第3章 图形的相似 单元复习（9大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第3章 图形的相似 知识点1：比例线段与比例性质 　　　比例线段：对于四条线段、、、，如果（即），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 　　　比例的基本性质：若，则；反之也成立。其中、是比例外项，、是比例内项。 　　　比例的性质 名称 内容 基本性质 若，则 合比性质 若，则 等比性质 若，则 知识点2：相似多边形 　　　相似多边形定义：两个边数相同的多边形，如果对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫相似多边形；对应边长度的比叫相似比。 　　　相似多边形性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 　　　判定：对应角相等且对应边成比例的两个多边形相似；对应角相等的菱形、对应边成比例的矩形是相似图形。 知识点3：黄金分割 　　　黄金分割定义：如果点把线段分成两条线段和（），使是和的比例中项，即，那么这种分割叫黄金分割，点是线段的黄金分割点。 　　　黄金数：，叫黄金分割数；宽与长的比是黄金数的矩形叫黄金矩形。 知识点4：平行线分线段成比例 　　　基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 　　　推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 　　　预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。 知识点5：相似三角形 　　　定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫相似三角形，记作。 　　　相似三角形与全等三角形比较 比较项 全等三角形 相似三角形 定义 能够完全重合 三角分别相等、三边成比例 特征 形状相同且大小相等 形状相同但大小不一定相等 对应边 相等 成比例 对应角 相等 相等 相似比 1 任意正实数 知识点6：三角形相似的判定 　　　两角对应相等：两个角分别对应相等的两个三角形相似。 　　　两边成比例且夹角相等：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 　　　三边成比例：三边对应成比例的两个三角形相似。 　　　直角三角形：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 知识点7：相似三角形的性质 　　　对应线段：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。 　　　周长比：相似三角形的周长比等于相似比。 　　　面积比：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 知识点8：位似图形 　　　位似定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一点，且有，那么这样的两个多边形叫位似多边形，点叫位似中心，叫相似比。 　　　位似与相似关系 比较项 位似 相似 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置 对应点连线过位似中心 任意摆放 联系 位似是相似的特殊情况 相似不一定位似 　　　位似性质：对应顶点连线过位似中心；对应点到位似中心的距离之比等于相似比；对应线段平行（或共线）且之比相等。 知识点9：坐标系中的位似变换 　　　以原点为位似中心，将多边形每个顶点坐标都乘同一个数（），所得图形与原图形位似，相似比为；对应点坐标为。 　　　位似中心在原点：若原顶点，位似后对应点为；同向，反向。 　　　平移、轴对称、旋转、位似变换坐标变化规律需区分记忆。 【基础必考题型】 【题型1】成比例线段与比例中项 1.核心知识点: 　　成比例线段判断；比例中项定义；已知比例求未知线段。 2.解题方法技巧: 　　①由转化为判断成比例。 ②比例中项，注意线段取正值，排除负值。 【例题1】.（2026九年级上·全国·专题练习）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知线段，线段是，的比例中项，那么线段为（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知线段，，线段c是a，b的比例中项，那么线段c为（    ） A．3 B．9 C． D． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）判断下列线段是不是成比例线段： (1)； (2)． 【题型2】比例的性质与求值 1.核心知识点: 　　比例基本性质、合比性质、等比性质；由比例式求代数式的值。 2.解题方法技巧: 　　①设比值法：令，用含式子表示各线段再代入求值。 ②等比性质中分母之和为零时不能用；注意由灵活变形。 【例题2】.（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如果，那么下列各式中正确的是（     ）． A． B． C． D． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·湖南湘潭·阶段检测）若（），则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）已知线段，，的长度满足，且，求，，的值． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）已知； (1)求代数式的值； (2)当时，求a，b，c的值． 【题型3】平行线分线段成比例 1.核心知识点: 　　平行线分线段成比例基本事实与推论；由比例求线段长。 2.解题方法技巧: 　　①找准对应线段：，注意上下、左右对应。 　　②平行于三角形一边时，利用等比例关系列式。 【例题3】.（26-27九年级上·湖南湘潭·阶段检测）如图，在中， ，则下列比例式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知线段、、，求线段，使，下列作图正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，，如果，那么_____． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·四川·期中）△中，，，点是直线上一点，且，过点作边的平行线，交直线于点，则的长为_______． 【题型4】黄金分割及应用 1.核心知识点: 　　黄金分割点；黄金数；黄金矩形；由分割点求线段长。 2.解题方法技巧: 　　①黄金分割点把线段分成较长与较短两段，较长段全长，较短段全长。 ②有两个黄金分割点时，两分割点间距全长。 【例题4】.（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长为__________． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）校园里一片小小的枫树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，A，P，B点共线，点P为的黄金分割点（）若，则的长为______． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）点是线段的黄金分割点，且厘米，那么__________厘米． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，线段上的一点P把分割为两条线段，当满足时，则称点P是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长18米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为x米），则所列方程为____________． 【题型5】相似图形的识别与判定 1.核心知识点: 　　相似多边形判定；相似三角形判定定理；等边三角形、等腰直角三角形等一定相似的图形。 2.解题方法技巧: 　　①等边三角形、顶角相等的等腰三角形、三边对应成比例的三角形一定相似。 　②选判定方法：优先找两角相等，其次找两边成比例且夹角相等，再考虑三边成比例。 【例题5】.（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图所示，四边形四边形，，则（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，将一张矩形纸片沿一组对边和的中点连线对折，对折后所得矩形恰好与原矩形相似．则与的比值是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，六边形与六边形相似． 求： (1)相似比； (2)和的度数； (3)边，，，的长． 【变式题5-3】.（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，矩形花坛的宽，长．现计划在该花坛四周修筑小路，小路的四周围成矩形． (1)如图①，当小路的宽度为时，矩形与矩形是否相似？请说明理由； (2)如图②，要使小路的四周围成的矩形与矩形相似，并且相对两条小路的宽度相等，则小路的宽度与的比为________． 【培优高频题型】 【题型6】相似三角形的判定与性质应用 1.核心知识点: 　　相似三角形对应高、中线、角平分线、周长的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 2.解题方法技巧: 　　①由面积比反推相似比时要开平方。 ②已知相似比求周长、对应线段直接用相似比；求面积用相似比的平方。 【例题6】.（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，为的边的延长线上一点，连接，交于点，交于点．求证：． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）如图，在中，，点，，，在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在中，点是边上一点，、的延长线交于点，连接，． 求证： (1)； (2)． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：： (2)若的面积为4，，求四边形的面积． 【题型7】位似图形的识别与性质 1.核心知识点: 　　位似图形定义；位似中心；位似与相似关系；位似性质。 2.解题方法技巧: 　　①位似图形对应点连线必过位似中心，据此找位似中心。 ②位似图形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比。 【例题7】.（26-27九年级上·全国·课后作业）指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，在的网格图中，点O和的顶点均为格点。以O为位似中心，在网格图中作，使与位似，且相似比为． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一个中空的长方形铁板，外部大长方形的长和宽分别为和．大、小两个长方形左右边距为，上下边距为． (1)当时，大、小两个长方形是位似图形吗？ (2)当m和的比值是多少时，大、小两个长方形是位似图形？ 【变式题7-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知、为正三角形，连接并延长交于点，过点作交于点，作，交于点，连接． (1)证明：和是以点O为位似中心的位似图形； (2)证明：是正三角形． 【题型8】坐标系中的位似变换 1.核心知识点: 　　以原点为位似中心，对应点坐标乘以相似比；同向、反向位似。 2.解题方法技巧: 　　①以原点为位似中心，相似比为，对应点坐标为，注意正负代表同向、反向。 ②已知位似前后对应点坐标，先求相似比，再求其他对应点坐标。 【例题8】.（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·湖南娄底·阶段检测）如图，已知是坐标原点，，两点的坐标分别为、． (1)以点为位似中心在轴的左侧将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形； (2)点的对应点的坐标是__________；点的对应点的坐标是__________ (3)在上有一点，按（1）的方式得到的对应点的坐标是__________． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为D，E，F，已知它们的顶点坐标分别为，，，，，． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心点P； (2)求点P的坐标及与的相似比． 【变式题8-3】.（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（格点为网格线的交点）． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 【题型9】相似三角形的实际应用 1.核心知识点: 　　利用相似测量高度、河宽、距离；构建相似三角形模型。 2.解题方法技巧: 　　①由标杆、视线构成相似三角形，利用对应边成比例列式求不可直接测量的量。 ②找准平行线、公共角，把实际问题抽象为相似三角形模型。 【例题9】.（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度． 【变式题9-1】.（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式 _________；__________ _________；的最大值为4． 【问题解决】 (1)请补全素材2中的解题过程； (2)如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 【变式题9-2】.（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）综合与实践——视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同．    素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长．    (1)探究图中与之间的关系，请说明理由； (2)若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． (3)美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【变式题9-3】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）综合与实践 【情境】在学习完（相似）内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图1，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆．甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点、、在同一直线上时． 如图2，乙同学拿着一根长为16厘米的木棒站在离旗杆30米的地方（即点到的距离为30米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为40厘米． 示意图 【探究】 (1)下列判断正确的是_____（填序号）： ①只有甲同学的方案可行： ②只有乙同学的方案可行： ③两个同学的方案都可行： (2)请结合（1）的判断，选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 【题型10】格点作图与相似 1.核心知识点: 　　无刻度直尺网格作图；利用格点构造相似三角形、位似图形。 2.解题方法技巧: 　　①利用网格计算线段长、判断平行垂直，按比例确定分点。 ②位似作图：确定位似中心，连接关键点并延长取对应点。 【例题10】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； (2)请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，的三个顶点均在格点上． （1）线段的长是_______； （2）请用无刻度的直尺在边上找到一点，连接使得的面积是，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________________． 【变式题10-2】.（2026·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．已知点，，在格点上，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过四条．        (1)如图1，先画点，使得点绕点逆时针旋转得到点；连，，直线交于点，再在上找一点，使； (2)如图2，为上一点，先画出将线段沿方向平移的线段（点与点对应，点与点对应），再画出线段的中点． 【变式题10-3】.（2026·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．，，，均为格点，为上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个任务．每个任务的连线不超过五条． (1)在图（1）中，先画的高；再在上画点，使周长最小； (2)在图（2）中，连交于点，先将线段向左平移3个单位长度得到线段（与对应）；再画关于点成中心对称的（与对应）． 【压轴素养题型】 【题型11】动点与相似的综合问题 1.核心知识点: 　　动点运动；用时间表示线段；相似三角形存在性分类讨论。 2.解题方法技巧: 　　①设运动时间为，用含式子表示各动线段。 ②相似三角形存在性要分类讨论对应关系，列出比例方程求，检验是否在运动范围内。 【例题11】.（26-27九年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，点，，连接，动点M、N分别同时从点A、O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形的面积恰好为76时，求此时t的值； (2)试求t为何值时，与相似？ 【变式题11-1】.（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，已知中，，，．如果点P由A出发沿方向向点C匀速运动，同时点Q由B出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）．解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)的面积记为S，请用含有t的代数式表示出S． (3)是否存在某时刻t，使得平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【变式题11-2】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动后，的面积为． (1)当运动时间为多少秒时，与相似； (2)在P、Q两点移动的过程中，的面积能否等于？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【变式题11-3】.（26-27九年级上·全国·单元测试）已知：如图，在中，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)是否存在某一时刻，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【题型12】折叠与旋转中的相似探究 1.核心知识点: 　　折叠、旋转前后图形全等；对应边、角相等；构造相似三角形。 2.解题方法技巧: 　　①折叠、旋转产生全等，找准相等线段、相等角，标记已知条件。 ②由等角构造相似，列比例式求线段，注意分类讨论落点位置。 【例题12】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形纸片中，点在边上，连接，点在线段上，且，折叠矩形纸片使点恰好落在点处，折痕为，若，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题12-1】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形纸片中，点，是边，上的点，连接，将四边形沿折叠，点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接．若，，则的最小值是_________． 【变式题12-2】.（25-26八年级下·山东济南·期末）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 (1)如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为________________． 【拓展探究】 (2)如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，在旋转的过程中，与的数量关系是否发生变化？请利用图2进行证明． 【解决问题】 (3)如图3，当矩形的边时，点为射线上异于的一点，以为边在右侧作正方形，点为正方形的对称中心，连接，若，，求出的长． 【变式题12-3】.（25-26八年级上·北京密云·阶段检测）已知和均为等腰直角三角形，， ， ，点P、Q分别为的中点，连接． 猜想：如图①，当点D在上时，线段和的大小关系是 ． 探究：如图②，把绕着点C旋转一定的角度时，线段和的大小关系是什么？并加以说明． 拓展：如图③，和均为直角三角形，，且，， ，点P、Q分别为的中点，连接，当时，的面积是 ． 易错点 　　　比例性质误用：等比性质分母之和为零时直接套用；由变形比例时写错对应关系。 　　　相似判定条件混淆：两边成比例误用非夹角相等判定相似；三边成比例时未按对应顺序排列。 　　　面积比误为相似比：求面积比时误用相似比，应取相似比的平方；由面积比反推相似比忘记开平方。 　　　位似与相似混淆：误认为相似图形一定是位似图形；位似中心位置判断错误。 　　　坐标系位似漏解：位似中心在原点时，对应点坐标可乘或，漏掉反向位似的情况。 重点 　　　比例的性质与成比例线段、比例中项，黄金分割数及应用。 　　　相似三角形的三种判定方法，能灵活选择并正确证明。 　　　相似三角形的性质：对应线段比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 　　　位似图形的概念、性质及坐标系中的位似变换。 难点 　　　动点问题中相似三角形的存在性，需要分类讨论对应关系并检验解的合理性。 　　　相似与折叠、旋转、坐标系综合，构造相似模型，推理链条长。 　　　利用相似求最值，结合几何最值模型转化，综合性强。 　　　相似图形规律探究与格点作图，需要归纳推理与几何操作能力。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知三条线段的长分别为、、，则下列长度的线段中，不能与这三条线段构成成比例线段的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．如图，中，，将直尺的一边与重合，另一边与，分别交于，两点，，，，处的读数分别为20，17，0，1（单位：）．若直尺的宽为，则的长度是（） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，与交于点O，且，若，则__________． 5．如图，矩形中，点，，若，则点的坐标是________． 6．如图，在中，点D、E分别在边、上要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是_______（只需写一个条件） 三、解答题 7．请阅读以下材料，并回答相应的问题： 角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．如图，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图，过点作，交的延长线于点 (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (2)如图，在中，，，，平分，则的周长是________． 8．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，在边上找一点D，连接，使； (2)在图②中，在边上找一点E，连接，使． 9．已知三个顶点的坐标分别为． (1)以点O为位似中心，在位似中心的异侧画出的一个位似图形，使它与的位似比是； (2)在（1）中，点B的对应点的坐标为_________． (3)在（1）的条件下，若内任意点P的坐标为，则点P在上的对应点的坐标为_______． 10．综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例的应用． (1)【初步感知】在中，、分别为、边上的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于点，则与的比值为________； (2)【深入探究】在（1）的条件下，探究线段与的数量关系； (3)【拓展提高】如图2，在中，点、分别为、的中点，连接、交于点，与交于点，若，直接写出的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 图形的相似 知识点1：比例线段与比例性质 　　　比例线段：对于四条线段、、、，如果（即），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 　　　比例的基本性质：若，则；反之也成立。其中、是比例外项，、是比例内项。 　　　比例的性质 名称 内容 基本性质 若，则 合比性质 若，则 等比性质 若，则 知识点2：相似多边形 　　　相似多边形定义：两个边数相同的多边形，如果对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫相似多边形；对应边长度的比叫相似比。 　　　相似多边形性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 　　　判定：对应角相等且对应边成比例的两个多边形相似；对应角相等的菱形、对应边成比例的矩形是相似图形。 知识点3：黄金分割 　　　黄金分割定义：如果点把线段分成两条线段和（），使是和的比例中项，即，那么这种分割叫黄金分割，点是线段的黄金分割点。 　　　黄金数：，叫黄金分割数；宽与长的比是黄金数的矩形叫黄金矩形。 知识点4：平行线分线段成比例 　　　基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 　　　推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 　　　预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。 知识点5：相似三角形 　　　定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫相似三角形，记作。 　　　相似三角形与全等三角形比较 比较项 全等三角形 相似三角形 定义 能够完全重合 三角分别相等、三边成比例 特征 形状相同且大小相等 形状相同但大小不一定相等 对应边 相等 成比例 对应角 相等 相等 相似比 1 任意正实数 知识点6：三角形相似的判定 　　　两角对应相等：两个角分别对应相等的两个三角形相似。 　　　两边成比例且夹角相等：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 　　　三边成比例：三边对应成比例的两个三角形相似。 　　　直角三角形：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 知识点7：相似三角形的性质 　　　对应线段：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。 　　　周长比：相似三角形的周长比等于相似比。 　　　面积比：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 知识点8：位似图形 　　　位似定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一点，且有，那么这样的两个多边形叫位似多边形，点叫位似中心，叫相似比。 　　　位似与相似关系 比较项 位似 相似 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置 对应点连线过位似中心 任意摆放 联系 位似是相似的特殊情况 相似不一定位似 　　　位似性质：对应顶点连线过位似中心；对应点到位似中心的距离之比等于相似比；对应线段平行（或共线）且之比相等。 