第2章 一元二次方程 综合素养能力评价课件 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

综合素养能力评价 第2章综合素养能力评价 1 满分：100分 时间：60分钟 成绩评定：__________ 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.将一元二次方程 化成一般式后，二次项系数和一次项系数 分别为( ) D A. 3，5 B. 3，1 C. ， D. 3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 3 2.（2025·安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 4 3.用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5 4.已知，是一元二次方程的两个根，则 的值是 ( ) D A. 1 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6 5.（2025·遂宁）已知关于的一元二次方程 有实数根， 则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7 6.（2025·宿迁泗洪县期中）已知 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值等于( ) B A. 4045 B. C. 2025 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8 7.（2025·宿迁宿城区期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的 销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车 2025年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元.设该款汽车这两个月售价 的月均下降率是 ，则所列方程正确的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9 8.已知实数，满足，则 的最小值为( ) A A. 8 B. 5 C. 4 D. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10 二、填空题（每小题3分，共27分） 9.已知关于的方程是一元二次方程，则 ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 11 10.（2025·宿迁泗阳县期中）关于的方程 的一个根为3， 则 ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12 11.如果是一元二次方程的一个根，那么 的值 是____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13 12.（2025·宿迁沭阳县期中）关于的一元二次方程 有两 个相等的实数根，则 的值为___. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14 13.（2025·宿迁宿豫区期末）一元二次方程 的两根之和为 ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15 14.（2025·宿迁宿豫区期中）若一个数的平方与45的差等于这个数的4倍， 则这个数为_______. 9或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16 15.（2025·宿迁沭阳县期中）若 ， 是方程 的两个 实数根，则 的值为______. 2024 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17 16.（2025·宿迁沭阳县期中）等腰 的一边长为3，另外两边的长是关 于的方程的两个实数根，则 的值是____. 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18 第17题图 17.如图，在中， ， ， 点从点出发沿射线以 的速度做直线运动， 点从点出发沿边的延长线以 的速度做直 线运动，如果点，分别从点， 同时出发，经过 __________，的面积为 . 4或6或12 图放大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19 图片还原 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20 三、解答题（共49分） 18.（8分）解下列方程: （1） ; （2） ; （3） ； （4） ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21 （1） ; 解：; （2） ; 解：; （3） ； 解：; （4） ． 解：; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22 19.（6分）（2025·宿迁宿豫区期中）已知关于的方程 . （1）求证：无论 取何值，这个方程总有实数根； （2）取一个 值，使得这个方程有两个有理数根，并求出这两个根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23 （1）求证：无论 取何值，这个方程总有实数根； 解：若，则方程为 ，该方程有实数根； 若，由 , 得该方程有两个不相等的实数根. 综上所述，无论 取何值，这个方程总有实数根. （2）取一个 值，使得这个方程有两个有理数根，并求出这两个根. 解：当时，方程为 , 解得 ， .（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 20.（6分）（2025·宿迁宿城区期末）已知关于 的一元二次方程 . （1）若方程有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围； （2）若方程两实数根为，，且满足，求实数 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 （1）若方程有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围； 解： 原方程有两个不相等的实数根， , 解得 . （2）若方程两实数根为，，且满足，求实数 的值. 解：由根与系数的关系，得, , , , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 第21题图 21.（6分）如图，利用一面足够长的墙，用铁栅 栏围成一个矩形自行车场地，在和 边上各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）.设矩 形的宽为米，矩形的长为 （且 ）. （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含的代数式表示矩形的长 ； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则， 的长 应分别为多少米？ 图放大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 27 （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含的代数式表示矩形的长 ； 第21题图 解：, , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 28 第21题图 （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为 192平方米，则， 的长应分别为多少米？ 解：由题意，得, 解得 , 由题意，得 , 即, 解得, , （舍去）, , . 答：的长为6米， 的长为32米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 29 图片还原 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 30 22.（6分）当一款服装每件的进价为80元，每件的销售价为120元时，每天 可售出20件.为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现：如果每件服装 降价1元，那么平均每天可多售出2件. （1）设每件服装降价 元，则每天销售量增加________件，每件盈利____ ____元；（用含 的代数式表示） （2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能 盈利1200元？ （3）商家能达到平均每天盈利1500元吗？请说明你的理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 31 （1）设每件服装降价 元，则每天销售量增加____件，每件盈利________ 元；（用含 的代数式表示） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 32 （2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能 盈利1200元？ 解：设每件服装降价元，则平均每天的销售量为 件.根据题意，得 ， 整理,得，解得， . 需要让利于顾客， . 答：每件服装降价20元时，商家平均每天能盈利1200元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 33 （3）商家能达到平均每天盈利1500元吗？请说明你的理由. 解：商家达不到平均每天盈利1500元，理由如下： 设每件服装降价元，则平均每天的销售量为 件. 根据题意，得 ， 整理，得 . ， 此方程无解， 商家达不到平均每天盈利1500元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 34 第23题图 23.（8分）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运 动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天 能售出200双.经过一段时间销售发现，平均每天售出 的运动鞋数量（双）与每双运动鞋降低价格 （元） 之间存在如图所示的函数关系. 图放大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 35 第23题图 （1）求出与 的函数表达式. （2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且 优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少 元？ （3）为了保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的 ，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求 出每双运动鞋的售价；若不能，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 36 第23题图 （1）求出与 的函数表达式. 解：设与的函数表达式为 ，由 图可知其函数图象经过点和 ，将其 代入得解得 与的函数表达式为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 37 第23题图 （2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优 惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少元？ 解：由题意，得 ， 整理，得，解得, . 优惠力度最大， . 当时， . 答：每双运动鞋的售价应该定为87元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 38 第23题图 （3）为了保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的 ，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求 出每双运动鞋的售价；若不能，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 39 第23题图 解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下： 要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的 , ,解得 . 根据题意，得 , 整理，得 , 解得 , 每双运动鞋的售价为90元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 40 图片还原 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 41 第24题图 24.（9分）如图，在矩形 中， ，，点， 分别从 点，同时出发，点以 的速度向 点运动，到达点停止.同时，点 以 的速度向点运动，当点 停止时， 点也停止.设运动时间为 . （1）当为何值时，， 两点间的距离最小？最小距离是多少？ （2）连接，当是等腰三角形时，求 的值. （3）在运动过程中，是否存在一个时刻，使得 ？若存在， 请求出 的值；若不存在，请说明理由. 图放大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 42 第24题图 （1）当为何值时，， 两点间的距离最 小？最小距离是多少？ 解：当时，， 两点间的距离最 小，此时，即 ，解得 ， 当的值为时，， 两点间的距离最小， 最小距离是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 43 （2）连接，当是等腰三角形时，求 的值. 第24题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 44 第24题答图 解：如答图，过点作于点 . 由题意知. , , , ， . 若 ，则 ， 解得或 ； 若，则 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 45 解得， （不合题意，舍去）； 若，则为线段 的中点，此时 ， ，解得 . 综上所述，当的值为或 或 或时， 是等腰三角形. 第24题答图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （3）在运动过程中，是否存在一个时刻，使得 ？若存在， 请求出 的值；若不存在，请说明理由. 第24题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 47 第24题图 解：不存在，理由如下： 当 时，有 ， 即 ， 整理，得 ， 该方程无实数根. 在运动过程中，不存在一个时刻，使得 . ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 48 图片还原 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 49 50 $