第4章 4.1 第2课时 数列的递推公式与an和Sn的关系-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦数列的递推公式、an与Sn的关系及由递推公式求通项，通过问题导思（如智力测试数列规律）衔接数列概念，搭建从递推关系到通项公式的学习支架，帮助学生逐步掌握累加法、累乘法等方法。 其亮点在于以问题驱动结合多方法对比（如典例4的归纳法、累加法），融入斐波那契数列拓展培养数学抽象与逻辑推理，课堂小结表格化梳理易错点（如验证首项）。学生能提升数学运算能力，教师可系统覆盖重点提升教学效率。

第2课时　数列的递推公式与an和Sn的关系 　 第四章　单元学习一　数列的概念 学习目标 1. 理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项，培养数学抽象、数学运算的核心素养． 2．了解用累加法、累乘法求通项公式，增强逻辑推理的核心素养． 3．理解数列{an}的前n项和Sn的意义，会用an与Sn的关系求通项公式，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． 内容索引 任务一　数列的递推公式 1 任务二　数列{an}的前n项和 2 任务三　由递推公式求通项公式 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　数列的递推公式 返回 (阅读教材P6—7，完成探究问题1) 问题1.观察某次智力测试中的一道题：数列：1，3，6，10，15，…中数字出现的规律是： a2－a1＝3－1＝2， a3－a2＝6－3＝3， a4－a3＝10－6＝4， a5－a4＝15－10＝5， …… (1)你能写出该数列的第8个数吗？ 问题导思 提示：36　 (2)你能用an＋1与an的一个数学表达式描述该数列相邻两项之间的关系吗？ 提示：an＋1－an＝n＋1. 新知构建 相邻两项 多项 an1 数列递推公式与通项公式的关系 微提醒   递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法. (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 是否所有的数列都有递推公式？ 提示：递推公式是表示数列的一种重要方法，与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式. 微思考 典例 1 角度1　由递推公式写出数列的项 (1)已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项． ①a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)； 解：(1)①因为a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)， 所以a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1， a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4， a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9， a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16. 所以它的前5项依次是0，1，4，9，16. ②a1＝1，an＋1＝. 解：②因为a1＝1，an＋1＝， 所以a2＝＝＝， a3＝＝＝， a4＝＝＝，a5＝＝＝. 所以它的前5项依次是1，. (2)a6＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，写出该数列的a5和a4. 解：(2)因为a6＝0，an＋1＝an＋(2n－1)， 所以an＝an＋1－(2n－1)， 所以a5＝a6－(2×5－1)＝－9， a4＝a5－(2×4－1)＝－16. 递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系．要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若序号很大，则应考虑数列是否具有规律性(周期性)． 规律方法 角度2　递推公式与数列的周期性 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝. (1)写出数列{an}的前5项； 典例 2 解：(1)因为a1＝2，an＋1＝， 所以a2＝＝＝－3， a3＝＝＝－， a4＝＝＝，a5＝＝＝2， 所以它的前5项依次是2，－3，－，2. (2)求a2 026. 解：(2)由(1)知an＋4＝an， 所以{an}为周期数列，且周期T＝4. 所以a2 026＝a4×506＋2＝a2＝－3. 利用数列的周期性求数列中某一项的步骤 第一步：根据已知数列的递推公式，写出数列的前几项，直至出现重复的项； 第二步：确定该数列的周期； 第三步：利用周期性求出要求的项． 规律方法 对点练1. 数列{an}满足a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an. (1)写出此数列的前8项； 解：(1)因为a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an， 所以a3＝a2－a1＝3， a4＝a3－a2＝－3， a5＝a4－a3＝－6， a6＝a5－a4＝－3， a7＝a6－a5＝3， a8＝a7－a6＝6. 返回 (2)求a2 026. 解：(2)由(1)知此数列的周期为6， 所以a2 026＝a337×6＋4＝a4＝ －3. 任务二　数列{an}的前n项和 返回 (阅读教材P7，完成探究问题2、3 ) 问题2.如果我们把数列{an}的前n项加在一起的和记作Sn，那么你能用它表示a2吗？a6＋a7＋a8＋a9＋a10怎么表示？an呢？ 提示：a2＝S2－S1，a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝S10－S5，an＝ 问题3.已知某数列的前n项和Sn＝n2＋n，如何求a4？ 提示：a4＝S4－S3＝(42＋4)－(32＋3)＝8. 问题导思 1.定义 把数列{an}从第___项起到第___项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝________________. 2.数列的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用__________来表示，那么__________叫做这个数列的前n项和公式. 3.an与Sn的关系 an＝ 新知构建 1 n a1＋a2＋…＋an 一个式子 这个式子 (1)注意等式成立的条件. (2)一定要检验n＝1时，S1是否满足首项. (3)若Sn与an的关系式较复杂，可分别写出Sn与Sn－1，然后作差求得. 微提醒 (链教材P7思考)已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n. 求a1及an. 典例 3 解：因为Sn＝2n2－30n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 验证当n＝1时上式成立， 所以an＝4n－32，n∈N*. 变式探究(变条件)将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an. 解：因为Sn＝2n2－30n＋1， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27， 当n≥2时，an＝Sn－ ＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32. 当n＝1时不符合上式. 所以an＝ 由Sn求通项公式an的步骤 规律方法 对点练2.已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an. (1)Sn＝； 解：当n＝1时，a1＝S1＝， 当n≥2时，an＝Sn－＝－＝， 又a1＝适合上式，所以an＝. (2)Sn＝3n－2. 解：当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－＝(3n－2)－(－2)＝2×， 又a1＝1不适合上式，所以an＝ 返回 任务三　由递推公式求通项公式 返回 (一题多解)(1)(2026·安徽马鞍山高二月考)已知数列{an}满足a1＝1，＝an＋，求数列{an}的通项公式； 典例 4 解：法一：(归纳法)数列的前5项分别为a1＝1，a2＝1＋＝，a3＝＋＝，a4＝＋＝，a5＝＋＝. 又a1＝1，由此可得数列的一个通项公式为an＝(n∈N*). 法二：(迭代法)因为＝an＋， 所以＝an＋－， 所以a2＝a1＋1－，a3＝a2＋－，…，an＝＋－(n≥2)， 则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－＝2－＝(n≥2). 又a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*). 法三：(累加法) 因为an＋1－an＝－，a1＝1，所以a2－a1＝1－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，an－＝－(n≥2)， 以上各项相加得an＝1＋(1－)＋(－)＋…＋(－)＝2－. 所以an＝(n≥2). 因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*). (2)设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)－n＋an＝0(n∈N*)，求数列{an}的通项公式. 解：法一：(累乘法)把(n＋1)－n＋an＋1an＝0分解因式，得[(n＋1)－nan](＋an)＝0. 因为an＞0，所以＋an＞0，所以(n＋1)－nan＝0， 所以＝，所以 · · · … · ＝×××…×， 所以＝. 又因为a1＝1，所以an＝a1＝. 法二：(迭代法)同法一，得＝，所以＝an， 所以an＝·an－1＝··＝···＝…＝ · · · … · a1＝a1. 又因为a1＝1，所以an＝. 法三：(构造特殊数列法)同法一，得＝， 所以(n＋1)＝nan，所以数列{nan}是常数列， 所以nan＝1·a1＝1，所以an＝. 由递推公式求通项公式的常用方法 1.归纳法：根据数列的某项和递推公式求出数列的前几项，归纳出通项公式.(只适用于选择题、填空题) 2.迭代法、累加法或累乘法适合的递推公式类型 (1)an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法． (2)an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法． 规律方法 (3)an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第(2)类解决． 注意：用累加或累乘时，常因忘记“n≥2”这个条件，而造成错把缺项的式子看成等式而失分． 规律方法 对点练3.(1)已知数列{an}满足a1＝，an＝an－1＋(n∈N*且n≥2)，则数列{an}的通项公式为_____________. an＝ 因为an＝an－1＋(n≥2)，所以an－＝＝－ ，所以a2－a1＝－，a3－a2＝－，…，an－＝－(n≥2).