2.2有理数的减法（分层作业，12大题型）数学新教材浙教版七年级上册

分层作业 2.2 有理数的减法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 有理数的减法法则 题型02 有理数减法与实际应用 题型03 有理数加减法的混合运算 题型04 有理数加减中的简便运算 题型05 省略加法和括号的形式 题型06 有理数加减混合运算的应用 B组 能力进阶 题型01 有理数的减法在数轴上的应用 题型02 有理数加减混合运算拆项法 题型03 判断有理数的计算过程是否正确 题型04 数轴与有理数加减运算法则的综合 题型05 有理数加减运算法则与绝对值的综合 C组 思维拔高 题型 规律探究题 有理数的减法法则题型01 1．计算的结果等于（  ） A．3 B． C．9 D．18 【答案】A 【分析】原式利用减法法则变形，计算即可得到结果． 【详解】解：原式， 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键． 2．设表示大于的最小整数，如，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的减法，根据题意表示大于的最小整数，即可得出答案． 【详解】解：∵表示大于的最小整数， ． 故选：B． 3．计算：________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，求一个数的绝对值，先计算绝对值，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．定义一种新运算：，如，按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意可得， ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解题干中的新定义运算． 5．（25-26七年级上·北京·月考）钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如现在是10时，4小时以后是几时？虽然，但在表盘中看到的是2时．如果用符号“⊕”表示钟表上的加法，则．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“⊖”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替12时．） 根据材料解决下列问题： (1)______，______． (2)在有理数运算中相加得0的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，那么5的相反数是______．有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”，在钟表运算中是否仍然成立，你能举例说明吗？ (3)规定在钟表运算中也有，对于钟表上的任意数字a，b，c，若，判断是否一定成立．若一定成立，请说明理由；若不一定成立，请举出反例并加以说明． 【答案】(1)5；10 (2)7；有理数减法法则在钟表运算中仍然成立， 如：，钟表运算中5的相反数是7， ， 所以； (3) 解：不一定成立， 如：钟表运算中，， 但，， 所以． 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是理解“⊕”“⊖”表示的意义． （1）根据钟表的定义及钟表上的加减法定义即可求解； （2）根据钟表运算中相反数的定义即可求解； （3）根据钟表运算的定义举出反例即可验证． 【详解】（1）解：，， 故答案为：5，10； （2）解：， 所以在钟表运算中沿用这个概念，那么5的相反数是7； （3）略 有理数减法与实际应用题型02 1．某市某天的最高气温为5℃，最低气温为﹣6℃，那么这天的最高气温比最低气温高（　　） A．﹣11℃ B．﹣6℃ C．11℃ D．6℃ 【答案】C 【分析】根据有理数的减法法则列式计算即可． 【详解】解：5﹣（﹣6）， ＝5+6， ＝11（℃）， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 2．（26-27七年级上·广西·月考）一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，半夜的气温是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得， ∴半夜的气温是． 3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）2025年9月3日的胜利日，全球华人都在观看祖国盛大的阅兵式，下表是国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/时 如果现在是北京时间9月3日9时，那么现在的纽约时间是（  ） A．9月3日13时 B．9月2日20时 C．9月2日3时 D．9月3日20时 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，熟练掌握时差的计算方法是解题的关键．根据时差定义，明确纽约时间与北京时间的时间差关系，通过北京时间计算纽约时间． 【详解】∵北京时间是月日时，纽约时差为小时， ∴纽约时间小时，即为9月2日的 时，也就是9月2日20时 故选：． 4．（25-26下·黑龙江绥化·期末）吐鲁番盆地最低点海拔为，珠穆朗玛峰峰顶海拔为，两地相对高度是________． 【答案】 【详解】解： ∴两地相对高度为． 5．（25-26七年级上·福建福州·期中）小崔买了6袋标注净含量为的粗粮饼干，他对每袋饼干的实际净含量进行了检测，与标注净含量的差值如下表： 食品 第1袋 第2袋 第3袋 第4袋 第5袋 第6袋 与标注净含量的差/g (1)哪袋饼干的质量最接近标注净含量？请说明理由； (2)这6袋饼干的实际净含量是多少？ 【答案】(1)第4袋饼干的质量最接近标注净含量，理由如下： 因为， 所以第4袋饼干的质量最接近标注净含量； (2)这6袋饼干的实际净含量是1809克． 【分析】考查正数、负数的意义，理解绝对值的意义是正确判断的关键． （1）求出各袋高于或低于标准质量的绝对值，根据绝对值的大小做出判断； （2）根据正负数的意义，利用有理数的加减运算即可． 【详解】（1）略； （2） ， 这6袋饼干的实际净含量是1809克． 有理数加减法的混合运算题型03 1．（26-27七年级上·辽宁兴城·月考）定义新运算“”：对任意有理数，规定 ．则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新运算法则计算即可 【详解】解：， ． 2．计算：______． 【答案】17 【分析】本题考查有理数的加减运算，需运用有理数的加减法则进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：17． 3．（24-25七年级上·河南三门峡·期末）定义：对于任意有理数，符号表示不大于的最大整数，例如，，，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，新定义，根据新定义分别求出的结果，再根据有理数的加减计算法则计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·四川达州·质检）计算 (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，化简绝对值，运用有理数加法的运算律简化计算，熟练掌握有理数的加减混合运算是解题的关键． （1）先将减法转化为加法，再进行有理数的加法运算； （2）先计算绝对值，再进行有理数的加减混合运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）在如图的集合中选出两个整数和两个分数进行加减运算，并使运算结果符合下列要求． (1)运算结果为负整数；（写出一个符合要求的运算式子，并写出运算过程及运算结果） (2)运算结果为正分数；（只写出一个符合要求的运算式子即可） (3)运算结果为负分数．（只写出一个符合要求的运算式子即可） 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】此题主要考查有理数的加减，解题的关键是根据题意列出式子进行求解． （1）根据有理数的加减运算法则即可求解； （2）根据有理数的加减运算法则即可求解； （3）根据有理数的加减运算法则即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 有理数加减中的简便运算题型04 1．小磊解题时，将式子先变成再计算结果，则小磊运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】根据加法交换律和加法结合律进行计算即可求解． 【详解】解：将式子先变成再计算结果，则小磊运用了加法交换律和加法结合律 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法交换律和加法结合律是解题的关键． 2．（    ）． A．0 B． C．1010 D． 【答案】D 【分析】根据有理数加减法运算法则进行计算即可． 【详解】 ． 故选D 【点睛】本题考查了有理数加减法中的简便运算问题，掌握有理数加减法运算法则是解题的关键． 3．如图，步骤①的运算依据是______． 计算： ① ② . 【答案】加法的交换律 【分析】根据有理数的加减法法则解答即可． 【详解】解： ， 利用的是加法的交换律， 故答案为：加法的交换律． 【点睛】本题考查了有理数的加减法，解答本题关键是掌握有理数的加减运算法则． 4．将下列各式写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置： (1)；（使正负号相同的加数结合在一起） (2)；（使和为整数的加数结合在一起） (3)；（使分母相同或便于通分的加数结合在一起） (4)．（使计算简便） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解：     ； （3）解：     ； （4）解： ． 5．（25-26七年级上·四川广元·期中）计算∶ (1) (2) 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 省略加法和括号的形式题型05 1．对于式子的读法，下列正确的是（     ） A．负、负、正、负 B．负减加减的和 C．减减加减 D．负减加减 【答案】D 【分析】根据有理数的加减混合运算可得出此式子的读法为负减加减． 【详解】解：式子的正确读法是：负减加减． 2．（25-26七年级上·云南临沧·期中）不改变原式的值，把写成省略括号的和的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握去括号法则．根据去括号法则，括号前是“”时，去括号后各项符号不变；括号前是“”时，去括号后各项符号改变，由此求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 3．写成省略加号和的形式后为的式子是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的减法运算，减去一个数等于加上这个数的相反数对各选项进行省略整理即可得解． 【详解】A．，故本选项错误； B．，故本选项错误； C．，故本选项错误； D．，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的减法，主要是省略加号和的形式的练习，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 4．（25-26七年级上·甘肃平凉·月考）算式可以省略算式中的括号和加号，把它写为___________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据加减运算法则省略算式中的括号和加号是解题的关键． 根据加减运算中的符号法则，进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 5．把写成省略加号的和的形式，并把它读出来． 【答案】；读作：3、负20、5、负7的和，也可读作：3减20加5减7 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数加减混合运算中，先把加减法统一成加法后，再写成省略加号和括号的和的形式，再进行解答即可． 【详解】解： ． 读作：3、负20、5、负7的和，也可读作：3减20加5减7． 有理数加减混合运算的应用题型06 1．向阳村气象站记录：清晨气温为，中午比清晨上升了，傍晚又下降了．傍晚的气温是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用清晨温度加上上升的温度，再减去下降的温度即可． 【详解】解：根据题意，傍晚气温为． 2．（25-26七年级·广东珠海·质检）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，如果一组开锁密码为“，，”，要想打开锁，旋转转盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示的数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算的实际应用，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 首先列式得到，得到标记线按顺时针转了格，进而求解即可． 【详解】解：∵一组开锁密码为“，，” ∴， ∴标记线按顺时针转了格， ∵ ∴锁打开时标记线对准的刻度线表示为， 故答案为：． 3．（25-26七年级·期末）备战2025年“赣超”足球比赛训练中，为了训练球员快速抢断转身，教练在东西方向的足球场上画了一条直线，要求球员在这条直线上进行折返跑训练．约定向东为正，向西为负，某球员的一组折返跑练习记录如下(单位：米)：，，，，，． (1)最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)该球员在这一组练习过程中，共跑了多少米？ 【答案】(1)最后到达的地方在出发点的东边，距出发点 (2)共跑了 【分析】本题考查的是有理数加减法的应用． （1）根据有理数加减法法则计算即可； （2）利用绝对值的性质以及有理数加法法则求出即可． 【详解】（1）解：， 故最后到达的地方在出发点的东边，距出发点． （2）解：， 答：共跑了． 4．（25-26七年级上·山东青岛·月考）下表为某个雨季某地一条河流一周以来的水位变化情况．上周日水位为50米．（注：正数表示水位比前一天上升，负数表示比前一天下降） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/米 (1)本周哪一天水位最高，哪一天水位最低，最高水位是多少？ (2)本周日与上周日相比较，水位是上升了还是下降了？ 【答案】(1)本周星期二水位最高，星期一水位最低，最高水位是51米； (2)本周日与上周日相比较，水位是上升了 【分析】本题主要考查了有理数的加减法的实际应用，正负数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据求出这七天中每一天的水位即可得到答案； （2）用本周日的水位减去上周日的水位即可得到答案． 【详解】（1）解：星期一的水位为米， 星期二的水位为米， 星期三的水位为米， 星期四的水位为米， 星期五的水位为米， 星期六的水位为米， 星期日的水位为米， 答：本周星期二水位最高，星期一水位最低，最高水位是51米； （2）解：米， 答：本周日与上周日相比较，水位是上升了． 5．有一口深90厘米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 0 (1)除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是______厘米；青蛙距离井口的最近距离是______厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一周，若青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 【答案】(1)2；59； (2) (3)青蛙在第25次跳出了井口 【分析】本题考查正数和负数，有理数的混合运算，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义． （1）分别将这7天的正数和负数相加，可得青蛙向上跳跃的距离，再利用90与其相减可得结论； （2）先计算最后一天青蛙跳跃下滑后距离，再利用90与其相减可得结论； （3）一周为，21天即为三周，上升，利用依次作差，注意最后一天只计算跳跃的距离即可． 【详解】（1）解：第一次跳跃下滑后； 第二次跳跃下滑后； 第三次跳跃下滑后； 第四次跳跃下滑后； 第五次跳跃下滑后； 第六次跳跃下滑后； 第七次跳跃下滑后； 青蛙距离井底的最近距离是2厘米；青蛙距离井口的最近距离是厘米， 故答案为：2；59； （2）， 即在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有； （3）周……， 即第21次后，距离井口：， 第22次后，距离井口：， 第23次后，距离井口：， 第24次后，距离井口：， 第25次后，，此时跳出井口， 故青蛙在第25次跳出了井口． 有理数的减法在数轴上的应用题型01 1．（26-27七年级上·安徽六安·月考）在数轴上，点P表示的数是，到点P距离4个单位的点表示的数是（     ） A． B．或 C．9 D．或9 【答案】B 【分析】到点距离为4个单位的点有两个，分别位于点的左右两侧，需分情况计算． 【详解】解：∵点表示的数是， ∴到点距离4个单位的点表示的数为或． 2．如图1，点A，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点对应刻度，点对应刻度.则数轴上点所对应的数为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，结合图1和图2求出1个单位长度，再求出求出之间在数轴上的距离，即可求解；利用数形结合思想解决问题是本题的关键． 【详解】解：由图1可得，由图2可得， ∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为， ∵， ∴（单位长度）， ∴在数轴上点B所对应的数； 故选：C． 3．已知在数轴上点A所表示的数是，如果将点A向左移动3个单位长度得到点B，那么点B所表示的数是______，如果将点A向右移动5个单位长度得到点C，那么点C所表示的数是______． 【答案】 【分析】数轴上点移动遵循左减右加的计算规则，根据点A表示的数，分别计算移动后点B、点C表示的数即可． 【详解】解：∵A表示的数为，点B由点A向左移动个单位长度得到， ∴点B表示的数为， ∵点C由点A向右移动个单位长度得到， ∴点C表示的数为． 4．如图，数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中点C为原点，点A、B、D所对应的数分别为、、1． (1)请在图中标出点B、C的位置． (2)用“”把点A、B、C、D表示的数连接起来． (3)一个点从点A出发，移动5个单位长度到达点E，点E对应的数是________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据数轴的性质解答即可； （2）根据数轴的性质解答即可； （3）分两种情况：①点在的左侧，②点在的右侧，列式计算即可． 【详解】（1）略． （2）解：由数轴的性质可知，． （3）解：①当点在的左侧时，点对应的数是； ②当点在的右侧时，点对应的数是； 综上，点对应的数是或． 5．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）定义： 若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． 理解： （1）数轴上表示数和的两点之间的距离是_____； （2）若，求的值； （3）若，则的值为_____； （4）当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是_____． 应用： （5）某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们分别有快递车16辆，8辆，4辆，12辆．为了使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动若干辆车．请你设计3种不同的调动车辆方案，使得调动车辆的总数最少，并直接写出调动的最少车辆数． 【答案】（1）6； （2）或； （3）或3； （4）； （5）根据题意，提供5种不同的调动车辆的方案，图表语言表述如下： 由图可知，调动的最少车辆数为：辆． 【分析】本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离的含义即可求解． （2）根据绝对值的意义即可求解． （3）分在的左侧、数在1的右侧两种情况作图，根据作图解答即可求解． （4）由可得代数式表示x到1和的距离之和，据此即可求解． （5）根据题意画出图形，再根据图形即可求解． 【详解】解：（1）由题意得，数轴上表示数和5的两点之间的距离是6， 故答案为：6； （2）解： 或 或． （3）在数轴上表示数到1和的距离之和等于8， 如图所示：①当数在的左侧时， ． ②当数在的右侧时， ． 故答案为：或3； （4）代数式表示数到1和的距离之和， 当在和1之间，即时，最小，最小值为， 故答案为：． （5）略 有理数加减混合运算拆项法题型02 1．阅读材料：对于，可以进行如下计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆数法，仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】先将每一个带分数拆为整数和真分数两部分，再分别相加，最后求出结果，即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，理解阅读材料中拆数法是解题的关键． 2．（26-27七年级上·内蒙古通辽·月考）某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算： 小明：对于这道试题我采用直接运算的方法． 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式 小明：这种方法很有趣，先拆项，然后运用了运算律使运算变得容易，值得推荐． 任务： (1)小明说的运算律是 和 ； (2)题干中横线上空缺的计算结果是 ； (3)按小亮的方法计算： 【答案】(1)加法交换律，加法结合律 (2) (3) 【分析】（1）根据解题过程可知运用了加法交换律和加法结合律． （2）计算整数部分即可． （3）按照小亮的拆项法，分数拆分为整数和分数，运用加法交换律和结合律，将整数部分和分数部分分别组合． 【详解】（1）解：根据题意可知，小明说的运算律是加法交换律和加法结合律． （2）解：， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ． 3．（25-26七年级上·陕西延安·期中）阅读下面的文字，并回答问题： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)2021 【分析】本题考查了分数的简便运算． （1）将每个带分数分为整数部分和分数部分，分别计算后再合并； （2）将每个带分数分为整数部分和分数部分，分别计算后再合并． 【详解】（1）解： （2）解： ． 4．计算： 【答案】 【分析】本题考查了带分数的加法运算，计算带分数的和，先分别计算整数部分和分数部分的和，再合并结果，整数部分为5个3相加，分数部分通分后分子相加． 【详解】解：原式 ． 5．脱式计算．（能简算的要简算） 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，先根据把所求式子裂项，再根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ． 判断有理数的计算过程是否正确题型03 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的加减混合运算法则计算，逐项判断即可． 【详解】A. ，原计算错误，故本项不符合题意；     B. ，原计算错误，故本项不符合题意； C. ，计算正确，故本项符合题意； D. ，原计算错误，故本项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握相应的运算法则，是解答本题的关键． 2．笑笑在计算时，错误地将题抄写成了，要修正错误，需要将笑笑得到的结果（    ）． A．减0.09 B．加0.09 C．减0.92 D．加0.92 【答案】B 【分析】利用两个算式被减数相同的特点，通过减数的差值推导结果的修正量. 【详解】解：正确算式为，错误算式为. 正确结果与错误结果的差为. 所以错误结果比正确结果少，需将错误结果加修正. 3．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）请指出下面计算从哪一步开始出错（   ） ① ② ③ ．④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据计算过程并结合运算法则分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 由计算过程可得，计算错在第②步， 故选：B． 4．（25-26七年级上·福建·月考）下面是小强同学计算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 (1)第一步的依据是______（填运算律）， 第二步的依据是______（填运算律）； (2)第______步开始出现错误； (3)该计算题正确的计算结果是：______． 【答案】(1)加法的交换律，加法的结合律 (2)三 (3) 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，运算定律，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据加法的交换律与结合律可得答案． （2）根据减法运算法则可得答案． （3）根据加减运算法则结合运算律进行计算即可． 【详解】（1）解：第一步的依据是：加法的交换律． 第二步的依据是：加法的结合律． 故答案为：加法的交换律，加法的结合律； （2）解：第三步开始出现错误，第三步括号中的减法运算计算错误． 故答案为：三； （3）解： ， ， ， ． 故答案为：1． 5．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）在计算时，由于不小心，减数被墨水污染． (1)嘉淇误将后面的“”看成了“”，从而算得结果为，请求出被墨水污染的减数； (2)请你正确计算此道题． 【答案】(1)2.5； (2)． 【分析】本题考查了有理数的减法，解题的关键是： （1）由两个加数与和的关系，即可求出被墨水污染的数； （2）把求出的被墨水污染的数代入算式计算，即可得出正确结果． 【详解】（1）由题意，得被墨水污染的数为； （2）． 数轴与有理数加减运算法则的综合题型04 1．（25-26七年级上·福建福州·期中）若把笔尖放在数轴的原点，先向左移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度，则这时笔尖位置表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的动点问题，笔尖从数轴原点出发，向左移动表示减少，向右移动表示增加，通过连续移动后的加减运算得到最终位置． 【详解】解：由题意，笔尖位置表示的数是； 故选A． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·月考）如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义以及有理数的加减法，熟练掌握基本知识是解题的关键；根据绝对值的意义以及有理数的加减法，数形结合求解即可． 【详解】解：．， ，， ， 故本选项不符合题意； ．，， ， 故本选项不符合题意； ．， ， 故本选项符合题意； ．， ， 故本选项不符合题意； 故选：． 3．（25-26七年级·期末）规定：，．例如，．则的最小值是________． 【答案】5 【分析】本题考查求代数式的最值问题及绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义．根据题意将表示出来，利用数轴上点到两点的距离和求最小值即可． 【详解】解：由定义，，， 故． 此式表示数轴上点到点和点的距离之和． 故当在到之间（含端点）时，距离之和最小，最小值为． 故答案为：5． 4．（24-25七年级上·浙江嵊州·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示1和3两点之间的距离是 __________； 数轴上表示2和的两点之间的距离是 __________； 数轴上表示和的两点之间的距离是__________； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 __________； (3)若x表示一个有理数，且，则__________； 【答案】(1)2，7，6 (2) (3)6 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据两点间距离的计算方法分别列式计算即可； （2）根据两点间距离的计算方法分别列式计算即可； （3）根据两点间距离的计算方法分别列式计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示1和3两点之间的距离是； 数轴上表示2和的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点之间的距离是 故答案为：2；7；6； （2）解：因为在数轴上、两点之间的距离 所以数轴上表示和的两点之间的距离表示为．； 故答案为：； （3）解：表示数x表示的点到数2和表示点的距离之和， ∵， ∴． 故答案为：6． 5．（24-25七年级上·广西南宁·月考）数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．如图，在数轴上有理数a对应的点为A，有理数b对应的点为B，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为． 【解决问题】 （1）数轴上有理数与1对应的两点之间的距离是______； （2）数轴上有理数与对应的两点之间的距离是______（用含的式子表示）； （3）试用数轴探究：时，______． 【拓展应用】 （4）利用绝对值的几何意义，结合数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值． 【答案】（1）4；（2）；（3）或；（4）最小值为7，整数x可以取的数有 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何意义，有理数加减法即可： （1）根据两点距离公式求解即可； （2）根据两点距离公式求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得表示的是数轴表示数的点与表示数1的点的距离为4， 据此根据两点距离计算公式求解即可； （4）由绝对值的几何意义可知表示的是数轴上表示x的点到表示的点和表示2的点的距离之和，则当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解；（1）由题意可得与1对应的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）数轴上有理数与对应的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）表示的是数轴表示数的点与表示数1的点的距离为4， ∴或， 故答案为：或； （4）由绝对值的几何意义可知表示的是数轴上表示x的点到表示的点和表示2的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴整数x可以取的数有． 有理数加减运算法则与绝对值的综合题型05 1．（2026·湖南·模拟）在地理研究中，需要对不同地区的海拔高度进行分析．对于甲、乙、丙三个地区，先将每两个地区的海拔高度作差（高海拔减去低海拔，海拔相等时差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这三个地区海拔高度的“海拔差值运算”．例如，甲地区海拔为0米，乙地区海拔为1米，丙地区海拔为3米，那么． ①若甲地区海拔为米，乙地区海拔为5米，丙地区海拔为9米，进行“海拔差值运算”的结果是24； ②设丁地区海拔x米，戊地区海拔为米，己地区海拔为6米，它们的海拔差值运算的最小值是15； ③设庚地区海拔为x米，辛地区海拔为y米，壬地区海拔为z米，它们的“海拔差值运算”化简结果可能存在的不同表达式共有5种． 以上说法正确的个数有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据“海拔差值运算”的定义，通过分类讨论， 逐个验证三个说法即可解答． 【详解】解：①：∵三个海拔大小关系为， ∴运算结果为，即①正确； ②：对三个海拔，分三种情况讨论： 当，结果为，当 时，得最小值 ； 当，结果为，结果恒为 ； 当，结果为，当时，取最小值； ∴运算结果的最小值为 ，不是 ，即②错误． ③：设三个海拔中的最大值为M，最小值为m，则运算结果为，从x、y、z中选取最大值和最小值，共有6种可能，即可能存在6种不同的表达式，故说法③错误． 综上，只有1个说法正确，选项 B符合题意． 2．（25-26七年级上·湖北黄石·质检）计算：______． 【答案】8 【分析】本题考查了有理数的绝对值、加减混合运算，需先计算绝对值，再将减法转化为加法进行计算． 【详解】解： ． 故答案为：8． 3．已知a是最大的负整数的相反数，，且．式子的值为__________． 【答案】5或1##1或5 【分析】根据有理数的概念求出，根据绝对值的性质求出的值，再根据非负数的性质列方程求解即可得到，将的值代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：是最大的负整数的相反数， , , 或, 或 , , 解得, 或 , 或, 的值为5或1 故答案为：5或1 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，还考查了绝对值的性质和有理数的概念． 4．（26-27七年级上·广东惠州·月考）若，求，的值． 【答案】， 【分析】根据绝对值的非负性可得，，即可求解． 【详解】解：由绝对值的性质得，， ， ，， ∴， ，． 5．已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加减运算．根据限制条件确定的取值是解题关键． （1）由可得，，即可求解； （2）由可得，或，，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 若， 则，， ∴或； （2）解：若， 则，或，， ∴或． 规律探究题题型 1．（24-25七年级上·福建泉州·月考）如图，数轴上点的初始位置表示的数为，现在点做如下移动：第次点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，，按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得：序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到表示的数为，表示的数为22，则可判断点与原点的距离不小于20时，n的最小值． 【详解】解：第1次点A向左移动3个单位长度至点，则表示的数为：；到原点的距离为， 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则表示的数为：； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则表示的数为：；到原点的距离为， 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则表示的数为：； 第5次从点向左移动15个单位长度至点，则表示的数为：；到原点的距离为， …； 以此类推： 表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：， 表示的数为：，到原点的距离为，表示的数为：，到原点的距离为，表示的数为：，到原点的距离为，表示的数为：，到原点的距离为，表示的数为：，到原点的距离为， ∴点与原点的距离不小于20时，n的最小值是13． 2．计算：1﹣（+2）+3﹣（+4）+5﹣（+6）…+2015﹣（+2016）＝　﹣___． 【答案】﹣1008 【分析】先去括号，再利用加法结合律简化计算即可求解． 【详解】解：原式＝（1﹣2）+（3﹣4）+…+（2015﹣2016） ＝﹣1+（﹣1）+…（﹣1） ＝﹣1008 故答案为：﹣1008 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，正确利用加法结合律是解题的关键． 3．（24-25七年级上·山东德州·月考）“”表示一种新的运算符号，已知，…按此规则，计算：______． 【答案】11 【分析】本题考查定义新运算，根据已有算式，得到，进行计算即可． 【详解】解：由题意，可知：； 故答案为：11． 4．有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，﹣1，8，这称为第一次操作；第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8；继续依次操作下去．问 （1）第一次操作后，增加的所有新数之和是多少？ （2）第二次操作后所得的新数串比第一次操作后所得的数串增加的所有新数之和是多少？ （3）猜想：第一百次操作后得到的新数串比第九十九次操作后所得的数串增加的所有新数之和是多少？ 【答案】（1）5；（2）5；（3）第一百次操作后得到的新数串比第九十九次操作后所得的数串增加的所有新数之和为5． 【分析】（1）先求得增加的新数，然后再依据加法法则进行计算即可； （2）先依据题目求得第二次操作后所得增加的新数字，然后再进行计算即可； （3）先找出其中的规律，然后依据规律进行计算即可． 【详解】（1）第一次操作后增加的新数是6，﹣1，则6+（﹣1）＝5． （2）第二次操作后所得的新数串比第一次操作后所得的数串增加的所有新数之和为3+3+（﹣10）+9＝5． （3）猜想：第一百次操作后得到的新数串比第九十九次操作后所得的数串增加的所有新数之和为5． 【点睛】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键． 5．观察下列等式 _________ 将以上三个等式两边分别相加得： . （1）猜想并写出： ； （2）直接写出下列各式的计算结果： ① ； ② ； （3）探究并计算：． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】（1）观察所给算式，根据观察到的规律写出即可； （2）①、②都是根据得出的规律展开，再合并，最后求出结果即可； （3）根据观察到的规律展开，然后合并，即可求出结果. 【详解】解：（1） 故答案为； （2）①原式=+…+=1-； ②原式=+…+=1-， 故答案为，； （3） 所以：原式=× =×=. 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，能根据已知算式得出这一规律是解题的关键. 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.2 有理数的减法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 有理数的减法法则 题型02 有理数减法与实际应用 题型03 有理数加减法的混合运算 题型04 有理数加减中的简便运算 题型05 省略加法和括号的形式 题型06 有理数加减混合运算的应用 B组 能力进阶 题型01 有理数的减法在数轴上的应用 题型02 有理数加减混合运算拆项法 题型03 判断有理数的计算过程是否正确 题型04 数轴与有理数加减运算法则的综合 题型05 有理数加减运算法则与绝对值的综合 C组 思维拔高 题型 规律探究题 有理数的减法法则题型01 1．计算的结果等于（  ） A．3 B． C．9 D．18 2．设表示大于的最小整数，如，，则（   ）． A． B． C． D． 3．计算：________． 4．定义一种新运算：，如，按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 5．（25-26七年级上·北京·月考）钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如现在是10时，4小时以后是几时？虽然，但在表盘中看到的是2时．如果用符号“⊕”表示钟表上的加法，则．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“⊖”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替12时．） 根据材料解决下列问题： (1)______，______． (2)在有理数运算中相加得0的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，那么5的相反数是______．有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”，在钟表运算中是否仍然成立，你能举例说明吗？ (3)规定在钟表运算中也有，对于钟表上的任意数字a，b，c，若，判断是否一定成立．若一定成立，请说明理由；若不一定成立，请举出反例并加以说明． 有理数减法与实际应用题型02 1．某市某天的最高气温为5℃，最低气温为﹣6℃，那么这天的最高气温比最低气温高（　　） A．﹣11℃ B．﹣6℃ C．11℃ D．6℃ 2．（26-27七年级上·广西·月考）一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，半夜的气温是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）2025年9月3日的胜利日，全球华人都在观看祖国盛大的阅兵式，下表是国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/时 如果现在是北京时间9月3日9时，那么现在的纽约时间是（  ） A．9月3日13时 B．9月2日20时 C．9月2日3时 D．9月3日20时 4．（25-26下·黑龙江绥化·期末）吐鲁番盆地最低点海拔为，珠穆朗玛峰峰顶海拔为，两地相对高度是________． 5．（25-26七年级上·福建福州·期中）小崔买了6袋标注净含量为的粗粮饼干，他对每袋饼干的实际净含量进行了检测，与标注净含量的差值如下表： 食品 第1袋 第2袋 第3袋 第4袋 第5袋 第6袋 与标注净含量的差/g (1)哪袋饼干的质量最接近标注净含量？请说明理由； (2)这6袋饼干的实际净含量是多少？ 有理数加减法的混合运算题型03 1．（26-27七年级上·辽宁兴城·月考）定义新运算“”：对任意有理数，规定 ．则的值为（     ） A． B． C． D． 2．计算：______． 3．（24-25七年级上·河南三门峡·期末）定义：对于任意有理数，符号表示不大于的最大整数，例如，，，则______． 4．（24-25七年级上·四川达州·质检）计算 (1) (2) 5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）在如图的集合中选出两个整数和两个分数进行加减运算，并使运算结果符合下列要求． (1)运算结果为负整数；（写出一个符合要求的运算式子，并写出运算过程及运算结果） (2)运算结果为正分数；（只写出一个符合要求的运算式子即可） (3)运算结果为负分数．（只写出一个符合要求的运算式子即可） 有理数加减中的简便运算题型04 1．小磊解题时，将式子先变成再计算结果，则小磊运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上均不正确 2．（    ）． A．0 B． C．1010 D． 3．如图，步骤①的运算依据是______． 计算： ① ② . 4．将下列各式写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置： (1)；（使正负号相同的加数结合在一起） (2)；（使和为整数的加数结合在一起） (3)；（使分母相同或便于通分的加数结合在一起） (4)．（使计算简便） 5．（25-26七年级上·四川广元·期中）计算∶ (1) (2) 省略加法和括号的形式题型05 1．对于式子的读法，下列正确的是（     ） A．负、负、正、负 B．负减加减的和 C．减减加减 D．负减加减 2．（25-26七年级上·云南临沧·期中）不改变原式的值，把写成省略括号的和的形式为（    ） A． B． C． D． 3．写成省略加号和的形式后为的式子是(    ) A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·甘肃平凉·月考）算式可以省略算式中的括号和加号，把它写为___________． 5．把写成省略加号的和的形式，并把它读出来． 有理数加减混合运算的应用题型06 1．向阳村气象站记录：清晨气温为，中午比清晨上升了，傍晚又下降了．傍晚的气温是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级·广东珠海·质检）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，如果一组开锁密码为“，，”，要想打开锁，旋转转盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示的数为_____． 3．（25-26七年级·期末）备战2025年“赣超”足球比赛训练中，为了训练球员快速抢断转身，教练在东西方向的足球场上画了一条直线，要求球员在这条直线上进行折返跑训练．约定向东为正，向西为负，某球员的一组折返跑练习记录如下(单位：米)：，，，，，． (1)最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)该球员在这一组练习过程中，共跑了多少米？ 4．（25-26七年级上·山东青岛·月考）下表为某个雨季某地一条河流一周以来的水位变化情况．上周日水位为50米．（注：正数表示水位比前一天上升，负数表示比前一天下降） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/米 (1)本周哪一天水位最高，哪一天水位最低，最高水位是多少？ (2)本周日与上周日相比较，水位是上升了还是下降了？ 5．有一口深90厘米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 0 (1)除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是______厘米；青蛙距离井口的最近距离是______厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一周，若青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 有理数的减法在数轴上的应用题型01 1．（26-27七年级上·安徽六安·月考）在数轴上，点P表示的数是，到点P距离4个单位的点表示的数是（     ） A． B．或 C．9 D．或9 2．如图1，点A，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点对应刻度，点对应刻度.则数轴上点所对应的数为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 3．已知在数轴上点A所表示的数是，如果将点A向左移动3个单位长度得到点B，那么点B所表示的数是______，如果将点A向右移动5个单位长度得到点C，那么点C所表示的数是______． 4．如图，数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中点C为原点，点A、B、D所对应的数分别为、、1． (1)请在图中标出点B、C的位置． (2)用“”把点A、B、C、D表示的数连接起来． (3)一个点从点A出发，移动5个单位长度到达点E，点E对应的数是________． 5．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）定义： 若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． 理解： （1）数轴上表示数和的两点之间的距离是_____； （2）若，求的值； （3）若，则的值为_____； （4）当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是_____． 应用： （5）某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们分别有快递车16辆，8辆，4辆，12辆．为了使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动若干辆车．请你设计3种不同的调动车辆方案，使得调动车辆的总数最少，并直接写出调动的最少车辆数． 有理数加减混合运算拆项法题型02 1．阅读材料：对于，可以进行如下计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆数法，仿照上面的方法，请你计算：． 2．（26-27七年级上·内蒙古通辽·月考）某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算： 小明：对于这道试题我采用直接运算的方法． 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式 小明：这种方法很有趣，先拆项，然后运用了运算律使运算变得容易，值得推荐． 任务： (1)小明说的运算律是 和 ； (2)题干中横线上空缺的计算结果是 ； (3)按小亮的方法计算： 3．（25-26七年级上·陕西延安·期中）阅读下面的文字，并回答问题： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算： (1)． (2)． 4．计算： 5．脱式计算．（能简算的要简算） 判断有理数的计算过程是否正确题型03 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．笑笑在计算时，错误地将题抄写成了，要修正错误，需要将笑笑得到的结果（    ）． A．减0.09 B．加0.09 C．减0.92 D．加0.92 3．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）请指出下面计算从哪一步开始出错（   ） ① ② ③ ．④ A．① B．② C．③ D．④ 4．（25-26七年级上·福建·月考）下面是小强同学计算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 (1)第一步的依据是______（填运算律）， 第二步的依据是______（填运算律）； (2)第______步开始出现错误； (3)该计算题正确的计算结果是：______． 5．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）在计算时，由于不小心，减数被墨水污染． (1)嘉淇误将后面的“”看成了“”，从而算得结果为，请求出被墨水污染的减数； (2)请你正确计算此道题． 数轴与有理数加减运算法则的综合题型04 1．（25-26七年级上·福建福州·期中）若把笔尖放在数轴的原点，先向左移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度，则这时笔尖位置表示的数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·月考）如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级·期末）规定：，．例如，．则的最小值是________． 4．（24-25七年级上·浙江嵊州·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示1和3两点之间的距离是 __________； 数轴上表示2和的两点之间的距离是 __________； 数轴上表示和的两点之间的距离是__________； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 __________； (3)若x表示一个有理数，且，则__________； 5．（24-25七年级上·广西南宁·月考）数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．如图，在数轴上有理数a对应的点为A，有理数b对应的点为B，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为． 【解决问题】 （1）数轴上有理数与1对应的两点之间的距离是______； （2）数轴上有理数与对应的两点之间的距离是______（用含的式子表示）； （3）试用数轴探究：时，______． 【拓展应用】 （4）利用绝对值的几何意义，结合数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值． 有理数加减运算法则与绝对值的综合题型05 1．（2026·湖南·模拟）在地理研究中，需要对不同地区的海拔高度进行分析．对于甲、乙、丙三个地区，先将每两个地区的海拔高度作差（高海拔减去低海拔，海拔相等时差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这三个地区海拔高度的“海拔差值运算”．例如，甲地区海拔为0米，乙地区海拔为1米，丙地区海拔为3米，那么． ①若甲地区海拔为米，乙地区海拔为5米，丙地区海拔为9米，进行“海拔差值运算”的结果是24； ②设丁地区海拔x米，戊地区海拔为米，己地区海拔为6米，它们的海拔差值运算的最小值是15； ③设庚地区海拔为x米，辛地区海拔为y米，壬地区海拔为z米，它们的“海拔差值运算”化简结果可能存在的不同表达式共有5种． 以上说法正确的个数有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26七年级上·湖北黄石·质检）计算：______． 3．已知a是最大的负整数的相反数，，且．式子的值为__________． 4．（26-27七年级上·广东惠州·月考）若，求，的值． 5．已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 规律探究题题型 1．（24-25七年级上·福建泉州·月考）如图，数轴上点的初始位置表示的数为，现在点做如下移动：第次点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，，按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 2．计算：1﹣（+2）+3﹣（+4）+5﹣（+6）…+2015﹣（+2016）＝　﹣___． 3．（24-25七年级上·山东德州·月考）“”表示一种新的运算符号，已知，…按此规则，计算：______． 4．有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，﹣1，8，这称为第一次操作；第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8；继续依次操作下去．问 （1）第一次操作后，增加的所有新数之和是多少？ （2）第二次操作后所得的新数串比第一次操作后所得的数串增加的所有新数之和是多少？ （3）猜想：第一百次操作后得到的新数串比第九十九次操作后所得的数串增加的所有新数之和是多少？ 5．观察下列等式 _________ 将以上三个等式两边分别相加得： . （1）猜想并写出： ； （2）直接写出下列各式的计算结果： ① ； ② ； （3）探究并计算：． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $