专题05 一元二次方程的应用及根与系数的关系 期中复习讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题05一元二次方程的应用及根与系数的关系期中复习讲义 1.理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟记ax2+bx+c=0(a≠0)两根之和、两根之积的关系式；会运用韦达定理求两根代数式的值，已知两根构造一元二次方程；结合判别式检验参数取值，牢记使用前提(a≠0)、0。 2.掌握列一元二次方程解应用题的完整步骤：审、设、列、解、验、答；熟悉常考应用模型：传播、增长率、图形面积、数字、营销利润、握手循环赛问题。 3.能够从实际问题中提取等量关系，合理设未知数建立方程；求解后检验方程的根是否符合实际背景，舍去不符合题意的解。 4.会结合代数式变形、整体代入思想，利用韦达定理求值；能综合判别式、韦达定理求解参数；会针对动态几何、工程、行程、图表信息类问题建立一元二次方程模型解题。 5.厘清易错点：运用韦达定理，先要满足(a≠0)且0；应用题结果必须检验，舍去负数、不符合情景的解；动态几何题型要做好分类讨论，防止漏解。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的根与系数的关系 ★★ 题型二 传播问题 ★★ 题型三 增长率问题 ★★ 题型四 与图形有关的问题 ★★★ 题型五 数字问题 ★★ 题型六 营销问题 ★★★ 题型七 动态几何问题 ★★★★ 题型八 工程问题 ★★★ 题型九 行程问题 ★★★ 题型十 图表信息题 ★★★ 题型十一 握手、循环赛问题 ★★ 题型十二 其他问题 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:韦达定理基础内容 1. 核心公式（韦达定理） 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）， 前提条件：方程有实数根，即 Δ= b2-4ac 0 设方程两根为 x1​,x2​： 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 2.特殊形式简化 （1）方程 x2+px+q=0（二次项系数为 1） x1+x2=-p,x1x2=q （2）缺常数项 ax2+bx=0：一根为 0，另一根为 - （3）缺一次项 ax2+c=0：两根互为相反数，x1+x2=0 3. 高频变形应用 已知方程，求 x12+x22​、等代数式的值 已知两根，反求一元二次方程：x2−(x1+x2)x+x1x2=0 已知一根，求另一根及方程中的参数 知识点02:两根代数式恒等变形（不解方程求值专用） 待求代数式 变形公式 知识点03:韦达定理四大基础题型解题思路 1.已知完整一元二次方程，求两根和、积及变形代数式 步骤：整理为一般式→确定a、b、c→计算Δ判断有实根→代入韦达公式→整体代换变形求值。 2.已知方程其中一根，求另一根与参数 利用 x1+x2=- 快速算出另一根，再将已知根代入方程求解参数，无需完整解方程。 3.已知两个数值，构造以其为根的一元二次方程 基础方程：x2-(x1+x2)x+x1x2=0，可同乘非零整数化为整数系数方程。 4.含参数一元二次方程，结合判别式求参数取值范围 限制条件分层： ① a≠0，保证方程是一元二次方程； ② Δ≥0，保证存在实数根； ③ 附加约束条件：两根正负、两根互为相反数 / 倒数等，结合韦达列不等式组。 知识点04:特殊根的对应条件 1.两根互为相反数：x1+x2=0，即 b=0，同时满足 Δ≥0； 2.两根互为倒数：x1x2=1，即 c=a，同时满足 Δ≥0； 4.两根一正一负：x1x2<0，此条件下Δ >0恒成立，无需额外计算判别式。 知识点05:列一元二次方程解应用题标准六步解题规范 审：读懂题意，找出已知量与未知量. 设：设未知数（直接设 / 间接设） 列：根据等量关系列一元二次方程 解：解方程，求出未知数的值 验：检验根是否符合数学意义和实际意义（如长度、人数不能为负） 注意事项 (1) 要注意各类应用题中常用的等量关系，还要注意挖掘题目中隐含的等量关系。 (2) 注意语言与代数式的互化，题目中有些条件是通过语言给出的，只有把它转化成代数式才能为列方程服务，还要注意从语言叙述中找出等量关系。 (3) 注意单位问题：一是在设未知数时必须写清单位，用对单位；二是在列方程时，要注意方程两边的单位必须一致。 知识点06:常见应用题模型及核心公式 题型类别 核心公式 / 等量关系 典型特征 增长率 / 下降率问题 增长：a(1+x)n=b；下降：a(1−x)n=b（a初始量，x变化率，n变化次数，b最终量） 产量、利润、销售额等持续增减，已知初始与最终状态 传播问题 m(1+x)n=N（m初始传播源，x每轮传播数，n轮次，N总数量） 病毒、消息、分支生长等多轮扩散，总量逐步累积 利润（销售）问题 总利润 = （售价 - 成本）× 销售量； 销售额 = 售价 × 销售量 售价与销量反向联动，求特定利润或最优销售方案 几何（形积）问题 利用矩形、三角形等规则图形面积公式；不规则图形可通过分割 / 组合转化 场地修路、动点形成图形、图形面积计算，含边长限制 数字问题 多位数表示：三位数=100×百位数字+10×十位数字 +个位数字；连续整数/偶数/奇数：相邻两数差 已知数字间关系，求具体数字 握手 / 赠礼问题 握手总数：；互赠礼物总数：n(n−1)（n为人数） 无重复计数场景，数量与个体数成二次关系 利息问题 利息=本金×利率×期数； 本息和=本金×(1 + 利率 × 期数)（无利息税） 银行存款、理财收益计算，涉及本金、利率、期数 知识点07:综合关联：判别式与韦达定理结合 条件组合 考察题型 解题要点 Δ>0+x1+x2、x1x2 两根符号判断 x1x2>0两根同号；x1x2<0两根异号 Δ0+ 含参数代数式 参数取值范围 先算参数，再检验判别式 一根为 0 x1x2=0 常数项c=0，同时保证a≠0 两根互为相反数 x1+x2=0且Δ 一次项系数b=0，判别式非负 知识点08.:全板块高频易错点 （一）韦达定理易错 1.忽略使用前提：不检验a≠0、Δ0，直接套用公式求参数； 2.两根和符号记错：x1+x2=，容易漏掉负号； 3.代数式变形出错：平方和、差的平方展开时常漏乘 2； 4.构造方程时符号颠倒，混淆一次项符号。 （二）应用题易错 1.解方程后不检验，保留负数、超出实际范围的根； 2.增长率问题次数n对应错误，两年增长误用1+2x； 3.面积动点题线段代数式列错，道路面积重复减、漏减； 4.利润问题销量增减关系写反，涨价写成销量增加。 题型一：一元二次方程的根与系数的关系 1．若一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A．5 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【分析】利用根与系数的关系，将所求代数式变形后代入求值. 【详解】解：∵ 一元二次方程的两根为，， ∴ ，， ∵ ， ∴ 原式. 2．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】3 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到和的值，判断，的符号后化简所求式子，代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵，， ∴，， ， ∵，， ∴，， 代入得原式． 3．已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) 的取值范围为 (2) 的值为 【分析】（1）利用根的判别式进行计算； （2）利用根与系数的关系得到，求解一元二次方程，同时需要满足（1）所求的k的取值范围． 【详解】（1）解：在一元二次方程中， ，，， 方程有两个实数根，， ， 整理得：， 解得：， （2）一元二次方程有两个实数根，， ，， ， 即， ， 整理得：， 即， ，， ， ． 题型二：传播问题 4．冬季期间，甲型流感在某班悄然传播，某班最初有2人患上甲流，经过2轮传染后，有32人已确诊甲流，求每轮传染中平均每人传染的人数． 【答案】3人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人．依题意，得 ， 解得（舍去）． 答：每轮传染中平均每人传染3人． 5．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：开始有人患有流感，经过两轮传染后，有人患流感，则每轮传染中平均一个人传染几个人？ 【答案】 每轮传染中平均一个人传染个人. 【分析】设每轮传染中平均一个人传染个人，则第一轮传染后有人患流感，第二轮传染后有人患流感，根据经过两轮传染后，有人患流感，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 则第一轮传染后有人患流感，第二轮传染后有人患流感， 根据题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染个人． 6．某种肺炎病毒在A国爆发，经世卫组织研究发现：病毒有极强的传染性，一个病毒携带者与10个人有密切接触，其中的6人会感染病毒，成为新的病毒携带者．在调查某工厂的疫情时，发现最初只有1位出差回来的病毒携带者，在召开工厂车间组长会议时发生了第一轮传染，开完会后所有人都回到各自车间工作又发生了第二轮传染，这时全厂一共有169人检测出携带病毒．假如每个病毒携带者每次的密切接触者人数都相同，求每个病毒携带者每次的密切接触了多少人？ 【答案】20人 【分析】设每个病毒携带者每次感染的新的病毒携带者为x人，根据题意列方程即可． 【详解】解：设每个病毒携带者每次感染的新的病毒携带者为x人． 根据题意得：1＋x＋x（1＋x）＝169， 解得：x1＝12，x2＝－14（不合实际，舍去） 12÷＝20（人） 答：每个病毒携带者每次的密切接触了20人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确理解题意，列出一元二次方程． 题型三：增长率问题 7．随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究，某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为2吨，经过两年采用新技术种植后，每亩产量比两年前多0.5吨，求每亩产量的年平均增长率．（结果精确到） 【答案】 【详解】解：设每亩产量的年平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：每亩产量的年平均增长率约为． 8．据统计某品牌公仔在某电商平台8月份的销量是6万件，10月份的销量是7.26万件． (1)若该平台8月份到10月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)经市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为80元，每天能销售20件，售价每降低1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)应降低20元 【分析】（1）设月平均增长率是x，依题意列出一元二次方程，从而得到月平均增长率； （2）设售价应降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据总利润每件利润销售量，列出方程，结合“要尽量减少库存”，即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率是，根据题意得， ， 化简得， 解得，（不合题意，舍去）； 答：月平均增长率是． （2）设售价应降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 根据题意，得，， 解得，，， 要尽量减少库存， ， 答：若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低20元． 9．“人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中，某景点接待游客逐渐增多，6月份第一周接待游客200人，第三周接待游客288人，若该景点接待游客数量的周平均增长率相同． (1)求该景点在6月份的第二周接待游客多少人？ (2)该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的1.8倍，平均每位游客购买1件旅游纪念品．该景点只销售A，B两种旅游纪念品，A种纪念品每件利润5元，B种纪念品每件利润8元，且售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，获得的总利润为W元，求W与a的函数关系式，并求出获得的最大利润． 【答案】(1)该景点在6月份的第二周接待游客为240人； (2)W与a的函数关系式为W=-3a+3456，最大利润为3132元． 【分析】（1）设该景点接待游客数量的周平均增长率为x，然后根据题意列出一元二次方程，解方程即可； （2）根据总利润=A，B两种纪念品利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）设该景点接待游客数量的周平均增长率为x，根据题意， 得200（1+x）2=288， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去）， ∴该景点接待游客数量的周平均增长率为20%， ∴200（1+20%）=240（人）， ∴该景点在6月份的第二周接待游客为240人； （2）∵该景点第四周接待游客数量第二周接待游客数量的1.8倍， ∴该景点第四周接待游客为240×1.8=432（人）， 设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，则该景点售出B种旅游纪念品（432-a）件， 根据题意得：W=5a+8（432-a）=-3a+3456， ∵售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍， ∴432-a≤3a， 解得：a≥108， ∵-3＜0， ∴W随a的增大而减小， ∴当a=108时，W最大，最大值为3132， ∴W与a的函数关系式为W=-3a+3456，最大利润为3132元． 【点睛】本题主要考查一次函数和一元二次方程的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式和一元二次方程． 题型四：与图形有关的问题 10．某公园有一块长是宽的两倍的长方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原长方形的空地长的一边减少了2m，短的一边减少了1m，剩余空地的面积为，求原长方形空地的周长． 【答案】原长方形的周长为24米 【分析】设原来长方形的宽为米，则长为米，由题意可得，求出x，再计算周长即可． 【详解】解：设原来长方形的宽为米，则长为米． 由题意可得：． 解之得：，（不符合题意，舍去）． ∴原长方形的宽为4米，长为8米． ∴原长方形的周长（米）． 答：原长方形的周长为24米． 11．某校为让学生体验农耕劳动，准备建一个矩形蔬果种植试验田．如图，该试验田一边靠长的墙，另三边用围栏围成，围栏总长，围成的矩形试验田四周不能有空隙． (1)若要使围成的矩形试验田的面积为，求该矩形试验田的长和宽． (2)若在边留的小门，能围成一个面积为的矩形试验田吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由． 【答案】(1)长为，宽为 (2)解：能围成一个面积为的矩形试验田．理由如下： 假设可以围成，设，则． 根据题意，得， 整理得， 解得，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去； ∴能围成一个面积为的矩形试验田，垂直于墙的一边长为，平行于墙的一边长为． 【分析】（1）设，则，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设，则，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设，则． 根据题意，得， 整理得， 解得，． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 因此该矩形试验田的长为，宽为． （2）略． 12．如图1，在矩形中，点是边上的一点，连接，且． (1)求证：平分； (2)如图2，过点作，且，连接、，交于点．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，以、为邻边作矩形，连接，且平分，若，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． (2)证明：在上截取，连接，如图 ∵四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴，即． (3)线段的长为 【分析】（1）先根据矩形的性质，得到，，继而推导出，则平分，即可解答； （2）在上截取，连接，推导出，可得到，继而推导出，得到，即可解答； （3）设，得到，，，推导出是等腰直角三角形，得到， 在中，根据勾股定理，得到，求出，得到，在中，根据勾股定理，得到，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设， 由（2）得， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵四边形是以为邻边的矩形， ∴，． ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形，且． ∵，，且， ∴． 在中，，由勾股定有， 即， 展开：， 整理：， ， 解得， ∵， ∴． ∴． 在中，． 答：线段的长为． 题型五：数字问题 13．2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】5 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为． 根据题意，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最小数的差值是解题的关键． 14．如图是2026年10月的月历，10月1日是国庆节．1949年10月1日，中华人民共和国正式成立，每年十月，我们都会欢度国庆．在如图所示的月历中，用方框框住任意6个数，若其中最小数与最大数的乘积为100，求这个最小数． 【答案】5 【详解】解：设最小数为x，则最大数为． 根据题意，得． 解得，． 由题意可知， 所以不合题意，舍去． 所以． 答：这个最小数为5． 15．下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细简读并完成相应的任务． 求（为正整数）方法欣赏 在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求 （为正整数）的值”这个问题的两种解法，供大家欣赏． 方法1：“头尾相加法” 把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2． 可得．即 方法2：“递归法”（设）． 由完全平方公式可得， ． 我们列出特殊情况：． 两边分别相加可得．． ． 任务： (1)若，则______． (2)的和能是50吗？如果能，请求出值，如果不能，请说明理由． (3)数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》中记载着一道受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了．如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？” (4)我们知道：则______． 【答案】(1) (2)不能．理由如下： 由，得 ， 解得，都不是整数，不符合题意，都舍去； 不存在正整数使和为50． (3)这群人共有11人 (4) 【分析】（1）根据材料所给方法列出方程求解即可； （2）根据材料所给方法列出方程，再结合连续两个整数之积必为偶数可得出附近无整数解即可求解． （3）设这群人共有人．由题意，摘的石榴总数为，根据题意可得出 ，即．解出n即可． （4）由叠加可得． 【详解】（1）解：由， 得， 解得（不符合题意，舍去）； （2）略 （3）解：设这群人共有人．由题意，摘的石榴总数为， 平均每人6个，则，即． ， ， 解得． 答：这群人共有11人． （4）解：∵ ∴ ． 题型六：营销问题 16．根据以下素材，探索完成任务． 背景 凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序作成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色． 素材 某种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件． 问题解决 任务1 （1）该泥塑月销售量为___________件；（用含的代数式表示） 任务2 （2）该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 【答案】（1）；（2）该泥塑的售价上涨10元/件 【分析】题目主要考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列出方程求解，然后根据题意得出结果即可． 【详解】解：（1）∵月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件， ∴该泥塑月销售量为件， 故答案为：． （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该泥塑的售价上涨10元/件． 17．太湖水域辽阔，水质清澈，水草丰茂，底栖生物丰富，在无锡、苏州等太湖沿岸城市，吃蟹是秋季最重要的民俗活动之一．某学校九年级利用国庆假期开展社会实践活动，调查螃蟹行情，帮某商家解决销售问题的同时为顾客谋实惠．调查发现，螃蟹的进价为元/千克．售价为元/千克时，每天可销售千克．售价每涨价元，每天少销售千克． (1)某天商家正好销售千克的螃蟹，则获利多少元？ (2)若商家一天销售螃蟹总利润为元，则当天螃蟹的售价为多少元/千克？ 【答案】(1)1750元 (2)60元/千克或80元/千克 【分析】（1）设螃蟹的售价为x元/千克，根据每涨价1元，每天少销售2千克，某天商家正好销售70千克的螃蟹，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题； （2）设螃蟹的售价为y元/千克，根据商家一天销售螃蟹获总利润为1600元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设螃蟹的售价为x元/千克，根据题意得： ， 解得：， ∴元， 答：某天商家正好销售70千克的螃蟹，则获利1750元； （2）解：设螃蟹的售价为y元/千克，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：当天螃蟹的售价为60元/千克或80元/千克． 18．2021年是中国历史上的超级航天年，渝飞航模专卖店看准商机，8月初推出了“天问一号”和“嫦娥五号”两款模型．每个“天问一号”模型的售价是90元，每个“嫦娥五号”模型的售价是100元． (1)若8月份销售“天问一号”模型的数量比“嫦娥五号”模型数量多200个，销售两种模型的总销售额为56000元，求销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各是多少？ (2)该店决定从9月1日起推出“逐梦航天、仰望星空”优惠活动，9月份，每个“天问一号”模型的售价与8月份相同，销量比8月份增加a%；每个“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a%，销量比8月份增加a%． ①用含有a的代数式填表（不需化简）： 9月份的售价（元） 9月份销量 “天问一号”模型 90 　  　 “嫦娥五号”模型 　  　 　  　 ②据统计，该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加a%，求a的值． 【答案】(1)销售天问一号模型和嫦娥五号模型的数量各是400个与200个 (2)①100(1- a%)；400（1+a%）；200（1+a%）；②10 【分析】（1）首先设销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各x个，y个，根据销售“天问一号”模型的数量比“嫦娥五号”模型数量多200个可列出方程，由销售两种模型的总销售额为56000元可列出方程，把这两个方程组成一个二元一次方程组，解这个方程组即可得到本题答案； （2）①由9月份，每个“天问一号”模型的售价与8月份相同，销量比8月份增加a%，可得9月份“天问一号”模型的销量为400（1+a%）个；“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a%，，销量比8月份增加a%，可得“嫦娥五号”模型的销量为200（1+a%）个，可得“嫦娥五号”模型的售价为100(1- a%)；②根据该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加a%，可得90×400（1+a%）+100（1﹣a%）×200（1+a%）＝（90×400+100×200）（1+a%），计算即可得出a的值． 【详解】（1）解：设销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各x个，y个，根据题得： 解得： 答：销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各是400个与200个。 （2） 解：①∵9月份，“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a% ,“天问一号”模型的销量比8月份增加a%，“嫦娥五号”模型的销量比8月份增加a%， ∴9月份，“天问一号”模型的销量为400（1+a%）个，“嫦娥五号”模型的销量为200（1+a%）个．故答案为：100(1- a%)；400（1+a%）；200（1+a%）． ②依题意得：90×400（1+a%）+100（1﹣a%）×200（1+a%）＝（90×400+100×200）（1+a%）， 整理得：3a2﹣30a＝0，解得：a1＝10，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为10． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用等知识． 题型七：动态几何问题 19．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动． (1)经过ts，线段的长为__________cm，线段的长为__________cm． (2)如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，的长度等于？ (3)的面积能否等于？请说明理由 【答案】(1) (2)3 (3)不能， 理由如下： ， ， ∵ ∴该方程无解． 所以的面积不能等于7． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解一元二次方程，对于（1），根据速度乘以时间得出，进而表示； 对于（2），根据勾股定理列出方程，求出解即可； 对于（3），根据面积公式方程，求解即可判断． 【详解】（1）根据题意可知，则． 故答案为：； （2）由（1）知，，根据勾股定理，得 ， 即， 解得或（舍去）， 所以同时出发3秒后，的长度等于； （3）略 20．如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度运动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度运动，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)在运动过程中，当为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当为时，的长度等于 (2)存在，当时，的面积等于 【分析】（1）根据题意得：，，且，，利用勾股定理得出，求出的值即可． （2）根据代入，得出关于t的一元二次方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，，且， ∴， ∵在矩形中，， ∴在中，， 即， 解得：（舍去），， 即当为时，的长度等于． （2）解：存在，当时，的面积等于． ∵ ∴ 整理得：， 解得，或（不合题意，舍去） 故存在，当时，的面积等于．l 21．如图，四边形中，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接，设运动时间为t秒（）． (1)连接　　,　　,(用含t的代数式表达)，当　　时，四边形为平行四边形； (2)将沿翻折，得到．在运动过程中，是否存在某时刻t，使四边形为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为y，求y与t的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在， (3) (4)存在， 【分析】（1）由知，从而得，根据四边形为平行四边形知，据此列出方程求解可得； （2）由沿翻折得，知，据此得时有四边形为菱形，从而列出关于t的方程，解之可得； （3）由可得，利用得到y与之间的关系式； （4）将四边形和三角形的面积表示出来，使，可得，解一元二次方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形； （2）解：存在， 理由如下：∵将沿翻折得， ∵， ∴当时有四边形为菱形， ∴， 解得， ∴，使四边形为菱形． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （4）解：存在， 理由如下：当时， ， ∴， 解得：， 又∵时D、M重合不能形成四边形， ∴秒时有四边形与面积相等． 题型八：工程问题 22．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲乙两队单独完成这项工程各需几个月？ 【答案】 甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月． 【分析】以乙队单独完成工程的时间为未知数，根据两队单独完成时间的乘积等于时间和的6倍的等量关系列方程，结合实际意义舍去负根后求解两队时间． 【详解】解：设乙队单独完成这项工程需个月，则甲队单独完成这项工程需个月， 由题意得， 整理得 ， 解得，， ∵工作时间不能为负数， ∴不符合题意，舍去， ∴ 甲队单独完成所需时间为（个月）， 答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月． 23．某商家为支援地震灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完． (1)求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？ (2)因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值． 【答案】(1)小货车原计划每辆每次运顶帐篷，大货车原计划每辆每次运顶帐篷 (2)的值为2 【分析】（1）设小货车原计划每辆每次运顶帐篷，则大货车原计划每辆每次运顶帐篷，根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设小货车原计划每辆每次运顶帐篷，则大货车原计划每辆每次运顶帐篷， 由题意可得， 解得， ∴， ∴小货车原计划每辆每次运顶帐篷，大货车原计划每辆每次运顶帐篷； （2）解：由题意可得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 24．列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【答案】(1)360个；240个 (2)80 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 题型九：行程问题 25．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动，大约用了多少秒？（结果保留小数点后一位） （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程、时间的关系为） 【答案】(1). (2)秒. 【分析】（1）根据小球的滚动速度平均每秒减少的速度等于初速度减末速度再除以时间，代入数据计算即可得答案. （2）设小球滚动，大约用了秒，即可求出t秒后小球的末速度为，再求出初速度与末速度的算术平均数，代入公式即可列方程，解出即可得小球滚动，约用了多少秒. 【详解】（1）解：设小球的滚动速度平均每秒减少，则根据题意得： （）， ∴小球的滚动速度平均每秒减少. （2）解:设小球滚动，大约用了秒，根据题意得： ，化简得： ，解得： ，即：（舍），， ∴小球滚动，大约用了秒. 26．匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 27．如图，一艘轮船以的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以的速度由南向北移动，距台风中心的圆形区域内（包括边界）都属于台风区．当轮船到点A处时，测得台风中心位于点A的正南方向点B处，且． (1)若轮船自点A按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求多久后轮船最初遇到台风；若不会，请说明理由； (2)现轮船自点A立即提高船速，向位于北偏东方向相距的D港驶去，为使台风到来之前到达D港，则船速至少应提高多少（提高的船速取整数，，）? 【答案】(1)会遇到台风，轮船自点A按原速度继续航行，后会遇到台风 (2)船速至少应提高 【分析】（1）设后，轮船行驶到点C处，台风中心运动到点M处时，轮船刚好遇到台风，根据勾股定理列出方程，求出t的值，进行判断即可； （2）设台风中心运动到点E，此时D港开始受影响，连接说明点E位于点A的正南方，过点D作（点G位于点A的正东方），延长，过点E作于点F， 设，根据勾股定理列出方程，解方程得出x的值，先求出台风中心运动的距离，再求出台风中心从点B运动到点E所用的时间，最后求出船速即可． 【详解】（1）解：若轮船自点A按原速度原方向继续航行，在途中会遇到台风． 设后，轮船行驶到点C处，台风中心运动到点M处时，轮船刚好遇到台风，如图所示，连接． 根据题意，得，，． 在中，， 即， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴轮船自点A按原速度继续航行，后会遇到台风． （2）解：设台风中心运动到点E，此时D港开始受影响，连接，则： ， ，， ∴点E位于点A的正南方， 过点D作（点G位于点A的正东方），延长，过点E作于点F，如图所示： 根据题意，得， ，， 设， ． 在中，， 即， 解得：，（舍去）， ∴台风中心运动的距离为： ， ∴台风中心从点B运动到点E所用的时间为： ， ∴此时船速为：， ， ∴船速至少应提高． 题型十：图表信息题 28．阅读下面内容，并解答问题：杨辉和他的一个数学问题：提起代数，人们自然就和方程联系起米.事实上，我国古代对代数的研究，特别是对方程的解法研究有着优良的传统并取得了重要成果.杨辉，字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述，他著名的数学书共五种二十一卷.下面是杨辉在1275年提出的一个问题（选自杨辉所著《田亩比类乘除算法》）：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.请你用学过的知识解决这个问题. 【答案】矩形的阔为24步，长为36步 【分析】如果设矩形田地的宽为x步，则长为(x+12)步，根据面积为864，即可得出方程求解即可． 【详解】设阔为步，则长为步． 根据题意，列方程得： 解方程，得，(不合题意，舍去)． 答：矩形的阔为24步，长为36步． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-面积问题，掌握好面积公式即可进行正确解答；矩形面积=矩形的长×矩形的宽． 29．某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 【答案】 【分析】根据题意列出一元二次方程求解，然后根据实际情况判定根的取舍． 【详解】解：依题意，得， 整理，得， 解得，． 月份用电，且缴电费10元， ， ． 30．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 【答案】（1）10+40a-5a2元； （2）3吨； （3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林． 【分析】（1）根据总费用=10+超出费用列出代数式即可；（2）根据题意分别列出5a（7-a）+10=70，5a（5-a）+10=40，取满足两个方程的a的值即为本题答案；（3）结合当地水资源状况，叙述合理即可； 【详解】（1）3月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2元； （2）由题意得：5a（7-a）+10=70， 解得：a=3或a=4 5a（5-a）+10=40 解得：a=3或a=2， 综上，规定用水量为3吨； （3）略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 题型十一：握手、循环赛问题 31．在“九月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，求参加小组赛的球队有多少支？ 【答案】参加小组赛的球队有8支． 【分析】根据双循环赛制规则与总比赛场数的等量关系建立一元二次方程，舍去不符合实际意义的根后得到结果． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵双循环赛制为每两支球队之间进行2场比赛，小组赛总比赛场数为56场， ∴， 整理得：，因式分解为：， 解得，（负值舍去）， 答：参加小组赛的球队有8支． 32．为推动江西校园足球发展，2026年江西赣超中小学足球联赛采用规范赛制开展比赛，初中组联赛采用单循环制（每两个球队之间只比赛一场），已知本次初中组常规赛一共进行了45场比赛． (1)求本次参赛的球队数量． (2)为了扩大赛事影响力，主办方决定连续两年增加参赛队伍数量，每年参赛队伍的平均增长率相同，若第一年有（1）中求出的队伍数量参赛，两年后参赛队伍达到40支，求参赛队伍每年的平均增长率． 【答案】(1)本次参赛的球队数量为支 (2)参赛队伍每年的平均增长率为 【分析】（1）设本次参赛的球队数量为支，根据单循环制可得，解方程即可； （2）设参赛队伍每年的平均增长率为，由增长率模型可得，解方程即可． 【详解】（1）解：设本次参赛的球队数量为支， 由题意可知，， 整理，得， 解得或（负根舍去）， ∴． 答：本次参赛的球队数量为支． （2）解：设参赛队伍每年的平均增长率为， 由题意可知，， 解得或（负根舍去）， ∴． 答：参赛队伍每年的平均增长率为． 33．某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9 【分析】（1）设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次，列出方程即可． （2）设多边形的边数为，对角线数量为27，依题意可以得到方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次， 列出方程为：， 故答案为：． （2）解：设多边形的边数为，对角线数量为27 依题意可以得到方程 化简为 解得或 因为为正整数，所以 答：多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9． 题型十二：其他问题 34．学校舞蹈艺术团在开学典礼上进行汇报演出．开场阶段，全体参演同学整齐排列，组成一个正方形方阵．随着音乐的推进，表演队形随之变化：首先有7名同学出列担任领舞，其余同学迅速调整站位，组成一个长方形方阵．已知该长方形方阵的列数比原正方形方阵每边人数的2倍少3，行数比原正方形方阵每边人数少5．演出谢幕时，指导老师计划让全体参演同学排成一个长方形方阵（每行和每列的人数都大于1且不相等）．问这个计划能否实现？若能，求出长方形方阵每行和每列的人数；若不能，说明理由． 【答案】 解：不能，理由如下： 设原正方形队列每行x人，总人数人，7名同学出列后有人，出列后其余同学组成的长方形队，共列，行， 根据题意得， ，（舍去，因为此时行数为负数，不符合实际意义） ∴总人数为121人，不能分解成两个大于1的不等正整数相乘，即这个计划不能实现． 【分析】设原正方形队列每行x人，根据“长方形方阵的人数=总人数减去领舞人数”列方程求解，然后根据“每行和每列的人数都大于1且不相等”判断即可. 【详解】略 35．小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量训练的健身模式，每次健身总时长60分钟．慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12千卡，核心力量训练时，第一分钟消耗3.1千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗0.2千卡． (1)小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为分钟（为整数），则最后一分钟消耗的热量是__________（用含的代数式表示）千卡，分钟总消耗热量是__________（用含的代数式表示）千卡； 提示：若一列数，，…，，满足，则． (2)小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可能达到380千卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量训练的时长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)总消耗热量不可能达到380千卡 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）设快跑时长为x分钟，则慢跑时长为分钟，核心力量训练时长为t分钟，则总消耗热量为千卡，根据题意，可得，令总消耗热量为380千卡，列出一元二次方程，根据解的情况，即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，第t分钟消耗的热量是：千卡； t分钟总消耗热量是：千卡； （2）解：总消耗热量不可能达到380千卡，理由如下： 设快跑时长为x分钟，则慢跑时长为分钟，核心力量训练时长为t分钟，（其中x、t均为整数）， 则总消耗热量为：千卡， 根据题意可列方程，，则， 则总消耗热量为：千卡， 当总消耗热量为380千卡时，，整理可得，， 则，即方程没有实数根， 总消耗热量不可能达到380千卡． 36．列方程解应用题： 如今，无人机、机器狗等玩具备受孩子们的喜爱，某工厂安排100名工人组装无人机和机器狗，每人每天可组装12架无人机或5个机器狗，且每人每天只能组装一种产品，组装160架无人机所用的时间与组装100个机器狗所用的时间相等． (1)应安排多少名工人组装无人机，多少名工人组装机器狗？ (2)由于工厂改进组装工艺，工人每人每天比原来多组装无人机架，每人每天组装机器狗的数量比原来多，工长从组装无人机的工人中调拨人增援组装机器狗，抽调后每天组装机器狗总数量比无人机的总数量仍少180个，求的值． 【答案】(1)应安排40名工人组装无人机，60名工人组装机器狗 (2)的值为1． 【分析】（1）设安排x名工人组装无人机，则名工人组装机器狗，根据“组装160架无人机所用的时间与组装100个机器狗所用的时间相等”列方程即可求解； （2）根据“机器狗总数量比无人机总数量仍少180个”列方程即可求解． 【详解】（1）解：设安排x名工人组装无人机，则名工人组装机器狗， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解且满足题意， ， 应安排40名工人组装无人机，60名工人组装机器狗； （2）解：无人机单人日产量：架，抽调m人后，组装无人机人数： ，日总产量：， 机器狗单人日产量： 个，组装机器狗人数： ，日总产量：， 根据题意得： ， 解得或（舍去）， 即的值为1． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05一元二次方程的应用及根与系数的关系期中复习讲义 1.理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟记ax2+bx+c=0(a≠0)两根之和、两根之积的关系式；会运用韦达定理求两根代数式的值，已知两根构造一元二次方程；结合判别式检验参数取值，牢记使用前提(a≠0)、0。 2.掌握列一元二次方程解应用题的完整步骤：审、设、列、解、验、答；熟悉常考应用模型：传播、增长率、图形面积、数字、营销利润、握手循环赛问题。 3.能够从实际问题中提取等量关系，合理设未知数建立方程；求解后检验方程的根是否符合实际背景，舍去不符合题意的解。 4.会结合代数式变形、整体代入思想，利用韦达定理求值；能综合判别式、韦达定理求解参数；会针对动态几何、工程、行程、图表信息类问题建立一元二次方程模型解题。 5.厘清易错点：运用韦达定理，先要满足(a≠0)且0；应用题结果必须检验，舍去负数、不符合情景的解；动态几何题型要做好分类讨论，防止漏解。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的根与系数的关系 ★★ 题型二 传播问题 ★★ 题型三 增长率问题 ★★ 题型四 与图形有关的问题 ★★★ 题型五 数字问题 ★★ 题型六 营销问题 ★★★ 题型七 动态几何问题 ★★★★ 题型八 工程问题 ★★★ 题型九 行程问题 ★★★ 题型十 图表信息题 ★★★ 题型十一 握手、循环赛问题 ★★ 题型十二 其他问题 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:韦达定理基础内容 1. 核心公式（韦达定理） 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）， 前提条件：方程有实数根，即 Δ= b2-4ac 0 设方程两根为 x1​,x2​： 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 2.特殊形式简化 （1）方程 x2+px+q=0（二次项系数为 1） x1+x2=-p,x1x2=q （2）缺常数项 ax2+bx=0：一根为 0，另一根为 - （3）缺一次项 ax2+c=0：两根互为相反数，x1+x2=0 3. 高频变形应用 已知方程，求 x12+x22​、等代数式的值 已知两根，反求一元二次方程：x2−(x1+x2)x+x1x2=0 已知一根，求另一根及方程中的参数 知识点02:两根代数式恒等变形（不解方程求值专用） 待求代数式 变形公式 知识点03:韦达定理四大基础题型解题思路 1.已知完整一元二次方程，求两根和、积及变形代数式 步骤：整理为一般式→确定a、b、c→计算Δ判断有实根→代入韦达公式→整体代换变形求值。 2.已知方程其中一根，求另一根与参数 利用 x1+x2=- 快速算出另一根，再将已知根代入方程求解参数，无需完整解方程。 3.已知两个数值，构造以其为根的一元二次方程 基础方程：x2-(x1+x2)x+x1x2=0，可同乘非零整数化为整数系数方程。 4.含参数一元二次方程，结合判别式求参数取值范围 限制条件分层： ① a≠0，保证方程是一元二次方程； ② Δ≥0，保证存在实数根； ③ 附加约束条件：两根正负、两根互为相反数 / 倒数等，结合韦达列不等式组。 知识点04:特殊根的对应条件 1.两根互为相反数：x1+x2=0，即 b=0，同时满足 Δ≥0； 2.两根互为倒数：x1x2=1，即 c=a，同时满足 Δ≥0； 4.两根一正一负：x1x2<0，此条件下Δ >0恒成立，无需额外计算判别式。 知识点05:列一元二次方程解应用题标准六步解题规范 审：读懂题意，找出已知量与未知量. 设：设未知数（直接设 / 间接设） 列：根据等量关系列一元二次方程 解：解方程，求出未知数的值 验：检验根是否符合数学意义和实际意义（如长度、人数不能为负） 注意事项 (1) 要注意各类应用题中常用的等量关系，还要注意挖掘题目中隐含的等量关系。 (2) 注意语言与代数式的互化，题目中有些条件是通过语言给出的，只有把它转化成代数式才能为列方程服务，还要注意从语言叙述中找出等量关系。 (3) 注意单位问题：一是在设未知数时必须写清单位，用对单位；二是在列方程时，要注意方程两边的单位必须一致。 知识点06:常见应用题模型及核心公式 题型类别 核心公式 / 等量关系 典型特征 增长率 / 下降率问题 增长：a(1+x)n=b；下降：a(1−x)n=b（a初始量，x变化率，n变化次数，b最终量） 产量、利润、销售额等持续增减，已知初始与最终状态 传播问题 m(1+x)n=N（m初始传播源，x每轮传播数，n轮次，N总数量） 病毒、消息、分支生长等多轮扩散，总量逐步累积 利润（销售）问题 总利润 = （售价 - 成本）× 销售量； 销售额 = 售价 × 销售量 售价与销量反向联动，求特定利润或最优销售方案 几何（形积）问题 利用矩形、三角形等规则图形面积公式；不规则图形可通过分割 / 组合转化 场地修路、动点形成图形、图形面积计算，含边长限制 数字问题 多位数表示：三位数=100×百位数字+10×十位数字 +个位数字；连续整数/偶数/奇数：相邻两数差 已知数字间关系，求具体数字 握手 / 赠礼问题 握手总数：；互赠礼物总数：n(n−1)（n为人数） 无重复计数场景，数量与个体数成二次关系 利息问题 利息=本金×利率×期数； 本息和=本金×(1 + 利率 × 期数)（无利息税） 银行存款、理财收益计算，涉及本金、利率、期数 知识点07:综合关联：判别式与韦达定理结合 条件组合 考察题型 解题要点 Δ>0+x1+x2、x1x2 两根符号判断 x1x2>0两根同号；x1x2<0两根异号 Δ0+ 含参数代数式 参数取值范围 先算参数，再检验判别式 一根为 0 x1x2=0 常数项c=0，同时保证a≠0 两根互为相反数 x1+x2=0且Δ 一次项系数b=0，判别式非负 知识点08.:全板块高频易错点 （一）韦达定理易错 1.忽略使用前提：不检验a≠0、Δ0，直接套用公式求参数； 2.两根和符号记错：x1+x2=，容易漏掉负号； 3.代数式变形出错：平方和、差的平方展开时常漏乘 2； 4.构造方程时符号颠倒，混淆一次项符号。 （二）应用题易错 1.解方程后不检验，保留负数、超出实际范围的根； 2.增长率问题次数n对应错误，两年增长误用1+2x； 3.面积动点题线段代数式列错，道路面积重复减、漏减； 4.利润问题销量增减关系写反，涨价写成销量增加。 题型一：一元二次方程的根与系数的关系 1．若一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A．5 B．3 C．2 D．0 2．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 3．已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 题型二：传播问题 4．冬季期间，甲型流感在某班悄然传播，某班最初有2人患上甲流，经过2轮传染后，有32人已确诊甲流，求每轮传染中平均每人传染的人数． 5．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：开始有人患有流感，经过两轮传染后，有人患流感，则每轮传染中平均一个人传染几个人？ 6．某种肺炎病毒在A国爆发，经世卫组织研究发现：病毒有极强的传染性，一个病毒携带者与10个人有密切接触，其中的6人会感染病毒，成为新的病毒携带者．在调查某工厂的疫情时，发现最初只有1位出差回来的病毒携带者，在召开工厂车间组长会议时发生了第一轮传染，开完会后所有人都回到各自车间工作又发生了第二轮传染，这时全厂一共有169人检测出携带病毒．假如每个病毒携带者每次的密切接触者人数都相同，求每个病毒携带者每次的密切接触了多少人？ 题型三：增长率问题 7．随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究，某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为2吨，经过两年采用新技术种植后，每亩产量比两年前多0.5吨，求每亩产量的年平均增长率．（结果精确到） 8．据统计某品牌公仔在某电商平台8月份的销量是6万件，10月份的销量是7.26万件． (1)若该平台8月份到10月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)经市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为80元，每天能销售20件，售价每降低1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 9．“人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中，某景点接待游客逐渐增多，6月份第一周接待游客200人，第三周接待游客288人，若该景点接待游客数量的周平均增长率相同． (1)求该景点在6月份的第二周接待游客多少人？ (2)该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的1.8倍，平均每位游客购买1件旅游纪念品．该景点只销售A，B两种旅游纪念品，A种纪念品每件利润5元，B种纪念品每件利润8元，且售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，获得的总利润为W元，求W与a的函数关系式，并求出获得的最大利润． 题型四：与图形有关的问题 10．某公园有一块长是宽的两倍的长方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原长方形的空地长的一边减少了2m，短的一边减少了1m，剩余空地的面积为，求原长方形空地的周长． 11．某校为让学生体验农耕劳动，准备建一个矩形蔬果种植试验田．如图，该试验田一边靠长的墙，另三边用围栏围成，围栏总长，围成的矩形试验田四周不能有空隙． (1)若要使围成的矩形试验田的面积为，求该矩形试验田的长和宽． (2)若在边留的小门，能围成一个面积为的矩形试验田吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由． 12．如图1，在矩形中，点是边上的一点，连接，且． (1)求证：平分； (2)如图2，过点作，且，连接、，交于点．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，以、为邻边作矩形，连接，且平分，若，求线段的长． 题型五：数字问题 13．2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）． 14．如图是2026年10月的月历，10月1日是国庆节．1949年10月1日，中华人民共和国正式成立，每年十月，我们都会欢度国庆．在如图所示的月历中，用方框框住任意6个数，若其中最小数与最大数的乘积为100，求这个最小数． 15．下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细简读并完成相应的任务． 求（为正整数）方法欣赏 在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求 （为正整数）的值”这个问题的两种解法，供大家欣赏． 方法1：“头尾相加法” 把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2． 可得．即 方法2：“递归法”（设）． 由完全平方公式可得， ． 我们列出特殊情况：． 两边分别相加可得．． ． 任务： (1)若，则______． (2)的和能是50吗？如果能，请求出值，如果不能，请说明理由． (3)数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》中记载着一道受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了．如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？” (4)我们知道：则______． 题型六：营销问题 16．根据以下素材，探索完成任务． 背景 凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序作成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色． 素材 某种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件． 问题解决 任务1 （1）该泥塑月销售量为___________件；（用含的代数式表示） 任务2 （2）该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 17．太湖水域辽阔，水质清澈，水草丰茂，底栖生物丰富，在无锡、苏州等太湖沿岸城市，吃蟹是秋季最重要的民俗活动之一．某学校九年级利用国庆假期开展社会实践活动，调查螃蟹行情，帮某商家解决销售问题的同时为顾客谋实惠．调查发现，螃蟹的进价为元/千克．售价为元/千克时，每天可销售千克．售价每涨价元，每天少销售千克． (1)某天商家正好销售千克的螃蟹，则获利多少元？ (2)若商家一天销售螃蟹总利润为元，则当天螃蟹的售价为多少元/千克？ 18．2021年是中国历史上的超级航天年，渝飞航模专卖店看准商机，8月初推出了“天问一号”和“嫦娥五号”两款模型．每个“天问一号”模型的售价是90元，每个“嫦娥五号”模型的售价是100元． (1)若8月份销售“天问一号”模型的数量比“嫦娥五号”模型数量多200个，销售两种模型的总销售额为56000元，求销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各是多少？ (2)该店决定从9月1日起推出“逐梦航天、仰望星空”优惠活动，9月份，每个“天问一号”模型的售价与8月份相同，销量比8月份增加a%；每个“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a%，销量比8月份增加a%． ①用含有a的代数式填表（不需化简）： 9月份的售价（元） 9月份销量 “天问一号”模型 90 　  　 “嫦娥五号”模型 　  　 　  　 ②据统计，该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加a%，求a的值． 题型七：动态几何问题 19．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动． (1)经过ts，线段的长为__________cm，线段的长为__________cm． (2)如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，的长度等于？ (3)的面积能否等于？请说明理由 20．如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度运动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度运动，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)在运动过程中，当为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 21．如图，四边形中，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接，设运动时间为t秒（）． (1)连接　　,　　,(用含t的代数式表达)，当　　时，四边形为平行四边形； (2)将沿翻折，得到．在运动过程中，是否存在某时刻t，使四边形为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为y，求y与t的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 题型八：工程问题 22．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲乙两队单独完成这项工程各需几个月？ 23．某商家为支援地震灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完． (1)求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？ (2)因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值． 24．列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 题型九：行程问题 25．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动，大约用了多少秒？（结果保留小数点后一位） （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程、时间的关系为） 26．匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 27．如图，一艘轮船以的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以的速度由南向北移动，距台风中心的圆形区域内（包括边界）都属于台风区．当轮船到点A处时，测得台风中心位于点A的正南方向点B处，且． (1)若轮船自点A按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求多久后轮船最初遇到台风；若不会，请说明理由； (2)现轮船自点A立即提高船速，向位于北偏东方向相距的D港驶去，为使台风到来之前到达D港，则船速至少应提高多少（提高的船速取整数，，）? 题型十：图表信息题 28．阅读下面内容，并解答问题：杨辉和他的一个数学问题：提起代数，人们自然就和方程联系起米.事实上，我国古代对代数的研究，特别是对方程的解法研究有着优良的传统并取得了重要成果.杨辉，字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述，他著名的数学书共五种二十一卷.下面是杨辉在1275年提出的一个问题（选自杨辉所著《田亩比类乘除算法》）：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.请你用学过的知识解决这个问题. 29．某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 30．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 题型十一：握手、循环赛问题 31．在“九月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，求参加小组赛的球队有多少支？ 32．为推动江西校园足球发展，2026年江西赣超中小学足球联赛采用规范赛制开展比赛，初中组联赛采用单循环制（每两个球队之间只比赛一场），已知本次初中组常规赛一共进行了45场比赛． (1)求本次参赛的球队数量． (2)为了扩大赛事影响力，主办方决定连续两年增加参赛队伍数量，每年参赛队伍的平均增长率相同，若第一年有（1）中求出的队伍数量参赛，两年后参赛队伍达到40支，求参赛队伍每年的平均增长率． 33．某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 题型十二：其他问题 34．学校舞蹈艺术团在开学典礼上进行汇报演出．开场阶段，全体参演同学整齐排列，组成一个正方形方阵．随着音乐的推进，表演队形随之变化：首先有7名同学出列担任领舞，其余同学迅速调整站位，组成一个长方形方阵．已知该长方形方阵的列数比原正方形方阵每边人数的2倍少3，行数比原正方形方阵每边人数少5．演出谢幕时，指导老师计划让全体参演同学排成一个长方形方阵（每行和每列的人数都大于1且不相等）．问这个计划能否实现？若能，求出长方形方阵每行和每列的人数；若不能，说明理由． 35．小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量训练的健身模式，每次健身总时长60分钟．慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12千卡，核心力量训练时，第一分钟消耗3.1千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗0.2千卡． (1)小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为分钟（为整数），则最后一分钟消耗的热量是__________（用含的代数式表示）千卡，分钟总消耗热量是__________（用含的代数式表示）千卡； 提示：若一列数，，…，，满足，则． (2)小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可能达到380千卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量训练的时长，若不能，请说明理由． 36．列方程解应用题： 如今，无人机、机器狗等玩具备受孩子们的喜爱，某工厂安排100名工人组装无人机和机器狗，每人每天可组装12架无人机或5个机器狗，且每人每天只能组装一种产品，组装160架无人机所用的时间与组装100个机器狗所用的时间相等． (1)应安排多少名工人组装无人机，多少名工人组装机器狗？ (2)由于工厂改进组装工艺，工人每人每天比原来多组装无人机架，每人每天组装机器狗的数量比原来多，工长从组装无人机的工人中调拨人增援组装机器狗，抽调后每天组装机器狗总数量比无人机的总数量仍少180个，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $