2.3有理数的乘法（分层作业，12大题型）数学新教材浙教版七年级上册

分层作业 2.3 有理数的乘法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 有理数乘法法则的辨析 题型02 多个有理数的乘法运算判断符号 题型03 有理数乘法运算 题型04 有理数乘法的实际应用 题型05 求一个数的倒数 题型06 有理数的乘法运算律 题型07 利用有理数乘法运算律进行简便运算 题型08 多个有理数的乘法运算 B组 能力进阶 题型01 有理数的乘法在数轴上的应用 题型02 相反数、倒数、绝对值的综合 C组 思维拔高 题型01 有理数的乘法中新定义类 题型02 有理数乘法运算中的规律问题 有理数乘法法则的辨析题型01 1．（24-25下·黑龙江绥化·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·四川·学情自测）下列说法中正确的是（     ） A．5个有理数相乘，当负因数有3个时，积为负； B．乘以任何有理数等于这个有理数的相反数； C．两个有理数的积为负数，则这两个有理数都为负数； D．绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大． 3．以下说法正确的是（　　） A．如果，那么都为零 B．如果，那么不都为零 C．如果，那么都为零 D．如果，那么均不为零 4．下列说法中，正确的有______．（请填写序号） ①一个数同相乘，仍得这个数； ②一个数同相乘，得这个数的相反数； ③一个数同相乘，仍得． 5．（26-27七年级上·河北张家口·月考）要计算的结果，教材进行了如下方式的证明 因为： 所以： (1)运用上述方法证明：； (2)假设、是两个任意的正数，运用上述方法证明：． 多个有理数的乘法运算判断符号题型02 1．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）不计算，直接判断的结果是（   ） A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定 2．已知两个有理数a、b，如果，且，那么（     ） A． ， B． ， C．a、b异号，且负数的绝对值较小 D．a、b异号，且负数的绝对值较大 3．（24-25七年级·期中）若有4个有理数相乘的积为负数，则负乘数的个数是_________． 4．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）在数，，4，5中任取三个数相乘，所得的积最大的是____________． 5．如图，数轴上点A、B、C分别表示有理数a、b、c，若a、b、c三个数的乘积为正数，这三个数的和与其中一个数相等，则b____0． 有理数乘法运算题型03 1．（25-26七年级上·四川乐山·期末）在2，，，5这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是（   ） A．12 B． C．20 D．10 2．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）的化简结果是（   ） A．2024 B． C． D． 3．（24-25七年级上·河南濮阳·月考）从-，，，，五个数中任取两个数相乘，所得积中的最大值为，最小值为，则的值为    ) A． B． C． D． 4．（25-26七年级·月考）如果，，且，，那么____． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 有理数乘法的实际应用题型04 1．杜师傅攀登一座山峰，他每登高，气温的变化量为，当杜师傅攀登后，那么气温将会（   ） A．下降 B．上升 C．下降 D．上升 2．（26-27七年级上·广东汕头·月考）小红的妈妈买了4筐白菜，以每筐为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为，则这4筐白菜的总质量为______． 3．在汛期，如果黄河水位每天上升，那么求3天后的水位比今天高多少，可以用算式表示为． （规定：把今天的水位记为，水位上升记为正，下降记为负；为区分时间，今天记为0，今天之后记为正，今天之前记为负） (1)如果水位每天下降，那么3天前的水位比今天高多少？请用算式表示． (2)请写出算式表示的意义． 4．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）小明把自家的冬枣产品放到了网上，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，如表是某周的销售情况超额记为正，不足记为负．单位：斤： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤； (2)根据记录的数据可知，前三天共卖出______斤； (3)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共净收入多少元？ 5．（25-26七年级上·山东德州·月考）小车司机蔡师傅某天下午的营运全是在东西走向的富泸公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，， (1)蔡师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ (2)蔡师傅这天下午共行车多少千米？ (3)若每千米耗油，则这天下午蔡师傅用了多少升油？ 求一个数的倒数题型05 1．的倒数是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·河南周口·质检）一个数的倒数等于它的本身，则这个数是（     ） A．1 B． C．0 D．1和 3．的倒数的相反数是（   ） A． B． C． D． 4．图所示，在数轴上标出了有理数a，b，c的位置其中0是原点，则，，，大小顺序是（   ） A． B． C． D． 5．（1）的倒数是______； （2）的倒数是______； （3）的倒数是______； （4）的倒数是______． 有理数的乘法运算律题型06 1．（25-26七年级上·天津·期中）一般地，“一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加．”对于以上运算律，用符号语言可以描述为（   ） A． B． C． D． 2．这里运用了乘法的（　　）． A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．分配和结合律 3．下列各式中，运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·云南昆明·联考）下面各图中，不能说明与相等的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）在下列算式每一步后面填上这一步应用的运算律： （( )） （__________） （__________） 利用有理数乘法运算律进行简便运算题型07 1．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值可表示为（     ） A． B． C． D． 3．计算： ____． 4．（24-25七年级上·北京·期末）计算：． 5．计算． (1) (2) 多个有理数的乘法运算题型08 1．下列运算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江·月考）绝对值小于3.1的负整数的积为_____． 3．（2026·河南南阳·模拟）已知四个互不相等的整数a，b，c，d满足，则__________． 4．计算： (1)； (2)． 5．小明有7张写着不同数字的卡片：，，，0，，，，他想从中抽取3张，使这三张卡片上的数字之积最大，应如何抽取？积最大是多少？ 有理数的乘法在数轴上的应用题型01 1．已知有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上有①，②，③，④四部分，数轴上的三个点分别表示数a，b，c且，，则原点落在（   ）    A．段① B．段② C．段③ D．段④ 3．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）如图所示，被遮挡的所有数字之积为_____． 4．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中 A，B 两点的距离为3，B，C 两点的距离为1．设点 A，B，C 所对应的数的和是m，积是n． (1)①若以点B为原点，写出点 A，C所对应的数，并计算m的值； ②若以点C为原点，m又是多少？ (2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且点C与原点的距离为4，求n的值． 5．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值. 相反数、倒数、绝对值的综合题型02 1．下列说法正确的个数是（   ） ①的相反数是2024；②的绝对值是2024；③的倒数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（26-27七年级上·浙江·月考）如果，互为相反数；，互为倒数；的绝对值等于2，那么的值为（     ）． A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25七年级上·四川泸州·月考）学完《有理数》之后，甲同学对乙同学说：“为最小的正整数，b是最大的负整数，c是倒数等于自身的有理数，你知道等于多少？”乙同学脱口答出正确答案是（   ） A．0 B． C．1或 D．1或2 4．（25-26七年级·内蒙古·期中）的相反数是__________；的绝对值是__________；的倒数__________． 5．（24-25七年级上·重庆·月考）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 有理数的乘法中新定义类题型01 1．若，是有理数，定义一种新运算：，计算的值为（   ） A． B． C． D． 2．若规定，则________． 3．定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为______． 4．探究并解决问题： 对有理数a，b定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”． 按照“乘减法”运算的算式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． (1)请将下面整理的“乘减法”法则补充完整：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 异号得 ，并 ；绝对值相等的两数相“乘减”，都得 ；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)计算：． (3)有理数加法和乘法都有结合律，结合律在有理数的“乘减”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举一反例即可）． 5．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 有理数乘法运算中的规律问题题型02 1．（24-25七年级上·广西南宁·月考）如图，是一个简单的数值运算程序，当输入的数值x为3时，其输出的结果为（      ） A．8 B． C． D．6 2．（24-25七年级上·福建三明·期末）如图，这个方格中每个方格都表示一个数，且每相邻三个数之积为，则表示的数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河南洛阳·月考）如图，按以下规律，在第四个正方形内填入的数是______． 4．一只青蛙在数轴上从表示1的点出发，每次跳动的距离都是整数，如果它只能在表示1，2，3......，2020的点上跳动，经过2020次跳动后又回到出发点，需要保证每个点都至少跳到一次，那么青蛙所跳过的全部路径的最大长度是______． 5．阅读下面的材料： ； ； 根据以上信息，计算下列各题： (1)； (2)． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3 有理数的乘法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 有理数乘法法则的辨析 题型02 多个有理数的乘法运算判断符号 题型03 有理数乘法运算 题型04 有理数乘法的实际应用 题型05 求一个数的倒数 题型06 有理数的乘法运算律 题型07 利用有理数乘法运算律进行简便运算 题型08 多个有理数的乘法运算 B组 能力进阶 题型01 有理数的乘法在数轴上的应用 题型02 相反数、倒数、绝对值的综合 C组 思维拔高 题型01 有理数的乘法中新定义类 题型02 有理数乘法运算中的规律问题 有理数乘法法则的辨析题型01 1．（24-25下·黑龙江绥化·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，减法，乘法运算，根据相关运算法则计算判断即可． 【详解】解： A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．（26-27七年级上·四川·学情自测）下列说法中正确的是（     ） A．5个有理数相乘，当负因数有3个时，积为负； B．乘以任何有理数等于这个有理数的相反数； C．两个有理数的积为负数，则这两个有理数都为负数； D．绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大． 【答案】B 【详解】解：A、若5个有理数中含因数，则积为，则原说法错误； B、乘以任何有理数都等于这个有理数的相反数，则原说法正确； C、两个有理数的积为负数，则这两个有理数一个为正数，一个为负数，则原说法错误； D、绝对值大于1的两个数相乘，积不一定比这两个数都大，如，，，，则原说法错误． 3．以下说法正确的是（　　） A．如果，那么都为零 B．如果，那么不都为零 C．如果，那么都为零 D．如果，那么均不为零 【答案】A 【分析】根据绝对值的意义和性质，以及有理数的乘法法则判断即可. 【详解】根据非负数的性质，可知时，那么都为零，故正确； 根据有理数的乘法法则，0乘以任何数都等于0，可知若ab≠0，a、b均不等于0，故不正确； 根据有理数的乘法法则，如果，那么a=0或b=0或a、b都为0，故不正确； 根据非负数的性质，可知，那么至少有一个不为0，故不正确. 故选：A. 【点睛】此题主要考查了绝对值的意义和有理数的乘法法则，关键是会分类讨论，会根据性质判断特殊情况，有一定的难度. 4．下列说法中，正确的有______．（请填写序号） ①一个数同相乘，仍得这个数； ②一个数同相乘，得这个数的相反数； ③一个数同相乘，仍得． 【答案】①②③ 【分析】本题考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键； 根据有理数的乘法法则计算即可求解； 【详解】解：①一个数同相乘，仍得这个数，该结论正确； ②一个数同相乘，得这个数的相反数，该结论正确； ③一个数同相乘，仍得，该结论正确； 故答案为：①②③ 5．（26-27七年级上·河北张家口·月考）要计算的结果，教材进行了如下方式的证明 因为： 所以： (1)运用上述方法证明：； (2)假设、是两个任意的正数，运用上述方法证明：． 【答案】(1)证明： ， ∴ ； (2)证明：∵ 是任意正数， ， ∴ ． 【详解】（1）略 （2）略 多个有理数的乘法运算判断符号题型02 1．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）不计算，直接判断的结果是（   ） A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘法中的负号问题． 负数个数为奇数时，结果为负；偶数时为正，所有因数均非零，故结果不为零． 【详解】解：∵负数有：、、，共3个（奇数）， ∴结果为负数． 故选：B． 2．已知两个有理数a、b，如果，且，那么（     ） A． ， B． ， C．a、b异号，且负数的绝对值较小 D．a、b异号，且负数的绝对值较大 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，熟练掌握异号相乘得负，异号两数相加，取绝对值较大加数的符号作符号，并把绝对值相减是解题的关键． 【详解】∵， ∴a、b异号， ∵， ∴负数的绝对值较大， 故选D． 3．（24-25七年级·期中）若有4个有理数相乘的积为负数，则负乘数的个数是_________． 【答案】1或3 【分析】本题考查有理数乘法中的符号法则，根据有理数乘法的符号法则，负号的个数--奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：若有4个有理数相乘的积为负数，则负乘数的个数是1或3； 故答案为：1或3． 4．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）在数，，4，5中任取三个数相乘，所得的积最大的是____________． 【答案】30 【分析】本题考查了有理数的乘法及有理数大小比较，关键要明确当负因数为奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正，且正数大于一切负数．找积最大的应取偶数个负数，据此分析求解即可． 【详解】解：∵， ∴所得的积中最大的是30． 故答案为：30． 5．如图，数轴上点A、B、C分别表示有理数a、b、c，若a、b、c三个数的乘积为正数，这三个数的和与其中一个数相等，则b____0． 【答案】 【分析】根据有理数的乘法法则：几个数的积是正数，则这几个数中负因数的个数应该是偶数个，从而得出 a，b，c 三个数都是正数或其中两个是负数，又根据这三个数的和与其中一个数相等得出这三个数只能是一个正数，两个为负数，由数轴可知，故只能 a，b 是负数，c 是正数，即可得出结果． 【详解】解：∵a 、b、c 三个数的乘积为正数， ∴a，b，c 三个数都是正数或其中两个是负数， 又∵这三个数的和与其中一个数相等， ∴这三个数只能是一个正数，两个为负数， ∵， ∴只能 a，b 是负数，c 是正数， 即． 有理数乘法运算题型03 1．（25-26七年级上·四川乐山·期末）在2，，，5这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是（   ） A．12 B． C．20 D．10 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法．两个数相乘，同号得正，异号得负，且正数大于一切负数，因此最大积应从同号数对中寻找，并比较正数积的大小． 【详解】解：∵ 同号两数相乘得正， ∴ 考虑同号数对：，， ∵， ∴ 最大积为12， 故选：A． 2．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）的化简结果是（   ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的计算进行计算即可． 【详解】解：， 故选A． 3．（24-25七年级上·河南濮阳·月考）从-，，，，五个数中任取两个数相乘，所得积中的最大值为，最小值为，则的值为    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法、求得这两个数的乘积的最大值和最小值是解题的关键．先确出积的最大值和最小值，然后再代入计算即可． 【详解】解：最大值为，最小值为， ∴ 故选：D． 4．（25-26七年级·月考）如果，，且，，那么____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法以及绝对值的性质，利用绝对值的性质得出x，y的值，进而得出答案． 【详解】解：∵，，且，， ∴，， ∴， 故答案为． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)60 (2) (3)2 (4)0 (5) (6)1 【分析】（1）同号相乘，结果为正，并把绝对值相乘； （2）异号相乘，结果为负，并把绝对值相乘； （3）先把带分数化成假分数再去计算结果； （4）任何数与0相乘结果仍为0； （5）异号相乘，结果为负，并把绝对值相乘； （6）互为倒数的两数相乘结果是1． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 有理数乘法的实际应用题型04 1．杜师傅攀登一座山峰，他每登高，气温的变化量为，当杜师傅攀登后，那么气温将会（   ） A．下降 B．上升 C．下降 D．上升 【答案】A 【分析】用每登高气温的变化量乘6，求出攀登后，气温变化多少即可． 【详解】． 上升为正，下降为负，即攀登后，气温下降， 故选：A． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算，负数的意义，解题的关键是正确理解负数在实际生活中的意义． 2．（26-27七年级上·广东汕头·月考）小红的妈妈买了4筐白菜，以每筐为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为，则这4筐白菜的总质量为______． 【答案】 【分析】先计算4筐白菜与标准质量的总偏差，再加上4筐的标准总质量，即可得到实际总质量． 【详解】解：先计算4筐白菜与标准质量的偏差和： 4筐白菜的标准总质量为 因此4筐白菜的实际总质量为． 3．在汛期，如果黄河水位每天上升，那么求3天后的水位比今天高多少，可以用算式表示为． （规定：把今天的水位记为，水位上升记为正，下降记为负；为区分时间，今天记为0，今天之后记为正，今天之前记为负） (1)如果水位每天下降，那么3天前的水位比今天高多少？请用算式表示． (2)请写出算式表示的意义． 【答案】(1)3天前的水位比今天高， (2)水位每天下降，那么3天后的水位比今天低 【分析】此题考查了有理数的乘法，正数和负数，以及绝对值，弄清题意是解本题的关键． （1）根据题意列出算式，计算即可得到结果； （2）根据把今天的水位记为0厘米，水位上升记为正，下降记为负；为区分时间，今天记为0，今天之后记为正，今天之前记为负表示出意义即可． 【详解】（1）解：根据题意得：． 答：3天前的水位比今天高6厘米； （2）解：算式 表示的意义是：水位每天下降2厘米，那么3天后的水位比今天低厘米． 4．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）小明把自家的冬枣产品放到了网上，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，如表是某周的销售情况超额记为正，不足记为负．单位：斤： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤； (2)根据记录的数据可知，前三天共卖出______斤； (3)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共净收入多少元？ 【答案】(1)29 (2)296 (3)小明本周一共净收入3585元 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，正负数的应用， （1）先比较各数的大小，再根据有理数的减法计算； （2）先求出三天计划销售量，再加上与计划量的差值； （3）先求出总的销售量，再乘以每斤的净收入可得答案． 【详解】（1）解：因为， 所以销售最多的一天是，最少的一天是， 所以斤， 即销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售29斤． 故答案为：29； （2）解：（斤）， 即前三天共卖出296斤． 故答案为：296； （3）解：本周实际销售总量与计划总量的差值如下：（斤）， （元）． 即小明本周一共净收入3585元． 5．（25-26七年级上·山东德州·月考）小车司机蔡师傅某天下午的营运全是在东西走向的富泸公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，， (1)蔡师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ (2)蔡师傅这天下午共行车多少千米？ (3)若每千米耗油，则这天下午蔡师傅用了多少升油？ 【答案】(1)千米； (2)千米； (3)升 【分析】本题考查了正负数的意义、有理数的加减的应用、有理数的乘法的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）把所有行车记录的里程相加，再根据正数和负数的意义解答； （2）求出所有行车里程的绝对值的和； （3）将（2）中的结果乘以即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：蔡师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地千米； （2）解：（千米）   答：蔡师傅这天下午共行车千米； （3）解：，   答：这天下午蔡师傅用了升油． 求一个数的倒数题型05 1．的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，形式上是符号不变，交换分子分母的位置即可.据此计算，即可得出结果. 【详解】解：∵乘积为1的两个数互为倒数， 又∵， ∴的倒数是. 故选：A. 2．（26-27七年级上·河南周口·质检）一个数的倒数等于它的本身，则这个数是（     ） A．1 B． C．0 D．1和 【答案】D 【详解】解：，， 故一个数的倒数等于它本身，则这个数是1，． 3．的倒数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，得出的倒数，再根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，得出的倒数的相反数，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 又∵的相反数是， ∴的倒数的相反数是． 故选：B． 【点睛】本题考查了倒数、相反数，解本题的关键在熟练掌握倒数和相反数的定义． 4．图所示，在数轴上标出了有理数a，b，c的位置其中0是原点，则，，，大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据数轴上的位置判断a、b、c的大小，再取特殊值进去比较其倒数大小即可． 【详解】根据a、b、c在数轴上的位置，可以取特殊值判断其倒数的大小， 可以取、、， 则、、， 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴、倒数和有理数比较大小的知识点，采用特殊值法代入比较是解题的关键． 5．（1）的倒数是______； （2）的倒数是______； （3）的倒数是______； （4）的倒数是______． 【答案】 ## 【分析】乘积为的两个数互为倒数，据此解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴的倒数是； （2）∵，， ∴的倒数是； （3）∵，， ∴的倒数是； （4）∵，， ∴的倒数是． 有理数的乘法运算律题型06 1．（25-26七年级上·天津·期中）一般地，“一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加．”对于以上运算律，用符号语言可以描述为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题干描述的是乘法分配律，即一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与两个数相乘再相加，选项A的符号表示与此一致. 【详解】解：∵乘法分配律的符号表示为 ， ∴故选：A. 2．这里运用了乘法的（　　）． A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．分配和结合律 【答案】C 【分析】本题考查了乘法分配律的理解，熟练掌握乘法分配律的特点是解答此题的关键．根据乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再将所得的积相加（或相减），结果不变，由此进行解答即可． 【详解】解：根据乘法分配律的特点是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，依此可判断运用了乘法分配律的逆向运算． 故选：C． 3．下列各式中，运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了乘法运算律，根据乘法的交换律，结合律和分配律逐项进行判断即可． 【详解】解：A．，运用乘法的交换律正确，故A正确，不符合题意； B．运用乘法的交换律和结合律正确，故B正确，不符合题意； C．运用乘法的结合律正确，故C正确，不符合题意； D．，在用乘法分配律时，漏乘，故D错误，符合题意． 故选：D． 4．（24-25七年级上·云南昆明·联考）下面各图中，不能说明与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了乘法分配律，解题的关键是读懂题意． 根据四个选项中的图只列出能用式子“”或“”表示即可，根据乘法分配律，． 【详解】解：A、6厘米厘米厘米总长度，不能用“”或“”表示．即不能说明“”与“”相等． B、总价是元，根据乘法分配律就是元．可以用“”或“”表示，即能说明“”与“”相等． C、总面积为平方厘米，根据乘法分配律就是平方厘米．能说明“”与“”相等． D、两种颜色的珠子一共有珠子个，根据乘法分配律就是个．即能说明“”与“”相等． 故选：A． 5．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）在下列算式每一步后面填上这一步应用的运算律： （( )） （__________） （__________） 【答案】 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 【分析】本题考查了乘法交换律、结合律以及分配律，熟练掌握乘法的运算法则及运算规律是解决本题的关键． 【详解】解： （乘法交换律， （乘法结合律 （乘法分配律 故答案为：乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律． 利用有理数乘法运算律进行简便运算题型07 1．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的简便运算——乘法分配律，掌握有理数的乘法分配律是解题的关键．根据有理数的乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：， 把变形成最合适的形式是， 故选：A． 2．若，则的值可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用有理数的乘法运算律进行变形、求解． 【详解】解：， ． 3．计算： ____． 【答案】 【分析】利用简便方法，提公因数使其凑整，分组相乘使其凑整即可． 【详解】　 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数的简便运算，解题的关键是熟练掌握简便方法． 4．（24-25七年级上·北京·期末）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据乘法分配律计算即可． 【详解】解： 5．计算． (1) (2) 【答案】(1)1 (2)2 【分析】本题考查了乘法运算律分配律的运用；根据题目特点正用或逆用是解题的关键； （1）把分母中拆成，然后运用分配律即可； （2）把被除数中带分数化为假分数，再逆用分配律，最后约分即可． 【详解】（1）解： = = = ； （2）解： ． 多个有理数的乘法运算题型08 1．下列运算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数的乘法运算法则. 根据有理数的乘法法则，把各个选项中的算式进行计算，然后进行判断即可. 【详解】解：A、选项说法正确，不符合题意； B、选项说法错误，符合题意； C、选项说法正确，不符合题意； D、选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级上·浙江·月考）绝对值小于3.1的负整数的积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数的乘法运算，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据绝对值的定义求出绝对值小于3.1的负整数有，再求这些负整数的积即可． 【详解】解：绝对值小于3.1的负整数有， ∴它们的积为， 故答案为：． 3．（2026·河南南阳·模拟）已知四个互不相等的整数a，b，c，d满足，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，先找出的所有整数因数，再根据四个互不相等的整数的条件确定这四个数，最后计算它们的和即可． 【详解】解：是四个互不相等的整数，且， 这四个整数中必有两个负整数和两个正整数， 将33分解为四个互不相等的整数的乘积， ， 这四个整数是或， 或， 故答案为：． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)80 (2)0 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题关键． （1）根据有理数的乘法法则计算即可得； （2）几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0，由此即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． 5．小明有7张写着不同数字的卡片：，，，0，，，，他想从中抽取3张，使这三张卡片上的数字之积最大，应如何抽取？积最大是多少？ 【答案】抽取、、三张卡片，数字之积最大，积为90 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的大小比较，根据同号得正，异号得负，正数大于一切负数列式计算即可得解． 【详解】解：3张卡片数字之积最大的为： ， 所以抽取、、三张卡片，数字之积最大，积为90． 有理数的乘法在数轴上的应用题型01 1．已知有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较数的大小，有理数绝对值的性质，乘法和加法计算，解题的关键是掌握相关法则并应用． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， 故选：D． 2．如图，数轴上有①，②，③，④四部分，数轴上的三个点分别表示数a，b，c且，，则原点落在（   ）    A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴．根据，，逐一判断各选项即可． 【详解】解：， 原点在的右侧，故段①排除，选项A不符合题意； 假设：当原点在段②时，，，，可得，故原点不在段②，选项B不符合题意； 假设：当原点在段③时，，，，可得，故原点在段③，选项C符合题意； 假设：当原点在段④时，，，，可得，故原点不在段④，选项D不符合题意； 综上，原点落在段③， 故选：C． 3．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）如图所示，被遮挡的所有数字之积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，有理数乘法，根据数轴可以得到被遮挡的所有数字，然后利用有理数乘法法则即可求解，掌握知识点的运用是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，被遮挡的所有数字为：，，，，， ∴所有数字之积为， 故答案为：． 4．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中 A，B 两点的距离为3，B，C 两点的距离为1．设点 A，B，C 所对应的数的和是m，积是n． (1)①若以点B为原点，写出点 A，C所对应的数，并计算m的值； ②若以点C为原点，m又是多少？ (2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且点C与原点的距离为4，求n的值． 【答案】(1)①点，所对应的数分别是，，  ② (2) 【分析】此题考查的是数轴上的点所表示的数、有理数加法和有理数乘法，掌握求数轴上的点所表示的数、加法法则和乘法法则是解决此题的关键． （1）①根据题意，若以B为原点时，分别写出点A、C所表示的数，从而求出m； ②若以C为原点，分别写出A、B所表示的数，从而求出m； （2）根据题意，分别求出A、B、C所表示的数，即可求出n的值. 【详解】（1）解：①因为点为原点， A，B 两点的距离为3，B，C 两点的距离为1， 所以点，所对应的数分别是，， 则； ②因为点为原点， A，B 两点的距离为3，B，C 两点的距离为1， 所以点，所对应的数分别是，， 则； （2）解：由题意，得点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是， 则． 5．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值. 【答案】(1)5 (2)6 (3)点P表示的数为2或4，或7 (4)当在之间时，点表示的数为，；当在点左边时，点P表示的数为， 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点P到点A的距离与点B到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点P在线段上，从而得出整点所表示的数； （3）由题意可求出点P表示的数是2或4，进而即可求出n的值； （4）分两种情况讨论：当P在之间时，，点P表示的数为，此时；当P在点A左边时，，点P表示的数为，此时． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为2，点A表示的数是，点B表示的数是3， ∴点P到点A的距离为4，到点B的距离为1， ∴点P到点A的距离与点B到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴， 故答案为：5． （2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴，即P在线段AB上， ∴整点P所表示的数是，0，1，2，3，共6个， 故答案为：6． （3）解：∵点P到点B的距离为1， ∴点P表示的数为2或4， ①当点P表示的数为2时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，此时； ②当点P表示的数为4时，点P到点A的距离为，到点B的距离为， 点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，此时； 点P表示的数为2或4，或7． （4）解：①当P在之间时，，点P表示的数为：，此时； ②当P在点A左边时，，点P表示的数为：，此时． 点P表示的数为或，或15． 相反数、倒数、绝对值的综合题型02 1．下列说法正确的个数是（   ） ①的相反数是2024；②的绝对值是2024；③的倒数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查相反数、绝对值、倒数的含义，只有符号相反的两个数叫做互为相反数，数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，乘积为的两个数互为倒数，熟知定义是解题的关键． 【详解】解：①的相反数是2024，说法正确； ②的绝对值是2024，说法正确； ③的倒数是，说法正确； 故选A． 2．（26-27七年级上·浙江·月考）如果，互为相反数；，互为倒数；的绝对值等于2，那么的值为（     ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴． ∵，互为倒数， ∴． ∵， ∴． ∴原式． 3．（24-25七年级上·四川泸州·月考）学完《有理数》之后，甲同学对乙同学说：“为最小的正整数，b是最大的负整数，c是倒数等于自身的有理数，你知道等于多少？”乙同学脱口答出正确答案是（   ） A．0 B． C．1或 D．1或2 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数，绝对值，倒数的定义等知识．根据最小的正整数是1，最大的负整数是，倒数等于自身的有理数，求出即可． 【详解】解：为最小的正整数， ； 是最大的负整数， ； ∵是倒数等于自身的有理数， ∴． ∴当时，； 当时，． 故选：C． 4．（25-26七年级·内蒙古·期中）的相反数是__________；的绝对值是__________；的倒数__________． 【答案】 #### ## 【分析】根据相反数、绝对值、倒数的定义，分别对三个数进行计算求解即可． 【详解】解：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，可得的相反数是； 根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，可得； 将化为分数得，根据倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数， 可得，即的倒数是． 5．（24-25七年级上·重庆·月考）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2或6 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，绝对值的非负性，有理数的乘法和减法计算，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义． （1）根据绝对值的意义得到，，根据乘法计算法则得到或，据此代值计算即可； （2）根据绝对值的非负性得到，则，，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴或， ∴或， ∴的值为； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴或， ∴的值为2或6． 有理数的乘法中新定义类题型01 1．若，是有理数，定义一种新运算：，计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了定义新运算和有理数的混合运算，按照新定义运算列出算式，然后通过有理数运算法则即可求解，理解新运算规定的运算法则，有理数运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 2．若规定，则________． 【答案】 ## 【分析】先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算，每次运算先比较两个数的大小，再根据新定义对应的法则计算即可 【详解】解：先计算括号内的 ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴ 3．定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为______． 【答案】0 【分析】本题为新定义问题，考查了绝对值的意义，有理数混合运算，有理数的大小比较等知识．根据绝对值的意义求出，，再分，、，、，、，分别求出的值，比较大小，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∵， ∴的最大值为0． 故答案为：0 4．探究并解决问题： 对有理数a，b定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”． 按照“乘减法”运算的算式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． (1)请将下面整理的“乘减法”法则补充完整：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 异号得 ，并 ；绝对值相等的两数相“乘减”，都得 ；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)计算：． (3)有理数加法和乘法都有结合律，结合律在有理数的“乘减”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举一反例即可）． 【答案】(1)正；负；用较大的绝对值减去较小的绝对值；0 (2) (3)不适用，例如：，而，两者不相等 【分析】（1）根据题中的“乘减法”的算式，归纳出其计算得法则即可； （2）根据“乘减法”的运算法则计算即可； （3）举例，，即可判断结果． 【详解】（1）解：根据题意，“乘减法”法则为：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正；负；用较大的绝对值减去较小的绝对值；0． （2）解： ； （3）解：不适用． 例如：，而，两者不相等． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘法，有理数的加法，有理数加法的结合律，有理数乘法的结合律，正确理解新定义运算的法则是解题的关键． 5．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 【答案】(1)①；；②； (2)①；② 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解． （1）①根据定义即可求解； ②举例，，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值； （2）①直接利用规律进行求解； ②由已知可知：要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的，从而得到：这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、，从而得出结论． 【详解】（1）解：①， ， ， 故答案为：；． ②例如：， ， 通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值， 用a，b的式子表示出一般规律为． 故答案为：；． （2）解：①； ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的， 这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、， 这个值的和的最小值是， 故答案为：． 有理数乘法运算中的规律问题题型02 1．（24-25七年级上·广西南宁·月考）如图，是一个简单的数值运算程序，当输入的数值x为3时，其输出的结果为（      ） A．8 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． 根据程序按照步骤计算即可． 【详解】当输入的x值为3时， 计算如下：． 故选：B． 2．（24-25七年级上·福建三明·期末）如图，这个方格中每个方格都表示一个数，且每相邻三个数之积为，则表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法，得出是解题的关键．根据每相邻三个数之积为，可得即可求解． 【详解】解：由题意得：， ， 每相邻三个数之积为， ，即， ， 故选：C． 3．（24-25七年级上·河南洛阳·月考）如图，按以下规律，在第四个正方形内填入的数是______． 【答案】 【分析】本题考查的是多个有理数的乘法运算，由观察发现前面三个小正方形内的数据等于顶点处的四个数据的乘积，从而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， 即四个角的数字相乘所得乘积即为正方形内的数字， ∴第四个正方形内的数据为：， 故答案为： 4．一只青蛙在数轴上从表示1的点出发，每次跳动的距离都是整数，如果它只能在表示1，2，3......，2020的点上跳动，经过2020次跳动后又回到出发点，需要保证每个点都至少跳到一次，那么青蛙所跳过的全部路径的最大长度是______． 【答案】2040200 【分析】要让总路径最长，每次跳动的距离就要尽可能大，数轴上最远的距离是在两端点之间，即1和2020之间，距离为2019，其次是2和2020之间，距离是2018等，将总距离相加即可得到最大长度． 【详解】解：我们要用 2020 次跳动，走完所有点并回到 1， 我们可以尝试让青蛙在每一对点之间来回跳，这样每次都是最大距离， 计算这种“之”字形路线的步数和距离： 第 1 跳：1到2020（距离 2019），到达 2020（新点）， 第 2 跳：2020到2（距离 2018），到达 2（新点）， 第 3 跳：2到2019（距离 2017），到达 2019（新点）， 第 4 跳：2019到3（距离 2016），到达 3（新点），   以此类推，每次跳动的距离依次为：2019，2018，2017，， 1 （共 2019 次），最后一次是 1010， 总长度 ∴青蛙跳过的最大路径是． 5．阅读下面的材料： ； ； 根据以上信息，计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先去括号再利用乘法运算律计算即可； （2）先去括号再利用乘法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $