段的长； （2）如图，若点在射线上（不与点重合），过点作交直线于点，连接，为线段的中点，连接．用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图，若，连接，为线段的中点，连接．点为直线上一点，连接，将沿直线翻折至所在平面内得到，点的对应点是点，连接．当与均取得最小值时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $