2.1有理数的加法（分层作业，9大题型）数学新教材浙教版七年级上册

分层作业 2.1 有理数的加法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 有理数的加法法则 题型02 有理数的加法概念辨析 题型03 有理数加法的运算律 题型04 有理数在实际生活中的应用 B组 能力进阶 题型01 有理数加法中符号问题 题型02 有理数加法与数轴的综合 题型03 有理数加法与相反数、绝对值的综合 C组 思维拔高 题型01 有理数的加法中新定义类问题 题型02 规律探索题 有理数的加法法则题型01 1．（2025·天津·一模）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D．7 2．计算：    ） A．1 B． C．9 D． 3．按照有理数加法法则，计算的正确过程是（　　） A． B． C． D． 4．将改写成省略加号的和的形式应为__________． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 有理数的加法概念辨析题型02 1．（25-26七年级上·辽宁大连·月考）下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 2．（26-27七年级上·辽宁大连·学情自测）下列结论不正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则 D．若，，则 3．已知两个有理数，那么a+b与a，必定是（    ） A． B． C． D．以上都不对 4．下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 有理数加法的运算律题型03 1．下列变形中，运用运算律正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是______． 3．小明在做利用“加法运算律”的计算题：■时，不小心把墨水打翻，将接下来的步骤污染了，请你补全污染的部分：_____． 4．用简便方法计算： (1)； (2)． 5．阅读材料． 对于可以按如下方式计算： 原式 ________ ________ ________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)仿照上面的方法计算：． 有理数在实际生活中的应用题型04 1．（2026·浙江嘉兴·二模）嘉兴某天早上气温，中午气温上升，计算中午的气温算式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·辽宁沈阳·月考）巴黎与北京的时差为时（正数表示同一时刻巴黎比北京时间早的时间（时）），如果北京时间是9月2日，那么巴黎时间是（     ） A．9月2日 B．9月2日 C．9月1日 D．9月1日 3．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·质检）某商店去年四个季度盈亏情况如下（盈为正、亏为负）：万元，万元，万元，万元，这个商店去年总的盈亏情况为_______万元（用正数或负数表示）． 4．（25-26七年级上·福建莆田·月考）出租车司机王师傅某天上午营运时从公司出发，在东西走向的大街上行驶，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接乘客的行车里程（单位：km）如下：． (1)将最后一位乘客送到目的地时，王师傅在什么位置？ (2)若汽车耗油量为每千米升，这天上午王师傅接送乘客，出租车共耗油多少升？ 5．（24-25七年级上·湖北咸宁·质检）世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？ 有理数加法中符号问题题型01 1．下列各式中，计算结果为正数的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 3．（25-26七年级上·浙江台州·期中）已知，且，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．的符号取___________号，的符号取___________号，的符号取___________号． 5．在探究“有理数加法法则”的过程中，我们只要弄清几个算式如何计算就可以了． (1)下列给出的算式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧， 可以帮助我们探究有理数加法法则的算式组合是（     ） A．①②③④⑤⑧    B．②③⑤⑥⑦⑧    C．①③④⑤⑥⑧    D．①②④⑤⑦⑧ (2)当时，若有，则a，b需要满足的条件是什么？ 有理数加法与数轴的综合题型02 1．数a，b在数轴上的位置如图所示，则是（    ）    A．正数 B．零 C．负数 D．都有可能 2．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）南北走向的潭州大道可视为数轴，自动换电站位于原点O．某智能无人快递车续航为，即换一次电池最多可行驶．某天快递车依次接到7个派送订单，派送顺序为，对应的点位如图所示：（单位长度：），快递车从自动换电站满电出发，最终需回到换电站．在派送过程中，如果续航不足，需返回换电站更换电池（满电）后再继续派送．下列描述中，正确的有（   ） ①快递车在完成C点订单后，需返回换电站换电池； ②第一次回到换电站时，显示剩余续航； ③配送过程中，快递车可以只换1次电池； ④快递车完成所有订单后回到换电站，共行驶． A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 3．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）小毛虫从某点出发在一直线上来回爬行，假定把向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则爬过的各段路程(单位：)依次为：．小毛虫最后是否回到起点___________．(填是或者否) 4．（25-26七年级上·浙江义乌·期中）邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行到达村，继续向东骑行到达村，然后向西骑行到村，最后回到邮局． (1)以邮局为起点，以向东方向为正方向，用个单位长度表示，请在如图直线表示出、、三个村庄的位置； (2)村与村的距离是 ； (3)若摩托车每耗油升，这趟路共耗油多少升？ 5．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）综合与探究 问题情境：如图，数轴上有四点A，B，C，D，它们表示的数分别是，6，1， 易知点A，B间的距离可以表示为，点A，D间的距离可以表示为，点B，C间的距离可以表示为 (1)【数学思考】若A，B两点在数轴上表示的数分别是和1，A，B两点间的距离可以表示为 ． (2)【深入探究】 如图，若点M，N在数轴上表示的数分别为，3，点P在数轴上表示的数为x，x为整数且满足条件，求的值． (3)如图，某工厂流水线（点C表示的数为，点D表示的数为）上依次排列的6个工作台（包括点C，）．每个工作台只有一名工人，现要在流水线上设置一个工具台方便工人拿取工具，工具台表示的数为整数，假如设置工具台的位置刚好使这6名工人到工具台的路程之和最小，请直接写出这个最小路程之和． 有理数加法与相反数、绝对值的综合题型03 1．（26-27七年级上·浙江杭州·月考）已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．或1 C．1或 D．5或 2．（25-26七年级·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b与c互为相反数，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．若︱x－3︱＋︱y＋2︱=0，则x＋y的值为_____________. 4．（25-26七年级上·江苏常州·期中）绝对值小于4的所有整数的和是__________． 5．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 有理数的加法中新定义类问题题型01 1．（2026·河北·模拟）魏晋时期，数学家刘徽在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负）．图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是（    ） A． B． C． D． 2．若a，b都是有理数，定义一种新运算“”，规定，则 的值为（   ） A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6 3．对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是____．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 4．（26-27七年级上·江苏·月考）对于有理数、，定义运算：， (1)计算的值； (2)计算和的值，并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律． 5．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）对有理数a，b定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；一个数与0相“乘加”等于 ； (2)根据法则计算： ；＝ ； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：； 规律探索题题型02 1．在与之间插入三个数，使这五个数中每相邻两个数的差相等，则插入的这三个数的和是(    ) A． B．5 C．9 D． 2．（1）计算：________． （2）计算：________． 3．将被3整除余数为1的正整数按照如图所示的规律排成一个三角形数阵，则第10行第9个数是_______． 4．阅读下面的解答过程：计算： +++…+． 解：因为=1﹣， =﹣， =﹣，…， =﹣ 所以原式=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣） =1+（﹣+）+（﹣+）+…+（﹣+）﹣ =1﹣= 根据以上解决问题的方法计算： = (2)1﹣ 5．高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.1 有理数的加法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 有理数的加法法则 题型02 有理数的加法概念辨析 题型03 有理数加法的运算律 题型04 有理数在实际生活中的应用 B组 能力进阶 题型01 有理数加法中符号问题 题型02 有理数加法与数轴的综合 题型03 有理数加法与相反数、绝对值的综合 C组 思维拔高 题型01 有理数的加法中新定义类问题 题型02 规律探索题 有理数的加法法则题型01 1．（2025·天津·一模）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解： 故选：C． 2．计算：    ） A．1 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：B． 3．按照有理数加法法则，计算的正确过程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的加法法则：异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，再用大绝对值减去小绝对值即可． 【详解】解：． 故选：D． 【点睛】考查了有理数的加法，关键是熟练掌握异号两数相加的计算法则． 4．将改写成省略加号的和的形式应为__________． 【答案】 【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）计算两个负数相加：和取负号，和的绝对值等于两个加数绝对值的和． （2）计算两个异号的数相加：和取绝对值较大的加数的符号，和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． （3）计算负数与零相加：一个数与相加，仍得这个数． （4）计算两个相反数相加：互为相反数的两个数相加得． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 有理数的加法概念辨析题型02 1．（25-26七年级上·辽宁大连·月考）下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的相关概念. 根据有理数加法的相关概念逐一判断即可. 【详解】A. 当一个加数为负时，两个数的和小于最大的加数，原说法错误； B. 两个数的和等于0，则这两个数互为相反数，原说法错误； C. 两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数，原说法正确； D. 两个数的和为正数，这两个数不一定都是正数，例如 ，和为正数，但两个加数不都是正数，故原说法错误， 故选：C. 2．（26-27七年级上·辽宁大连·学情自测）下列结论不正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据有理数加法的符号法则，重点判断异号两数相加的符号是否确定． 【详解】解：A、若，，则，结论正确，不符合题意； B、若，，则，结论正确，不符合题意； C、若，，且，则，结论正确，不符合题意； D、若，，则，缺少与的大小关系，的符号无法确定，结论错误，符合题意． 3．已知两个有理数，那么a+b与a，必定是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】D 【分析】根据有理数加减法即可判断每个选项是否正确． 【详解】解：当时，，故A选项错误； 当时，，故B选项错误； 当，时，，此时，故C选项错误， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加减运算和大小比较，注意：和可能会比加数小． 4．下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加法运算法则、绝对值的意义，根据有理数加法运算法则进行判断即可．解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则． 【详解】解：A、若，且，则，而，故此选项不符题意； B、当，，则，但，故此选项不符题意； C、若，，则，故此选项符题意； D、若，，则，但，故此选项不符题意； 故选：C． 有理数加法的运算律题型03 1．下列变形中，运用运算律正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用有理数的运算律逐一判断即可． 【详解】解：A、，则A选项错误，故A选项不符合题意； B、，则B选项错误，故B选项不符合题意； C、，则C选项错误，故C选项不符合题意； D、，则D选项正确，故D选项符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的运算律，熟练掌握其运算律是解题的关键． 2．计算的结果是______． 【答案】0 【详解】解： ． 3．小明在做利用“加法运算律”的计算题：■时，不小心把墨水打翻，将接下来的步骤污染了，请你补全污染的部分：_____． 【答案】 【分析】该题考查了有理数的加法运算律，根据有理数加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加法，掌握运算律是解题的关键． （1）根据有理数加法的运算律将同号两数先相加，再计算即可； （2）根据有理数加法的运算律将同分母的先相加，再计算即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 . 5．阅读材料． 对于可以按如下方式计算： 原式 ________ ________ ________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)仿照上面的方法计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【详解】（1）原式 ． （2） ． 有理数在实际生活中的应用题型04 1．（2026·浙江嘉兴·二模）嘉兴某天早上气温，中午气温上升，计算中午的气温算式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 早上气温为，中午气温上升， ∴ 中午气温的正确算式为． 2．（26-27七年级上·辽宁沈阳·月考）巴黎与北京的时差为时（正数表示同一时刻巴黎比北京时间早的时间（时）），如果北京时间是9月2日，那么巴黎时间是（     ） A．9月2日 B．9月2日 C．9月1日 D．9月1日 【答案】C 【分析】根据时差定义确定巴黎时间的计算方法，计算后调整日期. 【详解】解：由题意得，巴黎时间为北京时间加上时差， （时）， ∵结果为负，对应前一天的时间， ∴（时），即巴黎时间为9月1日. 3．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·质检）某商店去年四个季度盈亏情况如下（盈为正、亏为负）：万元，万元，万元，万元，这个商店去年总的盈亏情况为_______万元（用正数或负数表示）． 【答案】 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加法的实际应用，求出所有数据的和，即可． 【详解】解：（万元）； 故答案为：． 4．（25-26七年级上·福建莆田·月考）出租车司机王师傅某天上午营运时从公司出发，在东西走向的大街上行驶，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接乘客的行车里程（单位：km）如下：． (1)将最后一位乘客送到目的地时，王师傅在什么位置？ (2)若汽车耗油量为每千米升，这天上午王师傅接送乘客，出租车共耗油多少升？ 【答案】(1)王师傅在公司东边处 (2)这天上午出租车共耗油升 【分析】本题考查了正负数在实际情境中的应用（表示方向）及有理数的混合运算，解题的关键是明确正负数的意义，第一问通过计算行车里程的代数和确定最终位置，第二问通过计算行车里程绝对值的和得到总路程，再结合单位耗油量求总耗油量． （1）将所有行车里程（含正负）相加，结果的正负表示相对于公司的方向，绝对值表示距离； （2）先求各里程的绝对值并求和得到总行驶路程，再用总路程乘每千米耗油量升，得出总耗油量． 【详解】（1）解：计算行车里程的代数和（确定位置）： 因规定向东为正，故王师傅在公司东边处． 答：将最后一位乘客送到目的地时，王师傅在公司东边处； （2）计算总行驶路程（各里程绝对值之和）及总耗油量： 总路程 总耗油量（升） 答：这天上午出租车共耗油升． 5．（24-25七年级上·湖北咸宁·质检）世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？ 【答案】(1)守门员最后回到球门线上； (2)守门员离开球门线的最远距离达米； (3)对方球员有3次挑射破门的机会． 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数加法的实际应用，有理数的大小比较，理解题意是解题关键． （1）将守门员的跑动情况记录相加，即可得到答案； （2）分别求出每次跑动距离球门的距离，比较大小后取最大值即可； （3）结合（2）的结果，找出守门员离开球门线的距离超过10米的情况，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 即守门员最后回到球门线上； （2）解：第一次跑动：， 第二次跑动：， 第三次跑动： 第四次跑动： 第五次跑动： 第六次跑动： 第七次跑动： 第八次跑动：， ， 守门员离开球门线的最远距离达米； （3）解：由（2）可知，在这一时间段内，守门员离开球门线的距离超过10米的情况有3个， 则对方球员有3次挑射破门的机会． 有理数加法中符号问题题型01 1．下列各式中，计算结果为正数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ，结果为负数，不符合题意； B. ，结果为负数，不符合题意； C. ，结果为负数，不符合题意； D. ，结果为正数，符合题意. 2．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 3．（25-26七年级上·浙江台州·期中）已知，且，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的和的符号的确定． 由条件且，可知，，而的符号不确定．通过分析绝对值比较，结合条件推导出一定成立． 【详解】解：∵且， ∴，， 故 ． 对于与： 若，则，由得， ∵， ∴，即 ； 若，则， ∵且， ∴，即； 综上，总有 ，故C正确，D错误； 对于A 和B，由于的符号不确定，与的大小关系不确定（例如当时，当时），故 A 和 B 不一定成立． 故选：C． 4．的符号取___________号，的符号取___________号，的符号取___________号． 【答案】 负##- 正##+ 负##- 【分析】根据加法法则判断和的符号即可． 【详解】解：的符号取负号，的符号取正号，的符号取负号， 故答案为：负，正，负 【点睛】此题考查了加法法则判断和的符号，熟练掌握加法法则是解题的关键． 5．在探究“有理数加法法则”的过程中，我们只要弄清几个算式如何计算就可以了． (1)下列给出的算式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧， 可以帮助我们探究有理数加法法则的算式组合是（     ） A．①②③④⑤⑧    B．②③⑤⑥⑦⑧    C．①③④⑤⑥⑧    D．①②④⑤⑦⑧ (2)当时，若有，则a，b需要满足的条件是什么？ 【答案】(1)B (2)a和b同为负数或a为负数，b为非负数，且a的绝对值比b的绝对值大． 【分析】利用有理数的加法法则判断即可． 【详解】（1）解：根据②得出两个正数相加，根据③得出两个负数相加，根据⑤得出任何数和0相加，根据⑥得出一正一负相加且正数绝对值大，根据⑦得出一正一负相加且负数绝对值大，根据⑧得出互为相反数的两数相加. 故选：B. （2）解：当时，若有，则a，b需要满足的条件是a和b同为负数或a为负数，b为非负数，且a的绝对值比b的绝对值大． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，掌握其运算法则是解决此题的关键． 有理数加法与数轴的综合题型02 1．数a，b在数轴上的位置如图所示，则是（    ）    A．正数 B．零 C．负数 D．都有可能 【答案】C 【分析】先根据数轴发现a，b异号，再进一步比较其绝对值的大小，然后根据有理数的加法运算法则确定结果的符号．异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号． 【详解】解：由图，可知：，，． 则． 故选：C． 【点睛】本题结合数轴考查了有理数的加法法则，体现了数形结合的思想，熟练掌握有理数的加法法则是解答本题的关键． 2．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）南北走向的潭州大道可视为数轴，自动换电站位于原点O．某智能无人快递车续航为，即换一次电池最多可行驶．某天快递车依次接到7个派送订单，派送顺序为，对应的点位如图所示：（单位长度：），快递车从自动换电站满电出发，最终需回到换电站．在派送过程中，如果续航不足，需返回换电站更换电池（满电）后再继续派送．下列描述中，正确的有（   ） ①快递车在完成C点订单后，需返回换电站换电池； ②第一次回到换电站时，显示剩余续航； ③配送过程中，快递车可以只换1次电池； ④快递车完成所有订单后回到换电站，共行驶． A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查数轴上的距离计算与实际应用．通过计算各点间的距离，结合“单次续航”的限制，判断每个描述的正确性即可． 【详解】解：首先确定各点所表示的数：，，，，，，，，配送顺序为． 计算每段行驶距离：， ， ， ， ， ， ， ． ①从出发到，累计行驶，剩余续航．下一段需行驶，，续航不足， ∴必须返回换电站(返回距离)，故①正确； ②由①得第一次回到换电站时，显示剩余续航，故②错误． ③根据题意：第一次换电：完成点后返回(行驶)， 第二次换电：完成点后返回(行驶)， 第三次行程：(无需换电)． 需换电次即可完成所有订单，故③错误； ④分析“配送车完成所有订单后回到换电站，共行驶”： 总行驶距离为：第一次行程， 第二次行程， 第三次行程， 合计，故④正确． 综上，正确的描述为①④， 故选：B． 3．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）小毛虫从某点出发在一直线上来回爬行，假定把向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则爬过的各段路程(单位：)依次为：．小毛虫最后是否回到起点___________．(填是或者否) 【答案】是 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，把所给的路程相加，若结果为0，则回到起点，否则没有回到起点． 【详解】解： ， ∴小毛虫最后是回到起点， 故答案为：是． 4．（25-26七年级上·浙江义乌·期中）邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行到达村，继续向东骑行到达村，然后向西骑行到村，最后回到邮局． (1)以邮局为起点，以向东方向为正方向，用个单位长度表示，请在如图直线表示出、、三个村庄的位置； (2)村与村的距离是 ； (3)若摩托车每耗油升，这趟路共耗油多少升？ 【答案】(1) 表示出、、三个村庄的位置如图所示； (2) (3)升 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数混合运算的应用，绝对值的意义，解题的关键在于读懂题意弄清正方向． （1）根据题意在数轴上分别表示出表示出、、三个村庄的位置即可； （2）直接计算、两点之间的距离； （3）根据题意计算出邮递员行驶的总路程，再用总路程乘以每千米的耗油量，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：村与村的距离是； 故答案为：； （3）解：共耗油量：（升）． 5．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）综合与探究 问题情境：如图，数轴上有四点A，B，C，D，它们表示的数分别是，6，1， 易知点A，B间的距离可以表示为，点A，D间的距离可以表示为，点B，C间的距离可以表示为 (1)【数学思考】若A，B两点在数轴上表示的数分别是和1，A，B两点间的距离可以表示为 ． (2)【深入探究】 如图，若点M，N在数轴上表示的数分别为，3，点P在数轴上表示的数为x，x为整数且满足条件，求的值． (3)如图，某工厂流水线（点C表示的数为，点D表示的数为）上依次排列的6个工作台（包括点C，）．每个工作台只有一名工人，现要在流水线上设置一个工具台方便工人拿取工具，工具台表示的数为整数，假如设置工具台的位置刚好使这6名工人到工具台的路程之和最小，请直接写出这个最小路程之和． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容的应用． （1）仿照题干中表示两点间距离的方法可表示出A，B两点间的距离； （2）先根据题意得，，则，可得出点P不在点M，N之间，再分两种情况讨论：当点P在点N的右侧时，即时；当点P在点M的左侧时，即时，分别求解即可； （3）分别求出当工具台设置在表示的数为、、、、0、1、2的点时，6名工人所走的路程和，即可得出最小路程之和． 【详解】（1）解：A，B两点间的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：根据题意得，，， 所以， 因为M，N两点之间的距离为7， 所以点P不在点M，N之间， 分以下两种情况讨论： 当点P在点N的右侧时，即时， 因为， 解得， 所以点P表示的数为4， 所以； 当点P在点M的左侧时，即时， 因为， 解得， 所以点P表示的数为， 所以． 综上所述，的值为或； （3）解：当工具台设置在表示的数为的点时，6名工作人员所走的路程和为； 当工具台设置在表示的数为的点时，6名工作人员所走的路程和为； 当工具台设置在表示的数为的点时，6名工作人员所走的路程和为； 当工具台设置在表示的数为的点时，6名工作人员所走的路程和为； 当工具台设置在表示的数为0的点时，6名工作人员所走的路程和为； 当工具台设置在表示的数为1的点时，6名工作人员所走的路程和为． 综上所述，当工具台设置在表示的数为或的点的位置时，6名工人所走的路程之和最小，最小路程之和为． 有理数加法与相反数、绝对值的综合题型03 1．（26-27七年级上·浙江杭州·月考）已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．或1 C．1或 D．5或 【答案】A 【分析】先根据绝对值的定义推导a、b的所有可能取值，再结合计算即可． 【详解】解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴或，， ∴或． 2．（25-26七年级·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b与c互为相反数，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，掌握相反数的定义，化简绝对值，由数轴可知，，，由b与c互为相反数，得，，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵b与c互为相反数， ∴，故选项A正确； 由数轴图可知，，，，故选项C正确； ∴，， 故选项B错误；选项D正确； 故选：B． 3．若︱x－3︱＋︱y＋2︱=0，则x＋y的值为_____________. 【答案】1 【分析】根据非负数的性质，可求出x、y的值，然后将x，y再代入计算． 【详解】解：∵|x-3|+|y+2|=0， ∴x-3=0，y+2=0， ∴x=3，y=-2， ∴x+y的值为：3-2=1， 故答案为1． 4．（25-26七年级上·江苏常州·期中）绝对值小于4的所有整数的和是__________． 【答案】0 【分析】本题考查有理数加法和绝对值的意义，确定出绝对值小于4的所有整数是解题的关键． 找出绝对值小于4的所有整数，再计算这些数的和即可． 【详解】解：绝对值小于4的所有整数有：0，，，， ， 故答案为：0． 5．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 【答案】（1）7；（2）或；（3）；（4） 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，有理数的加法运算， （1）根据两点间的距离即可得出结论； （2）结合数轴可找出数轴上离表示的点距离为2的数即可求解； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． （4）表示数轴上到点2和的距离和为7，由此可得出在和2之间（包括端点），进而即可得出的值，然后求和即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：7； （2）表示数轴上离表示的点距离为2的数 ∴或； 故答案为：或； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． ； 故答案为：； （4）表示数轴上到点2和的距离和为7， 在和2之间（包括端点）， 是整数， 的值为：，，，，，，， 它们的和为：． 故答案为：． 有理数的加法中新定义类问题题型01 1．（2026·河北·模拟）魏晋时期，数学家刘徽在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负）．图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算． 【详解】解：由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，可得图2表示的计算过程是． 2．若a，b都是有理数，定义一种新运算“”，规定，则 的值为（   ） A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6 【答案】B 【分析】把相应的值代入新运算中，然后根据有理数的加减运算法则进行求解即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝﹣2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算法则、新定义运算法则等知识点，正确理解新定义的运算是解答本题的关键． 3．对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是____．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 【答案】②③ 【分析】根据新定义逐项进行分析即可． 【详解】解：①∵， ∴， 故①错误； ∵，； ∴， 故②正确； ∵，，， ∴； 故③正确； ，， 只有当时，， ∴该运算满足交换律不成立． 故④错误， 故答案为：②③ 【点睛】此题考查了新定义运算，读懂题意是解题的关键． 4．（26-27七年级上·江苏·月考）对于有理数、，定义运算：， (1)计算的值； (2)计算和的值，并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律． 【答案】(1) (2)，，这种新定义不满足交换律． 【分析】（1）根据所给定义列式计算； （2）根据所给定义列式计算出两个式子的结果即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴， ∴这种新定义不满足交换律． 5．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）对有理数a，b定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；一个数与0相“乘加”等于 ； (2)根据法则计算： ；＝ ； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：； 【答案】(1)正，负，相加，这个数的绝对值 (2)， (3)11 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题中给出的例子归纳法则是解题的关键． （1）根据题中给出的例子归纳出结论即可； （2）根据（1）中的“乘加法”法则进行计算即可； （3）根据（1）中的“乘加法”法则进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值． 故答案为：正；负；相加；这个数的绝对值； （2）解：； ． 故答案为：；； （3）解： ． 规律探索题题型02 1．在与之间插入三个数，使这五个数中每相邻两个数的差相等，则插入的这三个数的和是(    ) A． B．5 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法，解题关键是确定插入的数字． 先确定共有多少个数字，再分成4组，从而确定插入的数字，然后求和． 【详解】解：在与之间插入3个数，使这五个数中每相邻两个数的差相等， 也就是将与之间分成相等的4份． ， 就是将进行4等分 即每份的值是， ，，， 这3个数分别是，，． 所以插入的这三个数的和是， 故选：A． 2．（1）计算：________． （2）计算：________． 【答案】 1012 1013 【分析】本题考查有理数的加法，掌握加法结合律是解题的关键． （1）利用加法结合律计算即可； （2）利用加法结合律计算即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：1012； （2） ， 故答案为：1013． 3．将被3整除余数为1的正整数按照如图所示的规律排成一个三角形数阵，则第10行第9个数是_______． 【答案】160 【分析】规律题型关键在于观察规律性，从而推导出所要求的数值．这题应该从每行的数字的个数入手，然后从题意中的被3整除余1分析，最后得到答案． 【详解】解：由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…， 则前10行的数字有：个数， ∴第10行第10个数是：163， ∴第10行第9个数是：160， 故答案为： 160． 【点睛】本题考查了数字的摆放规律题型，多从每行每列的数字个数以及数值变化的规律观察，找到变化规律即可推导答案． 4．阅读下面的解答过程：计算： +++…+． 解：因为=1﹣， =﹣， =﹣，…， =﹣ 所以原式=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣） =1+（﹣+）+（﹣+）+…+（﹣+）﹣ =1﹣= 根据以上解决问题的方法计算： = (2)1﹣ 【答案】（1）（2）. 【分析】（1）根据题中的解答过程，可以得出规律，从而计算求解； （2）将分母分解成两个数相乘，从而可以根据（1）中规律，写出过程，求出答案． 【详解】（1）， 故答案为： （2） = =1﹣1+ = 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解此题的要点在于根据题中的规律，简化求解步骤． 5．高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【答案】(1)1275 (2) 【分析】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1 ）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值； （2 ）归纳总结得到一般性规律，写出即可，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值． 【详解】（1）解：设 则， ，得， 所以， ， 所以； （2）解：由（1 ）及题目例题的解析可得： ， 设 则， ，得， 所以， ， 所以． 故答案为：． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $