2.5有理数的乘方（分层作业，15大题型）数学新教材浙教版七年级上册

分层作业 2.5 有理数的乘方 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 有理数乘方的概念 题型02 有理数的乘方运算 题型03 乘方运算的符号规律 题型04 利用有理数乘方的性质进行运算 题型05 科学记数法 题型06 将用科学记数法表示的数变回原数 题型07 科学记数法的应用 B组 能力进阶 题型01 有理数乘方的逆运算 题型02 有理数偶次方的非负性 题型03 乘方的应用 题型04 与科学记数法有关的计算 C组 思维拔高 题型01 乘方中的程序流程图问题 题型02 乘方中的整除与进制问题 题型03 乘方中的末尾数字与规律探究 题型04 乘方中的新定义问题 有理数乘方的概念题型01 1．23表示（    ） A．2×2×2 B．2×3 C．3×3 D．2+2+2 【答案】A 【详解】试题分析：表示3个2相乘，则故选A． 考点：乘方的意义． 2．（26-27七年级上·湖南长沙·月考）已知：，则L=（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘方的定义，加法的意义计算即可求解． 【详解】解：． 3．在中底数是_____，指数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据幂的定义中指数与底数的说明解答本题． 【详解】解：在中底数是，指数是， 故答案为：， 4．的底数是______，值为______；的底数是______，值为______． 【答案】 1 1 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义以及运算法则是解题的关键． 在中，叫做底数，叫做指数，由此判断计算即可． 【详解】解：的底数是，值为； 的底数是，值为； 故答案为：，；，． 5．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 【答案】(1)底数是，指数是3 (2)底数是，指数是4 (3)底数是m，指数是 【分析】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． （1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． 【详解】（1）解：，底数是，指数是3． （2）解：，底数是，指数是4． （3）解：，底数是m，指数是． 有理数的乘方运算题型02 1．（26-27七年级上·河南南阳·学情自测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据乘方运算法则计算四个选项，注意区分和的符号差异，带分数要先化为假分数再乘方，负数奇次幂结果为负，依次判断对错选出正确选项． 【详解】解：A、，运算错误； B、，运算错误； C、，运算正确； D、，运算错误． 2．________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算．根据有理数的乘方运算法则计算，即可． 【详解】解：． 故答案为： 3．算一算：_____，____，_____，______； 【答案】 【详解】解：，，，． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 5．（26-27七年级上·福建·学情自测）有理数的英文是，传到中国翻译时，误把理解成“有理、有道理”，翻译成有理数．经过第一章《有理数》的学习，我们知道，有理数是可以写成分数形式的数（形如，其中，均为整数，）． 在有理数系中，有理数的和、差、积、商（除数不为）仍然是有理数．有理数的四则运算法则可以表示为如下形式： ①； ②； ③； 其中，均为整数，均不为． 小双在看到课本第二章《有理数的运算》章末的回顾与思考时想到，能否把有理数的乘方运算也用类似的形式表示出来： ④______（为整数，为正整数）． A．     B．        C．        D． (1)请完成上述填空 _______，_______，_______； (2)利用乘方的意义，用严格的推理，说明④的正确性； (3)探究过程中，小双感受到，理解乘方的意义可以帮助我们解决有关乘方的运算．在此基础上，他出了一道计算题：，请借助所学知识计算，运算结果保留乘方的形式． 【答案】(1)；；D． (2)理由：∵由乘方的意义，表示个相乘， ∴（共个）， ∵由②，分数乘分数，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，且乘法交换律与结合律成立， ∴逐次运用②，分子为个相乘的积，分母为个相乘的积， ∴，即④正确． (3)． 【分析】本题以有理数的四则运算法则为背景，考查乘方的意义与分数的除法、乘法法则的运用． （1）③由“除以一个不为的数等于乘这个数的倒数”可得；④由乘方的意义，个相乘，分子、分母分别相乘，即得． （2）从乘方的意义出发，逐次运用②，严格推出④． （3）先把化为，再利用④把各乘方化为分数形式，通过约分化简，最后把化为后相加． 【详解】（1）解：③∵除以一个不为的数，等于乘这个数的倒数，且的倒数为（）， ∴，故③的两个空依次填，； ④∵乘方表示个相同因数的积，即表示个相乘， ∴分子为个相乘的积，分母为个相乘的积， ∴，故④填，选． （2）略 （3）解：∵，由④，，，， ∴原式 （由③，除以一个数等于乘它的倒数） （由②） ， ∵，即， ∴原式． 乘方运算的符号规律题型03 1．一个负数的奇次幂为（    ） A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．分数 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，根据正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂为负数求解即可． 【详解】解：正数的任何次幂都是正数，几次幂就是几个数相乘，例如2的3次幂就是3个2相乘，8的5次幂就是5个8相乘…都是正数相乘，结果肯定是正数．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．因为负负得正，所以两个负数相乘等于正数，负数的奇次幂两两配对后，还多一个负数，所以结果就是负数， 故选：B． 2．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）在， ，， ， 0中，负数共有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘方、相反数、绝对值等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先对有理数乘方、相反数、绝对值进行化简各数，然后再根据负数的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：∵，，，，既不是正数也不是负数， ∴ 负数共有2个． 故选C． 3．七年级某班的学生共有49人，军训时排列成的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（    ） A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 B．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 【答案】A 【分析】假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时49个“”，其乘积为“”，每次改变其中的个数，当为偶数时，每次的改变其中个数，都不改变上一次的符号，则m次点名后，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数；即可获解． 【详解】解：假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时49个“”，其乘积为“”． 每次改变其中的个数，经过m次点名， ①当为偶数时， 若有偶数个“”偶数个“”，变为偶数个“”偶数个“”，其积的符号不变； 若有奇数个“”奇数个“”，变为奇数个“”奇数个“”，其积的符号不变； 故当为偶数时，每次改变其中的个数，其积的符号不变，那么m次点名后，乘积仍然是“”， 故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； ②当为奇数时， 若有偶数个“”奇数个“”，变为偶数个“”奇数个“”，其积的符号改变； 若有奇数个“”偶数个“”，变为奇数个“”偶数个“”，其积的符号改变； 故当为奇数时，每次改变其中的个数，其积的符号改变， 那么m次点名后， 若为偶数，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； 若为奇数，乘积最后是“”，故最后出现的“”的个数为奇数，即蹲下的人数为奇数； 综上所述，选项A正确，选项B、C、D均错误； 故选：A． 【点睛】此题考查了正负数的意义、有理数乘法中积的符号的判断，熟练掌握有理数乘法中符号法则与分类讨论的思想方法是解答此题的关键． 4．计算： ____________ 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 5．判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正 (2)负 (3)负 (4)负 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】（1）解： ∵的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正； （2）解：∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （3）解：∵表示的是的相反数，正数的任何次幂都是正数， 的结果为正，所以的结果为负； （4）解：∵的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 利用有理数乘方的性质进行运算题型04 1．任何一个有理数的偶次幂必是（　　） A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 【答案】D 【分析】根据乘方的性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何次幂都是0，从而可判断． 【详解】解：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何次幂都是0， 故任何一个有理数的偶数次幂必是非负数． 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方，正数与负数，有理数，解答的关键是对有理数的乘方的性质的掌握． 2．计算所得的结果是（    ） A． B．－ C．－2 D．2 【答案】B 【分析】观察可知本题可用提公因式法进行计算，本题公因式为2100．由此即可解答． 【详解】2100+（－2）101 =2100+（－2）100×（－2） =2100+2100×（－2） =2100×（1－2） =2100×（－1） =－2100． 故选B． 【点睛】本题考查了用提公因式法因式分解的应用，正确的确定公因式是解决本题的关键． 3．（26-27七年级上·黑龙江大庆·联考）比较大小（填“”“”或“”）：______；_____；_____． 【答案】 > < > 【详解】解：①比较和， ∵，， ∴，即， ∴； ②比较和， ∵，， ∴， 即， ③比较和， ∵，， ∴， 即． 4．_______． 【答案】## 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是利用积的乘方公式进行简便运算．先将转化为，再写成以为底的幂，最后利用幂的运算性质化简． 【详解】解： ． 5．（24-25七年级上·云南昭通·月考）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的运算，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． （1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解： ． 科学记数法题型05 1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）用科学记数法表示152400000，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．（24-25七年级下·河北张家口·期中）地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【答案】A 【分析】用科学记数法表示绝对值大于的数，其科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，且的值为原数的整数位数减，据此求解即可． 【详解】解：，故A正确，B错误； 该数是一个位数，故C，D错误． 3．为纪念我国著名数学家苏步青所做的卓越贡献，国际上将一颗距地球亿千米的行星命名为“苏步青星”.将亿用科学记数法表示为，则n的值为______. 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：亿， 等于 故答案为：． 4．一本200页的书的厚度约为，用科学记数法表示每一页纸的厚度，约为__________． 【答案】 【分析】200页的书，有200张纸组成，可以根据200张纸的总厚度，除以200，求出一页纸的厚度.求得相应数值后进而表示为即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数． 5．用科学记数法表示下列各数或还原用科学记数法表示的数． (1) ； (2) ； (3)亿 ； (4) ； (5) ． 【答案】(1) (2) (3) (4)120000 (5) 【分析】本题考查科学记数法—原数，科学记数法—表示较大的数，解题的关键是正确运算． （1）确定其小数点向左移动的数位即可得到结果； （2）确定其小数点向左移动的数位即可得到结果； （3）确定其小数点向左移动的数位即可得到结果； （4）结合科学记数法所表示数的指数，再确定其小数点向右移动的数位即可得到原数； （5）结合科学记数法所表示数的指数，再确定其小数点向右移动的数位即可得到原数． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解：亿； 故答案为： （4）解：； 故答案为：120000 （5）解：． 故答案为： 将用科学记数法表示的数变回原数题型06 1．将用小数表示为（ ） A．0.000205 B．0.0205 C．0.00205 D．－0.00205 【答案】C 【详解】解：=0.00205．故选C． 考点：科学记数法—原数． 2．中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，该舰的满载排水量为6.75×104吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（　　） A．6750吨 B．67500吨 C．675000吨 D．6750000吨 【答案】B 【分析】科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． 【详解】6.75×104吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为67500吨． 故选B． 【点睛】本题考查了科学记数法﹣原数，把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 3．小华在做练习题时，不小心把墨水洒在了习题上，如图所示，他翻看答案后得知本题的正确答案选B，则原数中数字“3”后“0”的个数为（   ） 长江是世界第三长河，也是亚洲最长的河流，全长约63米，将63用科学记数法表示为（   ）A．  B．  C．  D． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法表示原数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 则原数中数字“3”后“0”的个数为5， 故选：C 4．用科学记数法写出的数原数是______. 【答案】-39600； 【分析】将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 【详解】=-39600， 故答案为-39600 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 5．下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数？ (1)北京故宫的占地面积约为； (2)人体中约有个红细胞； (3)港珠澳大桥全长． 【答案】(1) ； (2) 个； (3) ． 【详解】（1）解：； （2）解：个个； （3）解：． 科学记数法的应用题型07 1．月球距离地球的距离约为，将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】将384000用科学记数法表示为：3.84000×105． 故选：A． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）已知光在真空中的传播速度为，则数据用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 【详解】解：． 故选：B． 3．2023 年广东地区生产总值达到13.57万亿元、增长4.8%，是全国首个突破13万亿元的省份，总量连续35年居全国首位．数据13.57万亿用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法—表示较大的数，把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案． 【详解】解：13.57万亿． 故选：A． 4．（24-25七年级上·重庆·期中）中国空间站（又称：天宫空间站）是中华人民共和国建成的国家级太空实验室．中国空间站轨道高度约为450000千米，数450000用科学记数法表示为_____． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 5．（24-25七年级上·安徽·期中）在国庆节的七天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的六天与10月1日相比每天旅游人数变化如下表：（正数表示人数增加） 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化（单位：万人） (1)七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ (2)据测算，平均每位游客为风景区带来的旅游收入约为200元，则该风景区在这七天假期的旅游总收入约为多少元？（结果用科学记数法表示） 【答案】(1)七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多1万人 (2)该风景区在这七天假期的旅游总收入约为元． 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，有理数减法的实际应用，科学记数法，正负数的实际应用： （1）用表格中人数变化最大的数减去最小的数即可得到答案； （2）先求出这七天的旅游总人数，再求出旅游总收入即可得到答案． 【详解】（1）解：万人， 答：七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多1万人； （2）解： 元， 答：该风景区在这七天假期的旅游总收入约为元． 有理数乘方的逆运算题型01 1．平方等于它的立方的数是（     ）． A．0，1 B．0， C． D．0， 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴ 0满足条件. ∵，， ∴1满足条件. ∵，， ∴不满足条件. 2．（24-25七年级上·江苏南京·月考）已知，那么__________；__________的立方等于． 【答案】 【分析】本题考查的是乘方运算的逆运算，由平方与立方的逆运算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴的立方等于； 故答案为：， 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，则x＝_______． 【答案】3 【分析】本题考查有理数乘方运算，根据有理数乘方运算计算即可． 【详解】∵， ∴ 故答案为：3． 4．已知，，且，求的值． 【答案】8或-8 【分析】先根据绝对值的性质求出a的值，再根据乘方的运算法则求出b的值，进而相减可得出结论． 【详解】解：∵|a|=5，b2=9， ∴a=±5，b=±3， ∵ab＜0， ∴当a=5时，b=-3， ∴a-b=5+3=8； 当a=-5时，b=3， ∴a-b=-5-3=-8． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘法和乘方，熟知有理数乘方的法则是解答此题的关键． 5．类比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义： ①如果，那么x叫做a的四次方根； ②如果，那么x叫做a的五次方根； 请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题： (1)81的四次方根为______；的五次方根为______． (2)若有意义，则a的取值范围为______；若有意义，则a的取值范围为______． (3)解方程： ① ② 【答案】(1)； (2)，全体实数 (3)①；② 【分析】本题考查新定义——四次方根与五次方根的定义．求解时注意正数的四次方根有2个． （1）根据四次方根、五次方根的定义即可解答； （2）根据四次方根、五次方根的意义即可解答； （3）①根据四次方根的定义即可求解；②根据五次方根的定义即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴81的四次方根是． ∵， ∴的五次方根是． 故答案为：， （2）若有意义，则， ∴a的取值范围为：． 若有意义，则a的取值范围为全体实数． 故答案为：，全体实数 （3）①∵，又 ∴； ②∵ ∴， ∵， ∴． 有理数偶次方的非负性题型02 1．如果a是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查了非负数．熟练掌握有理数平方的非负性是解题的关键． 根据即得． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 2．不论有理数x取何值，下列式子的值一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，根据，进行逐一判断即可求解，理解非负性是解题的关键． 【详解】A.，故不符合题意； B.，故不符合题意； C.，符合题意； D.，故不符合题意； 故选：C． 3．若|a－3|＋(b＋1)2＝0，则a＋b的值是______． 【答案】2 【分析】直接利用绝对值以及偶次方的非负性化简进而得出答案． 【详解】解：∵|a-3|+（b+1）2=0， ∴a=3，b=-1， ∴a+b=2． 故答案为：2 【点睛】此题主要考查了绝对值以及偶次方的性质，正确得出a，b的值是解题关键． 4．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键． 根据乘方的非负性，确定最大值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴的最大值为：； 故答案为：． 5．已知与互为相反数，求的值． 【答案】0 【分析】根据相反数的性质得到，再根据绝对值非负性得到，，代入求解即可； 【详解】因为与互为相反数，所以，所以，， 所以，， 因此． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性应用、相反数的性质和代数式求值，准确计算是解题的关键． 乘方的应用题型03 1．（24-25七年级上·广西南宁·月考）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过 1 次分裂便由 1 个分裂成 2 个．根据此规律，一个细胞经过 5 次分裂后可分裂成（        ）个细胞 A．10 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用．熟练掌握这种细胞分裂规律，是解决问题的关键． 根据这种细胞经过 1 次分裂便由 1 个分裂成 2 个，得5次分裂成个，计算即得． 【详解】解：． 故选：C． 2．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）两位同学玩猜数游戏，规则如下：（1）第一位同学默想一个的整数并记住；（2）第二位同学对第一位同学默想的数提出一个猜想，第一位同学比较这个数和自己心中所想数的大小，然后回答“大了”“小了”或者“相等”，若相等则说明第二位同学猜中；（3）若第二位同学没有猜中，则根据第一位同学的回答，调整猜想；（4）重复步骤（2）（3），直到猜中．自由活动课上，小刚和小明玩这个游戏，其中小明按要求选好一个数后，小刚至多猜（    ）次可以一定猜出此数． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方的应用，根据题意，每次猜测后范围可减半，设小刚猜次，只需使得即可，再根据有理数乘方的运算法则计算比较即可． 【详解】解：设小刚猜次， ∵总数为2025，每次猜测后范围可减半， ∴只需使得， ∵， ∴小刚至多猜11次可以一定猜出此数． 故选：C． 3．（24-25七年级上·四川成都·月考）《庄子》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第5次截取后剩下的木棒长度为_________尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．根据每日截取木棒的一半，每次截取后剩下的长度是前一次的一半，进而求出第5次截取后剩下的长度． 【详解】解：（尺）， 即第5次截取后剩下的木棒长度为尺， 4．下列情景描述的结果与相符的是________（填写所有正确选项的序号） ①把一张报纸沿同一方向连续对折5次得到的后折痕条数； ②把一团和好的面，揉搓成一根长条后，连续拉扣5次得到的面条根数 ③细胞分裂时，由1个分裂成2个，由2个分裂成4个，以此类推，一个这样的细胞分裂5次形成的细胞个数． 【答案】②③##③② 【分析】根据题干叙述分别计算找出对折的次数与折痕的条数，拉扣的次数和面条的根数，分裂的次数和细胞个数的规律，判断是否符合规律即可． 【详解】①把一张报纸沿同一方向对折，对折一次有1条折痕，对折两次是3条折痕，以此类推，对折5次后有条折痕，不符合题意． ②把一团和好的面，揉搓成一根长条后，拉扣一次时有两根面条，两次有4根面条，以此类推，拉扣5次有根面条，符合题意． ③由题意可得，一个这样的细胞分裂5次形成细胞个数为个，符合题意． 故答案为②③． 【点睛】本题主要考查幂的应用，清楚理解幂的含义是解决本题的关键． 5．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）如图是一卷绕紧的纸，纸卷直径为14厘米，中间有一个直径为4厘米的卷轴，已知纸厚厘米，这卷纸全部完全展开后长度大约是多少米？（数值精确到小数点后一位，取） 【答案】这卷纸展开后大约是35.3米 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据等面积法列算式进行求解即可． 【详解】解：利用体积不变可得：（厘米）， 厘米米米， 答：这卷纸展开后大约是35.3米． 与科学记数法有关的计算题型04 1．（2026·重庆·模拟）下列四个数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ，即最小的数是． 2．献礼新中国成立周年的影片《我和我的祖国》，不仅彰显了中华民族的文化自信，也激发了观众强烈的爱国情怀与观影热情．据某网站统计，国庆期间，此部电影票房收入约亿元，平均每张票约元，估计观影人次约为（用科学记数法表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把一个数表示成的形式，其中，n是整数，这种记数方法叫做科学记数法，根据科学记数法的要求即可解答. 【详解】∵22亿元= ， ∴， 故选：B. 【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，此题正确列式计算是难点. 3．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）据某网站报道一粒废旧纽扣电池可以使600吨水受到污染，某校团委四年来发动全体团员同学共回收废旧纽扣电池3500粒．若这3500粒废旧纽扣电池可以使m吨水受到污染，用科学记数法表示    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；先根据题意求出m的值，再用科学记数法表示出m即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 4．计算：(结果仍用科学记数法表示) (1) 3.8×103＋6.3×102； (2) 3.8×107－3.7×107； (3) (－8×104)×(1.3×103)； (4) (9.6×105)÷(3×103)． 【答案】(1)4.43×103;(2)1×106;(3)－1.04×108;(4)3.2×102 【分析】（1）、（2）根据整式的加、减法，可得答案． （3）、（4）根据整式的乘法、除法，可得答案． 【详解】解：（1）原式=3.8×103+0.63×103=4.43×103； （2）原式= （3.8－3.7）×107=1×106； （3）原式=－10.4×107=－1.04×108； （4）原式= (9.6÷3)×105-3=3.2×102． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 5．已知， ， ． (1)猜想：________，________（m，n均为正整数）． (2)运用上述猜想计算下列式子： ①； ②． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）由已知可先求出原数，然后将其表示为科学记数法的形式即可解答前两个空； （2）根据上面的计算方法，注意将结果写为科学记数法的形式． 【详解】（1）， （2）①原式. ②原式． 【点睛】本题考查了科学记数法与找规律问题． 乘方中的程序流程图问题题型01 1．1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：，如果正整数最少经过6步运算可得到1，则的值为（      ） A．10 B．32 C．64 D．10或64 【答案】D 【分析】利用第六步为1出发，按照规则，逆向逐项即可求出m的所有可能的取值． 【详解】如果正整数m按照上述规则施行变换后的第六步为1， 则变换中的第五步一定是2， 变换中的第四步一定是4； 变换中的第三步一定是8； 变换中的第二步一定是16， 变换中的第一步可能是5或32 则的值为10或64， 故选择：D． 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，利用变换规则，进行逆向验证是解决本题的关键，考查学生的推理能力． 2．按照如图所示的操作步骤，若输出的值为25，则输入的数是________．      【答案】3或##或 【分析】此题主要考查了代数式求值，有理数的混合运算，要熟练掌握，关键是得到方程． 根据如图所示的操作步骤，可得与2的平方和等于25，据此求出的值是多少即可． 【详解】∵， 解得：或， 故答案为：3或． 乘方中的整除与进制问题题型02 1．我国古代《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知、孩子自出生后的天数是（   ） A．41 B．65 C．167 D．181 【答案】C 【分析】本题考查了进位制的概念及七进制数与十进制数的转换，解题的关键是理解“满七进一”的计数规则，即每个数位的权值为7的相应幂次，通过各数位的数值乘以对应权值再求和完成转换． 明确“满七进一”为七进制计数法，从右到左各数位的权值依次为、、；对应数位数值：右起第一位6权值、第二位2权值、第三位3权值；计算总和：，得到十进制天数. 【详解】解：根据“满七进一”的计数规则，该数为七进制数，从右到左各数位的权值依次为、、 由图可知，从右到左的打结数依次为6、2、3，因此对应的十进制天数计算如下： 故选：C． 2．被7除的余数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了同余问题，涉及有理数的除法的相关知识，有一定的难度． 的余数是的余数是的余数是的余数是的余数是的余数是7 的余数是 3 ，从这里开始循环，则的余数，只要看的余数，分别找到指数是的余数，再把它们相加除以 7 即可求得被 7 除的余数． 【详解】解：的余数是 3 ， 的余数是 2 ， 的余数是 6 ， 的余数是 4 ， 的余数是 5 ， 的余数是 1 ， 的余数是 3 ，从这里开始以六组为一个循环， 则根据以上规律可得的余数是 4 ，的余数是 4 ， 即的余数是的余数是 4 ， 的余数是的余数是 4 ， ， 则的余数是的余数是 4 ， ， ． 故被 7 除的余数是3 ， 故选：D． 3．（24-25七年级上·广东湛江·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数应为：；，则将换算成十进制数的结果是______． 【答案】29 【分析】本题考查了乘方的应用，理解题意，弄清二进制数换算成十进制数的计算方法是解题的关键．仿照题意的换算公式，将换算成十进制数即可解答． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：29． 4．我们平常用的是十进制，如．表示十进制的数要用10个数码：．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：．如二进制中，，相当于十进制中的7；二进制中，，相当于十进制中的27． 请你计算： (1)二进制中的10111相当于十进制中的哪个数？ (2)二进制中的什么数相当于十进制中的15？ 【答案】(1)23 (2)1111 【分析】（1）根据题意得出求出即可； （2）根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：，即二进制中的相当于十进制中的． （2）解：,即二进制中的相当于十进制中的． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，主要考查学生的理解能力，阅读能力和计算能力，是一道较好的综合题． 5．（2026·河北石家庄·质检）进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统．如三进制数就是用0，1，2这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位．不同的进位制是可以互相转换的，若将三进制数转换为十进制数，就可以这样转换：． 解答下面问题： (1)将三进制数，转换为十进制数； (2)已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除，求的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据三进制转换为十进制数的转换方法计算即可； （2）先推导出，得到能被3整除，根据整个数能否被3整除，仅由剩余项d决定，即d必须是3的倍数，且三进制数的数字取值范围为0，1，2，故，即可解答． 【详解】（1）解： ， 答：三进制数转换为十进制数为16． （2）解： ， ∵三进制的四位数对应的十进制数能被3整除， ∴能被3整除， ∵，是3的倍数；，是3的倍数；，是3的倍数， ∴整个数能否被3整除，仅由剩余项d决定，即d必须是3的倍数， 又因为三进制数的数字取值范围为0，1，2， 故． 乘方中的末尾数字与规律探究题型03 1．下列一组数按规律排列依次为2，-4，8，-16，…，则第2025个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分开观察符号和数字绝对值，奇数项为正，偶数项为负，数字绝对值是，写出通项公式后代入计算． 【详解】解：∵，，，，…， ∴第n个数为， ∴第2025个数为． 2．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）观察下列算式：，，，，，，，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 【答案】1 【分析】此题考查有理数的乘方，找到个位数字的规律解决问题． 根据已知的式子可以得到末尾数字4个一循环，据此解答即可． 【详解】解：，，，，，…， 由此发现，式子末尾数字以3、9、7、1这4个数作循环， ∵， ∴所以的个位数字是1． 故答案为：1． 3．某人在2□□8的每个框中各填写了一个两位数与，结果得到的六位数恰是一个完全立方数，则_______． 【答案】70 【分析】此题考查的是完全立方数，根据题意可设，则据末位数字特征得，进而根据确定，即可求解． 【详解】解：设，则据末位数字特征得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：70． 4．阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给运算方法．设，然后两边同乘以3，进而按照题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：设 则 所以， 即． 5．阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 【答案】(1)3，2 (2)7 【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算． （1）此题不难发现：的个位数字是7，9，3，1四个一循环，所以，则的个位数字是3；的个位数字是8，4，2，6四个一循环，所以，则的个位数字是2； （2）分别找出，，的个位数字，然后个位数字相加所得个位数字就是的个位数字． 【详解】（1）解：∵， ∴7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为3； ∵， ∴8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现．因为， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为2； （2）解：∵， ∴2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ∴的个位数字与相同，是2， 根据（1）可知，的个位数字是7，的个位数字是8，， ∴的个位数字是7． 乘方中的新定义问题题型04 1．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键． 2．如果，则，根据此规定， __． 【答案】3 【分析】根据题意代入具体的数值计算即可求解． 【详解】解：∵，则， ∴如果设，则， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． 3．定义一种新运算，若，则，例，．已知，则x的值为 __． 【答案】56 【分析】设，根据新运算可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题． 4．（25-26七年级上·重庆·月考）定义一种新运算：，其中表示不超过的最大整数．例如： ，． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，非负数的性质，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）利用题中的新定义计算即可； （2）先根据非负数的性质求出，，再根据新定义求出，代入所求式子，则根据新定义计算即可． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： ； （2）解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴ ． 5．（24-25七年级上·福建三明·期中）小明在学习了“有理数的乘方”后，类比“乘方”定义“除方”的概念：若干个相同有理数（不能为0）的除法运算叫做除方，用符号表示非零有理数a的n次除方，即，其中． (1)计算的值； (2)关于“有理数的除方”，给出以下判断： ①； ②若，则； ③对于任意正整数n，都有． 正确的是______．（写出所有正确判断的序号） (3)若，n为正整数，且，将“除方”的运算结果表示为幂的形式，并计算的值． 【答案】(1)； (2)③； (3)． 【分析】本题考查了了新定义，有理数的乘除运算及乘方运算，理解新定义并掌握相关运算法则是关键，主要考查了学生抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识和创新意识，考查了学生函数化归与转化思想、特殊与一般思想． （1）根据除方的定义计算即可； （2）根据除方的定义计算即可； （3）根据除方的定义、乘方的定义计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：正确的判断是②③． 依据如下： ∵，， ∴故①错误． ∵， ∴②正确． ∵对任何正整数n， 又∵是奇数， ∴ ∴故③正确． （3）解：当时，； 则． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.5 有理数的乘方 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 有理数乘方的概念 题型02 有理数的乘方运算 题型03 乘方运算的符号规律 题型04 利用有理数乘方的性质进行运算 题型05 科学记数法 题型06 将用科学记数法表示的数变回原数 题型07 科学记数法的应用 B组 能力进阶 题型01 有理数乘方的逆运算 题型02 有理数偶次方的非负性 题型03 乘方的应用 题型04 与科学记数法有关的计算 C组 思维拔高 题型01 乘方中的程序流程图问题 题型02 乘方中的整除与进制问题 题型03 乘方中的末尾数字与规律探究 题型04 乘方中的新定义问题 有理数乘方的概念题型01 1．23表示（    ） A．2×2×2 B．2×3 C．3×3 D．2+2+2 2．（26-27七年级上·湖南长沙·月考）已知：，则L=（     ） A． B． C． D． 3．在中底数是_____，指数是_____． 4．的底数是______，值为______；的底数是______，值为______． 5．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 有理数的乘方运算题型02 1．（26-27七年级上·河南南阳·学情自测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．________． 3．算一算：_____，____，_____，______； 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（26-27七年级上·福建·学情自测）有理数的英文是，传到中国翻译时，误把理解成“有理、有道理”，翻译成有理数．经过第一章《有理数》的学习，我们知道，有理数是可以写成分数形式的数（形如，其中，均为整数，）． 在有理数系中，有理数的和、差、积、商（除数不为）仍然是有理数．有理数的四则运算法则可以表示为如下形式： ①； ②； ③； 其中，均为整数，均不为． 小双在看到课本第二章《有理数的运算》章末的回顾与思考时想到，能否把有理数的乘方运算也用类似的形式表示出来： ④______（为整数，为正整数）． A．     B．        C．        D． (1)请完成上述填空 _______，_______，_______； (2)利用乘方的意义，用严格的推理，说明④的正确性； (3)探究过程中，小双感受到，理解乘方的意义可以帮助我们解决有关乘方的运算．在此基础上，他出了一道计算题：，请借助所学知识计算，运算结果保留乘方的形式． 乘方运算的符号规律题型03 1．一个负数的奇次幂为（    ） A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．分数 2．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）在， ，， ， 0中，负数共有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．七年级某班的学生共有49人，军训时排列成的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（    ） A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 B．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 4．计算： ____________ 5．判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 利用有理数乘方的性质进行运算题型04 1．任何一个有理数的偶次幂必是（　　） A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 2．计算所得的结果是（    ） A． B．－ C．－2 D．2 3．（26-27七年级上·黑龙江大庆·联考）比较大小（填“”“”或“”）：______；_____；_____． 4．_______． 5．（24-25七年级上·云南昭通·月考）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 科学记数法题型05 1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）用科学记数法表示152400000，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北张家口·期中）地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 3．为纪念我国著名数学家苏步青所做的卓越贡献，国际上将一颗距地球亿千米的行星命名为“苏步青星”.将亿用科学记数法表示为，则n的值为______. 4．一本200页的书的厚度约为，用科学记数法表示每一页纸的厚度，约为__________． 5．用科学记数法表示下列各数或还原用科学记数法表示的数． (1) ； (2) ； (3)亿 ； (4) ； (5) ． 将用科学记数法表示的数变回原数题型06 1．将用小数表示为（ ） A．0.000205 B．0.0205 C．0.00205 D．－0.00205 2．中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，该舰的满载排水量为6.75×104吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（　　） A．6750吨 B．67500吨 C．675000吨 D．6750000吨 3．小华在做练习题时，不小心把墨水洒在了习题上，如图所示，他翻看答案后得知本题的正确答案选B，则原数中数字“3”后“0”的个数为（   ） 长江是世界第三长河，也是亚洲最长的河流，全长约63米，将63用科学记数法表示为（   ）A．  B．  C．  D． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．用科学记数法写出的数原数是______. 5．下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数？ (1)北京故宫的占地面积约为； (2)人体中约有个红细胞； (3)港珠澳大桥全长． 科学记数法的应用题型07 1．月球距离地球的距离约为，将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）已知光在真空中的传播速度为，则数据用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 3．2023 年广东地区生产总值达到13.57万亿元、增长4.8%，是全国首个突破13万亿元的省份，总量连续35年居全国首位．数据13.57万亿用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·重庆·期中）中国空间站（又称：天宫空间站）是中华人民共和国建成的国家级太空实验室．中国空间站轨道高度约为450000千米，数450000用科学记数法表示为_____． 5．（24-25七年级上·安徽·期中）在国庆节的七天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的六天与10月1日相比每天旅游人数变化如下表：（正数表示人数增加） 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化（单位：万人） (1)七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ (2)据测算，平均每位游客为风景区带来的旅游收入约为200元，则该风景区在这七天假期的旅游总收入约为多少元？（结果用科学记数法表示） 有理数乘方的逆运算题型01 1．平方等于它的立方的数是（     ）． A．0，1 B．0， C． D．0， 2．（24-25七年级上·江苏南京·月考）已知，那么__________；__________的立方等于． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，则x＝_______． 4．已知，，且，求的值． 5．类比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义： ①如果，那么x叫做a的四次方根； ②如果，那么x叫做a的五次方根； 请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题： (1)81的四次方根为______；的五次方根为______． (2)若有意义，则a的取值范围为______；若有意义，则a的取值范围为______． (3)解方程： ① ② 有理数偶次方的非负性题型02 1．如果a是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 2．不论有理数x取何值，下列式子的值一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 3．若|a－3|＋(b＋1)2＝0，则a＋b的值是______． 4．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为______． 5．已知与互为相反数，求的值． 乘方的应用题型03 1．（24-25七年级上·广西南宁·月考）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过 1 次分裂便由 1 个分裂成 2 个．根据此规律，一个细胞经过 5 次分裂后可分裂成（        ）个细胞 A．10 B．16 C．32 D．64 2．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）两位同学玩猜数游戏，规则如下：（1）第一位同学默想一个的整数并记住；（2）第二位同学对第一位同学默想的数提出一个猜想，第一位同学比较这个数和自己心中所想数的大小，然后回答“大了”“小了”或者“相等”，若相等则说明第二位同学猜中；（3）若第二位同学没有猜中，则根据第一位同学的回答，调整猜想；（4）重复步骤（2）（3），直到猜中．自由活动课上，小刚和小明玩这个游戏，其中小明按要求选好一个数后，小刚至多猜（    ）次可以一定猜出此数． A．9 B．10 C．11 D．12 3．（24-25七年级上·四川成都·月考）《庄子》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第5次截取后剩下的木棒长度为_________尺． 4．下列情景描述的结果与相符的是________（填写所有正确选项的序号） ①把一张报纸沿同一方向连续对折5次得到的后折痕条数； ②把一团和好的面，揉搓成一根长条后，连续拉扣5次得到的面条根数 ③细胞分裂时，由1个分裂成2个，由2个分裂成4个，以此类推，一个这样的细胞分裂5次形成的细胞个数． 5．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）如图是一卷绕紧的纸，纸卷直径为14厘米，中间有一个直径为4厘米的卷轴，已知纸厚厘米，这卷纸全部完全展开后长度大约是多少米？（数值精确到小数点后一位，取） 与科学记数法有关的计算题型04 1．（2026·重庆·模拟）下列四个数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 2．献礼新中国成立周年的影片《我和我的祖国》，不仅彰显了中华民族的文化自信，也激发了观众强烈的爱国情怀与观影热情．据某网站统计，国庆期间，此部电影票房收入约亿元，平均每张票约元，估计观影人次约为（用科学记数法表示）（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）据某网站报道一粒废旧纽扣电池可以使600吨水受到污染，某校团委四年来发动全体团员同学共回收废旧纽扣电池3500粒．若这3500粒废旧纽扣电池可以使m吨水受到污染，用科学记数法表示    ） A． B． C． D． 4．计算：(结果仍用科学记数法表示) (1) 3.8×103＋6.3×102； (2) 3.8×107－3.7×107； (3) (－8×104)×(1.3×103)； (4) (9.6×105)÷(3×103)． 5．已知， ， ． (1)猜想：________，________（m，n均为正整数）． (2)运用上述猜想计算下列式子： ①； ②． 乘方中的程序流程图问题题型01 1．1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：，如果正整数最少经过6步运算可得到1，则的值为（      ） A．10 B．32 C．64 D．10或64 2．按照如图所示的操作步骤，若输出的值为25，则输入的数是________．      乘方中的整除与进制问题题型02 1．我国古代《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知、孩子自出生后的天数是（   ） A．41 B．65 C．167 D．181 2．被7除的余数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25七年级上·广东湛江·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数应为：；，则将换算成十进制数的结果是______． 4．我们平常用的是十进制，如．表示十进制的数要用10个数码：．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：．如二进制中，，相当于十进制中的7；二进制中，，相当于十进制中的27． 请你计算： (1)二进制中的10111相当于十进制中的哪个数？ (2)二进制中的什么数相当于十进制中的15？ 5．（2026·河北石家庄·质检）进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统．如三进制数就是用0，1，2这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位．不同的进位制是可以互相转换的，若将三进制数转换为十进制数，就可以这样转换：． 解答下面问题： (1)将三进制数，转换为十进制数； (2)已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除，求的值． 乘方中的末尾数字与规律探究题型03 1．下列一组数按规律排列依次为2，-4，8，-16，…，则第2025个数为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）观察下列算式：，，，，，，，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 3．某人在2□□8的每个框中各填写了一个两位数与，结果得到的六位数恰是一个完全立方数，则_______． 4．阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 5．阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 乘方中的新定义问题题型04 1．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 2．如果，则，根据此规定， __． 3．定义一种新运算，若，则，例，．已知，则x的值为 __． 4．（25-26七年级上·重庆·月考）定义一种新运算：，其中表示不超过的最大整数．例如： ，． (1)求的值． (2)若，求的值． 5．（24-25七年级上·福建三明·期中）小明在学习了“有理数的乘方”后，类比“乘方”定义“除方”的概念：若干个相同有理数（不能为0）的除法运算叫做除方，用符号表示非零有理数a的n次除方，即，其中． (1)计算的值； (2)关于“有理数的除方”，给出以下判断： ①； ②若，则； ③对于任意正整数n，都有． 正确的是______．（写出所有正确判断的序号） (3)若，n为正整数，且，将“除方”的运算结果表示为幂的形式，并计算的值． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $