专题04代数式（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材浙教版

专题04 代数式 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 代数式 考点二 整式的概念 考点三 同类项 考点四 整式的加减 05 重难题型突破 题型一 代数式的概念 题型二 代数式的值 题型三 单项式的概念 题型四 多项式的概念 题型五 多项式系数指数中字母求值 题型六 同类项的判断 题型七 已知同类项求参数 题型八 合并同类项 题型九 整式的加减计算 题型十 整式加减法的化简求值 题型十一 整式加减法的应用 题型十二 数字计算类规律探究 题型十三 图形类规律探究 题型十四 整式加减中无关类问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点与题型 本章是“从数到式”的转折，命题重点在“列得对、写得规范、算得准”。常考考点：列代数式（如比 的 2 倍小 3 的数是 ）；代数式的值（直接代入与整体代入）；单项式、多项式、整式的概念判断（注意 不是整式）；同类项的判断与合并同类项；去括号与整式的加减（必考一道“先化简、再求值”，6—9 分）；图形与数字规律探究（用含 的代数式表示第 个）。约占卷面 22%—30%。 难易度 难度系数约 0.68，是四章中区分度最大的一章：基础题人人可得，整体代入与规律探究是拉分点，通常位于填空题最后一题或解答题倒数第二题。去括号漏变号、非同类项强行合并、书写不规范（如 写成 、带单位不加括号）是本章隐性扣分大户。 识记 ① 能说出代数式的书写规范：数字写在字母前、乘号省略、带分数化成假分数、除法写成分数线、带单位加括号（如 元）。 ② 能说出单项式的系数与次数（如 的系数是 ，次数是 3）、多项式的项与次数，以及同类项的定义与合并法则。 ③ 能说出去括号法则：括号前是“”各项都不变号，括号前是“”各项都变号。 理解 ① 理解字母表示数的意义与“先化简、再求值”的合理性（减少计算量、便于发现式子结构）。 ② 理解合并同类项的依据是乘法分配律，能解释为什么“只合并系数、字母与指数不变”。 ③ 理解整体代入的思路：把已知式看作整体，通过变形转化，如由 得 。 应用 ① 能根据题意正确列出代数式，区分“和的平方” 与“平方和”、“ 除 ”与“ 除以 ”。 ② 能熟练进行去括号与合并同类项，完成整式的加减并代入求值（含代入负数、分数）。 ③ 能运用整体代入求值，如已知 ，求 的值。 ④ 能从图形或数字的排列中归纳规律，用含 的代数式表示第 项，并代回 检验。 考点一 代数式 列代数式 （1）在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量。 （2）要注意书写的规范性，用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写。 （3）在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面。 （4）含有字母的除法，一般不用“÷”，而是写成分数的形式。 代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。 （2）代数式求值步骤：①代入；②计算。如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值。 考点二 整式的概念 单项式 （1）定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义。 （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。 在判别单项式的系数时，要注意数字前面的符号，形如a或﹣a的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式。 多项式 （1）定义：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数。 （2）多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式。 考点三 同类项 同类项的判定 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项。 ⚠️概念辨析 ①所含字母相同并且相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项。 合并同类项 （1）定义：把多项式中的同类项合成一项，叫做合并同类项。 （2）法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 考点四 整式的加减 整式的混合运算 1．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算。 2．“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来。 整式加减法法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项. ⚠️易错易混 多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算。 多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）。 注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列。 题型一 代数式的概念 【例1】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各式中，不是代数式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，均为代数式． 不是代数式． 💡破题要诀 ① 定义：用运算符号把数与字母连接而成的式子（单独一个数或字母也算）。 ② 排除法：含「=」的是等式，含「>」「<」的是不等式，都不是代数式。 ③ 书写规范四条：数字写在字母前；乘号省略；带分数必须化成假分数；除法写成分数线。 ④ 式子后面带单位且式子是和差形式时，必须加括号，如 米。 ⑤ 相同字母在同一情境中必须表示同一个量，不同量要用不同字母。 迁移应用 【变式1-1】（2026七年级上·全国·专题练习）下列关于代数式的意义中，说法不正确的是（     ） A．表示的2倍与5的和 B．表示与6的和的2倍 C．表示的3倍与4的和的一半 D．表示与的和的平方 【答案】C 【详解】解：A．表示的2倍与5的和，正确； B．表示与6的和的2倍，正确； C．表示的3倍除以2再加4，而才是的3倍与4的和的一半，故不正确； D．表示与的和的平方，正确． 【变式1-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）用含字母的式子表示： （1）唐天步行的速度是，那么她步行2km的路程，需要________； （2）块长为，宽为的长方形地板砖，能铺设地面（无重叠，无缝隙）的面积是________； （3）某校计划给每个年级配发套劳动工具，则个年级共需配发________套劳动工具． 【答案】 【分析】根据不同的数量关系，分别列出对应的式子即可． 【详解】解：（1）由时间等于路程除以速度，得需要的时间为． （2）一块长方形地板砖的面积为，则块的总面积为． （3）每个年级配发套，个年级共需要配发（套）． 【变式1-3】（26-27七年级上·全国·单元复习）甲种玩具每个元，乙种玩具每个元，芳芳买了4个甲种玩具和3个乙种玩具，一共花了________元．（用含，的代数式表示） 【答案】/ 【分析】根据总花费等于甲种玩具的总价加上乙种玩具的总价，分别计算两种玩具的花费再求和即可． 【详解】解：∵甲种玩具每个元，芳芳买了个， ∴甲种玩具的总花费为元， ∵乙种玩具每个元，芳芳买了个， ∴乙种玩具的总花费为元， ∴总花费为元． 题型二 代数式的值 【例2】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知，则______． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性求出，的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵任意数的绝对值都是非负数， ∴，， 又∵， ∴，， 解得，， ∴． 💡破题要诀 ① 原则：能化简的先化简，再代入——先代入会让计算量成倍增加。 ② 代入负数、分数、幂的底数时一律加括号，这是防止符号错误的第一保险。 ③ 代入后严格按「先乘方、再乘除、后加减」计算。 ④ 同一个字母在同一个式子里必须代入同一个值。 ⑤ 算完用估算复核量级与符号是否合理。 迁移应用 【变式2-1】（26-27七年级上·河北廊坊·阶段检测）已知与互为相反数，是的倒数，则的值为______． 【答案】/0.5 【分析】根据相反数、倒数的定义分别求出和的值，代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵是的倒数， ∴， ∴． 【变式2-2】（26-27七年级上·全国·期中）已知，互为相反数，，互为倒数，是最大的负整数，则的值为________． 【答案】4 【分析】根据相反数、倒数、最大负整数的定义得到，，的值，代入代数式计算即可. 【详解】解：与互为相反数，与互为倒数，是最大的负整数， ，，， . 【变式2-3】（26-27七年级上·湖北·期中）若，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】运用整体思想是解答本题的关键．代数式中是的倍，故用整体代入法即可解决． 【详解】解：． 【变式2-4】（2026·江苏盐城·中考真题）若，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】直接整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 题型三 单项式的概念 【例3】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的系数是3 B．它是单项式 C．它的次数是6 D．它不是整式 【答案】B 【详解】解：． ∵该式的数字因数为9， ∴系数为9，故A选项错误； ∵该代数式是数字与字母的乘积， ∴它是单项式，属于整式，故B选项正确，D选项错误； ∵所有字母的指数和为， ∴次数为4，故C选项错误． 💡破题要诀 ① 定义：数与字母的乘积（单独一个数或一个字母也是单项式）。 ② 排除：分母中含有字母的式子不是单项式（是分式）。 ③ 系数 = 数字因数，要连同符号一起读，如 的系数是 -3。 ④ 次数 = 所有字母的指数之和，与数字的指数无关（如 次数是 2）。 ⑤ 两个特例： 是数字不是字母；单独一个非零数的次数是 0。 迁移应用 【变式3-1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【答案】B 【分析】本题根据单项式、整式的定义，以及单项式系数、次数的计算方法，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵单独的一个数是单项式，∴是单项式，A选项错误； ∵的数字因数为，所有字母的指数和为，∴它的系数是，次数是，B选项正确； ∵是单项式，单项式属于整式，∴是整式，C选项错误； ∵的数字因数是，∴它的系数是，不是，D选项错误． 【变式3-2】（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式． 【详解】解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 【变式3-3】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）单项式的次数是________． 【答案】 【详解】∵ 单项式中，的指数为，的指数为， ∴ 该单项式的次数为． 题型四 多项式的概念 【例4】（2026七年级上·全国·专题练习）下列式子：①，②，③ ，④，⑤，⑥，属于多项式的有_______．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】根据多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，逐一判断每个式子是否可表示为单项式的和． 【详解】解：① ，是单项式和的和，因此是多项式； ②分母中含有字母，是分式，不是多项式； ③ 是单项式、和的和，因此是多项式； ④是单项式； ⑤是常数，是单项式； ⑥分母中含有字母，不是多项式； 综上，属于多项式的有①③． 💡破题要诀 ① 定义：几个单项式的和，每个单项式叫做一项。 ② 每一项都要把它前面的符号算进去，如 的第二项是 。 ③ 次数 = 次数最高的那一项的次数，不是所有项次数之和。 ④ 常数项：不含字母的那一项（连同符号）。 ⑤ 命名格式：「几次几项式」，次数用汉字、项数也用汉字，如「三次三项式」。 迁移应用 【变式4-1】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）的次数最高项是___，项数是___． 【答案】 【分析】先计算多项式中每个单项式的次数，比较得到次数最高项，数出单项式的个数即可得到项数． 【详解】解：分别计算多项式中每个项的次数： ∵常数项的次数为，的次数为，的次数为，的次数为， ∴比较得， ∴次数最高项是，该多项式共包含个单项式，因此项数是． 【变式4-2】（26-27七年级上·北京·期中）多项式是________次________项式． 【答案】 三 三 【详解】解：∵多项式中，的次数为 的次数为，常数项的次数为， ∴最高次数为，故为三次多项式， ∵共有项， ∴是三项式， ∴多项式是三次三项式． 题型五 多项式系数指数中字母求值 【例5】（21-22七年级上·河南焦作·期中）如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于，的四次三项式 ∴，， 解得或，， ∴． 💡破题要诀 ① 翻译条件：「关于 的三次二项式」⟹ 最高次项的次数为 3，且合并后只有 2 项。 ② 「不含 项」⟹ 该项的系数等于 0，据此列方程。 ③ 系数为 0 时该项消失，项数随之减少——要检查合并后是否真变成要求的项数。 ④ 隐含条件别漏：说「二次三项式」时，二次项系数必须 ，否则就不是二次了。 ⑤ 解出参数后代回原多项式，逐条核对条件是否都满足。 迁移应用 【变式5-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若多项式是关于的二次二项式，则________． 【答案】 【分析】根据二次二项式的定义，最高次数为，且多项式只含两项，据此确定和的值，再计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次二项式． ∴多项式的最高次数为，可得． ∵多项式为二项式，即总共只有个非零项，最高次项系数，常数项． ∴一次项的系数为，即， 解得． ∴． 【变式5-2】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【答案】2 【分析】本题考查多项式的次数与项数的定义，利用多项式定义求参数的值，掌握多项式的相关定义是解题关键，根据四次二项式的定义，得到最高次项的次数为，且项的系数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：多项式是关于，的四次二项式， 最高次项的次数为，可得： ， 解得，即或， 又多项式为二项式， 项的系数为，可得： ， 解得， 验证得符合四次二项式的要求． 【变式5-3】（25-26七年级上·河南信阳·期末）多项式是关于、的六次三项式，则取值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据多项式的次数和项数的定义，第一项的次数为，应等于6，且系数不为零． 【详解】解：多项式是关于 ， 的六次三项式，因此最高次项的次数为 6，且共有三项， 第一项 的次数为， 令，得， 所以或， 当时，第一项系数，多项式变为，只有两项，不符合三项式要求， 故， 故答案为：． 【变式5-4】（25-26七年级上·陕西西安·期末）若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 【答案】1 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，根据多项式的次数的定义可得，根据多项式的项数的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的多项式有三项且次数是3， ∴， ∴， 故答案为：1． 题型六 同类项的判断 【例6】（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）下列选项中是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】同类项需满足所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、与所含字母相同，但是字母的指数不同，二者不是同类项，故此选项不符合题意； B、与所含字母相同，但是相同字母的指数不同，二者不是同类项，故此选项不符合题意； C、与所含字母均为，且的指数均为1，是同类项，故此选项符合题意； D、与所含字母相同，但是相同字母的指数不同，二者不是同类项，故此选项不符合题意． 💡破题要诀 ① 两个「相同」：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同。 ② 两个「无关」：与系数大小无关，与字母的排列顺序无关。 ③ 所有常数项彼此都是同类项。 ④ 判定时先把字母按同一顺序排列，再逐一对指数，避免视觉误差。 ⑤ 注意区分： 与 不是同类项（指数分配不同）。 迁移应用 【变式6-1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列各选项中，两项是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．4和 D．和 【答案】D 【详解】解：A、与，所含字母不同，不是同类项，不符合题意； B、与相同字母的指数不同，不是同类项，不符合题意； C、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意； D、与所含字母相同，且相同字母的指数均相同，是同类项，符合题意． 【变式6-2】（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：与所含字母不同，A错误； 与中相同字母的指数不相同，B错误； 与所含字母均为、，且相同字母指数均为1，C正确； 与中的指数不同，D错误． 【变式6-3】（21-22七年级下·四川绵阳·开学考试）下列属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．23与54 D．m2与 【答案】C 【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式为同类项，所有常数项都是同类项，逐一判断选项即可． 【详解】选项A中，与，相同字母的指数分别为和，的指数分别为和，相同字母指数不同，故不是同类项； 选项B中，含字母，不含字母，所含字母不同，故不是同类项； 选项C中，与都是常数项，所有常数项都是同类项，故是同类项； 选项D中，含字母，含字母，所含字母不同，故不是同类项． 题型七 已知同类项求参数 【例7】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据同类项的定义求出，，代入即可求出答案． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得， ∴． 💡破题要诀 ① 把「同类项」翻译成方程：相同字母的指数必须分别相等。 ② 有几个不同字母就列几个方程，组成方程组求解。 ③ 若某项只在一个式子中出现，则它在另一个式子中的指数应为 0。 ④ 解出参数后一定要代回两式，核对是否真成了同类项。 ⑤ 注意指数中的字母与底数中的字母不要混淆。 迁移应用 【变式7-1】（25-26七年级上·四川广元·期末）已知单项式与的和为单项式，则________． 【答案】 【分析】两个单项式的和为单项式，说明二者是同类项，根据同类项定义得到相同字母的指数相等，列方程求解和，再计算即可. 【详解】解：∵单项式与的和为单项式， ∴两个单项式是同类项，相同字母的指数相等， ∴，解得：， ∴. 【变式7-2】（26-27七年级上·湖南·期中）若与是同类项，则的值是________． 【答案】4 【详解】∵与是同类项， ∴相同字母的指数相等， ∴，， ∴， ∴． 题型八 合并同类项 【例8】（24-25七年级上·山东青岛·阶段检测）下列运算，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项计算并判断即可． 【详解】解：A选项，，运算错误.； B选项，与不是同类项，无法合并，运算错误； C选项，，运算错误； D选项，，运算正确． 💡破题要诀 ① 一找：用不同的标记（下划线、波浪线）标出各组同类项，防止漏项。 ② 二移：用交换律把同类项搬到一起，移动时必须带着它前面的符号一起走。 ③ 三合：系数相加减，字母部分连同指数原封不动照抄。 ④ 不是同类项的绝对不能合并，原样抄下来即可。 ⑤ 结果一般按某个字母的降幂（或升幂）排列，养成习惯。 迁移应用 【变式8-1】（26-27七年级上·北京·期中）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，该选项不符合题意； C、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意． 【变式8-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）填空： （1）________； （2）________； （3）________． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 【变式8-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先确定这三项都是同类项，再合并同类项即可； （2）（3）仿照（1）解答即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 题型九 整式的加减计算 【例9】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 💡破题要诀 ① 去括号法则：括号前是「+」，直接去掉，里面各项符号不变。 ② 括号前是「-」，去掉括号后里面各项都要变号——每一项都要变，别只变第一项。 ③ 括号前有数字因数时，用分配律把系数连同符号乘进每一项，不能漏乘。 ④ 多层括号由内向外逐层去，或一次全去但更要小心符号。 ⑤ 去完括号后再找同类项合并，最后按降幂排列。 迁移应用 【变式9-1】（26-27七年级上·北京·期中）如果，，且，求． 【答案】 【分析】将变为，再将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式9-2】（26-27七年级上·湖南·期中）化简． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式9-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）已知． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴ 题型十 整式加减法的化简求值 【例10】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ； ，， 原式． 💡破题要诀 ① 顺序固定：先去括号、合并同类项化为最简，再代入数值——顺序反了计算量翻倍。 ② 代入负数、分数要加括号，尤其代入幂的底数时。 ③ 整体代入法：已知 这类整体值时，先把所求式凑成含 的形式再代入。 ④ 凑整体的常用手段：提公因式、分组、加一项减一项。 ⑤ 算完核对符号，并把结果代回原式粗算一遍验证。 迁移应用 【变式10-1】（2026七年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式． 当，时，原式． 【变式10-2】（24-25七年级上·吉林四平·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【变式10-3】（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把，代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 题型十一 整式加减法的应用 【例11】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中．下列说法正确的是（） ①大长方形的长是；②阴影A的面积是； ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关；④阴影B的面积是． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据图形确定大长方形的长、宽以及阴影部分的长和宽，利用长方形周长和面积公式进行计算判断． 【详解】解：大长方形的长可表示为；故①正确； 阴影A的长为m，宽为， ∴阴影A的面积为，故②正确； 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影与阴影的周长的和为 ， 阴影与阴影的周长的和与的取值无关．故③正确； 阴影B的面积为，故④错误； 综上所述，正确的说法是①②③． 💡破题要诀 ① 先用文字理清关系式：总价 = 单价 × 数量，路程 = 速度 × 时间，剩余 = 总量 - 用去。 ② 再用字母表示未知量，并注明每个字母代表什么（设句要写完整）。 ③ 列式时注意整体加括号：如「比 的 2 倍少 3」写作 。 ④ 化简后代入求值，带上单位。 ⑤ 检验实际意义：长度、面积、人数应为非负，若算出负数必是列式方向反了。 迁移应用 【变式11-1】（25-26七年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期日 揭秘“能被整除”的奥秘 在小学我只知道像，，，这样的自然数能被整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数就能被整除．但我不知道其中的道理是什么． 今天通过数学活动课上的探究，我知道了其中的奥秘． 先看两位数的情形．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，则这个数可记为，于是．这里能被整除，因此，如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除． 用类似的方法表示三位数、四位数、五位数等也可以说明前面结论的道理． 任务： 请你根据小宇同学的日记用类似的方法表示三位数，并说明前面结论的道理． 【答案】解：设一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为，，，该三位数记为， 则， ∵和都能被整除， ∴若能被整除，则能被整除，即能被整除， 故对于三位数，若其所有数位上的数字之和能被整除，那么这个三位数就能被整除． 【分析】将三位数拆成能被整除的部分与各位数字之和，采用与题目类似的方法论证即可． 【详解】略 【变式11-2】（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）南通博物苑周边商铺在中秋期间销售“江海文化”主题文具礼盒，每个礼盒的进价为18元，售价为25元．店庆活动期间每实际成交一个礼盒，就赠送一张价值3元的小礼品券．若某天共售出礼盒a个（a为大于2的整数），其中退回2个：退回的礼盒已全额退还货款给顾客、店内无法再次销售、不赠送礼品券，且退回礼盒的进价成本由供货方全额补偿给该商铺．请用含a的式子表示这一天礼盒销售所获得的毛利润（毛利润实际销售收入商铺实付进价成本礼品券金额），并求当时的毛利润． 【答案】毛利润为元，当时，毛利润为192元 【分析】分别表示出销售收入与进价成本，减去礼品券支出，化简得毛利润，代入求解即可． 【详解】解：∵退回的礼盒已全额退还货款给顾客、店内无法再次销售、不赠送礼品券，且退回礼盒的进价成本由供货方全额补偿给该商铺， ∴实际成交的礼盒为个， ∴实际销售收入为元，商铺实付进价成本为元，礼品券支出为元， ∴毛利润（元）． 当时，（元）． 【变式11-3】（25-26七年级上·四川广元·期末）定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）观察图形，易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长，同理易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长； （2）根据观察可知，图①中大长方形的长为号正方形的边长与号正方形的边长和，宽为号正方形的边长与号正方形的边长和，又知长方形的周长，即可求出号正方形的边长； （3）要求阴影部分的周长，可根据平移的性质得出阴影部分的周长即为长方形的周长，再利用大长方形的周长和大长方形的宽，进而可求出的长，从而解得阴影部分的周长． 【详解】（1）解：号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号正方形的边长为，号正方形的边长为． （2）解：设号正方形的边长为，号正方形的边长为， ∴号正方形的边长为，号正方形的边长为， 则图①中的长方形的长为，宽为， 长方形的周长为，即， ． 号正方形的边长为， 号正方形的边长为． （3）解：如图，由平移知识可得阴影部分的周长为长方形的周长， 由（2）可知，号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号长方形的宽为号正方形的边长减去号正方形的边长的差即：， ， 周长为的长方形的长为：，宽为， ， ， 则长方形的周长为：， 即阴影部分的周长为． 题型十二 数字计算类规律探究 【例12】（26-27七年级上·贵州遵义·阶段检测）观察下列各式： ①； ②； ③； ④； 根据规律，下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从已知等式归纳首项与末项、平方底数的数量关系，代入首项进行计算，即可求解． 【详解】解：根据①； ②； ③； ④； 可得出，； 即首项为的连续整数相加，若末项为，则和为． 故首项时，若末项为，则和为， 即，只有C选项运算正确． 💡破题要诀 ① 先写出前 3～4 项，把「左边第 个」和「右边第 个」分开归纳。 ② 常用模型储备：、、。 ③ 等差型用 拟合，等比型用 拟合。 ④ 得到猜想后必须代入 分别验证，三处都对才成立。 ⑤ 求和类题目联想裂项相消、倒序相加两个工具。 迁移应用 【变式12-1】（26-27七年级上·福建福州·阶段检测）动脑筋、找规律． 严老师给小米出了下面的一道题，如图，请根据数字排列的规律，探索下列问题： (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2026个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 【答案】(1)在A位置的数是正数 (2)在B和D位置的数是负数 (3)第2026个数是正数，排在对应于C的位置 【分析】（1）根据A是向上箭头的上方对应的数解答； （2）根据箭头的方向与所对应的数的正、负情况解答； （3）根据4个数为一个循环组依次循环，用2026除以4，根据余数的情况确定对应的位置即可． 【详解】（1）A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数； （2）观察图形可知，向下箭头的上边的数是正数，下方是负数，向上箭头的下方是正数，上方是负数， 所以，B和D的位置是负数； （3）， ∴第2026个数是正数，对应的是C的位置． 【变式12-2】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)观察下列等式：；；…得出规律：______； (2)观察下列等式：，，，计算：，请按照上述方法计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）根据所给的等式的形式进行变形可得，即可求解； （3）根据（1）中的规律原式变形为，再结合（2）中的规律可得，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解： ； （3）解： 【变式12-3】（26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… (1)请写出第5个等式：　　　　　　； (2)请写出第n个等式（用含n的式子表示）； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2)当n为奇数时，第n个等式为， 当n为偶数时，第n个等式为； (3) 【分析】（1）根据所给等式写出第5个等式即可； （2）观察可知，第n个等式左边有n个从1开始的连续奇数（不看符号）进行加法运算，其中奇数项为正，偶数项为负，如果n为奇数，等式右边为n，若n为偶数，等式右边为，据此可得答案； （3）根据（2）的规律可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为：； （2）解：由题意得，当n为奇数时，第n个等式为， 当n为偶数时，第n个等式为； （3）解：从1到99共有50个奇数，且， 故由（2）得． 题型十三 图形类规律探究 【例13】（26-27七年级上·全国·单元测试）如图所示的图形都是由同样大小的基本图形按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有5个基本图形，第2个图形中一共有8个基本图形，第3个图形中一共有11个基本图形，第4个图形中一共有14个基本图形……，按此规律排列，则第7个图形中基本图形的个数为（     ） A．29 B．30 C．23 D．24 【答案】C 【分析】观察可知，序号每增加1，那么基本图形的个数就增加3，结合第1个图形的基本图形个数可得答案． 【详解】解：由题可知，第1个图形中一共有5个基本图形，可表示为； 第2个图形中一共有8个基本图形，可表示为； 第3个图形中一共有11个基本图形，可表示为； 第4个图形中一共有14个基本图形，可表示为， ∴第个图形中基本图形的个数可表示为． 当时，． 💡破题要诀 ① 先数出前 3 个图形对应的数量，列成一行数。 ② 看相邻两项的差：差恒定 ⟹ 一次式 ；差成倍 ⟹ 指数式。 ③ 更本质的方法是「拆图形」：把第 个图形看成 个相同单元，或「1 个基本单元 + 个重复部分」。 ④ 用图形结构解释通项，比单纯套差分可靠——换一种图形也不会失效。 ⑤ 用 代回检验，并回答题目问的是第几个图形。 迁移应用 【变式13-1】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）石墨烯是突破硅基芯片极限的关键材料．二维石墨烯的晶体结构如下图所示（黑色圆点表示碳原子）：第①个图中有个碳原子，第②个图中有个碳原子，第③个图中有个碳原子，…，按照此规律，第⑧个图中碳原子的个数是（     ） A．30 B．34 C．38 D．42 【答案】D 【分析】由前三个图总结出规律即可． 【详解】解：∵第①个图中有个碳原子，第②个图中有个碳原子，第③个图中有个碳原子， ∴每个图会比前一个图多个碳原子， ∴第⑧个图中，碳原子个数为（个）． 【变式13-2】（26-27八年级上·云南·期中）如图，已知等边三角形的边长为，按图中所示的规律摆放，用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察所给图形，找出用不同数量等边三角形拼接而成的四边形周长规律，进而根据规律求解． 【详解】解：根据题图可知， 用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为：， 用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为：， 用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为：， 则用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为， 当时，， 用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长为． 【变式13-3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，按此规律排列下去，则第（）个图案中圆圈的个数是______． 【答案】 【分析】观察图形中圆圈数量的变化，发现相邻两个图案圆圈数量之差为定值，据此归纳出第个图案圆圈个数的表达式即可求解． 【详解】解：观察图形可知： 第（）个图案中有个圆圈，； 第（）个图案中有个圆圈，； 第（）个图案中有个圆圈，； 第（）个图案中有个圆圈，； ∴第个图案中圆圈的个数为， 当时，圆圈的个数为， ∴第（）个图案中圆圈的个数是． 题型十四 整式加减中无关类问题 【例14】（26-27七年级上·全国·期中）已知，是关于，的多项式，当，时，试判断的值与的取值有无关系，并说明理由． 【答案】的值与的取值无关．理由如下： 当，时， ， 所以的值与的取值无关． 【分析】当，时，化简得出结果为，即可得出结论． 【详解】略 💡破题要诀 ① 第一步必须先化简：去括号、合并同类项，把式子整理成按某字母的降幂排列。 ② 翻译条件：「与 无关」⟹ 含 的各次项系数全部为 0（ 项、 项系数都要为 0）。 ③ 逐个令系数为 0，列出关于参数的方程（组）求解。 ④ 若说「值恒等于 5」⟹ 所有含字母项的系数为 0，且常数项等于 5。 ⑤ 解出后把参数代回原式，取两组不同的 值算一遍，验证结果确实相同。 迁移应用 【变式14-1】（26-27七年级上·上海·单元测试）若整式与的和的值与所取的值无关，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是整式加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握合并同类项法则等知识．先化简代数式，根据题意可知含项的系数为，进而求得的值，再代入即可求解． 【详解】解： ∵整式与的和的值与所取的值无关， ∴， ∴， ∴． 【变式14-2】（22-23七年级上·全国·期末）如果多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次．求m，n的值． 【答案】， 【详解】解：原式 ； ∵多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次， ∴， ∴，． 【变式14-3】（21-22七年级上·吉林长春·期中）若关于、的多项式与的和中不含二次项，求的值． 【答案】 【分析】首先求出多项式的和，然后由不含二次项，得出m和n的值，即可得解． 【详解】解：， ∵结果中不含二次项， ∴， ∴． ∴． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级上·浙江金华·期中）现有一列数其中，，，并且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了数列的周期性规律，解题的关键是利用“任意相邻三个数的和为常数”推出数列的周期为3． 由相邻三个数的和为常数，得出数列周期为3（）；结合已知项确定周期内的数（，已知，）；计算周期和为0，再由总项数2025是3的倍数，得总和为0． 【详解】解：由“任意相邻三个数的和为常数”，可得数列周期为3（即）． （）， ； 已知，． 每组（3个数）的和为； 总项数2025是3的倍数（组）， 故总和为． 故选B． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法和合并同类项法则，需逐项验证计算是否正确． 【详解】解：∵A项：，∴A错误； ∵B项：，而，且等式不成立，∴B错误； ∵C项：，∴C正确； ∵D项：与不是同类项，不能合并，∴D错误； 故选C． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知两数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简代数式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由数轴上点的位置确定式子符号、化简绝对值及整式加减运算等知识，由数轴上点的位置确定式子符号是解决问题的关键． 先由两数在数轴上对应的点的位置得到，进而得到，再由绝对值的代数意义去绝对值，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， 则， ， 则 ， 故选：A． 4．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）当时，代数式的值为k，则当时，代数式的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值；通过整体代入法求解代数式的值即可． 【详解】解：∵当时，代数式， ∴，整理得：， ∵当时，代入代数式得： ， ∴当时，． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值．利用整体思想代入求值即可．利用已知条件，将代数式变形后整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若，则代数式的值为_______． 【答案】2031 【分析】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 由已知方程可得，然后将目标代数式变形为并代入计算． 【详解】解：由得， 所以 ， 故答案为：2031． 7．（25-26七年级上·浙江金华·期中）若与同类项，则的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了同类项．根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项，因此需要使和的指数分别相等，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ 与 是同类项， ∴，， 因此， 故答案为：4． 8．（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知代数式的值为，则代数式的值为_____． 【答案】 11 【分析】本题考查“代数式求值”，找到已知式子与所求式之间的关联，通过整体思想代入求值是解题关键． 由已知，得，通过等式的性质，整理得到，代入所求代数式即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 故答案为：11． 9．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知代数式的值与x的取值无关，则___． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．由于代数式的值与的取值无关，通过合并同类项后，所有含的项的系数必须为零，据此列方程计算即可． 【详解】解： ∵值与无关， ∴，， 解得，， ∴ 故答案为：． 10．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）列代数式表示：比a的5倍大4的数是_________ ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了列代数式，认真分析题意，理解题意是解题的关键． a的5倍是，比它大4，即． 【详解】解：根据题意，a的5倍是，比a的5倍大4的数是． 故答案为． 11．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）如图，长方形的长为，宽为． 如图，长方形的长为，宽为． (1)用含、的式子表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分面积的值（其中取）． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）用长方形的面积减去圆的面积即可求解； （）把的值代入到（）中的结果计算即可求解； 本题考查了列代数式，代数式求值，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，； （2）解：当，时， ． 12．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）某商场销售一款西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．商场现开展促销活动，向顾客提供以下两种优惠方案： 方案一：买一套西装送一条领带； 方案二：西装和领带都按定价的付款． 现某顾客要到该商场购买西装20套，领带x条（）． (1)若该顾客按方案一购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；若该顾客按方案二购买，需付款 元（用含x的代数式表示）． (2)当时，通过计算说明按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出最省钱的购买方法吗？写出你的购买方法并求出所需费用． 【答案】(1)； (2)当时，按方案一购买较为合算 (3)当时，更为省钱的购买方法是先按方案一购买20件西装，再按方案二购买10条领带，所需费用为元 【分析】本题考查了列代数式和求代数式的值，能根据题意列出代数式是解此题的关键． （1）根据题意列出算式，再进行计算即可； （2）把代入（1）的算式，再得出答案即可； （3）最省钱的方法是按方案一购买20件西装，再按方案二购买10条领带，再求出所需费用即可． 【详解】（1）解：按方案一购买，需付款：元， 按方案二购买，需付款：元， 故答案为：、． （2）当时，方案一需付款：（元）， 方案二需付款：（元）， ∵， ∴当时，按方案一购买较为合算． （3）最省钱的方案是：先按方案一购买20件西装，花（元），这样送了20条领带，再按方案二购买（条）领带， 这样共花（元）， 答：当时，更为省钱的购买方法是先按方案一购买20件西装，再按方案二购买10条领带，所需费用为元 13．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，13 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是先去括号、合并同类项化简整式，再代入数值计算． 先去括号，再合并同类项得到最简整式，最后将x、y的值代入计算． 【详解】解： ． 当，时， 原式． 14．（25-26七年级上·浙江金华·期中）（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【分析】此题考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键． （1）合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可，最后将，代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时， ． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．36 B．34 C．32 D．17 【答案】C 【分析】本题考查代数式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出阴影部分的长和宽． 根据题意，可以先设小长方形卡片的长为，宽为，然后即可表示出两个阴影部分的周长，再去括号，合并同类项即可． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 图②中两块阴影部分的周长和为： ， 故选：C． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知实数a，b，c，满足，则的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，求代数的值，绝对值的意义等知识，根据，可知 a、b、c 的符号组合为全正或两负一正，则的值仅取决于a、b、c的符号，分别计算各种情况，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴a、b、c的符号可能为：全正或两负一正， ①全为正数时，则，，， ∴ 原式； ②两个负数一个正数： 若a、b为负，c为正，则，，， ∴ 原式； 若a、c为负，b为正，则，，， ∴原式； 若b、c为负，a为正，则，，， ∴原式， 综上，原式的值为1或， 故选：C． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有_______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了运动中的规律探究，利用枚举法找出变化规律，用规律解答即可． 【详解】解：根据题意，得 ，，，，，故①正确； ，，，，，故②正确；，，，，； 该运动以5秒为一个周期，在一个周期内净前进1个单位长度， ∵，则，，，，， ∴故③错误； ∵ ∴， ∴故④正确 故答案为①②④． 4．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知一列数如下规律排列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…．其中第一项，接下来的两项，，再接下来的三项，，，依此类推．若整数满足如下条件：且该列数的前项和为2的整数幂．则整数的最小值为______． 【答案】7882 【分析】本题考查了数列分组规律、二进制进位思想以及幂的运算；解题的关键是发现当加上第组的前项时，前项和能成为 2的整数幂的充要条件是，先将数列按描述分组，第组有项；设前组完整，第组取前项，则总项数，总和；为使为的整数幂，则需使得，即；根据计算，并找到满足的最小值． 【详解】将数列进行分组： 第1组有1项：和为 第2组有2项：和为 第组有项，和为 设前组完整，第组取前项，则： 前项和为 （其中表示第组前项的和，当时此项为 0） 为使为的整数幂，则需使得，即 当时的最小值： 由和依次尝试的值： 当时，， ，不满足； 当时，， ，满足条件； ∴当时，更大，也更大，因此最小值为7882． 故答案为7882． 5．（25-26七年级上·浙江金华·期中）【新知学习】类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”．例如：与是“强同类项“． 【新知应用】 (1)给出下列四个单项式：①，②，③；④，其中是“强同类项”的组合是______；（填写序号） (2)若与是“强同类项”，求m的值； (3)若为关于x，y的多项式，，当C的任意两项都是“强同类项”时，求n的值； (4)已知，均为关于a，b的单项式，其中，，如果，是“强同类项”，那么x的最大值和最小值分别是什么？ 【答案】(1)①④，②③； (2)； (3)； (4)x的最大值为，x的最小值为 【分析】知识点：新定义“强同类项”的应用、绝对值运算、整式项的系数与指数分析方法：根据“指数差绝对值为0或1”列条件，分类讨论求解．关键：准确理解新定义，逐一验证项的指数关系．易错点：遗漏指数差的两种情况；忽略项的系数为0的特殊情况． （1）计算各单项式的指数差，筛选出符合“强同类项”的组合． （2）根据指数差绝对值为0或1，列方程求m的可能值． （3）验证多项式中任意两项的指数关系，结合系数为0的情况确定n． （4）先确定s、t、k的范围，再结合绝对值公式求x的最值． 【详解】（1）计算各单项式字母指数的差： 、、、、、， 得：①与②③指数差绝对值大于1，不是“强同类项”； ①与④指数差绝对值为1，是“强同类项”； ②与③指数差绝对值为0或1，是“强同类项”； ②与④、③与④指数差绝对值大于1，不是“强同类项”． 故组合为：①④，②③． 故答案为：①④，②③． （2）根据“强同类项”定义，指数差的绝对值为0或1，即或1： 当时，； 当时，； 当时，． 故． （3）已知，任意两项为“强同类项”： 第一项与第二项满足“强同类项”； 第一项与第三项：需指数差绝对值为0或1，得、6、7； 第二项与第三项：需指数差绝对值为0或1，得、5、6； 当时，第一项系数为0，为单项式（不符合题意），故． （4）由与是“强同类项”，得、4、5，、2、3； 结合，得、1、； 由，得； ∵表示数轴上x到1的距离， ∴的值越大对应的x的两个值小的越小，大的越大， 即取最大值时，x的两个值分别取最小值和最大值， 当s取最大（）、k取最小（）时，，此时或． 故x的最大值为，最小值为． 6．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如：，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)3和5关于2的“美好关联数”为 ； (2)若x和1关于0的“美好关联数”为4，求x的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于40的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为 ； ②求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)①；② 【分析】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． （1）根据“美好关联数”定义进行求解即可； （2）根据“美好关联数”定义列方程，再解方程即可； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值． 【详解】（1）解：， ∴3和5关于2的“美好关联数”为4． （2） ∵x和1关于0的“美好关联数”为4， ∴， ∴， 解得：或． （3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， 当，时， ∴， ∴， 当，时， ∴， ∴， 当，时， ∴， ∴， ∴， ∴有最小值1． ②由题意可知：， 同理可得：的最小值； ， 同理可得：的最小值； 同理，，的最小值； ，的最小值； ； ，的最小值； ∴的最小值： ． 7．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： (1)应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______； (2)应用二：若点表示的整数为，则当为______时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为______，此时所有符合条件的整数的和为______； (4)应用四：求的最小值为______． 【答案】(1) (2) (3)7， (4) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何应用是解题关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示的点与表示2和的点的距离相等，则数轴上表示的点是表示2和的点的中点，据此求解即可； （3）分情况讨论，再求出符合题意的的值的和即可； （4）将化为，分别求出三组最小时x的取值范围，进而求出最小时x的取值范围，计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： 与的值相等， 表示的点与表示2和的点的距离相等， 表示的点是表示2和的点的中点， ， 故答案为：； （3）解：当时， 当时， 当时， 当时，有最小值，最小值为7， 整数有、、、、、0、1、2，它们的和为， 故答案为：7；； （4） ， 由（3）可知，当时，有最小值； 当时，有最小值； 当时，有最小值； 可知当时，有最小值， 此时 ． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 代数式 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 代数式 考点二 整式的概念 考点三 同类项 考点四 整式的加减 05 重难题型突破 题型一 代数式的概念 题型二 代数式的值 题型三 单项式的概念 题型四 多项式的概念 题型五 多项式系数指数中字母求值 题型六 同类项的判断 题型七 已知同类项求参数 题型八 合并同类项 题型九 整式的加减计算 题型十 整式加减法的化简求值 题型十一 整式加减法的应用 题型十二 数字计算类规律探究 题型十三 图形类规律探究 题型十四 整式加减中无关类问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点与题型 本章是“从数到式”的转折，命题重点在“列得对、写得规范、算得准”。常考考点：列代数式（如比 的 2 倍小 3 的数是 ）；代数式的值（直接代入与整体代入）；单项式、多项式、整式的概念判断（注意 不是整式）；同类项的判断与合并同类项；去括号与整式的加减（必考一道“先化简、再求值”，6—9 分）；图形与数字规律探究（用含 的代数式表示第 个）。约占卷面 22%—30%。 难易度 难度系数约 0.68，是四章中区分度最大的一章：基础题人人可得，整体代入与规律探究是拉分点，通常位于填空题最后一题或解答题倒数第二题。去括号漏变号、非同类项强行合并、书写不规范（如 写成 、带单位不加括号）是本章隐性扣分大户。 识记 ① 能说出代数式的书写规范：数字写在字母前、乘号省略、带分数化成假分数、除法写成分数线、带单位加括号（如 元）。 ② 能说出单项式的系数与次数（如 的系数是 ，次数是 3）、多项式的项与次数，以及同类项的定义与合并法则。 ③ 能说出去括号法则：括号前是“”各项都不变号，括号前是“”各项都变号。 理解 ① 理解字母表示数的意义与“先化简、再求值”的合理性（减少计算量、便于发现式子结构）。 ② 理解合并同类项的依据是乘法分配律，能解释为什么“只合并系数、字母与指数不变”。 ③ 理解整体代入的思路：把已知式看作整体，通过变形转化，如由 得 。 应用 ① 能根据题意正确列出代数式，区分“和的平方” 与“平方和”、“ 除 ”与“ 除以 ”。 ② 能熟练进行去括号与合并同类项，完成整式的加减并代入求值（含代入负数、分数）。 ③ 能运用整体代入求值，如已知 ，求 的值。 ④ 能从图形或数字的排列中归纳规律，用含 的代数式表示第 项，并代回 检验。 考点一 代数式 列代数式 （1）在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量。 （2）要注意书写的规范性，用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写。 （3）在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面。 （4）含有字母的除法，一般不用“÷”，而是写成分数的形式。 代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。 （2）代数式求值步骤：①代入；②计算。如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值。 考点二 整式的概念 单项式 （1）定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义。 （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。 在判别单项式的系数时，要注意数字前面的符号，形如a或﹣a的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式。 多项式 （1）定义：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数。 （2）多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式。 考点三 同类项 同类项的判定 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项。 ⚠️概念辨析 ①所含字母相同并且相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项。 合并同类项 （1）定义：把多项式中的同类项合成一项，叫做合并同类项。 （2）法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 考点四 整式的加减 整式的混合运算 1．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算。 2．“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来。 整式加减法法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项. ⚠️易错易混 多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算。 多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）。 注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列。 题型一 代数式的概念 【例1】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各式中，不是代数式的是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 定义：用运算符号把数与字母连接而成的式子（单独一个数或字母也算）。 ② 排除法：含「=」的是等式，含「>」「<」的是不等式，都不是代数式。 ③ 书写规范四条：数字写在字母前；乘号省略；带分数必须化成假分数；除法写成分数线。 ④ 式子后面带单位且式子是和差形式时，必须加括号，如 米。 ⑤ 相同字母在同一情境中必须表示同一个量，不同量要用不同字母。 迁移应用 【变式1-1】（2026七年级上·全国·专题练习）下列关于代数式的意义中，说法不正确的是（     ） A．表示的2倍与5的和 B．表示与6的和的2倍 C．表示的3倍与4的和的一半 D．表示与的和的平方 【变式1-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）用含字母的式子表示： （1）唐天步行的速度是，那么她步行2km的路程，需要________； （2）块长为，宽为的长方形地板砖，能铺设地面（无重叠，无缝隙）的面积是________； （3）某校计划给每个年级配发套劳动工具，则个年级共需配发________套劳动工具． 【变式1-3】（26-27七年级上·全国·单元复习）甲种玩具每个元，乙种玩具每个元，芳芳买了4个甲种玩具和3个乙种玩具，一共花了________元．（用含，的代数式表示） 题型二 代数式的值 【例2】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知，则______． 💡破题要诀 ① 原则：能化简的先化简，再代入——先代入会让计算量成倍增加。 ② 代入负数、分数、幂的底数时一律加括号，这是防止符号错误的第一保险。 ③ 代入后严格按「先乘方、再乘除、后加减」计算。 ④ 同一个字母在同一个式子里必须代入同一个值。 ⑤ 算完用估算复核量级与符号是否合理。 迁移应用 【变式2-1】（26-27七年级上·河北廊坊·阶段检测）已知与互为相反数，是的倒数，则的值为______． 【变式2-2】（26-27七年级上·全国·期中）已知，互为相反数，，互为倒数，是最大的负整数，则的值为________． 【变式2-3】（26-27七年级上·湖北·期中）若，则代数式的值是________． 【变式2-4】（2026·江苏盐城·中考真题）若，则代数式的值为__________． 题型三 单项式的概念 【例3】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的系数是3 B．它是单项式 C．它的次数是6 D．它不是整式 💡破题要诀 ① 定义：数与字母的乘积（单独一个数或一个字母也是单项式）。 ② 排除：分母中含有字母的式子不是单项式（是分式）。 ③ 系数 = 数字因数，要连同符号一起读，如 的系数是 -3。 ④ 次数 = 所有字母的指数之和，与数字的指数无关（如 次数是 2）。 ⑤ 两个特例： 是数字不是字母；单独一个非零数的次数是 0。 迁移应用 【变式3-1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【变式3-2】（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-3】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）单项式的次数是________． 题型四 多项式的概念 【例4】（2026七年级上·全国·专题练习）下列式子：①，②，③ ，④，⑤，⑥，属于多项式的有_______．（填序号） 💡破题要诀 ① 定义：几个单项式的和，每个单项式叫做一项。 ② 每一项都要把它前面的符号算进去，如 的第二项是 。 ③ 次数 = 次数最高的那一项的次数，不是所有项次数之和。 ④ 常数项：不含字母的那一项（连同符号）。 ⑤ 命名格式：「几次几项式」，次数用汉字、项数也用汉字，如「三次三项式」。 迁移应用 【变式4-1】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）的次数最高项是___，项数是___． 【变式4-2】（26-27七年级上·北京·期中）多项式是________次________项式． 题型五 多项式系数指数中字母求值 【例5】（21-22七年级上·河南焦作·期中）如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 💡破题要诀 ① 翻译条件：「关于 的三次二项式」⟹ 最高次项的次数为 3，且合并后只有 2 项。 ② 「不含 项」⟹ 该项的系数等于 0，据此列方程。 ③ 系数为 0 时该项消失，项数随之减少——要检查合并后是否真变成要求的项数。 ④ 隐含条件别漏：说「二次三项式」时，二次项系数必须 ，否则就不是二次了。 ⑤ 解出参数后代回原多项式，逐条核对条件是否都满足。 迁移应用 【变式5-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若多项式是关于的二次二项式，则________． 【变式5-2】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【变式5-3】（25-26七年级上·河南信阳·期末）多项式是关于、的六次三项式，则取值为_____． 【变式5-4】（25-26七年级上·陕西西安·期末）若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 题型六 同类项的判断 【例6】（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）下列选项中是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 💡破题要诀 ① 两个「相同」：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同。 ② 两个「无关」：与系数大小无关，与字母的排列顺序无关。 ③ 所有常数项彼此都是同类项。 ④ 判定时先把字母按同一顺序排列，再逐一对指数，避免视觉误差。 ⑤ 注意区分： 与 不是同类项（指数分配不同）。 迁移应用 【变式6-1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列各选项中，两项是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．4和 D．和 【变式6-2】（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【变式6-3】（21-22七年级下·四川绵阳·开学考试）下列属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．23与54 D．m2与 题型七 已知同类项求参数 【例7】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 💡破题要诀 ① 把「同类项」翻译成方程：相同字母的指数必须分别相等。 ② 有几个不同字母就列几个方程，组成方程组求解。 ③ 若某项只在一个式子中出现，则它在另一个式子中的指数应为 0。 ④ 解出参数后一定要代回两式，核对是否真成了同类项。 ⑤ 注意指数中的字母与底数中的字母不要混淆。 迁移应用 【变式7-1】（25-26七年级上·四川广元·期末）已知单项式与的和为单项式，则________． 【变式7-2】（26-27七年级上·湖南·期中）若与是同类项，则的值是________． 题型八 合并同类项 【例8】（24-25七年级上·山东青岛·阶段检测）下列运算，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 一找：用不同的标记（下划线、波浪线）标出各组同类项，防止漏项。 ② 二移：用交换律把同类项搬到一起，移动时必须带着它前面的符号一起走。 ③ 三合：系数相加减，字母部分连同指数原封不动照抄。 ④ 不是同类项的绝对不能合并，原样抄下来即可。 ⑤ 结果一般按某个字母的降幂（或升幂）排列，养成习惯。 迁移应用 【变式8-1】（26-27七年级上·北京·期中）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）填空： （1）________； （2）________； （3）________． 【变式8-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 题型九 整式的加减计算 【例9】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简： (1) (2) 💡破题要诀 ① 去括号法则：括号前是「+」，直接去掉，里面各项符号不变。 ② 括号前是「-」，去掉括号后里面各项都要变号——每一项都要变，别只变第一项。 ③ 括号前有数字因数时，用分配律把系数连同符号乘进每一项，不能漏乘。 ④ 多层括号由内向外逐层去，或一次全去但更要小心符号。 ⑤ 去完括号后再找同类项合并，最后按降幂排列。 迁移应用 【变式9-1】（26-27七年级上·北京·期中）如果，，且，求． 【变式9-2】（26-27七年级上·湖南·期中）化简． (1) (2) 【变式9-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）已知． (1)求； (2)求． 题型十 整式加减法的化简求值 【例10】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 💡破题要诀 ① 顺序固定：先去括号、合并同类项化为最简，再代入数值——顺序反了计算量翻倍。 ② 代入负数、分数要加括号，尤其代入幂的底数时。 ③ 整体代入法：已知 这类整体值时，先把所求式凑成含 的形式再代入。 ④ 凑整体的常用手段：提公因式、分组、加一项减一项。 ⑤ 算完核对符号，并把结果代回原式粗算一遍验证。 迁移应用 【变式10-1】（2026七年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中，． 【变式10-2】（24-25七年级上·吉林四平·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式10-3】（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中，． 题型十一 整式加减法的应用 【例11】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中．下列说法正确的是（） ①大长方形的长是；②阴影A的面积是； ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关；④阴影B的面积是． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 💡破题要诀 ① 先用文字理清关系式：总价 = 单价 × 数量，路程 = 速度 × 时间，剩余 = 总量 - 用去。 ② 再用字母表示未知量，并注明每个字母代表什么（设句要写完整）。 ③ 列式时注意整体加括号：如「比 的 2 倍少 3」写作 。 ④ 化简后代入求值，带上单位。 ⑤ 检验实际意义：长度、面积、人数应为非负，若算出负数必是列式方向反了。 迁移应用 【变式11-1】（25-26七年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期日 揭秘“能被整除”的奥秘 在小学我只知道像，，，这样的自然数能被整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数就能被整除．但我不知道其中的道理是什么． 今天通过数学活动课上的探究，我知道了其中的奥秘． 先看两位数的情形．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，则这个数可记为，于是．这里能被整除，因此，如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除． 用类似的方法表示三位数、四位数、五位数等也可以说明前面结论的道理． 任务： 请你根据小宇同学的日记用类似的方法表示三位数，并说明前面结论的道理． 【变式11-2】（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）南通博物苑周边商铺在中秋期间销售“江海文化”主题文具礼盒，每个礼盒的进价为18元，售价为25元．店庆活动期间每实际成交一个礼盒，就赠送一张价值3元的小礼品券．若某天共售出礼盒a个（a为大于2的整数），其中退回2个：退回的礼盒已全额退还货款给顾客、店内无法再次销售、不赠送礼品券，且退回礼盒的进价成本由供货方全额补偿给该商铺．请用含a的式子表示这一天礼盒销售所获得的毛利润（毛利润实际销售收入商铺实付进价成本礼品券金额），并求当时的毛利润． 【变式11-3】（25-26七年级上·四川广元·期末）定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 题型十二 数字计算类规律探究 【例12】（26-27七年级上·贵州遵义·阶段检测）观察下列各式： ①； ②； ③； ④； 根据规律，下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 先写出前 3～4 项，把「左边第 个」和「右边第 个」分开归纳。 ② 常用模型储备：、、。 ③ 等差型用 拟合，等比型用 拟合。 ④ 得到猜想后必须代入 分别验证，三处都对才成立。 ⑤ 求和类题目联想裂项相消、倒序相加两个工具。 迁移应用 【变式12-1】（26-27七年级上·福建福州·阶段检测）动脑筋、找规律． 严老师给小米出了下面的一道题，如图，请根据数字排列的规律，探索下列问题： (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2026个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 【变式12-2】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)观察下列等式：；；…得出规律：______； (2)观察下列等式：，，，计算：，请按照上述方法计算：； (3)计算：． 【变式12-3】（26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… (1)请写出第5个等式：　　　　　　； (2)请写出第n个等式（用含n的式子表示）； (3)利用上述规律计算：． 题型十三 图形类规律探究 【例13】（26-27七年级上·全国·单元测试）如图所示的图形都是由同样大小的基本图形按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有5个基本图形，第2个图形中一共有8个基本图形，第3个图形中一共有11个基本图形，第4个图形中一共有14个基本图形……，按此规律排列，则第7个图形中基本图形的个数为（     ） A．29 B．30 C．23 D．24 💡破题要诀 ① 先数出前 3 个图形对应的数量，列成一行数。 ② 看相邻两项的差：差恒定 ⟹ 一次式 ；差成倍 ⟹ 指数式。 ③ 更本质的方法是「拆图形」：把第 个图形看成 个相同单元，或「1 个基本单元 + 个重复部分」。 ④ 用图形结构解释通项，比单纯套差分可靠——换一种图形也不会失效。 ⑤ 用 代回检验，并回答题目问的是第几个图形。 迁移应用 【变式13-1】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）石墨烯是突破硅基芯片极限的关键材料．二维石墨烯的晶体结构如下图所示（黑色圆点表示碳原子）：第①个图中有个碳原子，第②个图中有个碳原子，第③个图中有个碳原子，…，按照此规律，第⑧个图中碳原子的个数是（     ） A．30 B．34 C．38 D．42 【变式13-2】（26-27八年级上·云南·期中）如图，已知等边三角形的边长为，按图中所示的规律摆放，用个这样的三角形拼接而成的四边形的周长是（     ） A． B． C． D． 【变式13-3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，按此规律排列下去，则第（）个图案中圆圈的个数是______． 题型十四 整式加减中无关类问题 【例14】（26-27七年级上·全国·期中）已知，是关于，的多项式，当，时，试判断的值与的取值有无关系，并说明理由． 💡破题要诀 ① 第一步必须先化简：去括号、合并同类项，把式子整理成按某字母的降幂排列。 ② 翻译条件：「与 无关」⟹ 含 的各次项系数全部为 0（ 项、 项系数都要为 0）。 ③ 逐个令系数为 0，列出关于参数的方程（组）求解。 ④ 若说「值恒等于 5」⟹ 所有含字母项的系数为 0，且常数项等于 5。 ⑤ 解出后把参数代回原式，取两组不同的 值算一遍，验证结果确实相同。 迁移应用 【变式14-1】（26-27七年级上·上海·单元测试）若整式与的和的值与所取的值无关，求的值． 【变式14-2】（22-23七年级上·全国·期末）如果多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次．求m，n的值． 【变式14-3】（21-22七年级上·吉林长春·期中）若关于、的多项式与的和中不含二次项，求的值． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级上·浙江金华·期中）现有一列数其中，，，并且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知两数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简代数式的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）当时，代数式的值为k，则当时，代数式的值为__________． 5．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若，则代数式的值为________． 6．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若，则代数式的值为_______． 7．（25-26七年级上·浙江金华·期中）若与同类项，则的值为_____． 8．（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知代数式的值为，则代数式的值为_____． 9．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知代数式的值与x的取值无关，则___． 10．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）列代数式表示：比a的5倍大4的数是_________ ． 11．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）如图，长方形的长为，宽为． 如图，长方形的长为，宽为． (1)用含、的式子表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分面积的值（其中取）． 12．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）某商场销售一款西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．商场现开展促销活动，向顾客提供以下两种优惠方案： 方案一：买一套西装送一条领带； 方案二：西装和领带都按定价的付款． 现某顾客要到该商场购买西装20套，领带x条（）． (1)若该顾客按方案一购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；若该顾客按方案二购买，需付款 元（用含x的代数式表示）． (2)当时，通过计算说明按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出最省钱的购买方法吗？写出你的购买方法并求出所需费用． 13．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中，． 14．（25-26七年级上·浙江金华·期中）（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中，． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．36 B．34 C．32 D．17 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知实数a，b，c，满足，则的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或 D．或 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有_______． 4．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知一列数如下规律排列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…．其中第一项，接下来的两项，，再接下来的三项，，，依此类推．若整数满足如下条件：且该列数的前项和为2的整数幂．则整数的最小值为______． 5．（25-26七年级上·浙江金华·期中）【新知学习】类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”．例如：与是“强同类项“． 【新知应用】 (1)给出下列四个单项式：①，②，③；④，其中是“强同类项”的组合是______；（填写序号） (2)若与是“强同类项”，求m的值； (3)若为关于x，y的多项式，，当C的任意两项都是“强同类项”时，求n的值； (4)已知，均为关于a，b的单项式，其中，，如果，是“强同类项”，那么x的最大值和最小值分别是什么？ 6．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如：，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)3和5关于2的“美好关联数”为 ； (2)若x和1关于0的“美好关联数”为4，求x的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于40的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为 ； ②求的最小值． 7．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： (1)应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______； (2)应用二：若点表示的整数为，则当为______时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为______，此时所有符合条件的整数的和为______； (4)应用四：求的最小值为______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $