专题01有理数期中复习讲义 (核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题01有理数期中复习讲义 1.认识正负数，会用正负表示相反意义的量，分清有理数类别。 2.吃透数轴三要素，会读数、描点，借助数轴比较数的大小。 3.掌握相反数、绝对值，理解绝对值的非负性，熟练化简求值。 4.理清有理数运算法则，熟练加减乘除、乘方运算，善用运算律简算。 5.分清乘方符号陷阱，规范混合运算顺序，减少计算失误。 6.会用有理数知识解决实际问题、数轴动点小题，拿下高频易错点。 题型 考察方向 难度 题型一 正负数的定义 ★ 题型二 相反意义的量 ★ 题型三 正负数的实际应用 ★ 题型四 有理数的定义与分类 ★ 题型五 数轴的三要素及其画法 ★ 题型六 用数轴上的点表示有理数 ★ 题型七 数轴上两点之间的距离 ★★ 题型八 数轴上点的平移 ★★★ 题型九 数轴上找原点 ★★ 题型十 数轴上整点覆盖问题 ★★★ 题型十一 数轴上的规律探究 ★★★★ 题型十二 绝对值的几何意义 ★★ 题型十三 求一个数的绝对值 ★ 题型十四 绝对值非负性 ★★★ 题型十五 绝对值的其他应用 ★★★ 题型十六 利用数轴比较有理数的大小 ★ 题型十七 有理数大小比较 ★ 题型十八 有理数大小比较的实际应用 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:基础核心概念 1. 正数 定义：像3、0.5、、+7这样大于 0的数叫做正数。 书写规则：正数前面的 “+”（正号）可以省略不写，如+5可直接写作5。 读法：+5读作 “正五”，省略正号的5直接读 “五”。 2. 负数 定义：在正数前面添上符号 “-”（负号）得到的数叫做负数，如-3、-0.2。 书写规则：负数前面的 “-”绝对不能省略，省略后就变成正数。 读法：-6读作 “负六”，不能读作 “减六”。 3. 数字 0（本节重中之重，易考填空） (1)0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界； (2)0不只有 “没有” 一层含义，还可表示基准、标准： 温度0C：水结冰的标准温度，不是没有温度； 海拔0米：海平面的基准高度，不是没有高度。 4.概念区分对比表 类别 与 0 的大小关系 符号特点 举例 正数 大于 0 可带+，+可省略 2、+1.5、 0 等于 0 无正负号 0 负数 小于 0 必须带-，不可省略 -4、-0.8、- 知识点02:核心应用：用正负数表示相反意义的量 1. 判定标准 两个量必须同时满足两点，才能用正负区分： 意义相反；② 具有同类数量。 例：上升与下降、收入与支出、向东与向西、零上与零下，均为相反意义的量； “上升 5 米” 和 “支出 20 元” 不属于同类量，不能用正负表示。 2. 使用规则 (1)先人为规定其中一种意义的量为正，则与之相反意义的量为负； (2)规定具有灵活性，题目未固定时可自主设定，结果不唯一； (3)书写必须带单位，不能只写数字。 3.常见相反意义量分类表（考试高频素材） 正向规定 对应负向 生活实例 零上温度 零下温度 零上8C记作+8C，零下3C记作-3C 收入、盈利 支出、亏损 收入 300 元记作+300元，支出 120 元记作-120元 上升、增加 下降、减少 水位上升 0.6m 记作+0.6m，水位下降 0.4m 记作-0.4m 向东、向北 向西、向南 向东走 10km 记作+10km，向西走 5km 记作-5km 高于海平面 低于海平面 山峰海拔 + 600m，盆地海拔 - 150m 知识点03：有理数 1.定义： 正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数可以写成分数的形式；可以写成分数形式的数称为有理数。 2.有理数的分类： 3.各类数的含义 知识点04：数轴的概念与三要素 1. 数轴定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 相关概念：原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴。 2. 数轴三大核心要素（三者缺一不可） 原点：直线上取一点，表示数字 0； 正方向：一般规定向右为正方向，画上箭头； 单位长度：选取统一长度作为标准，间隔相等。 3. 数轴的画法 提醒： 画数轴时，原点的位置、正方向的选择、单位长度的大小，都是根据需要独自 “规定” 的，但一经选定后就不能随意改变； 同一数轴上的单位长度必须是统一的； (3) 数轴是一条向两方无限延伸的直线，因此，所画数轴的两端不要描点。 4. 画图常见错误 缺少箭头、无原点、单位长度长短不一； 原点左右数字标注顺序颠倒。 5. 判断数轴对错核心标准 只要缺少任意一个要素、单位长度不统一、无向右箭头，都不是规范数轴。 错误数轴常见问题 错误举例 改正要求 缺少原点（无 0 刻度） 直线只有刻度，没有标注 0 在直线中间标注原点 O，写上数字 0 无正方向箭头 直线两端都没有箭头 直线最右端画出向右箭头 单位长度不统一 刻度一格长、一格短 所有相邻刻度间隔长度完全相同 箭头画在左侧 向左画箭头当作正方向 正方向固定向右，只在右端画箭头 知识点05：用数轴上的点表示有理数（重难点） 1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点表示的数并不都是有理数。 2.表示正有理数的点在原点的右边，表示负有理数的点在原点的左边，0 用原点表示。 提醒： 一个有理数只能用数轴上的一个点表示； (2) 在数轴上，一部分点表示有理数，另一部分点表示无理数（后面会学到无理数）。 知识点06：数轴上的点与有理数之间的关系 1. 一一对应关系 每个有理数都可以用数轴上的唯一一点来表示； 也可以说，每个有理数都对应数轴上的唯一一点。 说明： 所有有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）都能在数轴上找到对应的点； 数轴上的点不仅能表示有理数，还能表示无理数（如π、），但本节课只研究有理数部分。 2. 正负数在数轴上的位置规律 设a是一个正数，则： 表示数a的点在数轴的正半轴（原点右侧），与原点的距离是a个单位长度； 表示数-a的点在数轴的负半轴（原点左侧），与原点的距离是a个单位长度。 数的符号 所在半轴 与原点的距离 示例 正数 a 正半轴（右） a 个单位 3 在原点右侧，距原点 3 格 负数 -a 负半轴（左） a 个单位 -3在原点左侧，距原点 3 格 0 原点 0 个单位 原点本身 3. 核心结论总结 有理数 → 数轴点：每个有理数都对应数轴上唯一的点； 位置判断：正数在右，负数在左，0 在原点； 距离相等：a与-a到原点的距离相同，仅方向相反。 知识点07:绝对值几何定义 数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 记作：|a|，a为任意有理数。 关键点：距离不可能是负数，因此任意数的绝对值一定是非负数，即 |a|0。 举例：数轴上表示-4的点到原点距离为 4，则|-4|=4；表示0的点就在原点，|0|=0。 知识点08:绝对值代数法则（去绝对值核心） 知识点09:绝对值五大核心性质 1.非负性（最重要） 任意有理数的绝对值|a|0； 推论：若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部都为 0。 例：|x-2|+|y+3|=0，则x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3。 2.互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|-a|。 3.若|x|=m(m>0)，则x=m 或 x=-m（一正一负两个解）。 例：|x|=5，x=5或x=-5； 补充：若|x|=0，仅有唯一解x=0。 4.绝对值的乘积、商性质： 5.|a-b|几何含义：数轴上表示a、b两点之间的距离。 知识点10：有理数大小比较 方法 1：数轴比较法（数形结合） 数轴上，右边的数总大于左边的数。 原点右侧全为正数，左侧全为负数； 正数＞0，负数＜0。 方法 2：分类直接比较法则 正数＞0＞负数； 两个正数比较：数字越大，数值越大； 两个负数比较：绝对值大的，反而更小。 例：比较-5和-2 |-5|=5，|-2|=2，5>2，所以-5 < -2。 方法3：绝对值比较法（仅用于两个负数比较） 适用场景：无需画图，纯数字比较两个负数 完整步骤： 1.分别求出两个负数的绝对值； 2.比较两个绝对值的大小； 3.绝对值更大的那个负数，本身数值更小。 示例：比较-6和-2.5 |-6|=6，|-2.5|=2.5，6>2.5，所以-6<-2.5 题型一 正负数的定义 1．在，0，3，这四个数中，正数是（     ） A． B．0 C．3 D． 【答案】C 【分析】依据正数的定义，判断四个数中大于0的数． 【详解】解：，，都是负数； 既不是正数也不是负数； ，是正数． 2．下列各数：，，，，，，，，其中负分数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据负分数的定义进行作答即可． 【详解】解：所给数中，、、、、是正数，不是负分数， 既不是正数也不是负数，不是负分数， 是负整数，不是负分数， 是负分数， ∴负分数共有个． 3．如果把一个物体向右移动2米记作+2米，那么物体向左移动5米记作（    ）米 A．-5 B．+5 C．+2 D．-2 【答案】A 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，向右移动记为正，可得向左移动的表示方法． 【详解】解：把一个物体向右移动2米记作+2米，那么这个物体又向左移动5米记作-5米， 故选：A． 【点睛】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示． 题型二 相反意义的量 4．某无人机在飞行过程中，上升8米，记作米，那么下降10米，记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据正负数表示相反意义的量，若上升记为正，则下降记为负． 【详解】解：上升米记作米， 下降米记作米． 5．我们把向东走8步记作+8步，则向西走5步记作__________步. 【答案】-5 【分析】由题意可知，向东为正，则向西为负，据此可解答此题． 【详解】由题意可知，向东为正，则向西为负， ∴向西走5步记作-5步， 故答案为-5． 【点睛】本题考查正数和负数；理解题意，确定向东为正，向西为负是解题的关键． 6．下列说法错误的是（    ）． A．0既不是正数，也不是负数 B．零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃ C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示 【答案】C 【分析】根据有理数的概念和性质判断即可． 【详解】∵0既不是正数，也不是负数， ∴A正确，不符合题意； ∵零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃， ∴B正确，不符合题意； ∵正方向可以自主确定， ∴向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示，是错误的， ∴C不正确，符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的基本概念，熟练掌握有理数的基本概念是解题的关键． 题型三 正负数的实际应用 7．我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数、负数的概念，若水库的水位升高，水位变化记作，则水库的水位下降时，水位变化记作______． 【答案】 【分析】升高记作正数，相反意义的下降就记作负数，根据这个规则即可作答． 【详解】解：∵水位升高时，水位变化记作， ∴水位下降时，水位变化记作． 8．下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据下表给出的国外四个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），请你判断城市________代表北京．（在A，B，C，D，E五个里面选一个填在横线上）    城市 时差 纽约 悉尼 伦敦 罗马 【答案】C 【分析】根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】解：第一个表的时间为8点或20点， 第二个表的时间为9点或21点， 第三个表的时间为4点或16点， 第四个表的时间为3点或15点， 第五个表的时间为6点或18点， 因为悉尼时间比北京时间多2个小时， 所以北京的时间只可能是4点或16点，此时E是悉尼，A是伦敦，B是罗马，D是纽约， 所以城市C代表北京． 9．排球的国际标准指标中有一项是排球的质量，规定排球的标准质量为. 现随机选取8个排球进行质量检测，结果如下表所示： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 275 263 278 270 261 277 282 269 则仅从质量的角度考虑，不符合要求的排球有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据标准质量为（270±10）g，得出小于260g以及大于280g的排球是不合格的，再进行判断即可． 【详解】解：因为排球的标准质量为（270±10）g，即260g≤排球的标准质量≤280g， 故第7个排球不符合要求， 故选：A． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．注意不是同一类别的量，不能看成是具有相反意义的量． 题型四 有理数的定义与分类 10．下列各数：（相邻两个1之间0的个数逐次加1），中，有理数有（     ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【详解】解：整数、，分数，有限小数、均为有理数， 含的、，以及无限不循环小数（相邻两个1之间0的个数逐次加1）均不是有理数， ∴有理数共有5个． 11．下列说法中，错误的有（　　） ①是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0； ④正整数、负整数统称整数；⑤0是最小的有理数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据小于0的分数是负分数，可判断①；根据分数的概念，可判断②；根据大于或等于零的有理数是非负有理数，可判断③；根据正整数、负整数和0统称整数，可判断④；根据有理数的大小比较，可判断⑤． 【详解】解：①是负分数，故①正确； ②1.5是分数，不是整数，故②正确； ③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误； ④正整数、负整数和0统称整数，故④错误； ⑤没有最小的有理数，故⑤错误； 错误的有③④⑤，共3个． 故选C． 【点睛】本题考查了有理数相关概念和分类，掌握相关基础知识是解题的关键，注意没有最小的有理数． 12．把下列各数分别填在相应的集合内：－11，4.8，73，－2.7，，3.1415926，－，，0． 正数集合：{                …}； 负分数集合：{              …}； 整数集合：{                …}； 非负整数集合：{            …}． 【答案】4.8，73， ，3.1415926，；-2.7，； -11，73，0；73，0． 【分析】整正数包括正整数和正分数；整数包括正整数、负整数和零；非负整数包括正整数和零，由此解答即可． 【详解】解：正数集合：{    4.8，73， ，3.1415926， …}； 负分数集合：{  -2.7， …}； 整数集合：{-11，73，0      …}； 非负整数集合：{73，0            …}． 故答案为：4.8，73， ，3.1415926，；-2.7，； -11，73，0；73，0． 【点睛】本题考查了有理数，弄清有理数的分类是解题的关键正数集合． 题型五 数轴的三要素及其画法 13．在直线上向右为正方向，负数都在0的_______边，也就是负数都比0_____，正数都比0_____． 【答案】 左； 小； 大 【分析】在数轴上，首先确定原点0的位置和单位长度，且从左到右的顺序就是数从小到大的顺序，所有的负数都在0的左边，越往左数越小，正数都在0的右边，越往右数越大． 【详解】在数轴上，所有的负数都在0的左边，也就是负数都比0小，正数都在0的右边，正数都比0大，负数都比正数小． 故答案为：左；小；大． 【点睛】此题考查在数轴上表示正负数，理解所有的负数都在0的左边，正数都在0的右边是解题的关键． 14．数轴上，如果表示数a的点在原点的左边，那么a是一个______数；如果表示数b的点在原点的右边，那么b是一个_______数． 【答案】 负 正 【分析】根据数轴上点的位置特征判断即可． 【详解】解：数轴上，如果表示数的点在原点的左边，那么是一个负数；如果表示数的点在原点的右边，那么是一个正数， 故答案为：负；正 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是弄清数轴上点的位置特征． 15．下列各图中，数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素，原点，单位长度，正方向即可得到答案． 【详解】 解：是一条射线，不是数轴，故选项A不符合题意； 单位长度不一致，不是数轴，故选项B不符合题意； 没有正方向且位置错误，不是数轴，故选项C不符合题意； 是数轴，故选项D符合题意； 故选D． 题型六 用数轴上的点表示有理数 16．如图，数轴上被遮挡住的整数是（     ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】略． 【详解】由数轴可知，被遮挡部分位于 与 之间． 大于 且小于 的整数只有 . 被遮挡住的整数是 ． 17．如图，把半径为1的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A点对应2，将圆形纸片沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是_________． 【答案】 【分析】此题考查了数轴与点的对应关系，关键是掌握点的移动与点表示的数之间的关系． 先计算圆的周长，再根据逆时针转动及点A对应点即可求解． 【详解】解：该圆的周长为， 与A的距离为， 由于圆形是逆时针滚动，所以在A的左侧， A点对应2， 表示的数为， 故答案为：． 18．正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，转次后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】通过列举前几次翻转后数轴上的数与正方形顶点的对应关系，发现每次翻转为一个循环周期，根据除以的余数确定对应的点． 【详解】解：由题意可知，正方形的边长为初始位置：点对应，点对应 ， 翻转次后：点 对应，点对应 ， 翻转次后：点 对应，点对应 ， 翻转次后：点 对应，点对应 ， 翻转次后：点 对应，点对应 数轴上的数与正方形顶点的对应关系每 个数为一个循环周期，对应顺序为 数对应的点与数对应的点相同，即为点 ． 题型七 数轴上两点之间的距离 19．在数轴上点A表示的数是3，点A与点B的距离是5个单位长度，则点B表示的数为________． 【答案】 或 【分析】点可位于点的左侧或右侧，分两种情况计算即可得到结果． 【详解】解：∵点表示的数是，点与点的距离是个单位长度， ∴分两种情况讨论：当点在点左侧时，点表示的数为， 当点在点右侧时，点表示的数为， 因此点表示的数为或． 20．已知：数轴上表示数与数的两点之间的距离为．利用数形结合思想回答问题：若，则的取值范围为_____． 【答案】 或 【分析】将绝对值转化为数轴上表示的点到表示的点的距离和表示的点到表示的距离，先计算两点间距离，再分三种情况讨论的位置，得到不等式的解． 【详解】解：根据题意，表示的点到表示的点的距离，表示数轴上表示的点到表示的距离．表示数的点和表示数的点之间的距离为． 分三种情况讨论： 如图，当时，等于表示的点到表示的点的距离，即，不满足． 如图，当时，等于表示的点到表示的点的距离加上2倍表示的点到表示2的点的距离，即，符合条件． 当时，等于表示的点到表示的点的距离加2倍表示的点到表示的点的距离，即，符合条件． 综上，的取值范围是或． 21．如图①，点，，，是数轴上从左到右排列的四个点，分别对应的数为，，，．某同学将直尺按如图②放置，使直尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度cm，点C对齐刻度cm，则数轴上点所对应的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，先根据刻度尺上的刻度与数轴上的单位长度的比值不变求解出单位长度，再求出之间在数轴上的距离，即可求解． 【详解】解：∵点对应的数为，点对应的数为 ， ∴数轴上， ∵直尺测量， ∴，即数轴上一个单位长度的长是， ∵直尺测量， ∴，即数轴上， ∴， ∵点在原点的左侧， ∴点对应的数为． 故选：C． 题型八 数轴上点的平移 22．数轴上点表示的数是，将点先向右移动5个单位长度，再向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点表示的数是， 向右移动5个单位长度后对应的数为， 再向左移动3个单位长度得到点， 则点表示的数为． 23．如图，在数轴上，点，点表示的数分别是，．点以个单位/秒的速度从出发沿数轴向右运动，同时点以个单位/秒的速度从点出发沿数轴在，之间往返运动．当点到达点时，点表示的数是________． 【答案】1 【分析】先求出点P到达点B所用时间，从而可知Q运动的路程，即可得到Q表示的数． 【详解】解：∵点A，点B表示的数分别是，10， ∴， ∴点P到达点B所用时间是秒， ∴Q所运动的路程为， ∴Q运动到A后，又返回B，向B运动了个单位， ∴Q表示的数是． 24．已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 【答案】A 【详解】解： P、Q相向而行相遇所用时间为（秒）． 点P从出发向右运动走过的路程为， 故相遇时点P表示的数为． 题型九 数轴上找原点 25．小明在做题时画了一个数轴，在数轴上原有一个表示的点A，由于粗心，小明把数轴的原点标错了位置，使点A落在了表示的相反数的点的位置，要把数轴画正确，原点应（    ） A．向右移4个单位长度 B．向右移2个单位长度 C．向左移4个单位长度 D．向左移2个单位长度 【答案】A 【分析】根据数轴上的点表示的数的规律，即可求解． 【详解】解：∵点落在了表示的相反数的点的位置， ∴此时点落在表示2的点， ∵表示2的点和表示的点的距离是， ∴如图，将原点向右移4个单位，则点A表示的数是． 26．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点，，把数轴分成①②③④四部分，点，，对应的数分别是，，，且． （1）原点在第________部分．（填序号） （2）若点与点距离个单位长度，点与点距离个单位长度，则的值为________． 【答案】 ② 【分析】（1）根据可知互为相反数，由此即可得； （2）先求出点与点距离个单位长度，再求出，然后利用数轴的性质求解即可得． 【详解】解：（1）， 互为相反数， 点、对应的数分别是、， 原点在第②部分， （2）点与点距离个单位长度，点与点距离个单位长度， 点与点距离个单位长度， 点、对应的数分别是、，且， ， 又∵点与点距离个单位长度，点对应的数是， ∴． 27．有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点B右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据越在数轴的右边的数越大，运用，得，则原点一定在中点左侧，即可作答． 【详解】解：∵，且从数轴得， ∴，， ∴原点一定在中点左侧， 故选：C． 题型十 数轴上整点覆盖问题 28．如图，数轴的一部分被墨迹遮住了，则被遮住的整数有（     ） A．10个 B．13个 C．15个 D．17个 【答案】B 【详解】解：由题意得，被遮住的整数为，，，，，，7，8，9，10，11，12，13， 所以被遮住的整数有13个． 29．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】线段的端点位置不确定，需分在整点、不在整点两类情况讨论． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当线段的起点在整点时，覆盖的整点个数为； ②当线段的起点不在整点，即在两个整点之间时，覆盖的整点个数为． 30．学校运动会上老师准备了一把数轴式测距卷尺，尺上每1格代表1厘米，整数厘米的刻度叫整点，现在在卷尺上画一条厘米的线段，这条线段最多可以盖住______个整点． 【答案】2027 【分析】设这条线段为（点A在点B的左侧，且点A为起点），分三种情况：当点A恰好在整点上，当点A不在整点上，且与其右侧的整点距离不大于厘米，当点A不在整点上，且与其右侧的整点距离大于厘米，讨论求解即可． 【详解】解：设这条线段为（点A在点B的左侧，且点A为起点） 当点A恰好在整点上时那么一共可以盖住个整点， 当点A不在整点上，且与其右侧的整点距离不大于厘米时，那么一共可以盖住个整点， 当点A不在整点上，且与其右侧的整点距离大于厘米时，那么一共可以盖住个整点， 综上所述，这条线段最多可以盖住2027个整点． 题型十一 数轴上的规律探究 31．正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正六边形在数轴上的翻转规律探究，关键是找出向左翻转顶点的循环规律．首先根据已知条件列举前几次翻转顶点对应的负数，发现每6个为一个循环，循环内顶点依次为、、、、、；再通过计算除以的余数，结合循环规律确定对应的顶点． 【详解】解：根据题意，第1次点对应，第2次点对应，第3次点对应，第4次点对应，第5次点对应，第6次点对应，第7次点对应， 由此可得，每次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为、、、、、． 数轴上所对应的顶点是正六边形经过次翻转得到的， 计算， 根据循环规律，余数为时对应的顶点是， 因此数轴上所对应的顶点是． 故选：B． 32．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字________的点与数轴上表示2026的点重合． 【答案】 【分析】根据题意可知圆每滚动一周在数轴上恰好经过4个整数，则往数轴正方向上，数轴上的数字从开始，每4个数字为一个循环，分别对应圆周上的数字0，1，2，3，据此计算数轴上到2026的距离，除以圆周长4求余数，根据余数结合滚动方向确定圆周上对应的数字． 【详解】解：圆周长为4，圆周上0，1，2，3四等分， 圆从数轴上处向右滚动到2026处，滚动的距离为：， ，说明圆滚动了506周后，又向右滚动了3个单位长度． 由图可知，圆向右滚动时，圆周上的点与数轴接触的顺序依次为1，2，3，0． 因为余数为3， 所以对应圆周上的数字3． 33．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2021次，蚂蚁最后在数轴上对应的数是（ ） A．1011 B． C．505 D． 【答案】A 【详解】先得到前四次蚂蚁到达的位置，依此类推得到一般性规律，即可得到结果． 【分析】解：蚂蚁第一次到达的位置为1， 蚂蚁第二次到达的位置为， 蚂蚁第三次到达的位置为2， 蚂蚁第四次到达的位置为， …… 依此类推，第次到达n，第次到达，（其中n为正整数）， ∵ 故第2021次到达1011． 题型十二 绝对值的几何意义 34．如图，数轴上有，，，四个点，其中所对应的数的绝对值最大的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【详解】解：由数轴得，点距离原点最远， ∴所对应的数的绝对值最大的点是． 35．代数式的最小值是4，则a的值是_______． 【答案】或 【分析】利用绝对值的几何意义，表示数轴上动点到两个定点、的距离和，距离和的最小值等于两定点之间的距离，据此列方程求解． 【详解】解：根据绝对值的几何意义，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， ∴是点到两个定点的距离之和， ∵当点在两个定点之间时，距离之和取得最小值，最小值等于两个定点之间的距离， ∴原式的最小值为， 由题意得， 去绝对值得或， 解得或． 36．下列说法中正确的个数为（     ） ①若，则；        ②如果，则； ③若，则；    ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】结合绝对值的性质判断各说法，错误命题可通过举反例快速验证． 【详解】解：①，，该说法正确，符合题意； ②举反例：取，，满足，但，该说法错误，不符合题意； ③，或，该说法错误，不符合题意； ④，，该说法正确，符合题意； 综上，正确的说法共2个． 题型十三 求一个数的绝对值 37．若，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：∵， ∴或． 38．若，则（     ） A． B． C．2 D．-2 【答案】B 【分析】算出的绝对值等于，由此求出的值为． 【详解】解：， ． 39．已知b是a的相反数，c的绝对值是3，则的值为 ________ 【答案】 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，正数的绝对值有两个，绝对值和它的相反数，计算即可． 【详解】解：∵b是a的相反数，c的绝对值是3， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相反数，绝对值的意义，熟练掌握意义是解题的关键． 40．已知，且，则的值是（   ） A．6或 B．6或 C．10或 D．6或10 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 先根据，得到p与q的值，然后结合，选取满足条件的p，q的值，分别计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴或， ∴当时，； 当时，； ∴的值为10或． 故选：C． 题型十四 绝对值非负性 41．关于，下列说法正确的是（     ） A．当时，有最大值9 B．当时，有最小值13 C．当时，有最小值9 D．当时，有最大值13 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，有最小值9． 42．已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而得出的值． 【详解】解：∵，且，，均为整数， ∴和均为非负整数，且和为， ∴可能情况为：且，则， ∴； 且， 则， ∴， 综上，． 43．设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，由，结合已知条件得到，再取值验证符合题意即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，取，， 则且，满足题目条件，故所求的最小值为， 故选：． 题型十五 绝对值的其他应用 44．一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偏差的绝对值越小，说明越接近标准质量，先计算各选项偏差的绝对值，然后比较大小即可得到结果． 【详解】∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，偏差的绝对值越小，越接近标准质量， 计算得 ，，，， ，即 ， 最接近标准质量的是． 45．当满足________条件时，有最小值，这个最小值是________． 【答案】 5 【分析】分，，三种情况计算． 【详解】当时， ； 当时， ； 当时， ； 故当时，有最小值，且最小值为5， 故答案为：，5． 【点睛】本题考查了分类思想，绝对值的化简，熟练掌握化简绝对值是解题的关键． 46．设实数a、b、c满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可知，，异号，再根据，以及||||||，即可确定，，在数轴上的位置，而||||||表示数轴上的点到，，三点的距离的和，根据数轴即可确定． 【详解】∵ ∴，异号 ∵ ∴， 又∵，以及 ∴ 表示到，，三点的距离的和．当在表示点的数的位置时距离最小，即最小，最小值是与之间的距离，即． 故选D． 【点睛】本题解决的关键是根据条件确定，，，之间的大小关系，把求式子的最值的问题转化为距离的问题． 题型十六 利用数轴比较有理数的大小 47．有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合数轴可得，，再逐一判断即可． 【详解】解：结合数轴可得，， 所以，，，． 48．若，则中最小的是_______． 【答案】 【分析】先想数轴上表示出，再比较大小即可． 【详解】解：如图， 由在数轴上的位置可知，， ∴中最小的是． 49．在数轴上表示、两数的点如下图所示，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用相反数的几何意义在数轴上找到表示和的点，再根据数轴上的点从左往右的顺序就是所表示的数从小到大的顺序比较大小即可． 【详解】解：表示和的点在数轴上的位置如图所示： ∴． 题型十七 有理数大小比较 50．在，，，这四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先按正负分类缩小范围，再比较两个负数的大小得到最小数． 【详解】解：，，， 最小的数在和中， ，，， ， 最小的数是． 51．比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】比较两个负数的大小，先比较两个数的绝对值，再根据“两个负数比较，绝对值大的数反而小”判断结果． 【详解】解：先计算两个数的绝对值，得，， ，， ， ， 根据两个负数比较大小的规则，绝对值小的负数更大， ． 52．下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，则，原式不成立； B、，原式不成立； C、∵， ∴，原式不成立； D、，原式成立． 题型十八 有理数大小比较的实际应用 53．如图表示某天我国城市最低气温，这些城市中气温最低的是（     ） A．哈尔滨 B．北京 C．广州 D．武汉 【答案】A 【详解】解：， 气温最低的是哈尔滨． 54．凝固点是晶体物质在一定压强下凝固时的温度，则在标准大气压下下列物质中凝固点最低的是（     ） 物质 钨 水银 固态酒精 冰 凝固点 A．钨 B．水银 C．固态酒精 D．冰 【答案】C 【详解】解：各物质凝固点分别为、、、， ，， ∵， ∴， ∵负数小于0，0小于正数， ∴， 即固态酒精的凝固点最低． 55．下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据下表给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市 ____ 代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上）． 【答案】C 【分析】本题考查正数与负数，根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】若以24小时制计时间， 第一个表的时间为8点或20点， 第二个表的时间为9点或21点， 第三个表的时间为4点或16点， 第四个表的时间为3点或15点， 第五个表的时间为6点或18点， 因为悉尼时间比北京时间多2个小时，所以北京的时间只可能是4点或16点，此时E是悉尼，A是伦敦，B是罗马，D是纽约． 故答案为：C． 解答题 56．把下列各数分别填入相应的集合： ，，，，，，，，，． 整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 非负整数集合{ …}； 负数集合{ …}； 【答案】；；； 【分析】本题考查了有理数的分类，由题意直接根据有理数的分类，把相应的数填写到相应的集合中即可，熟练掌握有理数的分类是解此题的关键． 【详解】解：整数集合； 分数集合； 非负整数集合； 负数集合； 57．琪琪用刻度尺按如图所示的方式画一数轴（刻度尺上为数轴上的个单位长度），数轴上的点，，恰好分别与刻度尺上的刻度值“”“”和“”对应． (1)若点表示的数为，则点表示的数应为_____，点表示的数应为_____； (2)若点与表示的数互为相反数，求点表示的数； (3)若点，表示的数互为相反数，试求数轴的原点对应刻度尺上的刻度值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】根据两点间的距离公式求出答案即可； 根据题意得到点表示的数为，然后通过点在点左侧个单位，列算式即可得到答案； 点，表示的数互为相反数，且点之间的距离为，从而求出数轴的原点对应刻度尺上的刻度值． 【详解】（1）解：若点表示的数为，则点表示的数应为，点表示的数应为， 故答案为：，； （2）解：因为点与表示的数互为相反数，且点之间的距离为， 所以点表示的数为， ∴点表示的数为； （3）解：因为点，表示的数互为相反数，且点之间的距离为， 所以数轴的原点对应刻度尺上的刻度值为． 58．在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ (2)如果蚂蚁从点C出发要爬到点D，且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几个单位长度？ (3)如果蚂蚁从点C出发要爬到点E，且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点E？ 【答案】(1)在数轴上点A所表示的数的相反数是，是点C (2)它应该往左爬2个单位长度 (3)当E在C的右侧时，C应该向右爬行9个单位，当E在C的左侧时，C应该向左爬行1个单位 【分析】（1）先根据运动方向和单位长度依次确定A、B、C三点所表示的数，再找出点A表示数的相反数对应的点即可； （2）由相反数定义确定点D表示的数，再比较点C与点D在数轴上的左右位置及距离，判断爬行方向与长度即可； （3）根据点E到原点距离为5个单位长度，分点E在原点左侧和右侧两种情况，分别确定点E表示的数，再计算其与点C的距离和相对位置，得出爬行方案． 【详解】（1）解：因为蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A， 所以点A表示的数为， 从点A向右爬了2个单位长度到达点B，所以点B表示的数为， 又从点B向左爬了10个单位长度到达点C，所以点C表示的数为， 所以数轴上点A所表示的数的相反数是，即点C． （2）解：因为点D和点B所表示的两数互为相反数，所以点D表示的数为， 在左边，距离两个单位，所以蚂蚁从点C出发要爬到点D，它应该往左爬2个单位长度． （3）点E到原点的距离为5个单位长度，当E在原点的右侧时，点E表示的数为，在C的右侧，与点C距离为个单位，所以C应该向右爬行9个单位； 当E在原点的左侧时，点E表示的数为，在C的左侧，与点C距离为个单位，所以C应该向左爬行个单位； 59．按要求解答下列问题： (1)借助数轴，回答下列问题： ①从到1有3个整数，分别是____________； ②从到2有5个整数，分别是____________； ③从到3有7个整数，分别是________________________； ④从到100有______个整数； ⑤从到n（n为正整数）有______个整数； (2)根据以上规律，直接写出：从到3.9有______个整数，从到10.1有______个整数； (3)在单位长度是的数轴上任意画一条长为的线段，线段盖住的整点有多少个？ 【答案】(1)①，，；②，，，，；③，，，，，，；④201；⑤ (2)， (3)线段盖住的整点有1000个或1001个 【分析】（1）结合数轴可得从到1、从到2、从到3整数的个数，据此规律可得从到100、从到n整数的个数； （2）根据（1）中规律解答即可； （3）根据线段的端点正好在两个整数点上和两个端点都不在整数点上，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图， ①从到1有3个整数，分别是，，； ②从到2有5个整数，分别是，，，，； ③从到3有7个整数，分别是，，，，，， ④由①②③可知，从到100有（个）整数； ⑤由①②③④可知，从到n（n为正整数）有个整数； （2）解：根据（1）中规律可得，从到3.9有（个）整数，从到10.1有（个）整数． （3）解：根据题意，分两种情况： 第一种情况：当线段起点在整点时，线段盖住的整点有1001个数； 第二种情况：当线段起点不在整点，即在两个整点之间时，线段盖住的整点有1000个数， 故线段盖住的整点有1000个或1001个． 60．【阅读】在数轴上，若点表示数，点表示数，则点与点之间的距离为． 例如：两点表示的数分别为，，那么． (1)若，则的值为_________． (2)当_________时，． (3)在数轴上，点表示数，点表示数．我们定义： 当时，点叫点的1倍伴随点， 当时，点叫点的2倍伴随点， … 当时，点叫点的倍伴随点． 试探究下列问题： 若点是点的1倍伴随点，点是点的2倍伴随点，是否存在这样的点和点，使得点恰与点重合，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）由题中定义直接求解即可； （2）由题中定义列式计算即可； （3）令点表示的数是、点表示的数是、点表示的数是、点表示的数是，由倍伴随点的定义及两点之间距离定义得出的值，按照表示的值，即可求出线段的长． 【详解】（1）解：由可知，数轴上表示的点与表示的点的距离为， ； （2）解：是指数轴上表示的点与表示的点的距离为， 数轴上与距离个单位长度的数是或； （3）解：令点表示的数是、点表示的数是、点表示的数是、点表示的数是， 点是点的1倍伴随点， ，则由两点之间距离定义可知或； 点是点的2倍伴随点， ，则由两点之间距离定义可知或； 若点恰与点重合，即，则由上述的值可分四种情况： 当、时，则， ，即线段的长为； 当、时，则， ，即线段的长为； 当、时，则， ，即线段的长为； 当、时，则， ，即线段的长为； 综上所述，存在这样的点和点，线段的长为或． 61．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足． (1) _____ ， _______ ． (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与点D重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到D点时，它的右端与点B重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到C点时，它的左端与点A重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为_____ ； ②图中点C表示的数是_______ ，点D表示的数是_______ ． (3)根据（1）（2），请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾经是数学教师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生，你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 【答案】(1)7，28； (2)①7；②14，21 (3)70岁 【分析】（1）根据绝对值的非负性即可求解； （2）①由数轴观察知三根木棒长是，即可求解； ②根据数轴中线段的距离即可求解； （3）把小红与爷爷的年龄差看作木棒，根据爷爷说的话建立数轴，参照（2）中作法求解． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴， （2）①由题知，， 又∵B点表示的数为28，A点表示的数是7，， ∴， ②∵， ∴点C表示的数是14； ∵， ∴点D表示的数是21； （3）解：根据题意，建立数轴如图所示， 小红现在的年龄对应数轴上的点，爷爷现在的年龄对应数轴上的点， 则当点移动到点时，点移动到了点；当点移动到点时，点移动到了点， 所以， 又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了”， 所以， 且， 所以爷爷现在的年龄是70岁． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01有理数期中复习讲义 1.认识正负数，会用正负表示相反意义的量，分清有理数类别。 2.吃透数轴三要素，会读数、描点，借助数轴比较数的大小。 3.掌握相反数、绝对值，理解绝对值的非负性，熟练化简求值。 4.理清有理数运算法则，熟练加减乘除、乘方运算，善用运算律简算。 5.分清乘方符号陷阱，规范混合运算顺序，减少计算失误。 6.会用有理数知识解决实际问题、数轴动点小题，拿下高频易错点。 题型 考察方向 难度 题型一 正负数的定义 ★ 题型二 相反意义的量 ★ 题型三 正负数的实际应用 ★ 题型四 有理数的定义与分类 ★ 题型五 数轴的三要素及其画法 ★ 题型六 用数轴上的点表示有理数 ★ 题型七 数轴上两点之间的距离 ★★ 题型八 数轴上点的平移 ★★★ 题型九 数轴上找原点 ★★ 题型十 数轴上整点覆盖问题 ★★★ 题型十一 数轴上的规律探究 ★★★★ 题型十二 绝对值的几何意义 ★★ 题型十三 求一个数的绝对值 ★ 题型十四 绝对值非负性 ★★★ 题型十五 绝对值的其他应用 ★★★ 题型十六 利用数轴比较有理数的大小 ★ 题型十七 有理数大小比较 ★ 题型十八 有理数大小比较的实际应用 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:基础核心概念 1. 正数 定义：像3、0.5、、+7这样大于 0的数叫做正数。 书写规则：正数前面的 “+”（正号）可以省略不写，如+5可直接写作5。 读法：+5读作 “正五”，省略正号的5直接读 “五”。 2. 负数 定义：在正数前面添上符号 “-”（负号）得到的数叫做负数，如-3、-0.2。 书写规则：负数前面的 “-”绝对不能省略，省略后就变成正数。 读法：-6读作 “负六”，不能读作 “减六”。 3. 数字 0（本节重中之重，易考填空） (1)0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界； (2)0不只有 “没有” 一层含义，还可表示基准、标准： 温度0C：水结冰的标准温度，不是没有温度； 海拔0米：海平面的基准高度，不是没有高度。 4.概念区分对比表 类别 与 0 的大小关系 符号特点 举例 正数 大于 0 可带+，+可省略 2、+1.5、 0 等于 0 无正负号 0 负数 小于 0 必须带-，不可省略 -4、-0.8、- 知识点02:核心应用：用正负数表示相反意义的量 1. 判定标准 两个量必须同时满足两点，才能用正负区分： 意义相反；② 具有同类数量。 例：上升与下降、收入与支出、向东与向西、零上与零下，均为相反意义的量； “上升 5 米” 和 “支出 20 元” 不属于同类量，不能用正负表示。 2. 使用规则 (1)先人为规定其中一种意义的量为正，则与之相反意义的量为负； (2)规定具有灵活性，题目未固定时可自主设定，结果不唯一； (3)书写必须带单位，不能只写数字。 3.常见相反意义量分类表（考试高频素材） 正向规定 对应负向 生活实例 零上温度 零下温度 零上8C记作+8C，零下3C记作-3C 收入、盈利 支出、亏损 收入 300 元记作+300元，支出 120 元记作-120元 上升、增加 下降、减少 水位上升 0.6m 记作+0.6m，水位下降 0.4m 记作-0.4m 向东、向北 向西、向南 向东走 10km 记作+10km，向西走 5km 记作-5km 高于海平面 低于海平面 山峰海拔 + 600m，盆地海拔 - 150m 知识点03：有理数 1.定义： 正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数可以写成分数的形式；可以写成分数形式的数称为有理数。 2.有理数的分类： 3.各类数的含义 知识点04：数轴的概念与三要素 1. 数轴定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 相关概念：原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴。 2. 数轴三大核心要素（三者缺一不可） 原点：直线上取一点，表示数字 0； 正方向：一般规定向右为正方向，画上箭头； 单位长度：选取统一长度作为标准，间隔相等。 3. 数轴的画法 提醒： 画数轴时，原点的位置、正方向的选择、单位长度的大小，都是根据需要独自 “规定” 的，但一经选定后就不能随意改变； 同一数轴上的单位长度必须是统一的； (3) 数轴是一条向两方无限延伸的直线，因此，所画数轴的两端不要描点。 4. 画图常见错误 缺少箭头、无原点、单位长度长短不一； 原点左右数字标注顺序颠倒。 5. 判断数轴对错核心标准 只要缺少任意一个要素、单位长度不统一、无向右箭头，都不是规范数轴。 错误数轴常见问题 错误举例 改正要求 缺少原点（无 0 刻度） 直线只有刻度，没有标注 0 在直线中间标注原点 O，写上数字 0 无正方向箭头 直线两端都没有箭头 直线最右端画出向右箭头 单位长度不统一 刻度一格长、一格短 所有相邻刻度间隔长度完全相同 箭头画在左侧 向左画箭头当作正方向 正方向固定向右，只在右端画箭头 知识点05：用数轴上的点表示有理数（重难点） 1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点表示的数并不都是有理数。 2.表示正有理数的点在原点的右边，表示负有理数的点在原点的左边，0 用原点表示。 提醒： 一个有理数只能用数轴上的一个点表示； (2) 在数轴上，一部分点表示有理数，另一部分点表示无理数（后面会学到无理数）。 知识点06：数轴上的点与有理数之间的关系 1. 一一对应关系 每个有理数都可以用数轴上的唯一一点来表示； 也可以说，每个有理数都对应数轴上的唯一一点。 说明： 所有有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）都能在数轴上找到对应的点； 数轴上的点不仅能表示有理数，还能表示无理数（如π、），但本节课只研究有理数部分。 2. 正负数在数轴上的位置规律 设a是一个正数，则： 表示数a的点在数轴的正半轴（原点右侧），与原点的距离是a个单位长度； 表示数-a的点在数轴的负半轴（原点左侧），与原点的距离是a个单位长度。 数的符号 所在半轴 与原点的距离 示例 正数 a 正半轴（右） a 个单位 3 在原点右侧，距原点 3 格 负数 -a 负半轴（左） a 个单位 -3在原点左侧，距原点 3 格 0 原点 0 个单位 原点本身 3. 核心结论总结 有理数 → 数轴点：每个有理数都对应数轴上唯一的点； 位置判断：正数在右，负数在左，0 在原点； 距离相等：a与-a到原点的距离相同，仅方向相反。 知识点07:绝对值几何定义 数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 记作：|a|，a为任意有理数。 关键点：距离不可能是负数，因此任意数的绝对值一定是非负数，即 |a|0。 举例：数轴上表示-4的点到原点距离为 4，则|-4|=4；表示0的点就在原点，|0|=0。 知识点08:绝对值代数法则（去绝对值核心） 知识点09:绝对值五大核心性质 1.非负性（最重要） 任意有理数的绝对值|a|0； 推论：若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部都为 0。 例：|x-2|+|y+3|=0，则x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3。 2.互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|-a|。 3.若|x|=m(m>0)，则x=m 或 x=-m（一正一负两个解）。 例：|x|=5，x=5或x=-5； 补充：若|x|=0，仅有唯一解x=0。 4.绝对值的乘积、商性质： 5.|a-b|几何含义：数轴上表示a、b两点之间的距离。 知识点10：有理数大小比较 方法 1：数轴比较法（数形结合） 数轴上，右边的数总大于左边的数。 原点右侧全为正数，左侧全为负数； 正数＞0，负数＜0。 方法 2：分类直接比较法则 正数＞0＞负数； 两个正数比较：数字越大，数值越大； 两个负数比较：绝对值大的，反而更小。 方法3：绝对值比较法（仅用于两个负数比较） 适用场景：无需画图，纯数字比较两个负数 完整步骤： 1.分别求出两个负数的绝对值； 2.比较两个绝对值的大小； 3.绝对值更大的那个负数，本身数值更小。 题型一 正负数的定义 1．在，0，3，这四个数中，正数是（     ） A． B．0 C．3 D． 2．下列各数：，，，，，，，，其中负分数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如果把一个物体向右移动2米记作+2米，那么物体向左移动5米记作（    ）米 A．-5 B．+5 C．+2 D．-2 题型二 相反意义的量 4．某无人机在飞行过程中，上升8米，记作米，那么下降10米，记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．我们把向东走8步记作+8步，则向西走5步记作__________步. 6．下列说法错误的是（    ）． A．0既不是正数，也不是负数 B．零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃ C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示 题型三 正负数的实际应用 7．我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数、负数的概念，若水库的水位升高，水位变化记作，则水库的水位下降时，水位变化记作______． 8．下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据下表给出的国外四个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），请你判断城市________代表北京．（在A，B，C，D，E五个里面选一个填在横线上）    城市 时差 纽约 悉尼 伦敦 罗马 9．排球的国际标准指标中有一项是排球的质量，规定排球的标准质量为. 现随机选取8个排球进行质量检测，结果如下表所示： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 275 263 278 270 261 277 282 269 则仅从质量的角度考虑，不符合要求的排球有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四 有理数的定义与分类 10．下列各数：（相邻两个1之间0的个数逐次加1），中，有理数有（     ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 11．下列说法中，错误的有（　　） ①是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0； ④正整数、负整数统称整数；⑤0是最小的有理数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．把下列各数分别填在相应的集合内：－11，4.8，73，－2.7，，3.1415926，－，，0． 正数集合：{                …}； 负分数集合：{              …}； 整数集合：{                …}； 非负整数集合：{            …}． 题型五 数轴的三要素及其画法 13．在直线上向右为正方向，负数都在0的_______边，也就是负数都比0_____，正数都比0_____． 14．数轴上，如果表示数a的点在原点的左边，那么a是一个______数；如果表示数b的点在原点的右边，那么b是一个_______数． 15．下列各图中，数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六 用数轴上的点表示有理数 16．如图，数轴上被遮挡住的整数是（     ） A．1 B． C． D．0 17．如图，把半径为1的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A点对应2，将圆形纸片沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是_________． 18．正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，转次后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型七 数轴上两点之间的距离 19．在数轴上点A表示的数是3，点A与点B的距离是5个单位长度，则点B表示的数为________． 20．已知：数轴上表示数与数的两点之间的距离为．利用数形结合思想回答问题：若，则的取值范围为_____． 21．如图①，点，，，是数轴上从左到右排列的四个点，分别对应的数为，，，．某同学将直尺按如图②放置，使直尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度cm，点C对齐刻度cm，则数轴上点所对应的数为（   ） A． B． C． D． 题型八 数轴上点的平移 22．数轴上点表示的数是，将点先向右移动5个单位长度，再向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 23．如图，在数轴上，点，点表示的数分别是，．点以个单位/秒的速度从出发沿数轴向右运动，同时点以个单位/秒的速度从点出发沿数轴在，之间往返运动．当点到达点时，点表示的数是________． 24．已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 题型九 数轴上找原点 25．小明在做题时画了一个数轴，在数轴上原有一个表示的点A，由于粗心，小明把数轴的原点标错了位置，使点A落在了表示的相反数的点的位置，要把数轴画正确，原点应（    ） A．向右移4个单位长度 B．向右移2个单位长度 C．向左移4个单位长度 D．向左移2个单位长度 26．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点，，把数轴分成①②③④四部分，点，，对应的数分别是，，，且． （1）原点在第________部分．（填序号） （2）若点与点距离个单位长度，点与点距离个单位长度，则的值为________． 27．有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点B右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 题型十 数轴上整点覆盖问题 28．如图，数轴的一部分被墨迹遮住了，则被遮住的整数有（     ） A．10个 B．13个 C．15个 D．17个 29．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（     ） A． B． C．或 D．或 30．学校运动会上老师准备了一把数轴式测距卷尺，尺上每1格代表1厘米，整数厘米的刻度叫整点，现在在卷尺上画一条厘米的线段，这条线段最多可以盖住______个整点． 题型十一 数轴上的规律探究 31．正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 32．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字________的点与数轴上表示2026的点重合． 33．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2021次，蚂蚁最后在数轴上对应的数是（ ） A．1011 B． C．505 D． 题型十二 绝对值的几何意义 34．如图，数轴上有，，，四个点，其中所对应的数的绝对值最大的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 35．代数式的最小值是4，则a的值是_______． 36．下列说法中正确的个数为（     ） ①若，则；        ②如果，则； ③若，则；    ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十三 求一个数的绝对值 37．若，则的值是（     ） A． B． C． D．或 38．若，则（     ） A． B． C．2 D．-2 39．已知b是a的相反数，c的绝对值是3，则的值为 ________ 40．已知，且，则的值是（   ） A．6或 B．6或 C．10或 D．6或10 题型十四 绝对值非负性 41．关于，下列说法正确的是（     ） A．当时，有最大值9 B．当时，有最小值13 C．当时，有最小值9 D．当时，有最大值13 42．已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 43．设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 题型十五 绝对值的其他应用 44．一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 45．当满足________条件时，有最小值，这个最小值是________． 46．设实数a、b、c满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型十六 利用数轴比较有理数的大小 47．有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 48．若，则中最小的是_______． 49．在数轴上表示、两数的点如下图所示，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十七 有理数大小比较 50．在，，，这四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 51．比较大小：________．（填“”“”或“”） 52．下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 题型十八 有理数大小比较的实际应用 53．如图表示某天我国城市最低气温，这些城市中气温最低的是（     ） A．哈尔滨 B．北京 C．广州 D．武汉 54．凝固点是晶体物质在一定压强下凝固时的温度，则在标准大气压下下列物质中凝固点最低的是（     ） 物质 钨 水银 固态酒精 冰 凝固点 A．钨 B．水银 C．固态酒精 D．冰 55．下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据下表给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市 ____ 代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上）． 解答题 56．把下列各数分别填入相应的集合： ，，，，，，，，，． 整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 非负整数集合{ …}； 负数集合{ …}； 57．琪琪用刻度尺按如图所示的方式画一数轴（刻度尺上为数轴上的个单位长度），数轴上的点，，恰好分别与刻度尺上的刻度值“”“”和“”对应． (1)若点表示的数为，则点表示的数应为_____，点表示的数应为_____； (2)若点与表示的数互为相反数，求点表示的数； (3)若点，表示的数互为相反数，试求数轴的原点对应刻度尺上的刻度值． 58．在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ (2)如果蚂蚁从点C出发要爬到点D，且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几个单位长度？ (3)如果蚂蚁从点C出发要爬到点E，且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点E？ 59．按要求解答下列问题： (1)借助数轴，回答下列问题： ①从到1有3个整数，分别是____________； ②从到2有5个整数，分别是____________； ③从到3有7个整数，分别是________________________； ④从到100有______个整数； ⑤从到n（n为正整数）有______个整数； (2)根据以上规律，直接写出：从到3.9有______个整数，从到10.1有______个整数； (3)在单位长度是的数轴上任意画一条长为的线段，线段盖住的整点有多少个？ 60．【阅读】在数轴上，若点表示数，点表示数，则点与点之间的距离为． 例如：两点表示的数分别为，，那么． (1)若，则的值为_________． (2)当_________时，． (3)在数轴上，点表示数，点表示数．我们定义： 当时，点叫点的1倍伴随点， 当时，点叫点的2倍伴随点， … 当时，点叫点的倍伴随点． 试探究下列问题： 若点是点的1倍伴随点，点是点的2倍伴随点，是否存在这样的点和点，使得点恰与点重合，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 61．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足． (1) _____ ， _______ ． (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与点D重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到D点时，它的右端与点B重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到C点时，它的左端与点A重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为_____ ； ②图中点C表示的数是_______ ，点D表示的数是_______ ． (3)根据（1）（2），请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾经是数学教师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生，你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $