精品解析：重庆市育才中学校2026-2027学年高一上学期10月过程性检测数学试题

重庆市育才中学高 2029 届高一（上）十月过程性检测 数学试题 注意事项： 1． 作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上． 2． 将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 3． 考试结束后，答题卡、试卷、草稿纸一并收回． 一． 选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由集合 ， 得， 因为， 所以 . 2. 设命题，，则为（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题和特称命题互为否定，即可得到结果. 【详解】因为命题，，所以为，. 故选：B. 3. 下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域与对应关系逐项判断即可得答案. 【详解】函数的定义域为， 对于A，函数的定义域为，定义域不同，则不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，且对应关系与函数相同，故B正确； 对于C，函数的定义域为，定义域不同，则不是同一函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，且，则对应关系与函数不相同，故D错误. 故选：B. 4. 已知A，B，C，D是平面内四个不同的点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】一组对边平行，可能为平行四边形或梯形，结合选项判定即可. 【详解】若，则四边形ABCD为平行四边形或梯形； 若四边形ABCD为平行四边形，则, 则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要非充分条件， 故选：B. 5. 设集合 ，且 ，则 （ ） A. 4 B. 3 C. -3 D. -4 【答案】C 【解析】 【详解】由，因式分解得， 解得. 所以. 由，解得. 所以集合. 因为， 所以， 解得. 6. 如图是某高一学生晨练时离家距离与行走时间之间的函数关系的图像.若用黑点表示该学生家的位置，则该同学散步行走的路线可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的图象，结合选项判断得解. 【详解】观察函数图象知，有一段时间该同学离家距离保持不变， 选项ABC中，路线上的点离家距离是变化的，选项D中的路线符合要求. 故选：D 7. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对A选项，因为，所以. 又因为幂函数在上为增函数，所以，故正确； 对B选项，作差可得. 因为，所以.又因为，所以，即，故错误； 对C选项，因为，所以，即，故错误； 对D选项，作差可得.因为且， 所以且，从而，即，故错误. 8. 已知，且恒成立，则实数的最大值是 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】将不等式转化，应用基本不等式求出最大值，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 因为恒成立，所以恒成立， 因为 ， 等号成立时， 故，则实数的最大值是 二． 选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分． 在每小题给出的选项中， 有多项符合题 目要求． 全部选对的得 6 分， 部分选对按比例得分， 有选错的得 0 分． 9. 已知函数的定义域是，值域是，对应函数图象为，下列说法正确的是 （ ） A. 函数的定义域是 B. 函数的定义域是 C. 直线与恰有一个公共点 D. 直线与至多有一个公共点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域可判断A、B选项；根据函数的定义及图像可判断C、D选项. 【详解】因为的定义域是，即， 因为，所以，的定义域是，则A选项正确； 因为，所以，的定义域是，则B选项错误； 根据函数的定义，在定义域内的任意一个数，都有唯一确定的与之对应， 所以与有唯一的公共点，则C选项正确； 函数的一个函数值可对应多个不同的自变量，因此直线与可能有两个及以上公共点，则D选项错误. 10. 已知 ，则下列判断正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将看成整体，利用基本不等式判断各选项. 【详解】对于A，已知，所以， 所以，当且仅当即时取等，所以 的最小值为4，A正确； 对于B，已知， 由得，当且仅当即时取等，所以 的最大值为 4，B错误； 对于C，，当且仅当即时取等，所以 的最小值为 ，C正确； 对于D，， 当且仅当即时取等，所以 的最小值为 ，D正确. 11. 已知关于 的不等式 ( )，下列关于此不等式的解集结论正确的是（ ） A. 解集可以是 B. 解集可以是 C. 解集可以是 D. 解集可以是 【答案】BCD 【解析】 【分析】含参的二次不等式求解问题，讨论即可，注意. 【详解】对于选项A，，①时，，若，则恒成立，若，则必有解，故解集不是； ②时，是开口向上的二次函数，时，必有解；③时，是开口向下的二次函数，，因为，所以，所以必有解，综上所述：A错. 对于选项B，令可得恒成立，解集为,故B对. 对于选项C，若解集是 ，则，且时，两个根分别为和，且，根据韦达定理有： ，，此时不等式为，解得：，符合题意，故C对. 对于D选项，若解集是 ，则，且时，两个根分别为和，根据韦达定理有： ，，化简有：即解得：或，存在，故D对. 三． 填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分． 12. 已知集合 ，且 ，则实数 为_____ 【答案】 或 【解析】 【分析】分类讨论结合集合互异性可得答案. 【详解】因为 ，则当时，得，集合不满足互异性； 当时，得或. 若，则，满足题意；若，则，满足题意. 综上可得：或. 13. 已知函数 则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】通过代入分段函数解析式即可求解. 【详解】由题可得：，. 14. 若 ，则满足 的函数 的个数是_____个． 【答案】 9 【解析】 【分析】由题设讨论的值，再确定的值，据此可得答案. 【详解】因为  ，  ， 则当时，可为或，可为或或，从而时，满足题设的函数有个； 当时，只能为，可为或或，从而时，满足题设的函数有个. 综上可得满足题设的函数共有个. 四． 解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分． 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 15. 已知集合 ． （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将转化为，求出集合后列不等式组求解； （2）分集合在集合的左侧、集合在集合的右侧两种情况讨论，列不等式组求解. 【小问1详解】 由得，解得，所以； 因为，所以，则，解得， 又因为，所以的取值范围是. 【小问2详解】 因为，所以集合与无公共元素； 因为，所以， ① 当集合在集合的左侧时，有，解得； 又因为，所以. ② 当集合在集合的右侧时，有，解得. 综上，实数 的取值范围为. 16. （1）若，，求 的取值范围； （2）已知，，求证：； （3）若 ， 是正实数，且 ，求证：； 【答案】（1）的取值范围是 （2）证明：，，又，，. （3）证明： ， 因为， 是正实数，且 ，所以，，即，所以. 【解析】 【详解】（1），，又，，故的取值范围是. （2）略 （3）略 17. 一次函数满足 ． （1）求的解析式； （2）求函数在区间上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意得，， 则，得，故； 【小问2详解】 ， 若， 则 对称轴且,故， 若， 同理， 故在区间上的值域为 18. 某传统手工艺制作工厂生产产品的固定成本为 8 万元/批次，一批次中每生产 万件，需额外投入成本 万元， ，该产品的出厂单价统一定为 12 元/件． （1）已知利润 销售收入总成本，请直接写出利润(单位：万元)函数 的解析式； （2）若要使生产某批次产品的利润最大，应生产多少万件？请求出最大利润； （3）已知利润率=利润/成本． 工厂受人力限制，本批次计划产量最多为 11 万件． 已知该工厂上批次共生产 12 万件产品，若要让本批次利润率不低于上批次的利润率，本批次产量最多为多少万件？(说明： 取 ) 【答案】（1） （2）应生产12万件，最大利润为42万元. （3）本批次产量最多为6.5万件. 【解析】 【分析】(1)根据利润公式，分与两段化简，得到解析式； (2)分段分别用二次函数性质、基本不等式求最大值，比较得到最大利润； (3)先求上批次利润率，列出不等式，解一元二次不等式得到产量上限. 【小问1详解】 由题意得，销售收入为万元，总成本为万元， ， 当时，， 当时，， 所以 【小问2详解】 当时，该函数图象开口向下，对称轴为， 所以， 当时，， 因为，所以，由基本不等式， 当且仅当，即时取等号， 此时， 因为，所以当时，利润取得最大值万元， 即应生产万件，最大利润为万元. 【小问3详解】 当上批次时，利润， 总成本为，上批次利润率为， 本批次满足，利润， 总成本为，由题意得， 化简得， 因为，去分母得， 整理得，即， 方程的两根为， 由，得，， 开口向上，不等式的解为， 又，所以本批次产量最多为万件. 19. 设二次函数． （1）若满足，对任意实数，都有，并且当时，有， （i）求的值； （ii）证明：； （2）若 的图象上存在两点满足 ，求证：抛物线与轴恒有两个交点，若，则有或者． 【答案】（1）（i）； （ii）由 ，得； 由（i）得，，所以，所以. 因为 满足对任意实数 ，都有 ，所以， 所以. 所以，即， 即，所以， 所以，所以. （2） 若 的图象上存在两点满足 ， 即， 所以方程有两个实根，即， 即方程的两个实根为. 所以， 所以， 所以方程 有两个不等的实根， 即抛物线与轴恒有两个交点. 若，， 由，得； 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 即. 同理，若，， 则. 若，， 由，得； 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 即. 同理，若，， 则. 综上所述，抛物线与 轴恒有两个交点 ，若， 则有 或者 ． 【解析】 【分析】（1）（i）由得；又得，可得； （ii）由（i）得，然后利用一元二次不等式恒成立求得，即可证明； （2）由题意可得方程的两个实根为，且，从而，即可证明与x轴恒有两个交点，再分别求得，即可证得 ． 【小问1详解】 （i）因为 满足对任意实数 ，都有 ，所以； 因为当 时，有 ，所以. 所以. （ii）略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市育才中学高 2029 届高一（上）十月过程性检测 数学试题 注意事项： 1． 作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上． 2． 将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 3． 考试结束后，答题卡、试卷、草稿纸一并收回． 一． 选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 设命题，，则为（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A. B. C. D. 4. 已知A，B，C，D是平面内四个不同的点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 5. 设集合 ，且 ，则 （ ） A. 4 B. 3 C. -3 D. -4 6. 如图是某高一学生晨练时离家距离与行走时间之间的函数关系的图像.若用黑点表示该学生家的位置，则该同学散步行走的路线可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且恒成立，则实数的最大值是 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二． 选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分． 在每小题给出的选项中， 有多项符合题 目要求． 全部选对的得 6 分， 部分选对按比例得分， 有选错的得 0 分． 9. 已知函数的定义域是，值域是，对应函数图象为，下列说法正确的是 （ ） A. 函数的定义域是 B. 函数的定义域是 C. 直线与恰有一个公共点 D. 直线与至多有一个公共点 10. 已知 ，则下列判断正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知关于 的不等式 ( )，下列关于此不等式的解集结论正确的是（ ） A. 解集可以是 B. 解集可以是 C. 解集可以是 D. 解集可以是 三． 填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分． 12. 已知集合 ，且 ，则实数 为_____ 13. 已知函数 则 _____． 14. 若 ，则满足 的函数 的个数是_____个． 四． 解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分． 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 15. 已知集合 ． （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）若 ，求实数 的取值范围． 16. （1）若，，求 的取值范围； （2）已知，，求证：； （3）若 ， 是正实数，且 ，求证：； 17. 一次函数满足 ． （1）求的解析式； （2）求函数在区间上的值域． 18. 某传统手工艺制作工厂生产产品的固定成本为 8 万元/批次，一批次中每生产 万件，需额外投入成本 万元， ，该产品的出厂单价统一定为 12 元/件． （1）已知利润 销售收入总成本，请直接写出利润(单位：万元)函数 的解析式； （2）若要使生产某批次产品的利润最大，应生产多少万件？请求出最大利润； （3）已知利润率=利润/成本． 工厂受人力限制，本批次计划产量最多为 11 万件． 已知该工厂上批次共生产 12 万件产品，若要让本批次利润率不低于上批次的利润率，本批次产量最多为多少万件？(说明： 取 ) 19. 设二次函数． （1）若满足，对任意实数，都有，并且当时，有， （i）求的值； （ii）证明：； （2）若 的图象上存在两点满足 ，求证：抛物线与轴恒有两个交点，若，则有或者． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $