精品解析：重庆市大一联盟2026-2027学年高一上学期10月联考数学试卷

2026-2027学年（上）高一数学 2026.10 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡上. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题的否定为：，. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】要使函数有意义， 则，即且， 故函数的定义域为. 3. 已知，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ ， ∴，A正确. 4. 已知，，，均为实数，下列说法正确的个数为（ ）个 ①若，则；②若，则； ③若，，则；④若，且，则. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】对于①，若，则，所以①错误； 对于②，若，则，且，所以②正确； 对于③，令，则，所以③错误； 对于④，由得，若则，所以，④正确. 5. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得，且分子与分母异号，解得，所以． 由得，所以，从而． 图中阴影部分表示属于且不属于的元素组成的集合，因此所求集合为． 6. 已知命题：，，：，，若命题和有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先结合判别式法求出命题真假时的参数范围，再分类一真一假计算求解. 【详解】命题：，，当命题为真时，，即； ：，，当命题为真时，， 即或； 当命题为假时，；当命题为假时，即； 命题是真命题，是假命题时，； 命题是真命题，是假命题时，； 若命题和有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围为 7. 已知，若存在使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用换元法求出的解析式，将存在性问题转化为不等式有解问题，分离参数得到 ，最后利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】已知，令，则， 所以，即. 由题意，存在使得成立，即存在使得成立， 也就是存在使得成立, 设，则只需, 因为，由基本不等式可得：, 当且仅当，即时，等号成立， 所以在区间上的最小值为，所以，即实数的取值范围为. 8. 若关于的方程有两个不相等的正实根，，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，可得，利用根与系数的关系得，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为关于的方程有两个不相等的正实根，， 所以，解得， 所以 . 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则以下正确的有（ ） A. B. C. 若，则或 D. 不等式的解集为或, 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A, ,A正确， 对于B,,B错误， 对于C，若，则，满足题意，若，则（负值舍去，）因此时，或，C正确， 对于D,当时，，则，当时，，则，因此不等式的解集为或,D正确. 10. 已知，，都是实数，下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的必要条件 C. “且”是“”的充要条件 D. “”是“方程有一个正实根和一个负实根”的充要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质和方程根的分布，判断选项的正误. 【详解】对于A，若 ，显然可以推出 ； 反之，若 ，不一定有 （例如 时满足 但不满足 ）， 因此，“”是“”的充分不必要条件，故A 正确； 对于B，若 ，即 ，所以 ， 同时，因为 且 ，所以 ， 由于 且 ，可得： ， 结合 ，可以得出 ， 即“”是“”的必要条件，故B正确； 对于C，若 且 ，则 显然成立（充分性成立）； 若 ，则 或 ，不一定需要 且 （必要性不成立）， 所以，“ 且 ”是“”的充分不必要条件，不是充要条件，故C 错误； 对于D，若方程 有一正一负两个实根， 根据韦达定理，两根之积 ； 若，此时判别式 ， 方程一定有两个不相等的实根， 根据韦达定理，两根之积 ，所以方程有一个正实根和一个负实根； 因此， 是“方程有一个正实根和一个负实根”的充要条件，故D正确. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若，则的最小值为 C. 若正数，满足，则的最大值为 D. 若正数，满足，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合换元法，利用对勾函数求最值即可判断A；利用配凑法，结合基本不等式即可判断B；利用基本不等式放缩，再换元解不等式即可判断C；先观察分母和为定值，整体换元后用乘1法，再结合基本不等式即可判断D. 【详解】选项A，，∵，∴， 令，，由对勾函数性质可得 时，单调递增， 则当，即时，有最小值，A错误. 选项B，∵，∴， 即， 当且仅当，即时，等号成立，B正确. 选项C，∵正数，满足， ∴，当且仅当时，等号成立， 即，令， 则，解得， 即的最大值为，C正确. 选项D，∵正数，满足，∴， 即， ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，.若，则______. 【答案】1 【解析】 【详解】由题意可得是方程的两根， 由根与系数的关系可得，解得，所以. 13. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分别解每个不等式，根据不等式组交集中仅有一个整数解列关于的不等式即可得到的取值范围. 【详解】令，即，解得或； 令，即，因为，所以解得； 若关于的不等式组仅有一个整数解，则. 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如，如，.已知，解集为，若函数（），且的值域为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由不等式的解集求出且，进而得到的解析式并判断其单调性，根据高斯函数值域，将问题转化为在两端点处的极限值必须恰好“包裹”住这三个整数，且不能触及其他整数，通过建立关于端点极限的不等式组，求得参数的范围. 【详解】由的解为，可知，即， ， 当时，，所以 所以的值域为，又的值域为， 所以且，解得，即实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若集合，写出集合的所有子集； （2）求，. 【答案】（1），，， （2），或. 【解析】 【小问1详解】 由题意 所以的子集有：，，， 【小问2详解】 因为集合，， 所以， ， 所以或. 16. 已知函数，. （1）若关于的不等式的解集为或，求实数、的值； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集与方程的根的关系即可求出的值. （2）计算出的根，分类讨论在不同取值范围时的解集. 【小问1详解】 ∵关于的不等式的解集为或, 和3是关于的方程的两个根, 又由得, ,解得. 【小问2详解】 由得，或, 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知得，列不等式求参数范围； （2）讨论、，结合交集的结果列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由，得，所以， 所以，故实数的取值范围是； 【小问2详解】 当时，，即，此时成立； 当时，由得或， 即或，故或， 综上所述，的取值范围是. 18. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施.某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为米，宽度为（）（单位：米），地面面积为平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：储物室的墙面报价为每平方米元，屋顶和地面报价共计元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元（）. （1）求的函数解析式，并求报价的最小值（）； （2）若对任意的（）时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围. 【答案】（1），（）；元 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值； （2）根据题意可得，分离参数，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解. 【小问1详解】 根据题意，，（）， 由于，当且仅当，即时等号成立， 此时， 所以方案一的最低报价约为元， 【小问2详解】 由（1）可知，方案一的报价为， 根据题意，方案二的报价为， 对任意的（）时，由方案二都比方案一省钱可得 ， 化简得在上恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，结合，故实数的取值范围为. 19. 《见微知著》中提到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，发现新问题、新结论的重要方法.例如，已知，求证：. 证明：. 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，它们总是成群生长.”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征. 请根据上述材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解方程； （3）若正数、满足，求的最小值. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）应用“1”的代换将目标式化简求值即可； （3）应用“1”的代换化简，再应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件. 【小问1详解】 由，则； 【小问2详解】 由，则， 且， 所以原方程可化为，所以； 【小问3详解】 ，，， ， 当且仅当即时等号成立，故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年（上）高一数学 2026.10 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡上. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则有（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，均为实数，下列说法正确的个数为（ ）个 ①若，则；②若，则； ③若，，则；④若，且，则. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题：，，：，，若命题和有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若存在使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的方程有两个不相等的正实根，，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则以下正确的有（ ） A. B. C. 若，则或 D. 不等式的解集为或, 10. 已知，，都是实数，下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的必要条件 C. “且”是“”的充要条件 D. “”是“方程有一个正实根和一个负实根”的充要条件 11. 下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若，则的最小值为 C. 若正数，满足，则的最大值为 D. 若正数，满足，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，.若，则______. 13. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则实数的取值范围为______. 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如，如，.已知，解集为，若函数（），且的值域为，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若集合，写出集合的所有子集； （2）求，. 16. 已知函数，. （1）若关于的不等式的解集为或，求实数、的值； （2）解关于的不等式. 17. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 18. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施.某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为米，宽度为（）（单位：米），地面面积为平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：储物室的墙面报价为每平方米元，屋顶和地面报价共计元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元（）. （1）求的函数解析式，并求报价的最小值（）； （2）若对任意的（）时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围. 19. 《见微知著》中提到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，发现新问题、新结论的重要方法.例如，已知，求证：. 证明：. 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，它们总是成群生长.”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征. 请根据上述材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解方程； （3）若正数、满足，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $