2.3.1 乘方（分层作业·练题型）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 分层作业2.3.1乘方同步练通过A/B/C组三级分层设计，覆盖乘方概念、运算、应用及规律探究，梯度递进培养抽象能力与运算能力，适配新授课分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|乘方概念、基本运算、符号规律|基础题型（如概念辨析、简单运算），夯实基础| |B组|综合应用、程序流程图、算“24”点|中档题（如进制转换、混合运算），提升运算能力| |C组|规律探究、新定义运算|难题（如杨辉三角、除方），培养推理意识与创新意识|

函学科网·上好课 www .zxxk.com 分层作业 2.3.1乘方 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 有理数幂的概念 1.A2.D3.B4.D5.D 颗型02 有理数乘方的运算 6.A7.A8.C9.510.100 1000 100000000 -100000000000 11.1023 颗型03 有理数乘方的逆运算 12.-5或-1. 13.-3或3 颗型04 乘方运算符号的规律 14.24315.-116.5(答案不唯一) 17.（1)解：根据题干的规律可得： arb=a”.b 故答案为：ab (2)解：理由如下： a…br=a…bab…a…b n a b =aa…a小bb…b n个a =a”.bn. 上好每一堂课 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：原式=- 12024 1 8 ×22025×42026 --1×2×4 2024 ×2×42 8 =32 18.(1)解：M6=-2×-2×-2×-2×-2=-32 M1m由10o0个-2相乘，则M1m是一个正数， 故答案为：-32；正数： (2)解：M6=-2×-2×-2×-2×-2×-2=64? M7=-2×-2×-2×-2×-2×-2×-2=-128, 所以M6+M7=64-128=-64 (3)解：：M.<0则n为奇数， Mn=2×-2×…×-2=-2,Mn1=21, n个 .2014Mn+1007Mm+1=2014×-2+1007×2+1=-1007×2+1+1007×2n+1=0 19.解：(1)M6)=(-2)x(-2)×(-2)×-2×(-2=-32M0是-个正数： (2）M6+M7=-2+-27=64+-128=-64 (3)2Mn+Mm1=2×-2+|-21 =2×-2”+-2×-2”=2-2×-2”=0 20.(1)解：①2×32=4×9=36'2×3=62=36则2×3'=2×3P: 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ② 27 ×8=-27 8 引2-22引2 即每组两个算式的结果相等 (2)解： a"b"=ab"i 2025 12025 (3)解： 颗型05 乘方的应用 21.2026 22.422 6E 23.(1)解：(121)3=1×32+2×32+1×3° =1×9+2×3+1×1 =9+6+1 =16, 答：三进制数(121)，转换为十进制数为16。 (2)解：(ab2d3=a×33+b×32+2×3+d×3° =27a+9b+6+d. :三进制的四位数ab2d,对应的十进制数能被3整除， ∴.27a+9b+6+d能被3整除， 27a=3×9a,是3的倍数：9b=3×3b,是3的倍数：6=3×2，是3的倍数， .整个数能否被3整除，仅由剩余项d决定，即d必须是3的倍数， 又因为三进制数的数字取值范围为0,1,2， 故d=0. 24.(1)解：由题意知， 2013=2×32+0×31+1×3°=18+0+1=19 故答案为：19. 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：①abcd,=a×3+bx32+cx3+d×3°=27a+9b+3c+d' 故答案为：27a+9b+3c+d: ②.27a+9b+3c+d=26a+a+8b+b+2c+c+d =26a+8b+2c+a+b+c+d=213a+4b+c+a+b+c+d, 又.213a+4b+c能被2整除，且a+b+c+d能被2整除， 27a+9b+3c+d能被2整除，即四位的三进制数abcd,能被2整除， 该结论正确 25.解：(1)11002=1×23+1×2+0×2+0×1 =8+4+0+0 =12: (2)对应的生肖是蛇.理由如下： 因为01102=0×23+1×22+1×21+0×1 =0+4+2+0 =6 所以对应的生肖是蛇， (3)他的生日是八月18号.理由如下： 因为100102=1×24+0×23+0×22+1×2+0×1 =16+0+0+2+0 =18 所以他的生日是八月18号. 颗型06 程序流程图与有理数计算 26.1)解：8×-6=8×6=48：-32-48=9-48=-39：综合算式：(-3P-32÷4×-6 (2)解：-52-8÷×-2 4 =-25-8×4×2 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-25-64 =-89. 27.(1)解：根据题意， (2)解：根据题意， 得122 23 ×-4-3 原式 x-4-3六43-g3=-9 28.(1)解： ①1-3×2--5l+6 =-6+52+6 =-12+6 =1+6 =7; ②15--51×2+6 =5+52×2+6 =102×2+6 =100×2+6 =206: (2)解：由题意知，a+62×2--5=13 a+62×2=8 a+62=4 ∴.a+6=2或a+6=-2, ∴.a=-4或a=-8. 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29.解：由流程图得， x*4-3✉合05-小x+49×2-2✉413r 当输入x=-16时，导引x+131= 2×-16+13=2, 2>-9, 第二次输入， 当x=2时，一 x+13=子×2+13=-10<-9，箱， ∴.输出的结果y是-10 30.(1)解：当x=1时， x-3×-2]3+1=1-3×-2]3+1=43+1=64+1=65 (2)解：由思意得12×-2+1]3-3=(-32-3=-27-3=-30 颗型07 算“24”点 31-4×-3×5-3=24（答案不唯-) 32.5÷1-2×8 335--3×2--1=24或-3×-6--1+5=24（答案不唯一） 342-2×3=24（答案不唯-） 35.(-9+7)×4×-3)=24(答案不唯-）· 颗型08 含乘方的有理数混合运算 361)解：-2×-3到- 48÷-22 48÷4 =-32-12 =-44: 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 02y解：原武-1方*分×12-9 -1+7 6 a)解--6-15是-5 =-1×9+-9×4-5 3 =-9-12-5 =-26: 4解限式-16×牙4+-4小昌 -27+3 22 =15. 4 1 3+22+1 +5 6 6 =1+ 13 =1+1+3 =5； (2)解：-22-号5×11--41 3 =4号*1-161 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-4-1x1x15 35 =-4-1 =-5； @-1-唱剖 =-9*61-27+1-号到别 =-9+-3+1-2 =-9+-3-1 =-9+-4 =-13； (4)解：原式=-8× 9×4 49 =-8×1 =-8. 38.(1)解：-3×4+28÷-7+1 =-12+(-4)+1 =-15: (2)解：4×5--5×0.25×-22 8 =16×5-(-5)×0.25×4 8 =10-（-5)×1 =10+5 =15. aa-号-6 可学科网·上好课 =9-22x2-6÷ 89 3 =9-3-9 4 、3 4 2解-1-}-2- -1君8-9 =-1×-17 -1 =1 6 40.(1)解：-42-33× =16-27×1 =16-3 =13 (2)解：-22--53÷-5) =4-（-125)÷(-5) =4-25 =-21. (3)解：-1100×5+-43÷4 =1×5+-64)÷4 =5-16 =-11 www.zxxk.com 上好每一堂课 3） 丽学科网·上好课 www zxxk com (4)解： 2*1-05x-2×(-8副 =(-×-日×4×-8) =-×4-1-8 =-10×1 =-101 5)解：-2音×- 2 9 =-8×9x4 49 =-8 颗型09 有理数混合运算中规律类问题 41.(1)解：由题意得第5个等式： 1+1+11++1 (2)解：2-4-62-182-1100-1 分专引r片-引…动 } 50 101 42.（1)解：①观察杨辉三角可发现下一行数字为上一行对应 别为1,8,28,56,70,56,28,8,1； ②观察发现 上好每一堂课 空格两边数字之和，所以第8行添加的数分 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第0行的和为1=1=2°， 第1行的和为1+1=2=2， 第2行的和为1+2+1=4=22， 第3行的和为1+3+3+1=8=23， 第4行的和为1+4+6+4+1=16=24， 故可得第100行的数之和为2100： (2)解：观察可知，第1条斜线经过的数之和为1， 第2条斜线经过的数之和为1， 第3条斜线经过的数之和为2=1+1， 第4条斜线经过的数之和为3=2+1， 第5条斜线经过的数之和为5=3+2， 第6条斜线经过的数之和为8=5+3， 第7条斜线经过的数之和为13=8+5， 发现从第3条开始，每条斜线经过的数之和都为前两条斜线的数据之和， 所以第8条斜线经过的数之和为13+8=21， 第9条斜线经过的数之和为21+13=34， 故第10条斜线经过的数之和为34+21=55： (3)解：观察：长方形①的长与宽的和为1+1+1=3， 长方形②的长与宽的和为1+1+1+2=5， 长方形③的长与宽的和为1+1+1+2+3=8， 长方形④的长与宽的和为1+1+1+2+3+5=13， 发现后一个长方形的长与宽之和是前两个长方形的数据之和， 所以长方形⑤的长与宽的和为8+13=21， 长方形⑥的长与宽的和为13+21=34， 长方形⑦的长与宽的和为21+34=55 长方形⑧的长与宽的和为34+55=89， 长方形⑨的长与宽的和为55+89=144， 长方形⑩的长与宽的和为89+144=233， 长方形①的长与宽的和为144+233=377， 故长方形①的周长为377×2=754」 可学科网·上好课 www .zxxk.com 43.（1)解：设M=1+2+2+23+24+…+210, ∴.2M=2+22+23+24+25+.+211 2M-M=2+2+23+24+2+…+21-1+2+22+23+24+… M=21-1: (2)解：设N=1+3+32+33+34+…+3”, .3N=3+32+33+34+35+…+3m+1, 3N-N=3+32+33+34+35+…+3*1-1+3+32+33+34+ 2N=3m+1-1, N=3-1 44.(1)解：设S=1+3+32+33+34++32024,① 则3S=3+32+33+34+…+32025.② 由②-①，得2S=32025-1, 5=325-1 2 即1+3+32+33++32024=32025-1 2: (2)解：①第1个数是-1=-1×5 第2个数是5=-1P×5“ 第3个数是-52=-13×52” 第4个数是53=-14×53， 第5个数是-54=-15x5, 根据规律可得第200个数是-120×519=5199： ②设S=-1+5-52+52--5198+519,i 则5S=-5+52-53+54-…-5199+5200.ii 上好每一堂课 +210 +3 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由i+i,得6S=520-1, 5=520-1 6 即这列数中前200个数的和是50-1 6 45.(1)解：由题意得，-5*-2=-52+-22)=29 (2)解：由题意得，0*a=a2” +1*a2=+12+a2=12+a, ∴.1+a4=17, ∴.a4=16 解得a=-2或a=2, ,a为负数， .a=-2; (3)解：存在m=1,n=-2,理由如下， (m-1)*(n+2)=±m-1+n+22=0 (m-12≥0'n+2≥0 ∴.m-1=0,n+2=0, 解得，m=1,n=-2. B组 能力进阶 1.A2.A3.A4.C5.C6.387.26 15368 8.149.32 10.(1)小明在第一步出现错误：正确计算过程为： 5-4×合合×4 命学科网·上好课 www.zxxk.com -5日4 -5+-2x8×4 =5+-16 =-11: (2)-4 11.(1)解：原式=-15+3 =-12 (2)解：原式=-1-0.6×3×-2 =-1+3.6 =2.6 (3)解：原式=-9×x4x6 43 =-18 （4)解：原武=25×子+25×号-25×日 2 =25× 3+1-1 424 =25×1 =25 12.解：设S=1+3+32+…+32023, 则3S=3+3+…+32024 六3S-S=3+32+…+32024-1+3+…+32023到=3+32+…+32024-1-3-…-32023=32024 5=32-1 2 即1+3+32+…+30m3=32024-1 2 1 13.(1)解：2③=2÷2÷2= 21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (-》”=(2》(2(-2-2=×2×2×2=4 故答案为：方4 (2)解：：3=3÷3÷3子4=44÷4÷4=6 11 由于316 .3@≠40， 其它三个选项均正确， 所以选项C错误， 故选：C 3)解：(-3-3)(-3(-3到=(-31=-31×(-方x号×-号=号-3 59-555565-5*日**号 9=111:11-1:1:1:1:1=1×2×2×2×2×2×2x2×2×2=28: 2 22222222222 故答案为： (4)解： 吉的园aa23次方号号分号13×3-×3-3” 3 故答案为：3”-2： 2- ④ =144÷-32--2--32÷3 =144÷9+2-32÷34 =6+2- 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -161 9 C组 思维拔高 1.C2.B3.D4.D5.B6.19 101117.10061404 8.69.-4 10.(1)满七进一为七进制，从右到左的结点数依次为：右起第一位（最右）2个，第二位（中间）3个， 第三位（最左）1个，转换为十进制：1×72+3×7+2×7°=49+21+2=72， 答案：72 (2)()根据规则，黑色为1，白色为0，图③第四行从左到右为：黑、白、黑、白、黑，即二进制数 (10101)2, 转换十进制：1×24+0×23+1×22+0×2+1×2°=16+0+4+0+1=21， 答案：10101；21： (i)小芳准考证号为2417051311，按规则，第一到第五行依次对应两位十进制， 因此第三行对应05，第五行对应11. 设五位二进制从左到右为b1b2b3b4b5,对应十进制为：16b1+8b2+4b3+2b4+b5, .5=0×16+0×8+1×4+0×2+1×1, .二进制为00101， 因此需要将第三行左数第3格、第5格涂黑， .11=0×16+1×8+0×4+1×2+1×1, .二进制为01011， 因此需要将第五行左数第4格、第5格涂黑。 如图所示. 命学科网·上好课 拓展 链接中考 1.D2.A3.84. www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.3.1 乘方 目 录 A组 巩固过关 基础常考9大题型 题型01 有理数幂的概念 题型06 程序流程图与有理数计算 题型02 有理数乘方的运算 题型07 算“24”点 题型03 有理数乘方的逆运算 题型08 含乘方的有理数混合运算 题型04 乘方运算符号的规律 题型09 有理数混合运算中规律类问题 题型05 乘方的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 有理数幂的概念题型01 1．（24-25七年级下·河北保定·期中）（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查乘法和乘方的意义，只需根据定义分别化简分子和分母，即可得到结果，选出正确选项． 【详解】解：根据乘法的意义，个相同加数相加，可得 根据乘方的意义，个相同因数相乘，可得 原式． 2．（25-26六年级上·上海·期末）关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 3．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方定义即可判断； 【详解】解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． 4．（25-26九年级下·河南南阳·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可根据乘法的意义计算，可根据乘方的定义计算，再相加即可得到结果． 【详解】解：． 5．（2026·内蒙古赤峰·三模）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算每个选项的结果，判断结果的正负性即可得到答案． 【详解】解：∵，是正数， ∴ A不符合题意． ∵，是正数， ∴ B不符合题意． ∵，是正数， ∴ C不符合题意． ∵，是负数， ∴ D符合题意． 有理数乘方的运算题型02 6．（24-25七年级上·云南昆明·期末）下列各组数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】解：选项A：，， ，符合要求； 选项B：，， ，不符合要求； 选项C：，， ，不符合要求； 选项D：，， ，不符合要求． 7．（25-26九年级下·山东烟台·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】互为相反数的两个数和为0，由此逐项判断即可． 【详解】解：，故和互为相反数，A选项符合题意； ，故和不互为相反数，B选项不合题意； ，故和不互为相反数，C选项不合题意； ，故和不互为相反数，D选项不合题意． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方及其逆运算． 按照运算法则，将原式转化为，计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 9．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）为了简便，可以将记为_____． 【答案】 【分析】n个相同因数相乘可以写成该数的n次方形式，据此进行解答． 【详解】解：根据乘方的定义， n个相同的因数5相乘，记为5的n次方，即． 10．算一算：_____，____，_____，______； 【答案】 【详解】解：，，，． 11．（2026·河北唐山·模拟预测）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为______________ 【答案】 【分析】根据有理数的乘方解题即可． 【详解】解：化为十进制数：， 化为三进制数：． 有理数乘方的逆运算题型03 12．（25-26七年级上·河北沧州·期末）若，，且，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了乘方，绝对值，有理数的大小比较，有理数的减法运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据乘方，绝对值和有理数的大小比较分别求出x，y，再根据有理数的减法运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 或 ， ∵ ， ∴ 或 ， 又∵ ， ，或，， 当，时，， 当，时，， 故答案为：或． 13．（25-26七年级上·广东深圳·期中）若，则________． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． 将27化为幂的形式，然后逆用有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， 因为， 所以或， 故答案为：或3． 乘方运算符号的规律题型04 14．的值为________． 【答案】243 【分析】本题考查有理数的乘方，根据乘方运算法则，结合乘法运算律求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：243． 15．的值是 _______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握乘方运算的符号规律是解题的关键．根据乘方运算的符号规律得到每一项的结果，然后相加即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 16．（2025·河北邯郸·三模）若，则的值可以为__________（写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题考查不等式的性质，有理数的乘方，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，可得且n为奇数，即可解答． 【详解】解：∵， ∴且n为奇数． 如：(答案不唯一) 故答案为：(答案不唯一)． 17．阅读下列各式：解答下列问题： (1)猜想：________． (2)用学过的知识说明（1）中式子成立的理由． (3)计算：． 【答案】(1) (2)理由见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方和对幂的概念的理解，以及有理数的简便运算. （1）根据题干规律即可推导出结果； （2）利用有理数的乘方和乘法运算进行证明即可； （3）将小数化成分数，然后根据前两问得到的结论进行求解即可. 【详解】（1）解：根据题干的规律可得： ； 故答案为：. （2）解：理由如下： ． （3）解：原式 ． 18．记， ， ，…， (1)填空： ______，是一个______（填“正数”或“负数”）． (2)计算的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1)；正数 (2) (3) 【分析】此题考查数字的变化规律，掌握乘方的意义，判定负数乘方的计算结果是解决问题的关键． （1）根据有理数的乘法法则得出答案即可； （2）先根据乘法法则计算，再根据有理数的加法计算，可得答案； （3）由题意可得，，然后代入计算即可求解． 【详解】（1）解：， 由1000个相乘，则是一个正数， 故答案为：；正数； （2）解：， ， 所以； （3）解：，则n为奇数， ，， ． 19．已知，，，…， ． (1)填空：_____，是一个_____（填“正”或“负”）数． (2)计算：． (3)当时，的值为多少？ 【答案】(1)，正 (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的乘方，偶数个负数相乘的积是正数得出答案即可； （2）根据乘方的意义，可得，，根据有理数的加法，可得答案； （3）根据乘方的意义，可得，，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：（1），是一个正数； （2）； （3） ． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，掌握乘方的意义，判定负数乘方的计算结果是解决问题的关键. 20．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 【答案】(1)相等 (2) (3)5 【分析】本题考查有理数的乘方， （1）根据乘方的定义分别计算可得； （2）根据（1）中计算结果可得； （3）根据所得结论计算可得． 【详解】（1）解：① ，，则； ② ，，则； 即每组两个算式的结果相等 （2）解：； （3）解：． 乘方的应用题型05 21．（2026·广东惠州·二模）日常生活中主要运用“十进制”数，而“十六进制”广泛应用于电子技术、计算机编程等领域．十六进制在数学中是一种“逢16进1”的进位制，一般用数字0到9和字母A到F表示，其中用A，B，C，D，E，F分别表示10，11，12，13，14，15．如表示十六进制数，将它转换成十进制形式是，那么将十六进制数转换成十进制数为___． 【答案】2026 【分析】根据十六进制转换为十进制的规则，将十六进制数每一位上的数字乘以的对应幂次，再求和即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，表示，表示，可得： ． 22．（2026·广东广州·三模）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：，．计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 将十六进制数转换为十进制数为____________，十六进制下_______________． 【答案】 【分析】根据题目给出的十六进制与十进制的对应规则，第一空直接按规则将十六进制转换为十进制计算即可，第二空先求出乘积对应的十进制结果，再将十进制结果转换为十六进制即可． 【详解】解：由表格可知，十六进制的对应十进制的， 根据转换规则得； 由表格可知，十六进制的对应十进制，对应十进制， 先计算十进制下的乘积得， 将十进制转换为十六进制得， 由表格可知，十进制对应十六进制的，因此结果为． 23．（2026·河北石家庄·一模）进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统．如三进制数就是用0，1，2这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位．不同的进位制是可以互相转换的，若将三进制数转换为十进制数，就可以这样转换：． 解答下面问题： (1)将三进制数，转换为十进制数； (2)已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除，求的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据三进制转换为十进制数的转换方法计算即可； （2）先推导出，得到能被3整除，根据整个数能否被3整除，仅由剩余项d决定，即d必须是3的倍数，且三进制数的数字取值范围为0，1，2，故，即可解答． 【详解】（1）解： ， 答：三进制数转换为十进制数为16． （2）解： ， ∵三进制的四位数对应的十进制数能被3整除， ∴能被3整除， ∵，是3的倍数；，是3的倍数；，是3的倍数， ∴整个数能否被3整除，仅由剩余项d决定，即d必须是3的倍数， 又因为三进制数的数字取值范围为0，1，2， 故． 24．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 【答案】(1)19 (2)①；②说明见解析 【分析】本题考查了三进制数与十进制数的转换及对整除性质的理解． （1）根据三进制数转换为十进制数的规则，将三进制数的每一位数字乘以3的相应次幂，然后将结果相加； （2）同样根据转换规则将四位三进制数转换为十进制数，再分析其数字之和与该数能否被2整除的关系． 【详解】（1）解：由题意知， ， 故答案为：19． （2）解：①， 故答案为：； ②∵ ， 又∵能被2整除，且能被2整除， ∴能被2整除，即四位的三进制数能被2整除， ∴该结论正确． 25．（25-26七年级上·福建南平·期末）我们知道，十进制是逢十进一，十进制数3742中的3表示3个千，7表示7个百，4表示4个十，2表示2个一，于是得到下面的式子：．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1． 为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．将(1011)2转换为十进制数，如下：． 小明设计一种游戏：将十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”按顺序分别编号为1到12．四张卡片A，B，C，D上的数字为0或1（顺序为），如：A．1，B．1，C．0，D．0，记为，然后将二进制数转换为十进制数，就可能得到对应生肖的编号． （1）请将二进制数转换为十进制数； （2）若A，D卡片上的数字都为0，B，C卡片上的数字都为1，对应的生肖是什么？请说明理由． 【拓展应用】 （3）小华设计一个“猜生日”的游戏，用5张卡片A，B，C，D，E组成的二进制数来表示1号到31号中的一天，五张卡片A，B，C，D，E上的数字为0或1（顺序为）．他的生日是八月的某天，若A，D卡片上的数字都为1，其他卡片上的数字都为0，他的生日是八月几号？请说明理由． 【答案】（1）12；（2）对应的生肖是蛇，见解析；（3）他的生日是八月18号，见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制、十进制数的定义以及计算方法是正确解答的关键． （1）根据二进制与十进制的计算方法进行计算即可； （2）根据二进制的定义以及与十进制的计算方法进行计算即可； （3）根据二进制的定义以及与十进制的计算方法进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）对应的生肖是蛇．理由如下： 因为    所以对应的生肖是蛇． （3）他的生日是八月18号．理由如下： 因为     所以他的生日是八月18号． 程序流程图与有理数计算题型06 26．（2026·河北石家庄·模拟预测）图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． 【详解】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 27．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 28．（25-26六年级上·山东淄博·期中）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学： A：乘2 B：减 C：平方 D：加6 (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是13，a是多少？ 【答案】(1)①7；②206 (2)或 【分析】（1）①根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； ②根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； （2）根据题目所给的运算顺序，列出方程，根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由题意知，， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 29．（25-26七年级上·广西崇左·期末）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，最后输出的结果是多少？（写出计算过程） 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，先根据流程图求出运算结果，再把代入计算即可求解，看懂流程图是解题的关键． 【详解】解：由流程图得，， 当输入时，， ∵， ∴第二次输入， 当时，，输出， ∴输出的结果是． 30．（25-26七年级上·江西上饶·期中）数学活动课上，小贤与小艺用如图所示的A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并再设计了一个在运算前的含的圆，依据这五个圆设计了数学游戏，每一步运算完成后再进行下一步运算．例如：小贤先输入一个有理数，再按的顺序运算，则可列算式． (1)当时，求算式的值． (2)若小艺输入的的值为2，再按的顺序运算，请求出运算结果． 【答案】(1)65； (2)． 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算． （1）先计算乘法，最后再计算加减法； （2）根据所给顺序进行运算即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：由题意得 ． 算“24”点题型07 31．（24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意可得（答案不唯一）． 32．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 33．（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键． 任意取出4张卡片，进行计算得出结果即可． 【详解】解：由题意得，可以用、、、这四个数来构造等式： 则 ； 或者用、、、构造： 则 ， 故答案为：或． 34．（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法：____________________ ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了“24点”． 先求出抽到的数据，再根据“24点”计算即可． 【详解】解：∵红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，A代表1，抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3， ∴抽到的数据是1，，2，3， 则一种方法为：． 故答案为：． 35．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 【答案】（答案不唯一）. 【详解】解：由题意得： （答案不唯一）． 含乘方的有理数混合运算题型08 36．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)15 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 37．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 38．（25-26七年级下·内蒙古乌海·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 40．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算减法即可； （3）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可； （4）先计算乘方，再利用乘法结合律计算即可； （5）先计算乘方并把除法变为乘法，再计算乘法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： =． （4）解： =． （5）解： ． 有理数混合运算中规律类问题题型09 41．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得第5个等式：； （2）解： ． 42．（2026·安徽六安·模拟预测）【资料阅读】史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”，欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． (1)【问题探究】将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为_____；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为_____． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该直线经过的数之和为_____． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 【答案】(1)①1，8，28，56，70，56，28，8，1；② (2)55 (3)754 【分析】（1）①观察杨辉三角可发现下一行数字为上一行对应空格两边数字之和，即可求得答案； ②分别求出每一行的数字之和，并找出规律即可； （2）找出每条斜线经过的数之和的规律，即可得到答案； （3）找出后一个长方形的长与宽之和是前两个长方形的数据之和这一规律，即可得到答案． 【详解】（1）解：①观察杨辉三角可发现下一行数字为上一行对应空格两边数字之和， 所以第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1； ②观察发现 第0行的和为， 第1行的和为， 第2行的和为， 第3行的和为， 第4行的和为， 故可得第100行的数之和为； （2）解：观察可知，第1条斜线经过的数之和为1， 第2条斜线经过的数之和为1， 第3条斜线经过的数之和为， 第4条斜线经过的数之和为， 第5条斜线经过的数之和为， 第6条斜线经过的数之和为， 第7条斜线经过的数之和为， 发现从第3条开始，每条斜线经过的数之和都为前两条斜线的数据之和， 所以第8条斜线经过的数之和为， 第9条斜线经过的数之和为， 故第10条斜线经过的数之和为； （3）解：观察：长方形①的长与宽的和为， 长方形②的长与宽的和为， 长方形③的长与宽的和为， 长方形④的长与宽的和为， 发现后一个长方形的长与宽之和是前两个长方形的数据之和， 所以长方形⑤的长与宽的和为， 长方形⑥的长与宽的和为， 长方形⑦的长与宽的和为， 长方形⑧的长与宽的和为， 长方形⑨的长与宽的和为， 长方形⑩的长与宽的和为， 长方形⑪的长与宽的和为， 故长方形⑪的周长为． 43．（24-25六年级上·上海·期末）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料提示，设，结合题意的计算方法求解即可； （2）设，等式两边同时乘以3，结合题意的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴， ； （2）解：设， ∴， ∴， ， ∴． 44．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据题干所提供的思路，设，再把这个等式两边同时乘以得到，把这两个等式两边分别相减得到得，然后再把两边同时除以可得结果； （2）根据规律可得第个数是；仿照（1）中的解题思路设，把等式两边同式乘以得到则，把两个等式两边同时相加可得，然后再把两边同时除以即可得到结果． 【详解】（1）解：设， 则． 由，得， ， 即； （2）解：第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 根据规律可得第个数是； 设， 则． 由，得， ， 即这列数中前个数的和是． 45．（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)29 (2) (3)存在，，理由见详解 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵a为负数， ∴； （3）解：存在，理由如下， ， ∵，， ∴，， 解得，，． 1．（2026·河北石家庄·二模）有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用两个底面积加侧面积即可. 【详解】解：， ∴做这样一个礼品盒至少要硬纸. 2．（2026·四川攀枝花·中考真题）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 【答案】A 【分析】根据“快乐数”的定义，对各选项依次重复计算每一位数字的平方和，最终结果为1就是快乐数，否则不是． 【详解】解：A、∵，，，，，，，，，，，，， ∴计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B、∵， ∴最终结果为1，故7是快乐数； C、∵，， ∴最终结果为1，故13是快乐数； D、∵，， ∴最终结果为1，故31是快乐数． 3．（2026·山东德州·二模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由乘方的定义和乘法的意义，分别化简分子分母即可得到结果． 【详解】解：根据乘方的定义，个相乘可表示为；根据乘法的意义，个相加可表示为， ∴． 4．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）若，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2025 【答案】A 【详解】解：∵任意数的平方和绝对值都是非负数，且， ∴，， 解得 ，， 将， 代入 得：. 5．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数的乘方运算性质化简即可求解． 【详解】解：根据新运算规则， 可得 ． 6．（2026·河南周口·二模）我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 【答案】38 【分析】由题意可知满五进一符合五进制计数规则，将各数位的打结数乘以对应数位的权重，再求和即可得到总天数． 【详解】解：根据满五进一的计数规则，从右起第位的权重为，因此总天数为： 天． 7．（2026·安徽阜阳·二模）进位制中“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标）． 表示进制数从右起，第一位为，第二位为，第三位为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：十进制数；二进制数． （1）二进制数转换为十进制数等于__________； （2）十进制数862转换为八进制数为__________． 【答案】 26 【分析】利用位权展开法，将二进制数的每一位数字乘以对应基数2的幂次（幂次从右往左，从0开始计数），再将所有结果相加，即可得到对应的十进制数．通过将十进制数表示为各数位数字与基数8的幂次的乘积之和的形式，反推出各数位上的数字，从而得到对应的八进制数；也可采用 “除8取余法”，即不断用十进制数除以8，记录每次的余数，最后将余数从下往上排列得到八进制数． 【详解】解：（1）； （2）∵；；；， ∴， ∴十进制数862转换为八进制数为． 8．（24-25七年级上·宁夏吴忠·期末）定义一种运算符号“”：，如：，那么：___________． 【答案】 14 【分析】根据给定的新运算规则，代入对应数值计算即可． 【详解】解： ． 9．（24-25七年级上·江苏·期末）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 【答案】 【分析】据题意，每天截取后剩余长度是前一天剩余长度的一半，逐天计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意， 第1天截取后剩余长度为：， 第2天截取后剩余长度为：， 第3天截取后剩余长度为：， 第4天截取后剩余长度为：， 第5天截取后剩余长度为：， 故第5天截取后木棍剩余长度为． 10．（2026·河北邢台·二模）小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下： 解： ……………………第一步 ………………………………第二步 …………………………………第三步 解答下列问题： (1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程； (2)计算：． 【答案】(1)小明在第一步出现错误；正确计算过程为： ； (2) 【分析】（1）小明在第一步中先计算了，因此出现错误；根据有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ． 11．（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 12．（25-26七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】理解题意，模仿题干过程进行分析作答即可． 【详解】解：设， 则 ∴， 即． 13．（25-26六年级上·山东泰安·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：________， =________． (2)关于除方，下列说法错误的是（   ） A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； B．对于任何正整数n，； C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． =________；=_________；=_______ (4)想一想∶的圈次方写成幂的形式等于 ． (5)算一算： 【答案】(1) (2)C (3) ，， (4) (5) 【分析】（1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （2）根据运算规定，验证每个选择支，做出正确的判断； （3）观察例题得到规律，一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的次方，按规律得到结果； （4）根据定义写出答案即可； （5）根据圈a的运算规定，按着有理数的运算顺序、运算法则计算出结果. 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，4． （2）解：，， 由于， ， 其它三个选项均正确， 所以选项错误， 故选：C． （3）解： ； ； ； 故答案为：；；； （4）解：的圈次方， 故答案为：； （5）解： ． 1．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意列式计算后逐项判断即可． 【详解】解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． 2．（25-26七年级上·四川泸州·期末）比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先化简每个给出的数，再将化简后的数按从大到小排序，即可得到正确选项． 【详解】解：，，，， 将所有数从大到小排序得：， 即． 故选：B． 3．（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数除前个数外，每个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：当时，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为，…… 由上可知，从第五次开始，输出结果三次一循环，分别为：， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． 4．（25-26九年级上·四川成都·期末）一根长的木棍，第1次截取，接下来每次截取剩余部分的一半，第5次截取的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘方的应用，需先依次计算前几次的截取长度，总结出第n次截取长度的规律，再代入求解，即可作答． 【详解】解：∵木棍原长，第1次截取后，剩余长度为， 第2次截取剩余部分的一半，截取长度为. 第3次截取剩余部分的一半，截取长度为. 以此类推，第n次截取的长度为. 当时，第5次截取的长度为， 故选：D． 5．（25-26七年级上·江苏南京·期末）有一列数，任意相邻的三个数中，第三个数等于第一个数的平方与第二个数的差．例如三个数依次为m、n、p，则．若这列数为，a，，b，…，则第6个数为（　　） A．114 B．128 C．56 D．42 【答案】B 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据题目给出的数列规则，先通过已知的前三个数求出a的值，再依次求出第四、第五、第六个数，利用相邻三个数的关系逐步推导即可． 【详解】解：∵数列中任意相邻三个数满足第三个数等于第一个数的平方与第二个数的差， 且前三个数为，a， ∴， 即 解得 由a、、b的关系得： ∴第五个数为 则第六个数为， ∴第6个数为． 故选：B． 6．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）将二进制数101转化成十进制数这样进行：，即二进制数101转化成十进制数为5．再如：二进制数1101转化成十进制数这样进行：，即二进制数1101转化成十进制数为13．依此类推． （1）将二进制数10011转化成十进制数为___________； （2）将十进制数23转化成二进制数为___________． 【答案】 19 10111 【分析】（1）根据题中给出的示例，二进制数转化为十进制数的方法是将每一位上的数字乘以对应的2的幂次方，然后相加即可； （2）将十进制数转化为二进制数，可采用“除2取余法”，即不断用2去除该数，直到商为0为止，然后将余数倒序排列即可． 【详解】解：（1）由题意知，， ∴将二进制数10011转化成十进制数为19； （2）， ， ， ， ， 将余数从下往上排列，得到：10111， 经检验：， ∴将十进制数23转化成二进制数为10111． 7．（25-26七年级下·山西太原·期中）在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个的小型身份二维码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0）．如图1是小颖同学的身份二维码，其中第一行代表二进制的数字，将二进制数转换成十进制数方法如下：记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同学按此编号找到自己的位置参加活动．图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为________ 【答案】10061404 【分析】根据题意先写出每一行代表的二进制数，再进行转化为十进制数，即可求解． 【详解】解：第一行代表二进制的数字； 第二行代表二进制的数字； 第三行代表二进制的数字； 第四行代表二进制的数字， ∴小强同学的编号为10061404． 8．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方的应用；根据对方运算的定义，分别求和的值，再计算它们的和． 【详解】解：因为，所以； 因为，所以； 因此． 故答案为：6． 9．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）新定义一种运算“&”：，例如，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意；根据题中所给新定义运算可进行求解． 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为． 10．（24-25九年级下·湖南湘潭·自主招生）[阅读材料]：所谓进位制，就是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，例如十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，以此类推．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成（a）x．类比于十进制我们可以知道：X进制表示的数（1111）x中，右起第一位上的1表示   第二位上的1表示 第三位上的1表示 第四位上的1表 故 即： 转化为了十进制表示的数 如： 即二进制的数1111等于十进制数15． [问题解决]： (1)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图①所示是一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为______个．（用十进制数表示） (2)如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，（黑色代表1，白色代表0）．其中第一行代表二进制的数字(11000)₂，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20”表示考场号为20． （i）图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是______，转化成十进制后可知他的考场号是_______；（直接写出答案．） （ii）若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码，但在第三、五两行少涂黑了几个小正方形．请你写出计算过程，并帮她在图④中补充完整． 【答案】(1) (2)（i）；；（ii）见解析 【分析】（1）首先明确是满七进一的七进制计数，从右到左对应七进制的位，所以先读取每根绳子上的结数，再根据七进制转十进制的规则，用每一位数字乘对应位的7的幂次后求和． （2）（i）首先明确编码规则是黑色为1、白色为0，从左到右对应二进制的高位到低位，所以先读取图③第四行的颜色得到二进制数，再按二进制转十进制的规则，用每一位数字乘对应位的2的幂次后求和得到考场号．（ii）首先拆分准考证号，找到第三行和第五行对应的十进制数，然后将这两个十进制数分别转化为5位二进制数，再根据二进制数的0、1对应白色、黑色，确定需要涂黑的位置． 【详解】（1）满七进一为七进制，从右到左的结点数依次为：右起第一位（最右）2个，第二位（中间）3个，第三位（最左）1个，转换为十进制： ， 答案：； （2）（i）根据规则，黑色为1，白色为0，图③第四行从左到右为：黑、白、黑、白、黑，即二进制数， 转换十进制： ， 答案：；； （ii）小芳准考证号为，按规则，第一到第五行依次对应两位十进制， 因此第三行对应，第五行对应． 设五位二进制从左到右为，对应十进制为：． ∵， ∴二进制为， 因此需要将第三行左数第3格、第5格涂黑． ∵， ∴ 二进制为， 因此需要将第五行左数第4格、第5格涂黑． 如图所示． 1．（2025·四川巴中·中考真题）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘方的应用． 根据题意可知每经历一个半衰期，质量变为原来的，由此可得经历个半衰期后的质量． 【详解】解：， ∴经历了个半衰期后的质量为． 故选：D． 2．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【详解】∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 3．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则________． 【答案】8 【分析】根据定义，得，解得即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键． 【详解】根据定义，得， 故答案为：8． 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.3.1乘方 目录 A组巩固过关 基础常考9大题型 题型01有理数幂的概念 题型06程序流程图与有理数计算 题型02有理数乘方的运算 题型07算“24”点 题型03有理数乘方的逆运算 题型08含乘方的有理数混合运算 题型04乘方运算符号的规律 题型09有理数混合运算中规律类问题 题型05乘方的应用 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01 有理数幂的概念 m个4 1.（24-25七年级下·河北保定.期中) 4+4+…+4 =() 5×5×·×5 n个5 4m 4m 74 4m A. 5n C. 5n D. n 1/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26六年级上上海期末)关于-2的说法正确的是（） A.指数是-2 B.结果是-8 C.表示4个-2相加 D.表示4个-2相乘 3.(25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中)对乘积-2025×-2025×-2025×-2025记法正确的 是() A.-20254 B.-20254 c.--20254 D.-+20254 4.(25-26九年级下-河南南阳期末)计算3+3+…+3+6×6×…×6的结果是() a个 b个 A.3a+6b B.3+6b C.3a+b6 D.3a+6 5.(2026内蒙古赤峰三模)负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中.下列算式 中，运算结果为负数的是() A.--2 B.-2 c.-22 D.-22 题型02 有理数乘方的运算 6. (24-25七年级上，云南昆明期末)下列各组数中，数值相等的是() A-2和-2 B.-2-2 C.1-31和-32 D.-12023和-1w24 7.(25-26九年级下.山东烟台期中)下列各组数中，互为相反数的一组是() A.-62和-62B.1-75和-7 C.-18和-8 D.--9和1-9 8.（24-25七年级上：安徽安庆：期中)计算(-2}m4+(-2}23的结果为（） A.-22024 B.-22023 C.22023 D.22024 n个 9.（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末)为了简便，可以将 ×5×5…× 一记为 10.算-算：102=—’102—’10=—-101=： 11.(2026河北唐山模拟预测)2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功.与传统的“二进 2/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率. 二进制数的组成数字为0,1.十进制数22化为二进制数： 22=1×24+0×23+1×22+1×2+0×2°=101102 传统三进制数的组成数字为0,1,2.十进制数22化为三进制数：22=2×32+1×3+1×3°=2113 将二进制数10112化为三进制数为 颗型03 有理数乘方的逆运算 12. (25-26七年级上河北沧州期末)若x=9,y=2,且x<y,则x-y的值为· 13. (25-26七年级上广东深圳期中)若3×27=a,则a= 题型04 乘方运算符号的规律 14.3x33×35×37×39×31×33×35× 1 59 的值为 15.-1+12+-1P+14+.+-1+11m+-1w1的值是 16。(2025河北邯郸三模)若2×-2×…×-2<0 则n的值可以为 (写出一个即可). n个(-2相乘n>3 7.阅读下列各式：(a-b=a2-6,(a-b=a-b,(a-b=a-b,(a-b5=a-b,解答下列向题： (1)猜想：(abP=一 (2)用学过的知识说明(1)中式子成立的理由. (3)计算：（-0.1252024×2025×4225. 18.记M1=-2 M2=-2×-2 M3=-2×-2×-2… 3/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Mm=-2×-2×…×-2 n个 ()填空：M5=——’M1w 是一个一（填“正数”或“负数”）. 2计算M。+M,的值. )当Mn<0时，求2014Mn+107Mn,的值. 19.已知Ma=-2:M2=-2×-2MB=-2×-2×-2,Ma =-2×-2×-2×…×-2 n个(-2)相乘 四填空：M6=一，Mn是一个一（填“正”或“负”)数. 2)计算：M6+M) 3)当Ma<0时，2Mo+Ma- 的值为多少？ 20.(25-26七年级上山东菏泽期中)先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题. 3 ①2×32与2×32： ② 32 ×2与 (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等： (2)根据(1)的结果猜想a”b等于什么？ (3)用(2)的结论计算： 2025 ×-52026. 题型05 乘方的应用 21.(2026广东惠州二模)日常生活中主要运用“十进制”数，而“十六进制”广泛应用于电子技术、 计算机编程等领域.十六进制在数学中是一种“逢16进1"的进位制，一般用数字0到9和字母A到F表示， 4/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中用A,B,C,D,E,F分别表示10,11,12,13,14,15.2AF5。表示十六进制数，将它转换成 十进制形式是2×16+10×16+15×16+5×16=1097那么将十六进制数(7EA转换成十进制数 为 22.(2026广东广州三模)生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例： 12=1×10+2,212=2×10+1×10+2.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9 和字母A~F共16个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 十六进 0 1 b 9 A B D F 10 11 制 将十六进制数1A6转换为十进制数为 十六进制下A×B= 23. (2026河北石家庄.一模)进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统.如三进制数 就是用0,1,2这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位.不同的进位制是可以互相转换的，若将三 进制数(2213转换为十进制数，就可以这样转换：(2212=2×32+2×3+1×3°=25： 解答下面问题： (1)将三进制数(121)3，转换为十进制数： (2已知一个三进制的四位数(ab2d,对应的十进制数能被3整除，求d的值. 24.（25-26七年级上安徽合肥期末)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统.约定逢三进 就是三进制，用数字0,1,2记数，三进制数可以转换为十进制数.例如，三进制数1212记为1212， 由12123=1×33+2×32+1×3+2×3°=50：可得1212，是十进制数50. ()将201，转换为十进制数，结果是 (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这 个数就能被2整除.”请以四位的三进制数abcd 为例： 5/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①将abcd,转化为十进制，结果是 ②请以四位的三进制数abcd,为例，说明该结论正确的道理. 25.(25-26七年级上福建南平期末)我们知道，十进制是逢十进一，十进制数3742中的3表示3个千， 7表示7个百，4表示4个十，2表示2个一，于是得到下面的式子： 3742=3×103+7×102+4×10+2×1:二进制是逢二进-，其各数位上的数字为0或1. 为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，1011，就是二进制数101的简单写法，十进 制数一般不标注基数.将(10112转换为十进制数，如下：10112=1×23+0×22+1×2+1×1=11 小明设计一种游戏：将十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”按顺序分别编号 为1到12.四张卡片A,B,C,D上的数字为0或1（顺序为ABCD),如：A.1,B.1,C.0,D 0,记为1100，：然后将二进制数转换为十进制数，就可能得到对应生肖的编号。 (1)请将二进制数1100，转换为十进制数： (2)若A,D卡片上的数字都为0，B,C卡片上的数字都为1，对应的生肖是什么？请说明理由. 【拓展应用】 (3)小华设计一个“猜生日”的游戏，用5张卡片A,B,C,D,E组成的二进制数来表示1号到31号中 的一天，五张卡片A,B,C,D,E上的数字为0或1（顺序为ABCDE).他的生日是八月的某天，若 A,D卡片上的数字都为1，其他卡片上的数字都为0，他的生日是八月几号？请说明理由， 题型06 程序流程图与有理数计算 26. （2026河北石家庄·模拟预测)图是一个计算程序. 6/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32 4 -6 （-3)2 (1)按照顺序计算并填写其中的“ ”,并在下面横线上列出综合算式： 综合算式： (仅列算式无需计算)； 2计算：-52-8÷1×-2 27.(25-26九年级下河北邯郸期中)如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进 行卡片上的运算，如按“4→A一B”进行运算，则所列算式为4-3×-4”. A B C D -3 -4) 平方 若按“-5 一B一A,C”进行计算，先列出算式，再直接写出结果： 2若琪琪同学按“一D,C一B,A进行计算，诗列出算式并写出运钟过程和结果 28.（25-26六年级上山东淄博·期中)在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表 种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数， 其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品· 下面我们用四个卡片代表四名同学： A:乘2 B:减-5 C:平方 D:加6 (1)列式，并计算： ①一3经过A,B,C,D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B,C,A,D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D,C,A,B的顺序运算后，结果是13，a是多少？ 29.(25-26七年级上广西崇左·期末)如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答 问题：当输入的x为~16时，最后输出的结果y是多少？（写出计算过程） 7/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结果是否是输出 ☒孕到引0函 y 否 30.(25-26七年级上江西上饶期中)数学活动课上，小贤与小艺用如图所示的A,B,C,D四个圆分别 代表一种运算，并再设计了一个在运算前的含X的圆，依据这五个圆设计了数学游戏，每一步运算完成后 再进行下一步运算.例如：小贤先输入一个有理数X,再按A→B→C一D的顺序运算，则可列算式 x-3x-23+1 -3 ×(-2) 立方 +1 A B D 当x=1时，求算式x-3×-2+1的值. (2)若小艺输入的x的值为2，再按B→D→C→A的顺序运算，请求出运算结果。 题型07 算“24”点 31. (24-25六年级上山东烟台期中)你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用 一次，可以加括号)进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或-24.现在四个数分别是-4、 -3、3、5,请根据规则写出结果为24或-24的等式 32.(25-26七年级上浙江丽水期末)有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌 上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果 为“24"者获胜.现己抽出如图所示的四张牌(A表示1)，则可算“24”点的算式是 (写出一个即 可) 2 33.(25-26六年级上·上海静安期末)如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、 乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出 一个符合要求的等式为 8/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3-6可25 34.(25-26七年级上·贵州贵阳·期中)你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王)中任意抽 取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结 果为24或-24，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J, Q,K,A分别代表11,12,13,1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成 了24：7×3+3÷7=24.如果抽到的是黑桃A,方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或-24的其中 一种方法： 35.(26-27七年级江苏小升初衔接)游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任 意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24， 其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数.请用如图抽取出的4张 牌，写出符合规则的算式. 颗型08 含乘方的有理数混合运算 36. (26-27七年级江苏小升初衔接)计算. -2×-3- -48÷-22： a-1@4-1-0.5×3×2--3: --号*6-15星5 -2-22+1-2号 37.（26-27七年级江苏小升初衔接)计算： 9/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1哈到新 2-2-号5×1-←4 -fr-g 38.(25-26七年级下内蒙古乌海期末)计算： (1-3×4+28÷-7+1 a4×骨-5x025x-2 39.(26-27七年级江苏小升初衔接)计算： -3-号6引 ®-1-3×-2--31 40.计算： 四-4-× 2-22--53÷-59 3)-10x5+-43÷4 22-05八-2-8 -2号 10/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型09 有理数混合运算中规律类问题 41. (25-26七年级下·安徽毫州期末)观察以下等式： 第1个等式：1=1×1- 22-1213 第2个等式： 六传新 第3个等式： 得引 第4个等式： 片 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： 1+1+1+1++ 2运用你发现的规律求2-1+42一16-1g一1…+1002-1的值. 42.（2026安徽六安模拟预测)【资料阅读】史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解 九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也 称“贾宪三角”，欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比 贾宪迟600年，杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出 来，是中国古代数学的杰出研究成果之一 规定：若a≠0，则a°=1. 11/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 本积 杨辉三角 左积○右隅 第0行 1 商除今今方法 第1行 1 1 平方积白⊙今平方隅 第2行 1 2 1 立方积O€€⊙立方隅 第3行 1 3 3 1 三乘积○@分四○三乘隅 第4行 4 64 1 四乘积○国⊕⊕团○四乘隅 第5行 1510 1051 五乘积⊙分⊕①⊕分⊙五乘隅 第6行1 615201561 命 以 右 太 第7行1 7 2135352171 藏 而 乃隅算 乃 @ 皆廉 图1 图2 第1条 第2条 十 2 第3条 8 13 第4条 3 第5条 4 641 第6条 15101051 第7条十615201561 172135352171 图3 (1)【问题探究】将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为一· (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和.若继续画出第10条斜线，该直线经过 的数之和为一 (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题(2)揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 112 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④. 2 ③ ④ 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形①的周长为 12/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 43.（24-25六年级上.上海期末)阅读材料，求值：· 解：设S=1+2+2号+2名+2名+…+220，将等式两边同时乘以2得： 2S=2+2号+23+2…+22024+22025②， ②-①，得：2S-S=22025-1, 所以S=22025-1, 即1+2+2+23+2号++22024=22025-1， 请你仿照此法计算： (四1+2+2号+2%+2号+…+20 21+3+3号+3号+3++3号（其中n为正整数) 44.(26-27七年级江苏小升初衔接)为了计算1+2+2+2+24+…+2+2的值，我们采用如下的方法： 设S=1+2+22+23+24+…+2°+210，① 则2S=2+22+23+24+25+…+20+21.② 由②-①，得S=21-1. 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求1+3+32+33+…+32024的值： (2)已知一组按规律排列的数：-1,5，-52,53，-54，… ①它的第200个数是 ②求这列数中前200个数的和. 45.(24-25七年级上·云南昆明期末)探究规律，完成相关题目. 定义“*”运算： (+2)*(+4)=+22+42(-4)*(-7)=+(-42+(-7)2月 (-2)*(+4)=-（(-22+(+42)(+5)*(-7)=-(+52+(-72）月 0*(-5)=(-5)*0=(-52:(+3)*0=0*(+3)=(+32: 0*0=02+02=0. (-5)◆（-2)=— 13/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知：(+1)*[0*a]=17,其中，a为负数，求a的值： 3)是否存在有理数m,2,使得(m-1)*(n+2=0,若存在，求出m,n的值，若不存在，说明理由. B组 能力进阶 1.(2026河北石家庄二模)有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长15厘 米.做这样一个礼品盒至少要硬纸()cm2 40厘米 10厘米 A.450π B.425π C.400π D.375π 2.（2026四川攀枝花中考真题)“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复 这一过程，最后结果为1的数。以“快乐数”70为例： 72+02=49→42+92=97→92+72=130→12+32+0=10→12+0=1，则下列数中不是“快乐数”的是 () A.3 B.7 C.13 D.31 m个3 3.(2026山东德州.二模)计算3×3×3…×3的结果是() 5+5+5.+5 n个5 A.3m B.3m C.3m D.m3 5n 5 ns 4.(25-26七年级上辽宁大连期末)若b+32+a-4=0则a+b05的值是（） A.1 B.-1 C.0 D.2025 5.(25-26七年级下，湖南邵阳·期中)在实数范围内定义一种新运算“@”，其运算规则为： 14/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12027 a@b=1-ab:如：2@5=1-2×5=-g则22@ 1 的值为() 1 A. 2 B.-2 3 c.2 6.(2026河南周口二模)我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法.一位母亲在从右到左依次排 列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数.若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3 位为1，则孩子出生后的天数为天 7.(2026,安徽阜阳二模)进位制中“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.为了区分不同的进 位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标）· abcn表示n进制数从右起，第一位为c,第二位为b:第三位为。一个数可以表示成各数位上的数字与基 数的幂的乘积之和，例如：十进制数325=3×10+2×10+5×10°；二进制数 10112=1×23+0×22+1×2+1×2°=11 (1)二进制数1010，转换为十进制数等于 (2)十进制数862转换为八进制数为 8.(24-25七年级上.宁夏吴忠期末)定义一种运算符号“*”：a*b=a-ab,如： 1-2+3=-22--2×3=10那么： 4 9.(24-25七年级上江苏期末)《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”这句话的意思 是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完.若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木 棍剩余的长度是 10.(2026河北邪台二模)小明同学在黑板上计算“5+-4×。。×4”时，他的解答过程如下： 88 解：5+-4×。：x4 88 =5+ 5÷ 15/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 …第一步 =5-1… …第二步 =4 …第三步 解答下列问题： (1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程： 2)计算：42÷2-4到+6×2 11.(24-25六年级上山东烟台期中)计算下列各式 (1-5×3+-6÷-2 -1-1-04÷号×-2-6 -3-2-号x6 425×子-25×+25×4 12.（25-26七年级全国暑假作业)阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算. 计算：1+2+2+…+22017 解：设S=1+22+22+…+22017 则2S=2+22+23+…+22018, 所以2S-S=2+22+2++2018-1+2+2+…+2017 =22+22+23+…+22018-1-21-22-.-22017 =22018-1, 即1+22+22+…+22017=22018-1. 按照上面的方法，计算：1+3+32+…+32023 13.(25-26六年级上山东泰安期中)【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，-3÷-3÷-3÷-3等 16/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类比有理数的乘方，我们把2÷22记作2©，读作“2的圈3次方”，-3÷-3÷-3：-3记作-3@， 读作“-3的圈4次方”.一般地，把记作a,读作“a的圈次方”. 【初步探究】 1)直接写出计算结果：2®= 4 (2)关于除方，下列说法错误的是() A.任何非零数的圈3次方都等于它的倒数： B.对于任何正整数n,1=1; c.3③=4@ D.负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数. 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如 何转化为乘方运算呢？ 2④=2÷2÷2÷2 除 111 =2×5×× 方 222 乘方 幂的形式 (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式. -310——:5 4超一想：号的图nm≥3引次方写成幂的形式等于 6湖第2--名÷5 C组 思维拔高 1.(25-26七年级下江苏期中)数的进制是一种计数方式.如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进 17/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一，如213=2×10+1×10+3：计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进，如二进制数 1101可用式子1×2+1×2+0×2+1转换为十进制数13.下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制 数14；②十进制数17可转化为二进制数10001：③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为 十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数 转化为十进制数是7：正确的有( 图1 图2 图3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 22525七年级上四训泸州别未)比级这年数-3r0,(←1护号-2大小正骑的为 () -+那0--28--引012 c-20-01-3-2 3.(25-26七年级上·湖北咸宁期末)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所 示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5…， 这样下去第2026次输出的结果为() x为偶数 输入x 输出 x为奇数 x-3 A.-2 B.-1 C.-8 D.-4 4.（25-26九年级上四川成都期末)一根长2m的木棍，第1次截取1m,接下来每次截取剩余部分的一 半，第5次截取的长度是() 18/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2-7m A. 2- C.1 25 D. 2如 5.(25-26七年级上江苏南京期末)有一列数，任意相邻的三个数中，第三个数等于第一个数的平方与 第二个数的差.例如三个数依次为、hp,则p=m2-n.若这列数为-1，a,-2,b,…,则第6个数 为() A.114 B.128 C.56 D.42 6.(25-26七年级下.安徽毫州期末)将二进制数101转化成十进制数这样进行：1×2+0×2+1×2°=5， 即二进制数101转化成十进制数为5.再如：二进制数1101转化成十进制数这样进行： 1×2+1×22+0×2+1×2°=13'即二进制数1101转化成十进制数为13.依此类推. (1)将二进制数10011转化成十进制数为 (2)将十进制数23转化成二进制数为 7.(25-26七年级下.山西太原期中)在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个4×4的小型身份二维 码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0)，如图1是小颖同学的 身份二维码，其中第一行代表二进制的数字0111，：将二进制数011，转换成十进制数方法如下： 01112=0×23+1×22+1×2+1×2°=0+4+2+1=7记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字 分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同 学按此编号找到自己的位置参加活动.图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为 图1 图2 8.(25-26七年级上·浙江宁波期末)对于等式a°=c,定义已知a,c求b的运算为对方运算，记为 b=D(c),例如已知a=2,c=8,求b,因为23=8，所以b=D2(8)=3,则D4(16)+D3(81)的值为 9.(25-26七年级上·黑龙江绥化期末)新定义一种运算“&”：a&b=ab+b,例如1&2=1×2+2=10， 则3&(-2&1的值为 19/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.（24-25九年级下·湖南湘潭自主招生)[阅读材料]：所谓进位制，就是人们规定的一种进位方法.对 于任何一种进制一一X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，例如十进制是逢十进一，二进 制就是逢二进一，以此类推.为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数α写成(a)x.类比于十 进制我们可以知道：X进制表示的数(1111)x中，右起第一位上的1表示1×X°，第二位上的1表示 1×X,第三位上的1表示1×X2,第四位上的1表1×X,故 1111x=1×X3+1×X2+1×X+1×X°，即：1111x转化为了十进制表示的数X+X2+X+X0. 如： (11112=1×23+1×22+1×2+1×2°=15， 即二进制的数1111等于十进制数15. 图① 图② 图③ 图④ [问题解决]： (1)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如图①所示是一 位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为个，（用十进 制数表示) (2)如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，（黑色代表1，白色代表0）.其中第一行代表 二进制的数字(11000)2，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制 的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20表示考场号为 20. ()图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是一，转化成十 进制后可知他的考场号是；（直接写出答案.） ()若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码， 但在第三、五两行少涂黑了几个小正方形.请你写出计算过程，并帮她在图④中补充完整。 20/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接中考 1.(2025四川巴中.中考真题)所有放射性物质都有自己的半衰期.半衰期是放射性物质的质量缩减为原 来的一半所用的时间，是一个不变的量.质量为m的放射性物质，经历了3个半衰期后的质量为()m. A 2.（2025山东威海中考真题)2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功.与传统的“二进制” 芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率， 二进制数的组成数字为0,1.十进制数22化为二进制数： 22=1×24+0×23+1×22+1×2+0×2°=10110，· 传统三进制数的组成数字为0,1,2.十进制数22化为三进制数： 22=2×32+1×3+1×3°=2113： 将二进制数10112化为三进制数为() A.1023 B.1013 c.1103 D.123 3.（2024甘肃.中考真题)定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n=m”-mn(m,n均为整数，且 m≠0).例：2*3=2-2×3=2，则(-2)*2= 21/21