专题03 最值、范围问题（题型专练）数学人教B版高二选择性必修第一册

专题03 最值、范围问题 （题型突破·举一反三） 题型01 建立目标函数求最值或范围 题型02 构造不等式求最值或范围 题型03 几何法求最值或范围 ▌题型01 建立目标函数求最值或范围 建立目标函数求最值或范围，即把要求最值或范围的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数解析式，然后利用函数的单调性、不等式等求最值或范围． 1．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线，O为坐标原点． (1)求的右焦点到渐近线的距离； (2)若点P是上位于第一象限的一点，且、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点P的横坐标； (3)若过点的直线与交于不同的两点A、B，求的取值范围． 【变式1-1】．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知双曲线：（，）过点，且离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)已知，分别是双曲线的左、右顶点，，分别是其左、右焦点． ①点在双曲线右支上运动，点在圆：上运动，求的最小值； ②若是双曲线上异于，的一点，且，求证：的面积小于． 【变式1-2】（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点． (1)求的周长； (2)设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标； (3)设点与点关于原点对称，点在椭圆上运动，若直线的斜率，求直线的斜率的取值范围． 【变式1-3】（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）已知椭圆：（）的两个焦点分别为，，且过点． (1)求椭圆的方程： (2)设，过点作斜率为（）的直线与椭圆交于，两点，其中在第三象限．设为关于原点的对称点． ①求面积的最大值，并求当面积取得最大值时，与的关系： ②在①的条件下，求的取值范围． ▌题型02 构造不等式求最值或范围 构造不等式求最值或范围，即把要求最值或范围的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数解析式，然后利用不等式的知识求最值或范围． 【典例1】（26-27高三上·上海奉贤·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，且经过点和点 ，和是椭圆上两个不同的点. (1)求椭圆的方程； (2)若四边形是平行四边形，直线、分别交轴于点和点，求四边形面积的最小值. (3)若直线经过点、，且不经过椭圆的右焦点，直线，，的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取值范围. 【变式1-1】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知点是椭圆：（）上的一个动点，点，分别是椭圆的左右焦点，的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆交于，两点，点是的中点， ①证明：点的轨迹方程是中心对称图形，并求出对称中心点的坐标； ②将点的轨迹方程沿着轴平移至点与坐标原点重合的位置，得到曲线，若点在第一象限，直线与曲线交于两点，求直线与直线斜率之和的取值范围. 【变式1-2】  （26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，坐标原点为. (1)过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.记直线，的斜率分别为，，求关于的表达式. (2)点不在轴上，直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点.记，其中，，，分别表示相应直线的斜率，求满足的点的轨迹. (3)圆与（2）中轨迹相交于六个点，按圆周顺序依次记为，，…，.记六边形的周长为，求的最大值，并求取得最大值时的值.（用含的式子表示） 【变式1-3】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知椭圆的左右焦点是、，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值； (3)若为坐标原点，直线过且与椭圆交于、两点，求的最大值． ▌题型03 几何法求最值或范围 几何法求最值或范围，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等知识来求最值或范围． 【典例1】（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知直线，动圆，菱形的一个内角为，顶点，在直线上，顶点，在圆上.当变化时，菱形的面积的取值范围为________. 【变式1-1】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）（多选）若双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上异于顶点的任意一点，则称为的“焦比”．已知点，为双曲线右支上相异两点，满足，且直线经过右焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则关于轴对称 B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．存在点使得 【变式1-2】  （26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 【变式1-3】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，且直线不与轴重合． （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）点关于原点的对称点为，连接，设为原点到直线的距离，求的取值范围． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 最值、范围问题 （题型突破·举一反三） 题型01 建立目标函数求最值或范围 题型02 构造不等式求最值或范围 题型03 几何法求最值或范围 ▌题型01 建立目标函数求最值或范围 建立目标函数求最值或范围，即把要求最值或范围的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数解析式，然后利用函数的单调性、不等式等求最值或范围． 1．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线，O为坐标原点． (1)求的右焦点到渐近线的距离； (2)若点P是上位于第一象限的一点，且、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点P的横坐标； (3)若过点的直线与交于不同的两点A、B，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）计算右焦点的坐标，使用点到直线的距离求解； （2）分析等腰三角形的边长，使用坐标法求解； （3）联立直线与双曲线的方程，消元，使用韦达定理求解. 【详解】（1）由题知，，右焦点为，渐近线方程为， 根据双曲线对称性不妨取，则右焦点到渐近线的距离. （2）设，则，， 若，，解得， 若，则，代入双曲线方程解得，矛盾； 若，，解得， 综上，点P的横坐标为或. （3）易知直线的斜率存在，故设直线的方程为， 得， 令且，得且， 设，则，， ， 当时，，当时，， 所以的取值范围为：. 【变式1-1】．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知双曲线：（，）过点，且离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)已知，分别是双曲线的左、右顶点，，分别是其左、右焦点． ①点在双曲线右支上运动，点在圆：上运动，求的最小值； ②若是双曲线上异于，的一点，且，求证：的面积小于． 【答案】(1) (2)① ②由（1）知，，故. 在中，由余弦定理可得， 即； 由题意可得，所以上式不能取等号， 所以， 所以； 设的高为，所以，因此； 又因为与的高相等， 所以. 【分析】（1）根据已知条件列关于的方程组，解方程组即可. （2）①根据双曲线定义和圆的性质将进行转化，再利用三角不等式求最值； ②在中由余弦定理和基本不等式先求得的范围，利用两种面积公式表示， 进而得到三角形高的范围，表示的面积即可证得. 【详解】（1）由题意得，解得，所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，. ①点在双曲线右支上运动，由双曲线定义得，即. 圆：圆心为，半径，点在圆上，则（当且仅当在线段上时取等号）. 所以 又（当且仅当在线段上时取等号）， ， 所以（当且仅当在线段上，在线段上时取等号）， 所以的最小值为. ②略 【变式1-2】（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点． (1)求的周长； (2)设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标； (3)设点与点关于原点对称，点在椭圆上运动，若直线的斜率，求直线的斜率的取值范围． 【答案】(1)6 (2)或 (3)​ 【分析】（1）利用椭圆定义，将两条焦半径之和转化为长轴长． （2）两三角形同底，将面积比转化为点到直线的距离比，再联立直线与椭圆方程求点的坐标． （3）利用关于原点对称的两点坐标及椭圆方程作差，求出两条直线斜率的乘积，再由已知斜率范围求所求范围． 【详解】（1）由椭圆方程得，，，由椭圆定义得，因此的周长为． （2）因为点在椭圆上且在第一象限内，，又，，所以，从而直线的方程为． 设，因为与以为公共底边，且，所以点到直线的距离等于点到直线距离的3倍，即，得或． 由得，其判别式，故无实数解； 由得，解得或，代入，对应得或． 因此点的坐标为或． （3）由（2）中直线的方程与椭圆方程联立，得，两根为和，故． 设，，则，且． 由存在知，若，则由椭圆方程得，此时或，均不在内，故，直线的斜率存在． 将两点满足的椭圆方程相减，得，所以． 由及，得，且两端点分别在和时取得． 【变式1-3】（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）已知椭圆：（）的两个焦点分别为，，且过点． (1)求椭圆的方程： (2)设，过点作斜率为（）的直线与椭圆交于，两点，其中在第三象限．设为关于原点的对称点． ①求面积的最大值，并求当面积取得最大值时，与的关系： ②在①的条件下，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①最大值为6，. ② 【分析】(1)根据焦点坐标以及经过点，解方程可求出，可得椭圆方程； (2)①联立直线和椭圆方程并根据韦达定理利用弦长公式写出面积的表达式，再构造函数并利用导数求出函数最值即可求出面积的最大值为6，此时与的关系为； ②利用对称性并结合图形写出与斜率之间的关系，再利用韦达定理和基本不等式求出最值即可求出的取值范围. 【详解】（1）根据题意可知，且， 解得， 所以椭圆的方程为； （2）①如下图所示： 易知直线的方程为，显然点在椭圆内的轴负半轴上， 不妨设， 联立，整理可得， 根据韦达定理可知， 因此 ， 且原点到直线的距离为， 所以的面积 令，则， 记，则， 由可得，即，解得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 可知函数在处取得最大值， 将代入可得； 因此面积的最大值为6，此时与的关系为. ②由为关于原点的对称点可知； 设交轴于点，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 所以， 则， 又 ; 当且仅当时，即时，等号成立； 由可得，所以可得，因此等号不成立， 所以，即的取值范围为. 【点睛】 ▌题型02 构造不等式求最值或范围 构造不等式求最值或范围，即把要求最值或范围的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数解析式，然后利用不等式的知识求最值或范围． 【典例1】（26-27高三上·上海奉贤·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，且经过点和点 ，和是椭圆上两个不同的点. (1)求椭圆的方程； (2)若四边形是平行四边形，直线、分别交轴于点和点，求四边形面积的最小值. (3)若直线经过点、，且不经过椭圆的右焦点，直线，，的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用、、间的关系计算即可得； （2）由题意可得、关于原点对称，则可设，有，再表示出直线、的方程，可得、坐标，即可表示出四边形的面积，并计算其最小值； （3）设直线的方程为，联立曲线方程，可得与交点横坐标有关的韦达定理，再利用斜率公式计算可得、间的关系，即可得直线在轴上截距的取值范围. 【详解】（1）由题意，，，所以， 故椭圆的方程为； （2）因为四边形是平行四边形， 所以与的中点重合，所以、关于原点对称， 设，则，其中， 则直线的方程为， 令，得，即， 直线的方程为， 令，得，即. 则四边形面积为， 因， 因为点M在椭圆上，所以，且， 所以，所以， 故当时，， 则四边形面积的最小值为； （3）由题意可得直线斜率存在，可设其方程为， 联立，消去可得， 有，化简得， 设，，则有，， ，，， 由直线，，的斜率依次成等差数列， 有，即 ， 即， 整理得， 因为直线不经过右焦点，所以， 故，即，即有， 由题意，，解得或， 即直线在轴上截距的取值范围为. 【变式1-1】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知点是椭圆：（）上的一个动点，点，分别是椭圆的左右焦点，的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆交于，两点，点是的中点， ①证明：点的轨迹方程是中心对称图形，并求出对称中心点的坐标； ②将点的轨迹方程沿着轴平移至点与坐标原点重合的位置，得到曲线，若点在第一象限，直线与曲线交于两点，求直线与直线斜率之和的取值范围. 【答案】(1) (2)①易知当不存在时，点为椭圆的左焦点； 当时，点为坐标原点； 当存在且不为0时，设直线：，，，， 则， 由可得， 因在椭圆内部，故必定成立， 又，于是，故， 解得，代入点的坐标得， 化简得：（）； 对于不存在和的两种情况，点的坐标也满足上面方程， 综上动点的轨迹方程为，易知，此方程为椭圆方程， 所以点的轨迹方程是中心对称图形，其对称中心为. ② 【分析】（1）根据椭圆的性质可得当点为椭圆的上（下）顶点时，取到最大值，据此可求基本量，从而可得椭圆方程； （2）①设出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程后结合韦达定理可求的坐标后消参可得其轨迹方程，从而可求对称中心；②利用椭圆的参数方程可求的坐标，从而可求斜率之和，结合弦切互化法、双勾函数的性质可求斜率和的范围. 【详解】（1）易知当点为椭圆的上（下）顶点时，取到最大值， 记点为坐标原点，则，此时， 所以，，故椭圆的方程为. （2）①略. ②据题意，曲线为，为椭圆上第一象限的动点， 则直线与曲线的两个交点，一个在第一象限，一个在第三象限， 不妨设点在第一象限，设点，， 则点， , 所以直线与直线斜率之和的取值范围是. 【变式1-2】  （26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，坐标原点为. (1)过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.记直线，的斜率分别为，，求关于的表达式. (2)点不在轴上，直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点.记，其中，，，分别表示相应直线的斜率，求满足的点的轨迹. (3)圆与（2）中轨迹相交于六个点，按圆周顺序依次记为，，…，.记六边形的周长为，求的最大值，并求取得最大值时的值.（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)，. 【分析】（1）利用椭圆离心率及关系可得，，写出过点且斜率为的直线方程，再联立椭圆方程，利用韦达定理，结合的特点代入，化简即可. （2）设，结合（1）的结论可得，再令进行化简，再考虑各个特殊点即可得点的轨迹. （3）法一：利用已知条件，计算出六边形的周长为，利用换元法可将转换成二次函数，利用二次函数即可求最大值及取得最大值时的值；法二：引入角度，将比值表达式用三角表示，再求出其最值即可． 【详解】（1）由离心率，得，， 又，所以，， 则，． 则过点且斜率为的直线方程为， 代入椭圆方程，得． 设点，的横坐标分别为，， 所以，． 又，， 故， 代入韦达定理，得． （2）设，， 先考虑且相关直线的斜率均有意义的情形，令，， 由（1）可知， 令，利用化简得， 整理得， 故轨迹方程为或. 当且时，直接检验可知，故无新增点． 在直线上，由题意应有当时，相应焦点弦经过椭圆的点，此时，，，中有直线斜率不存在，故这两个点也应删去；双曲线上只需由删去两个顶点． 所以点的轨迹为． （3）解法一（坐标法） 设第一象限中双曲线与圆的交点为，则，， 六边形中有两条边长为，另有四条边长为， 故． 令，则， 令，则， 所以()2， 当，即，时等号成立， 由，，得，因为，故， 所以，． 解法二（圆上角度法） 设第一象限中双曲线与圆的交点为，轴正半轴与的夹角为，则， 由，，，得， 圆上六个交点相邻所对的圆心角中，有两个为，四个为． 因此． 令，则，所以， 整理得． 当且仅当时等号成立， 由的取值范围，得，所以，此时， 所以． 故，． 【变式1-3】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知椭圆的左右焦点是、，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值； (3)若为坐标原点，直线过且与椭圆交于、两点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件确定的值，可得椭圆的标准方程. （2）利用弦长公式，可得的值. （3）设直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出，分离常数，可求的最大值. 【详解】（1）由题意，， 所以椭圆的标准方程为：. （2）将代入椭圆方程， 可得，整理得：. 由. 设直线与椭圆的交点为，， 则，， 所以. 又， 所以，故的值为. （3）如图， 当直线方程为时，； 当直线斜率不为0时，可设其方程为，代入椭圆方程， 得， 整理得：. 设，，则，， 所以， 所以， 当时，取得最大值，为. ▌题型03 几何法求最值或范围 几何法求最值或范围，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等知识来求最值或范围． 【典例1】（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知直线，动圆，菱形的一个内角为，顶点，在直线上，顶点，在圆上.当变化时，菱形的面积的取值范围为________. 【答案】 【分析】由菱形有一个内角为，不妨设为等边三角形，求出圆心为到直线的距离，结合得到直线与相离，设，求出直线与的距离，求出圆心到直线的距离，从而得到，由为等边三角形得到点到的距离，由在直线上得到点到的距离等于直线与的距离，从而得到，利用得到的范围，计算，利用二次函数的图像和性质求解. 【详解】因为菱形有一个内角为，所以或为等边三角形， 不妨设为等边三角形，如图： 动圆，其圆心为，半径为， 圆心为到直线的距离为， 因为，所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离， 设， 则直线与的距离， 又圆心到直线的距离为， 故， 因为为等边三角形，所以点到的距离为， 因为在直线上，所以点到的距离等于直线与的距离， 即，即， 因为，所以，或， 又， 而函数在区间、区间内分别单调递减， 当时，， 当时，， 当时，， 则或 故菱形的面积的取值范围是. 【变式1-1】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）（多选）若双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上异于顶点的任意一点，则称为的“焦比”．已知点，为双曲线右支上相异两点，满足，且直线经过右焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则关于轴对称 B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．存在点使得 【答案】ABD 【分析】先利用双曲线的定义化简“焦比”，得到，对四个选项逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则，所以，同理，因为均在右支上，且到右焦点的距离相等，所以，关于轴对称，故A正确； 对于B，设，则．由得，则，即．又，代入得．因为，所以，即，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，在中，，所以，同理，因为，所以，即，又，故，即，所以. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，将代入并整理得，所以，．由直线与的右支有两个交点，可得，则，， 的面积．令，则，因为，．当直线的斜率不存在时，由题意得此时，则的面积，此时取得最小值，故C错误； 对于D，令，得，同理得， 若双曲线上存在点到右焦点的距离为，则，即，同理可得， 由C知，所以存在点使得，故D正确. 【变式1-2】  （26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立可得， 由得，化简得， 其中，故，解得， 所以直线的方程为，即， 又，所以，即，； (3) 【分析】（1）根据点F与圆M上的点距离最小值为得到方程，求出； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据根的判别式得到方程，结合，求出，得到直线的方程； （3）在（2）的基础上，得到直线和直线的方程，确定直线的方程，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出，结合点到直线距离公式得到三角形面积，求出最值. 【详解】（1）由题意得，圆的圆心为，半径为1， F与圆M：上的点距离最小值为， 故，解得，负值舍去，所以； （2）略 （3）设，， 由（2）知，直线的方程为，直线的方程为， 由于点为两直线的公共点，则， 所以坐标满足方程， 所以直线的方程为， 联立与得， 由韦达定理可得， 所以， 点到直线的距离为， 所以， 因为 由，解得， 所以当时，取得最大值，最大值为20， 故的面积最大值为. 【变式1-3】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，且直线不与轴重合． （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）点关于原点的对称点为，连接，设为原点到直线的距离，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）根据左焦点可知，结合离心率可得，即可得椭圆方程； （2）（i）设直线的方程为，，，联立方程可得韦达定理，由题意可得，结合韦达定理运算求解；（ii）分析可知，，进而可得，换元运算求解即可. 【详解】（1）由题意知：， 因为离心率，则，可得， 所以椭圆的标准方程为． （2）（i）由题意可知：直线过点，斜率不为0，且直线与椭圆必相交， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去得， 则，， 可得， 整理得：，即， 因为，则，解得， 所以直线的方程为或，即或； （ii）由（i）可知：， 因为为中点，故， 又因为点关于原点对称的点为， 则， 则， 令，则，可得， 因为，则，， 可得，即，则， 所以原点到动直线的距离的取值范围为． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03 最值、范围问题 (题型突破举一反三) 目录 题型01建立目标函数求最值或范围 题型02构造不等式求最值或范围 题型03几何法求最值或范围 题型01建立目标函数求最值或范围 解题必备 建立目标函数求最值或范围，即把要求最值或范围的几何量或代数表达式表示为某个（些）变量的函数解析式，然 后利用函数的单调性、不等式等求最值或范围. 三典例精析 1 【详解】(1)由题知a=1,b=V2,c=V3,右焦点为(W5,0),渐近线方程为y=±V2x, W2x3-0 根据双曲线对称性不妨取 则右焦点到渐近线的距离= 2x-y=0 2+←1 (2)设P(x%x>0,>0),则62=2x,2-2,EF=3, 若PA=3（6+12+2x2-2-9解得5=1+ 3 者P阳=PF,则分f代入双自线万泥银得行是0，才话。 7 若PF=3,(。-2}+22-2=9,解得=3， -1+317 综上，点P的横坐标为3一或3 (3)易知直线的斜率存在，故设直线I的方程为y=:+1, 1/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x2、2 =1 2 得 y=x+1 k2-2)x2+2x+3=0 令△=-8k2+24>0且K2-2≠0，得0≤k2<3且K2≠2， 2k 3 设AyA),则+名=2二2,5=2-2， O1.05=5+=代+x5+k+5)+1-2+1-2+ 5 Γk2-2 k2-2? 当0≤<2时，0.05≤-当2<<3时.0丽.0丽，7 所以O1.O5的取值范国为：(m,2U亿+o)。 举一反三 【变式1-1】. 【爷1片苦 (2)① 32+3②由(1)知，A(-2,0),B(2,0),F(-3,0),E(3,0),故4B=4,FE=6. 在△4PB中，由余弦定理可得ABP-AP+|PBP-2|APPB1cos乙 6 即16APP+|PBP-V3APPB>(2-③)IAPI-IPBI: 由题意可得4PHPB所以上式不能取等号，所以PPB水，3=162+V 所以sSsl4P129sm若P1PaK42+6. 设AP4B的高为h,所以SB=21B1h=2h,因此2h<42+V5)→h<22+V5: 叉因为.PFE与P1B的商相等，所以5=Fh=3动<62+V)=12+6N5. 2120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 FA O 85 a? 6s1 c3 【详解】 (1)由题意得e=。2 ,解得 a=2, 所以双曲线的方程为 c2=a2+b2 b=5 x2 y2 c-3 C 451 (2)由(1)知，A(-2,0),B(2,0),E(-3,0),E(3,0) ①点P在双曲线右支上运动，由双曲线定义得PF-PF=2a=4,即PF=|PE+4. 圆M:x2+(y-3)=1圆心为M(O,3),半径，=1，点Q在圆上，则IPQ2PM-rPM1-1(当且仅当Q 在线段PM上时取等号)· 所以Pg+PE=|Pg+|PF+4≥PM-1+|PF+4=PM+|PF+3 又PM+|PF,AME引（当且仅当P在线段ME上时取等号）， 1ME卡V3-02+0-3}2=V18=32, 所以PO+PE≥35+3（当且仅当P在线段ME上，Q在线段PM上时取等号）， 所以PO+PF的最小值为32+3. B\F2 ②略 【变式12】 【详解】(1)由椭圆方程得a=2,b=√3，c=√a2-b-1,由椭圆定义得4+AE=2a,因此△AEE 3120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的周长为2a+2c=6. (2②因为点4在精圆E上且在第一象限内，4识1F5·又F(1.0:FL0),所以4》. 从而直线 AB的方程为3x-4y+3=0. 设M(:,),因为△OAB与△MAB以AB为公共底边，且S,=3S,所以点M到直线AB的距离等于点O到直 -+-3号同3x-4+12-0欧3-4-6=0 线4B距离的3倍，即5 [3x-4y+12=0 4*31 由x2,y2 得 ，其判别式 ,故无实数解； 7x2+24x+32=0 △=242-4×7×32=-320<0 3x-4y-6=0 +=1得 由 。,解得或x=-2,代入 43 x2-12x-4= x=2 7 3x-4y-6= 0对应得=0或=号 (2_12 因此点M的坐标为(2,0)或7，-7 (⊙)由②)中直线B的方程与横四方程联立，有72+6x-1B0两根为，和-9.收9号，日） 设8，P6》则普+号=6=2).且c 由%存在知飞斯，若5=-则由椭圆方程得=此时5=0政4=文名 右26，均不在[-2，-1]内， 故2+≠0，直线PC的斜率存在. 将两点满足的椭圆方程相减，得分-听=寻5-)，所以4=名上出=片兰=-； 2为2+xx- 4 白=名及有2小和4[很引且两瑞点分别5：2与时版用. 33 E F2 B 4120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式1-3】 【详解】(1)根据题意可知c=Va2-b2=5,且b=2, 解得a2=9, 所以程酒c的方程为号+苦=1， (2)①如下图所示： % R 易知直线1的方程为y=k(x+),1∈(0,3)，显然点M在椭圆内的x轴负半轴上， 不妨设P(,),(x), 联立94 整理可得 y=k(x+t) 9k2+4)x2+18k2tx+9k2t2-36=0 18k2t 9k212-36 根据韦达定理可知x+,= 92+45= 9k2+4, 18k2t ）3 因此|Pg=V1+k2V(:+x)}-4xx2=V1+k只 -4× 9k2t2-36 9k2+4 9k2+4 =+.129+4-7_1292+4-k7.+ 9k2+4 9k2+4 且原点00,0)到直线，的距离为d=+2, 所以△POR的面积 5ms=25om=-2×Pea=|Pgd=12v6+4k.1+e.&12a9-r)K+4 9k2+4 V1+k2 9k2+4 12rV9-2)u+4 129-+ k2=u>01 则S,PR 9u+4 9u+4 5120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 记/)=9-d2+4 (9u+4)2 ,则ru)=89-f)36u+16 (9u+4) 4 由f(w)=0可得u 2729即k2=4 。>0,解得t∈ 2t2- 因比商数0兰g)上单调道者在。+树 74 上单调递减， 可知函数f(0)在“=2一9处取得最大值， 12ktV9-2)k2+412k 4r2 22-93k-3k3k三6 将 代入可得SPgR 4 9k2+4 82 K2= V22-9F=K 212-9 22-9 V42 4 因此aPOR面积的最大值为6，此时与的关系为《= 2pgte ②由R为P关于原点的对称点可知R(x,-) 设QR交x轴于点S,设直线PO的倾斜角为a,直线QR的倾斜角为P, 所以∠PME=a,∠MSR=元-B, ma=kmA多-七k+2班k2” x2-（-x)x2+x 18k2t 9k, 9k2+4 又tan∠PoR=tan(∠PME,+∠MSR)=tan(a+π-B)=tan(a-B) 4 tan a-tan B k+- +tanc tan 1-kk k+ 4 5 4 2 当且仅当k= 以时，即k=3时，等号成立： 4 3 由k2= >0可得 2t2-9 23 因此等号不成立， 所以an∠PQR>2 12 ， 即tan∠PQR的取值范围为5，+o 【点睛】 6120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型02构造不等式求最值或范围 E 解题必备 构造不等式求最值或范围，即把要求最值或范围的几何量或代数表达式表示为某个（些）变量的函数解析式，然后 利用不等式的知识求最值或范围. 典例精析 【典例1】 【详解】(1)由题意，a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3, x2,y2 故椭圆c的方程为4+了1， (2)因为四边形AMBN是平行四边形， 所以AB与MN的中点重合，所以M、N关于原点对称， 设M(,),则N(x,),其中x≠±2， 则直线4的方程为产2+2)。 0得少2出 5+2,即P02y） x+2 直战4N的方程为产之+2). =0得y=2出 令 则四边形APFO面积为AFPe=Pg。 因Pg- 2y 2y8y x+2x-2x2-4 因为点M在精图，所以聋+号-1，-5≤为≤5且0： 3 所以x2-4= 4, 所以Pg= 故当y=±v5时，Pg=2W5 则四边形APFQ面积的最小值为3W3； 7120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y M (3)由题意可得直线I斜率存在，可设其方程为y=x+1, y=kx+t 联立卫+上-消去可得 4+3 y(4k2+3）x2+8k+42-12=0 有△=6421-4(42+3)(42-12)>0，化简得4k2+3-2>0, -8kt 4t2-12 设M(,y)N(则有x+=4+3,西=4k+3, 1’专=k,加及 x3-1: 由直线MF,I,NF的斜率依次成等差数列， 有+6=2%，即2张=之+之=+55-y-业 x-1x2-1(x-1)(x2-1) (+)+x(,+)-(+-(,+_2k+(-ks+五)-21 x2-(x+x2)+1 xx2-(x+x2)+1 即2kxx2-2k(x+x2)+2k=2x2+(t-k)(x+x2)-2t, 整理得(+k)(:+x-2)=0, 因为直线1不经过右焦点F(1,0),所以k+t≠0， 执，+6二2=0，即+42+3=2，即有4k2+4k1+3=0 由题意，△=161-4×4×3≥0，解得12V5或t≤-5， 即直线1在y轴上截距的取值范围为（0，-V5]U[5,+∞) 8120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y M F C 举一反三 【变式1-1】 【答案)) =1 6448 (2)①易知当k不存在时，点M为椭圆C的左焦点； 当k=0时，点M为坐标原点： 当k存在且不为0时，设直线1：y=k(c+4),A(:,片)，B(G,2),M(xM,yM), B M F2 y=k(x+4) 由+ 可得 6448 3+4k2)）x2+32k2x+64k2-192=01 因F在椭圆内部，故△>0必定成立， 又x1+x2 3+4联，于是乃+⅓= -32k2 -32k2 24k -16k212k 3+42+8 = 3+4k2, 放M 3+4K2’3+4k2 9120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12× -3xM 解得 =-3 ,代入点 的坐标得M= AyM 3+4× 3XM 4ym M 4yu 化简得： xw+2yM=1Cw≠0)g 4 3 对于k不存在和k=0的两种情况，点M的坐标也满足上面方程， 综上动点 的锁迹方程为，+2+女=1，易知，此方程为椭圆方程 4 3 所以点M的轨迹方程是中心对称图形，其对称中心为N(-2,0). (2)①略. x2.y2 ②据题意， 曲线r为4+了1，刀为椭圆C上第一象限的动点， 则直线TO与曲线的两个交点，一个在第一象限，一个在第三象限， 不纺设点D在第家限，设点Dcs8,5sn8),0(0》。 V5sin0,√5sin04V3sin0cos0√3sin0cos0 则点E(-2cos0,-V3sin0),k5p+kE= 2cos0+42cos0-44cos20-16 cos20-4 3sin@cos0 √3tan0 √5 4sin20+3cos20 4tan20+3 4tan+- 3 tane 所以直线FD与直线FE斜率之和的取值范围是 10/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式1-2】 【详解】(1)由离心率e= a2,c2= 2，得 2· 又a2=b2+c2,所以a2=2b2,c=b, 则F(b,0),5(b,0). 则过点且斜率为k的直线方程为y=k(x+b), x2 y2 代入椭圆方程2方+后=1，得(1+2k2)2+4k2hx+2b(2-)=0. 设点M,W的横坐标分别为，x2, 4k'b 2b2(k2-1) 所以x+x2=- 1+2k2’x6=1+2k2 又m=5+h) k(x2+b) n=- X2 11 故m+n=2k+b工+ 、x1x2 2k 代入韦达定理，得m+n=-农· (2)设P(x,),y≠0， +6, 先考虑x≠h且相关直线的斜率均有意义的情形，令k=》 x-b 2y 2y 2k,2k2 由4)可知sP)1店+房 x+b 2y(x+b),2y(x-b) 2+ x-b 1-y 1-y (x+b)2-y2'(x-b}-y2, （x+b x-b x+b x-b 令S(P)=0,利用y≠0化简得(x+b-+-b-y=0, 整理得2x(x2-y2-b2)=0, 故轨迹方程为x=0或x2-y2=b(y≠0)】 当x=b且y≠0时，直接检验可知S(P)≠0，故无新增点 在直线x=0上，由题意应有y≠0当y=b时，相应焦点弦经过椭圆的点(0，b),此时OA,OB,OC, OD中有直线斜率不存在，故这两个点也应删去：双曲线x2-y=b2上只需由y≠0删去两个顶点（±b,0) 11/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以点p的轨迹为「={《0，y川y≠0，y≠bU{x,y)x2-y2=b,y≠0 F2 D (3)解法一（坐标法） 设第一象限中双曲线与圆的交点为(x,),则x2+y2=r2,x2-y2=b2, 六边形中有两条边长为2y,另有四条边长为V2+(-)=V2r(-), 故L=4y+42r(-y) 1=片则片+420-可。 令u=20-),则=1- 2 所以片=4-2+4u=6-2w-≤6： 1 当u=1,即=2，y=2时等号成立， 由8=-y=r2-2y2= 2’a2=2b2,得，2=a2,因为r>0’故，=a 所以（白mx=6,r=a 解法二（圆上角度法） 设第一象限中双曲线与圆的交点为Q:x轴正半轴与O0的夹角为g,则0<0< 4 由x2-y2=b,x=cos0,y=sin0,得rcos20=b2, 园上六个交点相邻所对的圆心角中，有两个为20，四个为号-0。 因此子=4in0+8sm π0 42小 π0 L 42,则sin6=cos2a,所以=4cos2a+8sina, 令a= 12/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 L 整理得 =6-2(2sina-1)2≤6 1 当且仅当sina=2时等号成立， 由。的取位范国。得a=名，所以0=君，此时=rco 3-2 所以r=V2b=a. 故白-6， r=a' P Ps 【变式13】 [c=1 a=2 【详解】(1)由题意， c=1, a2=b2+c2→b=5 所以椭圆。的标准方程为： 4 3 (②)将，=中m代入流圆方起子+号1， 可得手，+1，整得：7+8m+4-到-0 43 由△=(8m)-4×7×4(m2-3)>0→m2<7 设直线，=+0与稀园苦+号=1的交点为M4,N6） 则+5=-8m, 4m2-3 7 13/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以-广-6+-4（-4.4-】 7 49 又W=+k-=2x45x7-m_24 所以m2=1<7,故m的值为1. (3)如图， y 当直线方程为y=0时，OAOB=-4: 当直线1斜率不为0时，可设其方程为x=y-1,代入椭圆方程4 3 4 3 整理得：(32+4)y2-6y-9=0. 61 -9 设A6,⅓)，Bk小则y+y=3+4:=3+4 9r26232+4_-122+4 所以xx,=(,-10(-1)=4-(y+y4)+1=32+432+4+32+4=3+4, -122+49=122-5-4+11 所以0A.0B=xx4+yy=32+432+4312+4 32+4 当=0时0.05取得最大雀。为4+号至 题型03几何法求最值或范围 上解题必备 几何法求最值或范围，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等知识来求最值或 14/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 范围. 典例精析 【典例】 【详解】因为菱形ABCD有一个内角为60°，所以△ACD或△BCD为等边三角形， 不妨设△ACD为等边三角形，如图： ⊙ 动圆0：x2+y2=r2(1<r<2),其圆心为0(0,0)，半径为， =2 圆心为o0,0到直线1：y=5x+4的距离为，5矿+1， 因为1<r<2,所以圆心O到直线1的距离为2>r,所以直线与⊙0相离， 设lcny=5x-b, 则直线，与CD的距离d=b 2 又圆心到直线 CD 的距离为，矿+12， 故cD-2P-9 =V4r2-6, 因为1CD为特边三角彩，所以点到CD的距宾为9c. 因为A在直线I上，所以点A到CD的距离等于直线I与CD的距离， -马c以.9r-4=, 因为1<r<2,所以，3<b2-2b+4<12→-2<b<1或1<b<4, 15/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又s=2a=2x9cmf-2x92d 而函数S在区间(-2，)、区间1,4)内分别单调递减， 与影=2叫，5-9(2-y-65 当6=1时，5= 60-4y=3 当6=4时，S= 6(4-4}2=0, 则0<5<353 2或2 <S<65 故菱形 的面积的取值范围是 0, ABCD 2 3y565 E 举一反三 【变式1-1】 4l_4+2a-1+ 2a 【详解】对于A,若元，=元，=2：则AA 码2，所以A=20,同理B5=2a,因 为A,B均在右支上，且到右焦点2的距离相等，所以A,B关于x轴对称，故A正确； 对汗®，--则=m曲2,44飘+剖+习4，时日。即 mn=a(m+m).又m+n≥2√mn,代入mn=a(m+n）得(m+n)'≥4a(m+m）.因为m+n>0,所以 m+n≥4a,即4B≥40，当且仅当m=n=2a时取等号，故B正确； 对于C在aFR中，4f=6m+2=m+2a-2,m:2c-0s乙A抓5，所以cs∠6=-a cm,同 里w5-“,因为5+所石-1 cm -cm，即(m+n）=2amn,又 m=am+n小故6(m+n）=20(m+,即=2a,c=d+5-3动，所以e=台=5 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kr-V5a,A(:,y),B(x,),将y=k(r-VB)代 16/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x2 y2 入 a2 2a=1并整理得(2-k)r2+25ak2x-u2(32+2)=0,所以x+与= 23ak2 2-2’ a2(3k2+2) k2-2 由直线4B与c的右支有两个交点，可得2-2>0，则那-=VG+-45 _4aV1+k2 k2-2 =4a k2-2? △1Br的面积S=的-为r-ac+农.45oRF中 k2-2 k2-2 =4v3a2 k2(1+k2） =4v5a2 6 5 (k2-22 因为 S=43a2V6t2+5t+1 t>0 S>4V5a2.当直线AB的斜率不存在时，由题意得此时AE引=BF引=2a,则△ABF的面积 S=4a2c=4ac=43d,此时s取得最小值45a,故C错误： 2 对于D,令，=1+20=3 积.得时提得B=号 Aa 若双曲线上存在点到右焦点的距离为3，则3 c-a,即e=Ss7 。3,同理可得e≤5 3 由C知e=V5,所以存在点4使得九=2，故D正确， 【变式1-2】 【答案】(1)D=2: (2)证明：显然直线1的斜率存在，设直线1的方程为y-=k(x-), 与x2=4y联立可得r2-46+46,-4=0, 由△=0得16k2-4(46,-4)=0,化简得k2-+6=0, 其中X=。故-点+手-0，解得=5， 4 2 所以直线/的方程为-%=之（x-6),即2y-2%,=x-, 又X行=4y0,所以2y-2,=ox-4,即xx=2y+2%,xx=py+P%0: (3)20W5 17/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(4)由题点得F0号)， 圆x2+(y+4}=1的圆心为M(0,-4),半径为1， F与圆M,x2+(y+4)=1上的点距离最小值为FM-1, 威号+414，解得p=2负组合去，所以p2: (2)略 (3)设A(,),B(2,),P(3), 由(2)知，直线PA的方程为x-2y-2y=0,直线PB的方程为x-2-2y=0, xx3-2y-2y3=0 由于点P(5,为)为两直线的公共点，则头-2，-2%=0， 所以A,B坐标满足方程xx-2y-2为=0， 所以直线AB的方程为xx-2y-2y=0, 联立xx-2y-2y=0与x2=4y得x2-2xx+4y3=0, 由韦达定理可得x+x2=2x3,xx2=4y3, 所以4=1+告G+-4%-小+年4-16%-店+4云-4). 点P,)到直线的压溪为= AB V+4, 所以Sw=4d=区+4苦-4g- w明 因为x号-4y=1-(4+4)°-4y=-y-12⅓-15=-(0+6)}+21 由号=1-(+4)≥0，解得-5≤⅓≤-3， 所以当⅓=-5时，-4y=-(仍+6)°+21取得最大值，最大值为20， 故PB的面积最大值为X(20-20、5 18/20 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F P 【变式1-3】 【详解】(1)由题意知：c=1, c I 因为离心率e=。2,则a=2,可得=d2-c2-3 x2 y 所以椭圆c的标准方程为4+了1， (2)(1)由题意可知：直线1过点F(一1,0)，斜率不为0，且直线1与椭圆必相交， O/ F 设直线1的方程为x=my-1,P(x,y),Q(:,2), x=my-1 联立方程之+ =1:消去得 43 (3m2+4）y2-6my-9=01 6m -9 则出+2= 3m2+4,43m+4: 1 6m2 -9 6Vm2+162 -4 3m2+4 3m2+4-7, 整理得：18m4-m2-17=0,即(18m2+17）(m2-1)=0, 因为18m2+17>0,则m2-1=0,解得m=±1， 所以直线I的方程为x=y-1或x=-y-1,即x-y+1=0或x+y+1=0: (①由()可知：+3=m(y+5)-2=,6m 8 3m2+42- -3m2+4' 19/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6Wm2+1 因为0为pR中点，故Saa0=Sm=3m+4, 又因为点P关于原点对称的点为R(-x,), 82 6m ）2 则R@=Vx+x}+(y+)月 2√9m2+16 3m2+4 3m2+4 3m2+4, 12Wm2+1 则d 2S0e=3m2+4 6Wm2+1 RO 2√9m2+16V9m2+16 3m2+4 t 1 令 1则，可得=6√9+7=6 d=6, 7 9+ t=m2+121m2=t-1 因为1≥1，则0<≤7,9<9+≤16， 7 7 1111≤ 11 ≤ 可得169 7<9,即4 7<3,则3≤d<2' 19+ t t 2 所以原点O到动直线0的距离，的取值花国为[2 20/20