4.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

等差数列的性质及应用 第四章　4.2.1　等差数列的概念 <<< 第2课时 1.掌握等差数列的性质及应用.(重点) 2.可由等差数列构造新数列. 3.能灵活设项解等差数列. 4.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用.(难点) 学习目标 等差数列的性质 一 复习引入 等差数列的定义: an－an-1 = d (d为常数, n≥2 , n∈N*) 2. 等差中项： 3. 通项公式: 4. 等差数列与一次函数的关系 5. 通项公式的应用 应用 通项公式 函数与方程 的思想 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列. 递推公式： a, A , b成等差数列 2A=a+b. an=a1+(n-1)d 知识梳理 思考：等差数列{an}的通项公式为an＝3n－2，分别求a1＋a7，a2＋a6和a3＋a5的值.有什么发现？ 合作探究 解：由通项公式知， a1＝3×1－2＝1，a7＝3×7－2＝19； a2＝3×2－2＝4，a6＝3×6－2＝16； a3＝3×3－2＝7，a5＝3×5－2＝13； 所以a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝20. 发现如下结论： 和相等的两项，它们的下标和也相等. a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝20. 合作探究 思考：你能写出这个结论的一般形式并证明它吗？ 6 提示　由等差数列的定义可知，am=a1+(m-1)d，an=a1+(n-1)d，ap=a1+(p-1)d，aq=a1+(q-1)d，容易发现am+an=2a1+(m+n-2)d，ap+aq=2a1+(p+q-2)d，因为m+n=p+q，故有am+an=ap+aq. 证明：若数列{an}是等差数列，公差为d，m+n=p+q(m，n，p，q ∈N*)，则am+an=ap+aq 问题2 特别地，若m+n=2p(m，n，p∈N*)，则有am+an= . 2ap (2)已知数列{an}是等差数列，若a1-a9+a17=7，则a3+a15等于 A.7 B.14 C.21 D.7(n-1) 因为a1-a9+a17=(a1+a17)-a9=2a9-a9=a9=7，所以a3+a15=2a9=2×7=14. 解析 √ 在等差数列{an}中，a3+a7+2a15=40，求a10. 方法一　设数列{an}的公差为d. 则a3+a7+2a15=a1+2d+a1+6d+2(a1+14d)=4a1+36d=4(a1+9d)=4a10=40， ∴a10=10. 方法二　∵a3+a7+2a15=2a5+2a15=4a10=40，∴a10=10. 延伸探究 巧用性质法 8 等差数列的性质 思考： 你能结合下列图形，从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ S(s,as) P(p,ap) Q(q,aq) T(t,at) 在等差数列{an}中，若p＋q＝s＋t (p，q，s，t∈N*) ，则ap＋aq＝as＋at . 思路一：中位线相等 思路二：斜率相等 (1)推广：若m+n+p=x+y+z，则am+an+ap=ax+ay+az. (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. (3)若am+an=ap+aq，且d≠0，则m+n=p+q. (4)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1+an=a2+an-1=…. 注 意 点 <<< 10 　(1)已知{bn}为等差数列，若b3=-2，b10=12，则b8=　　. 例 1   解析 8 列出关于a1，d的方程(组) 11   跟踪训练1 √ 由3+an=an+1，得an+1-an=3. 所以{an}是公差为3的等差数列. 又a2+a4+a6=9，且a2+a6=2a4， 所以3a4=9，则a4=3， 所以a7=a4+3d=3+3×3=12， 故log6(a5+a7+a9)=log6(3a7)=log636=2. 解析 12 二 由等差数列构造新数列 等差数列的应用 例2 已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1) 求数列{bn}的通项公式． (2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由． 等差数列的应用 例2 已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1) 求数列{bn}的通项公式． 等差数列的应用 例2 已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1) 求数列{bn}的通项公式． 问题1: 如果插入k个数，公差为多少？ b1＝a1， bk＋2＝a2，于是 bk＋2 －b1＝a2－a1＝d ＝(k＋1)d， 所以d＝ . 等差数列的应用 例2 已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由． 等差数列的应用 例2 已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由． 问题2: 还有其他方法判断b29是不是数列{an}的项？ 解法2：数列{an}的各项，依次是数列{bn}的第1，5，9，13，…项.这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn}. 则cn＝1＋(n－1)×4＝4n－3. 令4n－3＝29，解得n＝8. 所以b29是数列{an}中的第8项. 若{an}，{bn}分别是公差为d，d'的等差数列，则有 数列 结论 {c+an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an+an+k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan+qbn} 公差为pd+qd'的等差数列(p，q为常数) 知识梳理 (1)已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1=2，d2=1，则数列{2an-3bn}的公差为 A.7 B.5 C.3 D.1 跟踪训练2 2an+1-3bn+1-(2an-3bn)=2(an+1-an)-3(bn+1-bn)=2d1-3d2=4-3=1. 解析 √ 20 　在无穷等差数列{an}中，首项a1=3，公差d=-5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}. (1)求b1和b2； 例 2 ∵a1=3，d=-5， ∴an=3+(n-1)×(-5)=8-5n. 数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…， ∴b1=a3=-7，b2=a7=-27. 解 21 (2)求数列{bn}的通项公式； 设数列{an}中的第m项是数列{bn}中的第n项，即bn=am，则m=3+4(n-1)=4n-1，∴bn=am=a4n-1=8-5×(4n-1)=13-20n，即数列{bn}的通项公式为bn=13-20n. 解 (3)数列{bn}中的第503项是{an}中的第几项？ 3+4×(503-1)=2 011，∴数列{bn}中的第503项是数列{an}中的第2 011项. 解 22 有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为 A.15 B.16 C.17 D.18 延伸探究   解析 √ 23 对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断： (1)定义：an-an-1(n≥2)是否为常数； (2)其通项公式是否为关于n的一次函数. 反 思 感 悟 24 灵活设项求解等差数列 三 已知递增的等差数列{an}的前三项的和为21，前三项的积为231，求数列{an}的通项公式. 跟踪训练3   解 26 　已知四个数成等差数列，它们的和为32，它们的平方和为276，求这四个数. 例 3   解 27 常见设项技巧 (1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…. (2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，这样可减少计算量. 反 思 感 悟 28 等差数列的应用 四 　(课本例3)某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d万元(d为正常数).已知这台设备的安全使用年限为10年，第11年期间，它的价值将低于购进价值的5%，设备需在这年年初报废.请确定d的取值范围. 例 4 30 等差数列的应用 例1 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d 的取值范围. 220×5%＝11 (万元) 问题1：如何确定d 的取值范围？ 问题2：用等差数列解决实际问题的步骤是什么？ 解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}． 设变量，建立数学模型 判断等差数列 解决该等差数列问题 还原，得出结论 由已知条件，得an － an－1＝－d（n≥2）． 则数列{an}是 首项220－d、公差为－d的等差数列. 所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd. a10＝220－10d≥11， a11＝220－11d＜11. 解得19＜d≤20.9 所以， d的取值范围为19＜d≤20.9 价值为220万元的设备，随着设备老化，其价值逐年减少，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废 　已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d(d≠0)的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列. (1)若a20=40，求d； 例 4 依题意得，a10=10，a20=10+10d=40， 所以d=3. 解 33 (2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；   解 34 (3)续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，以此类推，把已知数列推广为无穷数列. 所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，a10n，a10n+1，…，a10(n+1)是公差为dn的等差数列. 解 35 解决数列综合问题的方法策略 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项. (2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式. (3)利用函数或不等式的有关方法解决. 反 思 感 悟 36   跟踪训练4 √   解析 37 1.知识清单： (1)等差数列的性质. (2)由等差数列构造新数列. (3)灵活设项解等差数列. (4)等差数列的应用. 2.方法归纳：公式法、构造法、解方程组法. 3.常见误区： (1)不注意运用性质而出错或计算烦琐. (2)实际问题中项数的确定. 课堂小结 解：（1）设数列 的公差为 . 由题意可知， ， ，于是 因为 ，所以 ，所以 . 所以 所以，数列 的通项公式是 （2）数列 的各项依次是数列 的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列 ，则 . 令 ，解得 所以， 是数列 的第8项. $