内容正文：
等比数列的性质及应用
第2课时
第四章 4.3.1 等比数列的概念
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1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.(重点)
2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.(难点)
学习目标
一、等比数列的性质
二、由等比数列构造新等比数列
课时对点练
三、灵活设项求解等比数列
随堂演练
内容索引
四、等比数列的应用
等比数列的性质
一
你能把等差数列里面的an=am+(n-m)d类比出等比数列中相似的性质吗？
问题1
an=a1qn-1
am=a1qm-1
=q(n-1)-(m-1)=qn-m
即an=amqn-m
推导过程：am=a1qm-1，an=a1qn-1，ak=a1qk-1，al=a1ql-1，
所以aman=a1qm-1·a1qn-1=qm+n-2，
akal=a1qk-1·a1ql-1=qk+l-2，
因为m+n=k+l，所以有aman=akal.
结合上面的类比，你能把等差数列里面的am+an=ak+al(m+n=k+l，m，n，p，q∈N*)类比出等比数列中相似的性质吗？
问题2
若k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则 .
ak·al=am·an
1.等比数列通项公式的推广和变形an= .
2.设数列{an}为等比数列，则：
(1)若k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则 .
(2)若m，p，n成等差数列，则 成等比数列，即若m+n=2p(m，n，p∈N*)，则 =.
amqn-m
ak·al=am·an
am，ap，an
aman
知识梳理
(1)qn-m=.
(2)性质的推广：若m+n+p=x+y+z，有amanap=axayaz.
(3)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同.
(4)若ak·al=am·an，且q≠±1，则m+n=k+l.
(5)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an=a2·an-1=….
注 意 点
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8
已知{an}为正项等比数列.
(1)若a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5；
例 1
a2a4+2a3a5+a4a6
=+2a3a5+
=(a3+a5)2=25，
∵an>0，∴a3+a5>0，
∴a3+a5=5.
解
9
(2)若a5a6=9，求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
根据等比数列的性质，得
a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9，
∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95，
∴log3a1+log3a2+…+log3a10
=log3(a1a2…a9a10)
=log395=10.
解
10
已知{an}为正项等比数列.
(1)若a2a4+2a3a5+a4a6=25，a1a7=4，求an.
延伸探究1
设{an}的公比为q，由题意q>0，
由等比数列的性质得a1a7=a3a5=4，
又由本例(1)知a3+a5=5，
解得a3=1，a5=4或a3=4，a5=1，
若a3=1，a5=4，则q=2，an=2n-3；
若a3=4，a5=1，则q=，an=25-n.
解
11
公比q为3，a1a2a3…a30=3300，求log3a1+ log3a2+…+log3a10的值.
延伸探究2
a1a2a3…a30=(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)=q300(a1a2a3…a10)3=3300，故a1a2a3…a10=1，
则log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log31=0.
解
12
巧用等比数列的性质解题
充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题.
反
思
感
悟
13
二
由等比数列构造新等比数列
提示
结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？
问题3
等差数列 等比数列
定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列
符号表示 an-an-1=d(n≥2，n∈N*) =q(n≥2，n∈N*)
等差数列 等比数列
通项公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1
性质 等差数列首项为a1，公差为d 等比数列首项为a1，公比为q
把等差数列前k项去掉 把等比数列前k项去掉，
等比数列中，ak，ak+m，ak+2m，…
等比数列衍生的新数列
得到一个以ak+1为首项，以d为公差的等差数列
得到一个以ak+1为首项，以q为公比的等比数列
是公差为md的等差数列
等差数列中，ak，ak+m，a k+2m，…
是公比为qm的等比数列
等差数列 等比数列
性质 等差数列中每一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列 等比数列中每一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列
两个等差数列相加，还是一个等差数列 两个等比数列相乘，还是一个等比数列
等比数列的常用结论
(1)若{an}是公比为q的等比数列，则
①{can}(c为任一不为零的常数)是公比为 的等比数列；
②{|an|}是公比为 的等比数列；
③{}(m为常数，m∈N*)是公比为 的等比数列.
(2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为______的等比数列.
q
qm
|q|
q1·q2
知识梳理
(3)等比数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公比为q的等比数列，则
①奇数项数列{a2n-1}是公比为q2的等比数列，偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列；
②若{kn}是等差数列且公差为d，则{}是公比为qd的等比数列，也就是说，若等比数列中项的序号成等差数列，则对应的项依次成等比数列.
如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是
A. B.
C. D.
例 2
√
取等比数列an=，则an+an+1=0，所以{an+an+1}不是等比数列，故D错误；
对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质.
解析
20
由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中是否有为0的项，主要是针对q<0的情况.
反
思
感
悟
21
设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形面积(i=1，2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为
A.{an}是等比数列
B.a1，a3，…，a2n-1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列
C.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同
跟踪训练1
√
因为Ai是边长为ai，ai+1的矩形面积(i=1，2，…)，所以Ai=aiai+1(i=1，2，…)，
则数列{An}的通项为An=anan+1.根据等比数列的定义，
数列{An}为等比数列的充要条件是===q(常数).
解析
22
灵活设项求解等比数列
三
(课本例3)数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列.
例 3
设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，
80，80+d，80+2d.于是得
解方程组，得
所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.
解
24
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且首末两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数.
例 3
25
方法一 从前三个数入手，设这四个数依次为a-d，a，a+d，，
由条件得
解得
当a=4，d=4时，所求四个数为0，4，8，16；
当a=9，d=-6时，所求四个数为15，9，3，1.
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
解
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且首末两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数.
例 3
26
方法二 从后三个数入手，设这四个数依次为-a，，a，aq(q≠0)，
由条件得
解得
当q=2，a=8时，所求四个数为0，4，8，16；
当q=，a=3时，所求四个数为15，9，3，1.
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
解
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且首末两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数.
例 3
27
方法三 从首末两项的和与中间两项的和入手，设这四个数依次为x，y，12-y，16-x，
由已知得
解得
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
解
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且首末两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数.
例 3
28
若将本例中“和是16”改为“积是-128”，将“和是12”改为“积是16”，如何求解？
延伸探究
设这四个数依次为-aq，，aq，aq3(q≠0).
则由已知得
由①得a2=16，∴a=4或a=-4.
由②得2a2q2-a2q4=-128.
将a2=16代入整理，得q4-2q2-8=0，解得q2=4或q2=-2(舍去)，∴q=2或q=-2.
∴所求四个数为-4，2，8，32或4，-2，-8，-32.
解
29
在解决与等比数列有关的数的设法时常用的规律
对称设元法：一般地，
连续奇数个项成等比数列，可设为…，，x，xq，…；
连续偶数个项成等比数列，可设为…，，xq，xq3，…
(注意：此时公比q2>0，并不适合所有情况)，
这样既可以减少未知量的个数，也使得解方程较为方便.
反
思
感
悟
30
等比数列的应用
四
(课本例4)用10 000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息(精确到0.01元)？
例 4
设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列{an}，则{an}是等比数列，首项a1=104(1+0.400%)，公比q=1+0.400%，所以a12=104(1+0.400%)12≈ 10 490.702.
所以12个月后的利息为10 490.702-104≈490.70(元).
解
32
(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息(精确到10-5)？
设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列{bn}，则{bn}也是一个等比数列，首项b1=104(1+r)，公比为1+r，于是b4=104(1+r)4.
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为[104(1+r)4-104]元.
解不等式104(1+r)4-104≥490.70，得r≥1.205%.
所以当季度利率不小于1.205%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
解
33
某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；
例 4
从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an，…，
由题意，得a1=13.5，a2=13.5×(1-10%)，
a3=13.5×(1-10%)2，….
由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列，
首项a1=13.5，公比q=1-10%=0.9，
∴an=a1·qn-1=13.5×0.9n-1.
∴n年后车的价值为an+1=(13.5×0.9n)万元.
解
34
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元.
解
35
等比数列实际应用问题的关键是建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题，最后注意数学问题再转化为实际问题作答.
反
思
感
悟
36
窗花(俗称剪纸)蕴含着辞旧迎新、接福纳祥的美好寓意.一位艺术家把一张厚度(单位：cm)为0.012 5的纸对折了三次，开始进行剪纸创作，若不计纸与纸之间的间隙，则对折后的半成品厚度是 mm.
跟踪训练2
1
由题设，对折了三次后半成品厚度为0.012 5×23=0.1(cm)，即1 mm.
解析
37
1.知识清单：
(1)等比数列的性质.
(2)由等比数列构造新数列.
(3)灵活设项解等比数列.
(4)等比数列的应用.
2.方法归纳：类比法、公式法、构造法、转化法、建模思想.
3.常见误区：
(1)构造新的等比数列易忽视有等于0的项.
(2)四个数成等比数列时设成，aq，aq3，未考虑公比为负的情况.
课堂小结
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