精品解析：四川成都市教育科学研究院附属中学2026-2027学年高三上学期10月定时训练数学试题

高2024级10月定时训练——数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知一组数据 的平均数为4，方差为 2，则数据 的平均数和方差分别为（ ） A. 7，8 B. 4，2 C. 2，4 D. 7，7 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆C的半径是，弦，则（ ） A. B. －6 C. 3 D. 2、 6. 在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑中，平面，，，则鳖臑内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的渐近线上，与轴垂直，点在轴上，.若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知函数．若，使得成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某奶茶店统计了六天每天天气平均气温t（℃）和每天凉茶的销售数量n（单位：杯），得到以下数据： t（℃） 3 0 5 7 9 12 n（单位：杯） 23 17 27 29 36 42 若t与n线性相关，且回归直线方程为，则（ ） A. t和n正相关 B. 点在回归直线上 C. D. 10. 已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，且当时，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列的前项和为，满足，数列满足，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 数列的前项和 D. 不存在正整数，使成等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答.已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有______种. 14. 若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知△ABC中，分别为内角的对边，且. （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积. 16. 在四棱锥中，为正三角形，平面平面ABCD，E为AD的中点，，，． （1）求证：平面平面PAD； （2）在棱CD上是否存在点M，使得平面PBE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 17. 已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为1，两动点在双曲线上，线段的中点为． （1）证明：直线的斜率为定值； （2）为坐标原点，若的面积为，求直线的方程． 18. 某人投掷一枚质地均匀的硬币玩跳棋类游戏，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，⋯，第50站，.一枚棋子开始时位于第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳一次.若掷出正面，则棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站.设棋子跳到第站的概率为. （1）当游戏开始时，求投掷硬币4次后棋子所走站数之和的分布列； （2）求与的关系式，并求. 19. 已知函数，． （1）关于x的不等式有解，求a的取值范围； （2），，有成立，证明：； （3），令，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级10月定时训练——数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合，再结合交集的运算即可求解. 【详解】解得，即集合， 所以. 2. 已知一组数据 的平均数为4，方差为 2，则数据 的平均数和方差分别为（ ） A. 7，8 B. 4，2 C. 2，4 D. 7，7 【答案】A 【解析】 【详解】设原数据为， 由题设得原数据的平均数，方差． 新数据满足，即． 根据平均数的线性运算性质：， 其中， 可得新数据的平均数为． 根据方差的线性运算性质：， 其中， 可得新数据的方差为．  因此新数据的平均数为7，方差为8． 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，和的正负，排除选项，得到正确答案. 【详解】是奇函数，是偶函数 是奇函数，故排除B,C ，故排除D. 故选：A 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项. 5. 已知圆C的半径是，弦，则（ ） A. B. －6 C. 3 D. 2、 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积的几何意义求解. 【详解】如图所示： 因为弦的长度为， 所以， 所以. 6. 在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑中，平面，，，则鳖臑内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据鳖臑的性质，结合四面体内切球的性质、棱锥的体积公式、棱锥和球的表面积公式进行求解即可. 【详解】解：因为四面体四个面都为直角三角形，平面，，所以，，，，设四面体内切球的球心为，则， 所以， 因为四面体的表面积为， 又因为四面体的体积， 所以，所以， 故选：B 【点睛】关键点睛：利用棱锥的等积性进行求解是解题的关键. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的渐近线上，与轴垂直，点在轴上，.若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，求出渐近线的斜率，再根据求双曲线的离心率. 【详解】如图：不妨设点在第一象限. 因为与轴垂直，，且 ， 所以. 所以点坐标为. 所以. 所以. 故选：B 8. 已知函数．若，使得成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为两个函数值域的包含关系分类讨论计算即可. 【详解】易知时，， 而时，单调递减，即， ①若，则， 要满足题意需，即，所以，可排除A、B、D选项； ②若，此时， 即，要满足题意需，即， ③若，此时， 即，要满足题意需，即， ④若，此时，显然，不能满足题意， 综上所述：，即C项正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某奶茶店统计了六天每天天气平均气温t（℃）和每天凉茶的销售数量n（单位：杯），得到以下数据： t（℃） 3 0 5 7 9 12 n（单位：杯） 23 17 27 29 36 42 若t与n线性相关，且回归直线方程为，则（ ） A. t和n正相关 B. 点在回归直线上 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据表格中的数据，求得样本中心，结合选项，逐项分析、计算，即可求解. 【详解】根据表格中的数据，可得， 即数据的样本中心为， 对于A，由表格中的数据得，当气温从0到12时，从17增加到42， 所以随着气温的升高，凉茶的销售数量总体呈上升趋势，所以t和n正相关，故A正确； 对于B，根据回归直线过样本中心，所以点在回归直线上，所以B正确； 对于C，由气温t和销售数量总体上正相关，所以，所以C不正确； 对于D，由表格中的数据得： 第一组：；第二组：； 第三组：；第四组：； 第五组：；第六组：； 所以，所以D正确. 10. 已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，且当时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项运用偶函数的性质，再进行变式；对于B选项先利用中心对称求出再代入解析式中求出k；对于C选项联立轴对称和中心对称从而推导出周期；对于D选项先计算出一个周期的函数值，再看求和取了几个周期. 【详解】对于A，由题可得，即，令， 则，故，因此，则A选项正确； 对于B，由题可得，则， 令，则，，因为，所以， 解得，故B选项错误. 对于C，已知，，则， 令，则，即， ，所以，故C选项正确； 对于D，已知时，，则， 因为，令，解得，又因， 所以函数的周期，， 所以， 故，因此D选项正确. 11. 已知数列的前项和为，满足，数列满足，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 数列的前项和 D. 不存在正整数，使成等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】先分别推导数列、的通项公式，再结合错位相减法求和、不定方程整除性分析逐一验证选项. 【详解】 选项A：已知，当时，，解得； 当时，，整理得，因此是首项为1、公比为2的等比数列，，A正确. 选项B：对两边同除以，得，因此是首项为、公差为1的等差数列， 故，得，代入得，与选项B中矛盾，B错误. 选项C：，则其前项和 ，  ， 两式相减得：，整理得，C正确. 选项D：若成等差数列，则，即， 时，若为偶数，，，而时，矛盾； 若为奇数，，，仅当时，对应，不符合，故不存在满足条件的正整数，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】16 【解析】 【详解】由完全平方公式可得， 根据虚数单位的定义，代入化简得： ， 则，且， 根据复数相等的充要条件：两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等，可得： ，. 将x、y代入计算得： . 13. 某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答.已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有______种. 【答案】 【解析】 【分析】因为甲不参加物理和化学竞赛，他是一个特殊元素，故对甲参加不参加竞赛进行讨论，利用分步乘法计数原理求出每类的安排方法数，并将各类的安排数相加即可． 【详解】第一类：三名同学中有甲同学，则不同的安排有：种； 第二类：三名同学中没有甲同学，则不同的安排有：种； 根据分类加法原理可得，共有种. 14. 若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将恒成立的不等式同构为，令，根据单调性可确定；分离变量得到，令，利用导数可求得，由此可得的取值范围. 【详解】，等价于， 即， 令，则原不等式等价于， ，在上单调递增，， 又，对任意的恒成立， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，，解得：， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知△ABC中，分别为内角的对边，且. （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理实行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案 （2）先利用三角形的面积关系解出 ，再根据三角形面积公式计算答案即可 【小问1详解】 在△ABC中，由正弦定理及得：，.. 由余弦定理得， 又，所以 【小问2详解】 是的角平分线，， 由可得 因为，，即有，， 故 16. 在四棱锥中，为正三角形，平面平面ABCD，E为AD的中点，，，． （1）求证：平面平面PAD； （2）在棱CD上是否存在点M，使得平面PBE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：为正三角形，E为AD的中点，． 平面底面ABCD，平面底面， 平面ABCD． 平面ABCD， ． ，， ． ，面  平面PAD． 平面PCD， 平面平面PAD． （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）推导出，从而平面ABCD，进而，然后可证得平面PAD，得证平面平面PAD． （2）在棱CD上假设存在点M，使得平面PBE，由平面ABCD，得要使平面PBE成立，只需成立，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出． 【详解】（1）略； （2）在棱CD上假设存在点M，使得平面PBE． 平面ABCD，． 要使平面PBE成立，只需成立． 以过与平行的直线为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， 设， ，即． ，，． ． ， 由，得，即解得． 故． 【点睛】方法点睛：本题考查面面垂直的证明，考查满足线面垂直中线段比值的求法．解题方法：通过建立空间直角坐标系，把垂直转化为向量的数量积为0，由数量积的运算求得线段比值． 17. 已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为1，两动点在双曲线上，线段的中点为． （1）证明：直线的斜率为定值； （2）为坐标原点，若的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） 由已知可得，解得， 所以双曲线方程为， 设， 所以，两式相减，可得， 又线段的中点为，所以，， 所以，解得， 所以直线的斜率为定值； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得的关系，求解即可. （2）设，求得弦长与原点到直线的距离，由面积可求直线的方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）设直线的方程为， 由，所以，整理可得， 所以，解得或， 所以，， 所以， 又原点到直线的距离为, 所以的面积为， 化简可得，解得， 所以直线的方程． 18. 某人投掷一枚质地均匀的硬币玩跳棋类游戏，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，⋯，第50站，.一枚棋子开始时位于第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳一次.若掷出正面，则棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站.设棋子跳到第站的概率为. （1）当游戏开始时，求投掷硬币4次后棋子所走站数之和的分布列； （2）求与的关系式，并求. 【答案】（1）分布列见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）先确定的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后列出分布列. （2）根据棋子跳动的规则找出与的关系式，然后通过构造等比数列求出的通项公式. 【小问1详解】 由题意得的所有可能取值为，，，，， ； ； ； ； ；. 所以的分布列为 4 5 6 7 8 【小问2详解】 根据题意，棋子要跳到第站，有两种情况，由第站跳1站到第站， 其概率为，也可以由第站跳2站到第站.其概率为， 故， 等式两边同时减去，得， 由题可得，，， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 故；；；， 累加得， 则. 即. 19. 已知函数，． （1）关于x的不等式有解，求a的取值范围； （2），，有成立，证明：； （3），令，证明：． 【答案】（1） （2）证明：令，，，． 令，． 在上单调递增．∵，， 根据零点存在定理，在上存在唯一，使得， 即，，两边取对数有， 在上小于0，在上大于0， 在上单调递减，上单调递增， ∴ ，即． （3）证明：原命题等价于， 令，将s看作定值，t看作变量． ． ， 即， 第一部分：， 因为，所以，且，函数单调递增， 故，因此：， 即； 第二部分：， 利用经典不等式，得，因此：， 又因为，交叉相乘易证，即， 故：， 两部分均为正，故，即在上单调递增，， 恒成立，故原命题成立，证毕． 【解析】 【分析】（1）将不等式有解问题转化为函数最值问题，通过构造并利用导数分析单调性，求出最小值后直接得到参数的取值范围． （2）通过引入中间变量，将转化为关于的函数，再利用导数研究其单调性与最小值，结合隐零点技巧完成证明． （3）采用固定变量、构造辅助函数的方法，通过分析其导数的符号判断单调性，再结合端点值完成不等式证明． 【小问1详解】 有解，即需，设， ，在上小于0，在上大于0， ∴在上单调递减，上单调递增， ∴，故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $