内容正文：
第2课时
数列的递推公式
第四章 §4.1 数列的概念
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一、数列的递推公式
二、由递推公式求通项公式
课时对点练
三、an与Sn的关系
随堂演练
内容索引
数列的递推公式
一
观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？
问题1
下层比相邻的上层多一根钢管，即an＋1＝an＋1
数列的“递推公式”
新知探究1
探究1：图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形. 在图中4个大三角形中, 着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项, 你能写出这个数列的一个通项公式吗？
思考：换个角度你能用数学语言归纳出后一项与前一项的关系吗？
1
3
9
27
通过运算
寻找规律
从第二项起，后一项是前一项的3倍
3an-1(n≥2)
1(n=1)
an=
猜想
新知1
数列的递推公式
1. 数列的递推公式：
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，
那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
如何求数列的项：
知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.
思考： 数列的递推公式能像通项公式一样求出数列的项吗？
可以
概念辨析
思考1 数列的递推公式和通项公式有何区别与联系？
通项公式是项与序号之间的一一对应关系:
递推关系项与项之间的一一对应关系：
区 别
联 系：两者都能确定一个数列.
注意递推公式两个条件：
已知数列的第1项(或前几项)；从第2项(或某一项)开始的任一项an与
它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．
已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项.
(1)a1=0，an+1=an+(2n-1)；
例 1
∵a1=0，an+1=an+(2n-1)，
∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1，
a3=a2+(2×2-1)=1+3=4，
a4=a3+(2×3-1)=4+5=9，
a5=a4+(2×4-1)=9+7=16.
∴它的前5项依次是0，1，4，9，16.
解
总结：知道首项和递推公式
可以求数列的任意项
8
(2)a1=2，an+1=；
∵a1=2，an+1=，
∴a2===-3，
a3===-，
a4===，
a5===2，
∴它的前5项依次是2，-3，-，2.
解
问:a2 025的值是多少？
∵a5=a1=2.
∴{an}为周期数列，且周期为4.
∴a2 025=a1=2.
9
(3)a1=1，a2=1，an+2=an+1+an.
∵a1=1，a2=1，an+2=an+1+an，
∴a3=a2+a1=2，a4=a3+a2=3，a5=a4+a3=5.
∴它的前5项依次是1，1，2，3，5.
解
10
二
由递推公式求通项公式
典例分析
例 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列
的通项公式an等于（ ）
A.n2＋1 B.n＋1 C.1－n D.3－n
总结：累加法
解：∵an＋1－an＝－1.∴当n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
当n＝1时，a1＝2也符合上式.故数列的通项公式an＝3－n(n∈N*).
D
(1)在数列{an}中，a1=1，an+1=an+-，则an等于
A. B. C. D.
例 2
√
13
方法三 (累加法) an+1-an=-，
a1=1，
a2-a1=1-，
a3-a2=-，
a4-a3=-，
…
an-an-1=-(n≥2)，
解析
(1)在数列{an}中，a1=1，an+1=an+-，则an等于
A. B. C. D.
例 2
√
以上各项相加得
an=1+1-+-+…+-.
所以an=(n≥2).
因为a1=1也适合上式，
所以an=(n∈N*).
14
方法一 (归纳法) 数列的前5项分别为
a1=1，a2=1+1-=2-=，
a3=+-=2-=，a4=+-=2-=，a5=+-=2-=，
又a1=1，
由此可得数列的一个通项公式为an=.
解析
(1)在数列{an}中，a1=1，an+1=an+-，则an等于
A. B. C. D.
例 2
√
15
方法二 (迭代法) a2=a1+1-，
a3=a2+-，…，
an=an-1+-(n≥2)，
则an=a1+1-+-+-+…+-=2-=(n≥2).
又a1=1也适合上式，
所以an=(n∈N*).
解析
(1)在数列{an}中，a1=1，an+1=an+-，则an等于
A. B. C. D.
例 2
√
16
(2)已知数列{an}满足a1=1，an+1=an，则an等于
A.n+1 B.n
C. D.
由题意，因为数列{an}满足an+1=an=，
所以当n≥2时，an=··…···a1=××…×××1=.
当n=1时，a1=1满足上式，所以an=.
解析
√
总结：累乘法
17
由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.(只适用于选择题、填空题)
(2)累加法：an+1-an=常数，或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法.
(3)累乘法：an+1=pan(p为非零常数)，或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法.
反
思
感
悟
an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第三类解决.
练：
18
(1)已知数列{an}满足a1=1，an=an-1+-(n≥2)，求an.
因为an=an-1+-(n≥2)，
所以an-an-1=-(n≥2).
所以当n≥2时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(-)+(-)+…+(-)+1=-+1.
又当n=1时，a1=1也符合上式，
所以an=-+1，n∈N*.
解
跟踪训练1
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(2)已知数列{an}满足a1=1，ln an-ln an-1=1(n≥2)，求an.
因为ln an-ln an-1=1，
所以ln=1，即=e(n≥2).
所以an=··…··a1
=·1=en-1(n≥2)，
又a1=1也符合上式，所以an=en-1，n∈N*.
解
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新知探究2
探究2 某便利店的新年促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者
可以选择120元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天
到该便利店领取奖金，领取的奖金金额（单位：元）依次为：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25.
思考：你会选择哪种方案呢？
第二种，这列数的和为169.
在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一.
新知2
数列的前n项和
2. 数列的前n项和：
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}
的前n项和，记作Sn，即Sn =a1+a2+...+an
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以
用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
概念辨析
思考：数列的前n项和公式Sn与数列的通项公式有什么关系呢？
时，
例 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于（ ）
A.36 B.35 C.34 D.33
C
解：a2＝S2－S1＝22－2×2－(12－2×1)＝1，
a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.
∴a2＋a18＝34.
因为Sn=2n2-30n，
所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1=-28，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32.
显然a1=-28适合上式，
所以an=4n-32，n∈N*.
解
(2) 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an？
例 3
25
已知Sn为数列{an}的前n项和，根据条件求{an}的通项公式.
“Sn=2n2-30n+1”，求an.
延伸探究1
因为Sn=2n2-30n+1，
所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1+1=-27，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=2n2-30n+1-[2(n-1)2-30(n-1)+1]
=4n-32.
当n=1时不适合上式，
所以an=
解
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
(3)验证写通项公式：
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将本例(2)的条件“Sn=2n2-30n”改为“a1+2a2+3a3+…+nan= 2n2-30n”，其他条件不变，求an.
延伸探究2
当n=1时，由已知可得a1=2×12-30×1=-28，
由a1+2a2+3a3+…+nan=2n2-30n， ①
可得当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2(n-1)2-30(n-1)， ②
由①-②得nan=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32，n≥2，
∴an=4-，n≥2.
显然a1=-28适合上式，
∴an=4-，n∈N*.
解
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1.知识清单：
(1)数列的递推公式.
(2)由递推公式求通项公式.
(3)数列的前n项和Sn与an的关系.
2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法.
3.常见误区：
(1)累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式.
(2)由Sn求an时忽略验证n=1时的情况.
课堂小结
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