4.2.1 等差数列的概念（第1课时）（教学课件）数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.2.1 等差数列的概念 (第1课时) ·选择性必修第二册· 1 学习目标 2 3 经历等差数列概念的形成过程，能描述等差数列的定义，感受等差数列的本质特征，发展数学抽象和数学建模素养. 能用递推公式 描述等差数列的概念，体验从函数的视角研究数列的一般路径． 能利用等差数列的定义判断与证明等差数列. 目录 CATALOG 01.等差数列的概念 03.应用新知 02.等差数列{an}的通项公式 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 01 等差数列的概念 导入新知1：生活情境——服装尺码与温度序列（引出“判定”） 情境描述：女装尺码 S,M,L,XL,XXL,XXXL 对应 38,40,42,44,46,48；某地海拔 20m 起每升 100m 温度 25.0,24.4,23.8,23.2,22.6。 数有何关系？ 思考：这两组数都是等差数列吗？怎样判断“一组数成不成等差”？ 追问：如果只知道通项是关于 n 的一次式，它一定成等差吗？公差与一次式系 导入新知2：生活情境——校园长跑打卡（引出“通项公式”） 情境描述：同学们，为迎接学校秋季运动会，班级开展"长跑打卡"活动：第一周每天跑3圈，以后每周都比上一周多跑2圈。这样前几周每天跑的圈数依次为 3，5，7，9，11，… 思考：这个数列有什么共同特征？你能用"相邻两项的关系"描述它吗？ 追问：第10周每天要跑多少圈？如果要提前知道任意一周的圈数，需要怎样的公式？ 引入新知 2025年是蛇年，从2025年开始， 蛇年的年份依次为: 2025，2037，2049，2061，2073，… 从2025年开始的第10个蛇年是哪一年？ 2241年是不是蛇年？今年到2241年之间有多少个蛇年？ 生肖纪年是中国传统纪年方式，以 12 种动物对应十二地支，每 12 年为一个循环. 常用于记生日、传统民俗(如本命年)等，是中华文化重要符号. 传统文化 思 考 新课探究 情景1 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，有9圈扇环形石板围绕最中间的天心石，从内到外各圈的石板数依次为： 9，18，27，36，45，54，63，72，81 新课探究 情景2 XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装对应的尺码分别是：34，36，38，40，42，44，46，48 新课探究 情景3 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位：℃)依次为： 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6 新课探究 思考 把以上情境中数列汇总如下，观察数列，找出规律并填空 引入中数列：2025，2037，2049，2061，2073，（ ） 总结 共同的规律：从第 2 项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数. 情景①数列： 9，18，27，36，45，54，63，72，81，（ ） 情景②数列： 34，36，38，40，42，44，46，48，（ ） 情景③数列： 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6，（ ） 新课探究 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列（arithmetic progression），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母 d 表示． 思考 你能用符号语言表示数列为等差数列吗? 数列第n项为：___________，它的前一项为：___________，公差为__________ 数列第n+1项为：___________，它的前一项为：___________，公差为__________ 等差数列的递推公式 新课探究 等差中项的定义 计算等差中项 的方法 新课探究 探究 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 于是： …… 归纳可得： 所以： 不完全归纳法 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求等差中项 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求等差中项 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用等差数列的性质计算、等差中项的应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 等差数列通项公式的基本量计算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 等差中项的应用 02 等差数列的 通项公式 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 新课探究 累加法求通项公式 若等差数列{an}的首项为a1，公差是d，根据定义得: 将这些等式的两边分别相加得： 所以： 以上，求等差数列通项公式的方法叫做累加法. 思考 何时想到用累加法？ 已知条件中含相邻两项之差， 比如 新课探究 等差数列的通项公式 首项为a1，公差为 d 的等差数列{an}的通项公式为： 思考：等差数列{an}的通项公式中涉及了哪几个量？你能由此分析下确 定一个等差数列的基本条件吗？ 通项公式中涉及首项 a1、公差 d、项数 n、第 n 项 an，可知三求一； 首项 a1 与公差 d 是基本量，由基本量就可以唯一确定一个等差数列.因此，在解决等差数列问题时，我们要重视用基本量表示数列中其他元素. 利用等差数列的通项公式不仅可以求出该数列中的任意指定项，也可以判断某特定数是否是该数列中的项． 新课探究 等差数列的通项公式的函数性质 思考 观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 新课探究 新课探究 等差数列与一次函数的区别与联系 等差数列 一次函数 解析式 不同点 相同点 联系 定义域为N*，图象是一系列孤立的点（在直线上） 定义域为R，图象是一条直线 等差数列的通项公式与一次函数解析式都是自变量的一次整式. an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 等差数列通项公式的基本量计算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 等差数列通项公式的基本量计算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用等差数列通项公式求数列中的项 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用等差数列通项公式求数列中的项 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 等差数列通项公式的基本量计算 03 应用新知 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 应用新知 解 析 分析 应用新知 分析 解 析 应用新知 分析 解 析 令 应用新知 规律方法 等差数列通项公式中的四个参数及其关系 应用新知 规律方法： 04 题型强化训练 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 重要题型专练 题型一 等差数列通项公式的基本量计算 例题 解 析 重要题型专练 题型一 等差数列通项公式的基本量计算 例题 解 析 重要题型专练 题型一 等差数列通项公式的基本量计算 例题 解 析 重要题型专练 题型二 等差中项的应用 例题 解 析 应用新知 方法总结 等差数列等差中项的应用 重要题型专练 题型三 等差数列的判定与证明 例题 证 明 重要题型专练 题型三 等差数列的判定与证明 例题 证 明 应用新知 规律方法 判定等差数列常用的方法 (3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列 05 真题感知 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 课堂小结 迭代归纳法；累加法 通项公式 与一次函数的关系 概念 方程思想、抽象、运算素养 等差中项 等差数列的 概念 作业 巩固作业：教科书第24页习题4.2第1、2题. 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 作业答案（教科书第24页习题4.2第1题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第1题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第1题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第1题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第2题.） 详解 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第二册· 这时，A叫做a与b的等差中项 (arithmetic mean)． 根据等差数列的定义有：， 特别地，由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列． 整理得：，即 设一个等差数列的首项为，公差为． 等差数列的递推公式： 所以，，，…． 当时，左式为 这就是说，左式当时也成立． 1.（25-26高二上·湖南永州·期末）2与8的等差中项为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】2与8的等差中项为. 故选：C. 2.（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知实数 是 等差中项，则 （   ） A． B． C． D． 【详解】是等差中项，， 故选项A正确. 3.（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列 为等差数列，其中 ， 为方程 的两根，则 （ ） A． B． C． D． 【详解】由根与系数的关系及等差中项的性质求. 数列为等差数列，其中，为方程的两根， 由题，根据韦达定理可得， 由等差数列的中项性质得，所以.故选：B. 5.（25-26高二下·四川南充·阶段检测）在等差数列 中， ， ，则 （     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【详解】设等差数列的公差为，， 则，解得， 所以.故选：C. 4.（26-27高三上·辽宁·开学考试）在等差数列 中，已知 ， 为方程 的两实根，则 等于（   ） A．7 B．6 C． D．3 【详解】因为，为方程的两实根，可得， 由等差数列的性质，可得.故选：C. 当时，上式为． 这就是说，上式当时也成立． 反之，任给一次函数(为常数)， 构成一个等差数列，其首项为，公差为． 则,,…,,…, 6.．（25-26高二下·北京·期末）已知在等差数列 中， ， ，则公差 的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【详解】因为，， 所以，解得.故选：C. 7.（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知数列 为等差数列，若 ， ，则数列 的公差为（    ） A． B． C． D． 【详解】．故选：A. 8.（25-26高二下·安徽宿州·期末）在等差数列 中， ， ，则 （   ） A．20 B．21 C．22 D．23 【详解】由题知 ，即，解得， 所以.故选：D. 9.（25-26高二下·江西景德镇·期末）在等差数列 中， ， ，则 等于（   ） A． B．15 C．25 D． 【详解】由题意得：， 解得：．故选：B. 10.（25-26高二下·北京西城·期末）已知在等差数列 中， ， ，则公差 的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【详解】由，得， 两式相减得，解得.故选：A. 例1: (1)已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项. 已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义， 由即可求出公差； (1)当时，由的通项公式，可得 于是 把代入通项公式，得 所以，的公差为-2，首项为3 例1: (2)求等差数列8 ,5 ,2 ,...的第20项. 可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式 求数列的第20项． 由已知条件，得： 把，代入，得 把代入上式，得 所以，这个数列的第20项是- 49． 例2: - 401是不是等差数列-5，-9，-13，... 的项？如果是，是第几项? 先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看-401是否 能使这个方程有正整数解． 由，，得这个数列的通项公式为 解这个关于的方程，得 所以，-401是这个数列的项，是第100项． 在等差数列中，首项与公差是两个最基本的元素，有关等差 数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关，的 关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 等差数列的通项公式 四个参数 首项、公差、项数、第项 “知三求一” （方程思想） 已知首项、公差、项数、求第项 已知首项、公差、第项、求项数 已知首项、项数、第项、求公差 已知公差、项数、第项、求首项 已知a和2b的等差中项是5，3a和4b的等差中项是7， 求2a和3b的等差中项； ∵a和2b的等差中项是5，∴a + 2b = 10.① 又∵3a和4b的等差中项是7，∴3a + 4b = 14.② 由①②解得 ∴2a和3b的等差中项为. 由等差数列的定义知，即 ，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一 项都是它前一项与后一项的等差中项，此表达式可以用来判定等差数列. 在设等差数列的项时，可利用上述性质. （2）已知数列满足，记. 求证：数列是等差数列 ∴，为常数（）. 又，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列. (1)定义法：（常数）（）⟺为等差数列. (2)等差中项法：⟺为等差数列. 1.（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）已知等差数列满足首项，公差，则（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 由题设. 故选：B 2.（2026·陕西西安·模拟预测）等差数列中，，，则（    ） A．0 B． C．15 D．20 因为为等差数列，且， 所以由下标和性质有，即，解得..故选：A 3.(25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知数列为等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 设等差数列的公差为，. 根据等差数列的性质得：，因此，解得. 又由，且，得，解得..故选：C 4.（2026·北京·三模）已知数列，都是等差数列，，，则（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 因为、均为等差数列，根据等差数列的性质，可得数列也为等差数列，设其公差为，， 由题意可知，该数列首项，第三项，根据等差数列通项公式有 ，即，解得，因此..故选：C. 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． （1） 因为等差数列中，，，， 所以，； 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． （2）因为等差数列中，，，，所以 ，解得； 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． （3）因为等差数列中，，，，所以 ，整理得， 解得，或（舍去），； 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． （4）因为等差数列中，，，， ，. 2. 已知为等差数列，，．求． （2）设的公差为d，首项为，根据题意得 ，∴ ∴ $