29.1 圆有关的概念（知识清单，知识点&8易错&6题型）数学新教材人教版九年级上册

第二十九章 圆 29.1 圆有关的概念 🔷知识点一　圆的概念及其要素 1.圆的概念： 在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫作圆。固定的端点叫作圆心，线段叫作半径。以点为圆心的圆记作 ，读作“圆”。 从点的集合看，圆是同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。定点就是圆心，定长就是半径长，通常用表示，且。 2.确定圆的要素： 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。圆心与半径都确定，圆才能确定；只知道圆心或只知道半径，都不能确定唯一的圆。 ⚠️特别提醒 ①圆是一条封闭曲线，圆上的点不包括圆内的点。“圆”和圆所围成的圆面不能混淆； ②半径既可指线段，也可指它的长度。同一个圆有无数条半径，它们的长度都相等。注意：“所有点”不能省略。只取几个到圆心等距的点，还不能组成整个圆； 📌 归纳总结 圆的三个关键词：同一平面、定点、定长。圆心定位置，半径定大小；圆上任意一点到圆心的距离等于半径。 🔷知识点二　点与圆的位置关系 设的半径为，点到圆心的距离为，即。点与圆的位置关系可转化为点到圆心的距离与半径的大小关系： 点的位置 距离关系 图形含义 圆外 到圆心的距离大于半径 圆上 到圆心的距离等于半径 圆内 到圆心的距离小于半径 这三种关系都可以双向使用。例如“点在圆上”与“”互相推出，记作“点在圆上”，符号读作“等价于”。 ⚠️特别提醒 ①圆内包括圆心，因为圆心到自身的距离为，而； ②半径未知时，仍按同一关系列式。例如、，点在圆内、点在圆外，则且，即 。注意等号是否允许被取到。 💡 拓展延伸 证明多个点在同一个圆上的方法：找到一个定点，证明各点到这个定点的距离相等且不为。例如图1，矩形的对角线相等且互相平分，所以，四个顶点在以为圆心、为半径的同一个圆上。 图1　 📌 归纳总结 判断点与圆的位置，先求到圆心的距离，再与半径比较；反之，已知点与圆的相对位置后，可列等式或不等式，求出未知数的范围。若要证明多点共圆，可转化为到同一定点等距的关系。 🔷知识点三　弦、直径、弧、等圆与等弧 1.弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径。直径是特殊的弦，直径长等于半径长的倍。如图2，是直径，是弦。 2.圆弧及其分类： 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧。 图2 弧的记号要加上弧线。通常用两个字母表示劣弧，用三个字母表示优弧，中间字母所指的点在这条弧上。如图2， 是劣弧， 是优弧；两条半圆可分别记作和。 3.等圆和等弧： 能够重合的两个圆叫作等圆。半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等。等圆的圆心位置不一定相同。 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧。同圆或等圆只是判断等弧的前提，不能因此认为其中任意两条弧都是等弧。 ⚠️特别提醒 ①半径不是弦，因为它的一个端点是圆心，而弦的两个端点都必须在圆上； ②半圆既不是优弧，也不是劣弧。半圆是一条弧，不能当作半个圆面；弦是线段，弧是曲线，两者的记号与含义不同。 💡 拓展延伸 见到弦，可以考虑连接圆心与弦的两个端点，利用半径相等构造等腰三角形。如果弦不经过圆心，则由三角形两边之和大于第三边，得；直径长恰为，因此直径是圆中最长的弦。 📌 归纳总结 弦是线段，直径是过圆心的弦，弧是圆上的一部分。分清劣弧、半圆、优弧；等圆看半径，等弧要看同圆或等圆中能否重合。 🔷知识点四　确定圆的条件与作图 1.经过已知点作圆：关键是先确定圆心，半径就是圆心到已知点的距离。下表中的已知点均互不重合。 已知点 圆的个数 圆心的位置 一个点 无数个 点A以外的任意一点 两个点、 无数个 线段AB的垂直平分线上 三个不共线的点 一个 两条连线的垂直平分线的交点 三个共线的点 不能作圆 相关垂直平分线平行且不重合 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。“确定”是指可以作出一个，并且只能作出一个。 2.过三个不共线的点、、作圆： ①用直尺和圆规分别作线段、的垂直平分线、，交于点； ②以为圆心，为半径作圆，保留必要的作图痕迹。 图3 因为在的垂直平分线上，所以；又在的垂直平分线上，所以，从而。两条垂直平分线有唯一交点，圆心与半径也就唯一确定。 ⚠️特别提醒 ①三个共线的点不能确定一个圆； ②不共线的三个点作圆时，不必作三条垂直平分线，作其中两条即可。修复圆形残片时，要在原来的圆弧边缘选三个点，不能把断裂边上的点当作圆上的点。 📌 归纳总结 过一、两点的圆有无数个；不共线三点确定一个圆，共线三点不能作圆。作圆时，先用两条垂直平分线找圆心，再取到已知点的距离为半径。 🔷知识点五　三角形的外接圆与外心 1.经过三角形三个顶点的圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作三角形的外心；这个三角形叫作圆的内接三角形。对于同一幅图形，从三角形的角度看，是它的外接圆，从圆的角度看，是它的内接三角形。 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。若为的外心，外接圆半径为，则 。任意三角形都有唯一的外接圆与外心。 2.外心的位置： 三角形类型 外心的位置 锐角三角形 三角形内部 直角三角形 斜边中点 钝角三角形 三角形外部 图4　锐角（以等边为例）、直角、钝角三角形的外心 ⚠️特别提醒 ①外心不一定在三角形外，也不一定在三角形内。“外心”是外接圆圆心的简称，不能根据名称判断位置； ②外心到三个顶点等距，作的是边的垂直平分线，不是角平分线。必要时应延长垂直平分线，不要只在三角形内部寻找交点。 💡 拓展延伸 等边三角形的边长为，则 。如图5（1），作高，设，则、。在直角三角形中，，解得，得到上述结论。 📌 归纳总结 外心是三边垂直平分线的交点，到三顶点等距。位置依次为：锐角在内、直角在斜边中点、钝角在外。 🔷知识点六　反证法 1. 先提出与结论相反的假设，由此推导出与定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，再由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫作反证法。 2.反证法的步骤： ①反设：假设命题的结论不成立，题设条件仍保留； ②归谬：结合题设与已有知识，推导出矛盾，并说明与哪条事实矛盾； ③结论：指出假设不成立，因此原结论成立。 ⚠️特别提醒 ①反设是否定结论，不是否定题设，也不是任意选择另一种情况。例如“至少有一个”的否定是“一个也没有”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”，“”的否定是“”； ②不能仅写“显然矛盾”而省去依据，也不能用几个例子代替一般证明。直接证明不方便，尤其遇到“不可能”“至多”“唯一”等结论时，可考虑反证法。 📌 归纳总结 反证法的思路：反设结论→推导矛盾→肯定原结论。 易错点 1 混淆圆与圆面、误判点的位置 · 错例：认为只要，点就在上；例如、时，仍说在圆上； · 错因：把圆所围成的圆面当成圆，混淆“小于”与“等于”半径； · 规避方法：圆上必须满足。本例中，，点在圆内；表示圆内及圆上的点。 易错点 2 把半径当作弦 · 错例：点在上，连接，就把称为弦； · 错因：只看线段位于圆内，没有检查两个端点是否都在圆上； · 规避方法：先查端点。是圆心，不在圆上，所以是半径而不是弦；经过圆心且两端都在圆上的弦才是直径。 易错点 3 弧的表示含糊或漏写弧线 · 错例：对于本节图2中的优弧也只记作，或者直接把弧写成线段记号； · 错因：忽略同一对端点一般对应两条弧，也没有区分曲线与线段； · 规避方法：弧的字母上加弧线。本节图2中的优弧记作，其中在该优弧上；劣弧通常记作。 易错点 4 由弦相等直接判断等圆 · 错例：两个圆中各有一条长为的弦，就认为这两个圆是等圆； · 错因：把弦长当作半径长，忽略同样长的弦可以出现在大小不同的圆中； · 规避方法：等圆要检查半径是否相等。长为的弦可以是半径的圆的直径，也可以是半径的圆中的普通弦，不能据此判定等圆。 易错点 5 遗漏三点确定圆的不共线条件 · 错例：在一条直线上依次取三个不同的点、、，仍认为它们能确定一个圆； · 错因：只记住“三点”，漏掉“不在同一条直线上”； · 规避方法：先查三点是否共线。本例中，、的垂直平分线平行且不重合，没有共同圆心，所以不能作圆。 易错点 6 用角平分线求外心 · 错例：求一般三角形的外心时，作两个内角的平分线，取交点作为外心； · 错因：混淆了到顶点等距与到边等距，也混淆了边的垂直平分线与角平分线； · 规避方法：外心要作两条边的垂直平分线，得到交点后检查它到三个顶点的距离是否相等。而等边三角形因为三线合一的性质，导致某些线重合，不能因此推广到任意三角形。 易错点 7 认为外心一定在三角形内部 · 错例：作直角三角形的外心时，只在内部找交点，认为斜边中点不能作为外心； · 错因：把锐角三角形图示中的位置当成所有三角形的共同性质； · 规避方法：先分类型：锐角在内，直角在斜边中点，钝角在外。判断外心的依据是到三个顶点等距，不能只看位置。 易错点 8 反证法中的反设不准确 · 错例：证明“一个三角形至多有一个直角”时，先假设这个三角形没有直角； · 错因：把结论允许的一种情况，当作结论的否定； · 规避方法：“至多一个”的否定是“至少两个”，应假设三角形至少有两个直角，再推出内角和大于的矛盾。 · 题型一：圆的基本概念辨析 📝方法技巧 ①区别弦、直径和弧的方法：先检查端点的位置，再看是线段还是曲线。弦的两个端点都在圆上，直径还要经过圆心；如果只经过圆心，不能直接判断是直径。遇到“最长的弦”，先认定它是直径，需要求半径时再除以； ②判断一个圆是否确定，要同时检查圆心和半径。圆心确定位置，半径确定大小，只有圆心或只有半径，都不能确定是唯一的圆； ③注意区分对称轴与对称中心：圆有无数条对称轴，但对称中心只有圆心这一个。圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，不能因此而认为它有无数个对称中心； ④摩天轮问题：先读出最高高度和最低高度，两者之差是直径。因此，半径＝（最高高度−最低高度），不能直接把最高高度当成直径，不要忽略摩天轮底座的问题。 1．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径 【答案】C 【分析】根据圆中弦、直径、圆弧的定义逐一判断：弦是圆上两点的线段，直径是经过圆心的弦，所以直径属于弦，但弦不一定是直径；圆弧是圆上两点之间的曲线，不是线段；直径不仅要过圆心，两个端点还必须在圆上，由此判定只有C正确． 【详解】解：A选项，弦不一定过圆心，故弦不一定是直径，错误； B选项，圆弧是圆上两点间的曲线部分，不是线段，故该说法错误； C选项，直径是特殊的弦，故该说法正确； D选项，过圆心的线段端点不一定都在圆上，故不一定是直径，错误． 2．（26-27九年级上·北京·课前预习）在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆中最长的弦是直径解答即可． 【详解】解：∵在中，最长的弦是， ∴的直径为， ∴的半径为． 3．（2026九年级上·江苏·专题练习）下列说法中，不正确的是（     ） A．圆是中心对称图形 B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合 C．圆的对称中心只有一个 D．圆的对称中心有无数个 【答案】D 【分析】C、D选项表述矛盾，可优先结合圆的中心对称性质判断对称中心数量． 【详解】解：圆是中心对称图形，对称中心为圆心且仅有1个，故A、C正确，D错误， 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，故B正确． 4．（第二十九章 圆 高效同步练习29.1.1 圆的有关概念）平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】根据圆的概念求解． 【详解】解：∵圆心P为定点，半径为是定长， ∴满足条件的圆有1个． 5．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据，的半径为4，可得，是直角三角形，再根据勾股定理即可计算出弦的长． 【详解】解：∵ ，的半径为4， ∴，是直角三角形， ∴， ∴弦的长为． 6．（2026·河北邯郸·二模）将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的函数关系如图所示，则摩天轮的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图像得出摩天轮离地面的最高高度和最低高度，利用直径等于最高高度减去最低高度求出直径，进而求出半径． 【详解】解：由函数图像可知，摩天轮上一点离地面的最大高度为，最小高度为 ， 摩天轮的直径等于最大高度与最小高度之差， 摩天轮的直径为， 摩天轮的半径为． 7．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得,,再根据题意得,即可得出答案． 【详解】解：∵在中， ∴,, 根据题意，得, ∴． 题型二：求圆中弦的条数 📝方法技巧 ①找弦的方法：先标出圆上的点，再从图中已经画出的连线中找弦。两个端点都在圆上才算作弦，不要把没有画出的连线也算进去； ②用两个端点给每条弦命名，按顺序列出后再计数。当然，AB与BA是同一条弦；一条弦被圆心或其他交点分开后，仍按完整的一条弦计算，不能重复计数。 注意：直径是特殊的弦，统计时不能漏掉；半径、圆弧，以及一端在圆内的线段，都不能算作弦。 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 3．（2025·湖南张家界·一模）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 4．（22-23九年级上·北京·单元测试）如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 5．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦． 【详解】解：图中有弦共3条， 故选C． 【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键． 题型三：求过圆内一点的最长弦 📝方法技巧 ①先求直径，再判断弦长。半径为时，弦长的范围是弦长，等号在弦为直径时成立。判断“可能”或“不可能”是弦长时，直接将各选项与这个范围比较即可； ②求经过圆内某点的最长弦，连接该点与圆心，并向两侧延长至圆上，得到的直径就是最长弦。若该点恰好是圆心，则任意一条直径都符合要求； ③坐标系中判断哪条直线截得的弦最长，先检查是否有直线经过圆心。将圆心坐标代入各解析式，若满足等式，则该直线经过圆心，截得的弦达到最大长度。不要把“经过圆心”误看成“经过坐标原点”。 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为4， ∴圆的直径为8， ∵是半径为4的圆的一条弦， ∴， ∴弦的长不可能是10． 故选：D． 2．（23-24九年级上·陕西渭南·期中）已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，根据题意，可得圆的直径为，直径是圆上最长的弦，即，即可得到答案． 【详解】解：∵、为上的两点，若的半径为， ∴， ∴D不符合题意． 故选：D． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）已知的半径为，则中弦的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握圆的基本性质，根据直径是圆的最大的弦解答，即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴的直径为， ∴中弦的长度小于等于， 故选：D． 4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的认识，根据直径是圆中最长的弦即可求解． 【详解】解：半径为的圆，直径为， 在半径为的圆中测量弦的长度，的取值范围是：， 弦的长度可以是，不可能为、、． 故选：D． 5．（2026·上海黄浦·二模）如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆中最长的弦是直径，可得经过圆心的直线被圆所截得的弦最长，判断选项中哪条直线经过圆心即可． 【详解】解：A、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； B、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； C、在直线中，当时，，∴直线经过圆心，故此选项正确； D、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误． 6．（2021·山东日照·二模）如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝2， ∴C在⊙B上，且半径为2， 取OD＝OA＝4，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝CD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°， ∴BD＝4， ∴CD＝4+2， ∴OM＝CD＝2+1，即OM的最大值为2+1； 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点． 题型四：点与圆的位置关系 📝方法技巧 ①判断点与圆的位置关系，统一转化为“点到圆心的距离与半径比较”：小于半径在圆内，等于半径在圆上，大于半径在圆外。 注意：比较的是半径，不是直径。 ②几何图形中，先明确圆心及半径，再利用已知条件求点到圆心的距离。若已知直径，先取它的一半；若出现直角三角形斜边上的中线，可以利用“中线长等于斜边的一半”建立关系，不能只凭图形判断。 ③坐标系中可以用勾股定理求距离比较大小，也可以直接比较距离的平方与半径的平方，省去开方的步骤，本质上是一样的。圆心在原点时，比较与即可；圆心不在原点时，先求点与圆心的横、纵坐标之差，再平方相加。 ④已知某点到圆上点的最长、最短距离，先判断该点在圆内还是圆外： （ⅰ）在圆外，用“最长距离−最短距离＝直径”； （ⅱ）在圆内，用“最长距离＋最短距离＝直径”。位置未说明时必须分类讨论，不能只算一种情况； （ⅲ）若最短距离为0，则该点在圆上，最长距离就是直径。 1．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 2．（2026·广西贺州·三模）点与圆的位置关系中，若点到圆心的距离大于半径，则该点在（     ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆心 【答案】C 【详解】解：∵点到圆心的距离大于半径， ∴该点在圆外． 3．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在直角中，为斜边上的中线，以点D为圆心，以为直径作，则点C与的位置关系为（     ） A．点C在圆外 B．点C在圆内 C．点C在圆上 D．不能确定 【答案】C 【分析】已知的半径，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可求解． 【详解】解：为直径作， ∴的半径 ∵在直角中，为斜边上的中线， ∴ ∴点C在圆上． 4．（26-27九年级上·陕西·期中）已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故A选项不符合题意； B、到圆心的距离为，，点在圆内，故B选项不符合题意； C、到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故C选项不符合题意； D、到圆心的距离为，，点在圆外，故D选项符合题意． 5．（22-23九年级上·浙江金华·阶段检测）平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 题型五：三角形的外接圆 📝方法技巧 ①找外心的方法：优先作两边的垂直平分线，交点到三个顶点的距离相等。注意区分边的垂直平分线与角平分线，也不要把中线或高的交点直接当成外心； ②判断外心位置，要看三角形的角：锐角三角形的外心在内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在外部。入伏哦只知道三角形是等腰三角形，还不能确定外心在内部； ③直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半。已知两条直角边时，先用勾股定理求斜边，再除以；外心到任意顶点的距离都等于这个半径。 ④等边三角形的外心在高上，外接圆半径等于高的三分之二。边长为时，；也可以过外心作一边的垂线，构造含角的直角三角形，利用勾股定理列方程。 1．（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】C 【分析】可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项． 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 2．（26-27九年级上·北京·课后作业）对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【答案】B 【分析】根据三角形外心的定义和其性质逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A正确，该选项不符合题意； B、到三角形三个顶点的连线平分三内角的是内心，不是外心，故选项B错误，该选项符合题意； C、三角形的外心即外接圆的圆心，三角形三个顶点都在外接圆上，所以外心到任一顶点的距离等于这个三角形的外接圆的半径，故选项C正确，该选项不符合题意； D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以它到三角形三个顶点的距离相等，则以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点，故选项D正确，该选项不符合题意． 3．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心． 依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，观察图象，可直接得出外心的坐标． 【详解】解：∵三角形的外心是各边的垂直平分线的交点， 图中已明确出各边垂直平分线以及其交点， 观察图象，可直接得出外心坐标为， 故选A． 4．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外接圆圆心的确定，勾股定理等知识，确定圆心坐标是关键；确定外接圆的圆心坐标，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆心M的坐标， ∵， ∴， ∴的半径为， 故选：C． 5．（22-23九年级上·辽宁沈阳·周测）边长为的等边三角形的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等边三角形外心的性质，结合勾股定理即可求解. 【详解】解：设等边边长为，为其外接圆圆心，连接，过作于点， ∵是等边三角形，外接圆圆心在三角形的高上， ∴，. 设外接圆半径，在中，. ∵， ∴， 由勾股定理得 ， 代入得 ， 整理得 ， ， ∵， ∴. 6．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形外心的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握直角三角形外心在斜边中点，外接圆半径等于斜边的一半是解题的关键．先运用勾股定理求出的值，再通过外心为斜边的中点，求出外接圆半径，即得外心与顶点的距离． 【详解】解：∵，，，， ∴． ∵ 外心为斜边的中点， ∴ 外接圆半径． ∴ 外心与顶点的距离为． 故选：D． 7．（2024·河北邯郸·三模）如图，正方形纸片的中心刚好是的外心，则（       ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，正方形的性质，根据题意可得是四点共圆，再利用圆内接四边形的性质即可求解 【详解】解：如图所示，连接，    ∵正方形纸片的中心刚好是的外心，且是的外心， ∴是四点共圆， ∴ ∴， 故选：A． 8．（20-21八年级下·江苏盐城·阶段检测）三角形的外心是（   ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形三个内角平分线的交点 【答案】C 【分析】直接根据外心的定义即可选出正确答案. 【详解】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点. 题型六：确定圆的条件 📝方法技巧 ①判断能否确定唯一的圆的方法：先检查圆心和半径是否都能确定。如果只确定圆心，大小可以改变；如果只确定半径，圆心位置可以改变，都有无数个圆； ②经过三个不同点的圆，先检查三点是否共线： （ⅰ）不共线时，作其中两条连线的垂直平分线，交点就是圆心，再以圆心到任一点的距离为半径画圆； （ⅱ）三点共线时，不存在经过这三点的圆。 ③经过两个不同的定点，且半径为，先比较与：时有两个圆，时有一个圆，时没有这样的圆。作图时，可以分别以为圆心、为半径画圆，两圆的交点就是待求圆心； ④复原圆形物品，关键是利用保留下来的原圆弧找圆心。在圆弧上取三个不同的点，连接成两条弦，再作垂直平分线即可。因此，不一定要保留现成的完整弦，一段可辨认的原圆弧也能用来定圆。 1．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 2．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键． 经过两点、的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到、的距离等于半径，利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：如图， 分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求． 故选：C． 4．（25-26九年级下·全国·课后作业）任意画一个三角形，然后作出这个三角形的外接圆． 【答案】 解：如图所示，即为所求； 【分析】任意画出， 分别作，两边的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点，以为圆心，的长为半径画圆，所得到的即为所求作的三角形的外接圆. 【详解】略 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 圆 29.1 圆有关的概念 🔷知识点一　圆的概念及其要素 1.圆的概念： 在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫作圆。固定的端点叫作圆心，线段叫作半径。以点为圆心的圆记作 ，读作“圆”。 从点的集合看，圆是同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。定点就是圆心，定长就是半径长，通常用表示，且。 2.确定圆的要素： 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。圆心与半径都确定，圆才能确定；只知道圆心或只知道半径，都不能确定唯一的圆。 ⚠️特别提醒 ①圆是一条封闭曲线，圆上的点不包括圆内的点。“圆”和圆所围成的圆面不能混淆； ②半径既可指线段，也可指它的长度。同一个圆有无数条半径，它们的长度都相等。注意：“所有点”不能省略。只取几个到圆心等距的点，还不能组成整个圆； 📌 归纳总结 圆的三个关键词：同一平面、定点、定长。圆心定位置，半径定大小；圆上任意一点到圆心的距离等于半径。 🔷知识点二　点与圆的位置关系 设的半径为，点到圆心的距离为，即。点与圆的位置关系可转化为点到圆心的距离与半径的大小关系： 点的位置 距离关系 图形含义 圆外 到圆心的距离大于半径 圆上 到圆心的距离等于半径 圆内 到圆心的距离小于半径 这三种关系都可以双向使用。例如“点在圆上”与“”互相推出，记作“点在圆上”，符号读作“等价于”。 ⚠️特别提醒 ①圆内包括圆心，因为圆心到自身的距离为，而； ②半径未知时，仍按同一关系列式。例如、，点在圆内、点在圆外，则且，即 。注意等号是否允许被取到。 💡 拓展延伸 证明多个点在同一个圆上的方法：找到一个定点，证明各点到这个定点的距离相等且不为。例如图1，矩形的对角线相等且互相平分，所以，四个顶点在以为圆心、为半径的同一个圆上。 图1　 📌 归纳总结 判断点与圆的位置，先求到圆心的距离，再与半径比较；反之，已知点与圆的相对位置后，可列等式或不等式，求出未知数的范围。若要证明多点共圆，可转化为到同一定点等距的关系。 🔷知识点三　弦、直径、弧、等圆与等弧 1.弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径。直径是特殊的弦，直径长等于半径长的倍。如图2，是直径，是弦。 2.圆弧及其分类： 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧。 图2 弧的记号要加上弧线。通常用两个字母表示劣弧，用三个字母表示优弧，中间字母所指的点在这条弧上。如图2， 是劣弧， 是优弧；两条半圆可分别记作和。 3.等圆和等弧： 能够重合的两个圆叫作等圆。半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等。等圆的圆心位置不一定相同。 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧。同圆或等圆只是判断等弧的前提，不能因此认为其中任意两条弧都是等弧。 ⚠️特别提醒 ①半径不是弦，因为它的一个端点是圆心，而弦的两个端点都必须在圆上； ②半圆既不是优弧，也不是劣弧。半圆是一条弧，不能当作半个圆面；弦是线段，弧是曲线，两者的记号与含义不同。 💡 拓展延伸 见到弦，可以考虑连接圆心与弦的两个端点，利用半径相等构造等腰三角形。如果弦不经过圆心，则由三角形两边之和大于第三边，得；直径长恰为，因此直径是圆中最长的弦。 📌 归纳总结 弦是线段，直径是过圆心的弦，弧是圆上的一部分。分清劣弧、半圆、优弧；等圆看半径，等弧要看同圆或等圆中能否重合。 🔷知识点四　确定圆的条件与作图 1.经过已知点作圆：关键是先确定圆心，半径就是圆心到已知点的距离。下表中的已知点均互不重合。 已知点 圆的个数 圆心的位置 一个点 无数个 点A以外的任意一点 两个点、 无数个 线段AB的垂直平分线上 三个不共线的点 一个 两条连线的垂直平分线的交点 三个共线的点 不能作圆 相关垂直平分线平行且不重合 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。“确定”是指可以作出一个，并且只能作出一个。 2.过三个不共线的点、、作圆： ①用直尺和圆规分别作线段、的垂直平分线、，交于点； ②以为圆心，为半径作圆，保留必要的作图痕迹。 图3 因为在的垂直平分线上，所以；又在的垂直平分线上，所以，从而。两条垂直平分线有唯一交点，圆心与半径也就唯一确定。 ⚠️特别提醒 ①三个共线的点不能确定一个圆； ②不共线的三个点作圆时，不必作三条垂直平分线，作其中两条即可。修复圆形残片时，要在原来的圆弧边缘选三个点，不能把断裂边上的点当作圆上的点。 📌 归纳总结 过一、两点的圆有无数个；不共线三点确定一个圆，共线三点不能作圆。作圆时，先用两条垂直平分线找圆心，再取到已知点的距离为半径。 🔷知识点五　三角形的外接圆与外心 1.经过三角形三个顶点的圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作三角形的外心；这个三角形叫作圆的内接三角形。对于同一幅图形，从三角形的角度看，是它的外接圆，从圆的角度看，是它的内接三角形。 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。若为的外心，外接圆半径为，则 。任意三角形都有唯一的外接圆与外心。 2.外心的位置： 三角形类型 外心的位置 锐角三角形 三角形内部 直角三角形 斜边中点 钝角三角形 三角形外部 图4　锐角（以等边为例）、直角、钝角三角形的外心 ⚠️特别提醒 ①外心不一定在三角形外，也不一定在三角形内。“外心”是外接圆圆心的简称，不能根据名称判断位置； ②外心到三个顶点等距，作的是，不是角平分线。必要时应延长垂直平分线，不要只在三角形内部寻找交点。 💡 拓展延伸 等边三角形的边长为，则 。如图5（1），作高，设，则、。在直角三角形中，，解得，得到上述结论。 📌 归纳总结 外心是三边垂直平分线的交点，到三顶点等距。位置依次为：锐角在内、直角在斜边中点、钝角在外。 🔷知识点六　反证法 1. 先提出与结论相反的假设，由此推导出与定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，再由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫作反证法。 2.反证法的步骤： ①反设：假设命题的结论不成立，题设条件仍保留； ②归谬：结合题设与已有知识，推导出矛盾，并说明与哪条事实矛盾； ③结论：指出假设不成立，因此原结论成立。 ⚠️特别提醒 ①反设是否定结论，不是否定题设，也不是任意选择另一种情况。例如“至少有一个”的否定是“一个也没有”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”，“”的否定是“”； ②不能仅写“显然矛盾”而省去依据，也不能用几个例子代替一般证明。直接证明不方便，尤其遇到“不可能”“至多”“唯一”等结论时，可考虑反证法。 📌 归纳总结 反证法的思路：反设结论→推导矛盾→肯定原结论。 易错点 1 混淆圆与圆面、误判点的位置 · 错例：认为只要，点就在上；例如、时，仍说在圆上； · 错因：把圆所围成的圆面当成圆，混淆“小于”与“等于”半径； · 规避方法：圆上必须满足。本例中，，点在圆内；表示圆内及圆上的点。 易错点 2 把半径当作弦 · 错例：点在上，连接，就把称为弦； · 错因：只看线段位于圆内，没有检查两个端点是否都在圆上； · 规避方法：先查端点。是圆心，不在圆上，所以是半径而不是弦；经过圆心且两端都在圆上的弦才是直径。 易错点 3 弧的表示含糊或漏写弧线 · 错例：对于本节图2中的优弧也只记作，或者直接把弧写成线段记号； · 错因：忽略同一对端点一般对应两条弧，也没有区分曲线与线段； · 规避方法：弧的字母上加弧线。本节图2中的优弧记作，其中在该优弧上；劣弧通常记作。 易错点 4 由弦相等直接判断等圆 · 错例：两个圆中各有一条长为的弦，就认为这两个圆是等圆； · 错因：把弦长当作半径长，忽略同样长的弦可以出现在大小不同的圆中； · 规避方法：等圆要检查半径是否相等。长为的弦可以是半径的圆的直径，也可以是半径的圆中的普通弦，不能据此判定等圆。 易错点 5 遗漏三点确定圆的不共线条件 · 错例：在一条直线上依次取三个不同的点、、，仍认为它们能确定一个圆； · 错因：只记住“三点”，漏掉“不在同一条直线上”； · 规避方法：先查三点是否共线。本例中，、的垂直平分线平行且不重合，没有共同圆心，所以不能作圆。 易错点 6 用角平分线求外心 · 错例：求一般三角形的外心时，作两个内角的平分线，取交点作为外心； · 错因：混淆了到顶点等距与到边等距，也混淆了边的垂直平分线与角平分线； · 规避方法：外心要作两条边的垂直平分线，得到交点后检查它到三个顶点的距离是否相等。而等边三角形因为三线合一的性质，导致某些线重合，不能因此推广到任意三角形。 易错点 7 认为外心一定在三角形内部 · 错例：作直角三角形的外心时，只在内部找交点，认为斜边中点不能作为外心； · 错因：把锐角三角形图示中的位置当成所有三角形的共同性质； · 规避方法：先分类型：锐角在内，直角在斜边中点，钝角在外。判断外心的依据是到三个顶点等距，不能只看位置。 易错点 8 反证法中的反设不准确 · 错例：证明“一个三角形至多有一个直角”时，先假设这个三角形没有直角； · 错因：把结论允许的一种情况，当作结论的否定； · 规避方法：“至多一个”的否定是“至少两个”，应假设三角形至少有两个直角，再推出内角和大于的矛盾。 · 题型一：圆的基本概念辨析 📝方法技巧 ①区别弦、直径和弧的方法：先检查端点的位置，再看是线段还是曲线。弦的两个端点都在圆上，直径还要经过圆心；如果只经过圆心，不能直接判断是直径。遇到“最长的弦”，先认定它是直径，需要求半径时再除以； ②判断一个圆是否确定，要同时检查圆心和半径。圆心确定位置，半径确定大小，只有圆心或只有半径，都不能确定是唯一的圆； ③注意区分对称轴与对称中心：圆有无数条对称轴，但对称中心只有圆心这一个。圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，不能因此而认为它有无数个对称中心； ④摩天轮问题：先读出最高高度和最低高度，两者之差是直径。因此，半径＝（最高高度−最低高度），不能直接把最高高度当成直径，不要忽略摩天轮底座的问题。 1．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径 2．（26-27九年级上·北京·课前预习）在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 3．（2026九年级上·江苏·专题练习）下列说法中，不正确的是（     ） A．圆是中心对称图形 B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合 C．圆的对称中心只有一个 D．圆的对称中心有无数个 4．（第二十九章 圆 高效同步练习29.1.1 圆的有关概念）平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 5．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 6．（2026·河北邯郸·二模）将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的函数关系如图所示，则摩天轮的半径为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型二：求圆中弦的条数 📝方法技巧 ①找弦的方法：先标出圆上的点，再从图中已经画出的连线中找弦。两个端点都在圆上才算作弦，不要把没有画出的连线也算进去； ②用两个端点给每条弦命名，按顺序列出后再计数。当然，AB与BA是同一条弦；一条弦被圆心或其他交点分开后，仍按完整的一条弦计算，不能重复计数。 注意：直径是特殊的弦，统计时不能漏掉；半径、圆弧，以及一端在圆内的线段，都不能算作弦。 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 3．（2025·湖南张家界·一模）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 4．（22-23九年级上·北京·单元测试）如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型三：求过圆内一点的最长弦 📝方法技巧 ①先求直径，再判断弦长。半径为时，弦长的范围是弦长，等号在弦为直径时成立。判断“可能”或“不可能”是弦长时，直接将各选项与这个范围比较即可； ②求经过圆内某点的最长弦，连接该点与圆心，并向两侧延长至圆上，得到的直径就是最长弦。若该点恰好是圆心，则任意一条直径都符合要求； ③坐标系中判断哪条直线截得的弦最长，先检查是否有直线经过圆心。将圆心坐标代入各解析式，若满足等式，则该直线经过圆心，截得的弦达到最大长度。不要把“经过圆心”误看成“经过坐标原点”。 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 2．（23-24九年级上·陕西渭南·期中）已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）已知的半径为，则中弦的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·上海黄浦·二模）如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 6．（2021·山东日照·二模）如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A． B． C． D． 题型四：点与圆的位置关系 📝方法技巧 ①判断点与圆的位置关系，统一转化为“点到圆心的距离与半径比较”：小于半径在圆内，等于半径在圆上，大于半径在圆外。 注意：比较的是半径，不是直径。 ②几何图形中，先明确圆心及半径，再利用已知条件求点到圆心的距离。若已知直径，先取它的一半；若出现直角三角形斜边上的中线，可以利用“中线长等于斜边的一半”建立关系，不能只凭图形判断。 ③坐标系中可以用勾股定理求距离比较大小，也可以直接比较距离的平方与半径的平方，省去开方的步骤，本质上是一样的。圆心在原点时，比较与即可；圆心不在原点时，先求点与圆心的横、纵坐标之差，再平方相加。 ④已知某点到圆上点的最长、最短距离，先判断该点在圆内还是圆外： （ⅰ）在圆外，用“最长距离−最短距离＝直径”； （ⅱ）在圆内，用“最长距离＋最短距离＝直径”。位置未说明时必须分类讨论，不能只算一种情况； （ⅲ）若最短距离为0，则该点在圆上，最长距离就是直径。 1．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 2．（2026·广西贺州·三模）点与圆的位置关系中，若点到圆心的距离大于半径，则该点在（     ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆心 3．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在直角中，为斜边上的中线，以点D为圆心，以为直径作，则点C与的位置关系为（     ） A．点C在圆外 B．点C在圆内 C．点C在圆上 D．不能确定 4．（26-27九年级上·陕西·期中）已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（     ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·浙江金华·阶段检测）平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 题型五：三角形的外接圆 📝方法技巧 ①找外心的方法：优先作两边的垂直平分线，交点到三个顶点的距离相等。注意区分边的垂直平分线与角平分线，也不要把中线或高的交点直接当成外心； ②判断外心位置，要看三角形的角：锐角三角形的外心在内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在外部。入伏哦只知道三角形是等腰三角形，还不能确定外心在内部； ③直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半。已知两条直角边时，先用勾股定理求斜边，再除以；外心到任意顶点的距离都等于这个半径。 ④等边三角形的外心在高上，外接圆半径等于高的三分之二。边长为时，；也可以过外心作一边的垂线，构造含角的直角三角形，利用勾股定理列方程。 1．（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 2．（26-27九年级上·北京·课后作业）对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 3．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 5．（22-23九年级上·辽宁沈阳·周测）边长为的等边三角形的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 7．（2024·河北邯郸·三模）如图，正方形纸片的中心刚好是的外心，则（       ）    A． B． C． D． 8．（20-21八年级下·江苏盐城·阶段检测）三角形的外心是（   ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形三个内角平分线的交点 题型六：确定圆的条件 📝方法技巧 ①判断能否确定唯一的圆的方法：先检查圆心和半径是否都能确定。如果只确定圆心，大小可以改变；如果只确定半径，圆心位置可以改变，都有无数个圆； ②经过三个不同点的圆，先检查三点是否共线： （ⅰ）不共线时，作其中两条连线的垂直平分线，交点就是圆心，再以圆心到任一点的距离为半径画圆； （ⅱ）三点共线时，不存在经过这三点的圆。 ③经过两个不同的定点，且半径为，先比较与：时有两个圆，时有一个圆，时没有这样的圆。作图时，可以分别以为圆心、为半径画圆，两圆的交点就是待求圆心； ④复原圆形物品，关键是利用保留下来的原圆弧找圆心。在圆弧上取三个不同的点，连接成两条弦，再作垂直平分线即可。因此，不一定要保留现成的完整弦，一段可辨认的原圆弧也能用来定圆。 1．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 2．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 3．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 4．（25-26九年级下·全国·课后作业）任意画一个三角形，然后作出这个三角形的外接圆． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $