第1章·有理数及大小比较·压轴专题·期中复习讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版七年级数学上册

第1章·有理数及大小比较·压轴专题·期中复习讲义 （知识梳理+典例+练习）2026-2027·人教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 深入理解正负数、有理数分类与数轴三要素，能辨析易错概念 · 掌握绝对值与相反数的定义、性质及非负性，能灵活分类讨论求值 · 熟练运用数轴解决动点、折叠、滚动与距离最值等压轴问题 · 掌握有理数运算的法则与新定义运算，能解决实际情境综合题 · 体会数形结合、分类讨论、整体代入等数学思想方法，提高综合解题能力 📚 知识梳理 ☆ 1.正负数与有理数分类 正数大于0，负数是在正数前面加负号的数，0既不是正数也不是负数 有理数按定义分为整数和分数，按性质分为正有理数、0、负有理数 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，都属于有理数 用正负数表示相反意义的量：规定一个方向为正，则相反方向为负 概念辨析例题：下列说法正确的是（ ）A．0是最小的有理数 B．有理数分为正有理数和负有理数 C．在数轴上左边的点表示的数比右边的大 D．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示 答案：D 解析：不存在最小的有理数；有理数分为正有理数、0、负有理数；数轴上左边的点表示的数比右边的小；任何有理数都可用数轴上的点表示，故选D。 ☆ 2.数轴与数轴上的点 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可 任何有理数都可用数轴上唯一一点表示，正数在原点右侧，负数在原点左侧 数轴上两点间的距离等于两点所表示数的差的绝对值，AB=|a-b| 动点问题：点表示的数=起点+运动距离（向右为正、向左为负） 概念辨析例题：若数轴上点A表示-3，点B表示2，则A、B两点间的距离为______ 答案：5 解析：两点间的距离等于两点所表示数的差的绝对值，AB=|2-(-3)|=|5|=5。 ☆ 3.相反数与倒数 只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，a的相反数是-a 若a与b互为相反数，则a+b=0；若a与b互为倒数，则ab=1 多重符号化简：奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数 概念辨析例题：若a与b互为相反数，c与d互为倒数，则a+b+cd的值为______ 答案：1 解析：a+b=0，cd=1，所以a+b+cd=0+1=1。 ☆ 4.绝对值 |a|表示数轴上点a到原点的距离，|a|≥0（非负性） 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 若|a|=|b|，则a=b或a=-b；若|a-1|+(b+2)2=0，则a=1且b=-2 |a-b|的几何意义：数轴上a、b两点间的距离；绝对值方程|x|=a（a>0）的解为x=±a 概念辨析例题：已知|x-1|+|y+2|=0，求x+y的值 答案：-1 解析：由绝对值的非负性，|x-1|≥0且|y+2|≥0，和为0则两者都为0，故x=1，y=-2，x+y=-1。 ☆ 5.有理数运算与大小比较 数轴法比较大小：右边的数总比左边的大；正数大于0，0大于负数 两个负数比较大小：绝对值大的反而小 有理数混合运算顺序：先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号 新定义运算题：读懂新运算规则，按规则代入计算 概念辨析例题：计算：-22+(-3)2× 答案：-1 解析：-22=-4，(-3)2=9，9×=3，所以原式=-4+3=-1。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 正数与负数 大于0的数是正数，正数前加负号是负数 0既不是正数也不是负数 有理数分类 整数和分数统称有理数 分类不重不漏，小数看能否化分数 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线 三要素缺一不可 相反数 a的相反数是-a，互为相反数和为0 0的相反数是0 倒数 乘积为1的两个数互为倒数 0没有倒数 绝对值 |a|=数轴上点a到原点的距离 |a|≥0，非负性 距离公式 AB=|a-b| 数轴上两点距离 大小比较 两个负数，绝对值大的反而小 先求绝对值再比较 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的概念与分类（第1-9题） · 辨析正负数、有理数分类等概念时，逐项判断，特别注意0的特殊性 · 判断有理数个数：先把有限小数、无限循环小数化为分数再归类 · 相反意义的量：先规定正方向，再确定各量符号 · 「一定是负数」「最小的有理数」等说法要举反例验证 1．（23-24六年级下·上海普陀·期中）下列说法中正确的是（   ） A．0是最小的有理数 B．有理数分为正有理数和负有理数 C．在数轴上，左边的点所表示的数比右边的点所表示的数大 D．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示 【答案】D 【知识点】有理数的分类、用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了数轴、有理数，关键是掌握有理数的定义及其分类．根据有理数的定义及分类、数轴可判断． 【详解】解：不存在最小的有理数，故A不符合题意， 有理数分为正有理数、0、负有理数，故B不符合题意， 在数轴上，左边的点所表示的数比右边的点所表示的数小，故C不符合题意， 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，故D符合题意， 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）在，15，，0，，，中，负分数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查负分数的概念，负分数是指小于零的分数，包括负小数和负带分数，但负整数和零不包括在内，只需从给定的数中识别出所有负分数并计数即可，熟练掌握相关定义是解此题的关键． 【详解】解：负分数是小于零的分数； 是正分数，不符合； 是正整数，不符合； 是负小数，可化为，是负分数； 既不是正也不是负，不符合； 是负整数，不符合； 是负带分数，可化为，是负分数； 是正分数，不符合； 故负分数有和，共2个， 故答案为：B． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列各说法中，正确的个数有（    ） ①若，则一定是负数；②一个正数一定大于它的倒数；③除以一个数，等于乘以这个数的倒数；④若，则；⑤若，则且； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、倒数、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、倒数、有理数除法运算、有理数乘法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据绝对值的性质、倒数、有理数除法运算、有理数乘法法则逐个判定即可． 【详解】解：①若，则可能是负数，也可能是零，故①错误； ②小于1的正数的倒数，这个正数小于它的倒数，故②错误； ③除以一个数（0除外）等于乘以这个数的倒数，故③错误； ④若，则，说法正确； ⑤若，则且或且，即⑤错误． 故选A． 4．（24-25七年级上·重庆·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义、等式的性质2 【分析】本题主要考查等式的性质．解题关键是熟知等式的性质，并注意在等式性质2中，同时除以的时候不能除以0；绝对值性质． 利用等式的基本性质，绝对值性质，逐项分析得出答案即可． 【详解】A. 若，当时，无意义，A不正确； B. 若，则，成立，B不确； C. 若，则，C不正确; D. 若，则，D不正确． 故选：B． 5．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、有理数大小比较、有理数的减法运算 【分析】本题考查有理数的运算，比较大小，绝对值的意义，根据相关运算法则，绝对值的意义，逐一进行判断即可．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【详解】解：A、两个有理数的差为正数，则被减数一定大于减数，两个数中不一定有正数，比如；原说法错误，不符合题意； B、，不一定小于，例如：，；原说法错误，不符合题意； C、a为任何有理数，则必为非正数；原说法错误，不符合题意； D、若，则a为非正数；原说法正确，符合题意； 故选D． 6．（25-26七年级上·重庆·期中）下列说法中，正确的结论有（   ） ①若，则；②点，点，点为不重合三个点，在数轴上对应的数分别是，2，．若到的距离与到的距离相等，则；③当时，代数式有最小值，最小值为6；④关于的多项式与的取值无关，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查有理数与数轴，绝对值的几何意义，整式加减中的无关型问题，举反例判断①，根据两点间的距离列出方程判断②，绝对值的几何意义判断③，合并同类项后，根据代数式的值与的取值无关，得到含的项的系数为0，进行求解，判断④． 【详解】解：①若，不一定大于，例如，；故①错误； ②由题意，，解得或（若，点C与点A重合，故舍去）；故②正确； ③表示数轴上数到数2，，的距离之和，故当时，代数式有最小值，最小值为；故③正确； ④与的取值无关，则，故；故④错误； 故选B． 7．（18-19六年级下·黑龙江绥化·期末）向北走8米，记作米，那么向南走8米，记作________． 【答案】米 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了相反意义的量，解题关键是理解“正”和“负”的相对性．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：由于向北走8米，记作米， 所以向南走8米，记作米． 故答案为：米． 【答案】9 【知识点】求一个数的绝对值、有理数四则混合运算 根据题意，仿照例题即可求出的值． 【详解】解：根据题意可得， 故答案为：9． 8．（25-26七年级上·四川南充·期中）下列结论：①一定是负数；②若，则；③若，则x是非正数；④若，，则．⑤若n为正整数，则． 【答案】③④ 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的分类，绝对值的概念，有理数的运算，解题关键是注意有理数中的0． 通过逐一分析每个结论的条件和定义，结合绝对值、有理数运算等知识点，判断其正确性． 【详解】①：不一定是负数，因为当a为负数时，为正数；当a为零时，为零．故结论①错误． ②：，则x可为4或，不一定等于．故结论②错误． ③：，若，则，；若，则，．故x是非正数，结论③正确． ④：，说明；，且，故，即．因此，代入得，故．所以，结论④正确． ⑤：n为正整数，（因为为偶数），（因为为奇数），故和为0，不等于 ．结论⑤错误． 故答案为：③④． 9．（24-25七年级上·吉林长春·阶段检测）是绝对值最小的数，是最大的负整数，与互为相反数，求的值 【答案】 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、有理数加法运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查绝对值，负整数，相反数的定义，代入求值，根据题意分别求值的值代入计算即可求解． 【详解】解：是绝对值最小的数，是最大的负整数，与互为相反数， ∴，，， ∴． 【考点2】数轴与数轴上的点（第10-19题） · 未标原点的数轴：先根据已知点确定原点位置，再判断其他点 · 滚动、折叠问题：确定重合点后，利用对称性或对应关系求点 · 动点问题：设运动时间为t，用代数式表示各点位置 · 多点距离问题：结合图形分类讨论，利用|a-b|表示距离 10．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）粗心的小马在画数轴时只标了单位长度（一格表示单位长度为1）和正方向，而忘了标上原点（如图），若点B和点C表示的两个数的绝对值相等，则点A表示的数是（     ） A．3 B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的意义，根据互为相反数的两个数的绝对值相同，得到点B和点C到原点的距离相等，确定原点的位置，再进行求解即可．熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键． 【详解】解：由题意和图可知，原点的位置在的中间位置，如图： 由图可知，点表示的数为； 故选C． 11．（25-26七年级上·湖南·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数分别为 和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026对应的是（   ） A．点D B．点C C．点B D．点A 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的规律探究 【分析】本题考查了用点来表示数轴上的有理数，规律探究，正确理解正方形转动的规律是解题的关键．利用已知，找到循环规律，然后看对应的数2026的是谁即可． 【详解】解：正方形在数轴上点对应的数分别为， 正方形的边长为1， 转动时点对应的数依次为； 点对应的数依次是 点对应的数依次是 点对应的数依次是 ， 2026对应的是第507次循环后的点． 故选：. 12．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）一个跳蚤在一条数轴上，从0开始，第1次向右跳1单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，依此规律下去，当它跳第2025次落下时，落点在数轴上表示的数是______． 【答案】1013 【知识点】用数轴上的点表示有理数、有理数加法运算、数字类规律探索、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数的加减混合运算，解题的关键是根据题意列出算式． 规定向右为正方向，根据题意列出算式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，规定向右为正方向， ， 故答案为：1013． 13．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳一个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是60，求电子跳蚤的初始位置点所表示的数． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，数轴上两点的距离计算，根据题意知每跳两次完毕后向右进1个单位，按此规律跳了100步后距出发地的距离是50个单位，且在的右侧，根据所表示的数恰是60，即可求得初始位置点所表示的数． 【详解】解：第一步从向左跳一个单位到， 第二步由向右跳2个单位到， 第三步由向左跳3个单位到， 第四步由向右跳4个单位到…， 以此类推可知，每相邻的两个跳跃过后，跳蚤向右移动1个单位， ∵， ∴当电子跳蚤落在数轴上的点位置时，一共跳跃100次，即相当于从点向右移动50个单位后到达的位置， ∵电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是60， ∴初始位置点所表示的数为． 14．（25-26六年级上·山东淄博·期中）如图，是一条还未标出原点的数轴． (1)请用该数轴上的点表示下列各数：，，0，5，，； 【答案】(1)数轴图： (2) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了 “数轴”​ 和 “有理数的大小比较”​ 的核心知识点；解题的关键在于确定原点和单位长度； （1）确定原点和单位长度：观察数轴，和之间相隔个单位长度，因此，每个单位长度代表数值1，由此可以确定原点的位置，然后在数轴上表示出数即可． 【详解】（1）略 （2）根据（1）画的数轴图， 因为数轴上的数，越往右越大， 所以数据按照从左到右依次是从小到大， 故． 15．（24-25七年级上·福建厦门·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点右侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“关联点”，如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，，且，满足． (1)由题意得，______，______； (2)若点是“关联点”，则点所表示的数为______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，求出，满足的数量关系． 【答案】(1)4， (2)0或 (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了数轴上的两点间的距离的应用，非负数的性质等知识点， （1）由和非负数的性质即可得解； （2）点C是“关联点”，分点C在线段上和点C在线段的延长线上两种情况讨论即可得解； （3）设点Q表示的数为，根据新定义、已知条件，得出用m、n、表示的代数式，再由“点Q运动时，式子为定值”知：关于的代数式中的系数为0，从而得出整数m、n满足的数量关系； 关键掌握数轴上新定义应用题，运用“数轴上表示数a、b的两点之间的距离为”来解题． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵点A，点B表示的数分别为a，b，且a，b满足， ∴，， 故答案为：4，； （2）∵点A，点B表示的数分别为4，， ∴， 若点C是“关联点”，则， 当点C在线段上时，， 此时，点C所表示的数为； 当点C在线段的延长线上时，， 此时，点C所表示的数为， 综上所述，点C所表示的数0或， 故答案为：0或； （3）设点Q表示的数为， ∵点在，之间运动，且不与，两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上． ∴，，，， ∴，， ∴， 当点Q运动时，若存在整数m、n，使得式子为定值，则    ， ∴， 即整数m、n满足的数量关系是． 16．（23-24七年级上·湖北荆州·阶段检测）已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，15，且a，b满足．动点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，当点M到达点C时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． (1)直接写出结果：__________，__________，__________； (2)当M，N两点相遇时，求t的值及相遇点在数轴上所对应的数； (3)若点D为线段中点，当时，求t的值． 【答案】(1)，10，24 (2)7 (3)t的值为4或8 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）先利用非负数的性质求解，的值，再利用数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）由，，，当M，N两点相遇时，，再建立方程求解即可； （3）分三种情况讨论：①当点M在点D左侧，点N在点D右侧时， ②当点M在点D右侧，点N在点D右侧时， ③当点M在点D右侧，点N在点D左侧时， 再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴； （2）根据题意得，，，， 当M，N两点相遇时，，即， 解得， 因为，所以相遇点在数轴上所对应的数为； （3）∵，点D为线段中点， ∴点D表示的数为5，，， ①当点M在点D左侧，点N在点D右侧时，，， 根据题意得，， 解得，， ②当点M在点D右侧，点N在点D右侧时，，， 根据题意得，， 解得，， ③当点M在点D右侧，点N在点D左侧时，，， 根据题意得，， 解得，（不符合题意舍）， 综上可得，t的值为4或8． 【点睛】本题考查的是绝对值与偶次方的非负性的应用，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论，利用方程思想解题是解本题的关键． 17．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图，在数轴上有C、D、E三点，分别对应数轴上有理数c，d，e，且满足． (1)________；________；________． (2)数轴上一动点A从C出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，多少秒后，A到D、E两点的距离之和是56个单位长度； (3)数轴上一动点M从C点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，到达D点后立即按原速度折返，同时动点N从E点出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，到达O点后立即按原速度折返．当M、N中有一点回到出发点时，两点同时停止运动．设运动时间为t（单位：秒），则t为何值时，？ 【答案】(1)，4，20 (2)2秒后，A到D、E两点的距离之和是56个单位长度 (3)当或时， 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值与平方数的非负性，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用及分类讨论的思想． （1）根据题意利用绝对值的非负性和平方的非负性得出每一项为0，从而解得c，d，e的值； （2）设t秒后满足条件，A对应的数，由A到D、E距离和为56，列出方程进行求解即可； （3）M往返12秒，N往返10秒，此时分情况讨论：①：M表示，N表示，由求解；②：M表示，N表示，由求解；③：M表示，点N表示的数为，由求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴，，， 故答案为：，4，20． （2）解：设运动时间为t秒，则点A对应的数为， ，， 依题意，，即，解得：． 即2秒后，A到D、E两点的距离之和是56个单位长度． （3）解：点M从C运动到D所需时间为（秒），点M从C→D→C所需时间为12秒； 点N从E运动到点O所需时间为（秒），点N从E→O→E所需时间为10秒； ①当时，点M从C→D，点N从E→O，点M表示的数为，点N表示的数为，由，得，解得或（舍去）． ②当时，点M运动状态不变，点N从点O折返， 点M表示的数为，点N表示的数为， 由，得，解得或8，均需舍去； ③当时，点M从D点折返，点N运动状态不变，点M表示的数为，点N表示的数为，由，得，解得或（舍去）． ④当时，点M、N均停止运动． 综上所述，当或时，． 18．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． (1)点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 【答案】(1)点M表示的数为50 (2)①当点Q运动40秒时，点Q追上点P．②点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点” 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的其他应用 【分析】本题考查绝对值，数轴，数轴上两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）设点M表示的数为m，，根据题意，得到或，分别求解即可． （2）①追及问题中，Q追上P时两者位置相同，列出位置相等的方程，解得，即可解答； ②点A是P、Q的“快乐点”，分两种情况：A到P的距离是A到Q距离的3倍（），或A到Q的距离是A到P距离的3倍（），分类求解即可． 【详解】（1）解：设点M表示的数为m， ， 或， 或， 或， 或， 解得 或（舍去）， 答：点M表示的数为50． （2）①， ， ， ． 答：当点Q运动40秒时，点Q追上点P． ②点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点A是点P、Q的“快乐点”， ∴或 情况1：当时， 当时， ， 解得， 当时， ， 解得， 情况2：当时， 当时， ， 解得，不符合题意，舍去； 当时， ， 解得． 答：点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点”． 19．（25-26七年级上·河南·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)发现问题：代数式的最小值是多少？ (2)探究问题：如图，点、、分别表示数、、，． 的几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，． 的最小值是． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： 解决问题： (1)的最小值是______； (2)利用上述思想方法解不等式：； (3)当为何值时，代数式的最小值是． 【答案】(1) (2)或 (3)当为1或5时，原式的最小值是 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键． （1）把原式转化看作是数轴上表示x的点与表示4与的点之间的距离和的最小值，进而问题可求解； （2）根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解； （3）根据原式的最小值为2，得到表示3的点的左边和右边，且到3距离为2的点即可． 【详解】（1）解：，表示P到A与到B的距离之和， 点P在线段上， ， 当点P在点A的左侧或点B的右侧时， ， ∴的最小值是6； 故答案为：6； （2）解：如图所示，满足，表示到和距离之和大于的范围， 当点在和之间时，距离之和为，不满足题意； 当点在的左边或的右边时，距离之和大于， 则的取值范围为或； （3）解：当为1或5时，代数式为或， 数轴上表示数的点到表示数的点的距离为，数轴上表示数的点到表示数的点的距离也为， ∴当为1或5时，原式的最小值是 【考点3】相反数与倒数（第20-24题） · 互为相反数则和为0，互为倒数则积为1，整体代入求值 · 正方体展开图相对面：间隔一个面的两个面相对（或Z字形两端） · 多重符号化简数负号个数：奇负偶正 · 综合题先化简再求值，注意绝对值和相反数的双重条件 20．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）若，互为倒数，，互为相反数，则代数式的值是______． 【答案】 【知识点】相反数的应用、倒数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了倒数和相反数的性质、代数式求值，明白“两个倒数之积为，两个相反数之和为”是解题的关键． 【详解】解：∵，互为倒数，，互为相反数， ∴，， ∴， 故答案为：． 21．（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图，一个正方体的相对面上的数互为相反数，其展开图如图所示，则的结果是______． 【答案】 【知识点】相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值、正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体相对面上的数字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定出相对面，根据相对的面上所标的两个数互为相反数，得出的值，继而求出的值． 【详解】解：由正方体表面展开图可知， “x”与“1”的面是相对的面， “y”与“”的面是相对的面， “z”与“0”的面是相对的面， ∵正方体的相对面上的数互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（24-25七年级上·河南平顶山·阶段检测）已知互为倒数，互为相反数，是绝对值最小的负整数，则_________． 【答案】2 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、倒数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了代数式求值，相反数，倒数，以及绝对值，熟练相关定义是解本题的关键．利用相反数，倒数，以及绝对值的意义求出各自的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴， 故答案为：2． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的是一个正方体纸盒的平面展开图．已知纸盒的相对两个面上的数互为相反数，且，，则的值是________． 【答案】 【知识点】相反数的定义、绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、正方体相对两面上的字 【分析】先根据正方体展开图确定相对面的数字，再利用相反数的性质得出相关等式，结合非负数的性质求出的值，最后代入式子计算． 【详解】由正方体展开图可知：与相对，与相对，3与相对 ∵相对面的数字互为相反数， ∴ ∵，且 ∴ 解得 将代入： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方体的展开图、相反数的性质以及非负数的性质，掌握利用正方体展开图确定相对面，结合非负数的性质求出字母的值，进而计算式子的值是解题的关键． 【答案】①④ 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、绝对值方程 【分析】本题主要考查了绝对值的意义、求代数式的值，利用题目的规定和绝对值的意义逐项计算判断即可，理解应用新定义和绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴或， ∴或， ∴①的结论正确，符合题意； ∵，， ∴． 当时，， ∴②的结论错误，不符合题意； ∵ ， ∴的几何意义为数轴上表示的点到表示的点和表示的点的距离之和，结合数轴可知，该和最小为，即的最小值为， ∴③的结论错误，不符合题意； ∵， ∴的几何意义为数轴上表示的点到表示的点和表示的点的距离之差， ∴当时，，当时，，当时，， ∴该距离差的最大值为，即的最大值是， ∴④的结论正确，符合题意； 综上，正确的结论有①④． 故答案为：①④． 24．（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的非负形，绝对值的意义，有理数的加法计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据绝对值的意义和有理数比较大小的方法可得，，据此代值计算即可； （2）根据绝对值的意义和绝对值的非负性可得，，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴或； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴或． 【考点4】绝对值（第25-37题） · 绝对值非负性：|a|+|b|=0则a=0且b=0；|a|+(b+1)2=0同理 · 已知|a|=m求a：a=±m，注意题目附加条件（如a<0）筛选 · 绝对值符号化简：根据绝对值内式子的正负去符号，分类讨论 · |x-a|+|x-b|最小值：x在a、b之间时取最小值|a-b|；分段讨论去绝对值 25．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知：，且．则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，则（   ） A．4 B．6 C．9 D．11 【答案】A 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的乘除计算，代数式求值．根据，确定出a、b、c中有两个负数，一个正数，再分别讨论a、b、c的符号，然后化简绝对值，从而确定x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴a、b、c中有两个负数，一个正数或a、b、c中三个都是正数， 又∵， ∴a、b、c中有两个负数，一个正数， 当，，，则，，， ∴ ； 当，则，，， ∴ ； 当，则， ∴ ； ∴， ∴， 故选：A． 26．（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）若，，则的值不可能为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的绝对值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了绝对值、代数式求值等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由绝对值的定义可得，然后分四种情况求值验证各选项即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，，即A选项不符合题意； 当时，，即B选项不符合题意； 当时，，即C选项不符合题意； 当时，，即D选项符合题意． 故选D． 27．（23-24七年级上·重庆江北·阶段检测）有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只是不显示运算，接着再输入整数后则显示的结果，例如：依次输入1，2，则输出的结果是，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，且k的最大值为10，那么k的最小值为_____________ 【答案】6 【知识点】绝对值的几何意义、求一个数的绝对值 【分析】根据题意可得出只有3个数字，当最后输入最大值时结果得到的值最大，当首先将最大值输入则结果是最小值，进而分析得出即可．此题考查了含有绝对值的最值问题，虽然以计算为载体，但首先要有试验观察和分情况讨论的能力． 【详解】解：∵随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数2，a，b，，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，k的最大值为10， ∴设b为较大数字，当时，， 解得：， 故此时任意输入后得到的最小数为：， 设b为较大数字，当时，， 则，即，则， 故此时任意输入后得到的最小数为：， 综上所述：k的最小值为6． 故答案为：6 28．（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，则___________． 【答案】6 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了有理数的非负性，熟练掌握性质是解题的关键． 根据有理数的非负性解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 29．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）已知，那么________ 【答案】1 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了非负数的性质以及有理数的乘方，根据非负数的性质求出，，再代入即可求解． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 30．（25-26七年级上·北京·阶段检测）如图是一个数字传输器，箭头代表传输路径，方框代表传输方式，菱形代表判断，理解这个数字传输器的工作原理，回答下列问题： (1)当时，____________；当时，___________； (2)若输出的值为0，则输入的为___________；（用含的代数式表示，为正整数） (3)若是自然数，请写出的所有可能值________________． 【答案】(1)3，1 (2) (3)0，1，2，3 【分析】（1）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤正向推导即可得出答案； （2）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤反向推导即可得出答案； （3）将自然数逐个输入求得输出，通过观察、分析，即可总结出规律． 【详解】（1）根据这个数字传输器的工作原理，可知： 当时， ∵3不大于3， ∴取相反数，得：， ∵不大于0， ∴取绝对值，得：3， ∴当时，； 当， ∵2024大于3， ∴加，得：， ∵2019大于3， ∴加，得：， ∵2014大于3， ∴加，得：， …… ∵9大于3， ∴加，得：， ∵4大于3， ∴加，得：， ∵不大于3， ∴取相反数，得：， ∵1大于0， ∴取倒数，得：1， ∴当，； 故答案为：3，1； （2）若输出的y的值为0， ∵0没有倒数， ∴0是取绝对值而来， ∴取绝对值之前的值是：0， 又∵0是取相反数而来， ∴取相反数之前的值是：0， ∵0是输入的x经过若干次加而来， 即， ∴， 故答案为： （3）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， …… 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：0，1，2，3． 31．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）设有理数a，b，c，满足，，且，则的最小值为______． 【答案】或 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值的其他应用、整式加减的应用 【分析】本题考查了绝对值的性质、整式的加减，根据题意将分成时，即；时，即，根据绝对值的性质及几何意义进行化简，即可求解；理解绝对值的几何意义，能进行分类进行讨论是解题的关键． 【详解】解：∵，，， 故当时，，即， ∵ ， ∴当时， 的最小值为到之间的距离， 为到之间的距离， ∴的最小值为 ； 当时，， 即， ∵ ； ∴当时， 的最小值为到之间的距离， 为到之间的距离， ∴的最小值为 ， 故答案为：或． 32．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知，求下列各式的值： (1)x与y的相反数的和； (2)x的倒数与y的绝对值的差． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、有理数加法运算、倒数 【分析】本题相反数，倒数和绝对值，熟练掌握相关定义和运算法则是解题的关键： （1）求出的相反数，再求和即可； （2）根据的倒数，的绝对值，作差即可． 【详解】（1）解：由题意； （2）由题意，． 33．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）已知a、b、c为有理数，且满足 (1)求a、b、c的值； (2)求的值，其中k为最小的正整数； 【答案】(1)，，； (2)． 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了绝对值的非负性，代数式求值． （1）根据绝对值的非负性计算即可； （2）根据k为最小的正整数得到，进而计算的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴，，； （2）解：∵k为最小的正整数， ∴， ∴ ． 34．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：，，，． 【初步体验】（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______________；②_____________； 【拓广应用】（2）合适的方法计算：___________________． （3）简便的方法计算：． 【答案】（1）①；②； （2）； （3） 【知识点】求一个数的绝对值、带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键． （1）①②根据题目可得规律：当时；当时，；运用规律可得答案； （2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． （3）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． 【详解】解：（1）由题目运算可得：当时；当时，； ①∵， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：；； （2）， 故答案为：． （3） ． 35．（24-25七年级上·重庆江津·期中）如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是3，y是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值． 【答案】3或 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、倒数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据倒数定义，相反数的定义，绝对值的意义，数轴上点的特点求出，，，，然后代入所给代数式计算即可． 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，是数轴负半轴上到原点的距离为的数， ∴，，，， 当时， 原式， ， ； 当时， 原式， ， ． 综上所述：代数式的值为3或． 【点睛】本题主要考查了有理数的有关概念和求代数式的值，解题的关键是熟练掌握倒数定义，相反数的定义，绝对值的意义和有理数加减运算法则及其应用． 36．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）已知互为相反数，互为倒数，的绝对值是3，是最大的负整数，求的值． 【答案】或6 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、倒数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值以及有理数相关知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据题意确定，然后代入求值即可． 【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，的绝对值是3，是最大的负整数， ∴， 当时，可有原式， 当时，可有原式， ∴的值为或6． 37．（23-24七年级上·四川泸州·阶段检测）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)如果，那么________． (3)，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A和点B，则A、B两点间的最大距离是________；最小距离是________． (4)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则为________． (5)的最小值是________． 【答案】(1)3，5 (2)2或 (3)8，2 (4)6 (5)0 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、有理数的减法运算 【分析】（1）直接利用两点之间距离的计算方法求解； （2）分析出的意义，结合数轴计算； （3）同理求出a，b的值，找到最大距离和最小距离的情况，列式计算； （4）分析出的意义，再根据a的位置求解； （5）同样分析出式子的意义，结合数轴找到相应位置即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是； 表示和2两点之间的距离是； 故答案为：3，5； （2）∵， 即数轴上表示数x的点与表示的点之间的距离为3， ∴这样的数有或； 故答案为：或； （3）∵，， 同（2）可求或；或； ∴A、B两点间的最大距离是，最小距离是； 故答案为：8；2； （4）∵数轴上表示数a的点位于与2之间， 表示a与的距离和a与2的距离之和， 即为； 故答案为：6； （5）表示m与的距离及n与6的距离之和， ∴当m表示，n表示6时， 的值最小，且为0， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离公式． 【考点5】有理数运算与大小比较（第38-43题） · 新定义运算：按定义规则逐步计算，注意运算顺序 · 最值问题：枚举所有可能情况后比较，或结合绝对值几何意义 · 时差、温差、质量范围：先确定基准，再列式计算 · 观察式子规律：先算前几个找规律，再推广到一般情形 38．（25-26七年级上·全国·周测）体育老师根据如图所示的实心球质量参考规格去器材室挑选实心球，则下列实心球质量符合标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用，重点理解正负数的意义及不等式范围的实际应用. 根据题目所给的实心球重量参考规格,先求出该规格所对应的重量范围，再逐一判断选项中的重量是否在这个范围内，从而确定符合标准的实心球重量. 【详解】解：根据的含义，“”表示比多的部分，表示比少的部分. 比多，最大值为； 比少，最小值为； 所以符合标准的实心球重量范围是大于等于且小于等于. A：因为，不在大于等于且小于等于范围内，选项错误，不符合题意； B:因为，不在大于等于且小于等于范围内，选项错误，不符合题意； C：因为，在大于等于且小于等于范围内，选项正确，符合题意； D：因为，不在大于等于且小于等于范围内，选项错误，不符合题意； 故选：C． 39．（23-24七年级上·福建福州·期末）是5的（   ） A．倒数 B．绝对值 C．相反数 D．负倒数 【答案】C 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：是5的相反数， 故选：C 40．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于1，2，3进行“非负差值运算”，． ①对，3，5，8进行“非负差值运算”的结果是29； ②、、5的“非负差值运算”的最小值是7.5； ③、、的“非负差值运算”化简结果可能存在不同的表达式一共有6种； 以上说法中正确的个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义、整式的加减运算 【分析】本题考查新定义“非负差值运算”的理解与应用，整式的加减运算． ①直接计算四个数的所有两两差之和验证； ②利用绝对值几何意义求最小值； ③根据三个数的大小关系分类得出表达式种类． 【详解】①∵所有两两差为：， ， ， ， ， ， ∴和为，故①正确； ②， ∵可以表示为数轴上x到的距离加上x到5的距离 ∴当时，有最小值，即， ∴的最小值为，故②错误． ③当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴、、的“非负差值运算”化简结果可能存在不同的表达式一共有6种，故③正确． 综上，正确个数为2． 故选：B． 41．（23-24七年级上·四川泸州·阶段检测）在，，，这四个数中，最大的数与最小的数的差等于(     ) A．10 B．8 C．5 D．13 【答案】D 【知识点】有理数大小比较、有理数的减法运算、有理数的乘方运算 【分析】先根据有理数的乘方运算法则将各数化简，找到最大的数与最小的数，然后根据有理数的减法法则求得计算结果． 【详解】解：∵ ，且， ∴最大的数与最小的数的差等于． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，解决此类题目的关键是熟记有理数的运算法则． 42．（25-26七年级上·江苏南通·期中）已知a，b，c均为正整数，且，则的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值分非负性，化简绝对值，由条件且均为正整数，可知可能为0或1，对应为3或2，分两种情况讨论，计算的值，结果均为6 【详解】解：，且为正整数， ≥ 0，， 可能为0或1， 当时， ，且， 或， ，，， ； 当，则， ，且， 为正整数， ， ，但为正整数，故， ，，， ， 综上，， 故选：C 43．（23-24七年级上·江西赣州·期中）下表中有六个按某种法则运算的式子，请仔细观察，解决下列问题： 【观察归纳】 （1）认真观察并思考上述运算，归纳☆运算的法则，请填空： ①两数进行☆运算时，同号______，并把______；异号______，并把______． ②特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，______． 【知识应用】请你运用上述☆运算的法则，解决下列问题： （2）计算：______； （3）若，求a的值． 【答案】（1）①得正，绝对值相加；得负，绝对值相加；②都得这个数的绝对值；（2）23；（3）3或． 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】（1）①②根据题目中的例子可以将题目中的空填写完整； （2）根据（1）中的结论先计算出，再计算可以解答本题； （3）根据（1）中的结论，分，，三种情况进行求解即可． 【详解】解：（1）①两数进行☆运算时，同号得正，并把绝对值相加；异号得负，并把绝对值相加； 故答案为：得正；绝对值相加；得负；绝对值相加； ②特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，都得这个数的绝对值； 故答案为：都得这个数的绝对值； （2） ， 故答案为：23； （3）分三种情况： 当时，左边；右边， ∵左边右边， ∴； 当时， ∵， ∴， 解得：； 当时， ∵， ∴， 解得：； 综上所述：a的值为3或． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，有理数的加减计算，涉及新定义，绝对值，解一元一次方程，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 💯 课后巩固 复习建议 · 复习正负数、有理数分类等概念，注意0的特殊性和分类不重不漏 · 掌握数轴三要素与动点问题的一般方法，会用|a-b|表示两点距离 · 熟练掌握相反数、倒数的性质，遇到「互为」条件立即写等式整体代入 · 掌握绝对值的非负性与分类讨论去绝对值的方法，注意解不遗漏 · 多做新定义运算、数轴综合与最值问题，体会数形结合与分类讨论思想 【作业1】．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在下列各温度中，最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、有理数大小比较 【分析】本题要找出最接近的温度，只需计算各温度与的距离，距离越小越接近，距离用温度和0的差的绝对值表示，比较绝对值大小即可得到结果． 【详解】解：，，，， 又∵， ∴与的距离最小，最接近． 【作业2】．（25-26七年级上·福建泉州·期中）下列各数：5，，，，0，，其中有理数的个数是（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查了有理数的概念，根据整数和分数统称为有理数，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵5，0都是整数， ∴ 5，0都是有理数； ∵，都是分数， ∴，都是有理数； ∵是有限小数， ∴是有理数； ∵ 中的是无理数， ∴ 是无理数， ∴ 有理数有5个． 故选：C 【作业3】．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）如图，数轴上O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，数d是的倒数，根据图中各点的位置，下列结论正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、求一个数的绝对值、倒数、有理数的除法运算 【分析】本题考查了数轴、绝对值、倒数的定义、有理数的运算，利用数轴比较有理数的大小是解题的关键．由数轴可得，，得到，，，再根据倒数的定义可得，再结合选项逐个分析判断即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， 又∵数d是的倒数， ∴， ∴，故A选项结论错误，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴，故B选项结论错误，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，故C选项结论错误，不符合题意； ∵，，， ∴， ∴，故D选项结论正确，符合题意； 故选：D． 【作业4】．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知a，b为有理数，下列说法：①若a，b互为相反数，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、绝对值非负性 【分析】本题考查有理数的性质、绝对值运算及逻辑判断，注意绝对值不等式的解集及代数条件的完备性，避免忽略特殊值（如零）导致错误． 需逐一分析各说法的正确性：①考虑相反数定义及分母不为零；②解绝对值不等式；③通过代数变换分析条件；④利用绝对值比较推导不等式． 【详解】解：∵ ①若互为相反数，则，但当时，无意义， ∴①错误；   ∵ ②或，∴不一定成立， ∴②错误； ∵ ③设，则，即，但结论要求（严格不等）， 当时条件成立但结论不成立， ∴③错误；   ∵ ④，故，且，∴恒成立， ∴④正确． 综上，只有④正确，正确结论有1个． 故选：B． 【作业5】．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段检测）下列计算结果与的结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相反数的定义、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】先计算出的结果，再计算出各个选项的结果，然后进行比较即可解答． 【详解】解：∵， A.，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. 符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数减法、有理数加法、相反数的意义等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【作业6】．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如果向东走，记作，那么表示___________． 【答案】向西走 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：如果向东走，记作，那么表示向西走． 故答案为：向西走． 【作业7】．（24-25七年级上·重庆·期中）点为数轴上表示的点，将点沿着数轴向右移动个单位后，再向左移动个单位到点，则点表示的数为______． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】此题考查数轴上点的移动规律：左减右加，有理数的加减法则，熟记规律是解题的关键．数轴上点的移动规律：左减右加，依次列式计算即可的答案． 【详解】解：， 故点表示的数为， 故答案为：． 【作业8】．（2025七年级上·全国·专题练习）___________． 【答案】 【知识点】化简多重符号 【分析】根据多重符号化简法则，判断负号的个数，进而得出结果． 本题主要考查了多重符号的化简，熟练掌握多重符号化简法则（当负号的个数为奇数时，结果为负；当负号的个数为偶数时，结果为正）是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【作业9】．（23-24七年级上·广东佛山·阶段检测）若，则____. 【答案】 【知识点】绝对值非负性、已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据绝对值的非负性质，求出，的值，再代入式子即可求出最后结果． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，代数式求值，熟练掌握绝对值的定义是解答本题的关键． 【作业10】．（25-26七年级上·河北·单元复习）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据表中给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市_____代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上） 【答案】C 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查正数与负数，根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】解：若以24小时制计时间， 第一个表的时间为8点或20点， 第二个表的时间为9点或21点， 第三个表的时间为4点或16点， 第四个表的时间为3点或15点， 第五个表的时间为6点或18点， 因为悉尼时间比北京时间多2个小时， 所以北京的时间只可能是4点或16点，此时E是悉尼，A是伦敦，B是罗马，D是纽约． 故答案为：C． 【作业11】．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）大米包装袋上的标识表示此袋大米重量的范围是______． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查正负数的知识，解题的关键是掌握正数和负数在题目中的实际意义，根据大米包装袋上的质量标识，求出大米质量范围，即可． 【详解】∵大米包装袋上的质量标识为， ∴大米的重量范围为：． 故答案为：． 【作业12】．（25-26七年级上·广西桂林·期中）【项目背景】小华一家从长沙自驾前往张家界，计划在常德服务区接朋友．以长沙为数轴原点，向东为正方向，1个单位长度表示 50 千米．已知张家界在长沙西方的 300 千米处，常德服务区在长沙西方的180千米处；汽车匀速行驶，每千米用时a 小时，每处服务区休息b小时；出发油量可行驶200千米，常德服务区加油后油量可行驶350千米． 【答案】探究1：（1）；（2），；探究2：（1），2；（2），5.6；探究3：（1）20，；（2）①；②100 【知识点】用数轴上的点表示有理数、列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查数轴与有理数，代数式，代数式求值，正确的理解题意，列出代数式是解题的关键： 探究1：（1）根据数轴的单位长度和正方向进行求解即可； （2）根据数轴的单位长度和正方向进行求解即可； 探究2：（1）根据总时间等于总路程乘以每千米所有时间列出代数式，再代值计算即可； （2）根据总时间等于两段行驶时间加上2次休息时间，列出代数式，再代值计算即可； 探究3：（1）根据剩余油量可行驶的路程等于可行驶的总路程减去已经行驶的路程，列出代数式即可； （2）①根据剩余油量可行驶的路程等于可行驶的总路程减去已经行驶的路程，列出代数式即可；②求出在实际油耗下能够行驶的总路程，减去已经行驶的路程，进行计算即可． 【详解】解：探究1：（1）由题意，张家界和常德服务区在数轴上对应的数分别是，； （2），； 故两段行程在数轴上的位置变化可表示为和； 探究2：（1）由题意，， 当时，； 故行驶100千米的时间为2小时； （2）由题意，， 当时，； 探究3：（1）（千米）；千米； 答：剩余油量可行驶20千米，若出发油量改为“可行驶m 千米”，则剩余油量可行驶千米； （2）①剩余油量可行驶千米； ②∵， ∴， ∵行驶中每千米耗油量增加， ∴原来可行驶350千米，实际只能行驶（千米）， ∴剩余油量可行驶（千米）． 【作业13】．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）已知，且的商是正数．求的值． 【答案】2或 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的减法运算、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了绝对值，有理数的减法和除法运算． 根据绝对值的意义求出x、y的值，再根据的商是正数，可得与同号，据此可得答案． 【详解】解：因为， 所以， 又因为的商是正数 所以与同号，即：当时，，当时，， 所以或． 【作业14】．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）在数轴上表示下列各数：，0，，，．将这列数用“”连接． 【答案】 在数轴上表示各数如图：   ． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题考查用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小．先化简多重符号，去绝对值，再在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边比左边的大，进行比较即可． 【详解】解：， 【作业15】．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）已知一组数：，，5 ，． (1)把这些数在下面的数轴上表示出来： 【答案】(1) 如图所示， (2) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查的是有理数比较大小和数轴表示数，重点在于准确将数在数轴上表示出来，注意符号． （1）将数准确在数轴上表示出来，注意正负号； （2）根据（1）中在数轴上表示的数，从左往右依次增大，用小于号连接即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据数轴可得：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章·有理数及大小比较·压轴专题·期中复习讲义 （知识梳理+典例+练习）2026-2027·人教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 深入理解正负数、有理数分类与数轴三要素，能辨析易错概念 · 掌握绝对值与相反数的定义、性质及非负性，能灵活分类讨论求值 · 熟练运用数轴解决动点、折叠、滚动与距离最值等压轴问题 · 掌握有理数运算的法则与新定义运算，能解决实际情境综合题 · 体会数形结合、分类讨论、整体代入等数学思想方法，提高综合解题能力 📚 知识梳理 ☆ 1.正负数与有理数分类 正数大于0，负数是在正数前面加负号的数，0既不是正数也不是负数 有理数按定义分为整数和分数，按性质分为正有理数、0、负有理数 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，都属于有理数 用正负数表示相反意义的量：规定一个方向为正，则相反方向为负 概念辨析例题：下列说法正确的是（ ）A．0是最小的有理数 B．有理数分为正有理数和负有理数 C．在数轴上左边的点表示的数比右边的大 D．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示 答案：D 解析：不存在最小的有理数；有理数分为正有理数、0、负有理数；数轴上左边的点表示的数比右边的小；任何有理数都可用数轴上的点表示，故选D。 ☆ 2.数轴与数轴上的点 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可 任何有理数都可用数轴上唯一一点表示，正数在原点右侧，负数在原点左侧 数轴上两点间的距离等于两点所表示数的差的绝对值，AB=|a-b| 动点问题：点表示的数=起点+运动距离（向右为正、向左为负） 概念辨析例题：若数轴上点A表示-3，点B表示2，则A、B两点间的距离为______ 答案：5 解析：两点间的距离等于两点所表示数的差的绝对值，AB=|2-(-3)|=|5|=5。 ☆ 3.相反数与倒数 只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，a的相反数是-a 若a与b互为相反数，则a+b=0；若a与b互为倒数，则ab=1 多重符号化简：奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数 概念辨析例题：若a与b互为相反数，c与d互为倒数，则a+b+cd的值为______ 答案：1 解析：a+b=0，cd=1，所以a+b+cd=0+1=1。 ☆ 4.绝对值 |a|表示数轴上点a到原点的距离，|a|≥0（非负性） 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 若|a|=|b|，则a=b或a=-b；若|a-1|+(b+2)2=0，则a=1且b=-2 |a-b|的几何意义：数轴上a、b两点间的距离；绝对值方程|x|=a（a>0）的解为x=±a 概念辨析例题：已知|x-1|+|y+2|=0，求x+y的值 答案：-1 解析：由绝对值的非负性，|x-1|≥0且|y+2|≥0，和为0则两者都为0，故x=1，y=-2，x+y=-1。 ☆ 5.有理数运算与大小比较 数轴法比较大小：右边的数总比左边的大；正数大于0，0大于负数 两个负数比较大小：绝对值大的反而小 有理数混合运算顺序：先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号 新定义运算题：读懂新运算规则，按规则代入计算 概念辨析例题：计算：-22+(-3)2× 答案：-1 解析：-22=-4，(-3)2=9，9×=3，所以原式=-4+3=-1。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 正数与负数 大于0的数是正数，正数前加负号是负数 0既不是正数也不是负数 有理数分类 整数和分数统称有理数 分类不重不漏，小数看能否化分数 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线 三要素缺一不可 相反数 a的相反数是-a，互为相反数和为0 0的相反数是0 倒数 乘积为1的两个数互为倒数 0没有倒数 绝对值 |a|=数轴上点a到原点的距离 |a|≥0，非负性 距离公式 AB=|a-b| 数轴上两点距离 大小比较 两个负数，绝对值大的反而小 先求绝对值再比较 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的概念与分类（第1-9题） · 辨析正负数、有理数分类等概念时，逐项判断，特别注意0的特殊性 · 判断有理数个数：先把有限小数、无限循环小数化为分数再归类 · 相反意义的量：先规定正方向，再确定各量符号 · 「一定是负数」「最小的有理数」等说法要举反例验证 1．（23-24六年级下·上海普陀·期中）下列说法中正确的是（   ） A．0是最小的有理数 B．有理数分为正有理数和负有理数 C．在数轴上，左边的点所表示的数比右边的点所表示的数大 D．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）在，15，，0，，，中，负分数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列各说法中，正确的个数有（    ） ①若，则一定是负数；②一个正数一定大于它的倒数；③除以一个数，等于乘以这个数的倒数；④若，则；⑤若，则且； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级上·重庆·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 6．（25-26七年级上·重庆·期中）下列说法中，正确的结论有（   ） ①若，则；②点，点，点为不重合三个点，在数轴上对应的数分别是，2，．若到的距离与到的距离相等，则；③当时，代数式有最小值，最小值为6；④关于的多项式与的取值无关，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（18-19六年级下·黑龙江绥化·期末）向北走8米，记作米，那么向南走8米，记作________． 8．（25-26七年级上·四川南充·期中）下列结论：①一定是负数；②若，则；③若，则x是非正数；④若，，则．⑤若n为正整数，则． 9．（24-25七年级上·吉林长春·阶段检测）是绝对值最小的数，是最大的负整数，与互为相反数，求的值 【考点2】数轴与数轴上的点（第10-19题） · 未标原点的数轴：先根据已知点确定原点位置，再判断其他点 · 滚动、折叠问题：确定重合点后，利用对称性或对应关系求点 · 动点问题：设运动时间为t，用代数式表示各点位置 · 多点距离问题：结合图形分类讨论，利用|a-b|表示距离 10．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）粗心的小马在画数轴时只标了单位长度（一格表示单位长度为1）和正方向，而忘了标上原点（如图），若点B和点C表示的两个数的绝对值相等，则点A表示的数是（     ） A．3 B．0 C． D． 11．（25-26七年级上·湖南·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数分别为 和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026对应的是（   ） A．点D B．点C C．点B D．点A 12．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）一个跳蚤在一条数轴上，从0开始，第1次向右跳1单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，依此规律下去，当它跳第2025次落下时，落点在数轴上表示的数是______． 13．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳一个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是60，求电子跳蚤的初始位置点所表示的数． 14．（25-26六年级上·山东淄博·期中）如图，是一条还未标出原点的数轴． (1)请用该数轴上的点表示下列各数：，，0，5，，； 15．（24-25七年级上·福建厦门·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点右侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“关联点”，如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，，且，满足． (1)由题意得，______，______； (2)若点是“关联点”，则点所表示的数为______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，求出，满足的数量关系． 16．（23-24七年级上·湖北荆州·阶段检测）已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，15，且a，b满足．动点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，当点M到达点C时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． (1)直接写出结果：__________，__________，__________； (2)当M，N两点相遇时，求t的值及相遇点在数轴上所对应的数； (3)若点D为线段中点，当时，求t的值． 17．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）如图，在数轴上有C、D、E三点，分别对应数轴上有理数c，d，e，且满足． (1)________；________；________． (2)数轴上一动点A从C出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，多少秒后，A到D、E两点的距离之和是56个单位长度； (3)数轴上一动点M从C点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，到达D点后立即按原速度折返，同时动点N从E点出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，到达O点后立即按原速度折返．当M、N中有一点回到出发点时，两点同时停止运动．设运动时间为t（单位：秒），则t为何值时，？ 18．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． (1)点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 19．（25-26七年级上·河南·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)发现问题：代数式的最小值是多少？ (2)探究问题：如图，点、、分别表示数、、，． 的几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，． 的最小值是． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： 解决问题： (1)的最小值是______； (2)利用上述思想方法解不等式：； (3)当为何值时，代数式的最小值是． 【考点3】相反数与倒数（第20-24题） · 互为相反数则和为0，互为倒数则积为1，整体代入求值 · 正方体展开图相对面：间隔一个面的两个面相对（或Z字形两端） · 多重符号化简数负号个数：奇负偶正 · 综合题先化简再求值，注意绝对值和相反数的双重条件 20．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）若，互为倒数，，互为相反数，则代数式的值是______． 21．（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图，一个正方体的相对面上的数互为相反数，其展开图如图所示，则的结果是______． 22．（24-25七年级上·河南平顶山·阶段检测）已知互为倒数，互为相反数，是绝对值最小的负整数，则_________． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的是一个正方体纸盒的平面展开图．已知纸盒的相对两个面上的数互为相反数，且，，则的值是________． 24．（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【考点4】绝对值（第25-37题） · 绝对值非负性：|a|+|b|=0则a=0且b=0；|a|+(b+1)2=0同理 · 已知|a|=m求a：a=±m，注意题目附加条件（如a<0）筛选 · 绝对值符号化简：根据绝对值内式子的正负去符号，分类讨论 · |x-a|+|x-b|最小值：x在a、b之间时取最小值|a-b|；分段讨论去绝对值 25．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知：，且．则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，则（   ） A．4 B．6 C．9 D．11 26．（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）若，，则的值不可能为（   ）． A． B． C． D． 27．（23-24七年级上·重庆江北·阶段检测）有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只是不显示运算，接着再输入整数后则显示的结果，例如：依次输入1，2，则输出的结果是，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，且k的最大值为10，那么k的最小值为_____________ 28．（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，则___________． 29．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）已知，那么________ 30．（25-26七年级上·北京·阶段检测）如图是一个数字传输器，箭头代表传输路径，方框代表传输方式，菱形代表判断，理解这个数字传输器的工作原理，回答下列问题： (1)当时，____________；当时，___________； (2)若输出的值为0，则输入的为___________；（用含的代数式表示，为正整数） (3)若是自然数，请写出的所有可能值________________． 31．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）设有理数a，b，c，满足，，且，则的最小值为______． 32．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知，求下列各式的值： (1)x与y的相反数的和； (2)x的倒数与y的绝对值的差． 33．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）已知a、b、c为有理数，且满足 (1)求a、b、c的值； (2)求的值，其中k为最小的正整数； 34．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：，，，． 【初步体验】（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______________；②_____________； 【拓广应用】（2）合适的方法计算：___________________． （3）简便的方法计算：． 35．（24-25七年级上·重庆江津·期中）如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是3，y是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值． 36．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）已知互为相反数，互为倒数，的绝对值是3，是最大的负整数，求的值． 37．（23-24七年级上·四川泸州·阶段检测）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)如果，那么________． (3)，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A和点B，则A、B两点间的最大距离是________；最小距离是________． (4)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则为________． (5)的最小值是________． 【考点5】有理数运算与大小比较（第38-43题） · 新定义运算：按定义规则逐步计算，注意运算顺序 · 最值问题：枚举所有可能情况后比较，或结合绝对值几何意义 · 时差、温差、质量范围：先确定基准，再列式计算 · 观察式子规律：先算前几个找规律，再推广到一般情形 38．（25-26七年级上·全国·周测）体育老师根据如图所示的实心球质量参考规格去器材室挑选实心球，则下列实心球质量符合标准的是（   ） A． B． C． D． 39．（23-24七年级上·福建福州·期末）是5的（   ） A．倒数 B．绝对值 C．相反数 D．负倒数 40．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于1，2，3进行“非负差值运算”，． ①对，3，5，8进行“非负差值运算”的结果是29； ②、、5的“非负差值运算”的最小值是7.5； ③、、的“非负差值运算”化简结果可能存在不同的表达式一共有6种； 以上说法中正确的个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 41．（23-24七年级上·四川泸州·阶段检测）在，，，这四个数中，最大的数与最小的数的差等于(     ) A．10 B．8 C．5 D．13 42．（25-26七年级上·江苏南通·期中）已知a，b，c均为正整数，且，则的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 43．（23-24七年级上·江西赣州·期中）下表中有六个按某种法则运算的式子，请仔细观察，解决下列问题： 【观察归纳】 （1）认真观察并思考上述运算，归纳☆运算的法则，请填空： ①两数进行☆运算时，同号______，并把______；异号______，并把______． ②特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，______． 【知识应用】请你运用上述☆运算的法则，解决下列问题： （2）计算：______； （3）若，求a的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 复习正负数、有理数分类等概念，注意0的特殊性和分类不重不漏 · 掌握数轴三要素与动点问题的一般方法，会用|a-b|表示两点距离 · 熟练掌握相反数、倒数的性质，遇到「互为」条件立即写等式整体代入 · 掌握绝对值的非负性与分类讨论去绝对值的方法，注意解不遗漏 · 多做新定义运算、数轴综合与最值问题，体会数形结合与分类讨论思想 【作业1】．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在下列各温度中，最接近的是（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26七年级上·福建泉州·期中）下列各数：5，，，，0，，其中有理数的个数是（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【作业3】．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）如图，数轴上O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，数d是的倒数，根据图中各点的位置，下列结论正确的是 （   ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知a，b为有理数，下列说法：①若a，b互为相反数，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【作业5】．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段检测）下列计算结果与的结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如果向东走，记作，那么表示___________． 【作业7】．（24-25七年级上·重庆·期中）点为数轴上表示的点，将点沿着数轴向右移动个单位后，再向左移动个单位到点，则点表示的数为______． 【作业8】．（2025七年级上·全国·专题练习）___________． 【作业9】．（23-24七年级上·广东佛山·阶段检测）若，则____. 【作业10】．（25-26七年级上·河北·单元复习）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据表中给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市_____代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上） 【作业11】．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）大米包装袋上的标识表示此袋大米重量的范围是______． 【作业12】．（25-26七年级上·广西桂林·期中）【项目背景】小华一家从长沙自驾前往张家界，计划在常德服务区接朋友．以长沙为数轴原点，向东为正方向，1个单位长度表示 50 千米．已知张家界在长沙西方的 300 千米处，常德服务区在长沙西方的180千米处；汽车匀速行驶，每千米用时a 小时，每处服务区休息b小时；出发油量可行驶200千米，常德服务区加油后油量可行驶350千米． 【作业13】．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）已知，且的商是正数．求的值． 【作业14】．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）在数轴上表示下列各数：，0，，，．将这列数用“”连接． 【作业15】．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）已知一组数：，，5 ，． (1)把这些数在下面的数轴上表示出来： 1 学科网（北京）股份有限公司 $