专题08整式概念与整式加减运算期中复习讲义 (核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题08整式概念与整式加减运算期中复习讲义 1.理解单项式、多项式、整式的概念，分清单项式的系数、次数以及多项式的项、次数，能够准确判别整式。 2.掌握同类项的定义，熟练识别同类项，会运用合并同类项法则化简整式。 3.牢记去括号法则，分清括号前是正号、负号的变化规律，能正确去括号。 4.熟练进行整式的加减运算，能利用整式加减化简求值，会处理化简求值中的整体代入题型。 5.会借助整式加减解决图形周长、规律探究等实际问题，规范化简步骤，减少符号错误。 题型 考察方向 难度 题型一 单项式的判断 ★ 题型二 单项式的系数、次数 ★ 题型三 单项式规律题 ★★★ 题型四 多项式的判断 ★ 题型五 多项式的项、项数或次数 ★ 题型六 多项式系数、指数中字母求值 ★★ 题型七 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 ★★ 题型八 整式的判断 ★ 题型九 同类项的判断 ★ 题型十 已知同类项求指数中字母或代数式的值 ★★ 题型十一 合并同类项 ★★ 题型十二 去括号 ★★ 题型十三 整式的加减运算 ★★ 题型十四 整式加减中的无关型问题 ★★★ 题型十五 整式的加减中的化简求值 ★★★ 题型十六 整式加减的应用 ★★★ 题型十七 数字类规律探索 ★★★ 题型十八 带有字母的绝对值化简问题 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 1 单项式 1.定义：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式。 补充：单独一个数或者单独一个字母也是单项式。 2.排除判定：含有加减运算、字母在分母中的式子不是单项式。 ✅示例：5，a，-3xy，m2 ❌示例：x+2， 3.单项式系数：单项式中的数字因数。 注意要点： ① 符号属于系数；② 是常数，算数字系数；③ 系数为 1、-1 时，1 省略不写。 4.单项式次数：单项式中所有字母的指数之和。 注意：单独非零常数（常数单项式）次数为 0。 举例：单项式 -2a2b 系数：-2 次数：2+1=3（三次单项式） 知识点 2 多项式 1.定义：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式。 2.项：多项式中的每一个单项式叫做多项式的项；不含字母的项叫做常数项。 ⚠️重点：项要连带前面的符号！ 3.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，作为多项式的次数。 知识点 3 整式 单项式和多项式统称为整式。 整式判定核心 分母中含有字母的代数式，一定不是整式。 单项式、多项式概念对比表 名称 构成特点 核心要素 单项式 数与字母相乘（无加减） 系数、次数 多项式 多个单项式相加（含有加减） 项、常数项、多项式次数 知识点 4 同类项（整式加减的基础） 1. 同类项完整定义 所含字母完全相同，并且相同字母的指数也分别相等的单项式叫做同类项。 补充特殊规定：所有常数项都是同类项。 2. 同类项两大判断标准（缺一不可） ① 所含字母完全一样； ② 对应字母的指数全部相等； 与单项式前面的系数大小、字母排列顺序无关。 3. 同类项辨析对比表 两组单项式 是否为同类项 判断理由 3x2y 与 -5x2y 是 字母 x、y 相同，x 指数 2，y 指数 1 完全对应 2ab 与 2a2b 否 字母 a 的指数一个是 1、一个是 2，不相等 4m 与 4n 否 所含字母不同 -7 与 12 是 均为常数项，常数都是同类项 5xy 与 3yx 是 字母顺序不影响，字母、指数全部一致 a与 2a 是 是常数系数，字母均为 a，指数 1 4. 基础例题 判断：-a3b 和 2ba3 是同类项 解：字母均为a、b，a指数 3，b指数 1，字母顺序不同不影响，属于同类项。 5. 易错点 只看字母不看指数、字母不同误判为同类项、常数项忘记是同类项 知识点 5 合并同类项法则 把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 口诀：系数相加减，字母指数原样留。 合并同类项标准步骤 （1）找：标记出全部同类项； （2）移：利用加法交换律、结合律，把同类项集中在一起（移动连带符号）； （3）并：同类项系数相加，字母与指数保持不变； （4）排（可选）：按某字母降幂排列。 例题： 知识点 6 去括号法则（本节重中之重） 括号前符号 法则内容 示例 括号前是 “+” 号 去掉括号和加号，括号内各项符号不变 a+(b-c)=a+b-c 括号前是 “-” 号 去掉括号和减号，括号内每一项全部变号 a-(b-c)=a-b+c 拓展：括号前带有数字因数，要使用分配律，数字乘遍括号内每一项 例：2(x-3y)=2x-6y；-3(a+2b)=-3a-6b 知识点 7整式加减通用步骤 整式加减本质：去括号 → 合并同类项 完整四步： （1）根据题意列出代数式； （2）有括号先去括号； （3）找出同类项进行合并； （4）结果化为最简整式（不再含有同类项）。 知识点 8 化简求值标准格式 先化简，再代入数值计算（严禁直接代入原式硬算） 解题模板： 当 x=-1 时， 知识点9高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 单项式系数、次数判断 忽略负号属于系数；把指数相加错误；把当作字母 系数包含符号；是常数；次数只算字母指数和 多项式找项 丢掉项前面正负号；把多项式次数当成所有字母指数总和 各项连带符号；多项式次数取最高次项次数 同类项识别 认为系数不同就不是同类项；混淆x2y与xy2 同类项与系数无关；相同字母指数必须对应相等 去括号运算 括号前为负号，只改变第一项符号，其余不变；漏乘括号内项 负号去括号，括号内所有项变号；数字分配律乘遍每一项 合并同类项 合并时随意改变字母、指数；非同类项强行合并 只合并同类项，字母与指数保持不变 化简求值 不化简，直接代入复杂原式计算；负数代入不加括号 先化简整式；负数、分数代入必须添加括号 整式区分 分母含有字母判定为整式 分母含字母的代数式不属于整式 题型一 单项式的判断 1．下列各式不是单项式的为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．单项式是只含有一个项的代数式，根据单项式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、 3是常数，属于单项式； B、 是字母，属于单项式； C、含有两个项，通过加号连接，因此不是单项式； D、是数字与字母的积，属于单项式； 故选：C． 2．下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥．单项式有（　　） A．②③④⑥ B．①③④ C．①⑤⑥ D．⑤⑥ 【答案】C 【分析】本题考查单项式的判断，判断每个式子是否为单项式，单项式是数字或字母的积的形式，不能包含加减法运算．据此解答即可． 【详解】解：①是常数，属于单项式； ②包含加法运算，是多项式，不是单项式； ③包含加法运算，是多项式，不是单项式； ④分子为多项式，不是单项式； ⑤是数字与字母的积，为单项式； ⑥是数字与字母的积，为单项式． ∴单项式有①、⑤、⑥， 故选：C． 3．在整式，，0，，，中，单项式有(   )个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据单项式的定义（由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式）判断即可． 【详解】解：由题意得在整式，，0，，，中， 单项式的有：、0、和． 故选B． 【点睛】本题考查了单项式的定义，理解单项式的定义是解题的关键． 题型二 单项式的系数、次数 4．单项式系数和次数分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：单项式的系数为，次数为． 5．关于单项式，下列说法正确的是（     ） A．系数是，次数是2 B．系数是，次数是3 C．系数是2，次数是3 D．系数是，次数是1 【答案】B 【详解】解：单项式的系数为，次数为． 6．下列结论错误的个数是（    ） ①是单项式；②多项式的常数项是5；③的系数是；④的次数为4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查单项式、多项式的定义，以及系数、常数项和次数的概念. 需要根据定义逐一判断每个结论的正确性， 掌握单项式和多项式的定义是关键，注意系数包括常数，如π，常数项是数值项，次数是所有字母指数的和. 【详解】∵ 单项式是只包含数字与字母乘积的代数式，而①中含有加法运算，∴ ①不是单项式，结论错误. ∵ 多项式的常数项是不含字母的项，②中多项式为，常数项是，∴ 结论错误. ∵ 单项式的系数是数字因数，③中的系数应为，不是，∴ 结论错误. ∵ 单项式的次数是字母指数之和，④中，次数为，∴ 结论正确. ∴ 错误结论有3个， 故选C 题型三 单项式规律题 7．按一定规律排列的代数式：，其中第个代数式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题分别寻找代数式的系数和x的指数的变化规律，即可推导得到第n个代数式． 【详解】解：分别观察系数和x的指数两部分规律： ∵第1个代数式的系数为1，第2个系数为2，第3个系数为3，第4个系数为4，… ∴可得第n个代数式的系数为， ∵第1个代数式中的指数为，第2个中的指数为，第3个中的指数为，第4个中的指数为，… ∴可得第n个代数式中的指数为， 综上，第n个代数式为． 8．探索规律：观察下面的一列单项式：，，，，…，，…，根据其中的规律得出的第个单项式是________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题中给出的式子可得出：单项式的系数和指数，系数的绝对值是奇数序列，符号正负交替，指数与序号相同． 【详解】解：观察单项式：，，，，…，，…， 得出第个单项式的系数绝对值为，符号由决定，指数为，因此第个单项式是， 故答案为：． 9．按一定规律排列的单项式：，，，，，，…．则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别从符号、分子系数、分母、x的次数四个部分寻找其与序数n的规律，再归纳得到第n个单项式即可． 【详解】解：我们分四部分找规律： ①符号规律： ∵第1个为正，第2个为负，第3个为正，第4个为负， ∴符号的规律为； ②分子系数规律： ∵第1个分子系数是，第2个是，第3个是，， ∴分子系数规律为； ③分母规律： ∵第1个分母是，第2个分母是，第3个分母是，， ∴分母规律为； ④x的次数规律： ∵第1个x的次数是，第2个x的次数是，第3个x的次数是，， ∴x的次数规律为． 综上，第n个单项式是． 题型四 多项式的判断 10．下列属于多项式的是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查多项式的定义，熟练掌握多项式的定义是解题的关键；根据多项式的定义，多项式是几个单项式的和，由此可排除选项． 【详解】解：∵多项式是由多个单项式相加而成的代数式； 选项A：是单项式； 选项B：是单项式； 选项C：5是常数，属于单项式； 选项D：是由单项式a和常数3相加而成的多项式； 故选D． 11．下列说法正确的是（   ） A．单项式的次数是7 B．数字5不是单项式 C．是多项式 D．单项式的系数是 【答案】C 【分析】本题考查单项式和多项式的定义及其性质。选项A错误是因为次数计算错误；选项B错误是因为数字是单项式；选项C正确因为该式可化为两个单项式的和；选项D错误是因为系数应包括常数π. 【详解】解：∵ 单项式的次数是所有字母指数的和，A中单项式为 ，字母指数和为 ，∴ A错误； ∵ 单独一个数字（如5）是单项式，∴ B错误； ∵ ，是两个单项式的和，属于多项式，∴ C正确； ∵ 单项式的系数是数字因数，D中单项式 的系数为 ，∴ D错误， 故选C. 12．在代数式中，多项式的个数是（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了多项式“由几个单项式的和组成的代数式，称为多项式”，熟记多项式的定义是解题关键．根据多项式的定义求解即可得． 【详解】解：，，，都是多项式，共有4个， 故选：B． 题型五 多项式的项、项数或次数 13．多项式的次数和项数分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据多项式的次数的定义和多项式中项的定义解答即可． 【详解】解：多项式的最高次项为，次数为，该多项式的项为，，，共项．所以次数和项数分别是，． 14．下列说法中，正确的是（     ） A．单项式的次数是3 B．单项式的系数是3 C．多项式的次数是3 D．多项式的项是和 【答案】A 【详解】解：A、单项式的次数为，正确； B、单项式的系数为，错误； C、多项式的最高次项次数为2，错误； D、多项式的项为和，错误． 15．一组多项式的规律如下：，按此规律，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将多项式拆分为a的系数、a的次数、b的系数三部分，分别找出对应规律再合并，即可得到第n个多项式． 【详解】解：推导a的系数的规律： ∵时系数为，时系数为，时系数为，时系数为 ∴第n个多项式a的系数为， 推导a的次数的规律： ∵时a的次数为，时a的次数为，时a的次数为，时a的次数为 ∴第n个多项式中a的次数为， 推导b的系数： ∵时b的系数为，时b的系数为，时b的系数为，时b的系数为， ∴n为奇数时b的系数为，n为偶数时b的系数为， 即第n个多项式中b的系数为， 综上可知，第个多项式是． 题型六 多项式系数、指数中字母求值 16．若多项式是关于的三次三项式，则，的值分别是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了多项式为三次三项式，则最高次项为三次，且项数为三；需使四次项系数为零以消除四次项，并确保三次项存在且二次项系数非零；据此即可求解； 【详解】解：∵ 多项式是关于 的三次式， ∴ 四次项系数为零，即 ，解得 ； 此时多项式为 ； ∵ 最高次项为三次， ∴ ，即 或 ； 又∵ 多项式是三项式，需确保二次项系数非零， 若 ，则 ，二次项消失，多项式仅为 ，两项，不符合； ∴ ，故 ； 验证：当 时，多项式为 ，是三次三项式； ∴ ，， 故选：B 17．若是关于x的五次四项式，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式的概念求出，，进而代入计算即可． 【详解】∵是关于x的五次四项式， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 18．已知为有理数，若多项式是三次三项式，则该多项式的常数项为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的次数和项数定义，根据三次三项式的定义，多项式需满足最高次数为3且共有三个项。通过分析各项的次数及存在性，确定有理数m的值，进而求出常数项． 【详解】解：∵多项式是三次三项式， ∴且， ∴且， 解得：． ∴该多项式的常数项为． 故选：B． 题型七 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 19．以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B．C．D． 【答案】B 【详解】解：选项A：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项B：各项的指数依次为，符合降幂排列的要求，正确； 选项C：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项D：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误． 20．把多项式，按的降幂排列为_______________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，把多项式按的降幂排列就是把多项式中的单项式按的指数从高到低排列． 【详解】解：把多项式，按的降幂排列， 可得：． 故答案为：． 21．已知关于，的多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的五次四项式，则的值为_________． 【答案】1 【分析】本题考查了将多项式按某个字母升幂（降幂）排列问题，多项式系数、指数中字母求值，理解题意得到m，n的关系式是解题的关键． 由多项式为五次四项式且按x降幂排列，最高次项次数为5，可知；再根据各项系数非零，可知；然后根据是按x的降幂排列递减，可知；结合m，n为正整数，求得m，n的值，代入计算即可． 【详解】解：∵多项式是按的降幂排列的五次四项式， ∴最高次项的次数为，且， ∴，且，， 又∵m，n为正整数， ∴，， ． 故答案为：1． 题型八 整式的判断 22．下列代数式中整式有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【分析】本题考查了整式的识别；整式是分母中不含字母的代数式．逐个检查每个代数式，判断分母是否含有字母． 【详解】解：：分母为3（常数），是整式； ：无分母，是整式； ：分母为n（字母），不是整式； ：常数，是整式； ：分母为5（常数），是整式； ：多项式，无分母，是整式； ：常数，是整式； ：分母为（含字母），不是整式； ：单项式，是整式． ∴ 整式有7个（第1、2、4、5、6、7、9个）． 故选：B． 23．下列式子：，，，，，0中，整式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握“单项式和多项式统称整式”是解题的关键． 明确整式的定义（分母不含字母的代数式，包含单项式和多项式），据此逐一判断式子是否为整式． 【详解】解：是多项式，分母无字母，是整式； 中分母含字母，不是整式； 中分母是常数，是整式； 中分母含字母，不是整式； 是单项式，是整式； 是常数，是整式． 综上，整式有、、、，共个． 故选：． 24．下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．不是整式 C．的系数是，次数是3 D．多项式的次数是6 【答案】A 【分析】根据整式的基本概念，理解解答即可． 本题考查单项式和多项式的概念，包括系数、次数和整式的定义．掌握单项式的系数和次数、多项式的次数以及整式的定义是关键． 【详解】解：A. 是单项式，正确，符合题意；     B. 是整式，错误，不符合题意； C. 的系数是，次数是，错误，不符合题意； D. 多项式的次数是，错误，不符合题意； 故选：A. 题型九 同类项的判断 25．下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键；根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，据此问题可求解． 【详解】解：选项A：与不是同类项，故不符合题意； 选项B：与是同类项，故符合题意； 选项C：与不是同类项，故不符合题意； 选项D：与不是同类项，故不符合题意； 故选B． 26．下列各组代数式中，是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了同类项，解题关键是熟知同类项的定义．根据同类项的定义：字母相同，相同字母的指数相同的两个单项式是同类项，即得． 【详解】解：A、与都含有字母x和y，且x的指数均为2，y的指数均为1， ∴它们是同类项． B、与，前者含字母x，后者为常数，字母不同， ∴不是同类项． C、与，前者含字母a和x，后者只含x，字母不同， ∴不是同类项． D、与，前者x指数为2，后者x指数为1，指数不同， ∴不是同类项． 故选：A． 27．若和是同类项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了同类项的概念，根据同类项的概念可求，的值，从而求出代数式的值，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同． 【详解】∵与是同类项， ∴，，解得：， ∴ 故选：． 题型十 已知同类项求指数中字母或代数式的值 28．若与是同类项，则的值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】根据同类项定义得到m，n的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得： ． 29．已知单项式与的和是单项式，则的值是________． 【答案】 【分析】两个单项式的和是单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项定义可得相同字母的指数相等，据此列方程求出和，再计算的值即可． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式 ， ∴两个单项式是同类项，相同字母的指数相等 ， ∴可得 ， 解方程得 ， 代入计算得． 30．如果单项式与的和是单项式，那么的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义求出m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：由题意得，与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 题型十一 合并同类项 31．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故原计算错误； B、，故原计算错误； C、，故原计算正确； D、与不是同类项，不能合并，故原计算错误． 32．已知代数式与的差为单项式，则的值为________． 【答案】5 【分析】本题考查了合并同类项法则、同类项的定义“如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，则这两个单项式是同类项”，熟记同类项的定义是解题关键．先判断出代数式与是同类项，再根据同类项的定义可求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵代数式与的差为单项式， ∴代数式与是同类项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 33．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法与除法、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键．根据有理数的加法与除法、合并同类项法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 题型十二 去括号 34．下列各式，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住去括号的两个核心要点：括号前为负号时内部各项均变号，括号前的系数需乘遍括号内所有项． 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 35．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 36．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号法则和分配律的应用，根据括号前的符号，正确去括号并变号，即可判断等式是否成立，由此求解即可． 【详解】解：A、左边，右边，左边右边，故A不成立，不符合题意； B、左边，右边，左边右边，故B不成立，不符合题意； C、左边，右边，左边右边，故C不成立，不符合题意； D、左边，右边，左边右边，故D成立，符合题意． 故选：D． 题型十三 整式的加减运算 37．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号法则先去掉括号再进行整式的加减运算即可． 【详解】解：， 故选A. 38．，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，已知式子的值求代数式的值，将所求代数式正确拆分是解题的关键． 将所求表达式拆分为已知部分的差，再代入计算即可． 【详解】解：，， 则． 故答案为：． 39．若，则的值是（  ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题利用绝对值的非负性和取值条件简化方程，关键步骤是确定的范围并代入的值． 由方程右边非负可得，进而，代入原方程化简得，根据绝对值非负性求解和的值，最后计算． 【详解】解：∵，且左边绝对值和非负， ∴，即， ∴， 代入原式得：， 化简得：， ∵，， ∴且， ∴，， ∴． 故选：B． 题型十四 整式加减中的无关型问题 40．多项式合并同类项后，不含项，则m的值是（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握运算法则是解题关键．先合并同类项，再根据含项的系数等于0求解即可得． 【详解】解：， ∵多项式合并同类项后，不含项， ∴， ∴． 故选：A． 41．若关于、的多项式与的差不含三次项，则的值（    ） A．4 B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是整式的加减运算，计算两个多项式的差，合并同类项后，令三次项的系数为零即可求解. 【详解】解：∵ ∵ 差不含三次项， ∴ ∴ 故选： A 42．有张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设长方形右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，则小长方形的长与宽的比__________． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式加减中的无关型问题，理解题意是解题关键．设，分别表示出、，进而得到，再根据的长发生变化时，的值始终保持不变，得到，即可求解． 【详解】解：设， 则，， ， 当的长度发生变化时，的值始终保持不变， ， ， ， 故答案为：． 题型十五 整式的加减中的化简求值 43．若代数式的值为3，则代数式的值为______． 【答案】6 【分析】本题考查整式的化简，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 将代数式 简化，发现其可化为 ，结合已知条件 ，即可求解． 【详解】解： ∵ ∴ 原式． 故答案为：6． 44．若，则_______． 【答案】11 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先去括号，再合并同类项，代入求值即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：11． 45．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的化简求值、绝对值的非负性，先根据绝对值的非负性求出x和y的值，再进行整式的加减运算，最后将x和y的值代入求解． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选B． 题型十六 整式加减的应用 46．下表是某年的月历表，用一个圈竖着圈住三个数，当你任意圈出一列上相邻的三个数时，这三个数的和不可能是（   ） A．72 B．60 C．27 D．21 【答案】D 【分析】本题主要考查整式加减的应用，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键． 由题意可设竖着圈住的三个数的第一个数是x，其中x为1到17的整数，则其他两个数分别为，则这三个数的和为，进而问题可求解． 【详解】解：设竖着圈住的三个数的第一个数是x，其中x为1到17的整数，则其他两个数分别为，由题意得： 这三个数的和为， ∵x为1到17的整数， ∴，即， 则只有D选项不符合题意； 故选：D． 47．如图，两个面积分别为6，13的图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为，则的值为（   ） A．35 B．63 C．56 D．49 【答案】B 【分析】本题考查整式加减的应用，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键． 设空白部分的面积为，根据题意列式计算得到，再整体代入计算即可． 【详解】设空白部分的面积为，则，， ∴，则 ∴ ， 故选：B． 48．如图，将周长相等的正方形 和长方形 放入一个大长方形内，大长方形未被覆盖部分为①和②，若已知①和②的周长之差为 6，则下列可求具体数值的序号是__________ ① 与 的和；② 与 的积；③ 与 的差；④ 与 的商 【答案】③ 【分析】设正方形的边长为，长方形的长为，宽为．中间四边形为③．然后根据①+③的周长和②+③的周长之差为6，列出等式，化简得到．再由正方形和长方形周长相等，即，变形为．最后通过和这两个式子，能够求出与的差，从而确定答案为③，而其他选项仅根据现有条件无法求出具体数值． 【详解】解：设正方形的边长为，长方形的长为，宽为．中间四边形为③， ①+③的周长为：， ②+③的周长为：， 已知①和②的周长之差为6， 则①+③的周长与②+③的周长之差为6， 即， 化简可得， 则， 因为正方形和长方形周长相等， 所以，可得， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以与的差可求． 与的和，与的积，与的商，仅根据现有条件无法求出具体数值． 题型十七 数字类规律探索 49．通过观察：，，，，，⋯在这列数中，第7个数是_____；第个数是_____ 【答案】 【分析】根据前5个数归纳类推出一般规律，即可． 【详解】解：，，，，，⋯， 所以第7个数是；第个数是． 50．有一组数据，，，…，满足以下规律：，，，…，（且为正整数），则的值为__________（结果用数字回答）． 【答案】 【分析】计算前几项数据找出周期为，再用除以求余数，根据余数求解． 【详解】解：， 则，，， 可知每次为一个循环， ， 故． 51．如图中四个三角形内的数有共同的规律，请找出这个规律，确定A为（     ） A．49 B．53 C．55 D．60 【答案】C 【详解】解：观察前三个三角形可知，里面的数的规律是：；；； 则有， ∴． 题型十八 带有字母的绝对值化简问题 52．已知有理数a，b，c满足，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．1或 【答案】B 【分析】此题考查的是有理数的运算，掌握绝对值的性质和有理数的乘、除法法则是解决此题的关键． 根据绝对值的性质， 的值仅与 的符号有关，为非零有理数时，其值可能为1或。通过已知条件三个此类值的和为，推断出 a，b，c中必有一个正数、两个负数，然后根据有理数的乘法法则可得，最后根据绝对值的性质和有理数的除法法则计算即可． 【详解】解：∵有理数a，b，c满足，而且、、这三个式子等于1或 ∴a，b，c中必有一个正数、两个负数。 ∴ ∴ 故选B． 53．已知，则的值为______． 【答案】 【分析】根据得出和异号，分两种情况讨论即可； 【详解】解：∵， ∴和异号， 分两种情况讨论： 假设，： 则，，， ∴； 假设，： 同理可得，，， ∴； 两种情况结果一致，因此原式的值为． 54．如果，则的值为（     ） A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．3 【答案】D 【分析】用a表示b，分和两种情况，去绝对值化简求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 当时，， ∴，， ∴原式； 当时，， ∴，， ∴原式， 综上，原式的值为3． 解答题 55．合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟知合并同类项的方法是解题的关键． （1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （3）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （4）需先将和看为一个整体，再进行合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 56．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 57．化简与求值． (1)先化简，再求值： ，其中，． (2)已知， ，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据整式的加减，合并同类项，对整式进行化简，然后把，代入，即可； （2）根据整式的加减，合并同类项，对整式进行化简，即可． 【详解】（1）解：原式 ； 当，时，原式． （2）解： ． 58．如图所示． (1)填空：______0；______0；______0；______0．（填>、<或＝） (2)化简：． 【答案】(1)>；<；>；> (2) 【分析】首先根据数轴上点的位置确定的大小关系，以此作为判断四个式子正负的突破口，数轴上右边的数总大于左边的数． （1）如果被减数大于减数，那么差为正，反之差为负，据此判断每个式子和0的大小关系． （2）根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，结合（1）中得到的正负性去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：从数轴可得数的大小关系：，据此判断： ：比大，大数减小数结果为正，因此； ：是负数，负数减2仍为负数，因此； ：是正数，是负数，正数减负数等价于正数加正数，结果为正，因此； ：比2小，大数减小数结果为正，因此． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴原式 ． 59．已知多项式，按要求解答下列问题： (1)该多项式的次数是 ． (2)按的降幂排列为： ． (3)若，求该多项式的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）先分别说出各项的次数，再得出多项式的次数； （2）将多项按的次数由高到低排列即可； （3）先利用绝对值的非负性求出、的值，再代入代数式求值． 【详解】（1）解：，第1项为2次，第2项为3次，第3项为常数项， 故该多项式的次数是3， 故答案为：3； （2）按的降幂排列为：， 故答案为：； （3）∵， ∴，， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了多项式的项、项数或次数，将多项式按某个字母升幂（降幂）排列，已知字母的值求代数式的值，绝对值非负性等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 60．已知有7个完全相同的长、宽分别为，的小长方形（如图①）和两个阴影长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图②，拼接处不重叠、无缝隙）． (1)请用含，的代数式解答下面的问题： （Ⅰ）大长方形的长为________； （Ⅱ）大长方形的面积为________． (2)请说明阴影长方形与阴影长方形的周长之和与的取值无关． 【答案】(1)（Ⅰ）  （Ⅱ） (2)由题图可得阴影长方形的长为，宽为，阴影长方形的长为，宽为， 所以阴影长方形的周长为， 阴影长方形的周长为． 因为两者周长之和为， 所以阴影长方形与阴影长方形的周长之和与的取值无关． 【分析】先分析拼接的边长关系：因为大长方形宽为10，且左侧3个小长方形横向放置加阴影A的高度等于10，右侧4个小长方形纵向放置加阴影B的高度等于10，所以可得到m与n的第一个等量关系． （1）观察大长方形的长的组成，其等于左侧横向小长方形的长，也等于右侧4个纵向小长方形的宽之和，以此写出长的代数式；再结合大长方形的宽，用长乘宽得到面积的代数式。 （2）先根据拼接关系分别表示出阴影A、阴影B的长和宽，再用长方形周长公式分别写出两个阴影的周长，求和后化简，若化简结果不含m，即可说明周长之和与m取值无关． 【详解】（1）（Ⅰ）观察图②的大长方形横向长度：左侧3个横放的小长方形的长拼接得到长度，右侧竖放的4个小长方形的宽拼接得到长度，因此大长方形的长为． （Ⅱ）已知大长方形的宽为10， 根据长方形面积公式：面积=长×宽， 代入长的代数式可得大长方形面积为． 答案：（Ⅰ）  （Ⅱ）． （2）略． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08整式概念与整式加减运算期中复习讲义 1.理解单项式、多项式、整式的概念，分清单项式的系数、次数以及多项式的项、次数，能够准确判别整式。 2.掌握同类项的定义，熟练识别同类项，会运用合并同类项法则化简整式。 3.牢记去括号法则，分清括号前是正号、负号的变化规律，能正确去括号。 4.熟练进行整式的加减运算，能利用整式加减化简求值，会处理化简求值中的整体代入题型。 5.会借助整式加减解决图形周长、规律探究等实际问题，规范化简步骤，减少符号错误。 题型 考察方向 难度 题型一 单项式的判断 ★ 题型二 单项式的系数、次数 ★ 题型三 单项式规律题 ★★★ 题型四 多项式的判断 ★ 题型五 多项式的项、项数或次数 ★ 题型六 多项式系数、指数中字母求值 ★★ 题型七 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 ★★ 题型八 整式的判断 ★ 题型九 同类项的判断 ★ 题型十 已知同类项求指数中字母或代数式的值 ★★ 题型十一 合并同类项 ★★ 题型十二 去括号 ★★ 题型十三 整式的加减运算 ★★ 题型十四 整式加减中的无关型问题 ★★★ 题型十五 整式的加减中的化简求值 ★★★ 题型十六 整式加减的应用 ★★★ 题型十七 数字类规律探索 ★★★ 题型十八 带有字母的绝对值化简问题 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 1 单项式 1.定义：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式。 补充：单独一个数或者单独一个字母也是单项式。 2.排除判定：含有加减运算、字母在分母中的式子不是单项式。 ✅示例：5，a，-3xy，m2 ❌示例：x+2， 3.单项式系数：单项式中的数字因数。 注意要点： ① 符号属于系数；② 是常数，算数字系数；③ 系数为 1、-1 时，1 省略不写。 4.单项式次数：单项式中所有字母的指数之和。 注意：单独非零常数（常数单项式）次数为 0。 举例：单项式 -2a2b 系数：-2 次数：2+1=3（三次单项式） 知识点 2 多项式 1.定义：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式。 2.项：多项式中的每一个单项式叫做多项式的项；不含字母的项叫做常数项。 ⚠️重点：项要连带前面的符号！ 3.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，作为多项式的次数。 知识点 3 整式 单项式和多项式统称为整式。 整式判定核心 分母中含有字母的代数式，一定不是整式。 单项式、多项式概念对比表 名称 构成特点 核心要素 单项式 数与字母相乘（无加减） 系数、次数 多项式 多个单项式相加（含有加减） 项、常数项、多项式次数 知识点 4 同类项（整式加减的基础） 1. 同类项完整定义 所含字母完全相同，并且相同字母的指数也分别相等的单项式叫做同类项。 补充特殊规定：所有常数项都是同类项。 2. 同类项两大判断标准（缺一不可） ① 所含字母完全一样； ② 对应字母的指数全部相等； 与单项式前面的系数大小、字母排列顺序无关。 3. 同类项辨析对比表 两组单项式 是否为同类项 判断理由 3x2y 与 -5x2y 是 字母 x、y 相同，x 指数 2，y 指数 1 完全对应 2ab 与 2a2b 否 字母 a 的指数一个是 1、一个是 2，不相等 4m 与 4n 否 所含字母不同 -7 与 12 是 均为常数项，常数都是同类项 5xy 与 3yx 是 字母顺序不影响，字母、指数全部一致 a与 2a 是 是常数系数，字母均为 a，指数 1 4. 基础例题 判断：-a3b 和 2ba3 是同类项 解：字母均为a、b，a指数 3，b指数 1，字母顺序不同不影响，属于同类项。 5. 易错点 只看字母不看指数、字母不同误判为同类项、常数项忘记是同类项 知识点 5 合并同类项法则 把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 口诀：系数相加减，字母指数原样留。 合并同类项标准步骤 （1）找：标记出全部同类项； （2）移：利用加法交换律、结合律，把同类项集中在一起（移动连带符号）； （3）并：同类项系数相加，字母与指数保持不变； （4）排（可选）：按某字母降幂排列。 例题： 知识点 6 去括号法则（本节重中之重） 括号前符号 法则内容 示例 括号前是 “+” 号 去掉括号和加号，括号内各项符号不变 a+(b-c)=a+b-c 括号前是 “-” 号 去掉括号和减号，括号内每一项全部变号 a-(b-c)=a-b+c 拓展：括号前带有数字因数，要使用分配律，数字乘遍括号内每一项 例：2(x-3y)=2x-6y；-3(a+2b)=-3a-6b 知识点 7整式加减通用步骤 整式加减本质：去括号 → 合并同类项 完整四步： （1）根据题意列出代数式； （2）有括号先去括号； （3）找出同类项进行合并； （4）结果化为最简整式（不再含有同类项）。 知识点 8 化简求值标准格式 先化简，再代入数值计算（严禁直接代入原式硬算） 解题模板： 当 x=-1 时， 知识点9高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 单项式系数、次数判断 忽略负号属于系数；把指数相加错误；把当作字母 系数包含符号；是常数；次数只算字母指数和 多项式找项 丢掉项前面正负号；把多项式次数当成所有字母指数总和 各项连带符号；多项式次数取最高次项次数 同类项识别 认为系数不同就不是同类项；混淆x2y与xy2 同类项与系数无关；相同字母指数必须对应相等 去括号运算 括号前为负号，只改变第一项符号，其余不变；漏乘括号内项 负号去括号，括号内所有项变号；数字分配律乘遍每一项 合并同类项 合并时随意改变字母、指数；非同类项强行合并 只合并同类项，字母与指数保持不变 化简求值 不化简，直接代入复杂原式计算；负数代入不加括号 先化简整式；负数、分数代入必须添加括号 整式区分 分母含有字母判定为整式 分母含字母的代数式不属于整式 题型一 单项式的判断 1．下列各式不是单项式的为（    ） A．3 B． C． D． 2．下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥．单项式有（　　） A．②③④⑥ B．①③④ C．①⑤⑥ D．⑤⑥ 3．在整式，，0，，，中，单项式有(   )个 A．3 B．4 C．5 D．6 题型二 单项式的系数、次数 4．单项式系数和次数分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 5．关于单项式，下列说法正确的是（     ） A．系数是，次数是2 B．系数是，次数是3 C．系数是2，次数是3 D．系数是，次数是1 6．下列结论错误的个数是（    ） ①是单项式；②多项式的常数项是5；③的系数是；④的次数为4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三 单项式规律题 7．按一定规律排列的代数式：，其中第个代数式为（   ） A． B． C． D． 8．探索规律：观察下面的一列单项式：，，，，…，，…，根据其中的规律得出的第个单项式是________． 9．按一定规律排列的单项式：，，，，，，…．则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 题型四 多项式的判断 10．下列属于多项式的是（   ） A． B． C．5 D． 11．下列说法正确的是（   ） A．单项式的次数是7 B．数字5不是单项式 C．是多项式 D．单项式的系数是 12．在代数式中，多项式的个数是（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 题型五 多项式的项、项数或次数 13．多项式的次数和项数分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 14．下列说法中，正确的是（     ） A．单项式的次数是3 B．单项式的系数是3 C．多项式的次数是3 D．多项式的项是和 15．一组多项式的规律如下：，按此规律，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 题型六 多项式系数、指数中字母求值 16．若多项式是关于的三次三项式，则，的值分别是（  ） A．， B．， C．， D．， 17．若是关于x的五次四项式，则_________． 18．已知为有理数，若多项式是三次三项式，则该多项式的常数项为（    ） A．或 B． C． D． 题型七 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 19．以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B．C．D． 20．把多项式，按的降幂排列为_______________． 21．已知关于，的多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的五次四项式，则的值为_________． 题型八 整式的判断 22．下列代数式中整式有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 23．下列式子：，，，，，0中，整式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 24．下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．不是整式 C．的系数是，次数是3 D．多项式的次数是6 题型九 同类项的判断 25．下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 26．下列各组代数式中，是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 27．若和是同类项，则（    ） A． B． C． D． 题型十 已知同类项求指数中字母或代数式的值 28．若与是同类项，则的值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 29．已知单项式与的和是单项式，则的值是________． 30．如果单项式与的和是单项式，那么的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 题型十一 合并同类项 31．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 32．已知代数式与的差为单项式，则的值为________． 33．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十二 去括号 34．下列各式，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 35．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 36．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型十三 整式的加减运算 37．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 38．，，则_____． 39．若，则的值是（  ） A． B．2 C． D．4 题型十四 整式加减中的无关型问题 40．多项式合并同类项后，不含项，则m的值是（   ） A．5 B． C．1 D． 41．若关于、的多项式与的差不含三次项，则的值（    ） A．4 B． C．3 D．5 42．有张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设长方形右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，则小长方形的长与宽的比__________． 题型十五 整式的加减中的化简求值 43．若代数式的值为3，则代数式的值为______． 44．若，则_______． 45．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型十六 整式加减的应用 46．下表是某年的月历表，用一个圈竖着圈住三个数，当你任意圈出一列上相邻的三个数时，这三个数的和不可能是（   ） A．72 B．60 C．27 D．21 47．如图，两个面积分别为6，13的图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为，则的值为（   ） A．35 B．63 C．56 D．49 48．如图，将周长相等的正方形 和长方形 放入一个大长方形内，大长方形未被覆盖部分为①和②，若已知①和②的周长之差为 6，则下列可求具体数值的序号是__________ ① 与 的和；② 与 的积；③ 与 的差；④ 与 的商 题型十七 数字类规律探索 49．通过观察：，，，，，⋯在这列数中，第7个数是_____；第个数是_____ 50．有一组数据，，，…，满足以下规律：，，，…，（且为正整数），则的值为__________（结果用数字回答）． 51．如图中四个三角形内的数有共同的规律，请找出这个规律，确定A为（     ） A．49 B．53 C．55 D．60 题型十八 带有字母的绝对值化简问题 52．已知有理数a，b，c满足，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．1或 53．已知，则的值为______． 54．如果，则的值为（     ） A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．3 解答题 55．合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 56．化简： (1)； (2)． 57．化简与求值． (1)先化简，再求值： ，其中，． (2)已知， ，求的值． 58．如图所示． (1)填空：______0；______0；______0；______0．（填>、<或＝） (2)化简：． 59．已知多项式，按要求解答下列问题： (1)该多项式的次数是 ． (2)按的降幂排列为： ． (3)若，求该多项式的值． 60．已知有7个完全相同的长、宽分别为，的小长方形（如图①）和两个阴影长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图②，拼接处不重叠、无缝隙）． (1)请用含，的代数式解答下面的问题： （Ⅰ）大长方形的长为________； （Ⅱ）大长方形的面积为________． (2)请说明阴影长方形与阴影长方形的周长之和与的取值无关． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $