第1章 特殊平行四边形 单元复习（5大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版九年级数学上学期

该初中数学讲义以“特殊平行四边形”为核心，通过对比表格系统梳理矩形、菱形、正方形的性质与判定，用框架图呈现四边形从属关系，结合中点四边形与原四边形对角线特征的规律表，构建清晰知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如性质辨析强化几何直观，培优题型如证明题培养推理能力，压轴题型如折叠计算渗透方程思想。每个题型配例题与变式题，帮助不同层次学生提升，支持教师实施精准复习教学。

第1章 特殊平行四边形 知识点1：矩形的性质与判定   1.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，属于特殊的平行四边形，具备平行四边形的全部性质。   2. 矩形核心性质 类别 内容 图例 边角特征 对边平行且相等，四个内角均为 对角线特征 对角线互相平分且相等，对角线可分割出四个等腰三角形 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形，共有2条对称轴   3. 矩形判定定理   ① 有一个角是直角的平行四边形是矩形；   ② 有三个角是直角的四边形是矩形；   ③ 对角线相等的平行四边形是矩形。   4. 重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，该中线可将直角三角形分割为两个等腰三角形。 知识点2：菱形的性质与判定   1. 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，属于特殊的平行四边形，具备平行四边形的全部性质。   2. 菱形核心性质 类别 内容 图例 边角特征 四条边长度全部相等，对边平行，对角大小相等 对角线特征 对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组内角；对角线分割出四个全等的直角三角形 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形，共有2条对称轴   3. 菱形判定定理   ① 一组邻边相等的平行四边形是菱形；   ② 四条边都相等的四边形是菱形；   ③ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。   4. 菱形面积公式：。 知识点3：正方形的性质与判定   1. 正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。正方形是特殊的矩形、特殊的菱形，兼具矩形、菱形的全部性质。   2. 正方形核心性质 类别 内容 图例 边角特征 四条边相等，四个内角均为 对角线特征 对角线互相垂直、平分且相等，对角线平分一组内角，对角线与边的夹角为 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形，共有4条对称轴   3. 正方形判定定理   ① 有一组邻边相等的矩形是正方形；   ② 有一个角是直角的菱形是正方形；   ③ 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。   4. 正方形面积公式：。 知识点4：中点四边形   1. 中点四边形定义：顺次连接任意四边形四条边的中点，所得到的新四边形叫做中点四边形，任意四边形的中点四边形都是平行四边形。   2. 中点四边形变化规律 原四边形对角线特征 中点四边形形状 对角线相等 菱形 对角线互相垂直 矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 知识点5：特殊四边形从属关系   1. 从属关系：四边形包含平行四边形，平行四边形包含矩形、菱形，正方形是矩形和菱形的特殊形式。   2. 判定思路：判定特殊平行四边形，优先证明四边形为平行四边形，再结合边、角、对角线的特殊条件，升级判定为矩形、菱形或正方形。 【基础必考题型】 【题型1】特殊平行四边形性质辨析 1.核心知识点:   矩形、菱形、正方形的边角、对角线、对称性性质；普通平行四边形与特殊平行四边形的性质差异与区分。 2.解题方法技巧:   ① 牢记图形独有性质：矩形对角线相等、菱形对角线互相垂直、正方形兼具两类图形所有特性。   ② 解题时严格区分“四边形”和“平行四边形”前提条件，可通过举反例快速排除错误选项。 【例题1】.（25-26八年级下·广东阳江·期末）下列关于菱形性质的说法，正确的是（    ） A．对角线相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．不是轴对称图形 【答案】C 【详解】解：∵菱形对角线互相垂直平分，不一定相等，∴选项A错误，选项C正确． ∵菱形四个角不一定都是直角，四个角都是直角是矩形的性质，∴选项B错误． ∵菱形的两条对角线所在直线是它的对称轴，菱形是轴对称图形，∴选项D错误． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·湖北武汉·期末）已知矩形，对角线、交于点，则下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵四边形是矩形，对角线、交于点， ∴，故A选项正确，不符合题意； ，即，故C选项正确，不符合题意； ，，， ∴，故D选项正确，不符合题意． 由于矩形的对角线不一定垂直，故B选项不一定正确，符合题意． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·新疆塔城·期末）如图，在平行四边形中，下列说法错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等、对角线互相平分，逐一判断各选项即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，（平行四边形对边相等）， 故B选项说法正确 ∴，（平行四边形对边平行），故D选项说法正确， ，（平行四边形对角线互相平分）， 故C选项说法正确， 而是菱形的性质，是矩形的性质，一般的平行四边形不具备这两个性质，故A选项说法错误． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·宁夏吴忠·期末）下列说法中，错误的是（     ） A．正方形的对角线互相平分 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线互相垂直 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】D 【分析】本题考查特殊四边形的性质与判定定理，逐一判断各选项的说法正误，即可找出错误选项． 【详解】解：A、正方形属于特殊的平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，故此选项说法正确； B、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是平行四边形的判定定理，故此选项说法正确； C、菱形的性质之一就是对角线互相垂直平分，故此选项说法正确； D、对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故此选项说法错误． 【题型2】特殊平行四边形判定条件选择 1.核心知识点:   矩形、菱形、正方形的判定定理；判定过程中“普通四边形”与“平行四边形”的前提区别。 2.解题方法技巧:   ① 已知图形为平行四边形，仅需补充单一特殊条件即可判定特殊图形；普通四边形需满足完整判定条件。   ② 规避易错陷阱：对角线相等的普通四边形不是矩形，对角线垂直的普通四边形不是菱形。 【例题2】.（2026·安徽合肥·二模）如图，在四边形中，，，对角线与相交于点．若再补充一个条件，可判定该四边形为一种特殊的平行四边形，则以下说法正确的是（     ） A．若补充“”，则四边形是矩形 B．若补充“”，则四边形是菱形 C．若补充“”，则四边形是矩形 D．若补充“”，则四边形是正方形 【答案】B 【分析】当添加“”，无法证明四边形是矩形，故选项A不正确；由，得垂直平分，当添加“”，则，因为，所以，故，故，从而，故四边形是菱形，故选项B正确；当添加“”，因为，所以四边形是平行四边形，又，故四边形是菱形，故选项C不正确；当添加“”，无法证明四边形是正方形，故选项D不正确． 【详解】解：当添加“”，无法证明四边形是矩形，故选项A不正确； ，， 垂直平分， 当添加“”，则， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形，故选项B正确； 当添加“”， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形，故选项C不正确； 当添加“”，无法证明四边形是正方形，故选项D不正确． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在四边形中，对角线，交于点，，，请你补充一个条件： ，求证：四边形是菱形． 【答案】添加条件：（答案不唯一） 证明：，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． 【分析】根据添加条件，先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论． 【详解】略 【变式题2-2】.（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，四边形中，，，则补充下列条件不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． 选项A：若补充，有一个内角是的平行四边形是矩形，因此可以判定平行四边形为矩形，不符合题意； 选项B：若补充，则，对角线相等的平行四边形是矩形，因此可以判定平行四边形为矩形，不符合题意； 选项C：若，根据等角对等边得，则，对角线相等的平行四边形是矩形，因此可以判定平行四边形为矩形，不符合题意； 选项D：平行四边形本身就对边相等，是平行四边形的固有性质，不能判定平行四边形为矩形，符合题意． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择______(限填序号)． 【答案】② 【分析】本题主要考查了正方形的判定定理，根据正方形的判定定理，由菱形添加对角线相等或四边形的一个角是直角，即可求解． 【详解】解：条件①③是菱形的性质，则添加条件①③时，不能使四边形是正方形， 添加条件②时，根据对角线相等的菱形是正方形，能使四边形是正方形， 故答案为：②． 【题型3】利用性质求线段与角度 1.核心知识点:   矩形、菱形、正方形边角及对角线性质；等腰三角形、直角三角形基础角度与边长计算。 2.解题方法技巧:   ① 利用菱形对角线垂直、矩形对角线平分相等的特征，拆分直角三角形、等腰三角形，结合勾股定理计算。   ② 借助正方形对角线形成的特殊角，快速完成角度推导运算。 【例题3】.（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分求边长，再结合面积法求． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， ，即， 解得． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·开学考试）如图，在矩形中，，，平分交于点，连接，取的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形性质和角平分线定义推出，结合等角对等边求得，进而求得，然后根据勾股定理求得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， 平分， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 为的中点，， 是斜边上的中线， ． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，已知菱形的一个内角，对角线、相交于点，点在上，且，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，，结合等腰三角形的性质可得，作差求出即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·陕西宝鸡·开学考试）如图，在锐角三角形中，、分别是边，上的高，、分别是线段，的中点． (1)求证：； (2)连接，，若°，求的度数． 【答案】(1)证明：连接和，如图， ∵、分别是边，上的高， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴为等腰三角形， ∵是线段的中点， ∴； (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）连接和，由题意知，结合直角三角形斜边中线的性质得，利用等腰三角形的性质即可证明； （2）根据题意得，由（1）知，，结合中点得，即，根据等腰三角形的性质得和，利用三角形内角和定理和平角的定义即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：∵°， ∴， 由（1）知，， ∵线段的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵ ． ∴的度数是． 【题型4】特殊平行四边形面积计算 1.核心知识点:   矩形、正方形常规面积公式；菱形双对角线求面积公式；正方形对角线求面积推导公式。 2.解题方法技巧:   ① 菱形优先选用对角线乘积一半公式计算，无对角线条件时，使用底乘高常规公式。   ② 已知正方形对角线长度，直接套用对角线平方的一半公式快速求解面积。 【例题4】.（25-26八年级下·江苏南通·期中）在菱形中，，则菱形的面积是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的面积计算公式计算即可． 【详解】解：． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·湖北武汉·期末）已知菱形的周长是，，则该菱形的面积是__________． 【答案】 【分析】根据菱形周长求出边长，结合已知角度，利用菱形对角线互相垂直平分的性质和勾股定理求出两条对角线长度，再根据菱形面积公式计算即可. 【详解】解：菱形的周长为， 菱形的边长， 设对角线，交于点， 菱形对角线互相垂直平分，且平分内角，， ，， ， ， 由勾股定理得， ，， 菱形面积. 【变式题4-2】.（25-26八年级下·北京门头沟·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点，如果，，那么这个矩形的面积是__________． 【答案】 【分析】由题意易得，则有是等边三角形，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·贵州贵阳·期末）特殊化是解决数学问题时常用的一种策略．有一个正方形和，，，其中正方形的中心为点，．现将绕着点进行旋转，请探究两个图形重叠部分的面积． (1)特殊情形，如图①，当点，分别在边，上时，求重叠部分的的面积； (2)一般情形，如图②，当边，分别交边，于点，时，求重叠部分的四边形的面积． 【答案】(1)4 (2)4 【分析】（1）如图①，连接，，根据全等三角形的判定与性质得到，从而求出结果； （2）先证明，得到，再根据求出结果． 【详解】（1）解：如图①，连接，， 正方形的边长为4， ． 点是正方形的中心，，点分别在边，上， ，． ， ． 重叠部分的的面积为4； （2）如图②，连接，，由（1）得， ，， ． ， ． ． ， ． 在和中， ． ． ． 重叠部分的四边形的面积为4． 【题型5】直角三角形斜边中线应用 1.核心知识点:   直角三角形斜边中线定理；矩形对角线性质衍生推论；线段等量转化。 2.解题方法技巧:   ① 定理仅适用于直角三角形，需先判定图形类型，再使用斜边中线等于斜边一半的结论。   ② 多直角图形中，主动寻找斜边中点，构造等长线段，完成角度、边长的等量转化。 【例题5】.（25-26八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在中，，D是边的中点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明： 且， 四边形是平行四边形， 在中，，D是边的中点， ， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质以及中点的定义可得，从而证明结论； （2）由直角三角形的性质以及勾股定理可得，易得，再根据菱形的性质可得 ，易得，再证明四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ， ， ∴， ∵D是边的中点， ， ， 四边形是菱形， ，即， 又， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在中，，点，分别在边，上，且，连接． (1)求证：． (2)若，分别是边，的中点，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明：如图， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴， ， 四边形是平行四边形， . (2)20 【分析】（1）根据平行四边形性质得，，再根据，结合线段的和差即可得，进而可得四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得． （2）根据四边形是平行四边形得，，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得的长都为5，进而可计算四边形的周长． 【详解】（1）略 （2）解: 如图, 根据（1）得：四边形是平行四边形， ，， ∵， ， 又是边的中点，， ， ， 四边形的周长为:， ∴四边形的周长为20． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在中，，，点D是的中点，点E、F分别在上，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明：连接． ，，D是中点， ，，，． ∴ 在和中， ， ． (2)4 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到．根据即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ． ． ∴四边形的面积为4． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·内蒙古兴安·期末）如图所示，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作，过点C作． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知菱形中，，求矩形的面积 (3)连接，交于点F，连接，若，，的长为 ． 【答案】(1)证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形； (2) (3) 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为矩形； （2）根据菱形的性质得出，，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，最后根据矩形的面积公式求出结果即可； （3）根据菱形的性质得出，，根据矩形的性质得出，，，根据勾股定理得出，证明，得出，根据直角三角形的性质求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形为菱形，，， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵为直角三角形， ∴． 【培优高频题型】 【题型6】中点四边形形状判断 1.核心知识点:   三角形中位线定理；中点四边形形状与原四边形对角线的对应规律。 2.解题方法技巧:   无需关注原四边形形状，仅根据原四边形对角线“相等、垂直”特征，即可直接判定中点四边形形状。 【例题6】.（26-27八年级下·全国·课后作业）已知一矩形对角线的长为，求顺次连接该矩形四边中点所得的四边形的周长． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：如图所示，在矩形中，点分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵矩形对角线的长为， ∴， ∴， ∴四边形的周长， ∴顺次连接该矩形四边中点所得的四边形的周长为． 【变式题6-1】.（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，E，F，G，H分别为，，，的中点．请猜想四边形的形状，并证明自己的猜想． 【答案】四边形是平行四边形． 证明：如图，连接， ∵F，G分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵H，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【分析】连接，根据三角形中位线定理，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明即可． 【详解】解：略． 【变式题6-2】.（26-27八年级下·全国·课后作业）顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫作四边形的中点四边形，在第64页“例6”中已经证明了四边形的中点四边形是平行四边形． (1)平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？ (2)矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？ 【答案】(1)平行四边形的中点四边形是平行四边形， 理由： 如图四边形为平行四边形，其中点E、F、G、H为边、、、的中点， 由定义可知四边形为四边形的中点四边形， ∴四边形为平行四边形． (2)矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，正方形的中点四边形是正方形， 理由：① 如图四边形为矩形，其中点E、F、G、H为边、、、的中点，连接、， ∵、、、分别为、、、的中位线， ∴，， 由定义可知四边形为四边形的中点四边形， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． ② 如图四边形为菱形，其中点E、F、G、H为边、、、的中点，连接、， 由定义可知四边形为四边形的中点四边形， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴， ∵、分别为、的中位线， ∴，， ∴，即， ∴四边形为矩形． ③ 如图四边形为正方形，其中点E、F、G、H为边、、、的中点，连接、， 由定义可知四边形为四边形的中点四边形， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵、分别为、的中位线， ∴，，，， ∴，即， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形． 【分析】（1）理解新信息再根据其解答即可． （2）根据新信息得到平行四边形，再由不同的特殊四边形具有的几何性质进一步证明即可． 【详解】（1）略． （2）略． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】： (2)如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【拓展应用】： 如图2，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． (3)试探索与的数量关系，并说明理由． (4)若，求的最小值． 【答案】(1)D (2)， (3)，理由如下： 如图，记、的中点分别为、， 四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点， 四边形是正方形， ，， ， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， ； (4)的最小值为 【分析】（1）根据正方形的性质和三角形中位线定理求解即可； （2）根据正方形的性质和三角形中位线定理求解即可； （3）根据“中方四边形”的定义，得到，再结合三角形中位线定理求解即可； （4）连接交于，连接、，当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长，由性质探究（2）知：，再结合直角三角形的斜边中线，得出，则的最小值，再结合（3）的结论求解即可． 【详解】（1）解：中点四边形是个正方形， 中点四边形四条边相等，且四个角是直角， 四边形各边中点连线得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”， 由三角形中位线定理可得，原四边形的对角线互相垂直且相等， 只有正方形满足条件； （2）解：四边形是“中方四边形”， 四边形是正方形， ，， ， 点、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， ，； （3）略 （4）解：如图，连接交于，连接、， 当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长， 的最小值， 由性质探究（2）知：， 又、分别是、的中点， ，， ， 的最小值， 由拓展应用（3）知：； 又， ， 的最小值为． 【题型7】特殊平行四边形证明 1.核心知识点:   特殊平行四边形判定定理；平行四边形基础证明；全等三角形判定与性质。 2.解题方法技巧:   ① 常规证明思路：先证平行四边形，再补充边角、对角线条件，升级为矩形或菱形；正方形需同时满足矩形和菱形条件。   ② 推理过程严谨规范，每一步结论对应对应定理，禁止跳步、缺条件证明。 【例题7】.（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）如图，在中，平分，点E是线段的中点，过点A作 交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由． (3)要使四边形是正方形，需要给添加什么条件？直接写出你的答案． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴； 在和中， ， ∴； (2)解：四边形是矩形，理由如下： ∵在中，平分， ∴， ∴； 由（1）得， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； (3)解：当是直角三角形即时，四边形是正方形，理由如下： ∵在中，，又， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）得四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，由线段中点的定义可得，即可证得结论； （2）由三线合一定理得到，可得，结合全等三角形的性质可得，由已知可得，可得四边形是平行四边形，结合矩形的判定即可求解； （3）当时，四边形是正方形，利用直角三角形的性质结合正方形的判定定理即可得到四边形是正方形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式题7-1】.（26-27九年级上·安徽池州·开学考试）如图1，在正方形中，点在边上，于，于． (1)求证：； (2)如图2，若为的中点，判断的形状，并证明． 【答案】(1)证明：∵正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)解：为等腰三角形，证明如下： 过作于点， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【分析】（1）利用正方形的性质得出，，再利用直角三角形两个锐角互余得出进一步得出，证明，由全等三角形的性质得出． （2）过作于点，同（1）证明，由全等三角形的性质得出，，设，，进一步得出，即可得出，则为等腰三角形． 【详解】（1）略； （2）略； 【变式题7-2】.（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在等腰中，，为边上的中点，将延长至点，使得，过点作于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵点为边上的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）由点为边上的中点及，可得四边形是平行四边形，再由即可证明； （2）由勾股定理求得，进而求得，再由勾股定理求得，从而得，再由勾股定理求得，即可求出的长． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵，，， ∴由勾股定理得， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）在中，，，点是外一点，于，交边于，于，交边于，连接，．    (1)如图，若，求证：四边形为正方形； (2)如图，若，，（），则的面积为________（用含，，的式子表示）． 【答案】(1)证明：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，且， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． (2) 【分析】（1）容易判断为等腰直角三角形，四边形为矩形，从而计算出，进而得到．由可推断出，从而证明，则，因此四边形为正方形； （2）先利用矩形的性质和等腰三角形的性质依次表示出、、、，再使用割补法求出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：同理（1）可得，四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∵，，， ∴与都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∴ ． 【压轴素养题型】 【题型8】特殊平行四边形折叠计算 1.核心知识点:   折叠全等性质；特殊平行四边形边角性质；勾股定理方程思想。 2.解题方法技巧:   ① 标记折叠产生的等角、等线段，设未知线段为，用代数式表示相关线段长度。   ② 在折叠形成的直角三角形中列勾股方程求解，根据落点位置分类讨论，避免漏解。 【例题8】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，一块矩形纸片，长，宽，将这块矩形纸片沿对角线对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到，则___________． 【答案】/ 【分析】利用矩形性质和折叠性质，证明得到，，设，在中，利用勾股定理求得x值即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， 由折叠性质得，， ∴，，又， ∴， ∴，， 设，则， 在中，由得， 解得，故． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·湖北襄阳·开学考试）探究以下问题： (1)【问题情境】正方形是生活中常见的几何图形，如图1，在正方形中，分别在边、上，且，垂足为，判断：______（填“”或“”） (2)【问题探究】如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为，请你写出线段与线段的数量关系，并证明你的结论； (3)【问题拓展】如图3，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则线段的长为______． 【答案】(1) (2)． 证明：如图2，过点A作，交于点H，交于点N，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵于M， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点A作，交于点H，交于点N，先证明四边形是平行四边形得到，再证明得到，进而可得结论； （3）连接交于M，过点A作，交于点H，交于点N，由折叠性质得，同（2）方法可得，然后根据正方形的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：连接交于M，过点A作，交于点H，交于点N， 由折叠性质得， 同（2）可得四边形是平行四边形，， ∴， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∴． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·山东泰安·期末）手工实践课上，老师带领同学们开展趣味折纸活动，每位同学都领到三张平整的长方形卡纸，其中，．大家跟随老师的步骤动手折叠、探究图形变化中的数学问题： (1)动手操作一： 将一张长方形卡纸进行折叠，使顶点与顶点重合，压出平整折痕，然后展平得到图1，请写出四边形是什么特殊四边形：___________________； (2)动手操作二： 为进一步探究折叠规律，大家在第二张卡纸上先找出线段的中点，再沿着线段向内折叠，使顶点落在长方形内部的点处，连接，如图2， ①试判断线段与折痕的位置关系，并说明理由， ②求线段的长； (3)动手操作三： 大家在第三张卡纸上先找出线段的中点，沿线段折叠卡纸，让顶点落在点处，连接并延长，交边于点．展平后再次折叠纸片得到，如图3，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形是菱形 (2)①位置关系：，理由如下： 连接交于点，如图， 由翻折可知：垂直平分， ∴，， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，即； ②线段的长为； (3) 【分析】（1）连接，，设与交于点，由翻折可知，，是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，，由矩形的性质可得，推出，，证明得出，即可得证； （2）①连接交于点，由翻折可知垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，证明是的中位线，得出，即可得解；②根据①可求出，由勾股定理可得，由等面积法求出，得出，最后再由勾股定理计算即可得解； （3）延长交的延长线于点，则，，，，根据矩形的性质即可证明，有，结合平行线的性质得到，即有，设，则，利用勾股定理，求得和，设，则和，在中，利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，设与交于点， 由翻折可知：，，是的垂直平分线， 即有，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：①略 ②如图， 由①可知：，， 在矩形纸片中，，， ∵点为的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长交的延长线于点，如图， 则，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠得， ∴， 则， 设， ∵， ∴， ∵，点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， 解得， 则， 设，则，， ∵，， ∴， 在中，， 即， 解得， 则． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·广东惠州·开学考试）【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_________，_________； (2)如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，过点D作交于点G，求证：四边形是菱形； 迁移应用： (3)如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，连接，若，，求的长． 【答案】(1)60，60 (2)证明：∵四边形是矩形， ∴，，，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； (3) 【分析】（1）根据折叠得到，由平角的性质得到，由此得到，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质即可求解； （2）根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，由折叠的性质，可证，则，结合菱形的判定方法即可求解； （3）根据矩形的性质得到，，，由勾股定理得到，根据折叠得到，，由全等的性质得到，如图所示，过点E作于点G，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∵将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合， ∴，， ∴， 由（2）得到， ∴， 如图，过点E作于点G， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的长为． 【题型9】特殊平行四边形动点求值 1.核心知识点:   特殊平行四边形性质；动点线段动态表达；方程思想、分类讨论思想。 2.解题方法技巧:   ① 用运动参数表示动态线段长度，结合几何等量关系列方程。   ② 根据动点不同运动位置分段讨论，舍去不符合题意的无效解。 【例题9】.（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在四边形 中，， ，，，．动点 从点 出发，以的速度向终点 运动，同时动点 从点 出发，以的速度沿折线向终点 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)填空：①__________；（用含 的代数式表示） ②__________； (2)直线 把四边形 分成两部分，当 为何值时，其中的一部分是平行四边形？ 【答案】(1)①；②13 (2)当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形． 【分析】（1）①由题意得；②过点B作于H，证明四边形是矩形，结合勾股定理即可求得； （2）只有Q点在 上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可． 【详解】（1）解：①由题意得； ②如图，过点B作于H， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，； （2）解： Q在 上运动时间为， ∵， ∴Q运动时间最长为， 当点Q在 上时，直线把四边形分成两个部分，不可能存在其中的一部分是平行四边形， 当时，Q在 边上， 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： ∵即， ∴只需， 由题意得，，，， ∴， 解得； ②四边形是平行四边形，如图所示： ∵， ∴只需，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得． 综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形． 【变式题9-1】.（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为 ． (1)当__________时，四边形是矩形． (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)6.5 (2)6 (3) 不能，理由如下： 若四边形是菱形，则四边形是平行四边形， 根据（2）得：， ， 过点作于， 四边形是矩形， ， ，， ， 四边形不可能是菱形． 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）由在四边形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案． （2）由在四边形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案； （3）由若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，根据（2）中的求解答案，分析看此时能否为菱形，因为，即可得四边形不可能是菱形； 【详解】（1）根据题意得： ， ， ，，， ，， 在四边形中，，， 当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当时，四边形是矩形； 故答案为：6.5； （2）在四边形中，， 当时，四边形是平行四边形， 根据（1）得：， 解得：， 当时，四边形是平行四边形； （3）略 【变式题9-2】.（25-26八年级下·河北承德·期末）如图，在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边以的速度向点运动，动点从点开始沿边以的速度向点运动，，分别从，同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)____________，____________；（用含的式子表示） (2)当____________时，四边形是矩形？ (3)当____________时，四边形是平行四边形？ (4)四边形是否能成为菱形？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)12 (4)四边形不可能是菱形； 理由为：若四边形是菱形，则四边形一定是平行四边形， 根据（3）得，， 如图，过点作于，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴四边形不可能是菱形． 【分析】（1）根据题意结合图形即可得； （2）由在梯形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得到方程，解此方程即可得到最后答案； （3）由在梯形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得到方程，解此方程即可得到最后答案； （4）由四边形是菱形，则四边形是平行四边形，根据（3）中求解的答案，分析看此时能否为菱形，因为，即可得到不可能为菱形． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴，； （2）解：根据题意得：，，，， 在梯形中，，， 当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当时，四边形是矩形； （3）解：在梯形中，， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 当时，四边形是平行四边形； （4）略 【变式题9-3】.（25-26八年级下·湖北咸宁·期末）【思考与探究】 (1)如图1，正方形中，P为对角线上一动点，连接，，证明：； 【理解与应用】 (2)如图2，正方形中，P为对角线上一动点，连接，过点P作交于点E，证明：； 【类比与拓展】 (3)如图3，菱形中，，P为对角线上一动点，点E在边上，有，连接． ①求的度数； ②若，，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ； (2)证明：连接， 由（1）可知：，， ， ， 在四边形中，， ， ， ， ， ， ； (3)①；② 【分析】（1）根据正方形的性质证明，进而得到； （2）连接，在四边形中，求出，进而求出，利用等腰三角形的性质得到，从而得出结论； （3）①连接，同（1）证明，在四边形中，求出，进而求出为等腰三角形，利用三角形内角和定理求解即可； ②过点A作于点H，作交的延长线于点Q，根据含角的直角三角形的性质得到、，利用勾股定理求出、长，在中，根据勾股定理列出方程，根据完全平方公式得到，利用平方根解方程，求出长，利用求解即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：①连接， 四边形是菱形， 、， 在和中， ， ， 、， 在四边形中，， ， ， ， ， 为等腰三角形， ； ②过点A作于点H，作交的延长线于点Q，如图 ， 由①知，， 在中，， ， ， ， ， ∴在中，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 即， 由完全平方公式可知， 即， ∴， 解得：或（舍去）， ， ， ． 【题型10】特殊平行四边形新定义探究 1.核心知识点:   几何新定义理解；矩形、菱形、正方形综合性质；全等证明、勾股定理综合推理。 2.解题方法技巧:   ① 拆解题干新定义，转化为熟悉的边、角、对角线几何条件。   ② 结合已学定理推理验证，分情况讨论，满足所有定义条件方可成立。 【例题10】.（25-26九年级下·上海·阶段检测）如图，在四边形中，如果，，这样特殊的四边形称为“筝形”． (1)类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的定义，请你给“筝形”下一个定义； (2)根据你给出的定义，在我们所学过的特殊四边形中，有没有“筝形”？如果有，说明四边形的形状；如果没有，请说明理由； (3)类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的性质的探究过程，探究“筝形”性质，给出三条“筝形”的性质，并证明； (4)类似于特殊的四边形判定探究过程，给出除定义之外的一种“筝形”的判定方法，并证明这一判定． 【答案】(1)解：筝形定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．即：四边形中，若，，则四边形为筝形． (2)解：特殊四边形中有筝形，菱形是特殊的筝形．理由如下：菱形的四条边都相等，因此必然满足 “两组邻边分别相等”，所以菱形属于筝形． (3)解：性质 1：筝形的一组对角相等； 证明：如图：连接， 在和中： ， ∴ ∴； 性质 2：筝形的对角线互相垂直，且其中一条对角线平分另一条对角线 证明：如图：连接相交于点O， 由， ∴． ∵， ∴， ∴，且平分． 性质 3：筝形是轴对称图形，对称轴为较长的对角线（所在直线） 证明：由性质 2 知，垂直平分，因此将四边形沿折叠，点B与点 D重合，两边完全重合，故筝形是轴对称图形，对称轴为对角线 所在直线． (4)解：判定方法：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形．证明如下： 设四边形中，对角线垂直平分，且交点为O． ∵ 垂直平分， ∴，， ∴四边形满足筝形的定义，故为筝形． 【分析】（1）根据题干归纳筝形的定义即可； （2）从特殊的四边形中寻找满足筝形定义的四边形，并证明即可； （3）从角、对角线、对称性三个方面归纳性质，并证明即可； （4）从（3）的性质中寻找筝形的判定方法，并证明即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：略． （4）解：略． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·河南商丘·期末）请运用已有经验，对“豫式四边形”进行研究． 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“豫式四边形”． (1)初步判断 下列初中阶段常见的四边形中，一定属于“豫式四边形”的是__________（填序号）． ①矩形    ②正方形    ③菱形    ④平行四边形 (2)性质探究 根据定义可得出“豫式四边形”的边、角的性质．下面继续进行相关探究．如图，“豫式四边形”中，．写出图中除条件外相等的线段，并说明理由； 【答案】(1)② (2)， 理由如下： ∵四边形为“豫式四边形”， ， ， ， ， ， ； 【分析】（1）根据“豫式四边形”的定义判断即可； （2）根据“豫式四边形”的定义可得，再根据“”证明，可得； 【详解】（1）解：①矩形对角互补，但邻边不一定相等，故矩形不一定属于“豫式四边形”； ②正方形对角互补，邻边相等，故正方形一定属于“豫式四边形”； ③菱形对角相等，不一定互补，邻边一定相等，故菱形不属于“豫式四边形”； ④平行四边形对角相等，不一定互补，邻边不一定相等，故平行四边形不属于“豫式四边形”； 即答案为②； （2）略 【变式题10-2】.（25-26八年级下·河北邢台·期末）综合与实践 【模型】在几何中，有一种图形与如图1所示的传统风筝的骨架相似，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图2、图3，在“筝形”中，，． (1)依据“筝形”定义，写出一种学过的、符合筝形定义的四边形： ； (2)如图2，在“筝形”中，连接，若，，，求的长度； (3)【操作】如图3，在“筝形”中，，连接． ①嘉嘉将“筝形”沿剪成两个三角形，然后将这两个三角形不重叠、无缝隙地拼成如图4所示的四边形，则该四边形一定是 ，最直接的判定依据是： ； ②淇淇要在图3的“筝形”中裁剪出菱形，请用尺规在图中帮他作出菱形．（不要求写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)菱形（或正方形） (2) (3)①平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；②如图： 【分析】（1）依据筝形定义求解即可； （2）根据证明得，求得，再由勾股定理可求出的长； （3）①根据平行四边形的判定方法可得结论； ②分别以为圆心，为半径画弧，交于点，连接，则四边形是菱形． 【详解】（1）解：符合筝形定义的四边形是菱形（或正方形） （2）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴在中，， ∴根据勾股定理可得； （3）解：①该四边形一定是平行四边形，最直接的判定依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ②略 【变式题10-3】.（25-26八年级下·山西晋城·期末）阅读与思考 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 某兴趣小组围绕该定义进行探究活动，请解决下列问题： (1)如图1，点，，，分别为任意四边形的边，，，的中点．该小组发现任意四边形的中点四边形都是平行四边形，证明思路如下： 请指出上述解题思路中的“依据1”和“依据2”分别是什么？ 依据1：_______________________________________________； 依据2：_______________________________________________； (2)该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是（    ）； A．平行四边形                B．矩形            C．菱形            D．正方形 (3)如图2，该小组深入探究发现，要使得四边形为“中方四边形”，则其对角线与应满足特殊的数量关系和位置关系．请写出与应满足的条件，并说明理由． 【答案】(1)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)D (3)，， 证明：四边形是“中方四边形”， 四边形是正方形． ，． ，，，， ，． 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，菱形的性质，矩形的性质等知识． （1）根据中位线的性质、平行四边形的判定定理作答即可； （2）根据“中方四边形”的定义逐项判断即可； （3）根据正方形中相邻的边相等且垂直的性质证明即可． 【详解】（1）解：依据1：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）举例说明： A项，如图， 即平行四边形的“中点四边形”不一定是正方形，故平行四边形不一定属于“中方四边形”； B项，如图， 即矩形的“中点四边形”不一定是正方形，故矩形不一定属于“中方四边形”； C项，如图， 即菱形的“中点四边形”不一定是正方形，故菱形不一定属于“中方四边形”； D项，如图， 正方形的“中点四边形”一定是正方形，故正方形一定属于“中方四边形”； 故选：D． （3）详解见答案 易错点 1. 判定前提混淆：直接将对角线相等的四边形判定为矩形、对角线垂直的四边形判定为菱形，忽略判定前提必须为平行四边形。 2. 图形性质混用：混淆矩形、菱形独有对角线性质；遗忘菱形对角线求面积公式；记错三类图形对称轴数量。 3. 定理误用：在非直角三角形中套用斜边中线定理，混淆直角边中线与斜边中线的概念。 4. 动态题型漏解：折叠落点、动点位置变化存在多种情况，解题时只计算单一情况，答案不完整。 5. 证明逻辑跳步：直接由普通四边形判定正方形，未先证明图形为矩形或菱形，推理链条不完整、不严谨。 重点 1. 核心定理应用：熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质与判定定理，精准区分三类图形的边角、对角线差异。 2. 重要推论运用：掌握直角三角形斜边中线定理，能结合矩形对角线性质完成边长、角度计算。 3. 面积与中点四边形：熟练运用菱形两种面积公式，掌握中点四边形与原四边形对角线的对应规律。 4. 方程思想解题：在折叠、坐标系题型中，结合勾股定理列方程，求解动态线段长度。 难点 1. 正方形综合证明：需同时满足矩形、菱形双重判定条件，推理链条长，辅助线构造难度较大。 2. 动态分类讨论：动点、旋转题型中，图形形态随位置变化，需全面分类，极易出现漏解。 3. 几何最值转化：特殊平行四边形与轴对称最值模型结合，需要转化线段，几何模型迁移难度高。 4. 创新情境建模：新定义、网格作图、传统文化题型，需要将陌生文字情境转化为标准几何模型，完成探究推理。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在中，再添加一个条件，不能判定是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐一分析各个选项，证明的对角线相等或有一个角为即可判断是矩形． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴得到的一组邻边相等，无法判定是矩形．故本选项符合题意． B、∵四边形是平行四边形， ∵，， ∵， ∴， ∴是矩形．故本选项不合题意． C、∵， ∴， ∴是矩形．故本选项不合题意． D、∵， ∴是矩形．故本选项不合题意． 2．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是菱形，以下测量方案正确的是（     ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两条对角线是否相等 C．测量两条对角线是否互相垂直 D．测量四条边是否相等 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理，四条边相等的四边形是菱形，据此判断即可． 【详解】解：∵四条边都相等的四边形是菱形， ∴现要判断这个四边形是否为菱形，可以测量四条边是否相等． 3．如图，在矩形中，对角线、相交于点，若要使矩形成为正方形，添加的条件不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各选项添加条件结合正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， A、当时，则矩形是正方形，不符合题意； B、当时，则， ， ， 矩形是正方形，不符合题意； C、当时，则矩形是正方形，不符合题意； D、当时， 则， 则，矩形不是正方形，符合题意． 二、填空题 4．如图，有两张矩形纸片和，，，使重叠部分为平行四边形，且点与点重合．当两张纸片交叉所成的角为时，重叠部分的面积等于_______________． 【答案】 【分析】根据矩形对边平行的性质判定重叠部分为平行四边形，由交叉角为及矩形直角性质判定为等腰直角三角形，利用勾股定理求出平行四边形的底边长，结合矩形宽求出面积． 【详解】解：如下图，设与交于点N， ∵四边形和四边形是矩形， ∴， ∴重叠部分为平行四边形，且该平行四边形在边上的高为， ∵两张纸片交叉所成的角， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴重叠部分的面积． 5．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为点E，且平分，则的长为________． 【答案】 【分析】证明，得出，根据矩形性质得出，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：（负值舍去）． 6．如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是______． 【答案】/ 【分析】根据正方形及折叠的性质得到，从而得出，再设，在中运用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵沿对折至， ∴，，， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴的长是． 【点睛】正方形折叠题型，常用思路：折叠得全等，再利用证直角三角形全等，最后勾股定理列方程． 三、解答题 7．如图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图．（只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．） (1)在图1中，作以为边的，使； (2)在图2中，画出（1）的中线． (3)直接写出（2）的长． 【答案】(1)如图1所示，为所求作： (2)如图2所示，为所求作： (3) 【分析】（1）取格点E，连接、，利用勾股定理求得三边长，结合勾股定理逆定理可证明为等腰直角三角形； （2）如图2，取格点、，连接，交于点，连接即为所求，根据网格可得四边形为矩形，根据矩形的对角线互相平分，即可得到为的中点； （3）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】（1）解：如图1所示，，， ∴， ∴为等腰直角三角形，且， ∴； （2）略 （3）解：由（1）（2）可知，是直角斜边上的中线，， ∴． 8．如图，菱形的对角线、相交于点O． (1)尺规作图：过点D作，且，并使得点E在点D的左侧，连接，；（不用说明作图过程，保留尺规作图痕迹） (2)在（1）的作图要求下， ①求证：四边形为矩形； ②若菱形的边长为8，，求的长． 【答案】(1)解：如图所示即为所作， (2)①证明：由作法知：， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； ② 【分析】（1）分别以D、C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点E，则,,则四边形四边形是平行四边形，所以，根据菱形的性质可知,则； （2）①由菱形的性质及作图即可证明；②由题意得是等边三角形，则，从而得的长，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略； （2）①略； ②解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：． 9．四边形是正方形，点E是射线上一点，，且交正方形外角的平分线于F． (1)如图（1）若点E是边的中点，求证：； (2)如图（2）若点E在的延长线上，且，的面积等于2，则线段_________． 【答案】(1)证明：取的中点，连接， ， 点E是边的中点， ， 四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∵与正方形外角的平分线交于点． ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】（1）在上取一点，使，连接，证明即可． （2）过点F作于点H，在上截取，连接，证明，利用勾股定理，三角形的面积解答即可． 【详解】（1）略． （2）解：如图，过点F作于点H，在上截取，连接， ∵与正方形外角的平分线交于点． ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵与正方形外角的平分线交于点． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 四边形是正方形， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， 根据勾股定理，得，， ， ， ， ， ， 的面积等于2， ， ， ， ，， ， ． 10．如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在上，且，则成立吗？为什么？ (3)运用（1）中积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在梯形中，，，，，是上一点，且，，则______ 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； (2) 解：成立，理由： 由（1）得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即； 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴； (3)5 【分析】（1）由正方形的性质可得四边相等，四个角都为直角，且，易证，再由全等三角形对应边相等即可求证； （2）由（1）可得与，再推导得出，由可得，所以，进而得出结论； （3）作垂线构造正方形，套用 (2) 结论，设未知数，由勾股定理列出方程，再求解即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3） 过点作，交延长线于点，取，连接． ∵，，， ∴四边形是矩形，又， ∴四边形是正方形，； 由（1）（2）模型结论：， ∵， ∴， 设，则， 即， 在中，有勾股定理， 即， ∴解得， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 特殊平行四边形 知识点1：矩形的性质与判定   1.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，属于特殊的平行四边形，具备平行四边形的全部性质。   2. 矩形核心性质 类别 内容 图例 边角特征 对边平行且相等，四个内角均为 对角线特征 对角线互相平分且相等，对角线可分割出四个等腰三角形 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形，共有2条对称轴   3. 矩形判定定理   ① 有一个角是直角的平行四边形是矩形；   ② 有三个角是直角的四边形是矩形；   ③ 对角线相等的平行四边形是矩形。   4. 重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，该中线可将直角三角形分割为两个等腰三角形。 知识点2：菱形的性质与判定   1. 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，属于特殊的平行四边形，具备平行四边形的全部性质。   2. 菱形核心性质 类别 内容 图例 边角特征 四条边长度全部相等，对边平行，对角大小相等 对角线特征 对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组内角；对角线分割出四个全等的直角三角形 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形，共有2条对称轴   3. 菱形判定定理   ① 一组邻边相等的平行四边形是菱形；   ② 四条边都相等的四边形是菱形；   ③ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。   4. 菱形面积公式：。 知识点3：正方形的性质与判定   1. 正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。正方形是特殊的矩形、特殊的菱形，兼具矩形、菱形的全部性质。   2. 正方形核心性质 类别 内容 图例 边角特征 四条边相等，四个内角均为 对角线特征 对角线互相垂直、平分且相等，对角线平分一组内角，对角线与边的夹角为 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形，共有4条对称轴   3. 正方形判定定理   ① 有一组邻边相等的矩形是正方形；   ② 有一个角是直角的菱形是正方形；   ③ 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。   4. 正方形面积公式：。 知识点4：中点四边形   1. 中点四边形定义：顺次连接任意四边形四条边的中点，所得到的新四边形叫做中点四边形，任意四边形的中点四边形都是平行四边形。   2. 中点四边形变化规律 原四边形对角线特征 中点四边形形状 对角线相等 菱形 对角线互相垂直 矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 知识点5：特殊四边形从属关系   1. 从属关系：四边形包含平行四边形，平行四边形包含矩形、菱形，正方形是矩形和菱形的特殊形式。   2. 判定思路：判定特殊平行四边形，优先证明四边形为平行四边形，再结合边、角、对角线的特殊条件，升级判定为矩形、菱形或正方形。 【基础必考题型】 【题型1】特殊平行四边形性质辨析 1.核心知识点:   矩形、菱形、正方形的边角、对角线、对称性性质；普通平行四边形与特殊平行四边形的性质差异与区分。 2.解题方法技巧:   ① 牢记图形独有性质：矩形对角线相等、菱形对角线互相垂直、正方形兼具两类图形所有特性。   ② 解题时严格区分“四边形”和“平行四边形”前提条件，可通过举反例快速排除错误选项。 【例题1】.（25-26八年级下·广东阳江·期末）下列关于菱形性质的说法，正确的是（    ） A．对角线相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．不是轴对称图形 【变式题1-1】.（25-26八年级下·湖北武汉·期末）已知矩形，对角线、交于点，则下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·新疆塔城·期末）如图，在平行四边形中，下列说法错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式题1-3】.（25-26八年级下·宁夏吴忠·期末）下列说法中，错误的是（     ） A．正方形的对角线互相平分 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线互相垂直 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【题型2】特殊平行四边形判定条件选择 1.核心知识点:   矩形、菱形、正方形的判定定理；判定过程中“普通四边形”与“平行四边形”的前提区别。 2.解题方法技巧:   ① 已知图形为平行四边形，仅需补充单一特殊条件即可判定特殊图形；普通四边形需满足完整判定条件。   ② 规避易错陷阱：对角线相等的普通四边形不是矩形，对角线垂直的普通四边形不是菱形。 【例题2】.（2026·安徽合肥·二模）如图，在四边形中，，，对角线与相交于点．若再补充一个条件，可判定该四边形为一种特殊的平行四边形，则以下说法正确的是（     ） A．若补充“”，则四边形是矩形 B．若补充“”，则四边形是菱形 C．若补充“”，则四边形是矩形 D．若补充“”，则四边形是正方形 【变式题2-1】.（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在四边形中，对角线，交于点，，，请你补充一个条件： ，求证：四边形是菱形． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，四边形中，，，则补充下列条件不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择______(限填序号)． 【题型3】利用性质求线段与角度 1.核心知识点:   矩形、菱形、正方形边角及对角线性质；等腰三角形、直角三角形基础角度与边长计算。 2.解题方法技巧:   ① 利用菱形对角线垂直、矩形对角线平分相等的特征，拆分直角三角形、等腰三角形，结合勾股定理计算。   ② 借助正方形对角线形成的特殊角，快速完成角度推导运算。 【例题3】.（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·开学考试）如图，在矩形中，，，平分交于点，连接，取的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，已知菱形的一个内角，对角线、相交于点，点在上，且，则的度数为_____________． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·陕西宝鸡·开学考试）如图，在锐角三角形中，、分别是边，上的高，、分别是线段，的中点． (1)求证：； (2)连接，，若°，求的度数． 【题型4】特殊平行四边形面积计算 1.核心知识点:   矩形、正方形常规面积公式；菱形双对角线求面积公式；正方形对角线求面积推导公式。 2.解题方法技巧:   ① 菱形优先选用对角线乘积一半公式计算，无对角线条件时，使用底乘高常规公式。   ② 已知正方形对角线长度，直接套用对角线平方的一半公式快速求解面积。 【例题4】.（25-26八年级下·江苏南通·期中）在菱形中，，则菱形的面积是（     ）． A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·湖北武汉·期末）已知菱形的周长是，，则该菱形的面积是__________． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·北京门头沟·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点，如果，，那么这个矩形的面积是__________． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·贵州贵阳·期末）特殊化是解决数学问题时常用的一种策略．有一个正方形和，，，其中正方形的中心为点，．现将绕着点进行旋转，请探究两个图形重叠部分的面积． (1)特殊情形，如图①，当点，分别在边，上时，求重叠部分的的面积； (2)一般情形，如图②，当边，分别交边，于点，时，求重叠部分的四边形的面积． 【题型5】直角三角形斜边中线应用 1.核心知识点:   直角三角形斜边中线定理；矩形对角线性质衍生推论；线段等量转化。 2.解题方法技巧:   ① 定理仅适用于直角三角形，需先判定图形类型，再使用斜边中线等于斜边一半的结论。   ② 多直角图形中，主动寻找斜边中点，构造等长线段，完成角度、边长的等量转化。 【例题5】.（25-26八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在中，，D是边的中点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在中，，点，分别在边，上，且，连接． (1)求证：． (2)若，分别是边，的中点，，求四边形的周长． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在中，，，点D是的中点，点E、F分别在上，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·内蒙古兴安·期末）如图所示，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作，过点C作． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知菱形中，，求矩形的面积 (3)连接，交于点F，连接，若，，的长为 ． 【培优高频题型】 【题型6】中点四边形形状判断 1.核心知识点:   三角形中位线定理；中点四边形形状与原四边形对角线的对应规律。 2.解题方法技巧:   无需关注原四边形形状，仅根据原四边形对角线“相等、垂直”特征，即可直接判定中点四边形形状。 【例题6】.（26-27八年级下·全国·课后作业）已知一矩形对角线的长为，求顺次连接该矩形四边中点所得的四边形的周长． 【变式题6-1】.（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，E，F，G，H分别为，，，的中点．请猜想四边形的形状，并证明自己的猜想． 【变式题6-2】.（26-27八年级下·全国·课后作业）顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫作四边形的中点四边形，在第64页“例6”中已经证明了四边形的中点四边形是平行四边形． (1)平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？ (2)矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？ 【变式题6-3】.（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】： (2)如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【拓展应用】： 如图2，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． (3)试探索与的数量关系，并说明理由． (4)若，求的最小值． 【题型7】特殊平行四边形证明 1.核心知识点:   特殊平行四边形判定定理；平行四边形基础证明；全等三角形判定与性质。 2.解题方法技巧:   ① 常规证明思路：先证平行四边形，再补充边角、对角线条件，升级为矩形或菱形；正方形需同时满足矩形和菱形条件。   ② 推理过程严谨规范，每一步结论对应对应定理，禁止跳步、缺条件证明。 【例题7】.（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）如图，在中，平分，点E是线段的中点，过点A作 交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由． (3)要使四边形是正方形，需要给添加什么条件？直接写出你的答案． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·安徽池州·开学考试）如图1，在正方形中，点在边上，于，于． (1)求证：； (2)如图2，若为的中点，判断的形状，并证明． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在等腰中，，为边上的中点，将延长至点，使得，过点作于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）在中，，，点是外一点，于，交边于，于，交边于，连接，．    (1)如图，若，求证：四边形为正方形； (2)如图，若，，（），则的面积为________（用含，，的式子表示）． 【压轴素养题型】 【题型8】特殊平行四边形折叠计算 1.核心知识点:   折叠全等性质；特殊平行四边形边角性质；勾股定理方程思想。 2.解题方法技巧:   ① 标记折叠产生的等角、等线段，设未知线段为，用代数式表示相关线段长度。   ② 在折叠形成的直角三角形中列勾股方程求解，根据落点位置分类讨论，避免漏解。 【例题8】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，一块矩形纸片，长，宽，将这块矩形纸片沿对角线对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到，则___________． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·湖北襄阳·开学考试）探究以下问题： (1)【问题情境】正方形是生活中常见的几何图形，如图1，在正方形中，分别在边、上，且，垂足为，判断：______（填“”或“”） (2)【问题探究】如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为，请你写出线段与线段的数量关系，并证明你的结论； (3)【问题拓展】如图3，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则线段的长为______． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·山东泰安·期末）手工实践课上，老师带领同学们开展趣味折纸活动，每位同学都领到三张平整的长方形卡纸，其中，．大家跟随老师的步骤动手折叠、探究图形变化中的数学问题： (1)动手操作一： 将一张长方形卡纸进行折叠，使顶点与顶点重合，压出平整折痕，然后展平得到图1，请写出四边形是什么特殊四边形：___________________； (2)动手操作二： 为进一步探究折叠规律，大家在第二张卡纸上先找出线段的中点，再沿着线段向内折叠，使顶点落在长方形内部的点处，连接，如图2， ①试判断线段与折痕的位置关系，并说明理由， ②求线段的长； (3)动手操作三： 大家在第三张卡纸上先找出线段的中点，沿线段折叠卡纸，让顶点落在点处，连接并延长，交边于点．展平后再次折叠纸片得到，如图3，请直接写出的长． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·广东惠州·开学考试）【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_________，_________； (2)如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，过点D作交于点G，求证：四边形是菱形； 迁移应用： (3)如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，连接，若，，求的长． 【题型9】特殊平行四边形动点求值 1.核心知识点:   特殊平行四边形性质；动点线段动态表达；方程思想、分类讨论思想。 2.解题方法技巧:   ① 用运动参数表示动态线段长度，结合几何等量关系列方程。   ② 根据动点不同运动位置分段讨论，舍去不符合题意的无效解。 【例题9】.（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在四边形 中，， ，，，．动点 从点 出发，以的速度向终点 运动，同时动点 从点 出发，以的速度沿折线向终点 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)填空：①__________；（用含 的代数式表示） ②__________； (2)直线 把四边形 分成两部分，当 为何值时，其中的一部分是平行四边形？ 【变式题9-1】.（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为 ． (1)当__________时，四边形是矩形． (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·河北承德·期末）如图，在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边以的速度向点运动，动点从点开始沿边以的速度向点运动，，分别从，同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)____________，____________；（用含的式子表示） (2)当____________时，四边形是矩形？ (3)当____________时，四边形是平行四边形？ (4)四边形是否能成为菱形？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·湖北咸宁·期末）【思考与探究】 (1)如图1，正方形中，P为对角线上一动点，连接，，证明：； 【理解与应用】 (2)如图2，正方形中，P为对角线上一动点，连接，过点P作交于点E，证明：； 【类比与拓展】 (3)如图3，菱形中，，P为对角线上一动点，点E在边上，有，连接． ①求的度数； ②若，，请直接写出四边形的面积． 【题型10】特殊平行四边形新定义探究 1.核心知识点:   几何新定义理解；矩形、菱形、正方形综合性质；全等证明、勾股定理综合推理。 2.解题方法技巧:   ① 拆解题干新定义，转化为熟悉的边、角、对角线几何条件。   ② 结合已学定理推理验证，分情况讨论，满足所有定义条件方可成立。 【例题10】.（25-26九年级下·上海·阶段检测）如图，在四边形中，如果，，这样特殊的四边形称为“筝形”． (1)类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的定义，请你给“筝形”下一个定义； (2)根据你给出的定义，在我们所学过的特殊四边形中，有没有“筝形”？如果有，说明四边形的形状；如果没有，请说明理由； (3)类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的性质的探究过程，探究“筝形”性质，给出三条“筝形”的性质，并证明； (4)类似于特殊的四边形判定探究过程，给出除定义之外的一种“筝形”的判定方法，并证明这一判定． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·河南商丘·期末）请运用已有经验，对“豫式四边形”进行研究． 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“豫式四边形”． (1)初步判断 下列初中阶段常见的四边形中，一定属于“豫式四边形”的是__________（填序号）． ①矩形    ②正方形    ③菱形    ④平行四边形 (2)性质探究 根据定义可得出“豫式四边形”的边、角的性质．下面继续进行相关探究．如图，“豫式四边形”中，．写出图中除条件外相等的线段，并说明理由； 【变式题10-2】.（25-26八年级下·河北邢台·期末）综合与实践 【模型】在几何中，有一种图形与如图1所示的传统风筝的骨架相似，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图2、图3，在“筝形”中，，． (1)依据“筝形”定义，写出一种学过的、符合筝形定义的四边形： ； (2)如图2，在“筝形”中，连接，若，，，求的长度； (3)【操作】如图3，在“筝形”中，，连接． ①嘉嘉将“筝形”沿剪成两个三角形，然后将这两个三角形不重叠、无缝隙地拼成如图4所示的四边形，则该四边形一定是 ，最直接的判定依据是： ； ②淇淇要在图3的“筝形”中裁剪出菱形，请用尺规在图中帮他作出菱形．（不要求写作法，保留作图痕迹） 【变式题10-3】.（25-26八年级下·山西晋城·期末）阅读与思考 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 某兴趣小组围绕该定义进行探究活动，请解决下列问题： (1)如图1，点，，，分别为任意四边形的边，，，的中点．该小组发现任意四边形的中点四边形都是平行四边形，证明思路如下： 请指出上述解题思路中的“依据1”和“依据2”分别是什么？ 依据1：_______________________________________________； 依据2：_______________________________________________； (2)该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是（    ）； A．平行四边形                B．矩形            C．菱形            D．正方形 (3)如图2，该小组深入探究发现，要使得四边形为“中方四边形”，则其对角线与应满足特殊的数量关系和位置关系．请写出与应满足的条件，并说明理由． 易错点 1. 判定前提混淆：直接将对角线相等的四边形判定为矩形、对角线垂直的四边形判定为菱形，忽略判定前提必须为平行四边形。 2. 图形性质混用：混淆矩形、菱形独有对角线性质；遗忘菱形对角线求面积公式；记错三类图形对称轴数量。 3. 定理误用：在非直角三角形中套用斜边中线定理，混淆直角边中线与斜边中线的概念。 4. 动态题型漏解：折叠落点、动点位置变化存在多种情况，解题时只计算单一情况，答案不完整。 5. 证明逻辑跳步：直接由普通四边形判定正方形，未先证明图形为矩形或菱形，推理链条不完整、不严谨。 重点 1. 核心定理应用：熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质与判定定理，精准区分三类图形的边角、对角线差异。 2. 重要推论运用：掌握直角三角形斜边中线定理，能结合矩形对角线性质完成边长、角度计算。 3. 面积与中点四边形：熟练运用菱形两种面积公式，掌握中点四边形与原四边形对角线的对应规律。 4. 方程思想解题：在折叠、坐标系题型中，结合勾股定理列方程，求解动态线段长度。 难点 1. 正方形综合证明：需同时满足矩形、菱形双重判定条件，推理链条长，辅助线构造难度较大。 2. 动态分类讨论：动点、旋转题型中，图形形态随位置变化，需全面分类，极易出现漏解。 3. 几何最值转化：特殊平行四边形与轴对称最值模型结合，需要转化线段，几何模型迁移难度高。 4. 创新情境建模：新定义、网格作图、传统文化题型，需要将陌生文字情境转化为标准几何模型，完成探究推理。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在中，再添加一个条件，不能判定是矩形的是（     ） A． B． C． D． 2．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是菱形，以下测量方案正确的是（     ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两条对角线是否相等 C．测量两条对角线是否互相垂直 D．测量四条边是否相等 3．如图，在矩形中，对角线、相交于点，若要使矩形成为正方形，添加的条件不正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，有两张矩形纸片和，，，使重叠部分为平行四边形，且点与点重合．当两张纸片交叉所成的角为时，重叠部分的面积等于_______________． 5．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为点E，且平分，则的长为________． 6．如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是______． 三、解答题 7．如图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图．（只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．） (1)在图1中，作以为边的，使； (2)在图2中，画出（1）的中线． (3)直接写出（2）的长． 8．如图，菱形的对角线、相交于点O． (1)尺规作图：过点D作，且，并使得点E在点D的左侧，连接，；（不用说明作图过程，保留尺规作图痕迹） (2)在（1）的作图要求下， ①求证：四边形为矩形； ②若菱形的边长为8，，求的长． 9．四边形是正方形，点E是射线上一点，，且交正方形外角的平分线于F． (1)如图（1）若点E是边的中点，求证：； (2)如图（2）若点E在的延长线上，且，的面积等于2，则线段_________． 10．如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在上，且，则成立吗？为什么？ (3)运用（1）中积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在梯形中，，，，，是上一点，且，，则______ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $