重难点01 菱形、矩形、正方形性质和判定综合复习（单元复习、期中复习） 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点01 菱形、矩形、正方形性质和判定综合复习 （新教材北师大版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、菱形的定义 2 知识点二、菱形的性质 2 知识点三、菱形的判定 3 知识点四、矩形的定义 3 知识点五、矩形的性质 3 知识点六、矩形的判定 3 知识点七、直角三角形斜边上的中线的性质 4 知识点八、正方形的定义 4 知识点九、正方形的性质 4 知识点十、正方形的判定 4 知识点十一、特殊平行四边形之间的关系 4 知识点十二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 5 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 5 【题型1 特殊四边形性质基础计算（角度、线段、面积）】 5 【题型2 特殊四边形性质相关证明】 8 【题型3 特殊四边形判定（添加条件判定）】 12 【题型4 证明四边形是菱形】 14 【题型5 证明四边形是矩形】 16 【题型6 证明四边形是正方形】 20 【题型7 矩形与折叠问题】 23 【题型8 直角三角形斜边中线模型】 26 【题型9 矩形在坐标系中的坐标计算】 28 【题型10 正方形折叠问题】 32 【题型11 正方形重叠面积计算】 35 【题型12 特殊四边形性质与判定综合大题】 39 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 46 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 56 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・菱形、矩形、正方形的边角、对角线性质，角度、线段、面积基础计算； ・特殊四边形判定：添加条件判定四边形形状、完整证明判定； ・矩形折叠模型、直角三角形斜边中线模型； ・正方形折叠、重叠面积模型； ・菱形、矩形、正方形性质与判定综合计算、综合证明。 ・选择填空侧重特殊四边形性质辨析、边长角度面积计算、折叠基础结论； ・解答题高频为四边形证明题，对逻辑链条、辅助线书写规范要求严格； ・折叠题型是热点，常结合勾股定理设元计算，容易出现多解； ・综合题会混合菱形、矩形、正方形判定与性质，搭配全等考查； ・压轴小问常融合特殊四边形模型，进行线段最值、面积探究。 考情解码： ・易错集中在：判定条件混淆，混淆矩形、菱形、正方形判定前提； ・折叠问题找不准相等边、相等角，不会构造直角三角形计算； ・证明题跳步，缺少关键推导，造成步骤失分； ・分不清各类四边形对角线独有的性质； ・本板块是平行四边形单元的拔高核心，几何综合性强，是期中期末拉开分差的重点内容。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱 形分成完全全等的两部分. （2） 菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在 四边形的基础上加上四条边相等. 知识点四、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点五、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点六、矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 知识点七、直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三 角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 知识点八、正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点九、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 知识点十、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点十一、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 知识点十二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 特殊四边形性质基础计算（角度、线段、面积）】 【例1】如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E是边上一点，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质可得，，，进而得到，再根据三角形的外角进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-1】如图1，在矩形的边上有一点，连接，点从点出发沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积（单位：）随时间（单位：s）变化的函数图象，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数图象可知，当时，点运动到点，此时面积最大；当点运动到点时，面积为． 【详解】解：由图象可知，当时，取得最大值，此时点与点重合， ， ， ， 解得， 当点运动到点时，， ， 即， 解得， 四边形是矩形， ， ． 【变式1-2】将个面积均为的正方形按如图所示摆放，点，分别是左侧正方形、中间正方形对角线的交点，也是中间正方形、右侧正方形的顶点，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据正方形的性质得，，，，，由此得，进而可依据“”判定和全等，则，继而得，同理可得，由此即可得出图中阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接，， ∵点是正方形的中心，图中三个正方形的面积都是， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理， ． 【变式1-3】如图，是正方形对角线上的一点，连接，．，，垂足分别为，．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，推出，根据矩形的判定和性质，勾股定理求出，即可得到的值． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线 ∴，， 在和中， ， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 【题型2 特殊四边形性质相关证明】 【例2】如图，正方形中，为对角线上的一点，连接、，则图中全等三角形有多少对？（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得，，，，结合公共边利用或判定全等三角形． 【详解】解： 四边形是正方形 ,为对角线， ，，， 在和中 在和中 在和中 综上所述，图中全等三角形共有3对． 【变式2-1】如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的性质；根据矩形的性质结合已知条件，证明四边形是菱形，即可判断A，C和D，没有条件得出B选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∴ ∴四边形是菱形， ∴，故A正确， ∴，，故C，D正确， 没有条件得出B选项． 故选：B． 【变式2-2】如图的知识结构图中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述正确的是（     ） A．①可表示对角线相互垂直； B．②可表示对角线互相平分、垂直； C．③可表示一组邻边相等； D．④可表示一组对边平行，另一组对边相等． 【答案】A 【分析】熟练掌握各特殊四边形之间的转化关系及判定条件，根据知识结构图逐一分析各选项即可． 【详解】解：、由矩形变为正方形，需添加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件，故 ①可表示对角线相互垂直，该选项符合题意； 、由平行四边形变为正方形，需添加“对角线互相垂直且相等”的条件，平行四边形本身对角线互相平分，仅添加“垂直”只能判定为菱形，故该选项不符合题意； 、由菱形变为正方形，需添加“有一个角是直角”或“对角线相等”的条件，“一组邻边相等”是菱形本身具有的性质，故该选项不符合题意； 、由四边形变为平行四边形，需添加“一组对边平行且相等”或“两组对边分别平行”等条件，“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形可能是等腰梯形，故该选项不符合题意． 【变式2-3】如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作对角线，的平行线，两两相交于点M，N，P，Q，则四边形的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】先证明四边形、、、是平行四边形，得到，，再证明四边形为矩形，根据勾股定理和直角三角形的性质求出，，得出，，最后求出矩形的面积即可． 【详解】解：连接，，与相交于点，如图所示：   ，， 四边形、、、是平行四边形， 四边形是菱形 ，，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ，， ， ，， 四边形的面积为：． 【题型3 特殊四边形判定（添加条件判定）】 【例3】如图，在中，，交于点O，添加下列条件后不能判定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵，，∴是菱形，故本选项不符合题意； B、∵，∴，∵，∴是菱形，故本选项不符合题意； C、∵，∴，，∵，∴，∴是矩形，不能判定是菱形，故本选项符合题意； D、∵，，∴是菱形，故本选项不符合题意． 【变式3-1】如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是菱形 D．当时，它是矩形 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和矩形、菱形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：∵当时，是菱形； 当时，是菱形； 当时，是矩形； ∴正确，错误， 故选：. 【变式3-2】小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，如图所示．下列条件中对应序号填写错误的是（     ） A．①平行且等于 B．② C．③ D．⑤ 【答案】D 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，邻边相等的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形判断即可． 【详解】解：A、四边形中，平行且等于，能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、平行四边形中， ∵， 四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、平行四边形中， ∵， 四边形是菱形，故该选项不符合题意； D、菱形中， ∵， 不能判定四边形是正方形，故该选项符合题意． 【变式3-3】在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知四边形是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形即可判断． 【详解】解：在四边形中， ， 四边形是矩形， 邻边相等的矩形是正方形， 可判断是正方形． 【题型4 证明四边形是菱形】 【例4】如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，当对角线与的长度相等时，四边形的形状是（     ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】由三角形中位线定理得到，再由，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点，，，分别是边，，，的中点， ∴分别是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形． 【变式4-1】下列有关菱形的说法中正确的是（     ） A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．两组对角分别相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．由四个全等三角形组成的图形是菱形 【答案】C 【详解】解：A、 一组邻边相等的平行四边形是菱形，仅一组邻边相等的四边形无法判定为菱形，错误； B、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，无法判定为菱形，错误； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，且对角线互相垂直，故该四边形是菱形，正确； D、 四个全等三角形组成的图形可能不是四边形，也可能是邻边不等的平行四边形，不一定是菱形，错误． 【变式4-2】依据所标数据，下列平行四边形不一定是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、仅有条件无法推断邻边相等或对角线垂直， ∴不一定能判定该四边形是菱形，故符合题意； B、∵， ∴平行四边形的对角线互相垂直，能判定该四边形是菱形，故不符合题意； C、∵， ∴平行四边形的邻边相等，能判定该四边形是菱形，故不符合题意； D、∵， ∴平行四边形的邻边相等，能判定该四边形是菱形，故不符合题意． 【变式4-3】根据如图平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，一定能判定其为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴无法判断是菱形．故本选项不合题意． B、如图， ∵，， ∴，即， ∴， ∴无法判断是菱形，故本选项不合题意． C、如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴是菱形．故本选项符合题意． D、如图， ∵，， ∴， ∴与不垂直， ∴无法判断是菱形，故本选项不合题意． 【题型5 证明四边形是矩形】 【例5】如图，在平行四边形中，对角线、交于点，添加一个条件，使得四边形成为矩形（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，逐项判断即可． 【详解】解：、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形是矩形，符合题意； 、不能判定四边形是矩形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，不符合题意． 【变式5-1】如图，菱形的面积为16，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（      ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】利用三角形中位线定理推导出四边形的边长与菱形对角线的关系，判定四边形为矩形，根据菱形面积推出对角线乘积的值，代入矩形面积的代数式中计算． 【详解】解：连接菱形的对角线和，设它们的交点为M， 在中，因为E，F分别是，的中点， ∴，且（三角形中位线定理）． 同理，在中，H，G分别是，的中点， ∴，， ∴，． 在中，E，H分别是，的中点， ∴，， 在中，F，G分别是，的中点， ∴，， ∴，． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴（菱形对角线互相垂直）， 又∵，， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式5-2】如图，在四边形中，连接交于点，则补充下列条件后仍不能判定四边形为矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴四边形为平行四边形， A、添加，根据“有一个直角的平行四边形是矩形”可以得到四边形为矩形，不符合题意； B、添加，则，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可以得到四边形为矩形，不符合题意； C、添加，则，，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可以得到四边形为矩形，不符合题意； D、添加，不能判定四边形为矩形，符合题意． 【变式5-3】学校矩形操场的四条边中点各立一个篮球架，现在用绳子把四个篮球架连起来，平面示意图如图所示．则绳子围成的四边形的形状一定是（     ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】根据三角形中位线，菱形的判定，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 因为矩形操场的四条边中点各立一个篮球架， ，， 故， 故四边形是菱形． 【题型6 证明四边形是正方形】 【例6】如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，，下列四个判断中，错误的是（     ） A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果平分，那么四边形是菱形 D．如果，且，那么四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 故选项A正确，不符合题意； ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 平分， ， 又， ， ， ， 四边形是菱形， 故选项C正确，不符合题意； 且， 平分， 四边形是菱形， 不能证明四边形是正方形， 故选项D错误，符合题意． 【变式6-1】如图，在矩形中，平分，平分，，，则四边形是什么图形？（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】D 【分析】先根据矩形的性质和平分线的定义可得，进而得出，再根据“两组对边平行的四边形是平行四边形”说明四边形是平行四边形，然后根据一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴． ∵， ∴四边形是菱形． ∵， ∴四边形是正方形． 【变式6-2】如图，四边形的对角线分别是各边的中点，则四边形是（     ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】D 【分析】由三角形中位线定理得到，再根据，证明，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形中，分别是各边的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴菱形是正方形． 【变式6-3】如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形，若对角线，则中点四边形是（     ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】由三角形中位线定理和已知条件可推出，则中点四边形是菱形． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点E、F、G、H分别是的中点， ∴由三角形中位线定理可得， ∵， ∴， ∴中点四边形是菱形． 【题型7 矩形与折叠问题】 【例7】如图，在矩形中，，，点在边上，连接，沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，由折叠得出，即可求出结论． 【详解】解：在矩形中，，，， ， ∵沿折叠，点恰好落在对角线上的点处， ∴， ∴． 【变式7-1】如图，已知长方形纸带，点、分别在边、上，将纸带先沿直线折叠，点、分别落在、的位置，再将纸带沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴， 纸带先沿直线折叠，点、分别落在、的位置， ∴， 纸带沿折叠一次，使点落在线段上点的位置， ∴， ， ∴， ∴． 【变式7-2】如图，在矩形中，，，点在边上，将沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形是矩形，和，可得；由沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，可得；在中，再由勾股定理建立方程，并解出的值，即可得的长． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形，，， ∴，． ∵沿折叠，点恰好落在对角线上的点处， ∴，，， 在和中有， ∴， ∴，． 设，则，， ∴在中，有 ， 即， 解得． ∴． 【变式7-3】如图，在矩形中，，，沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（     ） A．3 B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】设，先利用勾股定理求出，结合折叠有，根据，，，即可作答． 【详解】解：设， ∵矩形中，，， ∴，， ∴，， 由折叠可知，，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． 【题型8 直角三角形斜边中线模型】 【例8】如图，四边形是矩形，为对角线，点、分别在边、上，连接交于点．若点为的中点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质得，，即得，再根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半及等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，∵点为的中点， ∴， ∴． 【变式8-1】如图，在中，，是的中线，若，，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形斜边中线定理可得，利用勾股定理解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，是的中线， ∴， ∵在中，根据勾股定理有， ∴． 【变式8-2】如图，在中，D是边上的一点，，E，F分别是的中点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出． 【详解】解：连接． ∵，E是的中点， ∴， 又∵F是的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵， ∴． 【变式8-3】如图，在菱形中，，点P是的中点，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由菱形的性质和勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论． 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点O，且， ，，， ， ， ∵点P是的中点， ． 【题型9 矩形在坐标系中的坐标计算】 【例9】如图，已知四边形是矩形，点B的坐标为，点D为边上一点，连接，现将沿折叠，点A落在x轴上的点E处，直线交y轴于点P，则点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和点，得出，，根据折叠的性质可得，，在中，由勾股定理求出 ，则，即点坐标为，求出直线的解析式，令，得，即可求出的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形，点， ∴，， 根据折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得： ， ∴，即点坐标为， 设直线的解析式为， 代入、得： ，解得， 即直线解析式为， ∵是直线与轴的交点，令，得， ∴的坐标为． 【变式9-1】如图，平面直角坐标系中，矩形顶点A，C坐标分别为，．若直线与矩形有公共点，则k的取值范围为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】当直线过矩形的顶点，时，正好有1个公共点，根据待定系数法分别求出k的值，结合图象确定范围即可． 【详解】解：∵矩形顶点A，C坐标分别为，， ∴， ∵， ∴直线过点， 当直线过点时，则，解得，此时正好有1个公共点； 当直线过点时，则，解得，此时正好有1个公共点； ∴若直线与矩形有公共点，则k的取值范围是或． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C，D的坐标分别为，，，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接 交 于点 ，利用矩形对角线互相平分的性质结合中点坐标公式求出点 的坐标，再计算出点 的坐标． 【详解】解：如图，连接 交 于点 ， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点 的坐标为， ∵， ∴点 的坐标为，即． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定点、的坐标，利用尺规作图的性质得出平分，结合角平分线的性质及全等三角形判定得出，设点坐标构建方程求解即可． 【详解】解：连接， 点的坐标为，轴，轴，， ，，，．四边形是矩形 以为圆心、的长为半径画弧交于点， ． 在中，， 点的坐标为． 由作图可知，平分，即． 点在上，轴， 点的横坐标为， 设，则． 平分， ∴ 又∵ ， ，． ∴． 在： ， 解得． 点的坐标为． 【题型10 正方形折叠问题】 【例10】正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（     ） A．3 B．4 C．4．5 D．5 【答案】A 【分析】由折叠的性质可得，再根据正方形的性质以及已知条件可得，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点， ∴， ∵正方形纸片的边长为， ∴，， ∵点是边的中点， ． 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得， ∴． 【变式10-1】如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点B折叠在折痕上，折痕为，点B在上的对应点为H，沿和剪下得到，则下列选项中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点折叠在折痕上，折痕为，点B在上的对应点为，可得，再根据是的中垂线可得，再由正方形的性质得到即可求解． 【详解】解：由题意可得是的中垂线， ∴， 又∵点B在上的对应点为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 【变式10-2】如图，在正方形中，将，分别沿，向正方形内部折叠，此时与重合（A，C都落在点G处），若，，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先根据折叠的性质可得，再根据勾股定理得，然后代入数值即可得出答案． 【详解】解：根据折叠的性质可得， ∵四边形是正方形， ∴． 在中，， 即，则， ∴ 即， 解得． 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，与y轴相交于G， ∵正方形的边在x轴上， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 【题型11 正方形重叠面积计算】 【例11】如图，将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、、分别是这四个正方形的对角线的交点，则图中四块阴影面积的总和是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据正方形中心对称性，判断出每一个阴影部分的面积等于正方形面积的即可求解． 【详解】解：∵点、、、分别是这四个正方形的对角线的交点， ∴点、、、分别是正方形的中心． 设第一个正方形的中心为点,第二个正方形的一个顶点刚好与点重合， 连接和， ， 则在和中， 由， ∴， ∴， ∴阴影面积=， ∴ 每一个阴影部分的面积等于对应正方形面积的． ∵ 正方形边长为， ∴ 正方形面积为（平方厘米）， ∴ 一个阴影部分的面积为（平方厘米）， ∴ 四块阴影面积的总和为（平方厘米）． 故选D． 【变式11-1】如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 【变式11-2】如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】证明重叠部分的面积恒等于正方形面积的，通过证明，将重叠部分（四边形）的面积转化为的面积求解. 【详解】解：设交于点，交于点， 四边形是正方形，边长， ，，，， 四边形是正方形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 图中重叠部分的面积是1 . 【变式11-3】如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 【题型12 特殊四边形性质与判定综合大题】 【例12】在矩形中，，．把矩形沿着对角线折叠，点C落在点E处，与相交于点F． (1)证明：； (2)求的长和的面积． 【答案】(1)证明：∵ 四边形是矩形， ∴， ∴． 由折叠可知， ∴， ∴． (2)BF的长为，的面积为 【分析】（1）由矩形的性质可得，由平行线的性质可得．结合折叠的性质得出，即可得证； （2）由矩形的性质可得，．设，则，，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵ 四边形是矩形， ∴，． 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴． ∴的面积． 【变式12-1】综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 【素材】一张矩形纸片 (1)【操作与判断】如图1，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边上，折痕为，请你猜想四边形的形状，并说明理由； (2)【操作与探究】小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片按如图2所示的方式折叠，请求出折叠角的度数． 【答案】(1)解：四边形是正方形．理由如下： 四边形是矩形， ， 根据折叠的性质，得，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． (2) 【分析】（1）根据折叠的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定，解答即可； （2）根据折叠性质，勾股定理，解答即可； 【详解】（1）解：略． （2）解：∵四边形是矩形，把矩形沿折叠，点C落在点处，且位于上， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式12-2】数学活动课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接、、．若点P的位置恰好使得． (1)______； (2)求的长； 【类比迁移】 (3)如图2，某学校有一块边长为的菱形空地，其中．现打算在空地中修建步道，，，，使得点M在上，点N在上，且．请问步道，，所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)的长为 (3)存在，最小值为 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，再根据垂直定义和三角形的内角和定理求解即可； （2）连接，由折叠可知：，，，再求得，设与相交于点I，证明是的垂直平分线，得到，则，根据等腰三角形的判定与性质可得结论； （3）如图，过点N作，垂足为E，过点N作，垂足为F，则根据四边形的内角和为求得，根据菱形的性质和角平分线的性质定理得到，进而证明，进而根据全等三角形的性质得到，过点N作于点K，然后根据等腰三角形的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，当最小时，面积最小，即时，面积最小，进而利用菱形的性质和直角三角形的性质求得即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ； （2）解：如图，连接，设与相交于点I， 由折叠可知，，，， 由（1）得， ， ，， 是等腰直角三角形，又， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点N作，垂足为E，过点N作，垂足为F，过点N作于点K， ， ， 在菱形中，是的角平分线，， ， ， ， ， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 当最小时，面积最小，即时，面积最小， ， ， 菱形空地的边长为， ， ， ． 【变式12-3】如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于，交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)过A作于P点，连接，猜想线段之间的数量关系并证明． 【答案】(1)证明：∵正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)证明：取的中点Q，连接， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵正方形，， ∴， 根据（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)解：，理由如下， 过点B作于点B，交于点G， ∴． ∵，， ∴． ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得 ∵， ∴． 【分析】（1）证明，证明即可； （2）取的中点Q，连接，证明即可； （3）过点B作于点B，交于点G，证明，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．如图，菱形的对角线与相交于点．若于点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求得的长，再由面积公式求得的长． 【详解】解：菱形中，有，， ， ． ， ， ，， ， ． 2．如图，正方形的边长为4，点E在对角线上，，于点F，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，，再得出，进而可得的长，然后求出，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，且它的边长为4， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 3．下列关于平行四边形的说法中，错误的是（     ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．四个角都相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．邻边相等的菱形是正方形 【答案】D 【详解】解：A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确； B. ∵四边形内角和为，且四个角都相等，∴每个内角为，该四边形是矩形，正确； C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确； D. ∵菱形的四条边均相等，邻边相等是菱形的固有性质，∴邻边相等的菱形仍为菱形，不一定是正方形，错误． 4．下列命题为假命题的是（     ） A．四边形内角和等于 B．四个角相等的四边形是菱形 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．平行四边形对角线互相平分 【答案】B 【分析】根据四边形的内角和，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的性质，解答即可． 【详解】解：选项A，∵ 四边形内角和为， ∴ 该命题是真命题，不符合题意； 选项B，∵ 四边形内角和为，四个角相等， ∴ 每个角的度数为， ∴ 四个角均为直角的四边形是矩形，不一定是菱形， ∴ 该命题是假命题，符合题意； 选项C，∵ 矩形的四个角均为直角，有一组邻边相等， ∴ 该矩形四条边都相等，是正方形， ∴ 该命题是真命题，不符合题意. 选项D，∵ 平行四边形对角线互相平分， ∴ 该命题是真命题，不符合题意． 5．如图，点在正方形内部，连接、，延长交边于点，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正方形性质得出，结合已知得到，从而利用等腰三角形性质求出，最后利用角的和差关系求解． 【详解】四边形是正方形， ，， ， ， 是等腰三角形， ， ， ． 6．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作轴于D，过点C作轴于E，证明，得出，，根据点A的坐标为，得出，，即可得出结果． 【详解】解：过点A作轴于D，过点C作轴于E，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵点A的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点C的坐标为． 7．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点E在上，连接，将沿折叠，使的对应线段经过点C．若，，则菱形的面积为（     ） A．120 B．125 C．130 D．135 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得出，根据翻折得出，从而求出，，再根据勾股定理求出，则，最后根据菱形面积公式求解即可； 【详解】解：∵在菱形中，， ， ∵翻折， ， ∵， ． ∴， ∴在中，， ， 菱形的面积． 8．如图，在正方形中，对角线，是等边三角形，是对角线上一个动点，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用正方形对角线是对称轴，得到和关于对称，，把转化为，依据两点之间线段最短，确定最小值就是线段的长度；由正方形对角线算出正方形边长，再根据等边三角形三边相等，得到，即的最小值是． 【详解】解： ∵ 四边形是正方形， ∴ 点、点关于对角线对称，连接． ∴ ． ∴ ． 根据两点之间线段最短，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长． ∵ 正方形的对角线， 设正方形边长为，由正方形对角线与边长关系得：， 解得 ， ∴ ． ∵ 是等边三角形， ∴ ． ∴ 的最小值为． 9．下列说法中，错误的是（     ）． A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 C．顺次连接对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形是菱形 D．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定与性质，以及中点四边形的性质，逐个判断选项即可． 【详解】解：A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，说法正确； B. 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，说法正确； C. 顺次连接对角线相等的四边形各边的中点，根据三角形中位线定理，所得四边形每条边都相等，因此所得的四边形是菱形，说法正确； D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不是正方形，说法错误． 10．如图，在四边形中，对角线于点O，E，F，G，H分别为四边的中点，连接，若，，则四边形的面积为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】证明四边形是矩形，由三角形中位线定理得到，，即可求出四边形的面积． 【详解】解：∵在四边形中，对角线于点O，E，F，G，H分别为四边的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵对角线于点O， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 11．如图，在正方形中，点是的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ，， 沿折叠得到， ，， ，， ， 在和中 ， ； (2) 【分析】（1）利用正方形性质和折叠的性质，得到、，再结合公共边，用证明直角三角形全等． （2）设，由全等和折叠得到线段等量关系，在中，根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：，四边形是正方形， ，， 是中点， ， 由折叠得：， 设， 由（1）得， ∴ ，， ， ∴即， 解得， ． 12．已知：如图，在中，对角线的垂直平分线分别交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴； (2)证明：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】由平行四边形的性质得出，从而得出，又垂直平分，则，，再通过“”证明即可； 由垂直平分线的性质可得，，又，所以，从而有，再通过菱形的判定方法证明即可． 【详解】（1）略； （2）略． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 56 页 第 1 页 共 56 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点01 菱形、矩形、正方形性质和判定综合复习 （新教材北师大版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、菱形的定义 2 知识点二、菱形的性质 2 知识点三、菱形的判定 3 知识点四、矩形的定义 3 知识点五、矩形的性质 3 知识点六、矩形的判定 3 知识点七、直角三角形斜边上的中线的性质 4 知识点八、正方形的定义 4 知识点九、正方形的性质 4 知识点十、正方形的判定 4 知识点十一、特殊平行四边形之间的关系 4 知识点十二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 5 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 5 【题型1 特殊四边形性质基础计算（角度、线段、面积）】 5 【题型2 特殊四边形性质相关证明】 6 【题型3 特殊四边形判定（添加条件判定）】 7 【题型4 证明四边形是菱形】 8 【题型5 证明四边形是矩形】 9 【题型6 证明四边形是正方形】 10 【题型7 矩形与折叠问题】 11 【题型8 直角三角形斜边中线模型】 12 【题型9 矩形在坐标系中的坐标计算】 13 【题型10 正方形折叠问题】 14 【题型11 正方形重叠面积计算】 15 【题型12 特殊四边形性质与判定综合大题】 16 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 19 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 22 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・菱形、矩形、正方形的边角、对角线性质，角度、线段、面积基础计算； ・特殊四边形判定：添加条件判定四边形形状、完整证明判定； ・矩形折叠模型、直角三角形斜边中线模型； ・正方形折叠、重叠面积模型； ・菱形、矩形、正方形性质与判定综合计算、综合证明。 ・选择填空侧重特殊四边形性质辨析、边长角度面积计算、折叠基础结论； ・解答题高频为四边形证明题，对逻辑链条、辅助线书写规范要求严格； ・折叠题型是热点，常结合勾股定理设元计算，容易出现多解； ・综合题会混合菱形、矩形、正方形判定与性质，搭配全等考查； ・压轴小问常融合特殊四边形模型，进行线段最值、面积探究。 考情解码： ・易错集中在：判定条件混淆，混淆矩形、菱形、正方形判定前提； ・折叠问题找不准相等边、相等角，不会构造直角三角形计算； ・证明题跳步，缺少关键推导，造成步骤失分； ・分不清各类四边形对角线独有的性质； ・本板块是平行四边形单元的拔高核心，几何综合性强，是期中期末拉开分差的重点内容。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱 形分成完全全等的两部分. （2） 菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在 四边形的基础上加上四条边相等. 知识点四、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点五、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点六、矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 知识点七、直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三 角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 知识点八、正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点九、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 知识点十、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点十一、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 知识点十二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 特殊四边形性质基础计算（角度、线段、面积）】 【例1】如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E是边上一点，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图1，在矩形的边上有一点，连接，点从点出发沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积（单位：）随时间（单位：s）变化的函数图象，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】将个面积均为的正方形按如图所示摆放，点，分别是左侧正方形、中间正方形对角线的交点，也是中间正方形、右侧正方形的顶点，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，是正方形对角线上的一点，连接，．，，垂足分别为，．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【题型2 特殊四边形性质相关证明】 【例2】如图，正方形中，为对角线上的一点，连接、，则图中全等三角形有多少对？（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式2-1】如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图的知识结构图中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述正确的是（     ） A．①可表示对角线相互垂直； B．②可表示对角线互相平分、垂直； C．③可表示一组邻边相等； D．④可表示一组对边平行，另一组对边相等． 【变式2-3】如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作对角线，的平行线，两两相交于点M，N，P，Q，则四边形的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 【题型3 特殊四边形判定（添加条件判定）】 【例3】如图，在中，，交于点O，添加下列条件后不能判定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是菱形 D．当时，它是矩形 【变式3-2】小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，如图所示．下列条件中对应序号填写错误的是（     ） A．①平行且等于 B．② C．③ D．⑤ 【变式3-3】在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【题型4 证明四边形是菱形】 【例4】如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，当对角线与的长度相等时，四边形的形状是（     ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【变式4-1】下列有关菱形的说法中正确的是（     ） A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．两组对角分别相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．由四个全等三角形组成的图形是菱形 【变式4-2】依据所标数据，下列平行四边形不一定是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】根据如图平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，一定能判定其为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【题型5 证明四边形是矩形】 【例5】如图，在平行四边形中，对角线、交于点，添加一个条件，使得四边形成为矩形（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，菱形的面积为16，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（      ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式5-2】如图，在四边形中，连接交于点，则补充下列条件后仍不能判定四边形为矩形的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】学校矩形操场的四条边中点各立一个篮球架，现在用绳子把四个篮球架连起来，平面示意图如图所示．则绳子围成的四边形的形状一定是（     ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．平行四边形 【题型6 证明四边形是正方形】 【例6】如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，，下列四个判断中，错误的是（     ） A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果平分，那么四边形是菱形 D．如果，且，那么四边形是正方形 【变式6-1】如图，在矩形中，平分，平分，，，则四边形是什么图形？（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【变式6-2】如图，四边形的对角线分别是各边的中点，则四边形是（     ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【变式6-3】如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形，若对角线，则中点四边形是（     ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【题型7 矩形与折叠问题】 【例7】如图，在矩形中，，，点在边上，连接，沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，已知长方形纸带，点、分别在边、上，将纸带先沿直线折叠，点、分别落在、的位置，再将纸带沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在矩形中，，，点在边上，将沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，在矩形中，，，沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（     ） A．3 B．5 C．4 D． 【题型8 直角三角形斜边中线模型】 【例8】如图，四边形是矩形，为对角线，点、分别在边、上，连接交于点．若点为的中点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，在中，，是的中线，若，，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在中，D是边上的一点，，E，F分别是的中点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式8-3】如图，在菱形中，，点P是的中点，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型9 矩形在坐标系中的坐标计算】 【例9】如图，已知四边形是矩形，点B的坐标为，点D为边上一点，连接，现将沿折叠，点A落在x轴上的点E处，直线交y轴于点P，则点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，平面直角坐标系中，矩形顶点A，C坐标分别为，．若直线与矩形有公共点，则k的取值范围为（     ） A． B．或 C． D．或 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C，D的坐标分别为，，，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型10 正方形折叠问题】 【例10】正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（     ） A．3 B．4 C．4．5 D．5 【变式10-1】如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点B折叠在折痕上，折痕为，点B在上的对应点为H，沿和剪下得到，则下列选项中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，在正方形中，将，分别沿，向正方形内部折叠，此时与重合（A，C都落在点G处），若，，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型11 正方形重叠面积计算】 【例11】如图，将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、、分别是这四个正方形的对角线的交点，则图中四块阴影面积的总和是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-1】如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 【变式11-3】如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【题型12 特殊四边形性质与判定综合大题】 【例12】在矩形中，，．把矩形沿着对角线折叠，点C落在点E处，与相交于点F． (1)证明：； (2)求的长和的面积． 【变式12-1】综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 【素材】一张矩形纸片 (1)【操作与判断】如图1，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边上，折痕为，请你猜想四边形的形状，并说明理由； (2)【操作与探究】小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片按如图2所示的方式折叠，请求出折叠角的度数． 【变式12-2】数学活动课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接、、．若点P的位置恰好使得． (1)______； (2)求的长； 【类比迁移】 (3)如图2，某学校有一块边长为的菱形空地，其中．现打算在空地中修建步道，，，，使得点M在上，点N在上，且．请问步道，，所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由． 【变式12-3】如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于，交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)过A作于P点，连接，猜想线段之间的数量关系并证明． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．如图，菱形的对角线与相交于点．若于点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为4，点E在对角线上，，于点F，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．下列关于平行四边形的说法中，错误的是（     ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．四个角都相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．邻边相等的菱形是正方形 4．下列命题为假命题的是（     ） A．四边形内角和等于 B．四个角相等的四边形是菱形 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．平行四边形对角线互相平分 5．如图，点在正方形内部，连接、，延长交边于点，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点E在上，连接，将沿折叠，使的对应线段经过点C．若，，则菱形的面积为（     ） A．120 B．125 C．130 D．135 8．如图，在正方形中，对角线，是等边三角形，是对角线上一个动点，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 9．下列说法中，错误的是（     ）． A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 C．顺次连接对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形是菱形 D．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 10．如图，在四边形中，对角线于点O，E，F，G，H分别为四边的中点，连接，若，，则四边形的面积为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 11．如图，在正方形中，点是的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 12．已知：如图，在中，对角线的垂直平分线分别交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 56 页 第 1 页 共 56 页 学科网（北京）股份有限公司 $