4.1 数列的概念 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.1 数列的概念 古希腊的毕达哥拉斯学派将1，4， 9，16等数称为正方形数，因为这些数目的点可以摆成一个正方形，如下图所示：依据这个规律我们很容易就能知道，下一个正方形数应该是25，再下一个是36，等等. 你知道吗？通过寻找数字出现的规律，可以产生新的发现. 新课导入 新课导入 按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 追问1：这列数中的第3、第8个数的实际意义是什么？ 追问2：这列数中的数据能否交换位置？具有确定顺序吗？ 追问3：能否用与顺序相关的符号来表示这列数？ 在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象．例如： 记王芳第i岁时的身高为hi，则h175，h287,h396，…，h17168. hi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置. 定义：把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 首项 第2项 第n项 数列的一般形式是 a1， a2， a3，…，an，… (n∈N*). 简记作{an} . 注: 右下角标表示这一项在数列中的位置序号 思考1：{an}与an的意思一样吗？ {an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，…. ； an 表示数列{an}中的第n项. 探索新知 探索新知 由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系: 序号 项 数列本质上是特殊的函数. ①数列是以序号为自变量,以对应的项为函数值的函数,即 ②定义域为正整数集或它的有限子集 an=f(n) 数列是自变量为离散的数的函数. 正整数集 实数集 (或它的有限子集{1,2,…,n}) 观察以下几列数： (1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807； (2)这句话中隐藏着一列数：1，，…； (3)从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 027，2 027，…，2 027； (4)小明为了记住刚设置的手机密码,不停地说:“7，0，2，5，7，0，2，5，…”； (5)-的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：-，-，…； 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 同：都是按照确定的顺序进行排列的 异：从项数上来看,从项的变化趋势上来看 探索新知 3.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数 的数列 无穷数列 项数 的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列 常数列 各项都 的数列 周期数列 项呈现周期性变化 有限 无限 大于 小于 相等 追问2:我们发现问题1中的(1)(2)(3)(5)，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？ 观察以下几列数： (1)7，49，343，2 401，16 807； (2)1，，…； (3)2 027，2 027，…，2 027； (4)7，0，2，5，7，0，2，5，…”； (5)-，-，…； an=7n，n∈； an=，n∈N* an=2 027，n∈{x|x是本班同学的学号} an=2 027，n∈{x|x是本班同学的学号} 探索新知 1.如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的 . 2.通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为正整数的函数. 序号n 通项公式 知识梳理 知识梳理 4.数列的表示形式 问题3：既然数列可以看成函数，那么数列除了可以用通项公式来表示之外，还可以如何表示呢？ 列表法： 图象法： 练习:判断下列数是不是数列，是的打“√”，错的打“×”. （1）数列4,7,8,12是有穷数列，首项是4. (　　) （2）1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列. (　　) （3）同一个数在数列中不可能重复出现. (　　) （4） 1,2,3,4与 {1,2,3,4 }是同一数列. (　　) √ × × × 正确. 错误；数列具有顺序性. 错误；在数列的定义中并没有规定数必须不同. 错误；前一个是数列，后一个是集合. 例1.根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象. n 1 2 3 4 5 1 3 6 10 15 n 1 2 3 4 5 1 0 -1 0 1 例题剖析 例2.根据下列数列的前4项或前5项，写出数列的一个通项公式. 常用(-1)n或(-1)n+1来表示各项正负相间的变化规律 一些数列的通项公式不是唯一的. 不是每一个数列都能写出它的通项公式. 如：1，24，8，3，19 例题剖析 （4） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ； [解析] 数列中的项有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察： <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，易知该数列的一个通项公式为 <m></m> . [变式] <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . [解析] 将原数列改写为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，故所求的数列的一个通项公式为 <m></m> . （5）9，99，999，9 999 an=10n-1，n∈N* 例2.根据下列数列的前4项或前5项，写出数列的一个通项公式. 例题剖析 类比函数单调性的证明方法，如何判定数列的单调性？ 答：(1)作差比较法： ①若an＋1－an>0恒成立，则数列{an}是递增数列； ②若an＋1－an<0恒成立，则数列{an}是递减数列． 探索新知 (2)作商比较法： (3)函数法： 将通项公式转化为函数的形式，通过判断函数的单调性来确定数列的单调性． 　已知数列{an}的通项公式为an=. (1)试判断数列{an}的单调性； 例 4 an+1-an=-=， 当1≤n≤3时，an+1-an>0， 当n=4时，an+1-an=0，即a5=a4， 当n≥5时，an+1-an<0， 所以{an}在1≤n≤4(n∈N*)时单调递增，在n≥5(n∈N*)时单调递减. 解 (2)判断该数列是否有最大项，若有，求出最大项. 方法一　由该数列的单调性可知，数列{an}的最大项为a5=a4=. 方法二　令即 解得4≤n≤5. 又n∈N*，所以数列{an}的最大项为a4=a5=. 解 18 当堂检测 B 当堂检测 A 课堂总结 1.数列的概念 2.数列的通项公式 3.数列的递推公式 4.数列的前 n 项和 ①若an>0，则当eq \f(an＋1,an)>1恒成立时，数列{an}是递增数列，当eq \f(an＋1,an)<1恒成立时，数列{an}是递减数列； ②若an<0，则当eq \f(an＋1,an)<1恒成立时，数列{an}是递增数列，当eq \f(an＋1,an)>1恒成立时，数列{an}是递减数列． $