重难点03 解一元二次方程专项突破（单元复习、期中复习）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点03 解一元二次方程专项突破 （新教材北师大版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3 知识点一、配方法解一元二次方程 3 知识点二、配方法的应用 4 知识点三、公式法解一元二次方程 4 知识点四 因式分解法解一元二次方程 5 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 5 【题型1 解一元二次方程---直接开平方法】 5 【题型2 解一元二次方程---配方法】 7 【题型3 配方法的应用】 9 【题型4 公式法求一元二次方程的根】 10 【题型5 根根据判别式判断根的情况】 13 【题型6 根据根的情况求参数】 15 【题型7 因式分解法解一元二次方程】 16 【题型8 换元法解一元二次方程】 18 【题型9 解分式方程（化为一元二次方程）】 20 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 23 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 41 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 · 一元二次方程基础解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的适用条件与规范解题步骤。 · ·配方法双重考查：利用配方法解方程；利用配方法求代数式最值、代数式恒等变形。 · 判别式基础认知，求根公式来源（由配方法推导）。 · ·换元法：整体思想简化高次、复合型方程，实现降次求解。 · 可化为一元二次方程的分式方程求解，掌握验根规范，识别增根。 · 不同解法的灵活选择，根据方程结构择优运算，简化计算量。 · 基础层面：单独考查一元二次方程常规解法，以计算题形式出现，侧重解题格式规范性，是试卷基础得分点。 · 能力层面：配方法不再局限解方程，大量结合代数式最值、比较大小进行拓展考查，突出数学转化思想。 · 综合层面：融入换元法渗透整体思想，衔接分式方程，强调 “去分母转化整式方程 + 检验增根” 完整流程。 · 趋势特征：弱化单一机械计算，强化方法选择意识；常在二次函数、一元二次方程实际应用、几何综合题中作为运算工具隐性考查。广州本地考题注重计算准确率，常设分数、负系数等易错条件设置陷阱。 考情解码： · 分值定位：一元二次方程解法是九年级上册核心计算基石，单独考题分值稳定，同时为后续二次函数、几何压轴、方程应用题提供运算支撑，属于贯穿全册的工具性知识。 · 学生高频失分点： ① 配方法常数项移项时符号出错、二次项系数未化为 1 直接配方； ② 运用求根公式时，未统一整理成一般形式，混淆 a、b、c 符号； ③ 因式分解法漏根、等式两边随意约去含未知数代数式造成丢解； ④ 解分式方程忘记检验增根。 · 备考提示：不能只追求算出答案，需要训练 “观察方程结构→优先选择最优解法” 的思维；重点突破配方法拓展应用，重视格式规范；专项区分 “整式方程” 与 “分式方程” 解题流程，规避典型计算陷阱。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、配方法解一元二次方程 1．直接开方法解一元二次方程： 　　(1)直接开方法解一元二次方程： 　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 　　(2)直接开平方法的理论依据： 　　　 平方根的定义. 　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根； 　　　 　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 　　　 　若，则方程无实数根． 　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 　　　　 . 要点： 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 2．配方法解一元二次方程： 　　(1)配方法解一元二次方程： 　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. 　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 知识点三、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 　一元二次方程，当时，. 2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． 　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根； 　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根； 　　　 ③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 　　　 ①把一元二次方程化为一般形式； 　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）； 　　　 ③求出的值； 　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解； 　　　 　若，则原方程无实根. 要点： （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：. ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：. ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 知识点四 因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 　　（1）将方程右边化为0； 　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积； 　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 解一元二次方程---直接开平方法】 【例1】对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程的正数解是（） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据赵爽的几何解法，确定大正方形的边长与的关系，结合面积求解即可． 【详解】解：由方程得． 根据题意，构造面积为的正方形，四周构造四个面积为的矩形．矩形的长为，则宽为．补图得到大正方形，其边长为． ∵大正方形的面积为， ∴． ∵为正数， ∴， ∴． 【变式1-1】已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两个方程实数根的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的实数根，乙无实数根 B．甲、乙都有两个不相等的实数根 C．甲有两个相等的实数根，乙无实数根 D．甲有两个相等的实数根，乙有两个不相等的实数根 【答案】A 【详解】解：∵ 甲方程中，， ∴ 甲有两个不相等的实数根； ∵ 乙方程中，，且任意实数的平方为非负数， ∴ 乙无实数根． 【变式1-2】判断方程的根的情况是（　　） A．有四个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．先判断出，再将分式方程化成一元二次方程，利用直接开平方法解方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得或（不满足，舍去）， 经检验，是原方程的解， 所以方程的根的情况是有一个实数根， 故选：C． 【变式1-3】若，则的值为（　　） A．4 B．4或 C． D． 【答案】A 【分析】把看成一个整体，利用直接开平方法求解方程，再根据，即可得到的值． 本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，注意把看成一个整体是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ， ， 故选：A． 【题型2 解一元二次方程---配方法】 【例2】下列方程最不适宜用配方法求解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将各方程整理为一般形式，结合配方法的适用范围判断． 【详解】解：、为一元二次方程，二次项系数化为后可配方求解，不符合题意； 、整理得，是一元三次方程，配方法仅适用于一元二次方程，无法使用，符合题意； 、为一元二次方程，一次项系数为偶数，易配方，不符合题意； 、整理得，为一元二次方程，一次项系数为偶数，易配方，不符合题意． 【变式2-1】用配方法解方程，配方后所得的方程是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：移项得 ，两边同时加上 9， 得 ， 即 ，故选 C． 【变式2-2】用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原方程二次项系数为1，移项后两边加一次项系数一半的平方即可完成配方． 【详解】解： ． 【变式2-3】一元二次方程的左边配成完全平方式后所得的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 移项得， 两边同时加得， 即． 【题型3 配方法的应用】 【例3】无论，为何值，代数式的值（     ） A．总不大于 B．总不小于 C．可为任何有理数 D．可能为负数 【答案】B 【分析】观察代数式中含、的二次项与一次项，通过配方转化为非负式与常数的和，进而判断取值范围 【详解】解： ∵，， ∴ 【变式3-1】若是关于x的方程的一个解，则的最大值为（     ） A．0 B．8 C．16 D．24 【答案】C 【分析】将方程的解代入原方程，建立m与n的数量关系，再转化为二次式配方求最值即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴将代入原方程得， ， 将代入得， ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【变式3-2】无论为何实数，二次三项式的值均不小于某数，则这个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原代数式配方，然后利用偶次方的非负性列出不等式即可解答． 【详解】解：， ∵ ． ∴ ，即无论为何实数，二次三项式的值均不小于1． 【变式3-3】易知：，，的最小值为．应用上述思想方法请判断，对于代数式，下列说法正确的是（     ） A．有最小值3 B．有最大值3 C．有最小值7 D．有最大值7 【答案】A 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【题型4 公式法求一元二次方程的根】 【例4】下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根的判别式的值来判断方程根的情况． 【详解】解：A.方程， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意， B.方程， ∵， ∴方程没有实数根，符合题意， C.方程， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意， D.方程，整理为一般形式得， ∵， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意． 【变式4-1】关于的方程，下列解法完全正确的是（     ） A．两边同时除以得 B．整理得，∵，，，，∴ C．整理得，配方得，∴，∴该方程无解 D．移项并分解因式得，∴或，∴， 【答案】D 【分析】移项提取公因式求解，避免直接除以含未知数的式子丢根． 【详解】解：A、未考虑的情况，故计算错误； B、不是，故计算错误； C、配方时，等式两边应该加，故计算错误； D、移项得， 分解因式得， ∴或， ∴，，该解法与选项D完全一致，故计算正确． 【变式4-2】已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知等积式求与的关系，再验证各选项比值. 【详解】解：设，，则， ∵， ∴， 整理得， 解得； ∵线段长度为正数， ∴，即， ∴； ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 【变式4-3】用公式法解方程，下列代入公式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将方程化为一般式，然后利用公式法求解即可． 【详解】解： ∴， 其中， ∴， ∴． 【题型5 根根据判别式判断根的情况】 【例5】若一元二次方程有两个不相等的实数根，且m是非正数，则下列对m取值的判断正确的是（     ） A．可能是 B．可能是 C．符合条件的值有个 D．这样的值有无数个 【答案】D 【分析】由方程有两个不相等的实数根得判别式大于，结合是非正数的条件确定的取值范围，再判断各选项． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ，解得， 又是非正数， ， ， 和均不满足， 选项、错误； 题目未限定为整数，满足的实数有无数个， 选项错误，选项正确． 【变式5-1】下列方程中有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的判别式依次计算四个选项中方程的判别式值，根据时方程有实数根、时无实数根的规则判断出符合要求的选项即可． 【详解】解：分别计算各选项一元二次方程的根的判别式： 选项：． 选项：． 选项：． 选项：． 综上所述：只有选项的方程有实数根． 【变式5-2】已知多项式，多项式，其中，，均为正整数，下列说法： ①若，且关于的方程有无数个解，则； ②若，则存在实数使得； ③若，，且，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】①代入，将整理为关于的方程，根据“一元一次方程有无数解的条件是一次项系数为且常数项相等”，求出的值并判断． ②代入，写出的表达式并整理为一元二次方程形式，计算判别式；结合为正整数的条件，判断的符号，从而确定方程是否有实数解． ③对等式变形为，代入、得到；再根据为正整数的条件，分析的正因数分解情况，统计符合条件的解的组数，进而确定多项式的个数． 【详解】解：①若，且有无数解， 则，整理得． 方程有无数解的条件是系数为0，即，得，①正确； ②若，则． 要存在实数使，需判别式． ∵为正整数，， ∴，，方程无实数解，②错误； ③由变形得，其中，， 即. ∵均为正整数， ∴，． ∵9的正整数因数分解为、、， ∴只有，，则，， ∵为正整数，∴，； 因此满足条件的多项式仅1个，故③错误． 综上所述，正确的个数是1个． 【变式5-3】下列方程中有两个相等实数根的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，，该方程没有实数根． B．方程整理为，，该方程没有实数根． C．方程整理为，，该方程有两个相等实数根． D．，，该方程有两个不相等实数根． 【题型6 根据根的情况求参数】 【例6】已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为0与根的判别式非负两个条件． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即，解得， 综上：的取值范围是且． 【变式6-1】已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式非负两个条件． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 方程有实数根， ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 【变式6-2】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即． ∵方程有实数根， ∴． ∴． ∴． ∴． 综上，的取值范围是且． 【变式6-3】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式联立求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得， ∵方程有两个不相等的实数根 ∴， 解得， 综上，且． 【题型7 因式分解法解一元二次方程】 【例7】对于方程，下列说法正确的是（     ） A．其中一个根是 B．有两个实数根且和为 C．此方程无实数根 D．有两个实数根且积为 【答案】D 【分析】先利用因式分解法解方程，进而逐项判断即可． 【详解】解：将原方程移项，得， 因式分解得， 解得，， ∵不是方程的根， ∴A错误； ∵两根之和为， ∴B错误； ∵方程有两个实数根， ∴C错误； ∵ 两根之积为， ∴D正确． 【变式7-1】使等式成立的不同实数的个数有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】将看作整体换元，降次求解即可． 【详解】解：设，原方程可化为， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴，不符合题意，舍去， 当时，， 解得，， 共2个不同实数解． 【变式7-2】关于的方程，该方程有两个相等实根，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】先根据方程有两个相等实根确定其为一元二次方程，再结合根的判别式为求解． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴该方程为一元二次方程，即，且， 整理得， 因式分解得， 解得或， ∵， ∴． 【变式7-3】已知是一元二次方程的一个根，则m的值是（     ） A．或 B． C．或1 D． 【答案】B 【分析】将代入方程求的可能值，再结合一元二次方程二次项系数不为0的条件筛选结果． 【详解】解：将代入，得. 整理得. 因式分解得. 解得或. ∵ 方程是一元二次方程， ∴ ，即. ∴ （舍去）， ∴． 【题型8 换元法解一元二次方程】 【例8】若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求方程整理为与已知方程结构一致的形式，通过换元利用已知解求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为， ∴. 整理方程， 移项得， 提取公因式得， 令，则方程变为，与原方程结构完全相同， ∴该方程的一个解为， 即.解得． 【变式8-1】若，则代数式的值（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，结合解答即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， 因式分解，得， 解得或， ∵， ∴， 即． 【变式8-2】若，则的值是（       ） A． B．3 C．3或 D．或 【答案】B 【分析】设，利用换元法将原方程转化为一元二次方程，再利用的非负性得出结果． 【详解】解：由题意得，， 设， ， ， ， 或， ， （不符合题意，舍去）， ， 故选：． 【点睛】本题考查了换元法，一元二次方程的解法，代数式的非负性，对整体思想的把握是解决问题的关键． 【变式8-3】已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（    ） A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5 【答案】B 【分析】设，则原方程换元为，可得，，即可求解． 【详解】解：设，则原方程换元为， ， 解得，（不合题意，舍去）， 的值为3． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键． 【题型9 解分式方程（化为一元二次方程）】 【例9】下列方程中，有实数根的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解无理方程，解分式方程，二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质可得，据此可判断A；根据二次根式有意义的条件可得，则，据此可判断B；解分式方程可判断C、D． 【详解】解：A、∵， ∴， 又∵， ∴原方程无实数根，不符合题意； B、∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴原方程无实数根，不符合题意； C、∵， ∴去分母得， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无实数根，不符合题意； D、∵， ∴去分母得：， ∴， 解得， 经检验，当是原方程的解， ∴原方程有实数根，符合题意， 故选：D． 【变式9-1】下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式方程求解方法，平方的非负性，算术平方根的非负性和分式的性质，逐个判断即可得到结果． 【详解】解：A．， 去分母得，， 整理得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程有实数解； B．变形得， ∵任意实数的平方满足，不可能等于， ∴该方程无实数解； C．方程， ∵分子，分母，分式的值不可能为， ∴该方程无实数解； D．方程变形得， ∵任意实数的算术平方根满足，不可能等于， ∴该方程无实数解． 【变式9-2】甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，已知两地的距离为千米，两地的距离为千米，甲骑自行车每小时比乙快千米，结果两人同时到达地，则乙骑自行车人速度为（   ） A．千米/小时 B．千米/小时 C．千米/小时 D．千米/小时 【答案】B 【分析】本题为行程类分式方程应用题，利用路程、速度、时间的关系，根据两人同时到达地即所用时间相等，列方程求解即可． 【详解】解：设乙骑自行车每小时行驶千米，则甲每小时行驶千米， ∵甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，两人同时到达地，即行驶时间相等， ∴可得方程， 方程两边同乘得：， 整理得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙骑自行车每小时行驶千米． 【变式9-3】用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程． 由题意可得，再去分母可得，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为： ， ， ， 故选：A． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．一次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象可知，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由图象可知：，则， 由一元二次方程可知：， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 2．若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（     ） A．2或3 B．3或4 C．6或3 D．7或4 【答案】B 【分析】等腰三角形边长为3的边未明确是腰还是底，需分类讨论，结合一元二次方程根的性质与三角形三边关系求解． 【详解】解：当腰长为3时，将代入，得： ， 解得， 此时方程为，即， 解得，， 三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 当底边长为3时，方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 此时方程为，即， 解得， 三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 综上，的值为或． 3．已知等腰的底边长为3，两腰长恰好是关于的一元二次方程的两根，则的周长为（     ） A．6.5 B．7 C．6.5或7 D．9 【答案】B 【分析】由等腰三角形两腰相等，得一元二次方程有两个相等实数根，以此为突破口求解. 【详解】解：∵ 等腰的底边长为3，两腰长是方程的两根， ∴ 该方程有两个相等的实数根， ∴ ， 整理得， 解得， 将代入原方程，得， 解得， ∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 的周长为. 4．在数轴上有表示一元二次方程的两个根的点，它们之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】先求出一元二次方程的两个根，再根据数轴上两点之间的距离解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，， ∴两点之间的距离为． 5．如图，将边长为的正方形，沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，点，，的对应点分别为，，．当与重叠部分的面积为时，平移的距离等于（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设平移距离，根据平移性质及正方形性质可知重叠部分为平行四边形，其底边长为，高为，利用平行四边形的面积公式列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设平移距离， ∵ 四边形是正方形， ∴， ∵把沿着方向平移，得到，点，，的对应点分别为，，， ∴， ∴ 重叠部分为平行四边形． 如图：设交于点E， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴ 重叠部分的高为． ∵与重叠部分的面积为， ∴， 解得． ∴ 平移的距离等于或． 6．用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）根据完全平方公式把化简后进行因式分解得，解出即可得答案. （2）把根据十字相乘法分解因式得，解出即可得答案. （3）把的右边根据提公因式法分解因式，再移项后进行因式分解得，解出即可得答案. 【详解】（1）解： 或 ， （2）解： 或 ， （3）解： 或 ， 7．按要求解答下列问题： (1)用适当的方法解方程：． (2)下面是小宣解方程的过程，请认真阅读并回答问题． 解：等号左边因式分解，得，第一步 方程两边同时除以，得，第二步 移项、合并同类项，得．第三步 ①以上解方程的过程，从第_______步开始出错． ②直接写出正确的解． 【答案】(1)， (2)① 二；② ， 【详解】（1）解： ，； （2）①以上解方程的过程，从第二步开始出错； ②解： 或 ，． 8．阅读材料：我们把叫做一元二次方程根的判别式，用表示．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根，不都为整数：方程的两根，都为整数．此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”．其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是___________； ②若该全整根方程的“关爱码”是，求的值； (2)若关于的全整根方程是（，均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】(1)①关爱码为； ②的值为或． (2)． 【分析】（1）①代入写出方程，直接套用关爱码公式计算； ②用表示关爱码并令其等于，解出后结合“全整根方程”定义（两根均为整数）验根； （2）分别写出两方程的关爱码，利用列等式，化为，结合，为正整数求解． 【详解】（1）解：①当时，方程为，其中，，． 代入，得． 该全整根方程的关爱码为． ②在方程中，，，， 则． 由题意得， 即， ， 或． 方程可化为，两根为和，均为整数， 和均符合题意． （2）解：方程中，，，， ． 方程中，，，， ． 由“全整根伴侣方程”的定义，得，其中， 即． ， ． ． 若，则； 若，则，与，均为正整数矛盾，舍去． 又当时两方程均为全整根方程（例如，时两根均为整数）， ． 【点睛】本题的新定义“全整根方程”要求两根均为整数，“关爱码”为；解题关键是先写出判别相关的代数式，再用定义列等式；解含参数的方程后要结合“两根均为整数”这一隐含条件验根，舍去不合要求的解． 9．已知，方程①，②，③恰有一个公共根．试探究，，满足的条件，并求的值． 【答案】满足的条件为； 【分析】设公共根为，代入所有方程，得到三个联立等式，将三个等式相加后因式分解，通过对因式配方，利用完全平方的非负性得到其恒大于，从而推出，最后对目标式子做通分变形，将的结论直接代入，即可求出最终结果． 【详解】解：设方程①，②，③的公共根为，分别代入①，②，③得， ， ④，⑤，⑥式相加得，， ， ， ， ． 10．换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，新变量求出结果之后，返回去求原变量的结果．在解一些复杂的因式分解问题时，常用到换元法．试用换元法解方程：． 【答案】， 【分析】利用换元法，将进行平方，用表示出，代入化简计算即可． 【详解】解：设， 则，，， ∴原方程化为， 即， 解得，或（舍去）， ∴， 即， 解得，， 经检验，均为原方程的解． 11．如图，在平面直角坐标系中，的边与轴重合，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，，的长是一元二次方程的两个根． (1)求点和点坐标； (2)在边上有一动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向匀速运动，动点从点出发，以每秒1.6个单位长度的速度沿折线匀速运动．已知，两点同时出发，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动时间为秒，求的面积关于运动时间的函数解析式； (3)在轴上有一点，在轴上有一动点，在第一象限内是否存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2) (3)存在，点坐标为或或 【分析】（1）通过解一元二次方程求出和的长，结合点A、C所在的坐标轴位置确定坐标． （2）这是一个动点问题，需根据点Q的运动路径分段讨论：当点Q在上时，利用平行线间的距离（即点O到的距离）作为高，底为，建立面积与时间的函数关系；当点Q在上时，采用“割补法”，用平行四边形的面积减去周围三个三角形（、、）的面积来求解． （3）已知三点M（在y轴）、R、B，求第四点N使四边形为矩形．需根据矩形的对角线互相平分且相等这一性质，分三种情况（为对角线、为对角线、为对角线）讨论，利用中点坐标公式和距离公式列方程求解，并验证点N是否在第一象限． 【详解】（1）解：解方程，即，得，． ，的长是一元二次方程的两个根（）， ，． ∵点在轴负半轴上，点在轴正半轴上， ，． （2）解：在中，由勾股定理，得． ∵四边形是平行四边形， ，， ∴点从点运动到点用时，点从点运动到点用时，点从点运动到点的时间为． 如图①，当时，，过点，分别作，，垂足分别为，， ． ， ， ，即， 解得． ∵在中，，，， ， ， 即； 当时，则，，， ． 如图②，过点作直线分别交轴于点，． ∵在中，，， ，， ， ， 即， ． ，轴，轴， ， ． ， ， 即． 综上所述，． （3）解：由（2）知，，， ． 设，，而． 情况一：当，是矩形对角线时， 依题意，得， ，， ． ，则， ， 或， 解得或， 或； 情况二：当，是矩形对角线时， 依题意，得， ，此时点不在第一象限，舍去； 情况三：当，是矩形对角线时， 依题意，得， ，， ，． ，则， 解得， ． 综上所述，在第一象限内存在一点，使得以四点为顶点的四边形是矩形，点坐标为或或． 12．综合与探究 问题情境：如图1，在平行四边形中，点是边上的一点，连接，将沿折叠得到，线段的延长线经过点．    (1)独立思考：判断与的数量关系，并说明理由． (2)深入探究：如图2，，过点作，交的延长线于点． ①判断与的数量关系，并说明理由． ②若，，求的长． 【答案】(1)解：与的数量关系为．理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， 沿折叠得到，线段的延长线经过点． ， ∴， ， ，， ， ∵ ∴ ∴． (2)①解：．理由如下： 过点A作于点M， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ∵ ∴， ∴， ，， ∴， ∴， ∴． ② 【分析】（1）根据平行四边形的性质，折叠的性质，三角形外角性质，证明即可． （2）①过点A作于点M，根据平行四边形的性质，平行线的性质，证明，再利用等腰三角形三线合一性质，解答即可． ②设，则，，，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：略． （2）①解：略． ②解：根据（1）得，， ∴． 设，则，，， 四边形是平行四边形， ， 根据勾股定理，得， ， 解得（负的舍去）， 故． 13．定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”．例如：已知关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”，则该方程的“关爱码”为． (1)已知关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”， ①当时，该全整根方程的“关爱码”为______； ②若该全整根方程的“关爱码”为，则m的值为______； (2)已知关于x的一元二次方程（m为整数，且）是一个“全整根方程”，求该方程的“关爱码”； (3)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“关爱码”相等时，求代数式的值． 【答案】(1)①0；②5或 (2)或 (3)4 【分析】（1）①当时，方程为，再根据“全整根方程”的“关爱码”的定义求解即可；②根据“全整根方程”的“关爱码”的定义以及该全整根方程的“关爱码”为列关于m的方程求解即可； （2）先根据“全整根方程”的定义可得是完全平方数，再结合确定m的值，再根据“关爱码”的定义求解即可； （3）先分别求出两个方程的“关爱码”，再根据“关爱码”相等得到，然后代入所求代数式化简即可． 【详解】（1）解：①当时，方程为，则该全整根方程的“关爱码”为； ②关于x的一元二次方程的“关爱码”为， ∴， 整理得：， 解得：． （2）解：∵关于x的一元二次方程（m为整数，且）是一个“全整根方程”， ∴根的判别式是完全平方数， ∵， ∴当时，是完全平方数，符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，是完全平方数，符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，原方程为，此时“关爱码”为； 当时，原方程为，此时“关爱码”为； 综上，该方程的“关爱码”为或． （3）解：关于x的一元二次方程的“关爱码”为； 关于x的一元二次方程的“关爱码”为； 所以，整理得， ． 14．综合与探究 请阅读下面的材料． 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的，则所求方程为　　　． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为2，，求关于的一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程求解即可； （3）将所求方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 整理，得， 化简，得； （2）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 整理，得； （3）解：将所求方程整理可得：， 令，则， 则方程的两根比的两个实数根大2， ∴的两个实数根分别是，． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 43 页 第 1 页 共 43 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点03 解一元二次方程专项突破 （新教材北师大版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3 知识点一、配方法解一元二次方程 3 知识点二、配方法的应用 4 知识点三、公式法解一元二次方程 4 知识点四 因式分解法解一元二次方程 5 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 5 【题型1 解一元二次方程---直接开平方法】 5 【题型2 解一元二次方程---配方法】 6 【题型3 配方法的应用】 7 【题型4 公式法求一元二次方程的根】 7 【题型5 根根据判别式判断根的情况】 8 【题型6 根据根的情况求参数】 8 【题型7 因式分解法解一元二次方程】 9 【题型8 换元法解一元二次方程】 9 【题型9 解分式方程（化为一元二次方程）】 10 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 10 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 16 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 · 一元二次方程基础解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的适用条件与规范解题步骤。 · ·配方法双重考查：利用配方法解方程；利用配方法求代数式最值、代数式恒等变形。 · 判别式基础认知，求根公式来源（由配方法推导）。 · ·换元法：整体思想简化高次、复合型方程，实现降次求解。 · 可化为一元二次方程的分式方程求解，掌握验根规范，识别增根。 · 不同解法的灵活选择，根据方程结构择优运算，简化计算量。 · 基础层面：单独考查一元二次方程常规解法，以计算题形式出现，侧重解题格式规范性，是试卷基础得分点。 · 能力层面：配方法不再局限解方程，大量结合代数式最值、比较大小进行拓展考查，突出数学转化思想。 · 综合层面：融入换元法渗透整体思想，衔接分式方程，强调 “去分母转化整式方程 + 检验增根” 完整流程。 · 趋势特征：弱化单一机械计算，强化方法选择意识；常在二次函数、一元二次方程实际应用、几何综合题中作为运算工具隐性考查。广州本地考题注重计算准确率，常设分数、负系数等易错条件设置陷阱。 考情解码： · 分值定位：一元二次方程解法是九年级上册核心计算基石，单独考题分值稳定，同时为后续二次函数、几何压轴、方程应用题提供运算支撑，属于贯穿全册的工具性知识。 · 学生高频失分点： ① 配方法常数项移项时符号出错、二次项系数未化为 1 直接配方； ② 运用求根公式时，未统一整理成一般形式，混淆 a、b、c 符号； ③ 因式分解法漏根、等式两边随意约去含未知数代数式造成丢解； ④ 解分式方程忘记检验增根。 · 备考提示：不能只追求算出答案，需要训练 “观察方程结构→优先选择最优解法” 的思维；重点突破配方法拓展应用，重视格式规范；专项区分 “整式方程” 与 “分式方程” 解题流程，规避典型计算陷阱。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、配方法解一元二次方程 1．直接开方法解一元二次方程： 　　(1)直接开方法解一元二次方程： 　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 　　(2)直接开平方法的理论依据： 　　　 平方根的定义. 　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根； 　　　 　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 　　　 　若，则方程无实数根． 　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 　　　　 . 要点： 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 2．配方法解一元二次方程： 　　(1)配方法解一元二次方程： 　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. 　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 知识点三、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 　一元二次方程，当时，. 2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． 　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根； 　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根； 　　　 ③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 　　　 ①把一元二次方程化为一般形式； 　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）； 　　　 ③求出的值； 　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解； 　　　 　若，则原方程无实根. 要点： （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. （2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：. ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：. ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 知识点四 因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 　　（1）将方程右边化为0； 　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积； 　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 解一元二次方程---直接开平方法】 【例1】对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程的正数解是（） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-1】已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两个方程实数根的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的实数根，乙无实数根 B．甲、乙都有两个不相等的实数根 C．甲有两个相等的实数根，乙无实数根 D．甲有两个相等的实数根，乙有两个不相等的实数根 【变式1-2】判断方程的根的情况是（　　） A．有四个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 【变式1-3】若，则的值为（　　） A．4 B．4或 C． D． 【题型2 解一元二次方程---配方法】 【例2】下列方程最不适宜用配方法求解的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】用配方法解方程，配方后所得的方程是(     ) A． B． C． D． 【变式2-2】用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】一元二次方程的左边配成完全平方式后所得的方程为（     ） A． B． C． D． 【题型3 配方法的应用】 【例3】无论，为何值，代数式的值（     ） A．总不大于 B．总不小于 C．可为任何有理数 D．可能为负数 【变式3-1】若是关于x的方程的一个解，则的最大值为（     ） A．0 B．8 C．16 D．24 【变式3-2】无论为何实数，二次三项式的值均不小于某数，则这个数是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】易知：，，的最小值为．应用上述思想方法请判断，对于代数式，下列说法正确的是（     ） A．有最小值3 B．有最大值3 C．有最小值7 D．有最大值7 【题型4 公式法求一元二次方程的根】 【例4】下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】关于的方程，下列解法完全正确的是（     ） A．两边同时除以得 B．整理得，∵，，，，∴ C．整理得，配方得，∴，∴该方程无解 D．移项并分解因式得，∴或，∴， 【变式4-2】已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】用公式法解方程，下列代入公式正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型5 根根据判别式判断根的情况】 【例5】若一元二次方程有两个不相等的实数根，且m是非正数，则下列对m取值的判断正确的是（     ） A．可能是 B．可能是 C．符合条件的值有个 D．这样的值有无数个 【变式5-1】下列方程中有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知多项式，多项式，其中，，均为正整数，下列说法： ①若，且关于的方程有无数个解，则； ②若，则存在实数使得； ③若，，且，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-3】下列方程中有两个相等实数根的是（） A． B． C． D． 【题型6 根据根的情况求参数】 【例6】已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【变式6-1】已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【变式6-2】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【变式6-3】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A．且 B． C． D．且 【题型7 因式分解法解一元二次方程】 【例7】对于方程，下列说法正确的是（     ） A．其中一个根是 B．有两个实数根且和为 C．此方程无实数根 D．有两个实数根且积为 【变式7-1】使等式成立的不同实数的个数有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式7-2】关于的方程，该方程有两个相等实根，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【变式7-3】已知是一元二次方程的一个根，则m的值是（     ） A．或 B． C．或1 D． 【题型8 换元法解一元二次方程】 【例8】若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】若，则代数式的值（     ） A．或 B．或 C． D． 【变式8-2】若，则的值是（       ） A． B．3 C．3或 D．或 【变式8-3】已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（    ） A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5 【题型9 解分式方程（化为一元二次方程）】 【例9】下列方程中，有实数根的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，已知两地的距离为千米，两地的距离为千米，甲骑自行车每小时比乙快千米，结果两人同时到达地，则乙骑自行车人速度为（   ） A．千米/小时 B．千米/小时 C．千米/小时 D．千米/小时 【变式9-3】用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．一次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 2．若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（     ） A．2或3 B．3或4 C．6或3 D．7或4 3．已知等腰的底边长为3，两腰长恰好是关于的一元二次方程的两根，则的周长为（     ） A．6.5 B．7 C．6.5或7 D．9 4．在数轴上有表示一元二次方程的两个根的点，它们之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 5．如图，将边长为的正方形，沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，点，，的对应点分别为，，．当与重叠部分的面积为时，平移的距离等于（     ） A． B． C．或 D．或 6．用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) 7．按要求解答下列问题： (1)用适当的方法解方程：． (2)下面是小宣解方程的过程，请认真阅读并回答问题． 解：等号左边因式分解，得，第一步 方程两边同时除以，得，第二步 移项、合并同类项，得．第三步 ①以上解方程的过程，从第_______步开始出错． ②直接写出正确的解． 8．阅读材料：我们把叫做一元二次方程根的判别式，用表示．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根，不都为整数：方程的两根，都为整数．此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”．其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是___________； ②若该全整根方程的“关爱码”是，求的值； (2)若关于的全整根方程是（，均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 9．已知，方程①，②，③恰有一个公共根．试探究，，满足的条件，并求的值． 10．换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，新变量求出结果之后，返回去求原变量的结果．在解一些复杂的因式分解问题时，常用到换元法．试用换元法解方程：． 11．如图，在平面直角坐标系中，的边与轴重合，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，，的长是一元二次方程的两个根． (1)求点和点坐标； (2)在边上有一动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向匀速运动，动点从点出发，以每秒1.6个单位长度的速度沿折线匀速运动．已知，两点同时出发，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动时间为秒，求的面积关于运动时间的函数解析式； (3)在轴上有一点，在轴上有一动点，在第一象限内是否存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 12．综合与探究 问题情境：如图1，在平行四边形中，点是边上的一点，连接，将沿折叠得到，线段的延长线经过点．    (1)独立思考：判断与的数量关系，并说明理由． (2)深入探究：如图2，，过点作，交的延长线于点． ①判断与的数量关系，并说明理由． ②若，，求的长． 13．定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”．例如：已知关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”，则该方程的“关爱码”为． (1)已知关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”， ①当时，该全整根方程的“关爱码”为______； ②若该全整根方程的“关爱码”为，则m的值为______； (2)已知关于x的一元二次方程（m为整数，且）是一个“全整根方程”，求该方程的“关爱码”； (3)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“关爱码”相等时，求代数式的值． 14．综合与探究 请阅读下面的材料． 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的，则所求方程为　　　． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为2，，求关于的一元二次方程的两根． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 43 页 第 1 页 共 43 页 学科网（北京）股份有限公司 $