3.2.2 函数的奇偶性第一课时课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

讲课人： 日期： 3.2.2 函数的奇偶性第一课时 学习目标 学习目标 核心素养 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念及其几何意义. 数学抽象 2.会用定义判断简单函数的奇偶性. 逻辑推理 复习回顾 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 观察下列两组图形，说说这两组图形各有什么共同特点？ 而我们所数学中的函数图像是否也有类似的对称现象呢？这就是我们本节课要研究的内容。 这些图形都是对称图形。 第1组是轴对称图形， 即关于某一条直线对称； 第2组是中心对称图形，即关于某一个点对称。 (1) (2) 探索新知 在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数 和 g(x)=2-|x| 的图象 并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … f(x)=x2 … … 9 4 1 0 1 4 9 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … g(x)=2-|x| … … -1 0 1 2 1 0 -1 x y o 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 -1 -2 -3 x y o 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 -1 -2 -3 图象关于y轴对称 f(-1) f(1) f(-2) f(2) f(-3) f(3) = = = -x x (x，f(x)) (-x，f(-x)) f(-x) f(x) ??? = 任意一点 如何用符号语言精确地描述 对于g(x)=2-|x|，有g(-x) =2-|-x|=2-|x|=g(x)； 探索新知 一般地，设函数 f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有﹣x∈I，且 f(-x)=f(x)，那么就称函数 f(x)为偶函数. 思考:定义中“任意一个x,都有 f(-x) = f(x)成立”说明了什么？ -x、x必须同时属于定义域 f(x) 与-f(x) 都有意义 其定义域关于原点对称. 常见的偶函数有f(x)= ax2+c (a≠0)、f(x)= a|x|+k 等. 探索新知 思考：对于定义在R上的函数 f(x)，若f(-3)= f(3)，那么这个函数是偶函数吗？ 不一定.因为f(-3)= f(3)并不能保证所有的f(-x)= f(x)，所以不一定是偶函数. 思考：是偶函数吗？ -x、x必须同时属于定义域 故 偶函数特点：（1）定义域对称 （2）图象关于y轴对称 （3） 探索新知 探索新知 两个函数的图象关于原点成中心对称图形 观察：函数 f(x)= x和g(x)= 的图象有什么共同特征？ x y O 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 f(x)= x x y O 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 探索新知 问题：观察自变量与相应函数值的情况，能用符号语言精确的描述这一特性吗？ 对于f(x)=x，有 f(-x) = -x= -f(x)； 自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)是一对相反数. x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... f(x)= x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... ... 1 1 ... 对于 ，有 ； 即∀x∈R，都有 f(-x) = -f(x). 探索新知 一般地，设函数 f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有﹣x∈I，且 f(-x) = -f(x)，那么就称函数 f(x)为奇函数. 奇函数特点：（1）定义域对称 （2）图象关于原点对称 常见的奇函数有f(x)= x、f(x)= -x、 等. 小试牛刀 小试牛刀 2.已知函数y=f(x),x∈[-1,a]是偶函数,则a等于 (　　) A -1 B 0 C 1 D 无法确定 C 3.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　) A B C D B 典例分析 例1 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)= x4； (2) f(x)= x5； 解：(1)函数 f(x)= x4的定义域为R， 因为∀x∈R，都有﹣x∈R，且 f(-x) = (-x)4 =x4 =f(x)， 所以，函数 f(x)= x4为偶函数. (2) 函数f(x)= x5的定义域为R， 因为∀x∈R，都有﹣x∈R，且 f(-x) =(-x)5 =-x5 =- f(x)， 所以，函数 f(x)= x5为奇函数. 奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应优先明确它的定义域. 探索新知 (3) f(x)= ； (4) f(x)= (3) 函数 的定义域为{x| x≠0}， 因为∀x∈{x| x≠0}，都有﹣x∈{x| x≠0}，且 所以，函数 为奇函数. (4) 函数 的定义域为{x| x≠0}， 因为∀x∈{x| x≠0}，都有﹣x∈{x| x≠0}，且 所以，函数 为偶函数. 探索新知 根据定义判断函数的奇偶性的步骤： 1.先看定义域，看是否关于原点对称； 2.再判断f(-x) = -f(x)或f(-x) = f(x)是否恒成立； 3.根据定义下结论. 总结归纳 探索新知 探索新知 观察所做图形，其单调性有什么特点？ 探索新知 奇偶函数的单调性： 总结归纳 ①奇函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相同的.如果 奇函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就 是单调增函数. ②偶函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相反的.如果偶函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就是单调减函数. 探索新知 课堂小结 偶函数 奇函数 定义 图象 定义域 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x), 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x), 关于y轴对称 关于原点对称 关于原点对称 用定义法判断函数的奇偶性的步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(-x)和f(x)的关系； ③作出相应结论。 课堂检测 C 课堂检测 C 课堂检测 3.如图，给出奇函数的局部图象，则 的值为____. [解析] 由题图可知,, ,又 为奇函数， 所以 , , 所以 . 课堂检测 课堂检测 课后作业 课本第85页课后习题（必做）（15分钟） 分层作业基础练（必做）（20分钟） 分层作业过关练（选做）（15分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 1.单调递增函数的定义 单调递增函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果∀∈I，当时，都有f()<f()，那么就称函数f(x)在区间I单调递增. 2.单调递增函数的定义 单调递减函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果∀∈I，当时，都有f()>f()，那么就称函数f(x)在区间I单调递减. 变形为： ， 常见变形： ， 1、(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)奇函数的图象一定过原点．(　　) (2)函数f(x)＝x2的图象关于原点对称．(　　) (3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝－f(1)，则函数f(x)一定是奇函数．(　　) (4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 变式1、判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)； (3)f(x)＝eq \f(x,x－1). 解 (1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， ∴f(x)为偶函数. (2)函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称， 且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数. 4、　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________． (2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________． [解析]　(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝ eq \f(1,3) .又函数f(x)＝ eq \f(1,3) x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0. (2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0. [答案]　(1) eq \f(1,3) 　0　(2)0 5．如图1­3­4，已知偶函数f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}，且f(3)＝0，则不等式f(x)＜0的解集为________． 图1­3­4 　(－3,0)∪(0,3) $