2.6有理数的混合运算（分层作业，8大题型）数学新教材浙教版七年级上册

分层作业 2.6 有理数的混合运算 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 有理数的混合运算 题型02 含乘方的有理数混合运算 题型03 程序流程图与有理数计算 B组 能力进阶 题型 有理数四则混合运算（复杂） C组 思维拔高 题型01 算“24”点 题型02 进制的转换问题 题型03 有理数混合运算的规律计算 题型04 有理数混合运算的新定义问题 有理数的混合运算题型01 1．（24-25七年级上·河北·月考）如图，，，，四张卡片分别代表一种运算，例如，经过顺序的运算，可列式为： ，经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意可以列出算式，计算即可．理解题目提示的运算顺序是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ∴经过顺序的运算结果为． 故选：A． 2．（25-26九年级下·安徽淮北·质检）计算：________． 【答案】0 【分析】按照先算乘方，再算除法，最后算加法的顺序计算即可． 【详解】解： ． 3．（25-26七年级上·海南海口·期中）计算：（直接写出结果） (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9) ． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) (5)0 (6)2 (7) (8) (9) 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键； （1）根据减法法则计算即可； （2）先去绝对值，再算加法即可； （3）根据减法法则计算即可； （4）根据加法法则计算即可； （5）根据零乘任何数都得零计算即可； （6）先算乘方，再算减法即可； （7）根据乘法法则计算即可； （8）根据除法法则计算即可； （9）先算乘方，再算乘法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式； （7）解：原式； （8）解：原式； （9）解：原式． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)3． 【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的乘除法可以解答本题； （3）根据乘法分配律计算可以解答本题； （4）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 5．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的加减乘除混合运算，有理数的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确地进行化简． （1）先进行幂的乘方运算、去括号，接着进行乘法运算，最后进行减法运算即可； （2）先进行幂的乘方运算、去绝对值，接着进行乘法运算，最后进行减法运算即可； （3）先把带分数化成假分数、通分、去括号，接着进行乘法运算，最后进行减法运算即可； （4）先进行幂的符号运算，再加减即可． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． 含乘方的有理数混合运算题型02 1．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，有理数的四则运算，根据有理数的指数幂的运算性质进行化简即可，注意运算顺序是解题的关键． 【详解】解：A选项，，故A选项错误，不符合题意； B选项，，故B选项错误，不符合题意； C选项，，故C选项正确，符合题意； D选项，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 2．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可． 【详解】解：， = =， =， =， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算，准确进行计算． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先计算乘方和乘除，再计算减法即可． 【详解】解： ． 4．（24-25七年级上·广东珠海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，绝对值等知识．熟练掌握含乘方的有理数的混合运算，绝对值是解题的关键． 先分别计算乘方，绝对值，然后进行乘除运算，最后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 5．已知，求的值． 【答案】 【分析】由非负数的性质可知：，，然后代入数值进行计算即可解答． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴原式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是求代数式的值、非负数的性质，求得的值是解题的关键． 程序流程图与有理数计算题型03 1．如图是一个简单的运算程序，如果输入的值为，则输出的结果为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．根据图示列出算式，继而计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： ． 故选：B． 2．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得到1．如果自然数n恰好经过7步运算可得到1，则符合条件的n的值是（   ） A．3，15，21，128 B．3，15，20，128 C．3，20，21，128 D．3，20，31，128 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合计算．从最后一步向前进行计算：因为计算的结果应是奇数或偶数，所以分数不符合题意，因为最终结果是1，所以计算中结果是1，不符合题意，根据题中的运算，计算的结果是奇数，应是乘以3加上1得到的，结果是偶数，则是除以2得到的，根据上述的要求来进行解答即可． 【详解】解：第7步运算前的数：；（不符合题意）． 第6步运算前的数：；（不符合题意）． 第5步运算前的数：；（不符合题意）． 第4步运算前的数：；（不符合题意）． 第3步运算前的数：；． 第2步运算前的数：；（不符合题意）；；（不符合题意）． 第1步运算前的数：；；；． 故选：C． 3．根据如图所示的程序运算，若输入x的值为1，则输出的结果为______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，程序流程图，根据题目所给的运算程序进行计算即可． 【详解】解：第一次：输入x的值为1，， 第二次：输入x的值为，， 输出8， 故答案为：8． 4．（25-26七年级上·期末）如图，这是一个数值转换机，图中“■”遮去的是“”“”“”“”四个运算符号中的一个．若输入x的值为3，则输出的结果是4；若输入x的值为15，则输出的结果是________． 【答案】220 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． 根据数值转换机求得图中“■”遮去的符号，然后列式计算即可． 【详解】解：若输入的值为3， 则， 而输出的结果是4， 那么， 即图中“■”遮去的符号是“”， 若输入的值为15， 那么． 故答案为：220 ． 5．根据右边的数值转换器，当输入的x、y满足时，求输出的结果． 【答案】 【分析】利用原式求得x、y值后代入数值转换器求值即可； 【详解】∵|x+1|≥0,(y−)2≥0且|x+1|+(y−)2=0, ∴x+1=0, y-=0, 解得：x=-1, y=,代入数值转换器得：[（-1）2+2×+1]÷2=. 【点睛】考查了整式的加减及代数式求值的问题，解题的关键是正确的运用整式的加减的有关法则进行运算． 有理数四则混合运算（复杂）题型 1．（25-26七年级·月考）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键要根据运算法则进行运算； （1）用乘法分配律进行计算； （2）先进行幂和括号的运算，然后再根据先乘除后加减的法则进行运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是遵循先乘方，再乘除，最后加减的运算顺序，有括号先算括号内的． （1）先计算乘方，再计算括号内的运算，接着进行乘法运算，最后进行加减运算． （2）先将带分数化为假分数，计算乘方，再算括号内的运算，然后依次进行乘除运算，最后进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）10；（2）-16；（3）3；（4）-12. 【分析】（1）将原式进行变形，再运用加法的交换律和结合律进行简算即可得到答案； （2）原式先算乘除法，再算加减法即可； （3）原式利用乘法分配律进行简算即可； （4）原式先算乘方，再算乘除，最后算加减即可得到答案. 【详解】（1） = = =20-10 =10； （2） = =-10-6 =-16； （3） = =-2+4+1 =3； （4） = = =9-21 =-12. 【点睛】本题考查的是有理数的运算能力.注意:(1)要正确掌握运算顺序,在混合运算中要特别注意运算顺序:先三级,后二级,再级;有括号的先算括号里面的;同级运算按从左到右的顺序. 4．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）按照运算法则计算即可； （2）按照运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）在计算 时，小博的解题过程如下： 解：原式 第一步 第二步        第三步 第四步 (1)上面解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你帮小博写出正确的解题过程． 【答案】(1)二 (2) 原式 ． 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）第二步中利用乘法分配律时第二和第三个数没变号； （2）根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第二步中利用乘法分配律时第二和第三个数没变号． 故答案为：二； （2）略 算“24”点题型01 1．（25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26七年级上·四川成都·月考）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为或，其中红色扑克代表负数，黑色扑克代表正数，，，分别代表，，如果抽到的是下列四张扑克（一张黑，一张红，一张黑，一张黑），那么凑成所列的算式是______． 【答案】（本题答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算．解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式． 根据题意，抽到的四个数为：，，，，然后写出一个结果为的算式即可． 【详解】解：由题意可得， 抽到的四个数为：，，，， ， 凑成所列的算式是， 故答案为：本题答案不唯一． 3．（25-26七年级上·江苏南京·期中）玩“24点”游戏时，小明抽到“”四张牌，请写出运算结果为24的算式：___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意结合有理数的混合运算法则写出式子即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为（答案不唯一）． 4．（26-27七年级上·江苏连云港·学情自测）四个有理数3，2，2，1，可通过加、减、乘、除、乘方等运算，使其结果等于24．请写出三个这样的不同的算式． 【答案】；； 【分析】根据有理数的混合运算即可得到答案，运算时注意正确的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号的先算括号里的． 【详解】解：算式1：， 算式2：， 算式3：． 5．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，乘积的最小值为 ； (2)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子． （写出一种即可）算24的式子为 ． 【答案】(1)-20； (2)不唯一，如 【分析】（1）要找乘积最小的就要找符号相异且绝对值最大的数，观察这五个数，所以选+4和-5；（2）答案不唯一，用加减乘除只要答数是24即可． 【详解】（1）+4×（﹣5）=-20，∴最大值是：-20； （2）． 【点睛】本题主要考查了有理数的运算，解题关键是平时强化计算能力的训练，提高计算的速度和技巧． 进制的转换问题题型02 1．（25-26七年级·期中）将二进制数换算成十进制数的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了进制的换算，有理数的混合运算，解题的关键是掌握进制换算的法则． 根据二进制换算成十进制的法则，列出算式求值即可． 【详解】解：根据题意得，， 故选：A． 2．（24-25七年级上·陕西安康·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图1，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数，则孩子出生后的天数______天． 【答案】 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的混合运算，根据题意中的计算方法，列式计算，即可． 【详解】解：由题意得，图所表示孩子出生后的天数为：（天）． 故答案为：． 3．我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，在电子计算机中用的是二进制，只用两个数码0和1，如：二进制中等于十进制的数5；二进制等于十进制的数23．那么二进制中的101011等于十进制中的数______． 【答案】43 【分析】本题考查有理数的混合运算，认真观察已知给出的两个式子，得出规律，再计算． 【详解】解：二进制． 二进制中的101011等于十进制中的数43． 4．阅读材料：日常生活中，我们使用的数是十进制数，而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”，二进制数只使用数字0，1，如二进制数1101通过式子可以转换为十进制数13． (1)尝试解决： ①请将二进制数10101转换为十进制数； ②请将十进制数18转换为二进制数； (2)类比迁移： 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图是一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子出生后的天数，请求出孩子出生的天数． 【答案】(1)①21；②10010 (2)181天 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解进制数和十进制数的意义是解此题的关键． （1）①根据二进制数和十进制数的意义计算即可得解；②根据二进制数和十进制数的意义计算即可得解； （2）根据七进制数的意义列式计算即可得解． 【详解】（1）解：① ②， ， ∴二进制数为10010． （2）解：由题意可得：（天） 答：孩子出生的天数为181天． 5．（25-26七年级上·福建福州·期中）综合与实践：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数时，），同理，二进制数转换为十进制数为：．一个十进制数转换为n进制数时，把十进制数表示成0，1，2，…，与基数n的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为．根据上述材料，解答下列问题． (1)十进制数23转换为二进制数=______； (2)在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满7进1，用来记录所放羊的只数，求牧人所放羊的只数（要求：结果为十进制数）． 【答案】(1) (2)835 【分析】本题主要考查了含有乘方的有理数的混合运算，理解题目的意思是解题的关键． （1）根据十进制转换为二进制的方法列式计算即可； （2）根据七进制转化成十进制的步骤进行转化即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：根据图形得该数为：， ∴牧人所放羊的只数为835． 有理数混合运算的规律计算题型03 1．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，如果铺设成如图②的图案，其中完整的圆一共有5个，如果铺设成如图③的图案，其中完整的圆一共有13个，如果铺设成如图④的图案，其中完整的圆一共有25个，以此规律下去，第10个图中，完整的圆一共有__________个． 【答案】181 【分析】将图①看作是铺成的一个1×1的正方形，图②看作是铺成的一个2×2的正方形，图③看作是铺成的一个3×3的正方形，图④看作是铺成的一个4×4的正方形，那么根据给出的四个图形的规律可以知道，组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，此圆的数目是大正方形边长的平方；又每四个小正方形组成一个完整的圆，这样的圆的个数是大正方形边长减1的平方，从而可得第10个图中完整的圆的个数． 【详解】解：由分析可知：第10个图中，组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方，即为102； 又每四个小正方形组成一个完整的圆，这样的圆的个数是大正方形边长减1的平方，即为（10-1）2， 所以完整的圆一共有：102+（10-1）2=181个． 故答案为181 【点睛】此题主要考查学生对图形变化类的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律． 2．（24-25七年级上·天津·期末）如图，每个小正方形的边长为1，观察图中阴影部分面积的计算方法与图形下方对应算式的计算规律，完成填空： （Ⅰ）写出最后一个图形中阴影部分的面积对应的算式及其结果：_______； （Ⅱ）根据以上观察，式子化简的结果为_______； （Ⅲ）结合以上规律，计算的结果为_______． 【答案】 40 【分析】本题主要考查图形的变化规律，有理数的混合运算． （Ⅰ）分析所给的三个图形与算式即可求解； （Ⅱ）对上述的图形与算式进行总结即可； （Ⅲ）利用所得的规律进行求解即可． 【详解】解：（Ⅰ）∵，，，…， ∴所求的图形的算式为， 故答案为：； （Ⅱ）， 故答案为：； （Ⅲ）原式 故答案为：40． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，解答的关键是发现分子比分母大1．利用裂项法求解即可． 【详解】解： ． 4．观察以下一系列等式： ①22﹣21＝4﹣2＝21； ②23﹣22＝8﹣4＝22； ③24﹣23＝16﹣8＝23； ④　 　；… （1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式：　 　； （2）根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式：　 　，并说明这个规律的正确性； （3）请利用上述规律计算：21+22+23+…+2100． 【答案】（1）25﹣24＝32﹣16＝24； （2）2n+1﹣2n＝2n， 解：∵2n+1﹣2n ＝2×2n﹣2n ＝（2﹣1）×2n ＝2n， ∴2n+1﹣2n＝2n； （3）2101﹣2 【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出第④个等式； （2）根据题目中式子的特点可以写出第n个等式； （3）根据发现的规律，可以计算出所求式子的值． 【详解】解：（1）∵①22﹣21＝4﹣2＝21； ②23﹣22＝8﹣4＝22； ③24﹣23＝16﹣8＝23； 则第④个等式是：25﹣24＝32﹣16＝24， 故答案为：25﹣24＝32﹣16＝24； （2）略 （3）根据规律： 21+22+23+…+2100， ＝（22﹣21）+（23﹣22）+（24﹣23）+…+（2101﹣2100） ＝22﹣21+23﹣22+24﹣23+…+2101﹣2100 ＝2101﹣21 ＝2101﹣2． 【点睛】本题考查数字的变化类，有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，写出相应的式子． 5．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②8432 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算法则和数字规律探索，理解题意是解决本题的关键． （1）根据题意即可得出结果； （2）先对式子提一个，再运用所得规律即可求解； （3）①根据题意即可得出结果；②先将原式变为，再提一个4，最后运用所得规律求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得，， 故答案为：； （2）由题意可得， （3）①由题意可得，， 故答案为：； ②由题意可得， ． 有理数混合运算的新定义问题题型04 1．（25-26七年级上·广东佛山·期中）如果规定符号“”的意义是，则___________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则． 根据符号“△”的定义，将代入公式进行计算． 【详解】解：根据规定得，， 故答案为：1． 2．定义运算，则_______． 【答案】 【详解】解：根据定义 ． 3．有一个运算程序，可以使：（为常数）时，得，，现在已知，那么_______ ． 【答案】 【分析】由得到当，时，利用，得到，，，，然后根据此规律得到． 【详解】解： (其中，，)， ， (此时，，)， ， (此时，，)， ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了有理数加减混合运算：有理数加减法统一成加法，也考查了学生的阅读理解能力．读懂题意找到规律是解题的关键． 4．现规定一种新的运算（a，b均不为0），如． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据定义的运算处理； （2）先算括号里的运算，再依据定义的运算处理． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查新定义运算，有理数运算；将新定义运算转化为常规运算是解题的关键． 5．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 【答案】(1)1， (2)D (3)12 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确； C．，，且，则，故正确； D．，或1，故错误；故选D； （3） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.6 有理数的混合运算 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 有理数的混合运算 题型02 含乘方的有理数混合运算 题型03 程序流程图与有理数计算 B组 能力进阶 题型 有理数四则混合运算（复杂） C组 思维拔高 题型01 算“24”点 题型02 进制的转换问题 题型03 有理数混合运算的规律计算 题型04 有理数混合运算的新定义问题 有理数的混合运算题型01 1．（24-25七年级上·河北·月考）如图，，，，四张卡片分别代表一种运算，例如，经过顺序的运算，可列式为： ，经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·安徽淮北·质检）计算：________． 3．（25-26七年级上·海南海口·期中）计算：（直接写出结果） (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9) ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．计算 (1) (2) (3) (4) 含乘方的有理数混合运算题型02 1．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）计算：． 4．（24-25七年级上·广东珠海·期中）计算： 5．已知，求的值． 程序流程图与有理数计算题型03 1．如图是一个简单的运算程序，如果输入的值为，则输出的结果为（   ） A．6 B． C． D． 2．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得到1．如果自然数n恰好经过7步运算可得到1，则符合条件的n的值是（   ） A．3，15，21，128 B．3，15，20，128 C．3，20，21，128 D．3，20，31，128 3．根据如图所示的程序运算，若输入x的值为1，则输出的结果为______． 4．（25-26七年级上·期末）如图，这是一个数值转换机，图中“■”遮去的是“”“”“”“”四个运算符号中的一个．若输入x的值为3，则输出的结果是4；若输入x的值为15，则输出的结果是________． 5．根据右边的数值转换器，当输入的x、y满足时，求输出的结果． 有理数四则混合运算（复杂）题型 1．（25-26七年级·月考）用简便方法计算： (1)； (2)． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）计算： (1) (2) 3．计算 （1） （2） （3） （4） 4．计算： (1) (2) 5．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）在计算 时，小博的解题过程如下： 解：原式 第一步 第二步        第三步 第四步 (1)上面解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你帮小博写出正确的解题过程． 算“24”点题型01 1．（25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川成都·月考）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为或，其中红色扑克代表负数，黑色扑克代表正数，，，分别代表，，如果抽到的是下列四张扑克（一张黑，一张红，一张黑，一张黑），那么凑成所列的算式是______． 3．（25-26七年级上·江苏南京·期中）玩“24点”游戏时，小明抽到“”四张牌，请写出运算结果为24的算式：___________． 4．（26-27七年级上·江苏连云港·学情自测）四个有理数3，2，2，1，可通过加、减、乘、除、乘方等运算，使其结果等于24．请写出三个这样的不同的算式． 5．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，乘积的最小值为 ； (2)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子． （写出一种即可）算24的式子为 ． 进制的转换问题题型02 1．（25-26七年级·期中）将二进制数换算成十进制数的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·陕西安康·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图1，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数，则孩子出生后的天数______天． 3．我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，在电子计算机中用的是二进制，只用两个数码0和1，如：二进制中等于十进制的数5；二进制等于十进制的数23．那么二进制中的101011等于十进制中的数______． 4．阅读材料：日常生活中，我们使用的数是十进制数，而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”，二进制数只使用数字0，1，如二进制数1101通过式子可以转换为十进制数13． (1)尝试解决： ①请将二进制数10101转换为十进制数； ②请将十进制数18转换为二进制数； (2)类比迁移： 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图是一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子出生后的天数，请求出孩子出生的天数． 5．（25-26七年级上·福建福州·期中）综合与实践：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数时，），同理，二进制数转换为十进制数为：．一个十进制数转换为n进制数时，把十进制数表示成0，1，2，…，与基数n的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为．根据上述材料，解答下列问题． (1)十进制数23转换为二进制数=______； (2)在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满7进1，用来记录所放羊的只数，求牧人所放羊的只数（要求：结果为十进制数）． 有理数混合运算的规律计算题型03 1．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，如果铺设成如图②的图案，其中完整的圆一共有5个，如果铺设成如图③的图案，其中完整的圆一共有13个，如果铺设成如图④的图案，其中完整的圆一共有25个，以此规律下去，第10个图中，完整的圆一共有__________个． 2．（24-25七年级上·天津·期末）如图，每个小正方形的边长为1，观察图中阴影部分面积的计算方法与图形下方对应算式的计算规律，完成填空： （Ⅰ）写出最后一个图形中阴影部分的面积对应的算式及其结果：_______； （Ⅱ）根据以上观察，式子化简的结果为_______； （Ⅲ）结合以上规律，计算的结果为_______． 3．计算：． 4．观察以下一系列等式： ①22﹣21＝4﹣2＝21； ②23﹣22＝8﹣4＝22； ③24﹣23＝16﹣8＝23； ④　 　；… （1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式：　 　； （2）根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式：　 　，并说明这个规律的正确性； （3）请利用上述规律计算：21+22+23+…+2100． 5．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 有理数混合运算的新定义问题题型04 1．（25-26七年级上·广东佛山·期中）如果规定符号“”的意义是，则___________． 2．定义运算，则_______． 3．有一个运算程序，可以使：（为常数）时，得，，现在已知，那么_______ ． 4．现规定一种新的运算（a，b均不为0），如． (1)计算：； (2)计算：． 5．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $