5.2等式的基本性质（分层作业，8大题型）数学新教材浙教版七年级上册

分层作业 5.2 等式的基本性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 根据等式的性质，判断式子变形的正误 题型02 根据等式的性质，判断方程变形的正误 题型03 根据等式的性质填空 题型04 利用等式的性质解方程 B组 能力进阶 题型01 利用等式的性质求式子的值 题型02 利用等式的性质解决天平中的问题 题型03 利用等式的性质对已知等式进行变形 C组 思维拔高 题型 由等式的性质比较大小 根据等式的性质，判断式子变形的正误题型01 1．（24-25七年级上·山西太原·月考）如果，那么下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质．性质、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A、等式的两边同时加上a，该等式仍然成立；故本选项不符合题意； B、等式的两边同时减去a，该等式仍然成立；故本选项不符合题意； C、等式的两边同时乘以a，该等式仍然成立；故本选项不符合题意； D、当时，无意义；故本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）下列式子的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，选项错误，不符合题意； B．若，则，选项错误，不符合题意； C．若，则，选项正确，符合题意； D．若，则，选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25上·上海·月考）下列说法正确的是___________．（写编号） ①几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数； ②已知为有理数，若，则； ③已知为有理数，若，则； ④已知为有理数，若，则． 【答案】②④##④② 【分析】本题考查多个有理数的乘法、绝对值的性质及等式的性质，熟练掌握运算法则是解题关键．根据多个有理数的乘法、绝对值的性质及有理数除法的运算法则逐一判断即可得答案． 【详解】解：几个不等于的有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，故①说法错误， ∵， ∴ ∴已知为有理数，若，则，故②说法正确， 已知为有理数，若，则或；故③说法错误， ∵， ∴已知为有理数，若，则说法正确，故④说法正确， ∴正确的说法为②④． 故答案为：②④ 4．判断下列等式变形是否正确，并说明理由． (1)若，则． (2)若，则． 【答案】(1) 不正确，理由： 等式两边都减去， 所得等式为． (2) 正确，理由： 等式两边都加上， 所得等式为． 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立． （1）根据等式的性质1即可求解； （2）根据等式的性质1即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 5．在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为，所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因． 【答案】(1)等式的性质1 (2)小明第二步的结论不正确，理由： ∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的一个数，等式仍然成立， ∴当时，等式的两边都除以a，等式不成立， 当时，两边都除以a，得不成立， ∴小明第二步的结论不正确． 【分析】此题考查了等式性质的应用能力： （1）运用等式的性质1进行求解； （2）根据等式的性质2进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴根据等式的性质1，两边都减去， 得， ∴第一步的依据是：等式的性质1； （2）略 根据等式的性质，判断方程变形的正误题型02 1．把方程变形为，其方法是（    ） A．方程两边都乘1 B．方程两边都乘-1 C．方程两边都乘2 D．方程两边都乘-2 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程的方法，注意等式的性质的应用． 把方程变形为，我们通常称为“系数化为”，其方法是：方程两边都除以或方程两边都乘以，由此即可判断. 【详解】解：将方程变形为， 需要方程两边都除以或方程两边都乘以 故选： B． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）下列方程变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．根据等式的基本性质逐一分析各选项的变形是否正确． 【详解】解：A、由，得，原变形错误，本选项不符合题意； B、由，得，正确，本选项符合题意； C、由，得，原变形错误，本选项不符合题意； D、由，得，原变形错误，本选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，小明将等式进行变形，最后得到一个错误的结论，则下列说法正确的是（    ） A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式的值不变，等式的两边同时除以一个不等于0的整式，等式的值不变．据此进行作答即可． 【详解】解：第一步等式两边同时加，第二步合并同类项，都是正确的， 第三步两边同时除以a是错误的，因为a可能等于零． 正确的做法是移项得，解得， 故选：C． 4．下列解方程过程中，变形正确的是（  ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质，逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：对于选项A，∵，移项得，∴A变形错误； 对于选项B，∵，系数化为1得，∴B变形错误； 对于选项C，∵，两边同乘6，得，∴C变形正确； 对于选项D，∵，将分子分母同乘10得，变形得，∴D变形错误． 根据等式的性质填空题型03 1．用适当的数或整式填空，使所得的式子仍是等式，请注明根据． 如果，那么________，根据是________． 【答案】 5 等式的基本性质1 【分析】本题考查的是等式的基本性质，根据等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（或等式的基本性质1）即可得到答案． 【详解】解：如果，那么，根据是等式的基本性质1； 故答案为：，等式的基本性质1 2．由得到，可分两步，按步骤完成下列填空： 第一步：根据等式的性质____，等式两边____，得到； 第二步：根据等式的性质____，等式两边____，得到. 【答案】 1 加1 2 除以3 【分析】本题考查等式的性质，解题关键是明确等式的性质的内容，会用等式的性质解方程． 根据等式的性质即可解答． 【详解】解：由得到可分两步，按步骤完成下列填空： 第一步：根据等式的性质1，等式两边同时加1，得到， 第二步：根据等式的性质2，等式两边同时除以3，得到， 故答案为1，加1；3，除以3． 3．用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么__________． （2）如果，那么__________． （3）如果，那么__________． （4）如果，那么__________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为的数（或字母），等式仍成立． （1）（2）分别根据等式的性质判断即可； （3）（4）分别根据等式的性质判断即可； 【详解】（1）解：如果，，根据等式性质，在等式两边都减去； 故填：； （2）如果，那么，根据等式性质，在等式两边都减去； 故填：； （3）如果，那么，根据等式性质，在等式两边都除以； 故填：； （4）如果，那么，根据等式性质，在等式两边都乘以； 故填：． 4．（24-25下·湖北十堰·期末）已知x、y都是整数，利用等式性质，将下列各小题中的等式进行变形，然后填空． （1）如果，那么______，这就是说，如果两个数的和为0，那么这两个数________； （2）如果，那么______，这就是说，如果两个数的积为1，那么这两个数________； （3）如果，那么______，，这就是说，如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为________； （4）如果，那么x________，这就是说，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为________． 【答案】 互为相反数 互为倒数 【分析】本题考查等式的基本性质及相反数、倒数的概念．需通过变形等式，填入合适的数或关系． （1）根据等式的性质以及相反数的性质即可求解； （2）根据等式的性质以及倒数的定义，即可求解； （3）根据等式的性质以及相反数的性质即可求解； （4）根据等式的性质以及倒数的定义，即可求解． 【详解】（1）如果，那么，这就是说，如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数； 故答案为：， 互为相反数． （2）如果，那么，这就是说，如果两个数的积为1，那么这两个数互为倒数； 故答案为：，互为倒数． （3）如果，那么，这就是说，如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为； 故答案为：，． （4）如果，那么，这就是说，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为． 故答案为：，． 5．（1）若，则_________． 这是根据等式基本性质_________，等式的两边________． （2）若，则________． 这是根据等式基本性质__________，等式的两边_________． （3）若，则_______． 这是根据等式基本性质________，等式的两边_________． 【答案】（1）5，1，同时加上5（2），1，同时加上（3）3，2，同时乘以3 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键；根据等式的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）若，则， 这是根据等式基本性质1，等式的两边同时加上5， 故答案为：5，1，同时加上5； （2）若，则． 这是根据等式基本性质1，等式的两边同时加上， 故答案为：，1，同时加上． （3）若，则． 这是根据等式基本性质2，等式的两边同时乘以3； 故答案为：3，2，同时乘以3． 利用等式的性质解方程题型04 1．已知方程，利用等式的性质求得这个方程的解为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质求解即可． 【详解】根据等式的性质2，方程两边同时乘以4得，． 故选：D． 2．利用等式的基本性质解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用等式的性质解答即可； （2）利用等式的性质解答即可； （3）利用等式的性质解答即可； （4）利用等式的性质解答即可； （5）利用等式的性质解答即可； （6）利用等式的性质解答即可． 【详解】（1）方程两边同时减去5，得，即； （2）方程两边同时加上，得，即； （3）方程两边同时除以，得，即； （4）方程两边同时乘以，得，即； （5）方程两边同时减去，得，即， 方程两边同时除以，得； （6）方程两边同时加上，得，即， 方程两边同时除以，得． 3．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为c是常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查等式的基本性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）等式两边同减去5即可； （2）等式两边同除以3即可； （3）等式两边同乘以即可； （4）等式两边同加上即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ． 4．对于任意有理数，，，，我们规定．例如．若，你能根据等式的性质求出的值吗？ 【答案】 【分析】本题考查了利用等式的性质解一元一次方程，解题的关键是理解新定义的运算．将根据定义的运算转化为方程，然后利用等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 5．（25-26七年级上·湖北随州·期中）在利用等式的性质解方程时．小华同学是这样解的： 解：方程两边加3，得．① 化简，得． 方程两边除以，得．② 所以此方程无解． (1)上述过程中，第①步的依据是什么？ (2)请分析小华第②步产生错误的原因； (3)写出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立． (2)方程两边除以x时，x可能为0，而0不能作为除数． (3) 正确的解题过程如下： 方程：， 方程两边加3，得， 方程两边减去，得， 即． 【分析】本题考查了利用等式的性质解方程． （1）根据等式的性质1作答即可； （2）根据等式的性质2作答即可； （3）根据等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：第①步的依据是等式的性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立； （2）解：第②步错误的原因是：从，方程两边除以x，但x可能为0，而0不能作为除数； （3）略 利用等式的性质求式子的值题型01 1．（2025·安徽蚌埠·模拟）已知正整数a，b，c满足，，则的最大值与最小值的差为（   ） A．22 B．20 C．19 D．18 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，把两个已知条件式相加推出，则当a取最大值时，有最小值，当a取最小值时，有最大值，根据a、b、c都是正整数，可确定a的最小值为1，a的最大值为19，据此求出的最大值与最小值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴当a取最大值时，有最小值，当a取最小值时，有最大值， ∵a、b、c都是正整数， ∴a的最小值为1，a的最大值为19， ∴的最大值为，的最小值为， ∴的最大值与最小值的差为， 故选：D． 2．（25-26七年级上·甘肃定西·期末）已知，利用等式性质可求得的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质，将等式变形求解即可． 【详解】解：由 ， 两边同时减去，得， 即 ， 两边同时除以 ，得 ． 故答案为：． 3．如果，，那么_____个． 【答案】3 【分析】本题考查的是等式的基本性质； 将图形符号视为变量，根据等式关系建立方程并求解 【详解】解：由，得， 由，得， 由，得，代入，得， 因此， 则， 所以等于3个， 故答案为：3． 4．（25-26七年级上·浙江金华·期末）在综合实践课上，小聪用一张长为，宽为的长方形纸片进行操作探究，先剪去一个以长方形纸片较短边为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片中再剪去一个以较短边为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形．则的值为___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等式的性质，整式的加减运算，求出第一次操作后剩余长方形的两邻边长，进而求出第二次剩余长方形的两邻边长，再讨论第二次剩余长方形的两邻边长的大小，进而求出第三次操作后剩余长方形的两邻边长，根据第三次操作后剩余长方形为正方形可得答案． 【详解】解：第一次操作：剪去边长为的正方形（较短边），剩余长方形的两邻边长分别为，（由得，则为较长边）， 第二次操作：剪去边长为的正方形（较短边），剩余长方形的两邻边长分别为，： 若，即，则第三次操作后剩余长方形的两邻边长分别为，， ∵第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形， ∴， ∴， ∴； 若，即，则第三次操作后剩余两邻边长分别为、， ∵第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或； 故答案为：或． 5．（25-26七年级·广东湛江·期中）【阅读理解】 【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题：如果，其中是整数，且，那么，． 【材料二】已知，是有理数，并且满足等式，求，的值． 解：， ． 且，解得：，． 请解答： (1)如果，其中是整数，且，那么______，______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，是有理数，并且满足等式，求的值． 【答案】(1)2， (2) (3)或 【分析】（1）先估算的整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （2）先估算的取值范围，再分别求出的小数部分、7的整数部分，最后代入式子计算； （3）根据有理数与无理数分离原则，等式两边有理数部分、无理数部分分别相等，列方程组求解、，再计算． 【详解】（1）解：， ， ，其中是整数，且， ，． （2）解：， ， ，， ． （3）解：， ， 且， 解得：，， 当时，， 当时， 利用等式的性质解决天平中的问题题型02 1．（25-26七年级上·河南驻马店·联考）如图，若天平①平衡，则下列选项中，天平一定平衡的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：∵天平①平衡， ∴， ∴，即， ∴天平一定平衡的是C， 故选：C． 2．（25-26七年级上·河北邢台·月考）假设“、、”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“”的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 本题主要考查了等式的性质，根据题意推出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴“？”处应放“■”的个数是2个， 故选：B． 3．如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，结合图形得出1个三棱锥个球，1个正方体个球是解题的关键． 根据图①，图②中得到三种物体的关系，然后根据图③中的摆放方式即可得出答案． 【详解】解：由图①可得个球个正方体个球个三棱锥， 则个正方体个三棱锥个球， 由图②可得3个球+3个正方体=2个三棱锥个正方体， 则1个正方体个三棱锥个球， 那么2个正方体个三棱锥个球个三棱锥个球， 故1个三棱锥个球， 那么个正方体=个三棱锥个球个球个球个球， 由图③可得天平左边为个球个正方体个三棱锥个球个球个球个球， 则天平右边应放个球， 故选：D． 4．如图，在天平处于平衡状态下，左盘中物体的质量等于___________． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质，理解题意并列得正确的方程是解题的关键．设左盘中物体的质量等于，根据题意列方程并解得x的值即可． 【详解】解：设左盘中物体的质量等于， 由题意得， 解得：， 即左盘中物体的质量等于， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·贵州遵义·月考）遵义某中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平和一个5克的砝码，如何测出一枚一元的硬币和一支粉笔的质量呢？以下是奇思妙想小组的实验过程： 实验准备：质量相同的硬币若干和质量相同的粉笔若干． 实验记录： 天平左边 天平右边 天平状态 记录1 5枚硬币+1个5克砝码 7支粉笔 平衡 记录2 10枚硬币+3支粉笔 14支粉笔+1个5克砝码 平衡 根据奇思妙想小组的实验记录，完成下列问题： (1)设一枚硬币的质量为克，用含的代数式表示一支粉笔的质量为_______克或_______克； (2)请你求出一枚硬币和一支粉笔的质量分别是多少克． 【答案】(1) (2)6克，5克 【分析】本题主要考查了等式的性质及列代数式，能根据题意用含x的代数式分别表示出两种记录中一支粉笔的质量是解题的关键． （1）根据题意，用含x的代数式分别表示出两种记录中一支粉笔的质量即可； （2）根据（1）中的结果建立方程，据此进行求解即可 【详解】（1）解：由记录1可知，7支粉笔的质量为克，则一支粉笔的质量为克， 由记录2可知，11支粉笔的质量为克，则一支粉笔的质量为克， 故答案为：； （2）解：由（1）知，，解得，， 一枚硬币的质量为克， 由（1）知，一支粉笔的质量为克， 一支粉笔的质量为克， 因此，一枚硬币和一支粉笔的质量分别是6克，5克． 利用等式的性质对已知等式进行变形题型03 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若有理数，，为互不相等的有理数，且，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质、整式的加减，解题的关键是正确的变形合并同类项． 根据等式的性质逐项判断，即可得出结论 【详解】解：仅由无法直接得出，，的大小关系， 例如当，时，，此时； 当， 时，，此时， 所以选项A和B错误，不符合题意； ， 等式的两边同时乘以6，得 ， 等式的两边同时加上，得 ， 即， 等式的两边同时乘以，得 ． 故选项C正确，符合题意； 去括号得 等式两边减去，得 即 等式两边减去a，得 即 等式的两边同时乘以，得 与原等式不相等， 所以选项D错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25上·上海·期中）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中： ①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值化简，整式的加减应用，等式性质应用的知识﹒由数轴可得，，根据，得到，即可得到，故①错误；根据变形为，故②正确；根据得到，故③正确；根据，化简得故④错误，问题得解﹒ 【详解】解：由数轴可得，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②正确； ∵ ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误﹒ 故选：B 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知方程， 用含x的代数式表示y，得_________． 【答案】 【分析】根据等式的性质解答即可． 本题考查了等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：， 根据等式的性质得， 故答案为：． 4．（2026·江苏南京·二模）实数a，b，c满足，且．下列结论：①；②a与b异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】③④ 【分析】先根据变形得到，结合绝对值性质和等式性质判断③④，再根据已知绝对值的大小关系判断，的符号关系，分类讨论的符号判断①②，即可得到正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故④正确； 且， ∵， ∴等式两边同时除以，得， 整理得，故③正确． ∵， 假设，异号，则， ∵， ∴， ∴，这与已知条件矛盾， 故假设不成立，，必为同号，故②错误． 又因为， 所以的符号与，的符号相反， 分两种情况讨论： 当时，，，此时； 当时，，，此时， 因此不一定成立，故①错误． 综上，正确结论的序号是③④． 5．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）阅读理解：密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，对于密文“”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序：如果规定又接在的后面，使个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有．这样就能把密文“”破译成明文“”，从而解读出密文的意思了． （1）根据材料填空：密文“ ”可破译成明文为___________． 类比运用：将个英文字母依次对应序号．对于密文“”，给出密文与明文之间的关系如下： 当密文对应的序号为奇数时，明文对应的序号为；当密文对应的序号为偶数时，明文对应的序号为， 密文 26 2 19 7 38 密钥 ① ② 明文序号 ③ 1 ④ 8 明文 ⑤ ⑥ （2）完成填写表格中序号对应的内容： ①___________，②___________，③___________， ④___________，⑤___________，⑥___________ 则将密文破译成用英文字母表示的明文为___________． 研究拓展：小明同学沿用对字母标号的方法，即将个英文字母依次对应序号1，2，3，．．．，．把明文“”译成密文“”，请你先观察下列表格． 密文 密文序号 24 4 2 3 18 4 23 密钥 明文序号 20 5 1 3 8 5 18 明文 r （3）①发现数据规律：， ②若设明文序号为，则当明文对应的序号为偶数时，使用的密钥为___________；当明文对应的序号为奇数时，使用的密钥为___________． 【答案】 （1）（2）① ②③④⑤⑥，（3）②， 【分析】本题考查数据规律归纳，用代数式表示数字规律，等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先找到密文每个字母的序号，减去3 得到明文对应字母的序号，即可求解； （2）根据密钥按 “奇 ，偶规则” 计算各明文序号，将序号对应字母后组合成明文单词； （3）先对比表格中明文序号与密文序号的数值关系，再按明文序号的奇偶性分类，归纳出两类序号对应的密钥公式． 【详解】解：（1）逐个转换密文字母： L向前3位：L（） ，对应字母I； o向前3位：o（），对应字母l； r向前3位：r（） ，对应字母o； y向前3位：y（） ，对应字母v； h向前3位：h（8） ，对应字母e； f向前3位：f（6） ，对应字母c； k向前3位：k（） ，对应字母h； l向前3位：l（） ，对应字母i； q向前3位：q（），对应字母n； d向前3位：d（4） ，对应字母a； 组合字母：将转换后的字母按顺序组合，得到“”． 故答案为：； （2）是偶数，使用的密钥为； 为奇数，使用的密钥为； 密文的明文序号； 密文的明文序号 ； 密文的明文序号 ． 密文的明文序号， 明文序号1 a，序号 m，序号 t，序号8 h，序号 s； 组合字母得到明文“”． 故答案为：① ② ③④⑤⑥，； （3）②观察①中算式的规律发现， 若设明文序号为， 则当明文对应的序号为偶数时，密文， 则 ； 当明文对应的序号为奇数时，密文， 则 ； 综上所述，当明文对应的序号为偶数时，密钥为；当明文对应的序号为奇数时，密钥为． 故答案为： ，． 由等式的性质比较大小题型 1．已知，则______”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025·河南周口·二模）若，则________”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，“等式两边乘同一个数，结果仍相等”，可得结论． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（1）已知，试比较x与y的大小． （2）已知，利用等式的基本性质说明． 【答案】（1）； （2）去括号，得． 等式两边都加上 ，得． 等式两边都减去 ，得． 等式两边都除以 ，得． 即． 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 直接利用等式的性质和等式的性质解题即可． 【详解】解：（1）等式的两边都减去，得． 等式的两边都减去，得． 等式的两边都减去，得．故． （2）略 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.2 等式的基本性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 根据等式的性质，判断式子变形的正误 题型02 根据等式的性质，判断方程变形的正误 题型03 根据等式的性质填空 题型04 利用等式的性质解方程 B组 能力进阶 题型01 利用等式的性质求式子的值 题型02 利用等式的性质解决天平中的问题 题型03 利用等式的性质对已知等式进行变形 C组 思维拔高 题型 由等式的性质比较大小 根据等式的性质，判断式子变形的正误题型01 1．（24-25七年级上·山西太原·月考）如果，那么下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）下列式子的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25上·上海·月考）下列说法正确的是___________．（写编号） ①几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数； ②已知为有理数，若，则； ③已知为有理数，若，则； ④已知为有理数，若，则． 4．判断下列等式变形是否正确，并说明理由． (1)若，则． (2)若，则． 5．在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为，所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因． 根据等式的性质，判断方程变形的正误题型02 1．把方程变形为，其方法是（    ） A．方程两边都乘1 B．方程两边都乘-1 C．方程两边都乘2 D．方程两边都乘-2 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）下列方程变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 3．如图，小明将等式进行变形，最后得到一个错误的结论，则下列说法正确的是（    ） A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误 4．下列解方程过程中，变形正确的是（  ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 根据等式的性质填空题型03 1．用适当的数或整式填空，使所得的式子仍是等式，请注明根据． 如果，那么________，根据是________． 2．由得到，可分两步，按步骤完成下列填空： 第一步：根据等式的性质____，等式两边____，得到； 第二步：根据等式的性质____，等式两边____，得到. 3．用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么__________． （2）如果，那么__________． （3）如果，那么__________． （4）如果，那么__________． 4．（24-25下·湖北十堰·期末）已知x、y都是整数，利用等式性质，将下列各小题中的等式进行变形，然后填空． （1）如果，那么______，这就是说，如果两个数的和为0，那么这两个数________； （2）如果，那么______，这就是说，如果两个数的积为1，那么这两个数________； （3）如果，那么______，，这就是说，如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为________； （4）如果，那么x________，这就是说，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为________． 5．（1）若，则_________． 这是根据等式基本性质_________，等式的两边________． （2）若，则________． 这是根据等式基本性质__________，等式的两边_________． （3）若，则_______． 这是根据等式基本性质________，等式的两边_________． 利用等式的性质解方程题型04 1．已知方程，利用等式的性质求得这个方程的解为（　） A． B． C． D． 2．利用等式的基本性质解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 3．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为c是常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 4．对于任意有理数，，，，我们规定．例如．若，你能根据等式的性质求出的值吗？ 5．（25-26七年级上·湖北随州·期中）在利用等式的性质解方程时．小华同学是这样解的： 解：方程两边加3，得．① 化简，得． 方程两边除以，得．② 所以此方程无解． (1)上述过程中，第①步的依据是什么？ (2)请分析小华第②步产生错误的原因； (3)写出正确的解题过程． 利用等式的性质求式子的值题型01 1．（2025·安徽蚌埠·模拟）已知正整数a，b，c满足，，则的最大值与最小值的差为（   ） A．22 B．20 C．19 D．18 2．（25-26七年级上·甘肃定西·期末）已知，利用等式性质可求得的值是_____． 3．如果，，那么_____个． 4．（25-26七年级上·浙江金华·期末）在综合实践课上，小聪用一张长为，宽为的长方形纸片进行操作探究，先剪去一个以长方形纸片较短边为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片中再剪去一个以较短边为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形．则的值为___________． 5．（25-26七年级·广东湛江·期中）【阅读理解】 【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题：如果，其中是整数，且，那么，． 【材料二】已知，是有理数，并且满足等式，求，的值． 解：， ． 且，解得：，． 请解答： (1)如果，其中是整数，且，那么______，______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，是有理数，并且满足等式，求的值． 利用等式的性质解决天平中的问题题型02 1．（25-26七年级上·河南驻马店·联考）如图，若天平①平衡，则下列选项中，天平一定平衡的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北邢台·月考）假设“、、”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“”的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 4．如图，在天平处于平衡状态下，左盘中物体的质量等于___________． 5．（25-26七年级上·贵州遵义·月考）遵义某中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平和一个5克的砝码，如何测出一枚一元的硬币和一支粉笔的质量呢？以下是奇思妙想小组的实验过程： 实验准备：质量相同的硬币若干和质量相同的粉笔若干． 实验记录： 天平左边 天平右边 天平状态 记录1 5枚硬币+1个5克砝码 7支粉笔 平衡 记录2 10枚硬币+3支粉笔 14支粉笔+1个5克砝码 平衡 根据奇思妙想小组的实验记录，完成下列问题： (1)设一枚硬币的质量为克，用含的代数式表示一支粉笔的质量为_______克或_______克； (2)请你求出一枚硬币和一支粉笔的质量分别是多少克． 利用等式的性质对已知等式进行变形题型03 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若有理数，，为互不相等的有理数，且，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 2．（24-25上·上海·期中）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中： ①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知方程， 用含x的代数式表示y，得_________． 4．（2026·江苏南京·二模）实数a，b，c满足，且．下列结论：①；②a与b异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_______． 5．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）阅读理解：密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，对于密文“”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序：如果规定又接在的后面，使个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有．这样就能把密文“”破译成明文“”，从而解读出密文的意思了． （1）根据材料填空：密文“ ”可破译成明文为___________． 类比运用：将个英文字母依次对应序号．对于密文“”，给出密文与明文之间的关系如下： 当密文对应的序号为奇数时，明文对应的序号为；当密文对应的序号为偶数时，明文对应的序号为， 密文 26 2 19 7 38 密钥 ① ② 明文序号 ③ 1 ④ 8 明文 ⑤ ⑥ （2）完成填写表格中序号对应的内容： ①___________，②___________，③___________， ④___________，⑤___________，⑥___________ 则将密文破译成用英文字母表示的明文为___________． 研究拓展：小明同学沿用对字母标号的方法，即将个英文字母依次对应序号1，2，3，．．．，．把明文“”译成密文“”，请你先观察下列表格． 密文 密文序号 24 4 2 3 18 4 23 密钥 明文序号 20 5 1 3 8 5 18 明文 r （3）①发现数据规律：， ②若设明文序号为，则当明文对应的序号为偶数时，使用的密钥为___________；当明文对应的序号为奇数时，使用的密钥为___________． 由等式的性质比较大小题型 1．已知，则______”“”或“”）． 2．（2025·河南周口·二模）若，则________”“”或“”）． 3．（1）已知，试比较x与y的大小． （2）已知，利用等式的基本性质说明． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $