2.4有理数的除法（分层作业，14大题型）数学新教材浙教版七年级上册

分层作业 2.4 有理数的除法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 有理数除法法则的辨析 题型02 有理数乘除混合运算 题型03 有理数除法的简算 题型04 有理数四则混合运算实际应用 题型05 利用倒数法求解有理数的除法 题型06 有理数的除法运算 题型07 有理数乘除中的简便运算 B组 能力进阶 题型01 有理数的除法与数轴综合 题型02 有理数除法的应用 题型03 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型04 有理数四则运算中的分类讨论思想的运用 题型05 有理数的除法与绝对值的综合应用 C组 思维拔高 题型01 数轴上折叠问题 题型02 有理数混合运算中新定义类问题 有理数除法法则的辨析题型01 1．（25-26七年级上·北京·月考）有下列四个算式：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 第①个式子根据有理数的加法可以计算出正确的结果； 第②个式子根据有理数的乘除法可以计算出正确的结果； 第③个式子根据有理数的加法可以计算出正确的结果； 第④个式子根据有理数的除法可以计算出正确的结果． 【详解】解：，故①不正确； ，故②不正确； ，故③正确； ，故④正确； 综上可知，正确的有③④． 故选：C． 2．下列说法：①若数a的绝对值等于a，则a是正数；②若，则a、b、c互为相反数；③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数；④若两个数的商为，则这两个数互为相反数；⑤除以一个数等于乘这个数的倒数；⑥几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，相反数，有理数的运算，解题的关键是熟练掌握相关的定义和运算法则， 根据绝对值，相反数，有理数的运算进行解答即可 【详解】解：①若数a的绝对值等于a，则a是正数或0，故此选项错误； ②若，a、b、c不互为相反数，因为相反数指的是两个数，故此选项错误； ③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数，故此选项正确； ④若两个数的商为，则这两个数互为相反数，故此选项正确；； ⑤除以一个数等于乘这个数（0除外）的倒数，故此选项错误； ⑥当几个不为0的数相乘时，积的符号由负因数的个数决定，故此选项错误； 则正确的只有2个， 故选：B 3．下列说法：①0除以任何数都得0；②两个互为相反数的数相除商为；③除以一个负数结果总比大；④两个不为0的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，商不变，那么两数互为相反数．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了有理数除法的运算规则，涉及零的特殊性、相反数的性质、负数除法的符号规律以及商不变条件下的数的关系． 逐一分析四个说法的正确性：  ①考虑除数是否为；②验证互为相反数的数相除的结果，并考虑除数为的特殊情况；③计算除以负数的结果范围；④分析交换被除数与除数后商不变的条件． 【详解】解：①：除以任何数都得；错误，因为除数不能为，除以非零数才得． ②：两个非零互为相反数的数相除商为；错误，当互为相反数的两个数均为时，除数也为，不符合除法规则． ③：除以一个负数结果总比大；正确，结果为正数（如），正数恒大于． ④：交换被除数与除数商不变，则两数互为相反数；错误，设两数为和，若，则，即或；故两数可能相等或互为相反数． 故选：A． 4．算式中，在◯中填入下列运算符号后，运算过程中第一步不可以直接去掉括号的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断各运算符号下能否第一步直接去括号，根据除法对减法没有分配律即可得到答案． 【详解】解：∵填或时，、均可直接去括号变形为、， ∴ A、B不符合题意； ∵填时，可直接去括号变形为， ∴ C不符合题意； ∵填时，无法直接去括号变形，需先算括号内的分数减法， ∴ D符合题意． 5．请用符号语言表示有理数的除法法则_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法，直接根据有理数的除法法则即可用字母表示即可，掌握有理数的除法法则是解题的关键． 【详解】解： 用符号语言表示有理数的除法法则为：， 故答案为：． 有理数乘除混合运算题型02 1．（24-25上·期末）计算的结果为（   ） A．1 B． C．7 D．343 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，根据有理数的运算法则和运算顺序进行计算即可求解． 【详解】解： ； 故选：D． 2．计算的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算法则是解答本题的关键．先计算有理数除法，再计算有理数乘法，即得答案． 【详解】 ． 故答案为：． 3．计算：_______ ． 【答案】 【详解】=，得_______ 根据 除数=被除数商=（-16）（-15）=. 4．阅读下面的解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)二，运算顺序不对 (2) 解： . 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算； （1）根据有理数的乘除混合运算的运算顺序可得答案； （2）先计算括号内的运算，再按照从左至右的顺序进行计算即可. 【详解】（1）解：上面解题过程从第二步开始出错，错误的原因是运算顺序不对； （2）略 5．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算： （1）按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可； （2）按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可； （3）按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 有理数除法的简算题型03 1．用简便方法计算：______． 【答案】 【分析】将除法转化为乘法后，提取公因式，利用乘法分配律简化计算，先计算括号内的带分数加减，再得到最终结果． 【详解】解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的除法运算，能够进行简便计算是解题的关键． （1）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算； （2）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 3．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）薛老师给同学们出了这样一道题： 计算： 下面是小刚和小明的解题过程： 小刚：解：原式________________； 小明：解：； 所以． (1)请把小刚的解法补全； (2)由小明和小刚的算法，可以看出小明的算法可使计算简便，请利用小明发现的简便算法进行计算： 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据有理数的运算法则计算即可； （2）仿照小明的算法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解： ， ∴． 4．计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键．根据有理数乘除的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 5．小华在课外书中看到这样一道题： 计算：． 他发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地解答了这道题： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分； (3)根据以上分析，求出原式的结果． 【答案】(1)前后两部分互为倒数 (2)先计算后一部分比较方便． (3) 【分析】本题主要考查有理数的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法运算，倒数的概念进行判定即可； （2）根据有理数的除法运算法则计算即可； （3）根据有理数的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：前后两部分互为倒数； （2）解：先计算后一部分比较方便． ； （3）解：根据以上分析，可知原式． 有理数四则混合运算实际应用题型04 1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）小明从一条东西走向的人行道上某一点出发，以每秒12米的速度向东奔跑3秒后，立即改变方向，又以每秒4米的速度向西奔跑5秒后停止．若规定向东为正，向西为负，则上述过程写成算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的混合运算的应用，熟练掌握以上知识点是关键．根据向东为正、向西为负的规定，分别计算两个阶段的位移并求和． 【详解】解：∵向东奔跑，速度每秒12米，时间3秒，向东为正，向西为负， ∴位移为， ∵向西奔跑，速度每秒4米，时间5秒， ∴位移为， ∴总位移为， 故选：D． 2．（25-26下·黑龙江哈尔滨·期中）春节快到的时候，小明做了一个家庭月收支记录．爸妈工资收入共9500元，春节给老人2000元，给小明和妹妹各100元压岁钱，交上个月的水电等费用400元，购买800元食品，4口人买新衣服需要1000元．请你算出小明家这个月的余额是___________元． 【答案】5100 【详解】解：（元） 3．（25-26七年级上·广东广州·期中）学校组织了一次文艺汇演，有四个节目需要彩排，分别是、、、．所有演员到场后节目彩排开始，一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：分钟）如下： 节目 演员人数 8 5 12 3 彩排时长 20 15 25 10 已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目的演员的候场时间为____________分钟；若使这位演员的候场时间之和最小，则节目应按____________ 的先后顺序彩排． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算和优化问题．第一部分直接计算顺序下的候场时间；第二部分按节目“人数与时长比值从大到小”排序，越大，节目应排在越前面，计算各节目即可解答． 【详解】若节目按顺序彩排，节目的演员候场时间为前面节目、、的彩排时长之和：分钟； 确定使候场时间之和最小的节目顺序：候场时间之和为每个节目演员人数乘以其前面节目彩排时长的总和．为最小化总和，需按节目“人数与时长比值从大到小”排序，越大，节目应排在越前面， 计算各节目： ， ， ， ， 故排序为． 4．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）10袋小麦称后记录如下表（单位：），要求每袋小麦的重量控制在，即每袋小麦的重量不高于91.5，不低于88.5 小麦的袋数 1 3 2 1 2 1 小麦的重量 88.1 89 89.8 90.6 91 91.8 (1)这10袋小麦种，不符合要求的有几袋？ (2)将符合要求的小麦以90为标准，超出部分记为正，不足的记为负数 (3)求符合要求的小麦一共多少千克？ 【答案】(1)2 (2)，，，，，，， (3)719.2 【分析】本题考查正数和负数的实际应用，有理数的混合运算， （1）根据题意找到不符合要求的数量即可； （2）根据符合要求的小麦以为标准，超出部分记为正，不足的记为负数解答； （3）将（2）中符合的数据相加即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，88.1和91.8不符合要求， 则不符合要求的有2袋； （2）解：符合要求的是：的有3袋，的有2袋，的有1袋，的有2袋， 将符合要求的小麦以为标准，超出部分记为正，不足的记为负数： 的记为：，的记为：，的记为：，的记为：； 则，，，，，，，； （3）解：符合要求的小麦总重量为： ， 答：符合要求的小麦一共有719.2． 5．60人中有的人会打乒乓球，的人会打羽毛球，的人会打排球，这三项运动都会的人有人，问：这三项运动都不会的人最多有多少人？ 【答案】这三项运动都不会的最多有人． 【分析】先分别求出会打乒乓球、会打羽毛球、会打排球的人数，然后根据容斥原理求解问题即可． 【详解】解：会打乒乓球的人数：（人）， 会打羽毛球的人数：（人）， 会打排球的人数：（人）， ∵三项运动都会的人有人， ∴除三项都会外，其余各项运动的参与人次分别为：（人）会打乒乓球，人会打羽毛球， （人）会打排球，共（人次）， 如果要让三项运动的人都不会最多，那么会两项运动的人要尽可能的多， ∴假设只有1个人只会一项运动，那么会2项运动的有（人）， ∴三项运动都不会的最多有（人）， 答：这三项运动都不会的最多有4人． 利用倒数法求解有理数的除法题型05 1．计算1÷时，除法变为乘法正确的是（　　） A．1× B．1× C．1× D．1× 【答案】D 【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数判断即可． 【详解】解： 故选D． 【点睛】本题考查了有理数除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．请阅读下题的解法，再计算． 例题  计算： 解：设， 则 = 所以，即 按照例题解法，请计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键． 首先看懂例题的做法，先计算出的倒数的结果，再算出原式结果即可． 【详解】解：设， 则 = ， 所以，即． 3．（24-25七年级上·广东中山·月考）计算 (1) (2) 【答案】(1)75 (2) 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律．掌握运算法则和运算律，取倒数计算，是解题的关键． （1）去掉括号，根据加法交换律结合律进行同分母运算，最后计算加减法即可； （2）先算式子的倒数，通过分配律进行简便计算，最后还原即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵ ， ∴． 4．（24-25七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小英的解法：． 小李的解法：原式的倒数为…第一步， …第二步， …第三步， …第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 【答案】(1)小李 (2)乘法分配律 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）因为除法没有分配律，所以小李的解法正确； （2）小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律； （3）先求出原式的倒数，将除法变为乘法，再根据乘法分配律计算出原式的倒数，最后取倒数即可解答． 【详解】（1）解：因为除法没有分配律，所以小李的解法正确， 故答案为：小李； （2）解：小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （3）解：， 原式的倒数为：， ， ， ， 原式． 5．（26-27七年级上·四川成都·学情自测）老师为了强化同学们的运算思维，提高数学运算能力，布置了一道有意思的计算题，鼓励大家用不同的方法计算．以下是三名同学的计算过程． 甲：原式． 乙：原式． 丙：原式的倒数，所以原式． (1)比较他们的做法，其中_______的做法是错误的． (2)选择合适的方法计算：． (3)求:的值． 【答案】(1) 甲 (2) (3) 【分析】（1）根据题目中的三种解法，可以发现方法一是错误的； （2）根据题目中的解答方法，可以计算出所求式子的值； （3）利用（2）的计算结果计算即可． 【详解】（1）解：根据题目中的解答方法，可知甲的做法是错误的； （2）解：原式的倒数 ， 故； （3）解：由（2）知，，， ∴ ． 有理数的除法运算题型06 1．（25-26七年级上·陕西延安·期中）计算： A．3 B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法法则． 根据有理数的除法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据有理数的除法法则：两数相除，异号得负，即可得到答案． 【详解】解：， ， 故选：B． 【点睛】主要考查了有理数的除法法则，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键． 3．（25-26上·黑龙江哈尔滨·期末）升的牛奶能平均装在个瓶子里，则每个瓶子装_____升． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的除法，根据有理数除法的运算法则计算即可． 【详解】解：. 故答案为 ： 4．（24-25七年级上·吉林白城·月考）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数除法计算，要使两张卡片上的数字的商最小，在保证两个数的为一正一负数的情况下要保证这两个数的绝对值是5个数中除0外最大和最小的，据此求解即可． 【详解】解：∵要使两张卡片上的数字的商最小， ∴在保证两个数的为一正一负数的情况下要保证这两个数的绝对值是5个数中除0外最大和最小的， ∴根据题意可选择一正一负， ∴当选择这两张卡片时，商最小为， 故答案为：． 5．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的除法，掌握除法运算法则是解决问题的关键． （1）利用除以一个数等于乘以这个数的倒数计算； （2）利用除以一个数等于乘以这个数的倒数计算； （3）利用除以一个数等于乘以这个数的倒数计算． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 有理数乘除中的简便运算题型07 1．（25-26七年级上·河南安阳·月考）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算和乘法的分配律，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）利用乘法分配律计算即可得； （2）先将原式化为，再利用乘法分配律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 （2） 2．（25-26上·黑龙江鸡西·期末）用简便方法计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)23 (2) 【分析】本题主要考查有理数乘除中的简便运算； （1）先把除法变乘法，再根据有理数乘法运算律计算即可； （2）把2020变为，再根据有理数乘法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（25-26七年级上·四川广元·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算和利用运算律简便计算，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）先把除法统一成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； （2）先把改写成，再按乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 4．计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据运算法则进行计算，也可以运用运算律进行简便计算． 利用乘法分配律，把括号外面的与括号里面的分别相乘再相加，可以使运算简便； 根据除以一个不为的数等于乘以它的倒数，把除法转化为乘法，再利用乘法分配律可得：原式，再根据运算法则进行计算即可； 首先把转化成，再利用乘法分配律进行简便计算； 首先逆用乘法分配律把写到括号外面，再利用裂项的方法把括号里面各项展开，可得：原式，再利用有理数的加法法则把括号里面各项相加，再与相乘即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题以材料题为背景，介绍了有理数运算中的简便运算．正确理解题意加以运用是解题关键． （1）利用材料一所给方法，先计算即可求解； （2）利用材料二所给方法即可计算． 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解： ． 有理数的除法与数轴综合题型01 1．（24-25七年级上·河北石家庄·月考）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，且，，则原点的位置在（    ） A．点的右边 B．点的左边 C．，两点之间，且靠近点 D．，两点之间，且靠近点 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的加法和除法，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用有理数的加法法则和除法法则判断即可． 【详解】解：∵根据题意，数轴上的，且，， ∴与异号且绝对值大，即，，， 则原点的位置在两点之间，且靠近点， 故选：C． 2．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2023的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查数轴，有理数的减法与除法，圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，滚动到2023时，滚动了2024个单位长度，用2024除以4，余数即为重合点． 【详解】解：圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合， ， ， 圆滚动了506周到2023， 因此数轴上表示2023的点与圆周上表示0的点重合． 故选A． 3．（24-25七年级上·山西临汾·期中）如图所示，已知在数轴上点A表示的数为3，点B表示的数为，点P为数轴上一个动点，点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)点和点之间的距离为________． (2)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离？此时，点P对应的数为多少？ (3)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍？此时，点P对应的数为多少？ 【答案】(1)10 (2)经过秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离，此时点P对应的数是 (3)经过或10秒后，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，此时点P对应的数分别是或13 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，有理数混合运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握数轴上两点间距离公式． （1）根据两点间距离公式进行求解即可； （2）根据点P到点B的距离等于点P到点A的距离，结合两点间距离，求出点P运动的距离，再根据运动速度求出点P运动时间，最后求出点P表示的数即可； （3）分两种情况，当点P在点A左侧时，当点P在点A右侧时，分别列式求出结果即可． 【详解】（1）解：点和点之间的距离为； （2）解：，（秒）， 此时，点P对应的数为， 答：经过秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离，此时点P对应的数是； （3）解：当点P在点A的左边时， ， （秒）． 此时，点P对应的数为． 当点P在点A的右边时， ， （秒）． 此时，点P对应的数为， 综上：经过或10秒后，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，此时点P对应的数分别是或13． 4．问题探索：如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 cm． （2）图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． 实际应用：由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： （3）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦! ”请问妙妙现在多少岁了？ 【答案】（1）8；（2）14，22；（3）15岁 【分析】（1）根据图象可知3倍的AB长为30−6＝24（cm），这样AB长就可以求出来了． （2）A点在6的右侧8单位长度，可以求出A点的数值为14，B点在A点右侧8个单位长度，也可以求出B点的数值． （3）运用上边的模型把奶奶与妙妙的年龄差理解为一个线段，115−（−35）就是两人年龄差的3倍，可以求出两人的年龄差．进而可以分别算出各自的年龄． 【详解】解：解：（1）观察数轴可知三根木棒长为30−6＝24（cm），则这根木棒的长为24÷3＝8（cm）； 故答案为8． （2）6＋8＝14， 14＋8＝22． 所以图中A点所表示的数为14，B点所表示的数为22． 故答案为：14，22． （3）当奶奶像妙妙这样大时，妙妙为岁， 所以奶奶与妙妙的年龄差为（岁）， 所以妙妙现在的年龄为（岁）. 【点睛】本题考查了数轴，主要考查了一个线段模型的运用．解题的关键在于运用前两问给定的解题模型去求解奶奶与妙妙的年龄差，进而求出奶奶的年龄． 5．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为______；点A与点C的距离为______个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和； (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的5倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能一次性测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 【答案】(1) ①； ② (2) ① ②或 ③6 【分析】本题考查数轴的应用，有理数的运算，掌握好数轴上两点间的距离计算方法是解题关键． （1）①根据两点之间的距离的计算方法进行计算或者逆推计算即可； ②将三个数相加即可； （2）①先根据条件计算出数轴上一个单位长度是，再根据点A与点B的距离，推算出x的值； ②先算出点A与点C的距离，再算出点A与点D的距离．根据点D在点A的左侧或者右侧，分别得出点D所表示的数； ③点B与点C之间的距离是210个单位长度，由题意可知，，计算出k的范围后，找到符合要求的最小整数． 【详解】（1）解：①∵点A与点B的距离为， 又∵数轴的1个单位长度为， ∴点A与点B的距离为个单位长度， ∴； 点A与点C的距离为个单位长度； ②点A，B，C所表示的数的和为； （2）解：①∵刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，， ∴数轴上一个单位长度为， ∵点A与点B的距离为． ∴点A与点B的距离为个单位长度， ∴； ②点A与点C的距离为个单位长度， ∵点A与点C的距离是点A与点D的距离的5倍， ∴点A与点D的距离为个单位长度， 当点D在点A左侧时， 点D所表示的数为， 当点D在点A右侧时， 点D所表示的数为， ∴点D所表示的数为或； ③点B与点C的距离为， 由题意可知，， ∴， ∴满足要求的k的最小整数值为6． 有理数除法的应用题型02 1．（24-25七年级下·云南昭通·期末）二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．把89转换为二进制数的过程如下（用除2取余的方法）： 余1 余0 余0 余1 余1 余0 余1 从下往上，将每次的余数排列起来得到：1011001，把十进制数89转换为二进制数记为，把49转化为二进制应记为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的除法运算，将十进制数49转换为二进制数，使用除2取余法，记录每次的余数，最后将余数从下往上排列即可． 【详解】解：计算余数： 余 1 余 0 余 0 余 0 余 1 余 1 排列余数：将余数从最后一次除法到第一次除法依次排列，得到 110001． 结果正确，因此49的二进制表示为110001，对应选项D． 故选：D 2．如果一个正整数除以9，商是12，余数是7，那么这个正整数是__________． 【答案】115 【分析】根据除法运算中各部分的关系，利用被除数等于商乘除数加余数计算即可． 【详解】解：∵被除数商除数余数 ∴这个正整数为． 3．有资料表明，山的高度每增高加1km，则气温大约升高﹣6℃． （1）我国著名风景区黄山的天都峰的高度约为1800m，当山下的地面温度为18℃时，求山顶的气温； （2）若某地的地面温度为20℃，高空某处的气温为﹣22℃，求此处的高度． 【答案】(1)7.2℃;(2)7km. 【详解】试题分析：（1）根据山峰的高度，由山的高度每增高加1km，则气温大约升高 -6℃，确定出山顶气温即可； （2）根据温差，以及山的高度每增高加1km，则气温大约升高-6℃，确定出此处的高度即可． 试题解析:（1）根据题意得： （2）根据题意得： 则此处高度为7km． 4．（26-27七年级上·吉林吉林·月考）小明要计算“一个数除以，再加上”，却误把除号看成了乘号，算得的结果是． (1)求这个数； (2)求这道题的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据误算的结果倒推出原来的数即可； （2）按照小问1推出的数按正确的计算顺序算出结果即可． 【详解】（1）解：因为误算时，这个数乘再加得， 所以这个数乘， 所以这个数． （2）解：正确的算式就是． 5．综合与实践： 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，它们通常以两个或者多个为一组．如果两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮合（两个机械构件的一种传动关系），如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 【操作观察】 (1)观察图2，顺时针转动大齿轮，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮 逆时针 慢 小齿轮 ________ 快 【计算思考】 (2)通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮——小齿轮______（填“加速”或“降速”），两齿轮转动方向相反； (3)我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等，如果大齿轮每分钟转动圈，那么小齿轮每分钟转动______圈； (4)探究三个齿轮啮合的效果：在（2）的情况下，在小齿轮的右侧增加一个齿轮，使得这个齿轮组合可使齿轮的转速为圈/分钟，那么齿轮的齿数是______，齿轮的方向是______． 【拓展应用】 (5)如图3所示，小明有一辆前后车轮直径都是的自行车，图4是图3中自行车齿轮的局部放大图，这辆自行车的前齿轮的齿数为，后齿轮的齿数为． 小明发现可以利用自行车的行进原理估算自己的行进路程，自行车的行进原理和小明的估算方法如下： 小明每踩一圈脚蹬，与脚蹬相连的前齿轮就转动一圈，而前齿轮的转动会通过链条带动后齿轮的转动，那么后齿轮相应的转动______圈，也就是后车轮的转动圈数． 通过计算可以得到每踩一圈脚蹬，后车轮就前进______，这样只要数清楚自己踩了几圈脚蹬就能知道行进的路程了（取，结果精确到）． 【答案】(1)顺时针 (2)加速 (3) (4)，逆时针 (5)， 【分析】（1）根据相互啮合的齿轮转动方向相反，即可确定小齿轮的转动方向； （2）大齿轮带动小齿轮，小齿轮齿数少，转得快，即可确定加速； （3）根据齿数与转速的关系求解； （4）根据齿数与转速的关系求解； （5）根据圆的周长公式即可求解． 【详解】（1）解：大齿轮逆时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反， 小齿轮按顺时针方向旋转； （2）解：大齿轮带动小齿轮，小齿轮齿数少，转得快，故属于加速； （3）解：小齿轮每分钟转动（圈）； （4）解：齿轮的齿数：， 齿轮的方向与齿轮的方向相反，齿轮按顺时针方向旋转， 齿轮的方向为逆时针； （5）解：后齿轮相应的转动：（圈）， 后轮前进路程为：． 根据点在数轴的位置判断式子的正负题型03 1．有理数、在数轴上的对应的位置如图所示，则下列四个选项正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据数轴判定出有理数、的大小关系，然后逐项判定即可. 【详解】由数轴，可知 A选项，应为； B选项，应为； C选项，，正确； D选项，应为； 故答案为C. 【点睛】此题主要考查数轴上有理数的大小比较，熟练掌握，即可解题. 2．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（    ） ①            ②        ③        ④， ⑤        ⑥        ⑦． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题综合考查了数轴、绝对值以及有理数的相关运算．根据数轴可得，，再根据有理数的加法、乘法、有理数减法进行分析可得答案． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，①正确； ，②错误； ，③错误； ，④错误； ∵， ∴，⑤正确； ，⑥正确； ，⑦正确； 故正确的有：①⑤⑥⑦，共4个， 故选：C． 3．a，b，c三个实数在数轴上的对应点如图所示． 用“”或“”填空：①a b，a c，b c； ② 0，bc 0； 这三个数中，最大的数是 ，最小的数是 ； 这三个数中，绝对值最大的数是 ． 【答案】（1）①＜，＜，＜；②＞，＞（2），（3） 【分析】（1）①在数轴上，右边的数比左边的数大，进行判定即可；②根据，，在数轴上的位置结合有理数的加法和乘法进行判定即可； （2）在数轴上，右边的数比左边的数大，进行判定即可； （3）根据绝对值的几何意义进行判断即可． 【详解】（1）解：①∵在数轴上，右边的数比左边的数大， ∴，，； ②∵，， ∴，； （2）解：∵， ∴这三个数中，最大的数是，最小的数是； （3）解：通过观察数轴可知：， ∴这三个数中，绝对值最大的数是． 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，掌握有理数的大小比较，相反数的定义，化简绝对值，有理数的加减运算，乘法运算是解题的关键． 4．已知、所表示的数如图所示，下列结论正确的有____________．（只填序号）①；②；③；④；⑤ 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查了数轴．数轴上右边的点对应的数大于左边的点对应的数，离原点远的点所对应的数的绝对值大，数轴上两点之间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值， 根据以上知识逐个判断即可． 【详解】由图知：，故①错误； 由图知：，故②正确； 由图知：，故③错误； 由图知： ，故④正确； ，表示b到的距离，表示a到的距离．由图知，b到的距离大于a到的距离， ，故⑤正确； 综上，正确的有②④⑤， 故答案为：②④⑤． 5．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的有理数是 (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的有理数是______； (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的有理数为______； (3)有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的序号是______． ①；②；③；④ 【答案】(1)4； (2)2或6； (3)①④ 【分析】（1）根据数轴的三要素，平移思想解答即可； （2）设点C表示的数为，根据题意，得，化简绝对值求解即可． （3）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“<”号把这些数连接起来即可． 本题考查了在数轴上表示有理数以及有理数的比较大小，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． 【详解】（1）解：如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是 向右平移3个单位长度后对应点表示的数就是原点， 为原点，点B所表示的数是4， 故答案为：4； （2）解：设点C表示的数为， 根据题意，得， 故或， 解得或， 故答案为：2或6； （3）解：由数轴可知：且， ，，，， 结论正确的序号是①④． 故答案为：①④． 有理数四则运算中的分类讨论思想的运用题型04 1．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数四则运算的应用，理解相关运算法则是解题关键．由已知条件得出，再分三种情况讨论即可． 【详解】解：，， ，, ， ， ， ， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 综上可知，，，中正数的个数为2个， 故选：C． 2．（26-27七年级上·浙江绍兴·联考）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是1，则的值为_________． 【答案】或101 【分析】根据相反数、倒数、绝对值的定义，得到，，，分两种情况代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， ∵，互为倒数， ∴， ∵的绝对值是， ∴， 当时， ； 当时， ． 3．已知，为实数，下列说法：①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则；④若，且，则，其中正确的是 __（写出正确的序号）． 【答案】①②④ 【分析】此题考查了相反数，绝对值和有理数的混合运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键． ①除0外，互为相反数的商为，可作判断；②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到与都为负数，即小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断；③由的绝对值等于它的相反数，得到为非正数，得到与的大小，即可作出判断；④由绝对值大于绝对值，分情况讨论，即可作出判断；⑤先根据，得，由和有理数乘法法则可得，，分情况可作判断． 【详解】解：①若，且，互为相反数，则，本选项正确； ②若，则与同号，由，则，，则，本选项正确； ③，即， ，即，本选项错误； ④， ， ， ，， 当时，， ，不符合题意； 所以，， ， 则， 本选项正确； 则其中正确的有3个． 故答案为：①②④． 4．已知． (1)直接写出m所有可能取值； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)m的值为3或1或或； (2)． 【分析】本题考查了绝对值的性质，分情况讨论是解题的关键． （1）分情况讨论，①同正；②同负；③两正一负；④一正两负，利用绝对值的性质，求解即可； （2）由题意得到，推出互为相反数，则． 【详解】（1）解：分情况讨论， ①同正时，； ②同负时，； ③两正一负时，不妨设为正，为负，； ④一正两负时，不妨设为负，为正，； 综上，m的值为3或1或或； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴互为相反数， ∴． 5．（24-25上·上海·期中）有5个有理数两两的乘积是如下的10个数：，1.512，1.8，720，，，，1.89，756，900，求这5个有理数． 【答案】，，，，或，，，， 【分析】本题主要考查有理数的乘法，先将5个有理数两两的积由小到大排列，5个有理数的两两乘积中有4个负数且没有0，可得这5个有理数中有1个负数和4个正数，或者一个正数和4个负数，再据此分类讨论解答． 【详解】解：将5个有理数两两的积由小到大排列： ， 因为5个有理数的两两乘积中有4个负数且没有0， 所以这5个有理数中有1个负数和4个正数，或者一个正数和4个负数， 分两种情况： 若这5个有理数是1负4正，可设，则 ， 所以，，， 由， 解得：，，， 再由，，得，， 经检验，，，，满足题意； 若这5个有理数1正4负，可设，则 ， 其中，的大小关系暂时不能确定， 所以，，， 由， 解得：，，， 再由，，得，， 经检验，，，，满足题意； 综上，这五个有理数是，，，，或，，，，． 有理数的除法与绝对值的综合应用题型05 1．若，，且，则的值等于（　　） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数乘法等知识点，根据题意得到，y；，y，是解本题的关键． 利用绝对值的意义以及，求出x与y的值，然后求出的值即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ∵， ∴，y；，y， ∴． 故选：B． 2．（25-26七年级上·湖南娄底·期中）在下列说法中：①若，则；②若，则；③若m是有理数，则不可能是负数；④已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或．其中正确的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的性质，有理数的除法运算，根据绝对值的性质逐个判断每个说法的正确性． 【详解】① ∵， ∴，正确． ② ∵， ∴，但说法中为 ，错误． ③ ∵当时，；当 时，， ∴不可能是负数，正确． ④ ∵ 非零，，设 ， 当有一个负数时，； 当有两个负数时，； 当有三个负数时，； ∴的值为或，正确． 综上，正确的有①、③、④，共3个． 故选：B． 3．（25-26七年级上·山东滨州·期末）计算：______． 【答案】 【分析】先算绝对值，再算除法即可． 【详解】解：． 4．（26-27七年级上·浙江金华·学情自测）的绝对值除以的倒数的商，再乘14的相反数，结果是__________． 【答案】 【详解】解：． 5．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3 【分析】（1）分和，两种情况进行讨论求解即可； （2）分 中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解； （3）分，和，两种情况，进行讨论求解． 【详解】解：（1）∵， ∴同号， 当时：； 当时：； 故答案为：或2； （2）∵， ∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数， 当时，则：； 当有两个正数和一个负数时，假设：，则：； 故答案为：或1； （3）∵， ∴中有两正一负， ①当时：则：均为正， ∴， ∴； ②当时，则：一正一负， 若，则：，此时：； 如，则：，此时：； 综上，原式或或3． 故答案为：或或3 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 数轴上折叠问题题型01 1．（25-26七年级上·江苏常州·月考）小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面使数轴上表示6的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为12(A在B左侧)，且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用；设表示6的点与表示的的点的连线段的中点表示的数为，由数轴上两点之间的距离得，据此列式计算即可求解． 【详解】解：设表示6的点与表示的的点的连线段的中点表示的数为，则有： ， 解得：， 数轴上A、B两点之间的距离为12， ， 到表示1的点的距离为， 点表示的数为， 故选：A． 2．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位．将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与线段结合的题型，解题的关键是列出这三条线段所有可能排列的顺序．首先根据三条线段的长度之比求出三条线段的长度，列出所有可能的情况，分情况求出折痕处对应的数． 【详解】解：当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、：， 折痕对应的点所表示的数为：； 综上所述，点所表示的数不可能是． 故选：D． 3．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示6的点重合时，表示2的点与表示________的点重合． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的混合运算．先求出折痕与数轴交点的数，即和6的中点，再进行列式计算，得出表示2的点与表示0的点重合，即可作答． 【详解】解：∵折叠后，与6重合， 则折痕经过的点为， 表示2的点与表示1的点之间的距离为， 则， 因此表示2的点与表示0的点重合， 故答案为：0． 4．在一条可以折叠的数轴上，点，表示的数分别是，7，点在线段上，沿点将数轴向右折叠，使点落在点的左侧点处，且，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】先求出点表示的数为，然后根据点在线段上，沿点将数轴向右折叠，使点落在点的左侧点处，得出点C为的中点，最后求出点C表示的数即可． 【详解】解：∵表示的数为7，点落在点的左侧点处，且， ∴点表示的数为， ∵点在线段上，沿点将数轴向右折叠，使点落在点的左侧点处， ∴点C为的中点， ∵点表示的数是， ∴点表示的数是． 5．（25-26七年级上·四川达州·联考）翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．如图，纸面上有一数轴，现折叠纸面． (1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合． (2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与___________表示的点重合； ②若假设纸张足够长，数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________． (3)若数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，请表示出此时折叠后与数表示的点重合的点（用含有，，的代数式表示）． 【答案】(1) (2)① ②， (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质，数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数．解决本题的关键是根据数轴上两点表示的数表示出两点之间的距离． (1)根据表示的点与表示的点重合，可知对称点表示的数为，与表示的点关于原点对称的点表示的数是； (2)①根据两个对称点表示的数分别是和，可以求出对称点表示的数是，根据关于对称点对称的两个点到对称点的距离相等，求出表示的点关于对称的点表示的数； ②因为，两点之间的距离为，所以，两点到对称点的距离都是，因为点在对称点的左侧，可知点表示的数是，因为点在对称点的右侧，可知点表示的数是； (2)根据数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，再根据两个对称的点到对称点的距离相等求出的对称点表示的数． 【详解】（1）解：表示的点与表示的点重合， 对称点为， 折叠的时候折痕过数轴的原点， 表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：表示的点与表示的点重合， 对称点为， 到对称点的距离是， 与表示的点重合的点表示的数是； 故答案为：； ②解：数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且两点经折叠后重合， ，两点到对称点的距离为， 又对称点所表示的数是， 点表示的数是：， 点表示的数是：， 故答案为：，； （3）解：数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，， 对称点为， 当在对称点右侧时，到对称点的距离为， 则与对称的点表示的数为； 当在对称点左侧时，到对称点的距离为， 则与对称的点表示的数为； 综上所述，与数表示的点重合的点为. 有理数混合运算中新定义类问题题型02 1．（25-26七年级上·广东潮州·期中）定义一种新运算“”，规定，例如：，则的值为（    ） A．6 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新运算法则和有理数运算，掌握运算法则是解题的关键．根据新定义列出算式，然后根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．对任意四个有理数a,b,c,d定义新运算：，则的值为（   ） A．-2 B．-4 C．5 D．-5 【答案】D 【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得：原式=3-8=-5， 故选D. 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（24-25七年级上·山东聊城·月考）我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据※，可以计算出所求式子的值； （2）根据※，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：由题意可得，※4； （2）解：由题意可得，※． 4．已知是不为的有理数，我们把称为的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是．若，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，……，以此类推，求的值． 【答案】 【分析】分别求出数列的前个数，得出该数列每个数为一周期循环，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴该数列每个数为个周期循环． ∵， ∴． 5．（24-25七年级上·山东济南·月考）定义新运算：， 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_____（请填序号）． ①，； ②，． (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）①∵， ∴， ①是“隔一数对” ②∵， ∴ ∴②不是“隔一数对” 故答案为：① （2）原式 （3）原式 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.4 有理数的除法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 有理数除法法则的辨析 题型02 有理数乘除混合运算 题型03 有理数除法的简算 题型04 有理数四则混合运算实际应用 题型05 利用倒数法求解有理数的除法 题型06 有理数的除法运算 题型07 有理数乘除中的简便运算 B组 能力进阶 题型01 有理数的除法与数轴综合 题型02 有理数除法的应用 题型03 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型04 有理数四则运算中的分类讨论思想的运用 题型05 有理数的除法与绝对值的综合应用 C组 思维拔高 题型01 数轴上折叠问题 题型02 有理数混合运算中新定义类问题 有理数除法法则的辨析题型01 1．（25-26七年级上·北京·月考）有下列四个算式：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．③④ D．②③④ 2．下列说法：①若数a的绝对值等于a，则a是正数；②若，则a、b、c互为相反数；③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数；④若两个数的商为，则这两个数互为相反数；⑤除以一个数等于乘这个数的倒数；⑥几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法：①0除以任何数都得0；②两个互为相反数的数相除商为；③除以一个负数结果总比大；④两个不为0的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，商不变，那么两数互为相反数．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．算式中，在◯中填入下列运算符号后，运算过程中第一步不可以直接去掉括号的是（     ） A． B． C． D． 5．请用符号语言表示有理数的除法法则_______． 有理数乘除混合运算题型02 1．（24-25上·期末）计算的结果为（   ） A．1 B． C．7 D．343 2．计算的结果是________． 3．计算：_______ ． 4．阅读下面的解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 5．计算： (1)； (2)； (3)． 有理数除法的简算题型03 1．用简便方法计算：______． 2．计算： (1)； (2)． 3．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）薛老师给同学们出了这样一道题： 计算： 下面是小刚和小明的解题过程： 小刚：解：原式________________； 小明：解：； 所以． (1)请把小刚的解法补全； (2)由小明和小刚的算法，可以看出小明的算法可使计算简便，请利用小明发现的简便算法进行计算： 4．计算：． 5．小华在课外书中看到这样一道题： 计算：． 他发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地解答了这道题： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分； (3)根据以上分析，求出原式的结果． 有理数四则混合运算实际应用题型04 1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）小明从一条东西走向的人行道上某一点出发，以每秒12米的速度向东奔跑3秒后，立即改变方向，又以每秒4米的速度向西奔跑5秒后停止．若规定向东为正，向西为负，则上述过程写成算式是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26下·黑龙江哈尔滨·期中）春节快到的时候，小明做了一个家庭月收支记录．爸妈工资收入共9500元，春节给老人2000元，给小明和妹妹各100元压岁钱，交上个月的水电等费用400元，购买800元食品，4口人买新衣服需要1000元．请你算出小明家这个月的余额是___________元． 3．（25-26七年级上·广东广州·期中）学校组织了一次文艺汇演，有四个节目需要彩排，分别是、、、．所有演员到场后节目彩排开始，一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：分钟）如下： 节目 演员人数 8 5 12 3 彩排时长 20 15 25 10 已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目的演员的候场时间为____________分钟；若使这位演员的候场时间之和最小，则节目应按____________ 的先后顺序彩排． 4．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）10袋小麦称后记录如下表（单位：），要求每袋小麦的重量控制在，即每袋小麦的重量不高于91.5，不低于88.5 小麦的袋数 1 3 2 1 2 1 小麦的重量 88.1 89 89.8 90.6 91 91.8 (1)这10袋小麦种，不符合要求的有几袋？ (2)将符合要求的小麦以90为标准，超出部分记为正，不足的记为负数 (3)求符合要求的小麦一共多少千克？ 5．60人中有的人会打乒乓球，的人会打羽毛球，的人会打排球，这三项运动都会的人有人，问：这三项运动都不会的人最多有多少人？ 利用倒数法求解有理数的除法题型05 1．计算1÷时，除法变为乘法正确的是（　　） A．1× B．1× C．1× D．1× 2．请阅读下题的解法，再计算． 例题  计算： 解：设， 则 = 所以，即 按照例题解法，请计算：． 3．（24-25七年级上·广东中山·月考）计算 (1) (2) 4．（24-25七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小英的解法：． 小李的解法：原式的倒数为…第一步， …第二步， …第三步， …第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 5．（26-27七年级上·四川成都·学情自测）老师为了强化同学们的运算思维，提高数学运算能力，布置了一道有意思的计算题，鼓励大家用不同的方法计算．以下是三名同学的计算过程． 甲：原式． 乙：原式． 丙：原式的倒数，所以原式． (1)比较他们的做法，其中_______的做法是错误的． (2)选择合适的方法计算：． (3)求:的值． 有理数的除法运算题型06 1．（25-26七年级上·陕西延安·期中）计算： A．3 B． C． D．12 2．如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 3．（25-26上·黑龙江哈尔滨·期末）升的牛奶能平均装在个瓶子里，则每个瓶子装_____升． 4．（24-25七年级上·吉林白城·月考）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是______． 5．计算： (1)； (2)； (3)． 有理数乘除中的简便运算题型07 1．（25-26七年级上·河南安阳·月考）简便计算： (1)； (2)． 2．（25-26上·黑龙江鸡西·期末）用简便方法计算下列各题 (1) (2) 3．（25-26七年级上·四川广元·月考）计算： (1)； (2)． 4．计算． (1) (2) (3) (4) 5．简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 有理数的除法与数轴综合题型01 1．（24-25七年级上·河北石家庄·月考）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，且，，则原点的位置在（    ） A．点的右边 B．点的左边 C．，两点之间，且靠近点 D．，两点之间，且靠近点 2．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2023的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25七年级上·山西临汾·期中）如图所示，已知在数轴上点A表示的数为3，点B表示的数为，点P为数轴上一个动点，点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)点和点之间的距离为________． (2)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离？此时，点P对应的数为多少？ (3)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍？此时，点P对应的数为多少？ 4．问题探索：如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 cm． （2）图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． 实际应用：由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： （3）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦! ”请问妙妙现在多少岁了？ 5．（25-26七年级上·河北廊坊·月考）如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为______；点A与点C的距离为______个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和； (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的5倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能一次性测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 有理数除法的应用题型02 1．（24-25七年级下·云南昭通·期末）二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．把89转换为二进制数的过程如下（用除2取余的方法）： 余1 余0 余0 余1 余1 余0 余1 从下往上，将每次的余数排列起来得到：1011001，把十进制数89转换为二进制数记为，把49转化为二进制应记为（   ） A． B． C． D． 2．如果一个正整数除以9，商是12，余数是7，那么这个正整数是__________． 3．有资料表明，山的高度每增高加1km，则气温大约升高﹣6℃． （1）我国著名风景区黄山的天都峰的高度约为1800m，当山下的地面温度为18℃时，求山顶的气温； （2）若某地的地面温度为20℃，高空某处的气温为﹣22℃，求此处的高度． 4．（26-27七年级上·吉林吉林·月考）小明要计算“一个数除以，再加上”，却误把除号看成了乘号，算得的结果是． (1)求这个数； (2)求这道题的正确结果． 5．综合与实践： 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，它们通常以两个或者多个为一组．如果两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮合（两个机械构件的一种传动关系），如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 【操作观察】 (1)观察图2，顺时针转动大齿轮，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮 逆时针 慢 小齿轮 ________ 快 【计算思考】 (2)通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮——小齿轮______（填“加速”或“降速”），两齿轮转动方向相反； (3)我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等，如果大齿轮每分钟转动圈，那么小齿轮每分钟转动______圈； (4)探究三个齿轮啮合的效果：在（2）的情况下，在小齿轮的右侧增加一个齿轮，使得这个齿轮组合可使齿轮的转速为圈/分钟，那么齿轮的齿数是______，齿轮的方向是______． 【拓展应用】 (5)如图3所示，小明有一辆前后车轮直径都是的自行车，图4是图3中自行车齿轮的局部放大图，这辆自行车的前齿轮的齿数为，后齿轮的齿数为． 小明发现可以利用自行车的行进原理估算自己的行进路程，自行车的行进原理和小明的估算方法如下： 小明每踩一圈脚蹬，与脚蹬相连的前齿轮就转动一圈，而前齿轮的转动会通过链条带动后齿轮的转动，那么后齿轮相应的转动______圈，也就是后车轮的转动圈数． 通过计算可以得到每踩一圈脚蹬，后车轮就前进______，这样只要数清楚自己踩了几圈脚蹬就能知道行进的路程了（取，结果精确到）． 根据点在数轴的位置判断式子的正负题型03 1．有理数、在数轴上的对应的位置如图所示，则下列四个选项正确的是(    ) A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（    ） ①            ②        ③        ④， ⑤        ⑥        ⑦． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．a，b，c三个实数在数轴上的对应点如图所示． 用“”或“”填空：①a b，a c，b c； ② 0，bc 0； 这三个数中，最大的数是 ，最小的数是 ； 这三个数中，绝对值最大的数是 ． 4．已知、所表示的数如图所示，下列结论正确的有____________．（只填序号）①；②；③；④；⑤ 5．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的有理数是 (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的有理数是______； (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的有理数为______； (3)有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的序号是______． ①；②；③；④ 有理数四则运算中的分类讨论思想的运用题型04 1．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（26-27七年级上·浙江绍兴·联考）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是1，则的值为_________． 3．已知，为实数，下列说法：①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则；④若，且，则，其中正确的是 __（写出正确的序号）． 4．已知． (1)直接写出m所有可能取值； (2)若，，，求的值． 5．（24-25上·上海·期中）有5个有理数两两的乘积是如下的10个数：，1.512，1.8，720，，，，1.89，756，900，求这5个有理数． 有理数的除法与绝对值的综合应用题型05 1．若，，且，则的值等于（　　） A．8 B． C．4 D． 2．（25-26七年级上·湖南娄底·期中）在下列说法中：①若，则；②若，则；③若m是有理数，则不可能是负数；④已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或．其中正确的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（25-26七年级上·山东滨州·期末）计算：______． 4．（26-27七年级上·浙江金华·学情自测）的绝对值除以的倒数的商，再乘14的相反数，结果是__________． 5．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 数轴上折叠问题题型01 1．（25-26七年级上·江苏常州·月考）小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面使数轴上表示6的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为12(A在B左侧)，且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数是（    ） A． B．6 C． D． 2．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位．将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示6的点重合时，表示2的点与表示________的点重合． 4．在一条可以折叠的数轴上，点，表示的数分别是，7，点在线段上，沿点将数轴向右折叠，使点落在点的左侧点处，且，则点表示的数是________． 5．（25-26七年级上·四川达州·联考）翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．如图，纸面上有一数轴，现折叠纸面． (1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合． (2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与___________表示的点重合； ②若假设纸张足够长，数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________． (3)若数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，请表示出此时折叠后与数表示的点重合的点（用含有，，的代数式表示）． 有理数混合运算中新定义类问题题型02 1．（25-26七年级上·广东潮州·期中）定义一种新运算“”，规定，例如：，则的值为（    ） A．6 B．1 C． D． 2．对任意四个有理数a,b,c,d定义新运算：，则的值为（   ） A．-2 B．-4 C．5 D．-5 3．（24-25七年级上·山东聊城·月考）我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 4．已知是不为的有理数，我们把称为的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是．若，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，……，以此类推，求的值． 5．（24-25七年级上·山东济南·月考）定义新运算：， 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_____（请填序号）． ①，； ②，． (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $