2.5 有理数的乘方 同步课时练 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

2.5 有理数的乘方 同步课时练 浙教版《数学》七年级上册（现行教材）· 第2章 有理数的运算 · 满分100分 学习目标 1. 理解乘方的意义，会说出幂的底数和指数，会把相同因数的乘积写成幂的形式。 2. 会按法则计算有理数的乘方，能判断幂的符号。 3. 会区分−3² 与（−3）²，会用科学记数法表示较大的数。 知识梳理 一、乘方的意义 正方形的面积是 5×5 平方单位，为简便起见，把 5×5 记作 5²，读作 5 的平方，即 5×5＝5²＝25。立方体的体积是 5×5×5 立方单位，类似地，把 5×5×5 记作 5³，读作 5 的立方，即 5×5×5＝5³＝125。 一般地，把 n 个相同的因数 a 相乘的积记作 aⁿ，即 a×a×…×a＝aⁿ（n 个 a）。这种求几个相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂（如图1）。 图1　幂的结构：a⁵ 的底数是 a，指数是 5，乘方的结果叫作幂 在 aⁿ 中，a 叫作底数，n 叫作指数。aⁿ 读作「a 的 n 次方」或「a 的 n 次幂」。一个数可以看作这个数本身的一次方，例如 5 就是 5¹，指数 1 通常省略不写。二次方也叫作平方，三次方也叫作立方。 注意：幂的底数是分数或负数时，底数应该添上括号，如（−5）³、（0.2）²。 二、幂的符号规律 幂就是相同的因数相乘，根据有理数乘法法则可知： 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的正整数次幂还是 0。 例如（−3）²＝（−3）×（−3）＝9，（−3）³＝−27，（−1）²⁰²⁷＝−1。 三、−3² 与（−3）² 的区别 根据乘除和乘方的混合运算应先算乘方、后算乘除的次序： （−3）² 表示−3 的平方，底数是−3；−3² 表示 3² 的相反数，底数是 3。两者读法不同，结果也不同。 四、科学记数法 我们经常遇到一些较大的数，为读写方便，常用带一位整数的数与 10 的乘方的乘积来表示。例如： 600 000＝6×10⁵；20 000 000＝2×10⁷；6 500 000＝6.5×10⁶。 把一个数表示成 a×10ⁿ（其中 1≤a＜10，n 是正整数）的形式，叫作科学记数法。负数也可以类似表示，例如−6 500 000＝−6.5×10⁶。 一、选择题（每小题5分，共25分） 1.（5分）计算－2² 的结果是（　　） A. −4　　B. 4　　C. −2　　D. 2 题源：2025-2026学年杭州市拱墅区观成实验学校七年级（上）开学考 2.（5分）根据国内旅游调查，2024 年上半年国内出行人数达到 2 740 000 000 人次，数据 2 740 000 000 用科学记数法表示为（　　） A. 27.4×10⁸　　B. 2.74×10⁹ C. 0.274×10¹⁰　　D. 2.74×10¹⁰ 题源：2024-2025学年杭州市拱墅区观成武林中学七年级（上）开学考 3.（5分）下列计算正确的是（　　） A. （－2）³＝6　　B. －2³＝8 C. （－2）⁴＝－16　　D. －（－2）²＝－4 题源：教材正文符号规律（改编） 4.（5分）计算（－1）¹＋（－1）²＋（－1）³＋…＋（－1）²⁰²⁶ 的值是（　　） A. −1　　B. 1　　C. 0　　D. 2026 题源：2024-2025学年杭州市钱塘区养正中学七年级（上）开学考 5.（5分）若 |x－2|＋(y＋6)²＝0，则 2x－y 的值为（　　） A. 8　　B. 10　　C. −8　　D. −2 题源：2024-2025学年杭州市观城教育集团七年级（上）期中 二、填空题（每小题5分，共25分） 6.（5分）若 a²＝16，则 a＝______；若 b³＝－27，则 b＝______。 题源：教材课内练习（乘方逆运算，改编） 7.（5分）2024 年 6 月 25 日，嫦娥六号返回器实现世界首次月球背面采样返回。地球与月球的平均距离大约为 384 000 km，数据 384 000 用科学记数法表示为______。 题源：2024-2025学年杭州市观城教育集团七年级（上）期中（改编为填空） 8.（5分）（－3）¹⁰ 的底数是______，指数是______。 题源：教材课内练习第1题（数据调整） 9.（5分）计算：（－1）²⁰²⁶＋（－1）²⁰²⁷＝______。 题源：2024-2025学年杭州市钱塘区养正中学七年级（上）开学考（同型改编） 10.（5分）计算：4＋（－3）²×2＝______。 题源：2024-2025学年杭州市钱塘区养正中学七年级（上）开学考（改编为填空） 三、解答题（每小题10分，共20分） 11.（10分）计算： （1）（－3）²；　　　（2）1.5³； （3）－3²；　　　　（4）8÷（－2）³。 题源：教材例1、例2（数据调整） 12.（10分）计算：（－2）²×5－（－2）³÷4。 题源：2024-2025学年杭州市拱墅区锦绣育才中学七年级（上）期中 四、能力提升（每小题10分，共20分） 13.（10分）某种细胞每过 30 分钟便由 1 个分裂成 2 个。 （1）经过 5 小时，这种细胞由 1 个分裂成了多少个？ （2）经过多少小时，这种细胞由 1 个分裂成的个数第一次超过 1 000 000 个？ 题源：教材作业题第4题（改编） 14.（10分）已知 |a|＝3，b²＝4，c³＝−8，且 abc＜0。求 a－3b－2c 的值。 题源：2024-2025学年杭州市拱墅区文澜中学七年级（上）期中（数据调整） 五、拓展探究（10分） 15.（10分）（1）计算：2⁶＝______；（−3）⁵＝______。 （2）直接写出满足 2ⁿ＜100 的最大正整数 n。 （3）观察 2¹＝2，2²＝4，2³＝8，2⁴＝16，2⁵＝32，2⁶＝64……2 的正整数次幂的个位数字按什么规律循环？2²⁰²⁶ 的个位数字是多少？ 题源：2025-2026学年杭州市拱墅区观成武林中学七年级（上）开学考（改编） 参考答案与解析 一、选择题 1．A －2² 表示 2² 的相反数，先算 2²＝4，再取相反数，得−4。注意与（−2）²＝4 区分。 2．B 科学记数法要求 1≤a＜10。把小数点向左移动 9 位得 2.74，所以 2 740 000 000＝2.74×10⁹。A 中 27.4 不满足 1≤a＜10，C 中 0.274＜1，D 的指数 10 多移了一位。 3．D A 错：（−2）³＝−2×（−2）×（−2）＝−8；B 错：−2³ 表示 2³ 的相反数，得−8；C 错：（−2）⁴ 的指数是偶数，结果为正，得 16；D 对：−（−2）²＝−4。 4．C （－1）的奇次幂是−1，偶次幂是 1。从 1 次到 2026 次共 2026 项，奇数次与偶数次各 1013 项，和为（−1）×1013＋1×1013＝0。 5．B 绝对值与平方都大于或等于 0，两数之和为 0 时每一个都为 0，所以 x－2＝0，y＋6＝0，即 x＝2，y＝−6。2x－y＝4－（−6）＝10。 二、填空题 6．±4；－3 由 a²＝16 得 a＝4 或 a＝−4，正数与负数的平方都可能等于 16；由 b³＝−27 得 b＝−3，因为只有−3 的立方是−27。 7．3.84×10⁵ 384 000 的小数点向左移动 5 位得 3.84，所以 384 000＝3.84×10⁵。 8．－3；10 （−3）¹⁰ 表示 10 个（−3）相乘，底数是−3，指数是 10。负数的偶次幂是正数，这个幂的值为 3¹⁰＝59049。 9．0 2026 是偶数，（−1）²⁰²⁶＝1；2027 是奇数，（−1）²⁰²⁷＝−1。1＋（−1）＝0。 10．22 先算乘方：（−3）²＝9。4＋9×2＝4＋18＝22。 三、解答题 11． （1）（−3）²＝（−3）×（−3）＝9。 （2）1.5³＝1.5×1.5×1.5＝3.375。 （3）－3²＝－（3×3）＝−9。 （4）（−2）³＝−8，8÷（−8）＝−1。 12． （－2）²×5－（－2）³÷4 ＝4×5－（−8）÷4 ＝20－（−2） ＝22。 四、能力提升 13． （1）5 小时＝300 分钟，含 300÷30＝10 个分裂周期，细胞个数由 1 个变成 2¹⁰＝1024（个）。 （2）2¹⁹＝524288＜1 000 000，2²⁰＝1048576＞1 000 000，所以需要 20 个分裂周期，即 20×30＝600（分钟）＝10 小时。 14． |a|＝3 得 a＝3 或−3；b²＝4 得 b＝2 或−2；c³＝−8 得 c＝−2（只有这一个，因为−2 的立方是−8）。 abc＜0，而 c＝−2＜0，所以 a×b＞0，即 a，b 同号： ①a＝3，b＝2：a－3b－2c＝3－6＋4＝1； ②a＝−3，b＝−2：a－3b－2c＝−3＋6＋4＝7。 所以 a－3b－2c 的值为 1 或 7。 五、拓展探究 15． （1）2⁶＝64；（−3）⁵＝−243（负数的奇次幂为负，3⁵＝243）。 （2）2⁶＝64＜100，2⁷＝128＞100，所以最大正整数 n＝6。 （3）个位数字按 2，4，8，6 的顺序循环，周期为 4。2026÷4＝506 余 2，第 2 个是个位数字 4，所以 2²⁰²⁶ 的个位数字是 4。 / 学科网（北京）股份有限公司 $