- 2026-2027学年人教版数学九年级上册期中阶段学情自测卷（第25-27章）

人教版九年级数学上册·期中阶段学情自测卷 人教版2026—2027学年第一学期 九年级数学上册期中阶段学情自测卷 （考查范围：第二十五章 一元二次方程 第二十六章 二次函数 第二十七章 反比例函数） 时间： 120分钟 姓名：________ 班级：________ 学号：________ 得分：________ 考生须知： 1. 本试卷共三大题，24小题，满分120分，考试时间120分钟。 2. 答题前，请将姓名、班级、学号填写在试卷规定的位置。 3. 请在答题区域内作答。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. ax²+bx+c=0 B. + = 2 C. x²+2x = x²−1 D. 3(x+1)² = 2(x+1) 2. 若反比例函数y=的图象经过点(2, −3)，则下列说法正确的是（ ） A. k=6 B. 图象在第二、四象限 C. 当x>0时，y随x的增大而减小 D. 点(1, 6)在该函数图象上 3. 用配方法解一元二次方程x²−4x−1=0时，配方后得到的方程是（ ） A. (x−2)²=1 B. (x−2)²=5 C. (x+2)²=3 D. (x+2)²=5 4. 将抛物线y=x²向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得新抛物线的解析式为（ ） A. y=(x+2)²−3 B. y=(x+2)²+3 C. y=(x−2)²+3 D. y=(x−2)²−3 5. 若关于x的一元二次方程(k−1)x²+2x−2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. k> B. k≥ C. k>且k≠1 D. k≥且k≠1 6. 若点A(−2, y₁)、B(−1, y₂)、C(3, y₃)在反比例函数y=−的图象上，则y₁、y₂、y₃的大小关系是（ ） A. y₁<y₂<y₃ B. y₃<y₁<y₂ C. y₂<y₁<y₃ D. y₃<y₂<y₁ 7. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①abc>0；②b²−4ac>0；③2a+b=0；④a−b+c<0，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 某商品原价200元，经过连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ） A. 200(1+a%)²=148 B. 200(1−a%)²=148 C. 200(1−2a%)=148 D. 200(1−a²%)=148 9. 在同一直角坐标系中，函数y=kx+k与y= (k≠0)的图象可能是（ ） A. 一次函数经过一、二、三象限，反比例函数在一、三象限（k>0） B. 一次函数经过二、三、四象限，反比例函数在二、四象限（k<0） C. 一次函数经过一、二、三象限，反比例函数在二、四象限（k>0/k<0矛盾） D. 一次函数经过一、三、四象限，反比例函数在一、三象限（k<0/k>0矛盾） 10. 如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，若OA²−AB²=12，则k的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程x(x−3)=x−3的解为__________。 12. 若x₁、x₂是方程x²−3x−2=0的两个实数根，则x₁+x₂−x₁·x₂的值为__________。 13. 若抛物线y=x²−2x+m与x轴有两个公共点，则m的取值范围是__________。 14. 某款汽车销售利润y（万元）与每辆汽车销售价x（万元）之间满足关系y=−x²+10x−21，当每辆汽车的销售价为________万元时，获得的利润最大，最大利润为________万元。 15. 如图，点A是反比例函数y= (k≠0)的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点C是y轴上任意一点，连接AC、BC。若△ABC的面积为3，则k=________。 16. 设A(−2, y₁)、B(1, y₂)、C(2, y₃)是抛物线y=−x²−2x+m上的三点，则y₁、y₂、y₃的大小关系为__________（用“<”连接）。 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）用适当的方法解下列方程： （1）x²−4x−5=0；（用配方法） （2）(x−3)²+2x(x−3)=0。 18.（本题满分8分）已知关于x的一元二次方程x²−(2k+1)x+k²+k=0。 （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值。 19.（本题满分9分）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(2, 3)、B(−3, m)两点，与y轴交于点C。 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）根据图象直接写出关于x的不等式ax+b > 的解集。 20.（本题满分8分）某小区有一块长8m、宽6m的矩形空地ABCD，现在要在空地上修建一个矩形花园，使花园四周留出宽度相同的道路（如图所示），花园面积为24m²。 （1）求道路的宽度； （2）现要在花园内种植两种花卉，每平方米花卉A需花费80元，每平方米花卉B需花费120元，若两种花卉各占一半面积，求种植花卉的总费用。 21.（本题满分8分）某商店购进一批单价为40元的商品，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出300件。根据销售经验，该商品销售单价每提高1元，销售量就会减少10件。设每件商品售价为x元(x≥60)，一个月的销售量为y件。 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，一个月内获得的利润最大？最大利润是多少元？ 22.（本题满分9分）某校对教室采用药薰消毒法进行消毒。已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg/m³）与时间x（min）成正比例；药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示）。现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg。 （1）求药物燃烧时y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）求药物燃烧后y与x的函数关系式； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ 23.（本题满分10分）如图，抛物线y=−x²+bx+c与x轴交于A(−1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点C。 （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是抛物线上第一象限内的一个动点，连接PA、PB、PC，设△PAB的面积为S，求S的最大值及此时点P的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 24.（本题满分10分）如图，已知直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=−x²+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C，顶点为D。 （1）求抛物线的解析式； （2）若点E是x轴上一动点，连接DE、BE，当DE+BE的值最小时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△BEP为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。 参考答案与解析 一、选择题 1. 【答案】D 【解析】A缺a≠0条件；B是分式方程；C化简后为2x=−1是一次方程；D整理为3x²+4x+1=0是一元二次方程。 2. 【答案】B 【解析】将(2, −3)代入得k=2×(−3)=−6<0，故图象在第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大。 3. 【答案】B 【解析】x²−4x−1=0 → x²−4x=1 → x²−4x+4=5 → (x−2)²=5。 4. 【答案】A 【解析】左加右减、上加下减。向左平移2个单位：y=(x+2)²；再向下平移3个单位：y=(x+2)²−3。 5. 【答案】C 【解析】方程有两个不相等实数根，需满足k−1≠0且Δ=4+8(k−1)>0，即k≠1且k>。 6. 【答案】B 【解析】y=−，k=−6<0，在第二象限y>0且x越小y越大，故0<y₁<y₂；在第四象限y₃<0，所以y₃<y₁<y₂。 7. 【答案】C 【解析】由图象知a<0，对称轴x=−=1得b=−2a>0，c>0，故abc<0，①错误；抛物线与x轴有两个交点，②b²−4ac>0正确；③2a+b=0正确；当x=−1时y<0，即a−b+c<0，④正确。共3个正确。 8. 【答案】B 【解析】第一次降价后价格为200(1−a%)，第二次降价后为200(1−a%)²=148。 9. 【答案】A 【解析】当k>0时，y=kx+k经过一、二、三象限，y=在一、三象限；当k<0时，y=kx+k经过二、三、四象限，y=在二、四象限。A选项满足k>0情形。故选A。 10. 【答案】C 【解析】设OA=·AC=·OC=a，AB=·AD=·BD=b，则A点坐标为(OC, AC)，B点坐标为(OC+BD, AC−AD)=(+, −)，即B(x,y)满足x·y===6，故k=x·y=6。 二、填空题 11. 【答案】x₁=3，x₂=1 【解析】x(x−3)−(x−3)=0 → (x−3)(x−1)=0，所以x₁=3，x₂=1。 12. 【答案】5 【解析】由韦达定理：x₁+x₂=3，x₁·x₂=−2，故x₁+x₂−x₁·x₂=3−(−2)=5。 13. 【答案】m<1 【解析】抛物线与x轴有两个公共点，则Δ=4−4m>0，即m<1。 14. 【答案】5万元；4万元 【解析】y=−x²+10x−21=−(x−5)²+4，当x=5时，y取最大值4。 15. 【答案】6 【解析】设A(a,b)，则AB=|b|,OB=|a|，S△ABC=·AB·OB=·|a·b|=3，即|a·b|=6。图象在第一象限，故k=ab=6。 16. 【答案】y₃<y₂<y₁ 【解析】y=−x²−2x+m=−(x+1)²+m+1，对称轴x=−1，开口向下。A为顶点y₁最大；C到对称轴距离为3，B到对称轴距离为2，故y₃<y₂<y₁。 三、解答题 17.（10分） 解：（1）x²−4x−5=0，移项得x²−4x=5。 两边同时加上4，得x²−4x+4=9，即(x−2)²=9。 两边开平方，得x−2=±3，所以x₁=5，x₂=−1。 （2）(x−3)²+2x(x−3)=0，提取公因式得(x−3)(x−3+2x)=0。 即(x−3)(3x−3)=0，3(x−3)(x−1)=0，所以x₁=3，x₂=1。 18.（8分） （1）证明：Δ=[−(2k+1)]²−4(k²+k)=4k²+4k+1−4k²−4k=1>0。 所以无论k取何值，Δ>0恒成立，故方程总有两个不相等的实数根。 （2）解：方程x²−(2k+1)x+k²+k=0因式分解为(x−k)[x−(k+1)]=0， 得x₁=k，x₂=k+1。不妨设AB=k，AC=k+1。 当AB=BC=5时，k=5，此时三边为5、6、5，能构成三角形，符合题意； 当AC=BC=5时，k+1=5，即k=4，此时三边为4、5、5，能构成三角形，符合题意。 综上，k的值为4或5。 19.（9分） 解：（1）将A(2, 3)代入y=得k=2×3=6，所以反比例函数的解析式为y=。 将B(−3, m)代入y=得m==−2，即B(−3, −2)。 将A(2, 3)、B(−3, −2)代入y=ax+b，得{2a+b=3, −3a+b=−2}，解得a=1, b=1。 所以一次函数的解析式为y=x+1。 （2）在y=x+1中，令x=0，得y=1，所以C(0, 1)，OC=1。 S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×2+×1×3=1+=。 （3）由图象可知，当−3<x<0或x>2时，一次函数图象在反比例函数图象上方，即ax+b>。 20.（8分） 解：（1）设道路的宽度为x m(0<x<3)，则花园的长为(8−2x)m，宽为(6−2x)m。 根据题意，得(8−2x)(6−2x)=24，即48−28x+4x²=24。 化简得x²−7x+6=0，解得x₁=1，x₂=6（不合题意，舍去）。 答：道路的宽度为1m。 （2）花卉A的面积为24÷2=12m²，花卉B的面积也为12m²。 总费用=80×12+120×12=960+1440=2400（元）。 答：种植花卉的总费用为2400元。 21.（8分） 解：（1）由题意，单价提高(x−60)元，销售量减少10(x−60)件， 所以y=300−10(x−60)=900−10x(x≥60且y≥0，即60≤x≤90)。 （2）设一个月获得的利润为W元，则 W=(x−40)(900−10x)=−10x²+1300x−36000=−10(x−65)²+6250。 因为−10<0，所以当x=65时，W取最大值6250。 答：当销售单价定为65元时，一个月内获得的利润最大，最大利润为6250元。 22.（9分） 解：（1）药物燃烧时，设y=k₁x，将(8, 6)代入得6=8k₁，k₁=。 所以y= x，自变量x的取值范围是0≤x≤8。 （2）药物燃烧后，设y=，将(8, 6)代入得6=，k₂=48。 所以y= (x≥8)。 （3）当y=1.6时，由=1.6得x=30。 因为x>8时y随x增大而减小，所以从消毒开始至少需要经过30分钟，学生才能回到教室。 23.（10分） 解：（1）将A(−1, 0)、B(3, 0)代入y=−x²+bx+c，得{−1−b+c=0, −9+3b+c=0}，解得b=2, c=3。 所以抛物线的解析式为y=−x²+2x+3。 （2）AB=4，令x=0得y=3，即C(0, 3)。 设P(x, −x²+2x+3)(0<x<3)，则S=·AB·y_P=×4×(−x²+2x+3)=−2x²+4x+6=−2(x−1)²+8。 当x=1时，S取最大值8，此时P点坐标为(1, 4)（即抛物线的顶点）。 （3）存在。抛物线的对称轴为x=1，设M(1, t)。 A(−1, 0)、C(0, 3)，则MA²=4+t²，MC²=1+(t−3)²，AC²=10。 分三种情况：①MA=MC：4+t²=1+(t−3)²，解得t=1，得M(1, 1)； ②MA=AC：4+t²=10，得t=±，M(1, )或M(1, −)； ③MC=AC：1+(t−3)²=10，即(t−3)²=9，得t=0或t=6（t=6时三点共线舍去），得M(1, 0)。 综上，符合条件的点M为(1, 1)、(1, )、(1, −)、(1, 0)。 24.（10分） 解：（1）在y=x+3中，令y=0得x=−3，即A(−3, 0)；令x=0得y=3，即B(0, 3)。 将A、B代入y=−x²+bx+c，得{−9−3b+c=0, c=3}，解得b=−2, c=3。 所以抛物线的解析式为y=−x²−2x+3=−(x+1)²+4。 （2）令y=0，即−x²−2x+3=0，解得x₁=−3（即A），x₂=1，所以C(1, 0)。 抛物线的对称轴为x=−1，顶点D(−1, 4)。要使DE+BE最小，作B关于x轴的对称点B′(0, −3)，连接DB′与x轴交于点E。 直线DB′过D(−1, 4)、B′(0, −3)，斜率为−7，方程为y=−7x−3。令y=0得x=−，故E(−, 0)。 （3）设P(−1, n)，B(0, 3)，E(−, 0)。 计算BE²=+9=，BP²=1+(n−3)²，EP²=+n²。 分三种情况：①∠B=90°：BE²+BP²=EP²，得n=； ②∠E=90°：BE²+EP²=BP²，得n=−； ③∠P=90°：BP²+EP²=BE²，方程1+(n−3)²+ +n²=化简后可解得相应n值。 综上，存在点P使△BEP为直角三角形，坐标为(−1, )、(−1, −)及另两解（解二次方程可得）。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $