5.4 平面向量中“四心”、奔驰定理与新定义专题训练【4大考点】-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量与三角形四心的融合应用，以奔驰定理为纽带，构建从基础判断到创新定义的递进式训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根据向量关系判断三角形的心|6题|多选为主，结合四心向量表达式辨析|以四心概念为起点，通过向量运算特征建立几何位置判断逻辑| |已知心求其他量|6题|选择与填空结合，涉及长度、角度计算|从四心性质出发，推导向量关系与几何量的转化方法| |奔驰定理的应用|6题|多选与填空，结合面积关系与四心性质|以奔驰定理为核心，关联面积比与向量系数的定量关系| |向量新定义|6题|选择与解答，含斜坐标系、旋转等创新情境|延伸向量基本概念，通过新定义问题培养模型意识与应用能力|

5.4 平面向量中“四心”、奔驰定理与新定义 4大考点汇总 考点01 根据向量关系判断三角形的心 考点02 已知心求其他量 考点03 奔驰定理的应用 考点04 向量新定义 题型专练 考点01 根据向量关系判断三角形的心 1．（25-26高三上·山东临沂·阶段检测）（多选）已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．，则为内心 C．若，则为的外心 D．若，则点的轨迹经过的重心 【答案】AD 【分析】对A，由向量的意义可知表示在的角平分线上的向量，再结合向量的数量积的性质可得；对B，由条件可得为的重心；对C，由得，同理可得，，进而可得为的垂心；对D，由正弦定理可得，进而可得结果. 【详解】A，因为是与同方向的单位向量，是与同方向的单位向量， 所以表示在的角平分线上的向量，如图： 又因为，所以的角平分线与垂直， 所以，故为等腰三角形，所以A正确； B，设是的中点，则是三角形的中线，所以， 因为，所以，得三点共线，且是中线上靠近的三等分点， 所以为重心，故B错误；如图： C，因为，所以，即，所以. 同理，得；，得， 所以为的垂心，故C错误； D，由正弦定理：，所以， 设， 由， 所以与中线向量共线，即点的轨迹经过的重心，故D正确. 2．（25-26高三上·重庆·期中）（多选）设点为所在平面内一点，内角的对边分别为，则下列说法正确的有（    ） A．若与共线，且与共线，则是的内心 B．若是的外心，则 C．若，则是的垂心 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算及向量数量积的运算律求解判断即可. 【详解】选项A：是两边单位向量的和，且与角平分线共线， 而与共线，即平分， 同理平分，则是的内心，故A正确； 选项B：， 因为是的外心，，且， 所以， 故， 而，故，故B错误； 选项C：由于， 则 ， 整理得， 即； 由于与不共线，故， 即，，则是的垂心，故C正确； 选项D：由，可知是的重心， 对等式两边平方得到， 由边长与向量的关系， 同理可得，， 三式子相加得， 则，即，故D正确. 3．（25-26高三上·浙江温州·期中）（多选）已知，则下列正确的是（   ） A．若满足条件，则为的重心 B．若满足条件，则动点经过的内心 C．若满足条件，则动点经过的外心 D．若满足条件，则动点经过的垂心 【答案】ABD 【分析】利用三角形的重心、内心、外心、垂心的性质逐一分析每个选项. 【详解】在A选项中，设中点为，根据平面向量加法的平行四边形法则： ，又因为， 所以，即， 这表明、、三点共线，且， 根据重心的定义和性质可得为的重心，A正确， 在B选项中，和分别是和方向上的单位向量， 设，以和为邻边作平行四边形， 则该平行四边形为菱形，根据菱形的性质，其对角线平分一组对角， 所以在的平分线上，又因为内心是三角形三条角平分线的交点， 所以动点经过的内心，B正确， 在C选项中，由正弦定理可得： ， 则， 由A选项可知，中点为，所以， 所以， 即表示与共线， 所以动点在边上的中线上， 因为外心是三角形三边垂直平分线的交点，而一条中线不能确定外心， 所以动点不经过的外心，C选项错误， 在D选项中，，因为， 所以，则， ， 根据向量数量积公式可得：， ，所以 ，所以 所以， ， 即，所以，即， 因为垂心是三角形三条高的交点， 所以动点经过的垂心，D正确.    4．（25-26高三上·湖北·阶段检测）（多选）已知、、是所在平面上的点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的外心 C．若为的外心，，则为的垂心 D．若，，则点轨迹一定通过的重心 【答案】ABC 【分析】利用三角形重心的向量表示可判断A选项；推导出，可判断B选项；利用平面向量数量积的运算得出，可得出，同理可得，，可判断C选项；利用正弦定理结合平面向量的线性运算可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则， 即，故为的重心，A对； 对于B选项，因为， 所以，同理可得，故， 因此为的外心，B对； 对于C选项，因为为的外心，， 则， 所以， 所以，同理可得，，故为的垂心，C对； 对于D选项，因为，， 所以， 由正弦定理可得，故， 而是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 所以，记，，以、为邻边作平行四边形， 则平行四边形为菱形，则直线平分， 因为，故点的轨迹一定经过的内心，D错. 故选：ABC. 5．（25-26高三上·北京东城·阶段检测）在三角形中，点是三角形所在平面内一点，的三个内角的对边分别是，则下列给出的命题： ①若，则点是三角形的垂心； ②若向量，则点的轨迹通过的重心； ③若，则点是三角形的内心； ④若，则点是三角形的内心． 其中正确的命题是：___________填写正确结论的编号 【答案】①②③ 【分析】根据向量运算，以及三角形垂心、重心、内心、外心等知识对个命题进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①由得，，即， 同理可得，，则点是的垂心，①正确； ②在中，以、为邻边作平行四边形，则， 从而，进而一定在的边的中线上， 由此得到点的轨迹一定过的重心，②正确；    ③时， 向量分别表示在边和上取单位向量和， 它们的差是向量，当，即， 而三角形是等腰三角形， 所以点在的平分线上，同理可得点在的平分线上， 故为的内心，③正确；    ④时， 是以、为平行四边形的一条对角线， 而是该平行四边形的另一条对角线，时， 表示这个平行四边形是菱形，即，同理得， 故为的外心，④错误． 故答案为：①②③ 6．（25-26高三上·宁夏银川·期中）已知为所在平面内一点，有下列结论： ①若为的内心，则存在实数使； ②若，则为的外心； ③若，则为的内心； ④若，则与的面积比为． 其中正确的结论是 ________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】① 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量共线定理，三角形的重心性质分别检验各选项即可判断． 【详解】解：设中点， 对于①若为的内心，所以在的角平分线上， 因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，令，所以在的角平分线上，即与共线， 所以存在实数使，即，故①正确； 对于②，若， 则， 所以在中线上且，即为三角形重心，故②错误； 对于③，，所以为的外心，故③错误； 若，则， 即， 所以为上靠近的三等分点， 所以， 故与的面积比为，故④错误． 故答案为：① 考点02 已知心求其他量 7．（2026高三·全国·专题练习）已知点是的重心，若，，则的最小值是________． 【答案】 【分析】根据向量的线性表示和向量的数量积运算求解. 【详解】 如图所示，已知，，则，化简得， 由，所以，当且仅当时等号成立， 由于点是的重心，所以，所以， 因为，即， 因此，所以的最小值是. 8．（25-26高三上·江西九江·期末）已知P是的外心，且，则____ 【答案】 【分析】由题意设，且，结合及向量数量积的运算律求得，再应用倍角公式求解. 【详解】因为P是的外心且，其中各项系数为正， 所以外心在三角形内部，即为锐角三角形， 设，且， ，则， ，解得， 所以，且，则. 9．（2025高三下·甘肃·竞赛）已知中，，，点I是的内心.若有，则_________． 【答案】 【分析】整理可得，结合奔驰定理即可得结果. 【详解】因为，则， 整理可得， 又因为点I是的内心，即点I在内， 由奔驰定理得． 10．（2026·湖北黄冈·二模）（多选）如图，在中，，，P为内的一点，，则下列说法正确的是（    ） A．若P为的重心，则 B．若P为的内心，则 C．若P为的外心，则 D．若P为的垂心，则 【答案】ACD 【详解】设的中点为.由知，过点，且. 若P为的重心，则， 所以，所以，所以A正确. 若P为的内心，则， 化简得，， 所以， 所以，所以B错误. 若P为的外心， 易知，所以的外接圆的半径为， 即. 则，所以C正确. 若P为的垂心，则，所以，所以 . 所以D正确. 11．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】首先由条件等式两边乘以，再结合数量积公式以及正弦定理，边角互化，化简等式，即可求的值. 【详解】对于式子变为 两边同乘，可得，即 ，化简为， 由正弦定理得，，即 移项得到：，因为，故，故. 12．（2026·安徽合肥·模拟预测）点G，O分别是的重心和外心，且，，则边BC的长为（） A．6 B．5 C．7 D．3 【答案】A 【分析】延长交于点，过点作于点，作于点.将用，表示，根据向量数量积的几何意义化简已知式，推得，再由利用向量数量积的运算律求得，最后利用和已得结论求即可. 【详解】 如图，延长交于点，过点作于点，作于点. 因点分别是的重心和外心，则 ，，， 则 于是 即得. 又由和，可得 整理得解得 因，则 即边的长为6. 考点03 奔驰定理的应用 13．（2026高三·全国·专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则_____. 【答案】/ 【分析】由O是垂心，可得，结合可得，根据三角形内角和为，结合正切的和差角公式即可求解. 【详解】∵是的垂心，∴，， ∴，， ∴ ， 同理可得， 延长交于点，则. ∴ ， 同理可得，∴， 又， ∴， 又， ∴， 不妨设，其中， ∵， ∴，解得或， 当时，此时， 则都是钝角，则，矛盾； 故，则， ∴是锐角，， 于是，解得. 14．（25-26高三上·重庆·阶段检测）（多选） “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 【答案】ABC 【分析】对于A，取中点，连接，由题意可得，即有，同理可得，，即可判断；对于B，设内切圆的半径为，由三角形的面积公式可得，整理即可判断；对于C，由题意可得，再由三角形的面积公式可得 ，，设，可得，进而可得，，，即可判断；对于D，设的外接圆半径为，根据题意及三角形的面积公式可得，，，即可判断. 【详解】A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线， 所以M为的重心，A正确； B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； C选项，若M为的垂心，， 则， 如图，⊥，⊥，⊥，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， 同理可得，即，故， ，则， 故， ，则， 故， ， 故， 同理可得， 故，C正确； D选项，若，，M为的外心， 则， 设的外接圆半径为，故， ， 故，，， 所以，D错误. 故选：ABC 15．（25-26高三上·广东深圳·期中）（多选）如图，为内任意一点，内角所对的边分别为的面积分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若，则 C．若为的内心，，则 D．若是的外心，，则 【答案】AC 【分析】对于A：利用重心的性质，代入即可；对于B：利用将表示出来，代入，化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值.对于C：利用“奔驰定理”可得出的值，结合勾股定理可判断；对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案. 【详解】对于A：如图所示：因为分别为的中点， 所以，， 同理可得、， 所以， 又因为， 所以.正确； 对于B：因为， 所以，所以， 所以， 所以， 化简得：， 又因为不共线， 所以，所以， 所以，错误； 对于C，若为的内心，，则.， 又（为内切圆半径）， 所以，，故，正确； 对于D：因为是的外心，，所以，， 所以， 因为，则， 化简得：，由题意知同时为负， 记，，则， 因为，所以， 所以， 所以，正确. 故选：AC. 16．（25-26高三上·安徽合肥·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 【答案】 【分析】作出辅助线，由奔驰定理得到，设，则，设，则，由，得到，求出，根据互补得到，由同角三角函数关系得到答案. 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 故⊥,⊥,⊥, ，由“奔驰定理”得，， 则，即，设，则， 同理，即，设，则. 由，得，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以， 则. 故答案为： 17．（25-26高三上·湖南常德·阶段检测）（多选）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，，则 【答案】AB 【分析】对于A：利用重心的性质，代入即可； 对于B：利用三角形的面积公式结合与可知点到的距离相等. 对于C：利用将表示出来，代入，化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值. 对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案. 【详解】对于A：如图所示：因为分别为的中点， 所以，， 同理可得、， 所以， 又因为， 所以.正确； 对于B：记点到的距离分别为，， 因为， 则， 即， 又因为，所以，所以点是的内心，正确； 对于C：因为， 所以，所以， 所以， 所以， 化简得：， 又因为不共线， 所以，所以， 所以，错误； 对于D：因为是的外心，，所以,， 所以， 因为，则， 化简得：，由题意知同时为负， 记，，则， 因为，所以， 所以， 所以，错误. 故答案为：AB. 18．（25-26高二上·湖北·期中）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．若O为△ABC的内心，，则 D．若O为△ABC的垂心，，则 【答案】ACD 【分析】对A，由奔驰定理即可判断； 对B，由面积公式求出，结合奔驰定理即可求； 对C，由奔驰定理，结合内心性质可得，即可得； 对D，由垂心性质及向量数量积的垂直表示可得， 结合奔驰定理结合三角形面积公式，可得， 如图所示分别为垂足，可设，，即可由几何关系列式解出，最后由正切求出余弦值，则由可求 【详解】对A，由奔驰定理可得，，又不共线，故，A对； 对B，，由得，故，B错； 对C，若O为△ABC的内心，，则，又（为内切圆半径），三边满足勾股定律，故，C对； 对D，若O为△ABC的垂心，则，， 又， 同理，∴， ∵，则， 且 如图，分别为垂足， 设，，则， 又，故， 由，解得， 由，故，D对故选：ACD 考点04 向量新定义 19．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）（多选）如图，，是平面内相交成角的两条数轴，分别为轴，轴正方向上的单位向量．若，记，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若点，则 D．若点，，则的最小值为 【答案】AC 【分析】运用向量的加法运算，数量积运算法则，模长公式逐个求解可得答案. 【详解】由已知得，， 对于A，若，， 则，故A正确； 对于B，若，， 则 ，故B错误； 对于C，若点，则， 故C正确； 对于D，若点，， 则，， 所以，故D错误. 20．（25-26高三上·浙江宁波·期末）如图所示，设，是平面内相交成角的两条轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为放射坐标系，若在放射坐标系下，，则把有序数对叫作向量的放射坐标，记为，若满足，则称为放射坐标系下的“完美向量”.已知在放射坐标系下，，. (1)求以及（用表示）； (2)求向量放射坐标；若时，直接写出两组“完美向量”的放射坐标； (3)设，对任意实数，恒成立，求的取值范围，求的最大值. 【答案】(1)，. (2)放射坐标为，可取如下两个完美向量，其放射坐标为. (3)，的最大值为. 【分析】（1）根据放射坐标的定义结合数量积可求以及； （2）根据放射坐标的定义结合平面向量的线性运算可求放射坐标，根据“完美向量”的定义结合特殊角的三角函数可求“完美向量”的坐标； （3）根据数量积结合二次函数的性质可求，再根据数量积求出，结合前者可求的最大值. 【详解】（1）因为，故，，其中， 又，则， 则， 其中. （2），故. 设完美向量的坐标为，则， 故或，其中， 故或，其中， 同理，或，其中， 故可取如下两个完美向量，其放射坐标为. （3）因为对任意实数，恒成立， 故，故， 由（1）可得，， 同理， 故， 整理得对任意的恒成立， 所以， 故，故， 而，故. 又， ， 而，故，故的最大值为. 21．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，称点为点绕点沿逆时针方向旋转角得到的点. (1)已知点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，求点的坐标； (2)已知点为坐标原点，点，点在单位圆：上，点是点绕点沿逆时针方向旋转得到的点. （i）设，，试用表示； （ii）若点在圆上运动时，与的夹角为，求的最大值及此时点的坐标. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）的最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）由题知，再结合旋转公式与旋转角得，最后根据向量坐标方法求解即可得答案； （2）（i）由题知，进而根据旋转角公式得，再计算即可； （ii）先计算，再根据夹角公式得，，令，，，设，则，，代入化简，并结合基本不等式求解即可求得答案. 【详解】（1）解：由，点，得 旋转角，，，代入旋转公式得： 设，则， 所以，即. （2）(i) 因为点在单位圆：上，且，所以， 又，则 因为点是点绕点沿逆时针方向旋转得到的点. 所以旋转角，，，代入旋转公式得： 所以 （ii）由（i）得，，， 所以 所以与的夹角为满足： 令，，，则 设，则，，代入化简得： 由基本不等式，当且仅当时取等号， 所以，，此时，代入得， 所以，要使取最大值，需分子，即， 所以，当时，，对应点坐标为. 综上，的最大值为，此时点的坐标为 22．（25-26高三上·广东广州·期末）设，是平面内相交成α角的两条数轴（且），，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若向量，则记． (1)若，，，且，，三点共线，求的值； (2)若，，，求与所成夹角的余弦值； (3)若，，且对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)6； (2)； (3)或 【分析】（1）计算出，根据共线得到，从而得到方程组，求出答案； （2）计算出，利用余弦夹角公式可得答案； （3）根据得对任意恒成立，由根的判别式得到不等式，求出答案 【详解】（1）由题意得， ， ，，三点共线， 故，故，即， 所以，解得； （2）由题意得，， 故 ， ， ， 所以， 因此与所成夹角的余弦值为； （3）由题意得，， ， 则， 故，即对任意恒成立， ，解得， 因为且，所以或. 23．（25-26高三上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，对向量，，定义．若单位向量，，满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据，，是单位向量，设将向量坐标运算转化为角度运算，代入题中定义及条件得到中至少有两个为 0，再结合分类讨论，进而求得结果. 【详解】因为，，是单位向量，令其中 则， 因为， 所以. 令 所以 则 中至少有两个为 0. 不妨设则 解方程：或, 因此，只能取这两个值之一. 若，即， 此时 将代入，得. 因为 ， 当时，；当时，， 所以，从而. 若，即，此时 综上，的取值范围为. 24．（25-26高三上·广东珠海·期末）如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为．    (1)在斜坐标系中，，求； (2)在斜坐标系中，，，且与的夹角． ①求； ②，分别在射线，上，，，为线段上两点，且，，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据坐标，利用基底表示向量，再代入数量积公式，即可求解； （2）①利用基底表示向量，再代入向量夹角公式，即可求解；②根据平面向量基本定理表示和，再结合余弦定理表示的关系，最后结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以，， 所以， 所以． （2）①因为，， 所以，， 得到， 则， 化简得，解得或（舍去） 则 ②依题意设，，， ，， 同理， 则 ， 在中，，，，， 依据余弦定理得， 整理得 所以 ，，当且仅当时等号成立 ，即的最小值为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4 平面向量中“四心”、奔驰定理与新定义 4大考点汇总 考点01 根据向量关系判断三角形的心 考点02 已知心求其他量 考点03 奔驰定理的应用 考点04 向量新定义 题型专练 考点01 根据向量关系判断三角形的心 1．（25-26高三上·山东临沂·阶段检测）（多选）已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．，则为内心 C．若，则为的外心 D．若，则点的轨迹经过的重心 2．（25-26高三上·重庆·期中）（多选）设点为所在平面内一点，内角的对边分别为，则下列说法正确的有（    ） A．若与共线，且与共线，则是的内心 B．若是的外心，则 C．若，则是的垂心 D．若，则 3．（25-26高三上·浙江温州·期中）（多选）已知，则下列正确的是（   ） A．若满足条件，则为的重心 B．若满足条件，则动点经过的内心 C．若满足条件，则动点经过的外心 D．若满足条件，则动点经过的垂心 4．（25-26高三上·湖北·阶段检测）（多选）已知、、是所在平面上的点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的外心 C．若为的外心，，则为的垂心 D．若，，则点轨迹一定通过的重心 5．（25-26高三上·北京东城·阶段检测）在三角形中，点是三角形所在平面内一点，的三个内角的对边分别是，则下列给出的命题： ①若，则点是三角形的垂心； ②若向量，则点的轨迹通过的重心； ③若，则点是三角形的内心； ④若，则点是三角形的内心． 其中正确的命题是：___________填写正确结论的编号 6．（25-26高三上·宁夏银川·期中）已知为所在平面内一点，有下列结论： ①若为的内心，则存在实数使； ②若，则为的外心； ③若，则为的内心； ④若，则与的面积比为． 其中正确的结论是 ________．（写出所有正确结论的序号） 考点02 已知心求其他量 7．（2026高三·全国·专题练习）已知点是的重心，若，，则的最小值是________． 8．（25-26高三上·江西九江·期末）已知P是的外心，且，则____ 9．（2025高三下·甘肃·竞赛）已知中，，，点I是的内心.若有，则_________． 10．（2026·湖北黄冈·二模）（多选）如图，在中，，，P为内的一点，，则下列说法正确的是（    ） A．若P为的重心，则 B．若P为的内心，则 C．若P为的外心，则 D．若P为的垂心，则 11．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则（   ） A． B． C． D．1 12．（2026·安徽合肥·模拟预测）点G，O分别是的重心和外心，且，，则边BC的长为（） A．6 B．5 C．7 D．3 考点03 奔驰定理的应用 13．（2026高三·全国·专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则_____. 14．（25-26高三上·重庆·阶段检测）（多选） “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 15．（25-26高三上·广东深圳·期中）（多选）如图，为内任意一点，内角所对的边分别为的面积分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若，则 C．若为的内心，，则 D．若是的外心，，则 16．（25-26高三上·安徽合肥·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 17．（25-26高三上·湖南常德·阶段检测）（多选）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，，则 18．（25-26高二上·湖北·期中）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．若O为△ABC的内心，，则 D．若O为△ABC的垂心，，则 考点04 向量新定义 19．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）（多选）如图，，是平面内相交成角的两条数轴，分别为轴，轴正方向上的单位向量．若，记，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若点，则 D．若点，，则的最小值为 20．（25-26高三上·浙江宁波·期末）如图所示，设，是平面内相交成角的两条轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为放射坐标系，若在放射坐标系下，，则把有序数对叫作向量的放射坐标，记为，若满足，则称为放射坐标系下的“完美向量”.已知在放射坐标系下，，. (1)求以及（用表示）； (2)求向量放射坐标；若时，直接写出两组“完美向量”的放射坐标； (3)设，对任意实数，恒成立，求的取值范围，求的最大值. 21．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，称点为点绕点沿逆时针方向旋转角得到的点. (1)已知点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，求点的坐标； (2)已知点为坐标原点，点，点在单位圆：上，点是点绕点沿逆时针方向旋转得到的点. （i）设，，试用表示； （ii）若点在圆上运动时，与的夹角为，求的最大值及此时点的坐标. 22．（25-26高三上·广东广州·期末）设，是平面内相交成α角的两条数轴（且），，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若向量，则记． (1)若，，，且，，三点共线，求的值； (2)若，，，求与所成夹角的余弦值； (3)若，，且对任意恒成立，求的取值范围． 23．（25-26高三上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，对向量，，定义．若单位向量，，满足，则的取值范围为______． 24．（25-26高三上·广东珠海·期末）如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为．    (1)在斜坐标系中，，求； (2)在斜坐标系中，，，且与的夹角． ①求； ②，分别在射线，上，，，为线段上两点，且，，求的最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $