3.2.2 函数的奇偶性课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版 · 必修第一册 · 3.2.2 函数的奇偶性 对称性是函数最温柔的性格 2026—2027 学年 · 数学公开课 数学备课组 对称 01 对称，藏在生活里 雪花、倒影、剪纸——先看，再说。 02 从图象到定义 一眼看出对称，一笔写下定义。 03 奇偶性的三条金律 f(0)=0、单调性、定义域。 04 高考，就在这一步 两道真题，试试今天学的。 目录 · CONTENTS 02 / 23 今天 走四步 从看对称， 到用对称。 数学 · 函数的奇偶性 01 对称，藏在生活里 一片雪花有 6 条对称轴， 函数图象，也有自己的那一条。 第一章 · 对称，藏在生活里 世界先教我们看对称 雪花 6 条对称轴 水中的倒影 1 条对称轴 剪纸窗花 旋转对称 变换之后，图形还能与原来重合——这就是对称。 那函数图象，能"照镜子"、能"转半圈"吗？ ﹡ 先看，别急着算 数学 · 函数的奇偶性 04 / 23 02 从图象到定义 先用眼睛看出对称， 再用符号把它写下来。 第二章 · 从图象到定义 · 其一 偶函数：照镜子 定义（偶函数） 任意 x，都有 图象关于 y 轴对称 像照镜子：左边有什么，右边一模一样。 ﹡ 偶 —— 左右一样，记成"偶" 数学 · 函数的奇偶性 06 / 23 第二章 · 从图象到定义 · 其二 奇函数：转半圈 定义（奇函数） 任意 x，都有 图象关于原点对称 像把图形绕原点转 180°，它还能盖住自己。 ﹡ 奇 —— 中心对称，一上一下 数学 · 函数的奇偶性 07 / 23 一看 定义域关于原点对称？ 若不对称，直接判"非奇非偶"，不必再算。 二算 算出 f(−x)，能化简就化简 把 −x 代进去，尽量往 f(x) 或 −f(x) 靠。 三判断 与 f(x) 比一比 相等是偶函数，互为相反数是奇函数，都对不上则非奇非偶。 口诀 一看、二算、三判断 数学 · 函数的奇偶性 08 / 23 第二章 · 方法 判定 三步法 顺序不能反： 先看定义域， 再算 f(−x)。 第二章 · 例 1 四个函数，一次过一遍 → 偶函数 → 奇函数 → 奇函数 → 偶函数 指数是偶数，多半是偶函数；指数是奇数，多半是奇函数。 但一旦加减混合，必须回定义验证。 数学 · 函数的奇偶性 09 / 23 第二章 · 方法 判定三法：定义 · 图象 · 性质 定义法 把 −x 代进去，算 f(−x)，与 f(x) 比。 最稳，一步都不能省 图象法 看对称：y 轴 → 偶，原点 → 奇。 最快，但要会画 性质法 记住"运算表"，直接判断复合函数。 考场最快，前提是记牢 性质法速查（同一公共定义域上） 奇 ± 奇 = 奇　偶 ± 偶 = 偶　奇 × 奇 = 偶　偶 × 偶 = 偶　奇 × 偶 = 奇 数学 · 函数的奇偶性 10 / 23 03 奇偶性的三条金律 f(0)=0、单调性同与反、定义域必须对称。 第三章 · 金律二 对称区间上，单调性同还是反？ 奇：同 可以直接搬过去用 偶：反 先翻正，再比大小 数学 · 函数的奇偶性 13 / 23 第三章 · 金律三 定义域不对称，一切免谈 × 错在哪 说 f(x) 在 [1, 2] 上是偶函数—— [1, 2] 关于原点对称吗？不对。 连"判断奇偶性"的资格都没有。 改 √ 正确做法 f(x)=ax²+bx 在 [a−1, 2a] 上为偶函数，求 a。 ⇒ 判断奇偶性，第一句话永远是——定义域关于原点对称。 数学 · 函数的奇偶性 14 / 23 第三章 · 典例 不给 f(−a)，也能求 题目 已知 f(a) = 2，求 f(−a)。 题眼：式子长得"差不多奇"，只多了一个 1。 第 1 步 · 拆 x³ 与 sin x 都是奇函数，那个 +1 是"穿帮"的地方。 第 2 步 · 构造 奇 第 3 步 · 代入 F(a) = f(a) − 1 = 1，所以 F(−a) = −1。 数学 · 函数的奇偶性 15 / 23 第三章 · 典例 一段解析式，补出整条曲线 题目 f(x) 是 R 上的奇函数，当 x > 0 时 f(x) = x² − 4x，求 f(x)。 思路：设 x < 0，则 −x > 0，代回已知那一半，再用 f(−x) = −f(x) 翻过来。 ﹡ x = 0 别漏：奇函数在原点有定义，f(0) 就是 0 数学 · 函数的奇偶性 16 / 23 04 高考，就在这一步 两道真题，看看今天我们走到的位置。 第四章 · 高考真题 2022 · 新高考卷 赋值，把"奇偶"算出来 题目 f(x) 定义域为 R，且 ，求 A. −3　　B. −2 C. 0　　D. 1 答案 A 不要猜解析式，靠赋值 ① 赋值得 f(0)，再判奇偶 令 x=1, y=0 得 f(0)=2；令 x=0 得 f(y)=f(−y)，是偶函数。 ② 令 y=1，逼出周期 f(x+2) = −f(x−1)，推得 f(x+6) = f(x)，周期 T = 6。 ③ 算一个周期的和 f(1)…f(6) = 1, −1, −2, −1, 1, 2，和恰好为 0。 ④ 22 项去整取余 22 = 6×3 + 4，前 4 项：1 − 1 − 2 − 1 = −3 数学 · 函数的奇偶性 18 / 23 第四章 · 高考真题 2022 · 新高考卷 赋值，把"奇偶"算出来 题目 f(x) 定义域为 R，且 ，求 A. −3　　B. −2 C. 0　　D. 1 答案 A 不要猜解析式，靠赋值 ① 赋值得 f(0)，再判奇偶 令 x=1,y=0 得 f(0)=2；再令 x=0 得 f(y)=f(−y)，偶函数。 ② 令 y=1，逼出周期 令 y=1 得 f(x+2)=−f(x−1)，推得周期 T=6。 ③ 算一个周期的和 f(1)…f(6) = 1,−1,−2,−1,1,2，和恰好为 0。 ④ 22 项去整取余 22=6×3+4，取前 4 项：1−1−2−1 = −3 数学 · 函数的奇偶性 18 / 23 第四章 · 高考真题 2018 · 全国卷Ⅲ 半个奇函数就够了 ① 把式子拆开 f(x) = g(x) + 1，括号里那一坨记作 g(x)。 ② 验证它是奇函数 ③ 用上 f(a)=4 ④ 回到 f 题目 若 f(a) = 4，则 f(−a) = ____ 答案 −2 ﹡ 高考爱考"整体奇偶"：看不清就拆出一个奇函数。 数学 · 函数的奇偶性 19 / 23 第四章 · 课堂互动 速练两题 · 先猜后证 题 1 哪个是奇函数 下列函数中，是奇函数的是—— A．y = x²　　B．y = x³ C．y = x + 1　D．y = |x| 答案 B：f(−x) = −x³ = −f(x) 题 2 f(−1) 是多少 f(x) 是 R 上奇函数，f(1) = 2，则 f(−1) = A．−2　　B．2 C．0　　D．1 答案 A：f(−1) = −f(1) = −2 抢答：不只说选项，说清"怎么算出来的" 数学 · 函数的奇偶性 20 / 23 函数的奇偶性 = 图象的对称性 定义 f(−x)=f(x) 是偶函数，关于 y 轴对称；f(−x)=−f(x) 是奇函数，关于原点对称。 判定 一看定义域是否对称，二算 f(−x)，三与 f(x) 比对。 应用 奇函数 f(0)=0；单调性同异；求值、求参数、求另一半解析式。 记住一句话：奇偶性，是"对称"的代数写法。 21 / 23 第四章 · 小结 带走 一张图 定义、判定、应用， 一条线串起来。 第四章 · 课后作业 三层挑战，按需取用 A 基础 · 判断练习 判断 y = x⁴ + x²、y = x³ + x、y = |x| + 1 的奇偶性，写出"一看二算三判断"的过程。 B 提升 · 补全图象 已知 f(x) 是奇函数，图象在 y 轴右侧如图，请补出左侧，并写出 x<0 时的解析式。 C 挑战 · 找一道高考题 从近三年高考卷中找一道"用奇偶性求值"的题，写下你的解法，课前分享。 下节预告 函数的周期性——奇偶性说"对称"，周期性说"重复"。 ﹡ 交作业前自查一句：定义域写了吗？ 数学 · 函数的奇偶性 22 / 23 —— 这节课的最后 —— 谢谢聆听 · 请多指正 人教A版 · 必修第一册 3.2.2 · 数学公开课 $