八年级数学上学期期中分层模拟·素养提升卷（新教材北京版）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版八年级数学上册第10~11章+三角形及其性质、全等三角形。 5．难度系数：0.67 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（3分）与如图所示的正方形图案全等的图案是（    ） A． B． C． D． 2．（3分）中边上高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（3分）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（3分）将分式中的，的值同时扩大为原来的2026倍，则变化后分式的值（    ） A．扩大为原来的2026倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．以上都不正确 5．（3分）我国著名院士袁隆平被誉为“杂交水稻之父”，他在杂交水稻事业方面取得了巨大成就．某水稻研究基地统计，杂交水稻的亩产量比传统水稻的亩产量多400千克，总产量同为3000千克的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩．若设传统水稻亩产量为x千克，则下列方程正确的是（ ）（亩：市制土地面积计量单位） A． B． C． D． 6．（3分）如图，一个面积为13的正方形，点落在数轴上对应实数1，绕点逆时针旋转，点落在轴上的点，求点对应的实数的取值范围（    ） A．至 B．至 C．至 D．至 7．（3分）下表记录了一些数的平方： 通过分析表格，小美得到的结论是：算术平方根在的整数有3个；小丽得到的结论是：的整数部分为11．以下判断正确的是（    ） A．只有小美的结论正确 B．只有小丽的结论正确 C．两人的结论都正确 D．两人的结论都不正确 8．（3分）如图，已知等边的边长为2，点M为边上一个动点，作于点D，延长至点F，使得，连接交于点E，则的长为（　　） A． B． C．1 D． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）若代数式有意义，则实数的取值范围是_______． 10．（3分）比大小：__________． 11．（3分）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 12．（3分）如图，是的外角的平分线，且交延长线于点E．若，，则__________． 13．（3分）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马速度．若设慢马的速度为x里/天，则可列分式方程为_____． 14．（3分）如图，在中，已知D、E、F分别为的中点，且的面积为50平方厘米，则阴影部分的面积为______平方厘米． 15．（3分）对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为______． 16．（3分）如图，在中，，，，在中，，，，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为________． 三、解答题（本大题共10小题，第17、18题每小题5分，第19、20、21题每小题6分，第22、23、24题每小题8分，第25、26题每小题10分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）解分式方程：． 18．（5分）二次根式计算 (1) (2) 19．（6分）先化简，再求值：，其中 20．（6分）已知：如图中，． 求作：点，使得点在上，且点到的距离等于． 作法： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线，于点，； ②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点； ③作射线交于点．则点即为所求． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明． 证明：连接， 在和中 （ ）（填推理的依据）． （ ）（填推理的依据）． ，点在上， ． 作于点， 点在上， （ ）．（填推理的依据）． 21．（6分）列分式方程解应用题： “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． 22．（8分）如图，，，于点，交的延长线于点． (1)求证：平分． (2)若，，求的长．（用含，的代数式表示） 23．（8分）【阅读学习】（本题中作图不要求使用尺规作图） 阅读：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”． (1)在中，，，则________“可两分三角形”．（填“是”或“不是”） (2)图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数． 24．（8分）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ① ；② ． (2)比较和的大小，并说明理由． (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 25．（10分）给出定义：如果两个分式与的和为一个常数，则称与是“和常分式”，这个常数称为与的“和常值”．例如：分式，则与是“和常分式”，与的“和常值”为4．解决下面的问题： (1)已知分式，判断与是不是“和常分式”，若不是，请说明理由：若是，求出与的“和常值”； (2)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为2，求的值； (3)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为．若为整数，且的值也为整数，直接写出满足条件的的值． 26．（10分）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 已知在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图，若，，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为__________． （2）如图，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组的同学们先猜想线段，，之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法1：延长至点，使得，先证与的全等，再证与的全等，可得到线段，，的之间的数量关系． 方法2：在上截取，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系． 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明． （3）如图，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A C B A B C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9． 10． 11． 12．/度 13． 14． 15． 16．或或 三、解答题（本大题共10小题，第17、18题每小题5分，第19、20、21题每小题6分，第22、23、24题每小题8分，第25、26题每小题10分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分） 【答案】 【分析】利用解分式方程的步骤进行求解． 【详解】解： ， 经检验，当时，， 故是原方程的解．···························5分 18．（5分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ··························2分 （2）解： ··························5分 19．（6分） 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简，然后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：原式 ，··························4分 当时，原式．··························6分 20．（6分） 【答案】(1) 如图所示，点即为所求； (2)；；；全等三角形的对应角相等；角的平分线上的点到角两边的距离相等 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键． （1）按照题意作出图形即可求解； （2）连接，，证明，根据的全等三角形的性质与判定，以及角平分线的性质进行填空即可求解． 【详解】（1）如图所示，点即为所求； ·······················1分 （2）解：证明：连接，， 在和中， ， ， （全等三角形的对应角相等）， ，点在上， ， 作于点， 点在上， （角的平分线上的点到角两边的距离相等）． 故答案为：；；；全等三角形的对应角相等；角的平分线上的点到角两边的距离相等．·······················6分 21．（6分） 【答案】每套型号的“文房四宝”的价格为100元. 【分析】设每套型号的“文房四宝”的价格为元，根据每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，以及学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，列出分式方程进行求解即可. 【详解】解：设每套型号的“文房四宝”的价格为元，则每套型号的“文房四宝”的价格为元，由题意： ， 解得，·······················4分 经检验是原方程的解且符合题意； 答：每套型号的“文房四宝”的价格为100元.·······················6分 22．（8分） 【答案】(1) 证明：，， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 平分； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）通过证明，再根据全等三角形性质得出，再根据角平分线的判定进行证明； （2）先证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 平分；·······················3分 （2）由（1）知平分， ， 在和中， ， ， ， 由（1）知， ， ．·······················8分 23．（8分） 【答案】(1)是 (2) 每个三角形的“两分线”及底角度数，如图所示； 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和定理，理解题目中的新定义是解题的关键． （1）根据新定义画出图形即可判断； （2）根据新定义结合等腰三角形性质和判定画出图形即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 作的角平分线交于点， ， ， 为等腰三角形， ， ， 为等腰三角形， 则是“可两分三角形”； 故答案为：是．·······················3分 （2）解：每个三角形的“两分线”及底角度数，如图所示； ．·······················8分 24．（8分） 【答案】(1)① ② (2) 解：，理由如下： ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴． (3)； 【分析】（1）根据阅读材料中分子有理化的定义计算即可得答案． （2）根据阅读材料中分子有理化的定义把和分子有理化，再根据，即可比较和大小． （3）根据阅读材料中分子有理化的定义把分子有理化，再根据分式有意义的条件求出的取值范围，即可求出的最大值． 【详解】（1）解：① 根据分子有理化定义得： ．·······················1分 ② 根据分子有理化定义得： ．·······················2分 （2）解：，理由如下： ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴．·······················6分 （3）解： ， ∵ ， ∴， ∴当时，有最大值， ∴的最大值为．·······················8分 25．（10分） 【答案】(1)与是“和常分式”，且与的“和常值”为 (2)3 (3)0或2 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，正确理解“和常分式”的定义是解题的关键． （1）根据分式的加法计算法则求出的结果即可得到结论； （2）根据“和常分式”的定义得到，则可推出，据此可得答案； （3）根据“和常分式”的定义得到，则；再由的值也为整数，可以得到，其中k为整数，则可推出，进而得到为整数，则，即可求出或． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴与是“和常分式”，且与的“和常值”为；·······················3分 （2）解：∵，且与是“和常分式”，与的“和常值”为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；·······················6分 （3）解：∵，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为， ∴， ∴； ∵的值也为整数， ∴是整数， ∴，其中k为整数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵k为整数， ∴为整数， ∴为整数， ∴， ∴或．·······················10分 26．（10分） 【答案】（1）  （2）   （3） 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等和对应边相等进行推导变形． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图 1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ．·······················2分 （2）如图2，， 理由如下： 在上截取，连接， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ．·······················6分 （3）结论：． 理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ．·······················10分 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版八年级数学上册第10~11章+三角形及其性质、全等三角形。 5．难度系数：0.67 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（3分）与如图所示的正方形图案全等的图案是（    ） A． B． C． D． 2．（3分）中边上高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（3分）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（3分）将分式中的，的值同时扩大为原来的2026倍，则变化后分式的值（    ） A．扩大为原来的2026倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．以上都不正确 5．（3分）我国著名院士袁隆平被誉为“杂交水稻之父”，他在杂交水稻事业方面取得了巨大成就．某水稻研究基地统计，杂交水稻的亩产量比传统水稻的亩产量多400千克，总产量同为3000千克的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩．若设传统水稻亩产量为x千克，则下列方程正确的是（ ）（亩：市制土地面积计量单位） A． B． C． D． 6．（3分）如图，一个面积为13的正方形，点落在数轴上对应实数1，绕点逆时针旋转，点落在轴上的点，求点对应的实数的取值范围（    ） A．至 B．至 C．至 D．至 7．（3分）下表记录了一些数的平方： 通过分析表格，小美得到的结论是：算术平方根在的整数有3个；小丽得到的结论是：的整数部分为11．以下判断正确的是（    ） A．只有小美的结论正确 B．只有小丽的结论正确 C．两人的结论都正确 D．两人的结论都不正确 8．（3分）如图，已知等边的边长为2，点M为边上一个动点，作于点D，延长至点F，使得，连接交于点E，则的长为（　　） A． B． C．1 D． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）若代数式有意义，则实数的取值范围是_______． 10．（3分）比大小：__________． 11．（3分）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 12．（3分）如图，是的外角的平分线，且交延长线于点E．若，，则__________． 13．（3分）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马速度．若设慢马的速度为x里/天，则可列分式方程为_____． 14．（3分）如图，在中，已知D、E、F分别为的中点，且的面积为50平方厘米，则阴影部分的面积为______平方厘米． 15．（3分）对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为______． 16．（3分）如图，在中，，，，在中，，，，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为________． 三、解答题（本大题共10小题，第17、18题每小题5分，第19、20、21题每小题6分，第22、23、24题每小题8分，第25、26题每小题10分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）解分式方程：． 18．（5分）二次根式计算 (1) (2) 19．（6分）先化简，再求值：，其中 20．（6分）已知：如图中，． 求作：点，使得点在上，且点到的距离等于． 作法： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线，于点，； ②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点； ③作射线交于点．则点即为所求． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明． 证明：连接， 在和中 （ ）（填推理的依据）． （ ）（填推理的依据）． ，点在上， ． 作于点， 点在上， （ ）．（填推理的依据）． 21．（6分）列分式方程解应用题： “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． 22．（8分）如图，，，于点，交的延长线于点． (1)求证：平分． (2)若，，求的长．（用含，的代数式表示） 23．（8分）【阅读学习】（本题中作图不要求使用尺规作图） 阅读：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”． (1)在中，，，则________“可两分三角形”．（填“是”或“不是”） (2)图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数． 24．（8分）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ① ；② ． (2)比较和的大小，并说明理由． (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 25．（10分）给出定义：如果两个分式与的和为一个常数，则称与是“和常分式”，这个常数称为与的“和常值”．例如：分式，则与是“和常分式”，与的“和常值”为4．解决下面的问题： (1)已知分式，判断与是不是“和常分式”，若不是，请说明理由：若是，求出与的“和常值”； (2)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为2，求的值； (3)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为．若为整数，且的值也为整数，直接写出满足条件的的值． 26．（10分）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 已知在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图，若，，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为__________． （2）如图，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组的同学们先猜想线段，，之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法1：延长至点，使得，先证与的全等，再证与的全等，可得到线段，，的之间的数量关系． 方法2：在上截取，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系． 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明． （3）如图，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（3分）与如图所示的正方形图案全等的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等形的判定，解题的关键是掌握全等形的定义． 根据全等形的定义进行判定即可，即能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 【详解】 解：与全等的图案是， 故选：C． 2．（3分）中边上高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的高线的定义即可解答． 【详解】解：A选项中，作的是边上的高，不符合题意； B选项中，没有经过顶点，不符合题意； C选项中，不垂直，不符合题意； D选项中，过点且垂直，符合题意． 3．（3分）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：与不是同类二次根式，不能合并，故D错误． 4．（3分）将分式中的，的值同时扩大为原来的2026倍，则变化后分式的值（    ） A．扩大为原来的2026倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值的变化情况，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键． 分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：∵和同时扩大为原来的2026倍， ∴新分式为， ∴分式的值保持不变． 故选C． 5．（3分）我国著名院士袁隆平被誉为“杂交水稻之父”，他在杂交水稻事业方面取得了巨大成就．某水稻研究基地统计，杂交水稻的亩产量比传统水稻的亩产量多400千克，总产量同为3000千克的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩．若设传统水稻亩产量为x千克，则下列方程正确的是（ ）（亩：市制土地面积计量单位） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 设传统水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克，根据亩产量和种植面积的关系，杂交水稻种植面积比传统水稻少2亩，列出方程． 【详解】设传统水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克 根据题意得，． 故选：B． 6．（3分）如图，一个面积为13的正方形，点落在数轴上对应实数1，绕点逆时针旋转，点落在轴上的点，求点对应的实数的取值范围（    ） A．至 B．至 C．至 D．至 【答案】A 【分析】根据正方形的面积计算边长，进而表示出对应的数值，再估计无理数取值范围即可． 【详解】解：由题意得， 则点对应的实数为：， ， ， ， 故选：A． 7．（3分）下表记录了一些数的平方： 通过分析表格，小美得到的结论是：算术平方根在的整数有3个；小丽得到的结论是：的整数部分为11．以下判断正确的是（    ） A．只有小美的结论正确 B．只有小丽的结论正确 C．两人的结论都正确 D．两人的结论都不正确 【答案】B 【详解】解： ， ∴算术平方根在的整数有279， 280， 281， 282，共4个， ∴小美的结论错误； ， ， ， ∴ ， 的整数部分为11，小丽的结论正确． 8．（3分）如图，已知等边的边长为2，点M为边上一个动点，作于点D，延长至点F，使得，连接交于点E，则的长为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识；由60°角可尝试作平行线构造等边三角形，接着证明全等是解决本题的关键．过点M作交于点H，证明是等边三角形，再证明，得出，根据可得，最后根据求解即可． 【详解】解：过点M作交于点H，   ， 是等边三角形， ， ，， ， 是等边三角形， ， ∵， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 故选：C． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）若代数式有意义，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数以及分式的分母不为0，确定的取值范围，解不等式即可． 【详解】解：代数式有意义， ， ． 10．（3分）比大小：__________． 【答案】 【详解】解：， ， ∵，且，， ∴． 11．（3分）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件及分式的值为零的条件，根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），分别求出和的值，再计算． 【详解】解：当时，分式无意义，则，即，解得． 当时，分式的值为0，则分子，即，解得． 所以． 故答案为：． 12．（3分）如图，是的外角的平分线，且交延长线于点E．若，，则__________． 【答案】/度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，掌握三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题关键．由角平分线的定义可得，再结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：，是的平分线， ， 是的外角， ，     ， 故答案为： 13．（3分）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马速度．若设慢马的速度为x里/天，则可列分式方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据题意，慢马的速度为里/天，则快马的速度为里/天．慢马所需时间比规定时间多一天，快马所需时间比规定时间少3天，通过规定时间相等列方程即可． 【详解】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天， 由题意，得； 故答案为：． 14．（3分）如图，在中，已知D、E、F分别为的中点，且的面积为50平方厘米，则阴影部分的面积为______平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质． 由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则利用点为的中点得到平方厘米，再利用点为的中点得到平方厘米，平方厘米，所以平方厘米，然后利用点为的中点得到． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴平方厘米，平方厘米， ∴平方厘米， ∵点为的中点， ∴平方厘米． 故答案为：． 15．（3分）对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，由夹逼法可得，即得，，进而求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的小数部分是，的整数部分是， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．（3分）如图，在中，，，，在中，，，，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为________． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．根据题意画出图形，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，，， ∴， 假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则， ， ； 若， 则， ， ； 当时，即点在上， 若， 则， ， ； 若， 则， ， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述，点的运动速度为：或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共10小题，第17、18题每小题5分，第19、20、21题每小题6分，第22、23、24题每小题8分，第25、26题每小题10分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）解分式方程：． 【答案】 【分析】利用解分式方程的步骤进行求解． 【详解】解： ， 经检验，当时，， 故是原方程的解．···························5分 18．（5分）二次根式计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ··························2分 （2）解： ··························5分 19．（6分）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简，然后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：原式 ，··························4分 当时，原式．··························6分 20．（6分）已知：如图中，． 求作：点，使得点在上，且点到的距离等于． 作法： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线，于点，； ②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点； ③作射线交于点．则点即为所求． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明． 证明：连接， 在和中 （ ）（填推理的依据）． （ ）（填推理的依据）． ，点在上， ． 作于点， 点在上， （ ）．（填推理的依据）． 【答案】(1) 如图所示，点即为所求； (2)；；；全等三角形的对应角相等；角的平分线上的点到角两边的距离相等 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键． （1）按照题意作出图形即可求解； （2）连接，，证明，根据的全等三角形的性质与判定，以及角平分线的性质进行填空即可求解． 【详解】（1）如图所示，点即为所求； ·······················1分 （2）解：证明：连接，， 在和中， ， ， （全等三角形的对应角相等）， ，点在上， ， 作于点， 点在上， （角的平分线上的点到角两边的距离相等）． 故答案为：；；；全等三角形的对应角相等；角的平分线上的点到角两边的距离相等．·······················6分 21．（6分）列分式方程解应用题： “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． 【答案】每套型号的“文房四宝”的价格为100元. 【分析】设每套型号的“文房四宝”的价格为元，根据每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，以及学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，列出分式方程进行求解即可. 【详解】解：设每套型号的“文房四宝”的价格为元，则每套型号的“文房四宝”的价格为元，由题意： ， 解得，·······················4分 经检验是原方程的解且符合题意； 答：每套型号的“文房四宝”的价格为100元.·······················6分 22．（8分）如图，，，于点，交的延长线于点． (1)求证：平分． (2)若，，求的长．（用含，的代数式表示） 【答案】(1) 证明：，， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 平分； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）通过证明，再根据全等三角形性质得出，再根据角平分线的判定进行证明； （2）先证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 平分；·······················3分 （2）由（1）知平分， ， 在和中， ， ， ， 由（1）知， ， ．·······················8分 23．（8分）【阅读学习】（本题中作图不要求使用尺规作图） 阅读：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”． (1)在中，，，则________“可两分三角形”．（填“是”或“不是”） (2)图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数． 【答案】(1)是 (2) 每个三角形的“两分线”及底角度数，如图所示； 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和定理，理解题目中的新定义是解题的关键． （1）根据新定义画出图形即可判断； （2）根据新定义结合等腰三角形性质和判定画出图形即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 作的角平分线交于点， ， ， 为等腰三角形， ， ， 为等腰三角形， 则是“可两分三角形”； 故答案为：是．·······················3分 （2）解：每个三角形的“两分线”及底角度数，如图所示； ．·······················8分 24．（8分）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ① ；② ． (2)比较和的大小，并说明理由． (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】(1)① ② (2) 解：，理由如下： ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴． (3)； 【分析】（1）根据阅读材料中分子有理化的定义计算即可得答案． （2）根据阅读材料中分子有理化的定义把和分子有理化，再根据，即可比较和大小． （3）根据阅读材料中分子有理化的定义把分子有理化，再根据分式有意义的条件求出的取值范围，即可求出的最大值． 【详解】（1）解：① 根据分子有理化定义得： ．·······················1分 ② 根据分子有理化定义得： ．·······················2分 （2）解：，理由如下： ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴．·······················6分 （3）解： ， ∵ ， ∴， ∴当时，有最大值， ∴的最大值为．·······················8分 25．（10分）给出定义：如果两个分式与的和为一个常数，则称与是“和常分式”，这个常数称为与的“和常值”．例如：分式，则与是“和常分式”，与的“和常值”为4．解决下面的问题： (1)已知分式，判断与是不是“和常分式”，若不是，请说明理由：若是，求出与的“和常值”； (2)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为2，求的值； (3)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为．若为整数，且的值也为整数，直接写出满足条件的的值． 【答案】(1)与是“和常分式”，且与的“和常值”为 (2)3 (3)0或2 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，正确理解“和常分式”的定义是解题的关键． （1）根据分式的加法计算法则求出的结果即可得到结论； （2）根据“和常分式”的定义得到，则可推出，据此可得答案； （3）根据“和常分式”的定义得到，则；再由的值也为整数，可以得到，其中k为整数，则可推出，进而得到为整数，则，即可求出或． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴与是“和常分式”，且与的“和常值”为；·······················3分 （2）解：∵，且与是“和常分式”，与的“和常值”为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；·······················6分 （3）解：∵，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为， ∴， ∴； ∵的值也为整数， ∴是整数， ∴，其中k为整数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵k为整数， ∴为整数， ∴为整数， ∴， ∴或．·······················10分 26．（10分）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 已知在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图，若，，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为__________． （2）如图，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组的同学们先猜想线段，，之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法1：延长至点，使得，先证与的全等，再证与的全等，可得到线段，，的之间的数量关系． 方法2：在上截取，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系． 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明． （3）如图，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）  （2）   （3） 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等和对应边相等进行推导变形． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图 1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ．·······················2分 （2）如图2，， 理由如下： 在上截取，连接， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ．·······················6分 （3）结论：． 理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ．·······················10分 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $