专题01有理数 期中复习讲义(核心知识点+典例精讲+分层专项训练)2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题01有理数 期中复习讲义 ✵复习目标 · 会用正、负数表示具有相反意义的量，理解0的意义。 · 掌握有理数的概念与分类，能够识别有理数。 · 掌握数轴、相反数、绝对值的概念及性质，会求对应数值。 · 掌握有理数大小比较方法，能借助数轴比较数的大小。 ✵高频题型梳理 题型1.正负数、0与相反意义的量辨析 题型2.正负数的实际应用 题型3.有理数定义与分类（含带“非”字有理数辨析） 题型4.数轴三要素、画法，用数轴上的点表示有理数 题型5.利用数轴比较有理数大小 题型6.数轴上两点之间的距离计算 题型7.数轴上找原点 题型8.相反数的定义、多重符号化简 题型9.相反数的简单应用 题型10.绝对值的几何意义及求一个数的绝对值 题型11.绝对值非负性的应用 题型12.有理数大小比较及其实际应用 题型13.数轴上点的平移与动点问题 题型14.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、正数和负数 大于 0 的数是正数；正数前面带负号 “-” 的数是负数。 0既不是正数，也不是负数；正负数常用来表示一组具有相反意义的量。 知识点二、有理数 整数和分数统称为有理数。有限小数、无限循环小数都属于分数，是有理数；π不是有理数。 按定义分类：整数（正整数、0、负整数）；分数（正分数、负分数）。 按符号分类：正有理数（正整数、正分数）；0；负有理数（负整数、负分数）。 知识点三、数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴；原点、正方向、单位长度是数轴三要素。 任何有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不一定表示有理数。 数轴上右边的点对应的数，总大于左边的点对应的数。 知识点四、相反数 只有符号不同的两个数互为相反数。a的相反数是-a，0的相反数是0。 几何意义：除0外，互为相反数的两个点在原点两侧，到原点距离相等。 若a、b互为相反数，则 a+b=0。 知识点五、绝对值 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 性质：绝对值具有非负性，|a|≥0；互为相反数的两数绝对值相等。 知识点六、有理数大小比较 数轴法：右边的数大于左边的数。 法则：正数>0>负数，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 ✵易错提醒 1. -a不一定是负数，a可为正数、负数、0。 2. 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，容易判断颠倒。 3. 相反数等于本身的数只有 0；绝对值等于本身的数是非负数。 4.绝对值具有非负性，若几个非负数相加等于0，则每一项都为 0。 ✵典例精讲 题型1.正负数、0与相反意义的量辨析 1．下列各数、、、、、、、中，负数有（     ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 2．在、、、0、、、9中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 3．某电脑公司三种型号的电脑今年的销售量与去年的相比，变化率如下：A型号增长，B型号减少，C型号减少． (1)写出今年这些型号的电脑销售量的增长率； (2)该公司，，三种型号的键盘今年销售量的增长率分别是，和，这三个数各表示什么意思？ 题型2.正负数的实际应用 1．如果“盈利”记作，那么表示（     ） A．少赚 B．亏损 C．盈利 D．亏损 2．某工厂增产1200吨记为，那么减产13吨记为_________ 3．按要求完成下列各题： (1)一个月内，李杰体重增加，周恒体重减少，周荣体重无变化，写出他们这个月的体重增长值． (2)四种品牌的电脑今年第三季度的销售量与第二季度相比，变化率如下：A品牌减少，B品牌增长，C品牌减少，D品牌增长，写出今年第三季度这些品牌的电脑销售量的增长率． 题型3.有理数定义与分类 1．下列各数：（相邻两个1之间0的个数逐次加1），中，有理数有（     ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．，，，，，，中，非正整数有______个． 3．将下列各数填入相应的括号内： ，0，，16，，， 正数集合：{                                     ，…} ； 整数集合：{                                     ，…} ； 负分数集合：{                                     ，…} ． 题型4.数轴三要素、画法，用数轴上的点表示有理数 1．下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，把周长为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示1的点重合，圆沿着数轴滚动10周，此时点表示的数是_______． 3．写出数轴上A，B两点所表示的分数．点A表示的数为________点B表示的数为________． 题型5.利用数轴比较有理数大小 1．如图，下列数轴上的点表示的数最小的是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．有理数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则m________n．（填“”或“”） 3．先画数轴，在数轴上表示下列各数：，，，，，并将这些数用“”号连接起来． 题型6.数轴上两点之间的距离计算 1．如果数轴上点表示的数为，点到点的距离为，那么点表示的数是（     ） A． B． C．或 D．或 2．已知：数轴上表示数与数的两点之间的距离为．利用数形结合思想回答问题：若，则的取值范围为_____． 3．观察数轴，按要求完成： (1)点表示的数写成分数是___________． (2)在数轴上标出表示和的点． (3)点到原点的距离和点到原点的距离相等，但方向相反，请标出点，并将点表示的数字写出来． 题型7.数轴上找原点 1．有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（    ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点A右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 2．如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 3．如图，数轴的单位长度为1，点表示的数是． (1)在数轴上用0标出原点； (2)写出点B表示的数； (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示什么数？ 题型8.相反数的定义、多重符号化简 1．若的相反数和的相反数相等，则的值为（     ） A．50 B． C． D． 2．计算：______． 3．化简下列各数的符号，并回答问题： (1)________；________；________；________；________． (2)当前面有99个负号时，化简后的结果是________，当前面有100个负号时，化简后的结果是________；你能总结出什么规律？ 题型9.相反数的简单应用 1．下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（     ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 2．若m，n互为相反数，则___． 3．已知：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是3，求的值． 题型10.绝对值的几何意义及求一个数的绝对值 1．如图，数轴上有，，，四个点，其中所对应的数的绝对值最大的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．数在数轴上的对应点在原点右边，且，则__________． 3．在数轴上表示下列各数，把它们按照从小到大的顺序排列并用“”号连接． 1，，，． 题型11.绝对值非负性的应用 1．已知，则的绝对值为（   ） A． B．1 C．a D． 2．检测甲、乙、丙、丁四个排球，超过标准质量的克数记为正数，质量表示如下表： 球 甲 乙 丙 丁 相对于标准质量的克数（单位：克） 其中，最接近标准质量的球是______球． 3．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值． 题型12.有理数大小比较及其实际应用 1．在，，，中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 2．比较大小（填“”“”或“”）：______；______；_____． 3．比较大小： (1)与； (2)与． 题型13.数轴上点的平移与动点问题 1．如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（   ） A．5或7 B．3或5或7 C．3或5 D．3或7 2．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为；点A与点B在数轴上的“友好距离”为21个单位长度，并表示为，以此类推． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．动点P从点A出发运动至点D的过程中，某个时刻满足，此时动点P运动的时间是_______．    3．根据所学数轴知识，解答下面的问题： (1)【知识再现】在数轴上有三个点，，，如图（1）所示． ①点，之间的距离是______． ②将点沿数轴向左水平移动4个单位长度，此时该点表示的数是______． (2)【知识迁移】如图（2），将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合． ①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，则这根木棒的长为______． ②图（2）中点所表示的数是______，点所表示的数是______． (3)【知识应用】如图（3），由（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生．你若是我现在这么大，我就119岁啦!”请问奶奶现在多少岁了? 琪琪的想法是借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，奶奶像妙妙这样大时，可看作点移动到点，此时点向左移动后，所对应的点所表示的数为． 根据琪琪的想法，解答下列问题： ①若把点移动到点，此时点向右移动后，所对应的点表示的数为______． ②求奶奶现在多少岁了______． ✵分层专项训练 一、单选题 1．若规定商品涨价为正，则甲商品涨价可记作，乙商品降价可记作（    ） A． B． C． D． 2．下列各数（以此规律类推），下列说法正确的是（     ） A．只有5个分数 B．只有2个整数 C．只有2个负数 D．只有3个非负数 3．正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，转次后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．下列说法中，正确的个数是（     ） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若为有理数，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．正六边形在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数2025所对应的顶点是（     ） A．C B．B C．D D．E 二、填空题 6．在钟表校准中，若把比标准时间快分钟记作，则比标准时间慢分钟记作______． 7．在，0，，，2024，，，中，非负整数有 _____个． 8．有理数在数轴上的位置如图所示，且，，，则、、、的大小用小于号连接为_______． 9．在中，非负整数有个，分数有个，则值为_____． 10．已知，则的最大值是________． 三、解答题 11．将，，，，，，，，，，，，填在相应的括号内． 正数集合：{            …}； 整数集合：{            …}； 非负数集合：{            …}； 负分数集合：{            …}． 12．某体育用品店用400元购进了8套运动服，准备以一定价格出售．如果该店卖出每套运动服的价格以65元为标准，超出部分记做正数，不足部分记做负数，记录如下（单位：元）：，，，，，，0，． (1)你能求出销售后的总额吗？ (2)该店卖出这8套运动服后是盈利还是亏损？盈利（亏损）多少？ 13．如图是制造某机械零件的设计图纸，下表是按照这张图纸加工出来的8个零件中的圆孔直径的测量结果． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 误差： 请你根据图纸和表格中圆孔直径的数据判断： (1)哪些零件不合格（写出零件序号）？ (2)哪个零件误差最小（写出零件序号）？ 14．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点O表示原点． (1)求A，B两点间的距离； (2)点C是线段上的一点，且，求点C表示的数； (3)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．当秒时，求点P，Q表示的数及此时P，Q两点间的距离； (4)当秒时，求点P，Q两点间的距离，并判断此时点Q在点P的哪一侧． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01有理数 期中复习讲义 ✵复习目标 会用正、负数表示具有相反意义的量，理解0的意义。 掌握有理数的概念与分类，能够识别有理数。 掌握数轴、相反数、绝对值的概念及性质，会求对应数值。 掌握有理数大小比较方法，能借助数轴比较数的大小。 ✵高频题型梳理 题型1.正负数、0与相反意义的量辨析 题型2.正负数的实际应用 题型3.有理数定义与分类（含带“非”字有理数辨析） 题型4.数轴三要素、画法，用数轴上的点表示有理数 题型5.利用数轴比较有理数大小 题型6.数轴上两点之间的距离计算 题型7.数轴上找原点 题型8.相反数的定义、多重符号化简 题型9.相反数的简单应用 题型10.绝对值的几何意义及求一个数的绝对值 题型11.绝对值非负性的应用 题型12.有理数大小比较及其实际应用 题型13.数轴上点的平移与动点问题 题型14.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、正数和负数 大于 0 的数是正数；正数前面带负号 “-” 的数是负数。 0既不是正数，也不是负数；正负数常用来表示一组具有相反意义的量。 知识点二、有理数 整数和分数统称为有理数。有限小数、无限循环小数都属于分数，是有理数；π不是有理数。 按定义分类：整数（正整数、0、负整数）；分数（正分数、负分数）。 按符号分类：正有理数（正整数、正分数）；0；负有理数（负整数、负分数）。 知识点三、数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴；原点、正方向、单位长度是数轴三要素。 任何有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不一定表示有理数。 数轴上右边的点对应的数，总大于左边的点对应的数。 知识点四、相反数 只有符号不同的两个数互为相反数。a的相反数是-a，0的相反数是0。 几何意义：除 0外，互为相反数的两个点在原点两侧，到原点距离相等。 若a、b互为相反数，则 a+b=0。 知识点五、绝对值 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 性质：绝对值具有非负性，|a|≥0；互为相反数的两数绝对值相等。 知识点六、有理数大小比较 数轴法：右边的数大于左边的数。 法则：正数>0>负数，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 ✵易错提醒 1. -a不一定是负数，a可为正数、负数、0。 2. 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，容易判断颠倒。 3. 相反数等于本身的数只有 0；绝对值等于本身的数是非负数。 4.绝对值具有非负性，若几个非负数相加等于0，则每一项都为 0。 ✵典例精讲 题型1.正负数、0与相反意义的量辨析 1．下列各数、、、、、、、中，负数有（     ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：、、、、、、、中，负数有、、、，共4个． 2．在、、、0、、、9中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 【答案】 、、9 、、 0 【分析】根据正数大于0，负数小于0，0既不是正数也不是负数求解即可，学生容易遗漏“0”或把0归入某一类． 【详解】解：正数有、、9，负数有、、；0既不是正数也不是负数． 3．某电脑公司三种型号的电脑今年的销售量与去年的相比，变化率如下：A型号增长，B型号减少，C型号减少． (1)写出今年这些型号的电脑销售量的增长率； (2)该公司，，三种型号的键盘今年销售量的增长率分别是，和，这三个数各表示什么意思？ 【答案】(1)三种型号的电脑今年销售量的增长率是A型号，B型号，C型号 (2)表示D型号键盘今年销售量比去年增长了；表示E型号键盘今年销售量比去年减少了；表示F型号键盘今年销售量与去年一样，没增也没减 【详解】（1）略 （2）略 题型2.正负数的实际应用 1．如果“盈利”记作，那么表示（     ） A．少赚 B．亏损 C．盈利 D．亏损 【答案】D 【详解】解：“盈利”记作． 表示亏损． 2．某工厂增产1200吨记为，那么减产13吨记为_________ 【答案】 【分析】增产记为正数，增产与减产是相反意义的量，因此减产记为负数． 【详解】解：∵增产吨记为， 即规定增产为正方向， ∴减产吨应记为． 3．按要求完成下列各题： (1)一个月内，李杰体重增加，周恒体重减少，周荣体重无变化，写出他们这个月的体重增长值． (2)四种品牌的电脑今年第三季度的销售量与第二季度相比，变化率如下：A品牌减少，B品牌增长，C品牌减少，D品牌增长，写出今年第三季度这些品牌的电脑销售量的增长率． 【答案】(1)李杰体重增长，周恒体重增长，周荣体重增长 (2)A品牌为，B品牌为，C品牌为，D品牌为 【分析】根据正负数的实际应用求解． 【详解】（1）解：这个月李杰体重增长，周恒体重增长，周荣体重增长； （2） 解：四种品牌的电脑今年第三季度销售量的增长率是：A品牌为，B品牌为，C品牌为，D品牌为． 题型3.有理数定义与分类 1．下列各数：（相邻两个1之间0的个数逐次加1），中，有理数有（     ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【详解】解：整数、，分数，有限小数、均为有理数， 含的、，以及无限不循环小数（相邻两个1之间0的个数逐次加1）均不是有理数， ∴有理数共有5个． 2．，，，，，，中，非正整数有______个． 【答案】 【分析】先明确非正整数的定义为和负整数，再逐个判断给出的数即可得到结果． 【详解】解：非正整数指小于等于的整数，包含和所有负整数，对给出的数逐个判断： 是负小数，不是整数，不符合要求； 是正小数，不符合要求； 是非正整数，符合要求； 是负小数，不是整数，不符合要求； 是负分数，不是整数，不符合要求； 是正分数，不符合要求； 是无限小数，不是整数，不符合要求； 因此符合要求的非正整数只有个． 3．将下列各数填入相应的括号内： ，0，，16，，， 正数集合：{                                     ，…} ； 整数集合：{                                     ，…} ； 负分数集合：{                                     ，…} ． 【答案】；；. 【详解】略 题型4.数轴三要素、画法，用数轴上的点表示有理数 1．下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、选项没有单位长度，故该选项不符合题意； B、选项没有正方向，故该选项不符合题意； C、选项满足原点，正方向，单位长度，故该选项符合题意； D、选项中的位置标注错误，故该选项不符合题意． 2．如图，把周长为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示1的点重合，圆沿着数轴滚动10周，此时点表示的数是_______． 【答案】或 【分析】分“向右滚动”和“向左滚动”两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当向右滚动10周时，点表示的数是， 当向左滚动10周时，点表示的数是， 综上所述，点表示的数是或． 3．写出数轴上A，B两点所表示的分数．点A表示的数为________点B表示的数为________． 【答案】， 【详解】解：由数轴知：点表示的数为 ，点表示的数为 ． 题型5.利用数轴比较有理数大小 1．如图，下列数轴上的点表示的数最小的是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据数轴左侧的数据小于右侧的进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，数轴上的点表示的数最小的是点． 2．有理数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则m________n．（填“”或“”） 【答案】 【详解】解：由数轴可知． 3．先画数轴，在数轴上表示下列各数：，，，，，并将这些数用“”号连接起来． 【答案】如图， ∴． 【详解】略 题型6.数轴上两点之间的距离计算 1．如果数轴上点表示的数为，点到点的距离为，那么点表示的数是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：当点在点右侧时，点表示的数为， 当点在点左侧时，点表示的数为． 2．已知：数轴上表示数与数的两点之间的距离为．利用数形结合思想回答问题：若，则的取值范围为_____． 【答案】 或 【分析】将绝对值转化为数轴上表示的点到表示的点的距离和表示的点到表示的距离，先计算两点间距离，再分三种情况讨论的位置，得到不等式的解． 【详解】解：根据题意，表示的点到表示的点的距离，表示数轴上表示的点到表示的距离．表示数的点和表示数的点之间的距离为． 分三种情况讨论： 如图，当时，等于表示的点到表示的点的距离，即，不满足． 如图，当时，等于表示的点到表示的点的距离加上2倍表示的点到表示2的点的距离，即，符合条件． 当时，等于表示的点到表示的点的距离加2倍表示的点到表示的点的距离，即，符合条件． 综上，的取值范围是或． 3．观察数轴，按要求完成： (1)点表示的数写成分数是___________． (2)在数轴上标出表示和的点． (3)点到原点的距离和点到原点的距离相等，但方向相反，请标出点，并将点表示的数字写出来． 【答案】(1) (2)表示2.5和的点如图所示： (3)如图，点C即为所求， 【分析】（1）确定数轴单位长度：先看1到2之间的刻度划分，计算每个小刻度代表的数值，因为点在和之间，所以用加上对应小刻度的数值即可得到点的分数形式； （2）根据数轴的单位长度和原点位置即可确定表示2.5和的点； （3）先确定点表示的数，因为点和点到原点距离相等、方向相反，所以点的数是点的相反数，再在数轴对应位置标注点． 【详解】（1）解：点A表示的数写成分数是； （2）略 （3）略 题型7.数轴上找原点 1．有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（    ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点A右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，根据越在数轴的右边的数越大，运用，得，则原点一定在中点左侧，即可作答． 【详解】解：∵，且从数轴得， ∴，， ∴原点一定在中点左侧， 故选：C． 2．如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6 【分析】本题考查数轴的有关知识以及相反数的性质，关键是先求出、两点在直尺上的距离，再结合“互为相反数的两点到原点距离相等”确定原点对应的刻度． 【详解】解：∵直尺上点对应刻度2，点对应刻度， ∴、在直尺上的距离为， ∵点、表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为； 故答案为：6． 3．如图，数轴的单位长度为1，点表示的数是． (1)在数轴上用0标出原点； (2)写出点B表示的数； (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示什么数？ 【答案】(1) 用0表示出原点． (2)点表示3 (3)点表示的数为或． 【分析】本题考查了数轴．熟练掌握数轴上的点表示数，是解题的关键． （1）根据点A表示的数为来确定原点； （2）根据点B在原点右侧3个单位长度处回答； （3）分点C在点B左侧和右侧两种情况解答． 【详解】（1）解：如图，∵点A表示的数是， ∴原点在点A右侧4个单位长度处； （2）解：∵点B在原点右侧3个单位长度处， ∴点B表示的数为3． （3）解：∵，点B表示的数为3， ∴当点C在点B左侧时，点C表示的数为， 当点C在点B右侧时，点C表示的数为， 故点表示的数为或． 题型8.相反数的定义、多重符号化简 1．若的相反数和的相反数相等，则的值为（     ） A．50 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求的相反数，再推导的值． 【详解】解：∵的相反数是， 又∵的相反数与的相反数相等， ∴的相反数为， ∴． 2．计算：______． 【答案】 【详解】解：． 3．化简下列各数的符号，并回答问题： (1)________；________；________；________；________． (2)当前面有99个负号时，化简后的结果是________，当前面有100个负号时，化简后的结果是________；你能总结出什么规律？ 【答案】(1)，，，， (2)，；规律：若在一个数的前面有偶数个负号，则化简后的结果是其本身；若在一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果是这个数的相反数 【分析】（1）根据化简多重符号的方法，分别计算； （2）规律：若在一个数的前面有偶数个负号，则化简后的结果是其本身；若在一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果是这个数的相反数，据此求解即可． 【详解】（1）解：，，，，； （2）解：前面有99个负号时，化简后的结果是；前面有100个负号时，化简后的结果是， 规律：若在一个数的前面有偶数个负号，则化简后的结果是其本身；若在一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果是这个数的相反数． 题型9.相反数的简单应用 1．下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（     ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据0的相反数是0；互为相反数的两个数的和为0，对各说法进行判断作答即可． 【详解】解：若a、b互为相反数，则，正确，故①符合要求； 若，则a、b互为相反数，正确，故②符合要求； 若a、b互为相反数，当时，无意义，故③说法错误，不符合要求； 若，则，即，a、b互为相反数，正确，故④符合要求； 综上，正确的结论是①②④． 2．若m，n互为相反数，则___． 【答案】3 【分析】本题考查了相反数的性质，求代数式的值，掌握相反数和为0是解题的关键． 由相反数的性质可知，进而简化表达式 【详解】解：∵ m，n 互为相反数， ∴ ， ∴ ． 故答案为 3． 3．已知：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是3，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，相反数、倒数的定义，解题的关键是利用整体的思想求解． 由已知得，然后再整体代入求值． 【详解】解：由已知得， 所以， 原式. 题型10.绝对值的几何意义及求一个数的绝对值 1．如图，数轴上有，，，四个点，其中所对应的数的绝对值最大的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【详解】解：由数轴得，点距离原点最远， ∴所对应的数的绝对值最大的点是． 2．数在数轴上的对应点在原点右边，且，则__________． 【答案】 【分析】数在数轴上的对应点在原点的右边，说明是正数，结合即可得到的值． 【详解】解：∵数在数轴上的对应点在原点的右边， ∴是正数， ∵， ∴． 3．在数轴上表示下列各数，把它们按照从小到大的顺序排列并用“”号连接． 1，，，． 【答案】在数轴上表示如下： 从小到大的顺序排列并用“＜”号连接如下： ． 【分析】先利用绝对值、相反数化简，然后在数轴上表示，最后从小到大排列并用“”连接即可． 【详解】解：， 在数轴上表示略； 从小到大的顺序排列并用“”号连接略． 题型11.绝对值非负性的应用 1．已知，则的绝对值为（   ） A． B．1 C．a D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．检测甲、乙、丙、丁四个排球，超过标准质量的克数记为正数，质量表示如下表： 球 甲 乙 丙 丁 相对于标准质量的克数（单位：克） 其中，最接近标准质量的球是______球． 【答案】 丁 【详解】解：∵，，，，且 ， ∴最小，即丁球偏离标准质量的偏差最小，因此最接近标准质量的球是丁． 3．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值以及代数式求值等知识，根据题意可得，然后分和两种情况，分别代入求值即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，， ∴， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为1或． 题型12.有理数大小比较及其实际应用 1．在，，，中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的大小比较规则，正数大于，大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：四个数中，是正数，、是负数． 正数大于，大于负数， 最小的数在和中． ，，， ，即最小的数是． 2．比较大小（填“”“”或“”）：______；______；_____． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴； ，，， ∴； ∵，，， ∴． 3．比较大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】两组数含相反数或绝对值运算，先化简再比较大小． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴． 题型13.数轴上点的平移与动点问题 1．如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（   ） A．5或7 B．3或5或7 C．3或5 D．3或7 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的动点问题，整式加减中的无关型问题，先求出点表示的数，根据点的移动规则，求出移动后点表示的数，分点在点右侧和左侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为5， ∴运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 当点在点右侧时，， 则： ； ∵的值在某段时间内不随着的变化而变化， ∴， ∴； 当点在点左侧时，， 则： ； ∵的值在某段时间内不随着的变化而变化， ∴， ∴； 综上：或； 故选A． 2．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为；点A与点B在数轴上的“友好距离”为21个单位长度，并表示为，以此类推． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．动点P从点A出发运动至点D的过程中，某个时刻满足，此时动点P运动的时间是_______．    【答案】14.5或19.5秒 【分析】本题考查了数轴动点问题，确定满足时，点P所在的位置是解题的关键．分点P在上和点P在上两种情况进行讨论求解，设P点所对应的数为x，根据，求出x的值，再根据点P的运动速度，求出相应的运动时间． 【详解】解：设P点所对应的数为， ①当点P在上， ∵，， 又∵， ∴， 解得，， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度运动，点A表示， ∴动点P从点A到点O，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点O与点B之间时，速度为1个单位长度/秒， ∴动点P运动从点O运动到10时，所用时间为（秒）， ∴满足，此时动点P运动的时间是（秒）； ②当点P在上， ∵，， 又∵， ∴， 解得，， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度运动，点A表示， ∴动点P从点A到点O，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点O与点B之间时，速度为1个单位长度/秒， ∴动点P从点O运动到B时，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点B与点C之间时，速度为6个单位长度/秒， ∴动点P从点B运动到C时，所用时间为（秒）， ∴动点P从点C运动到26时，所用时间为（秒）， ∴满足，此时动点P运动的时间是（秒）； 综上，满足，此时动点P运动的时间是14.5秒或19.5秒． 故答案为：14.5或19.5秒． 3．根据所学数轴知识，解答下面的问题： (1)【知识再现】在数轴上有三个点，，，如图（1）所示． ①点，之间的距离是______． ②将点沿数轴向左水平移动4个单位长度，此时该点表示的数是______． (2)【知识迁移】如图（2），将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合． ①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，则这根木棒的长为______． ②图（2）中点所表示的数是______，点所表示的数是______． (3)【知识应用】如图（3），由（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生．你若是我现在这么大，我就119岁啦!”请问奶奶现在多少岁了? 琪琪的想法是借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，奶奶像妙妙这样大时，可看作点移动到点，此时点向左移动后，所对应的点所表示的数为． 根据琪琪的想法，解答下列问题： ①若把点移动到点，此时点向右移动后，所对应的点表示的数为______． ②求奶奶现在多少岁了______． 【答案】(1)①；② (2)①；②， (3)①；② 【分析】（1）①根据数轴上两点间的距离公式计算即可得出结果；②数轴上点的平移法则：左减右加，由此计算即可得出结果； （2）①求出数轴上对应的点到对应的点的距离为，这段距离刚好是三根木棒的长度，结合除法计算即可得出结果；②根据数轴上两点间的距离公式计算即可得出结果； （3）①根据题意结合数轴上点的移动法则即可得出结果；②先求出数轴上对应的点到对应的点的距离为，这刚好为年龄差的长度的三倍，从而可得出一个年龄差的长度，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①点，之间的距离是． ②将点沿数轴向左水平移动4个单位长度，此时该点表示的数是． （2）解：①由题意可得，这根木棒的长为． ②图（2）中点所表示的数是，点所表示的数是． （3）解：①由题意可得，若把点移动到点，此时点向右移动后，所对应的点表示的数为． ②（岁）， （岁）， （岁）， 故奶奶现在岁了． ✵分层专项训练 一、单选题 1．若规定商品涨价为正，则甲商品涨价可记作，乙商品降价可记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了具有相反意义的量，根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案掌握具有相反意义的量的概念是解题的关键． 【详解】解：∵甲商品涨价可记作， ∴乙商品降价可记作， 故选：A． 2．下列各数（以此规律类推），下列说法正确的是（     ） A．只有5个分数 B．只有2个整数 C．只有2个负数 D．只有3个非负数 【答案】A 【分析】利用有理数的分类方法判断即可． 【详解】解：A、分数：，，，，，共5个，故此选项正确； B、整数：0，只有1个，故此选项错误； C、负数：，，，共3个，故此选项错误； D、非负数：，，，0，（以此规律类推），共5个，故此选项错误． 3．正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，转次后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】通过列举前几次翻转后数轴上的数与正方形顶点的对应关系，发现每次翻转为一个循环周期，根据除以的余数确定对应的点． 【详解】解：由题意可知，正方形的边长为初始位置：点对应，点对应 ， 翻转次后：点 对应，点对应 ， 翻转次后：点 对应，点对应 ， 翻转次后：点 对应，点对应 ， 翻转次后：点 对应，点对应 数轴上的数与正方形顶点的对应关系每 个数为一个循环周期，对应顺序为 数对应的点与数对应的点相同，即为点 ． 4．下列说法中，正确的个数是（     ） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若为有理数，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据互为相反数的两数绝对值相等，可判断①；根据绝对值是本身的数是非负数，可判断②；根据绝对值相等的两数相等或互为相反数，可判断③，根据互为相反数的两数绝对值相等，可判断④． 【详解】解：①∵，∴，故①正确； ②∵时，，故②错误； ③∵时，或，故③错误； ④∵为有理数，与互为相反数，∴，故④正确； 综上，正确的说法共2个． 5．正六边形在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数2025所对应的顶点是（     ） A．C B．B C．D D．E 【答案】A 【分析】根据点从1开始，每翻转6次一个循环，利用，根据余数的情况进行判断即可． 【详解】解：由题意，可知，点从1开始，每翻转6次一个循环， ∵， ∴数轴上数所对应的点是. 二、填空题 6．在钟表校准中，若把比标准时间快分钟记作，则比标准时间慢分钟记作______． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可得出答案． 【详解】解：若把比标准时间快分钟记作，则比标准时间慢分钟记作， 故答案为：． 7．在，0，，，2024，，，中，非负整数有 _____个． 【答案】 【分析】本题主要考查非负整数，熟练掌握非负整数的分类是解题的关键．根据非负整数即正整数以及即可得到答案． 【详解】解：非负整数有，0，2024． 故答案为：． 8．有理数在数轴上的位置如图所示，且，，，则、、、的大小用小于号连接为_______． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，由数轴可得，即得，，进而可得，得到，即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 9．在中，非负整数有个，分数有个，则值为_____． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数分类、相反数、绝对值、代数式求值等知识点，掌握有理数的分类是解题的关键．先化简数字并分类，找出非负整数和分数的个数，从而确定a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：（分数）、（负整数）、（非负整数）、（非负整数）、（非负整数）、（非负整数）、（分数）、（分数）、（无理数，不是分数，也不是整数）， 综上，非负整数有 ，共 4 个， 分数有 ，共 3 个， 即， 则 ． 故答案为：1． 10．已知，则的最大值是________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． 利用绝对值的几何意义进行求解即可． 【详解】解：根据绝对值的几何意义可得， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，； 同理，，， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴的最大值是， 故答案为：8． 三、解答题 11．将，，，，，，，，，，，，填在相应的括号内． 正数集合：{            …}； 整数集合：{            …}； 非负数集合：{            …}； 负分数集合：{            …}． 【答案】；；； 【分析】根据正数、整数、分数、非负数、负分数的定义分类即可． 【详解】解：∵正数是大于的数， ∴正数集合：； ∵整数包括正整数、，和负整数， ∴整数集合：； ∵非负数是大于等于的数，包括正数与， ∴非负数集合：； ∵负分数是小于的分数，，是负分数， ∴负分数集合：． 12．某体育用品店用400元购进了8套运动服，准备以一定价格出售．如果该店卖出每套运动服的价格以65元为标准，超出部分记做正数，不足部分记做负数，记录如下（单位：元）：，，，，，，0，． (1)你能求出销售后的总额吗？ (2)该店卖出这8套运动服后是盈利还是亏损？盈利（亏损）多少？ 【答案】(1)元 (2)盈利，元 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，正数和负数的实际应用，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列算式即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解： （元）； 即销售后的总额为元； （2）解：， 该店卖出这8套运动服后是盈利， 盈利元． 13．如图是制造某机械零件的设计图纸，下表是按照这张图纸加工出来的8个零件中的圆孔直径的测量结果． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 误差： 请你根据图纸和表格中圆孔直径的数据判断： (1)哪些零件不合格（写出零件序号）？ (2)哪个零件误差最小（写出零件序号）？ 【答案】(1)序号为3，8的两个零件不合格 (2)序号为4的零件误差最小 【分析】（1）由图可知，误差范围为，超出范围即为不合格； （2）误差的绝对值最小即为误差最小． 【详解】（1）解：由图可知生产质量的指标是合格品的圆孔直径不超出的误差，即误差范围为，否则为不合格， ，， ∴ 序号为3，8的两个零件不合格； （2）解： 由表可知，各个误差除了符号以外的数字中，最小， 故序号为4的零件误差最小． 14．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点O表示原点． (1)求A，B两点间的距离； (2)点C是线段上的一点，且，求点C表示的数； (3)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．当秒时，求点P，Q表示的数及此时P，Q两点间的距离； (4)当秒时，求点P，Q两点间的距离，并判断此时点Q在点P的哪一侧． 【答案】(1)20 (2)点C表示的数是2 (3)P表示，Q表示3， (4)，点Q在点P的左侧 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （2）根据题意可知点C在线段上，且在点A的右侧，然后根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （3）先表示出点P和点Q所代表的数，再根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （4）先表示出点P和点Q所代表的数，再根据数轴上两点之间的距离公式求解出P，Q两点间的距离，根据数轴判断两点之间的位置关系． 【详解】（1）解：． （2）解：∵点C在线段上，且在点A的右侧，， ∴点C表示的数为． （3）解：当时，点P表示的数为； 点Q表示的数为； ∴． （4）解：当时，点P表示的数为； 点Q表示的数为； ∴， 此时点Q在点P的左侧． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $