4.1 .1数列的概念与通项公式课件 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.1 课时1 数列的概念与通项公式 海棠 黄禅 波斯菊 雏菊 （2） （13） （3） （5） 剑兰 有人说，大自然是懂数学的。 （8） 1 1 2 3 5 8 13 21 …… 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …… 斐波那契数列： 兔子繁殖问题（《算盘书》1202） 斐波那契 （Fibonacci；1170  1250 ） 情境1 王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数： 75,87,96,103,110,116,120,128,138， 145,153,158,160,162,163,165,168 情境2 某便利店的新年促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择120元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该便利店领取奖金，领取的奖金金额（单位：元）依次为： 1，3，5，7，9，11，13， 15，17，19，21，23，25. 情境3 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，如图摆成正方形的一列数：1，4，9，16，…… …… 情境4 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数 情境1 ：75,87,96,103,110,116,120,128,138， 145,153,158,160,162,163,165,168 情境2： 1，3，5，7，9，11，13， 15，17，19，21，23，25. 情境3：1，4，9，16，…… 情境4： 说一说：你能找出这些例子有什么共同特点吗？ 追问：每列数中的任意 两个数之间能否调换顺序,为什么? 一、数列的基本概念 按照确定顺序排列的一列数 数列中每一个数 排在第1位的数 排在第2位的数 排在第n位的数 数 列 数 列 的 项 首 项 第 2 项 第 n 项 数列的一般形式是 : ，简记为. 项数有限的数列叫做有穷数列；项数无限的数列叫做无穷数列. 想一想：在数列中，符号{}和所表示的意义相同吗？ 中的第n项这一个数值 {的是一个数列，一般说数列{ 1 2 3 4 … n … 序号 项 数列单调性 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列； 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。 特别地，各项都相等的数列叫做常数列. 注：数列是特殊的函数. 要点归纳 9 N* R = f(n) 当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{}. 另一方面，对于函数，如果f(n) (n∈N*）有意义，那么f(1)，f(2)，…，f(n)，…构成了一个数列{f(n)}。 序号 1 2 3 … n … … … 项 数列是自变量为离散的数的函数． 数列中的每一项与它的序号(下标)有下列的对应关系： 二、数列与函数的关系 10 数列也可以用表格和图象来表示．例如，情境1的王芳身高： 从表和图中，你能发现数列1中的项随序号的变化呈现出的特点吗？ 单调性！ 11 （1）1,3,5,7是一个数列，7,5,3,1也是一个数列，那这两个数列是不是同一个数列？为什么？ （2)1,1,1,1,1，…是不是一个数列？为什么？ 试一试：请结合数列的定义，回答以下的问题，并试着探究数列中的每一个数和集合中的元素有什么区别？ 不是 是 常数列 12 1.数列中的数一定是“数”，而集合中的元素不一定是“数”。 2.数列中的数是按一定次序排列的，排列次序不同，那么它们就是不同的数列；而集合中的元素是无序的。 3.数列定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现； 而集合中的元素不能重复出现。 要点归纳 数列中的每一个数和集合中的元素的区别： 13 三、数列的通项公式 如果数列{}的第n项和它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. ，，，，…. = 例1 根据下列数列{}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象. (1) ； (2). 解：(1)当通项公式中的n=1，2，3，4，5时，数列{}的前5项依次为1，3，6，10，15. 图象如图 (1)所示. (2)当通项公式中的n=1，2，3，4，5时，数列{}的前5项依次为1，0，1，0，1. 图象如图 (2)所示. 15 例2 根据下列数列中给出的项，写出数列的通项公式： (1)1,1,1,1,... (2)1,-1,1,-1,1,-1... (1) 1，，3，，…； (2) 2，0，2，0，…. (1) (2) (3) (4) 思考： （1）它的幂为什么是？ （2）还有没有其他的表示形式？ （3）是否所有的数列都有通项公式呢？ 16 对数列通项公式的认识： 并不是所有数列都能写出（或方便写出）其通项公式。 数列的通项公式的形式不唯一。 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n项，又是这个数列中所有各项的一般表示.它反映了一个数列项与项数的一种对应关系（函数关系） 注 意 17 对数列与函数的关系的理解： 1.数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，····，n}） 为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时可得到对应 的一列函数值.反过来，对于函数，如果f(i)（i=1,2,3,…n…） 有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),f(4),…,f(n)… 2.数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，其定义域是正整数集或 正整数集的有限子集，其解析式就是数列的通项公式. 注 意 18 1.下列说法中正确的是（ ） C 解： C （ ） 2. 3.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则（ ） A.3不是数列{an}中的项 B.3只是数列{an}中的第2项 C.3只是数列{an}中的第6项 D.3是数列{an}中的第2项和第6项 解：由n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6. D 回顾本节课所学知识，思考： （1）什么是数列？数列的本质是什么？ （2）我们研究数列的基本路径是什么？ 事实 下定义 表示方法 性质 特殊元素 现实生活、数学史、数学 按照确定的顺序排列的一列数 表格、图象、通项公式 递增、递减、常数列 本质：函数 将n换成k代入即可，C正确. A.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B.数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列 C.数列的第k项为1＋ D.数列0，2，4，6，…可记为{2n} (1)数列2，－5，9，－14，…的一个通项公式可以是 A.an＝(－1)n－1(3n－1) B.an＝(－1)n(3n－1) C.an＝(－1)n－1eq \f(n（n＋3）,2) D.an＝(－1)neq \f(n（n＋3）,2) $