以上各式相加，得an－a1＝－(n≥2)，所以an＝a1＋－＝(n≥2)，所以an＝(n≥2)，又a1＝适合an＝，故数列{an}的通项公式为an＝. (2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln ＝1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为_________. an＝en－1 因为ln an－ln ＝1，所以ln ＝1，即＝e(n≥2).所以an＝··…··a1＝e·e·…·e·1＝(n≥2)，又a1＝1也符合上式，故数列{an}的通项公式an＝en－1，n∈N*. (3)已知各项均不为0的数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为_________. an＝ 因为an＝－an，且各项均不为0，所以－＝1.所以当n≥2时，＝＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝2＋1＋1＋…＋1＝n＋1.所以＝n＋1，所以当n≥2时，an＝.因为a1＝也符合上式，故数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*). 教材拓展1　斐波那契数列(源于教材P10阅读与思考、P9 T4) 1.斐波那契数列的由来 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一组数组成的数列{Fn}称为“斐波那契数列”，递推公式：Fn＝Fn－1＋Fn－2(n＞2)，通项公式：Fn＝［()n－()n］. 2.斐波那契数列的性质 (1)求和问题：①Sn＝an＋2－1；②a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n；③a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1－1. 证明 ①Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(an＋1－an)＋(an＋2－an＋1)＝an＋2－a2＝an＋2－1，即Sn＝an＋2－1. ②由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2n－1＝a2n－a2n－2，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n. ③由a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，…，a2n＝a2n＋1－a2n－1，可得a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1－a1＝a2n＋1－1. (2)平方和问题：＋＋＋…＋＝anan＋1，即＝anan＋1. 证明　斐波那契数列总有an＋2＝an＋1＋an，则＝a2a1， ＝a2(a3－a1)＝a2a3－a2a1， ＝a3(a4－a2)＝a3a4－a3a2， …， ＝an(an＋1－an－1)＝anan＋1－anan－1， 所以＋＋＋…＋＝anan＋1， 即＝anan＋1. (3)相邻项问题：＝an－1an＋1－(－1)n(n＞1). 证明　设α＝，β＝，则an－1an＋1＝(αn－1－β n－1)×·(αn＋1－ β n＋1)＝(α2n＋β 2n－αn－1β n＋1－αn＋1βn－1)＝[α2n＋β2n－3×(－1)n－1]＝[α2n＋β2n－2αnβn＋5×(－1)n]＝(αn－β n)2＋(－1)n＝＋(－1)n(n＞1)， 即＝an－1an＋1－(－1)n(n＞1). (多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记Sn为数列的前n项和，则下列结论正确的是 A.a7＝13 B.S8＝97 C.＋＋…＋＝a2 026a2 027 D.a1＋a3＋a5＋…＋a199＝a200 √ 典例 5 √ √ 对于A，由题意，数列的前7项为1，1，2，3，5，8，13，故a7＝13，故A正确；对于B，S8＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＝54，故B错误；对于C，由题意a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，所以an＋1＝an＋2－an，＝a1a2，＝a2＝a2a3－a1a2，＝a3＝a3a4－a2a3，…，＝an(an＋1－an－1)＝anan＋1－an－1an，所以＋＋…＋＝a1a2＋＋＋…＋＝a2 026a2 027，故C正确；对于D，由C可知，a1＋a3＋a5＋…＋a199＝a2＋＋＋…＋＝a200，故D正确.故选ACD. 返回 课堂小结 任务 再现 1.数列的递推公式.2.数列的前n项和Sn与an的关系.3.由递推公式求通项公式 方法 提炼 归纳法、迭代法、累加法、累乘法、公式法 易错 警示 累加法、累乘法解题时不注意验证首项是否符合通项公式；由Sn求an时易忽视验证n＝1时的情况 随堂评价 返回 1.已知数列{an}，a1＝1，＝an＋，则该数列的第3项等于 A.1 B. C. D. √ a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝. 故选C. 2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a9的值为 A．15 B．17 C．49 D．64 √ 由已知，a9＝S9－S8＝92－82＝17.故选B. 3.设数列{an}满足a1＝1，且－an＝1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝_____. n 由题意知a2－a1＝1，a3－a2＝1，…，an－＝1(n≥2)，以上各式相加，得an－a1＝＝n－1，因为a1＝1，则an＝n(n≥2).又a1＝1也满足an＝n，所以数列{an}的通项公式为an＝n(n∈N*). 4.若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则a100＝_______. 5 050 由(n－1)an＝(n＋1)an－1，得＝(n≥2，n∈N*)，则a100＝a1··· … ·＝1×××…×××＝＝5 050. 返回 课时分层评价 返回 1．数列，…的递推公式可以是 A．an＝(n∈N*) B．an＝(n∈N*) C．an＝an－1(n≥2) D．an＝3an－1(n≥2) √ 后一项是前一项的，所以此数列的递推公式可以是an＝an－1(n≥2)．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(2026·山西太原高二期中)在数列中，a1＝，＝1－，则a2 026等于 A. B.－1 C.2 D.3 √ 当n＝1时，a2＝1－＝－1；当n＝2时，a3＝1－＝2；当n＝3时，a4＝1－＝＝a1；a5＝1－＝－1＝a2；a6＝2；…，所以数列{an}是一个周期为3的周期数列，故a2 026＝a3×675＋1＝a1＝. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝若an＝，则n 的值等于 A.7 B.8 C.9 D.10 √ 因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a4＋a5＋a6等于 A．15 B．18 C．21 D．24 √ 由Sn＝n2－2n可得a4＋a5＋a6＝S6－S3＝(62－2×6)－(32－2×3)＝21.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)符合递推关系式an＝an－1的数列是 A.1，2，3，4，… B.1，，2，2，… C.，2，2，4，… D.0，，2，2，… √ B与C中从第2项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝. 在A中，后一项与前一项之差为1，递推公式为an－an－1＝1.在D中，无法推出递推公式. 故选BC. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，＝f(an)， n∈N*，则下列说法正确的是 A.该数列是周期数列且周期为3 B.该数列不是周期数列 C.a2 025＋a2 026＝ D.a2 025＋a2 026＝ √ a2＝f()＝－1＝；a3＝f()＝－1＝；a4＝f()＝＋＝；a5＝f()＝2×－1＝；a6＝f()＝2×－1＝；a7＝f()＝＋＝；…，所以从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列，但数列{an}并不是周期数列，故A错误，B正确. 而a2 025＋a2 026＝a3＋a4＝＋＝，所以C错误，D正确. 故选BD. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．(2025·广东梅州期末考试)将自然数0，1，2，3，4，…，按照如图排列，我们将1，3，6，10，…称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”是________． 设数列1，3，6，10，…，为 ，则易得an＋1－an＝n＋1，n∈N*，于是an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝，则a50＝＝1 275. 1 275 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在数列{an}中，a1＝，an＋1＝，则a98＝______. 因为a1＝，an＋1＝，所以a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝－，a5＝＝－，…，所以数列{an}是以2为周期的数列，则a98＝a2＝－. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(双空题)已知在数列{an}中，a1a2a3…an＝n2，则a3＋a5＝_______，an＝ ________________. 由题意n＝1时，a1＝1，所以由a1a2a3…an＝n2得，a1a2＝22，a1a2a3＝32，a1a2a3a4＝42，a1a2a3a4a5＝52，则a3＝＝，a5＝＝，故a3＋a5＝. a1a2a3…an＝n2，所以当n≥2时，a1a2a3…an－1＝(n－1)2，两式相除 得an＝，故an＝ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知数列{an}的前n项和Sn满足n＝log2(Sn－1)，求其通项公式an. 解：根据条件可得Sn＝2n＋1. 当n≥2时，an＝Sn－＝2n＋1－－1＝(2－1)＝， 当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3≠21－1， 所以an＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln (1＋)，则数列{an}的通项公式为an＝ A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋n ln n D．1＋n＋ln n √ a2＝a1＋ln (1＋)，a3＝a2＋ln (1＋)，…，an＝an－1＋ln (1＋)(n≥2)，则an＝a1＋ln (×…×)＝2＋ln n(n≥2)．又a1＝2＝2＋ln 1，所以an＝2＋ln n．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝(n≥3)，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的是 A.Tn有最大值 B.an无最大值 C.T2 026＝4 D. a2 027＝ √ 因为a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1(n≥3)，所以a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，…，因此数列{an}是周期为6的周期数列，an＋6＝an，所以an有最大值2，a2 027＝a337×6＋5＝a5＝，故B错误，D正确；又因为T1＝1，T2＝2，T3＝4，T4＝4，T5＝2，T6＝1，T7＝1，T8＝2，…，所以{Tn}是周期为6的周期数列，Tn＋6＝Tn，所以Tn有最大值4，T2 026＝T4＝4，故A，C正确．故选ACD. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. (双空题)(2025·广东惠州期末测试)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数，则正方形数所构成的数列的第5项是________，五边形数所构成的数列的通项公式为_ ___________． 25 an＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 正方形数所构成数列的第5项是16＋9＝25，五边形数所构成数列满足a1＝1，a2－a1＝4，a3－a2＝7，a4－a3＝10，an＝an－1＋，所以an＝a1＋＋…＋＝1＋4＋7＋…＋，n≥2，可得an＝＝，当n＝1时a1＝1成立，所以an＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(17分)已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an. (1)求数列{an}的通项公式； 解：法一：因为2Sn＝(n＋1)an， 所以2Sn＋1＝(n＋2)an＋1， 所以2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 即nan＋1＝(n＋1)an，所以＝， 所以＝＝…＝＝1， 所以an＝n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 法二：因为2Sn＝(n＋1)an， 所以2Sn＋1＝(n＋2)an＋1， 所以2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 即nan＋1＝(n＋1)an，所以＝， 所以当n≥2时，an＝a1···…·＝1×××…×＝n. 又a1＝1也满足an＝n， 所以数列{an}的通项公式为an＝n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)记bn＝3n－λ，若数列{bn}为递增数列，求实数λ的取值范围. 解：由(1)知bn＝3n－λn2， 由bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1)， 因为数列{bn}为递增数列， 所以2·3n－λ(2n＋1)＞0，即λ＜. 令cn＝，则＝·＝＞1， 所以{cn}为递增数列，所以λ＜c1＝2， 即实数λ的取值范围是(－∞，2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足＝＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 026等于 A.a2 024 B.a2 025 C.a2 026 D.a2 027 √ 由于an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 026＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 026＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 026＝a5＋a6＋…＋a2 026＝a2 025＋a2 026＝a2 027. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(多选)(2026·江苏淮安高二期中)若数列{an}满足对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”. 下面给出的通项公式中，可使{an}为“差递减数列”的有 A.an＝3n B.an＝n2＋1 C.an＝ D.an＝ln √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 对于A，若an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}为常数列，故A错误；对于B，若an＝n2＋1，则an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}为递增数列，故B错误；对于C，若an＝，则 an＋1－an＝－＝，因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以{an＋1－an}为递减数列，故C正确；对于D，若an＝ ln ，则an＋1－an＝ln －ln ＝ln(·)＝ln(1＋).因为函数y＝ln(1＋)在(0，＋∞)上单调递减，所以{an＋1－an}为递减数列. 故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 第2课时　数列的递推公式与an和Sn 的关系 返回 $