知识点9：坐标系中的位似变换 　　　以原点为位似中心，将多边形每个顶点坐标都乘同一个数（），所得图形与原图形位似，相似比为；对应点坐标为。 　　　位似中心在原点：若原顶点，位似后对应点为；同向，反向。 　　　平移、轴对称、旋转、位似变换坐标变化规律需区分记忆。 【基础必考题型】 【题型1】成比例线段与比例中项 1.核心知识点: 　　成比例线段判断；比例中项定义；已知比例求未知线段。 2.解题方法技巧: 　　①由转化为判断成比例。 ②比例中项，注意线段取正值，排除负值。 【例题1】.（2026九年级上·全国·专题练习）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项错误． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知线段，线段是，的比例中项，那么线段为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例中项的定义，利用列式计算，注意线段的长度必须大于． 【详解】解：∵线段是，的比例中项， ∴． ∵，， ∴． ∵线段长度为正数， ∴． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知线段，，线段c是a，b的比例中项，那么线段c为（    ） A．3 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】结合线段长度为正的特点，利用比例中项的性质求解． 【详解】解：∵线段是，的比例中项， ∴， ∵，， ∴， ∵线段长度为正数， ∴． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）判断下列线段是不是成比例线段： (1)； (2)． 【答案】(1) 线段、、、是成比例线段； (2) 线段、、、是成比例线段． 【分析】利用已知数据可得到，然后根据比例线段的定义进行判断． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴线段是成比例线段； （2）解：∵，， ∴， ∴线段是成比例线段． 【题型2】比例的性质与求值 1.核心知识点: 　　比例基本性质、合比性质、等比性质；由比例式求代数式的值。 2.解题方法技巧: 　　①设比值法：令，用含式子表示各线段再代入求值。 ②等比性质中分母之和为零时不能用；注意由灵活变形。 【例题2】.（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如果，那么下列各式中正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用比例的基本性质验证等式变形，结合比例的意义判断具体取值的正误． 【详解】解：∵， ∴， ∴A错误，B正确； ∵满足的取值不唯一，且时， ∴C、D错误． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·湖南湘潭·阶段检测）若（），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ∵ ∴ 原式． 故选C． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）已知线段，，的长度满足，且，求，，的值． 【答案】，， 【详解】解：设， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）已知； (1)求代数式的值； (2)当时，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2) ，， 【分析】 （1）设比例系数，将，，用含的式子表示，代入代数式化简即可； （2）将用表示的，，代入已知等式，求出，即可得到，，的值． 【详解】（1）解：设，则，，， 代入所求代数式，得 ； （2）解：设，则，，， 代入，得 ， 解得， 因此，，． 【题型3】平行线分线段成比例 1.核心知识点: 　　平行线分线段成比例基本事实与推论；由比例求线段长。 2.解题方法技巧: 　　①找准对应线段：，注意上下、左右对应。 　　②平行于三角形一边时，利用等比例关系列式。 【例题3】.（26-27九年级上·湖南湘潭·阶段检测）如图，在中， ，则下列比例式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理，逐一进行判定即可． 【详解】解：已知，根据平行线分线段成比例定理： A：，正确； B：，错误； C：，错误； D：，错误． 【点睛】分清对应线段，平行截得的上、下两段的比相等，不要把对应边弄颠倒． 【变式题3-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知线段、、，求线段，使，下列作图正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形中线段的对应关系进行判断． 【详解】解：在本题的图形中，若，则有． A选项，由图可得，即，符合题意； B选项，由图可得，即，不符合题意； C选项，由图可得，即，不符合题意； D选项，由图可得，即不符合题意． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，，如果，那么_____． 【答案】8 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，先求出的长，再代入数据计算即可． 【详解】解： ∵， ∴． ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·四川·期中）△中，，，点是直线上一点，且，过点作边的平行线，交直线于点，则的长为_______． 【答案】6或 【分析】分点P在边上和点P在边的延长线上两种情况，分别画出图形，利用平行线分线段成比例定理进行解答即可． 【详解】解：如图1，当点P在边上时， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 如图2，当点P在边的延长线上时， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为6或． 【题型4】黄金分割及应用 1.核心知识点: 　　黄金分割点；黄金数；黄金矩形；由分割点求线段长。 2.解题方法技巧: 　　①黄金分割点把线段分成较长与较短两段，较长段全长，较短段全长。 ②有两个黄金分割点时，两分割点间距全长。 【例题4】.（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长为__________． 【答案】或 【分析】点为线段的黄金分割点，未指明与的大小关系，需分两种情况结合黄金分割的定义计算的长度． 【详解】解：当时， 点是线段的黄金分割点， ， ， ． 当时， 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）校园里一片小小的枫树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，A，P，B点共线，点P为的黄金分割点（）若，则的长为______． 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义及，得出与的数量关系，求出的长，再利用计算即可． 【详解】解：点为的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， ． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）点是线段的黄金分割点，且厘米，那么__________厘米． 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义得到比例关系，设未知数代入已知条件列方程，舍去不符合题意的解即可得到结果． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 即， 设厘米， 已知厘米， 则厘米， 代入得， 展开整理得， 解得或， ，大于线段的长度，不符合题意舍去， 厘米． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，线段上的一点P把分割为两条线段，当满足时，则称点P是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长18米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为x米），则所列方程为____________． 【答案】 【分析】设米，则米，根据，即可解答． 【详解】解：设米，则米， 根据得： ， ∴． 【题型5】相似图形的识别与判定 1.核心知识点: 　　相似多边形判定；相似三角形判定定理；等边三角形、等腰直角三角形等一定相似的图形。 2.解题方法技巧: 　　①等边三角形、顶角相等的等腰三角形、三边对应成比例的三角形一定相似。 　②选判定方法：优先找两角相等，其次找两边成比例且夹角相等，再考虑三边成比例。 【例题5】.（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图所示，四边形四边形，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似多边形的性质得到，进而求出的度数． 【详解】解：四边形四边形， ． 四边形的内角和为， ． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，将一张矩形纸片沿一组对边和的中点连线对折，对折后所得矩形恰好与原矩形相似．则与的比值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点定义得到线段倍数关系，然后利用矩形相似得到对应边成比例，再设未知数代入比例建立等式，最后化简计算求出线段比值． 【详解】解：，分别是，的中点， ． 矩形与矩形相似， ． 设，，则． 代入比例式： ， ． ， ． ． 【变式题5-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，六边形与六边形相似． 求： (1)相似比； (2)和的度数； (3)边，，，的长． 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）解：∵六边形与六边形相似， ∴ ，即相似比为； （2）解：根据相似多边形的对应角相等可得，; （3）解：根据相似多边形的对应边成比例得， ∴， 解得． 【变式题5-3】.（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，矩形花坛的宽，长．现计划在该花坛四周修筑小路，小路的四周围成矩形． (1)如图①，当小路的宽度为时，矩形与矩形是否相似？请说明理由； (2)如图②，要使小路的四周围成的矩形与矩形相似，并且相对两条小路的宽度相等，则小路的宽度与的比为________． 【答案】(1)解：不相似．理由： ，，小路的宽度为， ，， ，， ， 矩形与矩形不相似． (2) 【分析】（1）根据已知求出与的值，进行比较即可解答； （2）利用相似多边形的性质，进行计算即可解答． 【详解】（1）略； （2）解：∵相对两条小路的宽度相等， ∴，， ∵矩形与矩形相似， ， ， ， ∴小路的宽度x与y的比值为． 【培优高频题型】 【题型6】相似三角形的判定与性质应用 1.核心知识点: 　　相似三角形对应高、中线、角平分线、周长的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 2.解题方法技巧: 　　①由面积比反推相似比时要开平方。 ②已知相似比求周长、对应线段直接用相似比；求面积用相似比的平方。 【例题6】.（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，为的边的延长线上一点，连接，交于点，交于点．求证：． 【答案】证明：∵在中， ∴ ∴ ∵在中， ∴ ∴ ∴ ∴． 【分析】证明得，证明得，进而可证结论成立． 【详解】略． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）如图，在中，，点，，，在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵， ， ∴， ∵， ∴； (2)9 【分析】（1）根据等边对等角可知，进而即可证明 （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ ∵，， ∴, ∴． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在中，点是边上一点，、的延长线交于点，连接，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明： 四边形是平行四边形， ，， ∴，， ， ， ，点在延长线上， ， 又， ， ∴， 在和中， ， ； (2) 证明：由（1）知， 在和中， ， （两角分别相等的两个三角形相似）， ， ， 四边形是平行四边形， ， 把代入上式，得． 【分析】（1）利用平行四边形对边平行得到两组角相等，结合题目给出，得到两组对应角相等，依据两角分别相等证得与相似． （2）使用第一问已经推导出的，结合公共角，证与相似，写出对应边比例式交叉相乘，再利用平行四边形性质做线段等量替换，变形得到要证明的乘积等式． 【详解】（1）略． （2）略． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：： (2)若的面积为4，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； (2)21 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定进行求解即可； （2）由题意易得，，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∴． 【题型7】位似图形的识别与性质 1.核心知识点: 　　位似图形定义；位似中心；位似与相似关系；位似性质。 2.解题方法技巧: 　　①位似图形对应点连线必过位似中心，据此找位似中心。 ②位似图形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比。 【例题7】.（26-27九年级上·全国·课后作业）指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 【答案】①②和④中的两个图形都是位似图形，①中的位似中心是点A，②中的位似中心是点P，④中的位似中心是点Q 【分析】根据位似图形的定义，结合题目图形和条件即可判断①、②、③、④的图形是否为位似图形，再根据位似中心的定义即可指出位似图形的位似中心． 【详解】解：观察①②和④中的两个图形，结合题目所给条件，可得： ①②和④中的两个图形是相似图形，且对应点的连线相交于同一点，符合位似图形定义， ∴①②和④中的两个图形是位似图形，其中①中的位似中心是点A，②中的位似中心是点P，④中的位似中心是点Q． ∵③的图形是相似图形，但对应点的连线不相交于同一点，不符合位似图形定义， ∴③的图形不是位似图形． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，在的网格图中，点O和的顶点均为格点。以O为位似中心，在网格图中作，使与位似，且相似比为． 【答案】 【详解】略 【变式题7-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一个中空的长方形铁板，外部大长方形的长和宽分别为和．大、小两个长方形左右边距为，上下边距为． (1)当时，大、小两个长方形是位似图形吗？ (2)当m和的比值是多少时，大、小两个长方形是位似图形？ 【答案】(1)不是； (2) 【分析】（1）求出两个长方形的长宽之比，即可判断． （2）利用位似图形的性质，推出两个长方形的边长之比，即可解答． 【详解】（1）解：外部大长方形的长和宽之比为， 中空的长方形铁板的长，宽， 中空的长方形长和宽之比为， ， 大、小两个长方形不是位似图形； （2）解：中空的长方形铁板的长，宽， 当大、小两个长方形是位似图形时， 可得， 整理可得， 所以当m和的比值是时，大、小两个长方形是位似图形． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知、为正三角形，连接并延长交于点，过点作交于点，作，交于点，连接． (1)证明：和是以点O为位似中心的位似图形； (2)证明：是正三角形． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； (2)证明：∵，是等边三角形， ∴是等边三角形． 【分析】（1）先证，得，再证明，得，继而证； （2）由及是等边三角形，从而得出结论． 【详解】（1）略； （2）略． 【题型8】坐标系中的位似变换 1.核心知识点: 　　以原点为位似中心，对应点坐标乘以相似比；同向、反向位似。 2.解题方法技巧: 　　①以原点为位似中心，相似比为，对应点坐标为，注意正负代表同向、反向。 ②已知位似前后对应点坐标，先求相似比，再求其他对应点坐标。 【例题8】.（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1)如图，点即为所求， 点的坐标为； (2)如图，即为所求． 【分析】（1）根据两点中点坐标公式可确定点的坐标，进而描出点即可； （2）根据点和点的坐标可知，把、的横纵坐标都乘以即可得到，的坐标，描出，，，并顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题8-1】.（26-27九年级上·湖南娄底·阶段检测）如图，已知是坐标原点，，两点的坐标分别为、． (1)以点为位似中心在轴的左侧将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形； (2)点的对应点的坐标是__________；点的对应点的坐标是__________ (3)在上有一点，按（1）的方式得到的对应点的坐标是__________． 【答案】(1)解：如图，为所作； (2)， (3)的坐标为 【分析】（1）（2）把B、C点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点即可； （3）把P点的横纵坐标都乘以得到点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：，， ，， 点的对应点的坐标是，点的对应点的坐标是； （3）解：从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以的坐标，因为的坐标为， 所以点的坐标为． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为D，E，F，已知它们的顶点坐标分别为，，，，，． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心点P； (2)求点P的坐标及与的相似比． 【答案】(1)如答图所示，点P即为位似中心． (2)，相似比为 【分析】（1）连接，交点即为点； （2）由网格作图可直接写出点P的坐标，再由两点之间距离公式求解对应边，即可求解相似比． 【详解】（1）略 （2）解：由答图可得，点P的坐标为． ，，，． ， ， 与的相似比为． 【变式题8-3】.（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（格点为网格线的交点）． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 如图所示，即为所求． 【分析】本题考查了画位似图形以及作旋转图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据位似图形的性质，分别找出，再依次连接，即可作答． （2）根据旋转的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 【题型9】相似三角形的实际应用 1.核心知识点: 　　利用相似测量高度、河宽、距离；构建相似三角形模型。 2.解题方法技巧: 　　①由标杆、视线构成相似三角形，利用对应边成比例列式求不可直接测量的量。 ②找准平行线、公共角，把实际问题抽象为相似三角形模型。 【例题9】.（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度． 【答案】该古建筑的高度为 【分析】设，则，通过证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则 ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 同理可证， ∴，即， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴该古建筑的高度为． 【变式题9-1】.（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式 _________；__________ _________；的最大值为4． 【问题解决】 (1)请补全素材2中的解题过程； (2)如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 【答案】(1)0，0，4 (2) 【分析】（1）根据平方的非负性与不等式的性质进行求解即可； （2）根据直角三角形的面积，求出，再根据勾股定理求出，进而结合等积变换求出，根据矩形性质得，，，即可得，，再根据，即可证明，，根据相似性质得 ， ，设，则，进而得，，即可求出，设矩形的面积为，再根据矩形面积公式即可得，配方后根据偶次方的非负性即可得矩形台面面积的最大值． 【详解】（1）解：原式． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． （2）解：如图， ∵直角三角形木板的面积为，一条直角边长为， ∴，即：，解得：， ∴， ∵， ∴，即：，解得：， 在矩形中有：，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， 设矩形的面积为，则： ，   ∵， ∴， ∴当时，， ∴矩形台面面积的最大值为． 【变式题9-2】.（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）综合与实践——视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同．    素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长．    (1)探究图中与之间的关系，请说明理由； (2)若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． (3)美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】(1)解：，理由如下： ， ， ，即； (2) (3)镜长至少为 【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例解答； （2）根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可； （3）延长至，使，延长至，使，连接，作于F，交于E，先证明，再根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：，且，，， ， ， ②号“E”的测量距离为； （3）解：如图，延长至，使，延长至，使，连接，作于F，交于E， 则，， ，， ， 由题意得：，， ， ， ， 镜长至少为． 【变式题9-3】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）综合与实践 【情境】在学习完（相似）内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图1，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆．甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点、、在同一直线上时． 如图2，乙同学拿着一根长为16厘米的木棒站在离旗杆30米的地方（即点到的距离为30米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为40厘米． 示意图 【探究】 (1)下列判断正确的是_____（填序号）： ①只有甲同学的方案可行： ②只有乙同学的方案可行： ③两个同学的方案都可行： (2)请结合（1）的判断，选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 【答案】(1)③ (2)解：选择甲同学的方案： 过点E作于点H，交于点G， 根据题意，得， 四边形是矩形，四边形是矩形 ，米，， 四边形是矩形， 米，米， 米， ， ∴， ∴， ∴， 解得（米）， ∴（米）． 选择乙同学的方案： 过点E作于点M，交于点N， 根据题意，得， 四边形是矩形 米，米，， ， 根据题意，得米，米， ， ∴， ∴， ∴， 解得（米）． 【分析】（1）根据相似三角形的知识，发现两种方案都是可以的： （2）选择一种方案，利用相似三角形的知识给出解答即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 【题型10】格点作图与相似 1.核心知识点: 　　无刻度直尺网格作图；利用格点构造相似三角形、位似图形。 2.解题方法技巧: 　　①利用网格计算线段长、判断平行垂直，按比例确定分点。 ②位似作图：确定位似中心，连接关键点并延长取对应点。 【例题10】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； (2)请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 的面积为5． 【分析】（1）由图形可知，，由此即可画出图形； （2）根据图形可知的三边长分别为，，，相似三角形对应边成比例，设的三边分别为，，，，由，对取值即可． 【详解】（1）略； （2）根据图形可知的三边长分别为，，， 相似三角形对应边成比例， 设的三边分别为，，，， 正方形网格中最长线段长， 的最大值为， 此时的三边分别为，，， 画图略； ， ． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，的三个顶点均在格点上． （1）线段的长是_______； （2）请用无刻度的直尺在边上找到一点，连接使得的面积是，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________________． 【答案】 5 解：点的位置如图所示， ∵，且要求的面积是， ∴， ∴， ∴找到网格中距离点1格的点，再连接，与的交点即为点． 【分析】（1）标记点，由图可知，，再利用勾股定理即可求解； （2）由题意求得，且要求的面积是，从而可知，可知，进而得到，找到网格中距离点1格的点，再连接，得到，从而可知，因此与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，标记点， 在中，，， 由勾股定理，得； （2）略 【变式题10-2】.（2026·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．已知点，，在格点上，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过四条．        (1)如图1，先画点，使得点绕点逆时针旋转得到点；连，，直线交于点，再在上找一点，使； (2)如图2，为上一点，先画出将线段沿方向平移的线段（点与点对应，点与点对应），再画出线段的中点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知为等腰直角三角形且为直角顶点，利用斜边可求出的长，继而借助网格可画出点，然后再根据三角形的三条高线交于一点确定点； （2）首先借助网格可画出平移后的线段，进而可以确定的中点，然后利用的交点以及的中点，结合相似三角形的知识可确定线段的中点． 【详解】（1）解：如图1，设每个小网格的边长为1，则 ，， ， ∴点P满足使． 如图1可知是的高，因为三角形的三条高线交于一点，则连接并延长交于点F，则点F即为所求； 图略； （2）解：图略； 如图2， 在和中， ， ， 线段即为所求； ， ． ， ， ， ，即， ，即H是线段的中点． 【变式题10-3】.（2026·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．，，，均为格点，为上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个任务．每个任务的连线不超过五条． (1)在图（1）中，先画的高；再在上画点，使周长最小； (2)在图（2）中，连交于点，先将线段向左平移3个单位长度得到线段（与对应）；再画关于点成中心对称的（与对应）． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 如图1，连接交于，则有，即为上的高；连接交于，连接交于，点即为所求； (2) 如图2，连接即为所求；延长交网格于点，连接交于点，延长交于点，连接即为所求． 【详解】（1）解：如图1， 在和中， ， ． ， ， ，即是的高． 由网格可知，， 四边形为平行四边形， ， ，即是的中点， ， 关于对称， ，， ， 使的周长最小； （2）解：如图2， 解：由(1)已知四边形为平行四边形， ． ， 为线段向左平移个单位所得． ， ，即． ， 四边形为平行四边形， ， ，即， 是由绕点旋转得到，即与关于点成中心对称． 【压轴素养题型】 【题型11】动点与相似的综合问题 1.核心知识点: 　　动点运动；用时间表示线段；相似三角形存在性分类讨论。 2.解题方法技巧: 　　①设运动时间为，用含式子表示各动线段。 ②相似三角形存在性要分类讨论对应关系，列出比例方程求，检验是否在运动范围内。 【例题11】.（26-27九年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，点，，连接，动点M、N分别同时从点A、O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形的面积恰好为76时，求此时t的值； (2)试求t为何值时，与相似？ 【答案】(1)4或6 (2)2或5 【分析】（1）先根据点坐标得到，，由运动速度表示线段：，，运动范围．利用四边形面积等于面积减去面积，建立一元二次方程求解； （2）两个直角三角形直角对应相等，分两种对应边成比例情况分类讨论，列方程求出t． 【详解】（1）解：， ， ． 由题意得：，， ． 四边形的面积， ， 整理得：， 因式分解得， 解得，． 两个解均满足． 的值为或． （2）解：， 与相似分两种情况： ①当时， ， 即， 化简得，解得． ②当时， ， 即， ， 解得． 、都符合题意， 的值为或． 【变式题11-1】.（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，已知中，，，．如果点P由A出发沿方向向点C匀速运动，同时点Q由B出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）．解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)的面积记为S，请用含有t的代数式表示出S． (3)是否存在某时刻t，使得平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）首先利用勾股定理求出，根据题意得，则，然后分两种情况讨论，分别利用相似三角形的性质列式求解； （2）过点Q作于点H，证明，得到，表示出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）连接，过点P作于点E，利用角平分线的性质得到，证明，得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 根据题意得，，则， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 综上所述，当或时，与相似； （2）解：如图，过点Q作于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点P作于点E， ∵，则， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【变式题11-2】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动后，的面积为． (1)当运动时间为多少秒时，与相似； (2)在P、Q两点移动的过程中，的面积能否等于？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)或秒 (2)解：的面积能等于． 根据题意得：， ∴， 如图，过点P作于点H，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵的面积等于， ∴， 解得：， 即此时t的值为2或3． 【分析】（1）根据勾股定理可得的长，从而得到，然后分两种情况：当时，当时，结合相似三角形的性质，即可求解； （2）过点P作于点H，则，根据，可得，再根据的面积等于，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∵，， ∴， 根据题意得：， ∴， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 综上所述，当运动时间为或秒时，与相似； （2）略 【变式题11-3】.（26-27九年级上·全国·单元测试）已知：如图，在中，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)是否存在某一时刻，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当或时，与相似 (2)存在，当时， (3)存在，当或或时，为等腰三角形 【分析】（1）由勾股定理求出，再分为当时及当时，两种情况求解即可； （2）作于点，首先证明，可表示出，由，可得，代入面积公式即可列出方程，从而得出答案； （3）分，，三种情形，分别画出图形，进行计算即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得： ， 由题意得，， 当时， 有， 即， 解得：， 当时， 有， 即， 解得：， 当t为或时，与相似； （2）解：存在， 如图，作于点， ，， ， ， 即， 解得：， ， ， ， ∵ ， 解得：， 当时，； （3）解：存在，当时， ， ， 当时，作于点， ，， ， ， 即， ， ∵， ， ， 解得：； 当时， 作于点， ， ， ， 即， ， ∵，， ， ， 解得：， 当或或时，为等腰三角形． 【题型12】折叠与旋转中的相似探究 1.核心知识点: 　　折叠、旋转前后图形全等；对应边、角相等；构造相似三角形。 2.解题方法技巧: 　　①折叠、旋转产生全等，找准相等线段、相等角，标记已知条件。 ②由等角构造相似，列比例式求线段，注意分类讨论落点位置。 【例题12】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形纸片中，点在边上，连接，点在线段上，且，折叠矩形纸片使点恰好落在点处，折痕为，若，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过构造辅助线充分利用的条件，再结合利用相似三角形列方程． 【详解】 过点F作，交、于点M、N， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由可得四边形为矩形， ∴， ∴，， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∴在中，由勾股定理得，即． 【变式题12-1】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形纸片中，点，是边，上的点，连接，将四边形沿折叠，点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接．若，，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】连接，过点F作于点M，交于点J，延长到点N，使，连接，证明，得到，然后结合折叠的性质得到当点A，G，N三点共线时，取得最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点F作于点M，交于点J，延长到点N，使，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴ ∴当点A，G，N三点共线时，取得最小值，即的长度， ∵，，， ∴， ∴的最小值是． 【变式题12-2】.（25-26八年级下·山东济南·期末）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 (1)如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为________________． 【拓展探究】 (2)如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，在旋转的过程中，与的数量关系是否发生变化？请利用图2进行证明． 【解决问题】 (3)如图3，当矩形的边时，点为射线上异于的一点，以为边在右侧作正方形，点为正方形的对称中心，连接，若，，求出的长． 【答案】(1) (2)与的数量关系不变，证明如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． (3)或者 【分析】（1）由矩形的性质可得，从而得出，则，再结合勾股定理计算即可得出结果； （2）先证明，结合相似三角形的性质即可得证； （3）分两种情况：当点E在线段上时，连接、；当点E在线段延长线上时，连接、，分别结合相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）略； （3）解：当矩形的边时，四边形为正方形， ①如图3，当点E在线段上时，连接、， ∵四边形和四边形为正方形，且点H为正方形的对称中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图4，当点E在线段延长线上时，连接、， ∵四边形和四边形为正方形，且点H为正方形的对称中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或者． 【变式题12-3】.（25-26八年级上·北京密云·阶段检测）已知和均为等腰直角三角形，， ， ，点P、Q分别为的中点，连接． 猜想：如图①，当点D在上时，线段和的大小关系是 ． 探究：如图②，把绕着点C旋转一定的角度时，线段和的大小关系是什么？并加以说明． 拓展：如图③，和均为直角三角形，，且，， ，点P、Q分别为的中点，连接，当时，的面积是 ． 【答案】猜想：； 探究：，理由如下： 由猜想可知，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 拓展： 【分析】猜想：根据等腰直角三角形的性质求出，，，用勾股定理计算出，即可求解； 探究：根据，，证明，根据对应边成比例即可求解； 拓展：连接，由探究可知，，得出，再证为等边三角形，是直角三角形，求出两条直角边长度，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：猜想：∵，， ∴， ∵P点是的中点，是等腰直角三角形， ∴， 同理，∵，， ∴， ∵Q是的中点，为等腰直角三角形， ∴， ∵P点是的中点，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 同理可得 ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； 探究： 略 拓展：连接，如图③， 由探究可知，， ∴， 在 中，， ∴， ∵Q是的中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，综合应用上述知识点是解题的关键． 易错点 　　　比例性质误用：等比性质分母之和为零时直接套用；由变形比例时写错对应关系。 　　　相似判定条件混淆：两边成比例误用非夹角相等判定相似；三边成比例时未按对应顺序排列。 　　　面积比误为相似比：求面积比时误用相似比，应取相似比的平方；由面积比反推相似比忘记开平方。 　　　位似与相似混淆：误认为相似图形一定是位似图形；位似中心位置判断错误。 　　　坐标系位似漏解：位似中心在原点时，对应点坐标可乘或，漏掉反向位似的情况。 重点 　　　比例的性质与成比例线段、比例中项，黄金分割数及应用。 　　　相似三角形的三种判定方法，能灵活选择并正确证明。 　　　相似三角形的性质：对应线段比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 　　　位似图形的概念、性质及坐标系中的位似变换。 难点 　　　动点问题中相似三角形的存在性，需要分类讨论对应关系并检验解的合理性。 　　　相似与折叠、旋转、坐标系综合，构造相似模型，推理链条长。 　　　利用相似求最值，结合几何最值模型转化，综合性强。 　　　相似图形规律探究与格点作图，需要归纳推理与几何操作能力。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知三条线段的长分别为、、，则下列长度的线段中，不能与这三条线段构成成比例线段的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比例性质：比例的内项之积与外项之积相等求解即可． 【详解】解：设第四条线段长为， 若四条线段构成成比例线段，则两线段的乘积等于另两线段的乘积，分三种情况： ，解得； ，解得； ，解得； 则长度为的线段无法与已知三条线段构成成比例线段． 2．如图，是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先根据中位线的性质得，，结合，，，整理得出，运用位似性质得，最后由相似三角形的性质得，故，即可作答． 【详解】∵是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴与位似，点O为位似中心， ∴， ∴相似比为， ∴， ∴， ∴． 3．如图，中，，将直尺的一边与重合，另一边与，分别交于，两点，，，，处的读数分别为20，17，0，1（单位：）．若直尺的宽为，则的长度是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行判定两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，求出线段的长度．由读数得到、长度，直尺宽得到；由得到，列相似比例式求出。 【详解】解：由读数可得：，，直尺宽度， ∵， ， 又是公共角， ∴， ∴， 设，则． ∴， 解得：． ∴． 二、填空题 4．如图，与交于点O，且，若，则__________． 【答案】/0.5 【分析】由可证，利用相似三角形对应边成比例及等比性质即可求解． 【详解】解： ∵， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．如图，矩形中，点，，若，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题是坐标系中的矩形问题，利用一线三垂直构造相似三角形．由矩形内角为推导角相等，证得；再由得到相似比，求出两条直角边长，最后转化为横、纵坐标． 【详解】解：如图所示：过点作于点， ∵点，点， ， ，又， ． 又， ． 相似比， 故． 代入、： ， ． 由图知在的右下方， 故横坐标为，纵坐标为． 【点睛】坐标系中出现直角顶点，优先构造一线三垂直模型；利用相似比求线段长，再转化成横纵坐标，是九年级这类题型标准解法． 6．如图，在中，点D、E分别在边、上要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是_______（只需写一个条件） 【答案】或或 【分析】①有两个角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：答案一：添加， 又∵， ∴； 答案二：添加， 又∵， ∴； 答案三：添加， 又∵， ∴． 三、解答题 7．请阅读以下材料，并回答相应的问题： 角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．如图，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图，过点作，交的延长线于点 (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (2)如图，在中，，，，平分，则的周长是________． 【答案】(1)∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（）过点作，交的延长线于点，得，，，进而得到，即得，再等量代换即可求证； （）利用勾股定理得，利用（）的结论得，进而可得，，再利用勾股定理得到，最后根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 8．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，在边上找一点D，连接，使； (2)在图②中，在边上找一点E，连接，使． 【答案】(1)如图点D即为所求， (2)如图，点E即为所求， 【分析】（1）取格点F，连接交于点D，即为所求； （2）取格点G、H，连接交于点E，连接，即为所求． 【详解】（1）解：由网格特点可得四边形是矩形，对角线、交于点D， ∴， 即为的中线，故． （2）解：由网格特点可得，， ∴四边形是平行四边形， 由， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．已知三个顶点的坐标分别为． (1)以点O为位似中心，在位似中心的异侧画出的一个位似图形，使它与的位似比是； (2)在（1）中，点B的对应点的坐标为_________． (3)在（1）的条件下，若内任意点P的坐标为，则点P在上的对应点的坐标为_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据位似图形的性质得到对应点的位置，进而画出图形即可；； （2）根据位似图形的性质得到对应点的坐标即可； （3）根据位似图形的性质得到对应点的坐标即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：在（1）的条件下，若内任意点P的坐标为，则点P在上的对应点的坐标为． 10．综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例的应用． (1)【初步感知】在中，、分别为、边上的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于点，则与的比值为________； (2)【深入探究】在（1）的条件下，探究线段与的数量关系； (3)【拓展提高】如图2，在中，点、分别为、的中点，连接、交于点，与交于点，若，直接写出的值． 【答案】(1)1 (2) (3)24 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得到，证明，再由平行线分线段成比例定理得到； （2）证明，得到；证明，得到，则； （3）由平行四边形的性质得到，，则可证明；证明，得到，再根据三角形的中线平分三角形的面积和平行四边形的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵， ∴ ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点、分别为、的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $