专题5.4 平面向量中“四心”与奔驰定理问题 【知识概要+10大题型+巩固训练】-2027届高三数学一轮复习

专题5.4 平面向量中“四心”与奔驰定理问题 知识点1：重心 1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成 三角形中线向量式： 2、重心的性质： （1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 （2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 （3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，，则一定经过三角形的重心 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·广东揭阳·阶段检测）是平面上一定点，P是中一动点且满足：，则直线AP一定通过的（    ） A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心 知识点2：垂心 1、垂心的定义：高的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 4、奔驰定理推论：，. 【跟踪训练】 2．（25-26高三·全国·一轮复习）是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 知识点3：内心 1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 2、常见内心向量式：是的内心， （1）（或）其中，，分别是的三边、、的长， （2），，则一定经过三角形的内心。 【跟踪训练】 3．（25-26高三·全国·单元测试）已知为所在平面上的一点，且.若，则是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 知识点4：外心 1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等 2、常用外心向量式：是的外心， 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心. 4、若，则是的外心 【跟踪训练】 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的（     ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 知识点5：奔驰定理 奔驰定理：设是内一点，,,的面积分别记作,,则. 奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 2．三角形的四心与奔驰定理的关系 (1)O是△ABC的重心：. (2)O是△ABC的垂心：. (3)O是△ABC的内心：. (4)O是△ABC的外心：. 【跟踪训练】 5．（25-26高三下·黑龙江佳木斯·期中）（多选）已知点是所在平面内一点，点为的中点，，，且，则（    ） A．是的外心 B．是的重心 C． D． 题型一：重心及其应用 题型二：垂心及其应用 题型三：外心及其应用 题型四：内心及其应用 题型五：奔驰定理的应用 题型一：重心及其应用 1．（25-26高三下·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 2．（25-26高三下·安徽马鞍山·阶段检测）G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角______. 3．（25-26高三下·陕西商洛·期中）如图中，，分别为，上的两点，满足，，则直线一定通过的______（在重心，垂心，内心，外心中选择一项），若线段和相交于点，那么的值为______. 4．（25-26高三下·广东湛江·期末）已知点为所在平面内一动点，满足：，，则点的运动轨迹一定过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 题型二：垂心及其应用 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．（25-26高三下·浙江宁波·期中）若是的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·全国·模拟预测）已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 8．（25-26高三下·江西宜春·阶段检测）已知为所在平面内的一点，，则为的 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 题型三：外心及其应用 9．（25-26高三·全国·一轮复习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 10．（25-26高三·全国·课后作业）是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 11．（25-26高三下·四川成都·期末）（多选）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（    ） A．的内切圆半径为 B． C． D． 12．（25-26高三下·福建厦门·阶段检测）（多选）已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则点是的垂心 B．若，则 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若，则动点的轨迹经过的外心 题型四：内心及其应用 13．（25-26高三下·湖南长沙·期末）（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则点为的外心（外接圆圆心） B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，，分别表示，的面积，则 D．若，则点是的内心 14．（25-26高三下·河南郑州·阶段检测）在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 15．（2026高三下·甘肃·竞赛）已知中，，，点I是的内心.若有，则_________． 16．（2026·四川南充·三模）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 题型五：奔驰定理的应用 17．（25-26高三下·江苏苏州·阶段检测）（多选）如图，P为内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下正确的命题为（    ） A．若P是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若P是的外心，，，则的最小值是 D．若，则 18．（25-26高三下·重庆·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三下·辽宁大连·期中）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的是（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 20．（25-26高三下·江苏常州·期末）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（    ） A．为的外心 B． C． D． 1．（2026·河北衡水·一模）已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（    ） A． B． C．2 D． 2．（25-26高三下·安徽安庆·阶段检测）在△ABC中，设O是△ABC的外心，且，则∠BAC等于（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．（25-26高三下·云南玉溪·阶段检测）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 4．（25-26高三下·全国·课后作业）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．（25-26高三下·上海·期中）O是在所在平面上一点，存在实数x、y、z满足，，，则点O是的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．（25-26高三下·天津滨海新区·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确个数是（   ） ①若，则定为等腰三角形； ②若，则一定是钝角三角形； ③若点是边上的点，且，则的面积是面积的； ④若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形； ⑤动点的轨迹一定通过的内心． A． B． C． D． 7．（25-26高三下·福建宁德·期中）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·上海·期末）已知O是锐角所在平面内的一定点，动点P满足：，，则动点P的轨迹一定通过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 9．（25-26高三下·山东枣庄·期末）（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点O在△ABC所在的平面内，则（   ） A．若，则△ABC是等腰直角三角形 B．若，则点O为△ABC的垂心 C．若，则 D．若，，，∠BAC的角平分线交BC于D，则 10．（25-26高三下·河南南阳·阶段检测）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（）的很相似，故形象地称其为“奔驰定理.”奔驰定理：已知O是内一点，的面积分别为则.设O是内的一点，则以下命题正确的有（     ） A．若，则 B．若，则O为的重心 C．若，且，则 D．若为的内心，，则 11．（25-26高三下·湖北黄冈·期末）（多选）点O在所在的平面内，则下面四个结论正确的是（） A．若，则点O是的外心 B．若，则点O为的垂心 C．若动点P满足，，则P的轨迹一定通过的内心 D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为 12．（2026高三上·全国·专题练习）已知是的重心，是平面ABC外的一点，若，则______. 13．（25-26高三下·贵州遵义·期中）已知外接圆圆心是，两条边上的高线相交于点，是内一点，且满足，则__________． 14．（25-26高三·全国·一轮复习）已知O是斜三角形所在平面内一定点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的________心． 15．（25-26高三下·全国·课堂例题）已知，求证： (1)若点为的重心，则； (2)已知点为内一点，若，则点为的重心． 16．（25-26高三下·江西上饶·阶段检测）已知在中，点满足与交于点． (1)若，求的值； (2)判断能否为的外心，并证明你的结论； (3)若为钝角，过作直线的垂线，垂足为，求的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4 平面向量中“四心”与奔驰定理问题 知识点1：重心 1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成 三角形中线向量式： 2、重心的性质： （1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 （2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 （3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，，则一定经过三角形的重心 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·广东揭阳·阶段检测）是平面上一定点，P是中一动点且满足：，则直线AP一定通过的（    ） A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据已知得，结合向量加法的几何性质即可得. 【详解】若为中点，由题设， 如下图示，易知直线AP是的一条中线， 所以直线AP一定通过的重心. 故选：B 知识点2：垂心 1、垂心的定义：高的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 4、奔驰定理推论：，. 【跟踪训练】 2．（25-26高三·全国·一轮复习）是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的性质推导出，进一步可得出，，即可得出结论. 【详解】因为，则，所以，， 同理可得，，故是的垂心. 故选：D. 知识点3：内心 1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 2、常见内心向量式：是的内心， （1）（或）其中，，分别是的三边、、的长， （2），，则一定经过三角形的内心。 【跟踪训练】 3．（25-26高三·全国·单元测试）已知为所在平面上的一点，且.若，则是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 【答案】B 【分析】利用平面向量基本定理及向量数量积的运算可求得，由此可得点I在的平分线上，同理可得，点I在的平分线上，由三角形内心的性质可得选项. 【详解】因为，所以 ， 所以，所以 ， 所以在角A的平分线上，故点I在的平分线上， 同理可得，点I在的平分线上，故点I在的内心， 故选：B. 知识点4：外心 1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等 2、常用外心向量式：是的外心， 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心. 4、若，则是的外心 【跟踪训练】 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的（     ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【分析】为的中点，由得，则点的轨迹必通过的外心. 【详解】点为所在平面内一点，若， 设为的中点，， 则有，所以， 所以动点在线段的中垂线上，则点的轨迹必通过的外心. 故选：B 知识点5：奔驰定理 奔驰定理：设是内一点，,,的面积分别记作,,则. 奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 2．三角形的四心与奔驰定理的关系 (1)O是△ABC的重心：. (2)O是△ABC的垂心：. (3)O是△ABC的内心：. (4)O是△ABC的外心：. 【跟踪训练】 5．（25-26高三下·黑龙江佳木斯·期中）（多选）已知点是所在平面内一点，点为的中点，，，且，则（    ） A．是的外心 B．是的重心 C． D． 【答案】BC 【分析】根据平面向量的共线定理及运算法则，结合三角形面积公式逐项判断即可求解. 【详解】∵点为的中点，，，∴，，. 又，∴. 取的中点，的中点，连接，，如图所示. 则由向量的加法法则可知：，，∴，. ∴，，三点共线，，，三点共线，∴点为中线和的交点，即是的重心，故选项A错误，选项B正确； 又，故选项C正确； ∵，∴，故选项D错误. 故选：BC. 题型一：重心及其应用 题型二：垂心及其应用 题型三：外心及其应用 题型四：内心及其应用 题型五：奔驰定理的应用 题型一：重心及其应用 1．（25-26高三下·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】D 【分析】由题意为平面内的动点，是平面内不共线的三点，满足，可得出必过的中点，由此可以得出点的轨迹一定过三角形的重心． 【详解】如图，设为边的中点，， ， 共线， 即点在底边的中线上． 故选：D． 2．（25-26高三下·安徽马鞍山·阶段检测）G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角______. 【答案】 【分析】根据三角形的重心求得，再利用余弦定理来求得正确答案． 【详解】因为G是的重心，所以有. 又，所以. 设，则有.由余弦定理，可得，， 所以. 故答案为： 3．（25-26高三下·陕西商洛·期中）如图中，，分别为，上的两点，满足，，则直线一定通过的______（在重心，垂心，内心，外心中选择一项），若线段和相交于点，那么的值为______. 【答案】 重心 4 【分析】根据向量的线性运算可得，，进而根据共线可得，即可求解. 【详解】由于，故为的中点，所以直线一定通过的重心， 因三点共线，则． 又， 又， 由于共线，所以．解得， 故,故 故答案为：重心，． 4．（25-26高三下·广东湛江·期末）已知点为所在平面内一动点，满足：，，则点的运动轨迹一定过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】令中点为，结合正弦定理与向量运算可得点在直线上，即可得解. 【详解】由正弦定理可得，故， 故， 令中点为，则， 故点在直线上，故点的运动轨迹一定过的重心. 题型二：垂心及其应用 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】先转化为共起点的向量，对其两边点乘对边向量，提取公因式，再由数量积的值进行判定． 【详解】原式变形为， ， 所以，同理，． 所以是的垂心， 故选：D． 6．（25-26高三下·浙江宁波·期中）若是的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用垂心的性质，连接并延长交于，得到，把已知条件中的式子化简，得到，再两边同乘以，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到，再把化为，整理后得到值. 【详解】在中，， 由， 得， 连接并延长交于， 因为是的垂心，所以，， 所以 同乘以得， 因为，所以， 由正弦定理可得 又，所以有， 而， 所以， 所以得到， 而，所以得到， 故选：C. 7．（2026·全国·模拟预测）已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】由题意得，即边上的高所在直线为，由此即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，即直线一定经过三角形的边上的高，即直线一定经过三角形的垂心. 故选：D. 8．（25-26高三下·江西宜春·阶段检测）已知为所在平面内的一点，，则为的 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【详解】 为的垂心，选D 题型三：外心及其应用 9．（25-26高三·全国·一轮复习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 10．（25-26高三·全国·课后作业）是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据给定等式，利用数量积运算律结合向量减法计算得判断作答. 【详解】由得：，即，则有， 由，同理可得，因此，， 所以是的外心. 故选：B 11．（25-26高三下·四川成都·期末）（多选）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（    ） A．的内切圆半径为 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】取边的中点，得内心P、外心O、重心G都在中线上，且，由三角形面积相等求出可判断A；求出可判断B；由余弦定理得，平方关系求出，得的外接圆半径，利用可判断C；利用可判断D. 【详解】取边的中点，连接， 因为，所以内心P、外心O、重心G都在中线上， 且，，内切圆半径， 对于A，由得 ，解得，故A正确； 对于B，因为，所以， ，故B正确； 对于C，由余弦定理得， ，所以， 所以的外接圆半径， ，所以， 所以， ，故C错误； 对于D，的外接圆半径， ，所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出内心P、外心O、重心G都在中线上. 12．（25-26高三下·福建厦门·阶段检测）（多选）已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则点是的垂心 B．若，则 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若，则动点的轨迹经过的外心 【答案】ABD 【分析】根据向量数量积的运算，结合三角形内心，外心，垂心和重心的性质，即可判断选项. 【详解】A.由， 即，同理，，则点是的垂心，故A正确； B. 若，则点是垂直平分线的交点，则，故B正确； C.由正弦定理得，故， 故， 取的中点，则， 故点在的中线上，则动点的轨迹经过的重心，故C错误； D. 设的中点为，， 所以， ， ， 所以， 故点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心，故D正确. 故选：ABD 题型四：内心及其应用 13．（25-26高三下·湖南长沙·期末）（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则点为的外心（外接圆圆心） B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，，分别表示，的面积，则 D．若，则点是的内心 【答案】BCD 【分析】A选项，计算出，⊥，同理可得⊥，⊥，则点为的垂心；B选项，作出辅助线，得到，故点在中线上，故向量一定经过的重心；C选项，作出辅助线，得到，从而得到所以，故；D选项，作出辅助线，得到，故⊥，并得到在的平分线上，同理可得，在的平分线上. 【详解】A选项，，即，故⊥， 同理可得⊥，⊥，则点为的垂心，A错误； B选项，过点作⊥于点，取的中点，连接， 则，， 则， 故点在中线上，故向量一定经过的重心，B正确； C选项，如图，分别为的中点， ， 则，故， 所以， 故，C正确； D选项，分别表示方向上的单位向量， 故， ，故⊥， 由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上， 则点是的内心，D正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 14．（25-26高三下·河南郑州·阶段检测）在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 【答案】A 【分析】由表示过角平分线所在向量，即可判断，由正弦定理得到，再设的中点为，则，即可判断，推导出，即可判断. 【详解】因为表示过角平分线所在向量，又， 所以的轨迹经过的内心， 由正弦定理，所以， 令， 由， 得， 设的中点为，则， 所以，所以的轨迹经过的重心，    因为， 所以 ， 所以，所以的轨迹经过的垂心. 故选：A 15．（2026高三下·甘肃·竞赛）已知中，，，点I是的内心.若有，则_________． 【答案】 【分析】整理可得，结合奔驰定理即可得结果. 【详解】因为，则， 整理可得， 又因为点I是的内心，即点I在内， 由奔驰定理得． 16．（2026·四川南充·三模）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【分析】分别在边上取同方向的单位向量和，由条件推得，进而得到平分，同理平分，即得结论. 【详解】如图，向量，分别表示在边和上取同方向的单位向量和， 则， 由可得， 因，则平分， 同理由，可知平分， 故为的内心. 题型五：奔驰定理的应用 17．（25-26高三下·江苏苏州·阶段检测）（多选）如图，P为内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下正确的命题为（    ） A．若P是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若P是的外心，，，则的最小值是 D．若，则 【答案】ABC 【分析】对于A利用重心的性质，代入奔驰定理公式即可；对于B利用三角形的面积公式结合奔驰定理，可知点到三边的距离相等；对于C根据外心性质结合三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合一般不等式求解范围即可；对于D由，整理得，再根据奔驰定理求解面积比值即可. 【详解】选项A：若是的重心，根据重心性质，三个小三角形面积相等：， 代入奔驰定理得：，即，A正确； 选项B：若，结合奔驰定理， 得面积比. 又，，，可得， 即到三边距离相等，故是的内心，B正确； 选项C：是外心，故（为外接圆半径）， 由，得圆心角. 由，得， 代入，，化简得. 因为在内，结合奔驰定理系数为正，得， 故， 所以，即，当且仅当时取等号， 最小值为，C正确； 选项D：由，整理得：， 即，根据奔驰定理， 所以，D错误. 18．（25-26高三下·重庆·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得到，再结合为内心，得到，即可求解. 【详解】由题意可得． 又因为为三角形内心时，，，， 所以． 故可设，，，， 故三角形为直角三角形．为直角边，为斜边， 由三角形面积 得，又． 故． 19．（25-26高三下·辽宁大连·期中）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的是（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【分析】A选项，作出辅助线，得到，故，同理得到，，所以M为的重心，故A项正确；B选项，设内切圆半径为r，得到，，，代入公式得到；C选项，设的外接圆半径为R，表达出，，，从而得到答案；D选项，求出，设，，由面积比得到，，由三角函数值得到方程，得到，同理得到，利用求出答案. 【详解】对于A，取BC的中点Q，连接MQ， 由，则， 所以， 所以A，M，Q三点共线，且， 设R，T分别为AB，AC的中点，同理可得，， 所以M为的重心，故A项正确； 对于B，由M为的内心，设内切圆半径为r， 则有，，， 所以， 即，故B项正确； 对于C，由M为的外心，设的外接圆半径为R， 又因为，， 所以，，， 所以， ， ， 所以，故C错误； 对于D，延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E， 由M为的垂心，，则， 又，则，， 设，，则，， 所以，即， 所以，同理， 故，， ∴ ，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 20．（25-26高三下·江苏常州·期末）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（    ） A．为的外心 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由根据数量积的运算律可得,可得为的垂心；结合与三角形内角和等于可证明B选项；结合B选项结论证明即可证明C选项，利用奔驰定理证明可证明D选项． 【详解】解：因为， 同理，，故为的垂心，故A错误； ，所以， 又，所以， 又，所以，故B正确； 故，同理， 延长交与点，则 ， 同理可得，所以，故C正确； ， 同理可得，所以， 又，所以，故D正确． 故选：BCD． 1．（2026·河北衡水·一模）已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由三角形重心的性质，结合向量的线性运算得到，再由三点共线，即可求解. 【详解】如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以， 所以，即， 因为三点共线，可得，所以. 故选：A．    2．（25-26高三下·安徽安庆·阶段检测）在△ABC中，设O是△ABC的外心，且，则∠BAC等于（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】直接利用△ABC重心的性质，可知△ABC的重心与外心重合，可得△ABC为等边三角形. 【详解】依题意， 因为，所以O也是△ABC的重心， 又因为O是△ABC的外心，所以△ABC是等边三角形， 所以∠BAC=60°. 故选：C. 3．（25-26高三下·云南玉溪·阶段检测）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【分析】用向量的线性运算，结合中线向量和共线向量性质即可作答. 【详解】因为，， 则 若设中的的中点为，有， 则. 所以在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心． 故选：A． 4．（25-26高三下·全国·课后作业）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算律，即可得，结合外心定义即可求解. 【详解】由已知得， 所以，所以， 所以点O是的外心， 故选:A． 5．（25-26高三下·上海·期中）O是在所在平面上一点，存在实数x、y、z满足，，，则点O是的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】因为分别表示与同方向的单位向量，如图，不妨分别记为， 故以为两邻边的平行四边形为菱形，则平分， 因，可知O点落在的平分线上； 同理由，可知O点也落在的平分线上， 故点O是三条角平分线的交点，即三角形的内心. 6．（25-26高三下·天津滨海新区·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确个数是（   ） ①若，则定为等腰三角形； ②若，则一定是钝角三角形； ③若点是边上的点，且，则的面积是面积的； ④若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形； ⑤动点的轨迹一定通过的内心． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一结合三角函数性质、余弦定理、向量线性运算及三角形五心的向量特征判断各命题正误，统计正确命题个数即可. 【详解】 对①，在中，由得或， 即或，故为等腰三角形或直角三角形，故①错误； 对②，由余弦定理得，已知，且，故， 又，则，即为钝角，为钝角三角形，故②正确； 对③，由，移项得，即， 故，如图所示：    与同高，面积比等于底边长之比，因此，故③错误； 对④，若，则为的重心； 若，则为的外心， 当三角形的重心与外心重合时，为等边三角形，故④正确； 对⑤，由得， 其中、分别为、方向上的单位向量， 二者和的方向与的角平分线方向一致， 故动点的轨迹为的角平分线，必过的内心，故⑤正确； 综上，正确命题为②④⑤，共个，故C正确. 7．（25-26高三下·福建宁德·期中）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据重心的性质，结合欧拉定理即可求解. 【详解】因为是的重心，所以有， 故， 由欧拉线定理可得，即，故： 8．（25-26高三下·上海·期末）已知O是锐角所在平面内的一定点，动点P满足：，，则动点P的轨迹一定通过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由，且为边上的高，及为角平分线上的单位向量，对原式化简可得. 【详解】设边上的高为， 则， 由， 得. 因为为角平分线上的向量，且， 所以动点P的轨迹一定通过的内心. 9．（25-26高三下·山东枣庄·期末）（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点O在△ABC所在的平面内，则（   ） A．若，则△ABC是等腰直角三角形 B．若，则点O为△ABC的垂心 C．若，则 D．若，，，∠BAC的角平分线交BC于D，则 【答案】BCD 【分析】A选项，由正弦定理及正弦的二倍角公式求解即可；B选项，由可得，进而证明点O为△ABC的垂心；C选项，由正弦定理和余弦定理求解；D选项，先由正弦定理和正弦的两角和公式求出，，再由等面积法求的值. 【详解】对于A，由正弦定理以及条件得：， 即，所以或， 又因为，所以或， 所以是等腰或直角三角形，不一定是等腰直角三角形，A错误； 对于B，若，则， 可得，即，所以，所以在边上的垂线上， 同理可得在边上的垂线上，在边上的垂线上，所以是垂心，故B正确； 对于C，因为，则， 可设，，，， 再根据余弦定理得：，故C正确； 对于D，若，，， ， 由正弦定理：，解得， 因为，解得， 由等面积法：， 故，D正确. 10．（25-26高三下·河南南阳·阶段检测）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（）的很相似，故形象地称其为“奔驰定理.”奔驰定理：已知O是内一点，的面积分别为则.设O是内的一点，则以下命题正确的有（     ） A．若，则 B．若，则O为的重心 C．若，且，则 D．若为的内心，，则 【答案】BCD 【分析】根据奔驰定理求出，即可判断A；先求出，再由面积公式推出为三条边中点的交点，即可判断B；先求出，再求出，然后根据比例关系求出，即可判断C；先求出，然后利用内切圆半径及面积公式将其转化为三边的比，再由勾股定理得到，即可判断D. 【详解】由奔驰定理可知，若，则，故A错误； 若，则，即. 因为和有相同的公共边，且面积相等， 所以可得两点到直线的距离相等，所以的延长线一定过中点， 同理，的延长线一定过中点，的延长线一定过中点， 所以为三条边中点的交点，即O为的重心，故B正确； 由，可得. 若，则， 所以，即，所以故C正确； 由，可得. 设内切圆半径为，则，，， 即，因为，所以，故D正确. 11．（25-26高三下·湖北黄冈·期末）（多选）点O在所在的平面内，则下面四个结论正确的是（） A．若，则点O是的外心 B．若，则点O为的垂心 C．若动点P满足，，则P的轨迹一定通过的内心 D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】选项A：根据外心定义，到三角形三个顶点距离相等的点为外心，结合选项进行判断；选项B：根据条件推出在三角形两个内角平分线上，判断出是内心而非垂心；选项C：由条件得与的角平分线共线，的轨迹过三角形内心；选项D：坐标化简计算可得最大值. 【详解】选项A：外心是三角形外接圆圆心，性质为到三个顶点距离相等， 若，说明到三点距离相等，因此是的外心，A选项正确， 选项B：是对应方向的单位向量，它们的差沿的外角平分线方向， 由数量积为得该向量，故是的内角平分线，同理是的内角平分线， 因此是的内心，不是垂心，B选项错误， 选项C：对等式移项得，两个单位向量的和沿的内角平分线方向， 因此的轨迹是的角平分线，一定过三角形内心，C选项正确， 选项D：由中点向量性质得：， 因此： 已知，是中点，故，代入化简得， 由，直角三角形斜边中线得，又，即， 代入化简最终得：（为与的夹角）， 当时，最大值为，D选项正确. 12．（2026高三上·全国·专题练习）已知是的重心，是平面ABC外的一点，若，则______. 【答案】3 【分析】由三角形重心的向量性质以及向量的线性运算求解即可. 【详解】因为是的重心，所以，设为中点， 所以，因为， 因为，，所以，即 ，将代入可得，， 因为，所以，因为是平面ABC外的一点， 且为非零向量，所以. 13．（25-26高三下·贵州遵义·期中）已知外接圆圆心是，两条边上的高线相交于点，是内一点，且满足，则__________． 【答案】 【分析】设外心为原点，由重心性质得三顶点向量和，证明该向量对应点即为垂心，从而建立向量关系，求得比值. 【详解】设为原点，记. 由于在同一圆上，则. 由题意，所以. 即①. 取点 ，使， 则， 于是. 因此 ，同理可得 ，所以 就是三角形 的垂心 . 故. 结合①得，从而. 因此. 14．（25-26高三·全国·一轮复习）已知O是斜三角形所在平面内一定点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的________心． 【答案】垂 【分析】将已知等式移项，通过向量的减法运算变形，再利用数量积为0说明垂直关系进而判断. 【详解】由 ， 又因为， ， ， 所以，所以， 所以点P在的高线上，即P的轨迹过的垂心. 故答案为：垂. 15．（25-26高三下·全国·课堂例题）已知，求证： (1)若点为的重心，则； (2)已知点为内一点，若，则点为的重心． 【答案】(1) 因为点为的重心，所以连接，并延长交于点，则为的中点，且，所以. 又， 所以. (2) 如图2所示，作平行四边形， 设对角线与交于点，则， 即与是相反向量，所以，，，四点共线． 又点是的中点，所以点在的中线上， 同理可证，点也在的另外两条中线上．所以点为的重心． 【分析】（1）根据平面向量的线性运算法则及重心的性质可得； （2）作平行四边形，设对角线与交于点，则是的中点，根据平面向量的线性运算法则，可证四点共线，即在中线上，同理可证点在其他两条中线上，从而证得点为的重心． 【详解】（1）因为点为的重心，所以连接，并延长交于点，则为的中点，且，所以. 又， 所以. （2）略 16．（25-26高三下·江西上饶·阶段检测）已知在中，点满足与交于点． (1)若，求的值； (2)判断能否为的外心，并证明你的结论； (3)若为钝角，过作直线的垂线，垂足为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)不可能为的外心，证明： 假设是的外心，设的外接圆半径为， 由（1）得， 整理得， 两边平方得， 所以，矛盾， 所以不可能为的外心． (3) 【分析】（1）通过已知条件得到关于的两种不同表达式，再利用向量基本定理列出方程组求解未知数，进而得出的值. （2）通过对已知向量等式进行整理、平方等操作，结合外接圆半径以及向量夹角余弦值的相关知识来得出矛盾，从而证明不可能为的外心. （3）依据向量的运算法则进行向量的线性运算，再利用向量垂直的性质得到关于的等式，最后结合角的范围求解的取值范围. 【详解】（1）由，得， 又三点共线， 可设， 由，得， 又三点共线， 可设， 因为不共线， 所以解得 所以， 所以． （2）略 （3）由（1）知，， 所以， 因为， 所以 ， 所以， 因为为钝角，所以，所以， 解得，即的取值范围是． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $