2026－2027学年人教版数学九年级上册期中适应性训练2

2026-2027学年第一学期九年级数学期中适应性训练2 参考答案 一、选择题（每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D C B D A B A D 1. D　(x−1)²=4 ⇒ x−1=±2 ⇒ x₁=3，x₂=−1． 2. D　x²−4x−6=0 ⇒ x²−4x+4=10 ⇒ (x−2)²=10，k=10． 3. D　A 是正比例函数；B 分母为 x²；C 分母是 x+1；只有 D y=−2/x 是反比例函数． 4. C　y=x² → y=(x−2)²+3：向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位． 5. B　把 x=3 代入 ax²+bx+c：9a+3b+c=0 恰好成立，∴x=3 是方程的一个根． 6. D　y=4/x：y₁=4，y₂=2，y₃=4/3，∴y₁＞y₂＞y₃． 7. A　双曲线在二、四象限 ⇒ k＜0 ⇒ y=kx+k 中斜率 k＜0、截距 k＜0，图象经过二、三、四象限，不经过第一象限． 8. B　x=4/x ⇒ x²=4 ⇒ x=±2，交点为 (2,2)、(−2,−2)． 9. A　由图：抛物线开口向上，顶点的纵坐标为 −4．方程 ax²+bx+c=m 有实数根 ⟺ 直线 y=m 与抛物线有交点 ⟺ m≥顶点纵坐标，∴m≥−4． 10. D　设 CA=CB=l，AB=a，D 在 AB 上，AD=x．由等腰三角形性质可推得 y=AC²−CD²=a²/4−(x−a/2)²=ax−x²（开口向下的抛物线，对称轴 x=a/2）． M(m,t)、N(n,t) 同高 ⇒ m、n 关于 x=a/2 对称 ⇒ m+n=a；又 m=8−n ⇒ a=8（A 错）． B：y=12 ⇒ x²−8x+12=0 ⇒ x=2 或 6（不是 2 秒或 8 秒，错）； C：y(5)=−25+40=15≠16（错）； D：2≤x≤7 时最小值在 x=7 处：y(7)=−49+56=7（正确）．∴选 D． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 图中抛物线开口向上，a＞0，如 a=1（答案不唯一，凡 a＞0 均可）． 12. 设 y=a(x+1)²+2，代入 (1,−2)：−2=4a+2，a=−1，∴y=−(x+1)²+2（即 y=−x²−2x+1）． 13. x₁+x₂=4，x₁x₂=2，1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂)=2． 14. mn=−3，(mn+2)²−mn=(−3+2)²−(−3)=1+3=4． 15. 联立 x+1=k/x ⇒ x²+x−k=0 无实数根 ⇒ Δ=1+4k＜0 ⇒ k＜−1/4． 16. y＜2m 的 x 范围是 t−1＜x＜3−t ⇒ 抛物线开口向上（a＞0），且两根 t−1、3−t 关于对称轴对称： 对称轴 x=[(t−1)+(3−t)]/2=1，两根为 1±(2−t)． M(3, m²+3)：m²+3−2m=(m−1)²+2＞0，即 M 恒在直线 y=2m 上方 ⇒ x=3 在两根之外 ⇒ 3−1＞2−t ⇒ t＞0；又区间非空需 t＜2，∴0＜t＜2． N(d, 2m) 在抛物线上 ⇒ d=1±(2−t)，即 d=t−1∈(−1,1) 或 d=3−t∈(1,3)． ∴−1＜d＜3 且 d≠1． 三、解答题（共86分） 17.（8分）解方程 （1）x²+2x=8 ⇒ (x+1)²=9 ⇒ x+1=±3，∴x₁=2，x₂=−4． （2）(x+5)²=2(x+5) ⇒ (x+5)(x+5−2)=0 ⇒ (x+5)(x+3)=0，∴x₁=−5，x₂=−3． 18.（8分） 解：（1）抛物线过 A(−1,0)、B(2,0)：设 y=a(x+1)(x−2)． 代入 C(0,−2)：−2=a·1·(−2)，a=1，∴y=x²−x−2． （2）y=x²−x−2=(x−1/2)²−9/4， ∴顶点坐标 (1/2, −9/4)，对称轴为直线 x=1/2． 19.（8分） 解：（1）设 y=k/x，由图象过 (0.25, 500)：k=500×0.25=125， ∴y=125/x（x＞0）． （2）x=0.5 时，y=125/0.5=250（度）． ∴矫正治疗后，小雪的近视眼镜度数由 500 度降到 250 度，减小了 250 度． 20.（8分） 解：（1）证明：Δ=(k−1)²−4×1×(−k)=k²−2k+1+4k=k²+2k+1=(k+1)²≥0， ∴无论 k 为何值，方程总有两个实数根． （2）观察可知 x=1 是方程的根：1+(k−1)−k=0 恒成立． 由 x₁x₂=−k 且一根为 1，得另一根为 −k． 有一个根大于 2：1 不大于 2，∴−k＞2，∴k＜−2． 21.（8分） 解：（1）设每个降价 x 元，售价 (20−x) 元，销量 (40+10x) 个． 销售额：(20−x)(40+10x)=1190，化简：x²−16x+39=0，(x−3)(x−13)=0，x=3 或 x=13． 售价不低于进价：20−x≥12 ⇒ x≤8，∴x=3． 答：每个应降价 3 元． （2）利润 W=(20−12−x)(40+10x)=(8−x)(40+10x)=−10x²+40x+320=−10(x−2)²+360． ∴x=2 时 W 最大为 360． 答：每个应降价 2 元，此时最大利润为 360 元． 22.（10分） 解：（1）把 A(m,3) 代入 y=−½x+2：3=−m/2+2，m=−2，∴A(−2,3)． 把 A(−2,3) 代入 y=k/x：k=−2×3=−6．∴m=−2，k=−6． （2）设 B(b, −b/2+2)（第一象限：0＜b＜4），C(b, 0)． P 在 y=−6/x（x＜0）上，P 到 y 轴距离是 B 到 y 轴距离的 2 倍：|x_P|=2b ⇒ x_P=−2b， ∴P(−2b, 3/b)． △PBC 中，BC=−b/2+2（竖直边），P 到直线 BC（x=b）的距离=b−(−2b)=3b， S=½·(2−b/2)·3b=−(3/4)b²+3b=−(3/4)(b−2)²+3． ∴b=2 时面积最大，最大值为 3，此时 P(−4, 3/2)． 23.（10分） 解：（1）自变量 x 的取值范围是 x≠1． （2）由 y=1/(x−1)：x=−1 时 y=1/(−2)=−1/2，∴m=−1/2； y=2 时 1/(x−1)=2 ⇒ x−1=1/2 ⇒ x=3/2，∴n=3/2． （3）描点 (−2,−1/3)、(−1,−1/2)、(0,−1)、(1/2,−2)、(3/2,2)、(2,1)、(3,1/2)、(4,1/3)， 用平滑曲线连线：图象分两支，x＜1 时 y＜0（在 x 轴下方，随 x 增大 y 减小），x＞1 时 y＞0（在 x 轴上方，随 x 增大 y 减小），以直线 x=1 和 x 轴为渐近线（图略）． （4）1/(x−1)＞−1： 当 x−1＞0（x＞1）时，1＞−(x−1) 恒成立，∴x＞1； 当 x−1＜0（x＜1）时，两边同乘负数变号：1＜−(x−1) ⇒ x＜0． ∴x 的取值范围是 x＜0 或 x＞1． 24.（12分） 解：（1）x²−5x+6=0 ⇒ (x−2)(x−3)=0，x₁=2，x₂=3，3−2=1， ∴该方程是"邻根方程"． （2）x²−(m−1)x−m=0，因式分解：(x+1)(x−m)=0，根为 −1 和 m． 邻根方程 ⇒ |m−(−1)|=1 ⇒ m+1=±1 ⇒ m=0 或 m=−2． （3）设两根为 r、r+1．由韦达定理： r+(r+1)=−b/a，r(r+1)=1/a． ∴(2r+1)²=4r²+4r+1=4·(1/a)+1=(4+a)/a， b²=a²(2r+1)²=a²·(4+a)/a=a²+4a． t=12a−b²=12a−a²−4a=8a−a²=−(a−4)²+16． ∴当 a=4 时，t 取最大值 16（此时 b²=32，Δ=b²−4a=32−16＞0，符合题意）． 25.（14分） 解：（1）y=−x²−2bx+4 的对称轴 x=−(−2b)/(2×(−1))=−b=−2，∴b=2， 抛物线为 y=−x²−4x+4=−(x+2)²+8，顶点 (−2,8)． （2）证明：A(0,4)；对称轴 x=−2 与 x 轴交于 B(−2,0)． C(m,−8) 在抛物线上：−m²−4m+4=−8 ⇒ m²+4m−12=0 ⇒ m=2 或 m=−6． ∵m＜−2，∴m=−6，C(−6,−8)． 直线 AB：过 (0,4)、(−2,0)，解析式 y=2x+4． 当 x=−6 时，y=2×(−6)+4=−8，即 C(−6,−8) 在直线 AB 上， ∴A、B、C 三点共线． （3）P(t−3, p)、Q(t, q)，图象 G 为抛物线 x 从 t−3 到 t 的一段（t−3＜t）． y=8−(x+2)²，顶点 (−2,8)，点纵坐标只与到 x=−2 的距离 d 有关：y=8−d²． ① 当 t＜−2 时，G 在顶点左侧（增区间），纵坐标之差的最大值 =y(t)−y(t−3)=(t−1)²−(t+2)²=−6t−3＞9＞6，不合题意； ② 当 t＞1 时，G 在顶点右侧（减区间），最大值 =y(t−3)−y(t)=(t+2)²−(t−1)²=6t+3＞9＞6，不合题意； ③ 当 −2≤t≤1 时，G 包含顶点，最大纵坐标为 8，最小纵坐标在离对称轴较远的端点处， 最大差 =d²，其中 d=max(|t+2|, |t−1|)． 令 d²=6 ⇒ d=√6． ∵t＜−1/2 时 |t−1|＞|t+2|，∴1−t=√6，t=1−√6（≈−1.45，满足 −2≤t＜−1/2）． 检验：此时 P(−2−√6, 2)（y_P=8−6=2），Q(1−√6, 6√6−7)（≈7.70）， G 上最高点为顶点 8，最大差=8−2=6 ✓． ∴t=1−√6． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学期中适应性训练2 学校:___________姓名：___________班级：___________座号：___________ 1、 选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项．） 1．方程的根是（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 2．用配方法把方程化成的形式，则（　　） A．2　　 B．4　　 C．8　 　D．10 3．下列函数中，其中是的反比例函数的是（　　） A． 　B．　　 C． 　D． 4．若要得到抛物线，可以将抛物线（　　） A．先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 5．已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（　　） A． B．3 C． D．不能确定 6．已知点、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A．　　 B．　 　C．　　 D． 7．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限　　 B．第二象限　　 C．第三象限　　 D．第四象限 8．正比例函数与反比例函数的图象的交点坐标是（　　） A．　　 B． C．　　 D． 9．二次函数（，为常数）的图象如图所示， 则方程有实数根的条件是（　　） A． B． C． D． 10．如图1，在中，，动点从点出发以1个单位/秒速度向点做匀速运动，设，点运动时间为(秒) ， 且关于的函数图象如图2所示，点和在函数图象上，且，则下列选项中正确的是(　　) A． B．当时，则点运动时间为2秒或8秒 C．点在函数图象上 D．当时， 函数有最小值7 填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11．下图是抛物线的示意图，则的值可以是________（填写符合条件一个数值即可）． 12．已知抛物线的顶点为，且经过点，则该抛物线的解析式为_______________． 13．已知是方程的两个实数根，则的值为_______． 14．已知点在双曲线上，则代数式的值为_______． 15．若直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是___________． 16．已知二次函数的图象经过点，，当时，的取值范围是，则的取值范围是___________． 三、解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）解方程：（1）； （2） 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标与对称轴． 19．（8分）验光师检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象 如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米． （1）求与的函数关系式； （2）矫正治疗后，小雪的近视眼镜的度数发生了怎样变化呢？ 变化了多少度呢？ 20．（8分）关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求的取值范围． 21．（8分）某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个 12元，标价为每个20元. 市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个. （1）在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元? （2）若要使甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元?此时最大利润为多少元? 22．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点. （1） 求和的值； （2）是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴，垂足为. 是反比例函数的图象上的点.若点到轴的距离是点到轴的距离的 2倍，求面积的最大值及此时点的坐标. 23．（10分）综合探究 请根据学习函数的经验，将下列探究函数的图象与性质的过程补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是__________． （2）下表列出了与的几组对应值，请写出其中的值__________，__________； （3）在如图所示的平面直角坐标系中，描出以（2）表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （4）根据图象直接写出时的取值范围：__________． 0 2 3 4 2 1 24．（12分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程x2＋x＝0的两个根是0，－1，则这个方程是“邻根方程”. (1)通过计算，判断方程 （填“是”或“不是”）“邻根方程”； (2)若关于的方程是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于的方程是“邻根方程”，令t＝12a－b2，求t的最大值. 25．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点，抛物线的对称轴为直线. （1） 求的值； （2） 若点是抛物线上的点，且，求证：点三点共线； （3） 点，是抛物线上的两点，记抛物线在之间的部分为图象（包含两点），若图象上任意两点纵坐标之差的最大值是6，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $