3.2.2 函数的奇偶性课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教 A 版 · 必修第一册 第三章 函数的概念与性质 3.2.2 函数的奇偶性 对称之美 · 符号语言中的相等与相反 高中数学 · 教学课件 观察 → 定义 → 例题 → 练习 3.2.2 函数的奇偶性 学习目标 01 经历从图象对称特征到符号语言的抽象过程 02 理解偶函数、奇函数的定义，掌握 与 的含义 03 会用定义判断函数的奇偶性，并明确"先看定义域" 04 体会偶函数图象关于 y 轴对称、奇函数图象关于原点对称 人教 A 版 · 必修 第一册 2 / 15 3.2.2 函数的奇偶性 学习目标 人教 A 版 · 必修 第一册 3/ 15 并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。 x y o 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 -1 -2 -3 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … f(x)=x2 … … 9 4 1 0 1 4 9 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … f(x)=2-|x| … … -1 0 1 2 1 0 -1 x y o 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 -1 -2 -3 图象关于y轴对称 f(-1) f(1) f(-2) f(2) f(-3) f(3) = = = -x x (x.f(x)) (-x,f(-x)) f(-x) f(x) = 任意一点 3.2.2 函数的奇偶性 探究 · 符号化（表 3.2-1） 探究：类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述"函数图象关于 轴对称"这一特征吗？ 不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况： 9 4 1 0 1 4 9 −1 0 1 2 1 0 −1 可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。例如，对于函数 ，有： ；；． 实际上，，都有 —— 这时称函数 为偶函数。 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 82 页 4 / 15 f(x)=x²+1 g(x)=2/(x²+1) 3.2.2 函数的奇偶性 偶函数（even function） 偶函数的定义：一般地，设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，且 ，那么函数 就叫做偶函数。 例如，函数 ， 都是偶函数，它们的图象分别如图（1）（2）所示（图 3.2-7）： （1）图象关于 y 轴对称 （2）图象关于 y 轴对称 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 83 页 5 / 15 3.2.2 函数的奇偶性 探究 · 图 3.2-8（表 3.2-2） 探究：观察 和 的图象，有什么共同特征？能用符号语言精确描述吗？ 两个函数的图象都关于原点成中心对称。为了用符号语言描述，请完成表 3.2-2（请同学们填写）： ? ? ? — ? ? ? ? ? ? 无 ? ? ? 可以发现，当自变量 x 取一对相反数时，相应的函数值 f(x) 也是一对相反数。 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 83 页 6 / 15 3.2.2 函数的奇偶性 奇函数（odd function） 例如，对于函数 ，有： ； ； ． 实际上，，都有 。 一般地，设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，且 ，那么函数 就叫做奇函数。 想一想： 请仿照上面证明 为奇函数的过程，说明函数 也是奇函数。 提示：，验证 。 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 84 页 7 / 15 例 6 · 判断下列函数的奇偶性（课本 84 页） 例题精讲（一） （1）判断 的奇偶性；（2）判断 的奇偶性。 解：（1）函数 的定义域为 。 因为 ，都有 ，且 ， 所以，函数 为偶函数。 （2）函数 的定义域为 。 因为 ，都有 ，且 ， 所以，函数 为奇函数。 小结：指数为偶数的幂函数是偶函数，指数为奇数的幂函数是奇函数——验证 f(−x) 与 f(x) 的关系即可。 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 84 页 8 / 15 例 6 · 判断下列函数的奇偶性（课本 84 页） 例题精讲（二） （3）　（4） 解：（3）函数 的定义域为 。 因为 ，都有 ，且 ， 所以，函数 为奇函数。 （4）函数 的定义域为 。 因为 ，都有 ，且 ， 所以，函数 为偶函数。 注意： 奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域。 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 84 页 9 / 15 3.2.2 函数的奇偶性 思考 · 图 3.2-9 （1） 判断函数 的奇偶性。（定义域为 R，，为奇函数） （2） 图 3.2-9 是函数 图象的一部分，你能根据 的奇偶性画出它在 y 轴左边的图象吗？ （3） 一般地，如果知道 为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？ ——只需研究 y 轴一侧的图象与性质，另一侧由对称性直接得到。 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 85 页 10 / 15 偶函数 奇函数 3.2.2 函数的奇偶性 图象特征小结 偶函数的图象关于 y 轴对称 奇函数的图象关于 原点对称 第 1 步：先求定义域，判断定义域是否关于原点对称； → 第 2 步：计算 ，若 为偶函数，若 为奇函数。 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 85 页 11 / 15 课堂练习（课本 85 页"练习" · 习题 3.2 第 5 题） 动手做一做 1. 已知 是偶函数， 是奇函数，试将下图补充完整。（分别给出两函数在 y 轴右侧的图象，请补出左侧）——利用偶、奇函数图象的对称性。 2. 判断下列函数的奇偶性： （1）；　（2）。 3. （1）从偶函数的定义出发，证明：函数 是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称； （2）从奇函数的定义出发，证明：函数 是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称。（选做） 4. 【习题 3.2 第 5 题】判断下列函数的奇偶性： （1）；　（2）。 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 85、86 页 12 / 15 关于 y 轴对称补图 关于原点对称补图 答案解析（一）· 练习 1、2 参考答案 练习 1：偶函数 f(x) 与奇函数 g(x) 的图象补充 f(x) 为偶函数：左侧与右侧关于 y 轴对称 g(x) 为奇函数：左侧与右侧关于原点对称 练习 2：判断奇偶性 （1） 的定义域为 。因为 ，所以 为偶函数。 （2） 的定义域为 。因为 ，所以 为奇函数。 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 85 页 13 / 15 答案解析（二）· 习题 3.2 第 5 题、练习 3 提示 参考答案 习题 3.2 第 5 题：判断下列函数的奇偶性 （1） 的定义域为 。因为 ，都有 ，且 ，所以 为偶函数。 （2） 的定义域为 。因为 ，都有 ，且 ， 所以 为奇函数。 练习 3 提示："充分条件"方向：由 （）出发，说明点 与 关于 y 轴（原点）对称，从而图象对称；"必要条件"方向：由图象对称，说明对任意 都有 且 （），即 f(x) 为偶（奇）函数。两方面合起来即充要条件。 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 85、86 页 14 / 15 3.2.2 函数的奇偶性 课堂小结 · 课后作业 偶函数 ，图象关于 y 轴对称 奇函数 ，图象关于 原点对称 判定方法 ① 定义域是否关于原点对称；② 验证 与 的关系。 课后作业： 课本 85 页"练习"第 1～3 题； 课本 86 页"习题 3.2"第 5 题。 预习：3.3 幂函数。 人教 A 版 · 必修 第一册 · 第三章 15 / 15 $