30.1 直线与圆（知识清单，知识点&11易错&9题型）数学新教材人教版九年级上册

第三十章 直线与圆的位置关系 30.1 直线与圆 🔷知识点一　直线与圆的位置关系 1.三种位置关系： 在同一平面内，直线与圆的位置关系可按公共点的个数分为相离、相切、相交。直线与圆只有一个公共点时，这条直线叫作圆的切线，公共点叫作切点；有两个公共点时，这条直线叫作圆的割线。 图1 2.数量关系： 设圆的半径为，圆心到直线的距离为，即图1中垂线段的长，则： 位置关系 公共点个数 距离与半径的关系 相离 0个 相切 1个 相交 2个 “相切”可推出，反过来也可判定相切。判断位置时，可先求出垂距再比较；已知位置关系时，可以反过来列等式或不等式。 ⚠️特别提醒 ①当前研究的是直线与圆，注意直线可以向两端无限延伸。不能只数图中某一条线段与圆的公共点，更不能只看线段有没有进入圆内； ②圆心在直线上时，，直线经过圆心，与圆有两个公共点，仍属于相交。圆心到直线的距离可以为，但圆的半径必须大于。 📌 归纳总结 直线与圆的位置关系看公共点个数、、，对应 、、 。其中必须是圆心到直线的垂直距离，定义与数量关系都可用于判断。 🔷知识点二　圆心到直线的距离 1.距离的确定：从圆心向直线作垂线，垂线段的长才是圆心到直线的距离。圆心与直线上任意一点的连线，一般不是所求距离；垂足落在题目所画线段的延长线上时，仍按整条直线计算。 2.常用求法： ①利用直角三角形的勾股定理或角所对直角边等于斜边的一半求垂线段； ②把垂线段看作三角形的高，利用面积求高； ③圆心是某条边的中点时，可联系中位线、等腰三角形的“三线合一”等已知关系。 图2 例如图2，，，，则。过作，由，得 。 以为圆心、为半径作圆：当时，，直线与圆相离；当时相切；当时相交。图2画的是时的情况。 ⚠️特别提醒 ①比较前先检查题目给的是半径还是直径。例如直径为，圆心到直线的距离为，应拿与半径比较，结论为相离； ②半径变化时不要把不等式方向写反。图2中固定，相离时，相切时，相交时。等号只对应相切的情况。 💡 拓展延伸 在直角坐标系中，圆心为时，到直线的距离为，到直线的距离为。特别地，到轴的距离为，到轴的距离为；再与半径比较即可。这里求的是到直线的距离，不能求成到原点的距离。 📌 归纳总结 判断前先作垂线、求垂距、找半径。三角形中常用勾股关系或面积求高，坐标系中注意到两坐标轴的距离；半径未知时，根据位置关系列出正确的取值范围。 🔷知识点三　圆的切线的性质 1.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。如图3，直线与相切于点，连接，就有，过切点形成的角为直角。 图3 2.性质的作用：见到切线和切点，常连接圆心与切点，构造直角三角形。再结合半径相等、勾股定理、直径所对圆周角为直角等关系，求长度或角度。 ⚠️特别提醒 ①必须连接切点对应的半径。切线并不垂直于任意半径，不能看到圆心与圆上一点的连线，就直接标直角； ②先确认直线是切线，再使用性质。若题目只说“直线经过圆上一点”，不能因此把它当作切线；证明相切时，也不能把待证的相切当成已知条件。 💡 拓展延伸 ①过一条直径两个端点的切线互相平行，因为两条切线都垂直于这条直径所在的直线； ②两个同心圆中，大圆的一条弦与小圆相切于，则连接，有垂直于这条弦。再用大圆的垂径定理，可得是弦的中点。这里先用小圆的切线性质，再用大圆的弦的性质。 📌 归纳总结 已知相切→连接过切点的半径→得到垂直。切线性质把圆的问题转化为直角三角形问题；使用时要认准切点，也要确认相切已经有依据。 🔷知识点四　圆的切线的判定 1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。如图3，若在上，直线经过，且，则是的切线，为切点。这是因为此时就是圆心到的距离，且，符合。判定中的“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”缺一不可。 定理 已知条件 得到的结论 切线性质 与圆相切于A OA⊥ 切线判定 A在圆上，过A且OA⊥ 是圆的切线 2.证明相切的常用方法： ①直线与圆的公共点已知：连接半径，证明垂直。例如已知在圆上，要证是切线，就连接，把目标转为； ②公共点没有给出：从圆心作垂线，证明垂距等于半径。设垂足为，证明，就能判定直线相切，同时得到在圆上且是切点。不能先假定在圆上。 ⚠️特别提醒 垂直关系常需要由等腰三角形、全等三角形、平行线或角度计算推出。证明时要写清依据，不能只凭图形看起来垂直，就直接使用切线判定。 💡 拓展延伸 若、都在上，是圆的切线，且，可连接、、。由、及，得（），从而，所以也是切线。注意不能在尚未证为切线时，直接套用切线长定理。 📌 归纳总结 切线判定先查圆上一点、经过该点、垂直该点半径。公共点已知，连半径证垂直；公共点未知，作垂线证。性质由相切得到垂直，判定由条件得到相切，方向不要用反。 🔷知识点五　切线的作图与条数 1.过圆上一点作切线：已知在上，连接，过作的垂线，即为所求切线。由于过一点垂直于已知直线的直线只有一条，所以过圆上一点只能作一条切线。 2. 过圆外一点作切线：如图4，已知在外。 ①连接，作的垂直平分线，确定中点； ②以为圆心、为半径作圆，与相交于、； ③作直线、，就是所求的两条切线。 图4 作图的依据：是辅助圆的直径，因此。而、又在原圆上，所以、，两条直线都符合切线判定。辅助圆用来找到切点，不能以或为圆心随意画圆。 3. 过一点作已知圆的切线条数： 点的位置 圆内 圆上 圆外 切线条数 0条 1条 2条 ⚠️特别提醒 过圆内一点的任意直线都会穿过圆，与圆有两个公共点，所以不能作切线。过圆外一点作图时，原圆与辅助圆有两个交点，两条切线都要保留，不能只画出图形上方的一条。 📌 归纳总结 圆内条、圆上条、圆外条。过圆上一点作半径的垂线；过圆外一点，可用以圆心与外点连线为直径的辅助圆确定两个切点，再连成切线。 🔷知识点六　切线长定理及其应用 1.切线长的概念：经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长。如图5，、的长是到的切线长；切线是直线，切线长是线段的长度，不能混淆。 图5 2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如图5中，，。 3.两切线图形中的常用关系： ①长度关系：，且。例如、时，切线长，不能把直接当作切线长； ②平分与垂直：由全等还可得。设与交于，因为、都到、等距，所以是的垂直平分线，即、； ③角度关系：四边形在、处的内角都是，所以 。其中是两条切线段的夹角；不要把这个半角当成全角。 ⚠️特别提醒 使用切线长相等，必须确认同一个圆外点、同一个圆、两条直线都是切线。不同圆外点引出的切线长不一定相等；只有“两个线段相等”，也不能直接断定对应直线都是切线。 💡 拓展延伸 第三条切线截得的周长关系：如图6，、切圆于、，另一条切线分别交线段、于、，切点在线段上。由切线长定理，、，所以。 图6 因此 。这里用到了、、及、、的先后顺序；若交点落在切线段的延长线上，要重新列线段和差，不能直接套用这个周长结论。 📌 归纳总结 切线长定理抓住同一圆外点引同一圆的两条切线，得到切线长相等、圆心连线平分夹角。连接切点半径可构造全等直角三角形，进一步求长度、角度或周长；线段相加前要核对点的顺序。 易错点 1 把圆心到直线上任意一点的距离当作垂距 · 错例：圆的半径为，在直线上，，就断定与圆相切； · 错因：只看一条连线等于半径，没有确认这条线段是否垂直于； · 规避方法：从向作垂线，比较与半径。若，即使，直线与圆仍相交；在圆上不代表是切线。 易错点 2 用直径代替半径比较位置关系 · 错例：圆的直径为，圆心到直线的距离为，因为，就判断直线与圆相交； · 错因：把题目给出的直径直接当作判定式中的； · 规避方法：先在已知条件旁标出，再比较，结论是相离。所有与的比较都要使用半径。 易错点 3 半径范围中把相切与相交混在一起 · 错例：圆心到直线的距离为，要使直线与圆相交，写成； · 错因：忘记等号对应只有一个公共点，把相切也算入相交； · 规避方法：先写相交条件，再代入，得到。时相切；时相离。 易错点 4 只数已画线段与圆的公共点 · 错例：线段的端点在圆上，在圆内，线段只与圆有一个公共点，就说直线是切线； · 错因：把有限线段当作整条直线，漏掉延长后与圆的另一个交点； · 规避方法：把线段向两端延长后再看公共点。直线经过圆内点，与圆相交；线段上只有一个公共点，不能据此判定相切。 易错点 5 认为切线垂直于任意半径 · 错例：直线与相切于，圆上另一点满足，仍写； · 错因：遗漏性质中的“过切点”，把另一条半径也当作切线的垂线； · 规避方法：先圈出切点，只把与之间标成直角。本例中与不共线，不能写。 易错点 6 判定切线时只有垂直，漏掉半径外端 · 错例：在半径上取点，使、，过作的垂线，就判定是切线； · 错因：没有检查垂线是否经过半径的外端点，只用了垂直条件； · 规避方法：确认垂足是否在圆上。本例圆心到的距离为，直线与圆相交；只有过作的垂线，才是对应的切线。 易错点 7 证明相切时先使用尚未成立的切线性质 · 错例：已知在圆上，要证是切线，却先写“由切线性质，”； · 错因：把待证结论当作已知条件，形成循环论证； · 规避方法：先连接，利用题目已有的等角、全等或等腰关系独立证明，再用切线判定得出相切。 易错点 8 过圆外一点作切线只保留一条 · 错例：如图4的辅助圆与原圆交于、，只作，就说过只能作一条切线； · 错因：忽略另一个交点也满足直径所对圆周角为直角； · 规避方法：对两个交点分别连接、，核对、。圆外点对应两条切线，圆上点才对应一条。 易错点 9 把外点到圆心的距离当作切线长 · 错例：圆外点满足，圆的半径为，就答到圆的切线长为； · 错因：切线长的终点应是切点，却错误地量到了圆心； · 规避方法：标出切点，连接。在中，是斜边，切线长为。 易错点 10 不同圆外点引出的切线长也判为相等 · 错例：从圆外两点、分别引同一圆的切线、，没有其他条件，就写； · 错因：只确认同一个圆，没有确认切线是否从同一个圆外点引出； · 规避方法：使用定理时同时检查圆与外点。只有从同一外点引出的两条切线段才由该定理保证相等；不同外点需要另找等长依据。 易错点 11 把两切线夹角的一半当作整个夹角 · 错例：如图5中，已知，就写、； · 错因：忘记平分两切线夹角，将半角直接代入互补关系； · 规避方法：先求，再用。逐个看清角的三字母，不能只记一个“切线夹角”。 题型一：判断直线与圆的位置关系 📝方法技巧 ①判断位置关系，先找准圆的半径和圆心到直线的距离，再比较大小：时相交，时相切，时相离。 图形给出的条件比较清楚时，也可以根据公共点的个数判断。 ②圆心到直线的距离必须是垂线段的长度。没有直接给出时，先过圆心作垂线，再利用勾股定理、含30°角的直角三角形或等面积法求出，不能直接拿圆心到直线上某一点的距离代替。 ③若只知道直线上一点到圆心的距离，可先利用“垂线段最短”确定的范围。例如，只能得到，直线可能相交，也可能相切；时，则一定相交。 ④注意区分直线与线段。线段与圆没有公共点，其所在直线仍可能与圆相交；线段与圆只有一个公共点，也不能直接判断其所在直线是切线。“有公共点”还包括相交和相切两种情况。 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）四个等圆与直线l的位置关系如图所示，其中与直线l是相离关系的圆是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察图可知：、、与直线均有交点，而与直线没有交点， ∴与直线是相离关系的圆是. 2．（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】先确定圆的半径和圆心到直线的距离，再比较与的大小，根据直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论． 【详解】解：由题意得，圆的半径，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离． 3．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离． 4．（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】作，求出的长，与半径比较大小，即可得出结果. 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵的半径为3，， ∴与直线的位置关系是相离. 5．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知圆的半径是，如果圆心到直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意得圆的半径，圆心到直线的距离，然后比较即可求解． 【详解】解：根据题意得圆的半径，圆心到直线的距离， ∵， ∴根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离小于圆的半径时，直线与圆相交， ∴直线和圆的位置关系是相交． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列命题中，正确的有：_______．（请填写序号） ①与圆没有公共点的线段所在的直线和圆相离；②与圆只有一个公共点的线段和圆相切；③与圆有公共点的直线和圆相交；④直线与圆相切时只有一个公共点． 【答案】④ 【分析】区分线段与直线和圆的位置关系，根据直线与圆位置关系的定义逐一判断即可． 【详解】解：① 若线段与圆没有公共点，线段所在的直线仍可能与圆有公共点，只是线段未延伸到圆的区域，因此①错误； ② 若线段仅一个端点在圆上，其余部分都在圆内，此时线段与圆只有一个公共点，但不符合相切的定义，因此②错误； ③ 与圆有公共点的直线和圆可能相切，不一定相交，因此③错误； ④ 直线与圆相切的定义就是直线与圆只有一个公共点，因此④正确． 综上所述，命题正确的是④． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当时，直线与的位置关系是_______． 【答案】相离 【分析】先求出斜边的长度，再利用三角形面积公式求出圆心到直线的距离，比较距离与半径的大小，即可判断直线与圆的位置关系． 【详解】解：过点作于点． ∵，，， ∴由勾股定理得 . ∵， ∴， ∴， 即圆心到直线的距离． ∵， ∴直线与相离． 题型二：已知位置关系求半径的取值范围 📝方法技巧 ①先把位置关系转化为关于半径的不等式：相交时，相切时，相离时。求“可能的半径”时，可以先写出范围，再逐一检验选项。 ②圆与三角形的边有交点时，应先明确题目说的是线段还是所在直线。对于线段，可先求圆心到所在直线的距离、圆心到两端点的距离，再找相切、经过端点等临界位置。 ③“与线段有且只有一个公共点”，除了相切，还可能是所在直线与圆的另一个交点落在线段外。可按半径由小到大的顺序画草图，检查在变化过程中的交点个数；端点能否取到，要结合“经过端点”“不经过端点”等要求判断。 ④圆上有若干点到某直线的距离等于定值时，可在该直线两侧各作一条与它等距的平行线，再统计这两条平行线与圆的交点总数。不能只考虑其中一侧，也不能漏掉相切时的一个交点。 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离，即可得到问题的选项． 【详解】解：∵直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离为6， ∴， 故选：A． 2．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆相离的条件：圆心到直线的距离大于圆的半径． 根据直线与圆相离的条件，结合已知的圆心到直线的距离，确定半径的取值范围，再判断选项． 【详解】解：∵直线l与相离， ∴圆心到直线的距离半径， 已知， ∴． 观察选项中只有A．，满足条件． 故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 直线与半径为的相交，且点到直线的距离，按照即可得到问题的答案． 【详解】解：直线与半径为的相交，且点到直线的距离为， ， 比较四个选项中的数，只有D选项中的，满足题意， 故选：D． 4．（2025九年级·全国·专题练习）若直线l与半径为6的相离，则圆心O到直线l的距离d满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键． 根据圆与直线的位置关系，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径即可求解． 【详解】解：∵直线与相离，的半径为， ∴圆心到直线的距离， 故选：B． 5．（25-26九年级上·江苏宿迁·开学考试）已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，则的半径可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟知判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离是解题的关键．根据，圆和直线相交即可求解， 【详解】解：直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4， 的半径大于4， 故选：． 6．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 【答案】 【分析】分别求出与相切时，过点时两种情况半径的值，再结合图像分析即可． 【详解】，，， ， 如图，当与相切时，半径， 当过点时，半径， 由图像可得，当与，有交点（不经过点，两点）时， 的半径的取值范围是． 7．（2025九年级上·浙江·专题练习）在中，，，，若以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点，则该圆半径的取值范围为______ ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理；分直线与圆相交和相切两种情况解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， ∵，， ∴当时，可知以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点； 过点作于点，如图， 可知当时，以为圆心的圆与斜边相切，此时圆与斜边有且只有一个公共点， ∵， ∴， 解得，即； 综上，当以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点时，该圆半径的取值范围为或， 故答案为：或． 8．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，理解题意是解题的关键．以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为，则两个交点在到直线l的距离是的直线m上，圆与直线l的位置关系是相交，据此即可判断． 【详解】解：以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为，则两个交点在到直线l的距离是的直线l上． 则直线l到圆心O的距离是：或． 圆O与直线l相交，因而该圆的半径r的取值范围是． 故答案为：． 题型三：已知位置关系求圆心到直线的距离 📝方法技巧 ①根据位置关系确定的范围：相交时，相切时，相离时；仅知道“有公共点”时，应写成。题目给出直径的，要先除以得到半径。 ②坐标系中，圆心到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值。圆与坐标轴相切时，应考虑圆心位于坐标轴两侧的情况；圆心还在某条函数图象上时，再将相应坐标代入解析式求解。 ③求两动点到直线的距离之和，可考虑取两点连线的中点。两点位于直线同侧时，距离之和等于其中点到直线距离的2倍。 再利用中线长不变等条件确定中点轨迹，把两个点的问题转化为一个点的问题；若两点可能分居两侧，则需另行讨论。 ④涉及弦长与距离的最值，可连接半径、作弦心距，利用“半弦长²＋弦心距²＝半径²”建立联系。半径一定时，弦长越短，弦心距越大。若直线经过定点，还可利用“圆心到直线的距离不大于圆心到该定点的距离”，确定最值及取等位置。 1．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有公共点确定直线与圆为相交或相切的位置关系，以此推导与的大小关系． 【详解】解：∵直线与有公共点， ∴直线与圆相交或相切． ∵直线与圆相交时，相切时， ∴． 2．（2022·浙江舟山·模拟预测）若直线l与半径为5的相离，则圆心O与直线l的距离d为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一条直线与一个圆相离，那么该圆的圆心到该直线的距离大于该圆的半径，据此可得答案． 【详解】解：∵直线与半径为5的相离， ∴圆心与直线的距离． 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】圆与直线的位置关系由圆心到直线的距离和圆半径的大小关系决定：当时，圆与直线相离，无公共点；当时，圆与直线相切，有一个公共点；当时，圆与直线相交，有两个公共点． 【详解】解：∵与直线没有公共点， ∴与直线相离， 已知的半径， ∴圆心到直线的距离， 观察选项，只有选项A中的6满足， 故选：A． 4．（25-26九年级上·吉林延边·期末）已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断直线和圆的位置关系，已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离． 直线与圆有两个公共点，说明直线与圆相交，因此圆心到直线的距离小于半径． 【详解】解：∵直径为， ∴半径 ∵与直线有个公共点， ∴直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， ∴选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 5．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知直线和相交，的半径为2，则圆心到的距离的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系；解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得． 【详解】解： 的半径 ，直线 l 与 相交， 圆心到直线的距离 ，即 ． 选项中只有 A．，故的值可以是1． 故选：A． 6．（23-24九年级上·陕西西安·自主招生）在平面直角坐标系中，直线是边长为1的正三角形，其中为坐标原点，则点P，Q到直线的距离之和的最小值是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标平面内两动点到直线的距离之和最小问题，根据题意，首先确定点P，Q的运动轨迹是以O为圆心，以1为半径的圆，然后过中点向直线l作垂线段，利用梯形的中位线定理把求P，Q到l的距离之和转化为求的最小值，由垂线段求得结果． 【详解】解：∵， ∴点P、Q在以O为圆心，以1为半径的圆上， 作于E，于F，取的中点N，作于M， 由梯形的中位线定理得，， 连接，当M，N，O三点共线时，最小， 对于直线，当时，，当时，，解得， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小值， ∴P，Q到直线l距离之和的最小值为． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段检测）如图，已知的半径为3，圆心始终在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为_____． 【答案】或或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数的图象与性质，由题意可得点的纵坐标为，分两种情况求解即可． 【详解】解：∵与轴相切，的半径为3， ∴点到轴的距离为， ∴点的纵坐标为， 当时，， 解得：或， 此时的坐标为或， 当时，， 解得：， 此时的坐标为， 综上所述，圆心的坐标为或或， 故答案为：或或． 8．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为_____． 【答案】 【分析】如图所示，设直线与交于，过点作于，连接，先证明当点与点重合时，最小，即此时最小，再由求出，可得，解得． 【详解】解：如图所示，设直线与交于，过点作于，连接， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最小时，最大. ∵， ∴当点与点重合时，最大， ∵直线关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴. ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与几何综合，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 题型四：求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 📝方法技巧 ①圆平移时，半径不变，关键是找出相切时圆心的位置。可先在已知直线两侧各作一条与它距离为的平行线，再看这些平行线与圆心运动的过程中有哪些交点。 ②沿坐标轴方向运动时，可先表示平移后的圆心坐标，再由“圆心到相应坐标轴的距离等于半径”列式。直线两侧都可能出现相切位置，不能只考虑圆尚未越过直线的情况。 ③圆心沿斜向路线运动时，应从相切后的圆心向已知直线作垂线，利用特殊角求出新圆心的位置，再计算实际移动距离。沿运动路线的距离，不一定等于圆心到直线距离的变化量。 ④求运动时间，先求移动距离，再除以速度。最后检查所得位置是否符合指定方向、射线或线段范围，以及时间是否符合题意；不能机械地认为每题都有两个答案。 1．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 2．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解． 【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时， P到y轴距离时，⊙P与y轴相切， ∴移动时间（秒）； （2）当 的圆心P在y轴右侧时， P到y轴距离时，与y轴相切， ∴移动时间（秒）． 故选C． 【点睛】本题考查直线和圆位置关系的判定，关键是掌握判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径． 3．（20-21九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（  ） A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s 【答案】D 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径即可． 【详解】设圆与直线b交于A、B两点， 当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，OP=2t，PB=2t+1，PA=2t-1， 当PB=PH时即2t+1=4，t=1.5与直线a相切， 当PA=PH时即2t-1=4，t=2.5与直线a相切． 故选：D． 【点睛】本题考查圆与直线相切问题，关键掌握圆与直线相切的条件，会利用此条件确定动点圆心的位置，列出等式解方程解决问题． 4．（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可． 【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为， 当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为， 综上所述，向下平移的距离为1或5． 故选：D． 【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键． 5．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 【答案】2或6 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与圆有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质．分类讨论：当点在 点左侧，与相切时，过作于，根据切线的性质得到，再利用得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在 点右侧，与相切，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【详解】解：当点在 点左侧，与相切时，过作于，如图， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）； 当点在 点右侧，与相切，如图， 同理，得的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）． 故答案为：2或6． 6．（2025·河南濮阳·一模）如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 【答案】 【分析】此题重点考查平移的性质、切线的性质定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 当移动到与相切时，设圆心为，切点为，由，，，得，最后求解即可． 【详解】解：当移动到与相切时，设圆心为，切点为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴圆心移动的距离为． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在______秒时相切． 【答案】2或3 【分析】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点到的距离为时，与相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间． 【详解】解：当点到的距离为时，与相切， 开始时点到的距离为5， 当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切， 或， 即与直线在2秒或3秒时相切． 故答案为：2或3． 题型五：求直线平移到与圆相切时运动的距离 📝方法技巧 ①直线平移后方向不变，可先画出与原直线平行的两条切线，再确定移动距离。沿垂直于原直线的方向、且未限定平移方向时，可分别考察圆心同侧与异侧的相切位置，距离由原距离与半径的差或和确定，即、；再结合起始状态和题目要求筛选。 ②半径或原弦心距没有直接给出时，可先过圆心作弦的垂线，利用垂径定理把弦长减半，再通过勾股定理求出所需长度，之后再计算平移距离。 ③求一次函数中的参数范围，常用相切确定临界值，再根据位置关系确定取值范围。要求“相交”时不取相切的临界值；要求“有公共点”时应包括相切。注意：截距的变化量不能直接当作直线沿垂直方向平移的距离。 ④遇到附带的动点最短距离问题，可先证明某个角恒为，从而确定动点在以固定线段为直径的圆上运动。圆外定点到整圆的最短距离为“该点到圆心的距离－半径”；若动点只在一段圆弧上运动，还应检查取最值的位置是否在这段弧上。 1．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质，是基础知识要熟练掌握． 根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为，可向上或向下平移，使l与相切，即可得出答案． 【详解】解：如图，当直线l经过点B时，， 当直线l平移至直线，且切点为点A时，此时； 当l移动到，且切点为点C时，则； 综上所述，与相切时，平移的距离是或． 故选D． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 3．（18-19九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可． 【详解】∵直线AB与x轴正方向夹角为45°， ∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC， ∴， ∵⊙O的半径为1， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴OC=PC=1， ∴OA==， ∴P（，0）， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0）， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 4．（17-18九年级上·江苏无锡·期中）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线与相交，则b的取值范围是（   ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与⊙O相切时b的值，即可求出b的取值范围． 【详解】解：当直线与圆相切，且函数图象经过一、二、四象限时，如图： 在中， 令时，，则与y轴的交点是， 当时，，则与x轴的交点是， 则，即是等腰直角三角形． 连接圆心和切点，则， 则．即； 同理，当直线与圆相切，且函数图象经过二、三、四象限时，． 则若直线与相交时，的取值范围是． 故选：． 【点睛】本题考查圆与一次函数图象相交的问题，关键是由直线与圆相切时求出的值． 5．（17-18九年级下·全国·课后作业）已知：的半径为，圆心到直线l的距离为，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与相切，则平移的距离是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：如图，当l经过点B时，，则； 当l移动到时，则； 即平移的距离是或． 6．（2026·广东广州·二模）如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 【答案】或 【分析】连接，利用垂径定理可得，再由勾股定理可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：连接， ∵直线，， ∴， 在中，， ∴， ∵直线l沿所在直线平移后与相切， ∴直线l应垂直于过点C的直径，垂足为直径的两个端点， ∴当直线向下平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 当直线向上平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 综上所述，平移的距离是或． 7．（2021·四川成都·一模）如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为_________． 【答案】 【分析】先证明，得出，证出，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧，连接OC交圆O于P，此时PC最小，，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形ABCD是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示： 连接OC交圆O于P，此时PC最小， ， ， 由勾股定理得：， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键． 题型六：切线的性质 📝方法技巧 ①见切线，连切点与圆心，得到垂直。求半径、切线长或圆外点到圆心的距离时，通常可在由半径、切线段和圆心连线组成的直角三角形中使用勾股定理。 ②求角度时，先标出切点处的直角，再结合半径相等形成的等腰三角形、圆周角定理及三角形内外角关系计算。 ③实际情境中的地平面、太阳光线等，应先转化为图中的切线、半径和平行线。看清哪些角相加、哪些角相减，不要脱离图形直接套用角度关系。 ④条件只确定圆上一点到某点或某条弦的距离时，该点可能有两个位置。可按其位于某条直线的同侧或异侧分别画图，再作垂线计算，尤其注意相关线段应取和还是差。 ⑤求定点到圆上各点的最大距离，可连接该点与圆心并延长，最大距离＝定点到圆心的距离＋半径，不必逐个研究圆上点的位置。 1．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，与相切于点，若，，则的半径长为（     ） A．3 B． C．5 D．4 【答案】B 【分析】由切线的性质可得，在中，由勾股定理解直角三角形即可得解． 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ∴在中，． 2．（2026·河南周口·二模）如图，射线与相切于点，经过圆心的射线与相交于点、两点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用切线的性质可得，得到直角，在中，求出的度数，利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：连接， ∵射线与相切于， ∴， ∵， 在中，， ∴． 3．（2026·河北邯郸·一模）如图，是地球示意图，表示赤道，太阳光线、地平面与相切．某时刻某地纬度，太阳光直射纬度，则太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用切线性质得到直角，再结合太阳光线平行的条件，通过角度的和差关系推导太阳高度角的度数． 【详解】如图，设切点为，连接， ∵地平面与相切于D， ∴， ∵太阳光线， ∴， ∵，， ∴． 4．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，内接于，平分交于点D，过点D作的切线，交的延长线于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，由切线的性质可得，表示出，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，利用圆周角定理得出，最后再由角平分线的定义即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴若要求的度数，只需要知道的度数． 5．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，⊙的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点P是⊙上任意一点，过点P作于M，于N，点Q是的中点，点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当度数取最大值时，线段的长为（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用矩形性质得出为定值1，确定点的轨迹是以为圆心、1为半径的圆，当与该圆相切时最大，利用勾股定理求解． 【详解】解：连接， ，，， 四边形为矩形， ， ∵为中点， ∴为矩形对角线的交点， ， 半径为2，即， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上运动， 当与此圆相切时，度数最大， 此时， 在中，，， ． 6．（2026九年级上·江苏南京·专题练习）如图，与相切，为切点，的延长线交于点，连接.若，则 __________ （用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】连接，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 与相切， ， ， ， ， ， ． 7．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知与相切于点A，，的半径为3．点B是上一点，且，则的长为________． 【答案】或 【分析】连接，先利用切线性质得到直角三角形，求出的长度，再利用勾股定理逆定理得到，推出，分点B的两种不同位置计算的长度即可． 【详解】解：连接，， ∵与相切于点， ∴， ∵半径为，， ∴在中，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ①当点与点在同侧时，如图， 过作于， 可得四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； ②当点与点在异侧时，过作交延长线于，如图 同理可得，， ∴， 在中，； 因此的长为或． 8．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知与相切于点，是的直径，且，延长交于点，若，，则点与上的点的最大距离为____． 【答案】/ 【分析】连接AE，连接并延长交于点，先利用切线性质得到，结合推出垂直平分，得到，再由判定为等边三角形，求出相关线段长度，接着在中借助勾股定理算出，最后加上半径得到最大值． 【详解】解：连接， ∵与相切于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 连接并延长交于点，此时为所求最大距离， ∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题是圆的综合填空题，综合考查切线的性质、线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及圆外一点到圆上点的最值模型，解题关键是掌握圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加上半径． 题型七：切线的判定 📝方法技巧 ①已知直线经过圆上一点，通常采用“连半径，证垂直”的思路：连接该点与圆心，再证明这条半径与直线垂直。注意垂直的位置必须在半径的圆上端点，不能只证明直线与某条半径所在直线垂直。 ②没有给出公共点时，通常采用“作垂线，证距离等于半径”的思路：过圆心作待证直线的垂线，再利用全等、角平分线性质或长度计算，证明垂线段长等于半径。 ③证明垂直，可从图中已有条件入手：直径对应直角，等腰三角形的顶角平分线对应底边上的高，中位线提供平行关系，全等三角形可以转移直角。最后都应落实到待证直线与相应半径垂直。 ④需要继续求角或求长时，应先完成相切的证明，再使用切线的性质或切线长定理。不能先把待证直线当作切线使用，再反过来证明它相切。 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，是的直径，C是中点，下列选项中不能判断 是的切线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直径所对的圆周角等于推导出，由C是中点得垂直平分，得，由等腰三角形的性质得，然后再利用各选项的条件逐一判定是否等于即可得解． 【详解】解：∵是的直径， ∴，即， ∵C是中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴ 是的切线，故本选项不符合题意； ∵，是的直径， ∴ 是的切线，故本选项不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴ 是的切线，故本选项不符合题意； ∵要使为切线，需， ∴， ∴，但选项中没有给出， ∴不能判断 是的切线，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角等于，切线的判定定理，等边对等角，垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形是正方形，以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点，连接并延长，交于点，若，则的长为（   ） A．8 B．9 C．12． D． 【答案】C 【分析】取的中点O，连接，由三角形全等易得，即是半圆O的切线，则；设，在中利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，取的中点O，连接， 则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是半圆O的切线， ∵， ∴是半圆O的切线， ∴； 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍去）， 即的长为12； 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等知识，正确做出辅助线是解题的关键． 3．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，点，，，点为线段的中点，以点为圆心，为半径作⊙，则下列结论中正确的是（  ） A．与⊙相切 B．点在⊙上 C．点在⊙上 D．点在⊙上 【答案】A 【分析】本题考查点、直线与圆的位置关系，熟练掌握点、直线与圆的位置关系的判断方法是解题的关键． 根据两点间距离公式计算出、、的距离，分别与半径相比较，得出点是否在圆上；根据圆心到直线的距离等于半径，判断直线与相切即可． 【详解】解：由于点，，点为线段的中点， 那么点的坐标为，直线方程为：， 选项A、过点作于点，由题意得，，设，则， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 则，解得， ，即长等于半径， 则与相切，故结论正确； 选项B、，则点在外，故结论错误； 选项C、，则点在外，故结论错误； 选项D、，则点在外，故结论错误； 故选：A． 4．（24-25九年级上·北京西城·期中）在中，，平分，交于点O．以点C为圆心，长为半径作，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，三线合一即可得，根据三角形切线的判定即可判断是的切线，进而可得与的位置关系． 【详解】如图： ，平分， ， 为的半径， 是的切线， 与的位置关系是相切． 故选：B． 5．（24-25九年级上·天津南开·期中）如图1，的半径为3，为上一点．如图2所示，按以下步骤作图： ①连接； ②以点为圆心，3为半径作弧，交于点； ③在射线上截取； ④连接． 则下列说法中错误的是（   ） A． B．为的切线 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形的判定和性质，连接，得到为等边三角形，得到，三角形的外角求出，进而推出，得到为的切线，，勾股定理求出的长，判断即可． 【详解】解：连接，由作图可知： ， ∴为等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； ∵，， ∴； 综上：只有选项C错误，不符合题意； 故选C． 6．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于点E，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线．其中结论正确的是________．（直接填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，切线的判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，，则可判断①；根据圆的性质可得，则，则可判断③；可证明，则可判断④；根据现有条件无法证明，则可判断②． 【详解】解：为中点，点为的中点， 为的中位线， ，，故①正确； ∵， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线，故④正确； 根据现有条件无法证明，故②错误； 故答案为：①③④． 7．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键． 根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 8．（2025·浙江·三模）如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：，再根据三角形内角和定理求出，最后再根据圆周角定理可求． 【详解】解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 题型八：切线长定理 📝方法技巧 ①先找准“同一个圆外点引出的两条切线段”，成对标出相等关系。切线长指圆外点到切点的线段长度，不能把延长到切点以外的整段长度直接拿来比较。 ②求角度时，可利用两条切线段相等构造等腰三角形，也可连接圆外点与圆心，利用这条连线平分两条切线的夹角。再连接两条切点半径，还可得到两切线夹角与相应的较小圆心角互补。 ③求周长或线段长，先按切点把有关边拆开，再用相等切线段替换，将零散线段合并为已知线段。重点是线段的替换与拼接，不一定需要分别求出每一小段的长度。 ④多个圆外点引出多条切线时，应按不同圆外点分别列出等长关系，再结合点的先后顺序确定加减。某些图形的周长可以转化为一条切线长的倍，但应通过线段关系推出，不能把这一结论套用到所有图形中。 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的切线，，为切点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．据此解答即可． 【详解】解：∵，是的切线，，为切点，连接，， ∴平分， ∴． 2．（25-26九年级下·四川广安·开学考试）如图，，分别与相切于点，，与相切于点，交于点，交于点，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由、是的切线，得；由、和、分别是的切线，得、；将的周长转化为，再替换为，进一步转化为，结合的长度计算结果． 【详解】解：，分别相切于点， ， ，分别与相切于点， ， 分别与相切于点， ， ． 3．（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，是的切线，为切点，与相切于点，分别交于点．若的周长为，则切线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，根据切线长定理可知，，，再由的周长为，即可求解． 【详解】解：连接，，， ，分别与相切， ， 同理，， 的周长为， ， ， ， ， ， ． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，，是的切线，A，B为切点，为的直径，连接，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，，可得，证明，进一步可得结论． 【详解】解：∵、是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知以为直径的半圆O与四边形的另外三边都相切，切点分别为D，C，E，若半圆O的半径为2，长为5，则四边形的周长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】由切线长定理可知：，因此四边形的周长，已知了和圆的半径，由此可求出四边形的周长． 【详解】解：∵半圆O与四边形的边相切，切点分别为D，E，C， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的周长． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，P为外一点，分别切于M，N两点，若，则_____，______． 【答案】 5 /30度 【详解】解：∵分别切于M，N两点，， ∴，， ∵， ∴． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的切线，切点分别为，若，则的长是______． 【答案】1 【分析】由是的切线，可得，进而求得的长度，进而可得答案． 【详解】解：∵是的切线，， ∴， ∴， ∴． 8．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 【答案】/42度 【分析】根据切线及，得到，根据切线长定理得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的切线，A为切点，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴． 题型九：切线的性质与判定的综合应用 📝方法技巧 ①通常先利用已知切线得到直角，再寻找待证的切线所需要的垂直关系。若图中有两组半径、等长线段和公共边时，可考虑构造全等三角形，把已知切点处的直角转移到待证位置。 ②弧中点可转化为圆心连线垂直平分相应弦，进而得到弦两端点到某点等距；角平分线与等半径形成的等腰三角形，可用来转移相等角，再证明平行或垂直。应根据已有条件选择辅助线，避免无目的地连接所有线段。 ③尺规作图中，若通过作垂直平分线得到一条线段的中点，再以它为圆心作过端点的圆，应注意识别这个圆的直径。利用“直径所对的圆周角为”，常可进一步证明有关直线是另一个圆的切线。 ④求半径或线段长时，可设半径为，把直径、圆心到外点的距离及有关线段统一用表示，再利用切点处的直角列勾股方程。坐标问题可作坐标轴的垂线，通过全等或等面积法求出横纵方向的长度，最后根据象限确定坐标的正负。 1．（2026·北京海淀·二模）如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得点，在以为直径的上，连接，证明和都是的切线，利用切线长定理结合四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意得点，在以为直径的上，连接， ∴， ∵和都是的半径， ∴和都是的切线， ∴， ∴． 2．（2025·甘肃武威·一模）如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键；根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，①正确； ②由图可知不一定； ∵为的切线， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴，③正确． 故选：B． 3．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，为的直径延长线上的一点，与相切，切点为，点是上一点，连接．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）弧弧．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）利用切线的性质得出，进而得出，即可得出，得出答案即可； （2）利用（1）所求得出：，进而求出，即可得出答案； （3）利用全等三角形的判定得出，进而得出； （4）利用四边形是菱形，即可得到，弧弧． 【详解】解：（1）连接，， 与相切，切点为， ， 在和中， ， ， ， 与相切，故（1）正确； （2）由（1）得：， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形，故（2）正确； （3）连接， ， ， 是直径， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径，不是直径， ， ，故（3）错误； （4）由（2）证得四边形是菱形， ， 弧弧， 故（4）正确；故选：C 4．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与 y 轴交于点B，点是圆外一点，直线与切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查切线的判定和性质，坐标与图形，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，作轴于 E，轴于 H，连接 ，根据切线的性质即得出．根据平行线的性质可求出，由切线长定理可知．即易证，得出，．设，则．在中，利用勾股定理可求出x的值，即得出、的长，再根据等积法可求出的长，再次利用勾股定理可求出的长，即得出C点坐标，正确的作出辅助线构造全等三角形是关键． 【详解】解：如图，作 轴于 E， 轴于 H，连接， ∵，， ∴，， 轴， ∴为的切线， ∵直线与切于点C， ∴，， 在 和 中 ， ∴， ∴，， 设 ，则，， 在 中，，即， 解得， ∴，， ∵ ∴， ∴=， 在 中，， ∴C点坐标为，． 故选：C． 5．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图，是圆的弦，，，相交于点，且．连接，当，时，则线段的长为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理；连接，由，利用等边对等角得到，再由垂直于，得到三角形为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到垂直于，即可证得为圆的切线；设，则，在中，根据勾股定理得出，通过解方程即可求得． 【详解】解：连接，   ，， ，， ， ，即， ， ，即， 则为圆的切线； 解：设，则，而， 在中， ， 即， 解得， 线段的长是． 故选：B． 6．（2026·湖南长沙·二模）如图，是以为直径的上一点，为的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接，其中交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴， 是的半径， ∴是的切线； (2) (3) 【分析】（1）连接，如图，根据垂径定理由为的中点，得到为的垂直平分线，所以，证明，得出，根据切线的判定定理得与相切； （2）设的半径为，则，，得出，解得，求出的长； （3）由扇形的面积减去两个直角三角形的面积可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为，则， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， , ， ∴； （3）解：∵， ∴在中，， 结合（1）可得：， ∴． 7．（2026·辽宁·模拟预测）等腰中，，点O为边中点，如图1，以O为圆心作圆与相切于点M． (1)求证：是的切线； (2)如图2， 点D为上一点，，连接并延长交于点N．若半径为3，求弧的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点，连接，，证明，求得，据此即可证明是的切线； （2）连接，利用切线的性质结合圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：作于点，连接，， ∵，点为边中点， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，即是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，， ∵是的切线，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵半径为3， ∴弧的长度． 8．（2026·新疆·一模）如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； (2)． 【分析】（1）连接，根据题意求得，，从而求出，，结合切线的判定即可求解； （2）设的半径，则，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，是的直径， ， 设的半径，则， ，， 由勾股定理得， 解得：，（舍）， 的半径为． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1 直线与圆 🔷知识点一　直线与圆的位置关系 1.三种位置关系： 在同一平面内，直线与圆的位置关系可按公共点的个数分为相离、相切、相交。直线与圆只有一个公共点时，这条直线叫作圆的切线，公共点叫作切点；有两个公共点时，这条直线叫作圆的割线。 图1 2.数量关系： 设圆的半径为，圆心到直线的距离为，即图1中垂线段的长，则： 位置关系 公共点个数 距离与半径的关系 相离 0个 相切 1个 相交 2个 “相切”可推出，反过来也可判定相切。判断位置时，可先求出垂距再比较；已知位置关系时，可以反过来列等式或不等式。 ⚠️特别提醒 ①当前研究的是直线与圆，注意直线可以向两端无限延伸。不能只数图中某一条线段与圆的公共点，更不能只看线段有没有进入圆内； ②圆心在直线上时，，直线经过圆心，与圆有两个公共点，仍属于相交。圆心到直线的距离可以为，但圆的半径必须大于。 📌 归纳总结 直线与圆的位置关系看公共点个数、、，对应 、、 。其中必须是圆心到直线的垂直距离，定义与数量关系都可用于判断。 🔷知识点二　圆心到直线的距离 1.距离的确定：从圆心向直线作垂线，垂线段的长才是圆心到直线的距离。圆心与直线上任意一点的连线，一般不是所求距离；垂足落在题目所画线段的延长线上时，仍按整条直线计算。 2.常用求法： ①利用直角三角形的勾股定理或角所对直角边等于斜边的一半求垂线段； ②把垂线段看作三角形的高，利用面积求高； ③圆心是某条边的中点时，可联系中位线、等腰三角形的“三线合一”等已知关系。 图2 例如图2，，，，则。过作，由，得 。 以为圆心、为半径作圆：当时，，直线与圆相离；当时相切；当时相交。图2画的是时的情况。 ⚠️特别提醒 ①比较前先检查题目给的是半径还是直径。例如直径为，圆心到直线的距离为，应拿与半径比较，结论为相离； ②半径变化时不要把不等式方向写反。图2中固定，相离时，相切时，相交时。等号只对应相切的情况。 💡 拓展延伸 在直角坐标系中，圆心为时，到直线的距离为，到直线的距离为。特别地，到轴的距离为，到轴的距离为；再与半径比较即可。这里求的是到直线的距离，不能求成到原点的距离。 📌 归纳总结 判断前先作垂线、求垂距、找半径。三角形中常用勾股关系或面积求高，坐标系中注意到两坐标轴的距离；半径未知时，根据位置关系列出正确的取值范围。 🔷知识点三　圆的切线的性质 1.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。如图3，直线与相切于点，连接，就有，过切点形成的角为直角。 图3 2.性质的作用：见到切线和切点，常连接圆心与切点，构造直角三角形。再结合半径相等、勾股定理、直径所对圆周角为直角等关系，求长度或角度。 ⚠️特别提醒 ①必须连接切点对应的半径。切线并不垂直于任意半径，不能看到圆心与圆上一点的连线，就直接标直角； ②先确认直线是切线，再使用性质。若题目只说“直线经过圆上一点”，不能因此把它当作切线；证明相切时，也不能把待证的相切当成已知条件。 💡 拓展延伸 ①过一条直径两个端点的切线互相平行，因为两条切线都垂直于这条直径所在的直线； ②两个同心圆中，大圆的一条弦与小圆相切于，则连接，有垂直于这条弦。再用大圆的垂径定理，可得是弦的中点。这里先用小圆的切线性质，再用大圆的弦的性质。 📌 归纳总结 已知相切→连接过切点的半径→得到垂直。切线性质把圆的问题转化为直角三角形问题；使用时要认准切点，也要确认相切已经有依据。 🔷知识点四　圆的切线的判定 1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。如图3，若在上，直线经过，且，则是的切线，为切点。这是因为此时就是圆心到的距离，且，符合。判定中的“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”缺一不可。 定理 已知条件 得到的结论 切线性质 与圆相切于A OA⊥ 切线判定 A在圆上，过A且OA⊥ 是圆的切线 2.证明相切的常用方法： ①直线与圆的公共点已知：连接半径，证明垂直。例如已知在圆上，要证是切线，就连接，把目标转为； ②公共点没有给出：从圆心作垂线，证明垂距等于半径。设垂足为，证明，就能判定直线相切，同时得到在圆上且是切点。不能先假定在圆上。 ⚠️特别提醒 垂直关系常需要由等腰三角形、全等三角形、平行线或角度计算推出。证明时要写清依据，不能只凭图形看起来垂直，就直接使用切线判定。 💡 拓展延伸 若、都在上，是圆的切线，且，可连接、、。由、及，得（），从而，所以也是切线。注意不能在尚未证为切线时，直接套用切线长定理。 📌 归纳总结 切线判定先查圆上一点、经过该点、垂直该点半径。公共点已知，连半径证垂直；公共点未知，作垂线证。性质由相切得到垂直，判定由条件得到相切，方向不要用反。 🔷知识点五　切线的作图与条数 1.过圆上一点作切线：已知在上，连接，过作的垂线，即为所求切线。由于过一点垂直于已知直线的直线只有一条，所以过圆上一点只能作一条切线。 2. 过圆外一点作切线：如图4，已知在外。 ①连接，作的垂直平分线，确定中点； ②以为圆心、为半径作圆，与相交于、； ③作直线、，就是所求的两条切线。 图4 作图的依据：是辅助圆的直径，因此。而、又在原圆上，所以、，两条直线都符合切线判定。辅助圆用来找到切点，不能以或为圆心随意画圆。 3. 过一点作已知圆的切线条数： 点的位置 圆内 圆上 圆外 切线条数 0条 1条 2条 ⚠️特别提醒 过圆内一点的任意直线都会穿过圆，与圆有两个公共点，所以不能作切线。过圆外一点作图时，原圆与辅助圆有两个交点，两条切线都要保留，不能只画出图形上方的一条。 📌 归纳总结 圆内条、圆上条、圆外条。过圆上一点作半径的垂线；过圆外一点，可用以圆心与外点连线为直径的辅助圆确定两个切点，再连成切线。 🔷知识点六　切线长定理及其应用 1.切线长的概念：经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长。如图5，、的长是到的切线长；切线是直线，切线长是线段的长度，不能混淆。 图5 2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如图5中，，。 3.两切线图形中的常用关系： ①长度关系：，且。例如、时，切线长，不能把直接当作切线长； ②平分与垂直：由全等还可得。设与交于，因为、都到、等距，所以是的垂直平分线，即、； ③角度关系：四边形在、处的内角都是，所以 。其中是两条切线段的夹角；不要把这个半角当成全角。 ⚠️特别提醒 使用切线长相等，必须确认同一个圆外点、同一个圆、两条直线都是切线。不同圆外点引出的切线长不一定相等；只有“两个线段相等”，也不能直接断定对应直线都是切线。 💡 拓展延伸 第三条切线截得的周长关系：如图6，、切圆于、，另一条切线分别交线段、于、，切点在线段上。由切线长定理，、，所以。 图6 因此 。这里用到了、、及、、的先后顺序；若交点落在切线段的延长线上，要重新列线段和差，不能直接套用这个周长结论。 📌 归纳总结 切线长定理抓住同一圆外点引同一圆的两条切线，得到切线长相等、圆心连线平分夹角。连接切点半径可构造全等直角三角形，进一步求长度、角度或周长；线段相加前要核对点的顺序。 易错点 1 把圆心到直线上任意一点的距离当作垂距 · 错例：圆的半径为，在直线上，，就断定与圆相切； · 错因：只看一条连线等于半径，没有确认这条线段是否垂直于； · 规避方法：从向作垂线，比较与半径。若，即使，直线与圆仍相交；在圆上不代表是切线。 易错点 2 用直径代替半径比较位置关系 · 错例：圆的直径为，圆心到直线的距离为，因为，就判断直线与圆相交； · 错因：把题目给出的直径直接当作判定式中的； · 规避方法：先在已知条件旁标出，再比较，结论是相离。所有与的比较都要使用半径。 易错点 3 半径范围中把相切与相交混在一起 · 错例：圆心到直线的距离为，要使直线与圆相交，写成； · 错因：忘记等号对应只有一个公共点，把相切也算入相交； · 规避方法：先写相交条件，再代入，得到。时相切；时相离。 易错点 4 只数已画线段与圆的公共点 · 错例：线段的端点在圆上，在圆内，线段只与圆有一个公共点，就说直线是切线； · 错因：把有限线段当作整条直线，漏掉延长后与圆的另一个交点； · 规避方法：把线段向两端延长后再看公共点。直线经过圆内点，与圆相交；线段上只有一个公共点，不能据此判定相切。 易错点 5 认为切线垂直于任意半径 · 错例：直线与相切于，圆上另一点满足，仍写； · 错因：遗漏性质中的“过切点”，把另一条半径也当作切线的垂线； · 规避方法：先圈出切点，只把与之间标成直角。本例中与不共线，不能写。 易错点 6 判定切线时只有垂直，漏掉半径外端 · 错例：在半径上取点，使、，过作的垂线，就判定是切线； · 错因：没有检查垂线是否经过半径的外端点，只用了垂直条件； · 规避方法：确认垂足是否在圆上。本例圆心到的距离为，直线与圆相交；只有过作的垂线，才是对应的切线。 易错点 7 证明相切时先使用尚未成立的切线性质 · 错例：已知在圆上，要证是切线，却先写“由切线性质，”； · 错因：把待证结论当作已知条件，形成循环论证； · 规避方法：先连接，利用题目已有的等角、全等或等腰关系独立证明，再用切线判定得出相切。 易错点 8 过圆外一点作切线只保留一条 · 错例：如图4的辅助圆与原圆交于、，只作，就说过只能作一条切线； · 错因：忽略另一个交点也满足直径所对圆周角为直角； · 规避方法：对两个交点分别连接、，核对、。圆外点对应两条切线，圆上点才对应一条。 易错点 9 把外点到圆心的距离当作切线长 · 错例：圆外点满足，圆的半径为，就答到圆的切线长为； · 错因：切线长的终点应是切点，却错误地量到了圆心； · 规避方法：标出切点，连接。在中，是斜边，切线长为。 易错点 10 不同圆外点引出的切线长也判为相等 · 错例：从圆外两点、分别引同一圆的切线、，没有其他条件，就写； · 错因：只确认同一个圆，没有确认切线是否从同一个圆外点引出； · 规避方法：使用定理时同时检查圆与外点。只有从同一外点引出的两条切线段才由该定理保证相等；不同外点需要另找等长依据。 易错点 11 把两切线夹角的一半当作整个夹角 · 错例：如图5中，已知，就写、； · 错因：忘记平分两切线夹角，将半角直接代入互补关系； · 规避方法：先求，再用。逐个看清角的三字母，不能只记一个“切线夹角”。 题型一：判断直线与圆的位置关系 📝方法技巧 ①判断位置关系，先找准圆的半径和圆心到直线的距离，再比较大小：时相交，时相切，时相离。 图形给出的条件比较清楚时，也可以根据公共点的个数判断。 ②圆心到直线的距离必须是垂线段的长度。没有直接给出时，先过圆心作垂线，再利用勾股定理、含30°角的直角三角形或等面积法求出，不能直接拿圆心到直线上某一点的距离代替。 ③若只知道直线上一点到圆心的距离，可先利用“垂线段最短”确定的范围。例如，只能得到，直线可能相交，也可能相切；时，则一定相交。 ④注意区分直线与线段。线段与圆没有公共点，其所在直线仍可能与圆相交；线段与圆只有一个公共点，也不能直接判断其所在直线是切线。“有公共点”还包括相交和相切两种情况。 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）四个等圆与直线l的位置关系如图所示，其中与直线l是相离关系的圆是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 3．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 4．（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 5．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知圆的半径是，如果圆心到直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列命题中，正确的有：_______．（请填写序号） ①与圆没有公共点的线段所在的直线和圆相离；②与圆只有一个公共点的线段和圆相切；③与圆有公共点的直线和圆相交；④直线与圆相切时只有一个公共点． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当时，直线与的位置关系是_______． 题型二：已知位置关系求半径的取值范围 📝方法技巧 ①先把位置关系转化为关于半径的不等式：相交时，相切时，相离时。求“可能的半径”时，可以先写出范围，再逐一检验选项。 ②圆与三角形的边有交点时，应先明确题目说的是线段还是所在直线。对于线段，可先求圆心到所在直线的距离、圆心到两端点的距离，再找相切、经过端点等临界位置。 ③“与线段有且只有一个公共点”，除了相切，还可能是所在直线与圆的另一个交点落在线段外。可按半径由小到大的顺序画草图，检查在变化过程中的交点个数；端点能否取到，要结合“经过端点”“不经过端点”等要求判断。 ④圆上有若干点到某直线的距离等于定值时，可在该直线两侧各作一条与它等距的平行线，再统计这两条平行线与圆的交点总数。不能只考虑其中一侧，也不能漏掉相切时的一个交点。 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（2025九年级·全国·专题练习）若直线l与半径为6的相离，则圆心O到直线l的距离d满足（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏宿迁·开学考试）已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，则的半径可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 7．（2025九年级上·浙江·专题练习）在中，，，，若以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点，则该圆半径的取值范围为______ ． 8．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是_____． 题型三：已知位置关系求圆心到直线的距离 📝方法技巧 ①根据位置关系确定的范围：相交时，相切时，相离时；仅知道“有公共点”时，应写成。题目给出直径的，要先除以得到半径。 ②坐标系中，圆心到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值。圆与坐标轴相切时，应考虑圆心位于坐标轴两侧的情况；圆心还在某条函数图象上时，再将相应坐标代入解析式求解。 ③求两动点到直线的距离之和，可考虑取两点连线的中点。两点位于直线同侧时，距离之和等于其中点到直线距离的2倍。 再利用中线长不变等条件确定中点轨迹，把两个点的问题转化为一个点的问题；若两点可能分居两侧，则需另行讨论。 ④涉及弦长与距离的最值，可连接半径、作弦心距，利用“半弦长²＋弦心距²＝半径²”建立联系。半径一定时，弦长越短，弦心距越大。若直线经过定点，还可利用“圆心到直线的距离不大于圆心到该定点的距离”，确定最值及取等位置。 1．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 2．（2022·浙江舟山·模拟预测）若直线l与半径为5的相离，则圆心O与直线l的距离d为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（25-26九年级上·吉林延边·期末）已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知直线和相交，的半径为2，则圆心到的距离的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24九年级上·陕西西安·自主招生）在平面直角坐标系中，直线是边长为1的正三角形，其中为坐标原点，则点P，Q到直线的距离之和的最小值是____． 7．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段检测）如图，已知的半径为3，圆心始终在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为_____． 8．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为_____． 题型四：求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 📝方法技巧 ①圆平移时，半径不变，关键是找出相切时圆心的位置。可先在已知直线两侧各作一条与它距离为的平行线，再看这些平行线与圆心运动的过程中有哪些交点。 ②沿坐标轴方向运动时，可先表示平移后的圆心坐标，再由“圆心到相应坐标轴的距离等于半径”列式。直线两侧都可能出现相切位置，不能只考虑圆尚未越过直线的情况。 ③圆心沿斜向路线运动时，应从相切后的圆心向已知直线作垂线，利用特殊角求出新圆心的位置，再计算实际移动距离。沿运动路线的距离，不一定等于圆心到直线距离的变化量。 ④求运动时间，先求移动距离，再除以速度。最后检查所得位置是否符合指定方向、射线或线段范围，以及时间是否符合题意；不能机械地认为每题都有两个答案。 1．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 2．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 3．（20-21九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（  ） A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s 4．（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 5．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 6．（2025·河南濮阳·一模）如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 7．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在______秒时相切． 题型五：求直线平移到与圆相切时运动的距离 📝方法技巧 ①直线平移后方向不变，可先画出与原直线平行的两条切线，再确定移动距离。沿垂直于原直线的方向、且未限定平移方向时，可分别考察圆心同侧与异侧的相切位置，距离由原距离与半径的差或和确定，即、；再结合起始状态和题目要求筛选。 ②半径或原弦心距没有直接给出时，可先过圆心作弦的垂线，利用垂径定理把弦长减半，再通过勾股定理求出所需长度，之后再计算平移距离。 ③求一次函数中的参数范围，常用相切确定临界值，再根据位置关系确定取值范围。要求“相交”时不取相切的临界值；要求“有公共点”时应包括相切。注意：截距的变化量不能直接当作直线沿垂直方向平移的距离。 ④遇到附带的动点最短距离问题，可先证明某个角恒为，从而确定动点在以固定线段为直径的圆上运动。圆外定点到整圆的最短距离为“该点到圆心的距离－半径”；若动点只在一段圆弧上运动，还应检查取最值的位置是否在这段弧上。 1．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 3．（18-19九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 4．（17-18九年级上·江苏无锡·期中）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线与相交，则b的取值范围是（   ） A． B．C． D． 5．（17-18九年级下·全国·课后作业）已知：的半径为，圆心到直线l的距离为，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与相切，则平移的距离是（　　） A． B． C． D．或 6．（2026·广东广州·二模）如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 7．（2021·四川成都·一模）如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为_________． 题型六：切线的性质 📝方法技巧 ①见切线，连切点与圆心，得到垂直。求半径、切线长或圆外点到圆心的距离时，通常可在由半径、切线段和圆心连线组成的直角三角形中使用勾股定理。 ②求角度时，先标出切点处的直角，再结合半径相等形成的等腰三角形、圆周角定理及三角形内外角关系计算。 ③实际情境中的地平面、太阳光线等，应先转化为图中的切线、半径和平行线。看清哪些角相加、哪些角相减，不要脱离图形直接套用角度关系。 ④条件只确定圆上一点到某点或某条弦的距离时，该点可能有两个位置。可按其位于某条直线的同侧或异侧分别画图，再作垂线计算，尤其注意相关线段应取和还是差。 ⑤求定点到圆上各点的最大距离，可连接该点与圆心并延长，最大距离＝定点到圆心的距离＋半径，不必逐个研究圆上点的位置。 1．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，与相切于点，若，，则的半径长为（     ） A．3 B． C．5 D．4 2．（2026·河南周口·二模）如图，射线与相切于点，经过圆心的射线与相交于点、两点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河北邯郸·一模）如图，是地球示意图，表示赤道，太阳光线、地平面与相切．某时刻某地纬度，太阳光直射纬度，则太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，内接于，平分交于点D，过点D作的切线，交的延长线于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，⊙的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点P是⊙上任意一点，过点P作于M，于N，点Q是的中点，点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当度数取最大值时，线段的长为（     ） A．2 B．1 C． D． 6．（2026九年级上·江苏南京·专题练习）如图，与相切，为切点，的延长线交于点，连接.若，则 __________ （用含的代数式表示）． 7．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知与相切于点A，，的半径为3．点B是上一点，且，则的长为________． 8．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知与相切于点，是的直径，且，延长交于点，若，，则点与上的点的最大距离为____． 题型七：切线的判定 📝方法技巧 ①已知直线经过圆上一点，通常采用“连半径，证垂直”的思路：连接该点与圆心，再证明这条半径与直线垂直。注意垂直的位置必须在半径的圆上端点，不能只证明直线与某条半径所在直线垂直。 ②没有给出公共点时，通常采用“作垂线，证距离等于半径”的思路：过圆心作待证直线的垂线，再利用全等、角平分线性质或长度计算，证明垂线段长等于半径。 ③证明垂直，可从图中已有条件入手：直径对应直角，等腰三角形的顶角平分线对应底边上的高，中位线提供平行关系，全等三角形可以转移直角。最后都应落实到待证直线与相应半径垂直。 ④需要继续求角或求长时，应先完成相切的证明，再使用切线的性质或切线长定理。不能先把待证直线当作切线使用，再反过来证明它相切。 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，是的直径，C是中点，下列选项中不能判断 是的切线的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形是正方形，以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点，连接并延长，交于点，若，则的长为（   ） A．8 B．9 C．12． D． 3．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，点，，，点为线段的中点，以点为圆心，为半径作⊙，则下列结论中正确的是（  ） A．与⊙相切 B．点在⊙上 C．点在⊙上 D．点在⊙上 4．（24-25九年级上·北京西城·期中）在中，，平分，交于点O．以点C为圆心，长为半径作，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 5．（24-25九年级上·天津南开·期中）如图1，的半径为3，为上一点．如图2所示，按以下步骤作图： ①连接； ②以点为圆心，3为半径作弧，交于点； ③在射线上截取； ④连接． 则下列说法中错误的是（   ） A． B．为的切线 C． D． 6．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于点E，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线．其中结论正确的是________．（直接填序号） 7．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 8．（2025·浙江·三模）如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 题型八：切线长定理 📝方法技巧 ①先找准“同一个圆外点引出的两条切线段”，成对标出相等关系。切线长指圆外点到切点的线段长度，不能把延长到切点以外的整段长度直接拿来比较。 ②求角度时，可利用两条切线段相等构造等腰三角形，也可连接圆外点与圆心，利用这条连线平分两条切线的夹角。再连接两条切点半径，还可得到两切线夹角与相应的较小圆心角互补。 ③求周长或线段长，先按切点把有关边拆开，再用相等切线段替换，将零散线段合并为已知线段。重点是线段的替换与拼接，不一定需要分别求出每一小段的长度。 ④多个圆外点引出多条切线时，应按不同圆外点分别列出等长关系，再结合点的先后顺序确定加减。某些图形的周长可以转化为一条切线长的倍，但应通过线段关系推出，不能把这一结论套用到所有图形中。 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的切线，，为切点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·四川广安·开学考试）如图，，分别与相切于点，，与相切于点，交于点，交于点，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，是的切线，为切点，与相切于点，分别交于点．若的周长为，则切线长为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，，是的切线，A，B为切点，为的直径，连接，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知以为直径的半圆O与四边形的另外三边都相切，切点分别为D，C，E，若半圆O的半径为2，长为5，则四边形的周长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．14 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，P为外一点，分别切于M，N两点，若，则_____，______． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的切线，切点分别为，若，则的长是______． 8．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 题型九：切线的性质与判定的综合应用 📝方法技巧 ①通常先利用已知切线得到直角，再寻找待证的切线所需要的垂直关系。若图中有两组半径、等长线段和公共边时，可考虑构造全等三角形，把已知切点处的直角转移到待证位置。 ②弧中点可转化为圆心连线垂直平分相应弦，进而得到弦两端点到某点等距；角平分线与等半径形成的等腰三角形，可用来转移相等角，再证明平行或垂直。应根据已有条件选择辅助线，避免无目的地连接所有线段。 ③尺规作图中，若通过作垂直平分线得到一条线段的中点，再以它为圆心作过端点的圆，应注意识别这个圆的直径。利用“直径所对的圆周角为”，常可进一步证明有关直线是另一个圆的切线。 ④求半径或线段长时，可设半径为，把直径、圆心到外点的距离及有关线段统一用表示，再利用切点处的直角列勾股方程。坐标问题可作坐标轴的垂线，通过全等或等面积法求出横纵方向的长度，最后根据象限确定坐标的正负。 1．（2026·北京海淀·二模）如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃武威·一模）如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，为的直径延长线上的一点，与相切，切点为，点是上一点，连接．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）弧弧．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与 y 轴交于点B，点是圆外一点，直线与切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图，是圆的弦，，，相交于点，且．连接，当，时，则线段的长为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2026·湖南长沙·二模）如图，是以为直径的上一点，为的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接，其中交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 7．（2026·辽宁·模拟预测）等腰中，，点O为边中点，如图1，以O为圆心作圆与相切于点M． (1)求证：是的切线； (2)如图2， 点D为上一点，，连接并延长交于点N．若半径为3，求弧的长度． 8．（2026·新疆·一模）如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $