培优02 圆锥曲线位置关系与运算优化问题（压轴题专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题02 位置关系与运算优化 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判别式与位置关系 题型二、设线技巧与主元选择 题型三、韦达定理的整体代换 题型四、中点弦与点差法 题型五、设点代点与参数化 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 解析几何的运算量，八成消耗在“设什么、联立谁、怎么用韦达”这三步上．同一道题，设 要讨论斜率不存在，设 就把竖直线一并包含；先判二次项系数与判别式，能提前排除一批假解；把 与 当作整体，往往比解出两根省一半篇幅．本专题围绕位置关系与运算优化两条主线，把“先判、再设、后整体代换”的流程拆成五个可复用的模型． 五个模型的首步动作各不相同：判别式解决“有没有、有几个”，设线技巧解决“主元选谁”，韦达整体代换解决“对称结构怎么算”，点差法解决“已知中点怎么降维”，设点代点解决“点多、线多时怎么少设参数”．做题时先看条件属于哪一类，再动手；最后务必用判别式与隐含范围（双曲线的分支、抛物线的 、椭圆的 ）检验，避免“算得出、不成立”的假解． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判别式与位置关系 典例1 已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ，点 在椭圆上且位于第一象限，直线 被圆 截得的线段的长为 ，． (1)求直线 的斜率； (2)求椭圆的方程； (3)设动点 在椭圆上，若直线 的斜率大于 ，求直线 （ 为坐标原点）的斜率的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】解：(1)由 得 ，，圆的半径为 ． 设 ，圆心 到 的距离 ． 由弦长为 得 ，解得 ， 故 ． (2)由 知直线 的倾斜角为 ， ． 代入椭圆方程得 ，即 ，解得 ． 所以 ，，椭圆方程为 ． (3)设 ，．由 在椭圆上得 ． 若 ，则 ，且 ， ．由 得 ， 与 矛盾，故 不可能． 所以 ，．令 ，，则 ， 由 得 ，即 ．此时 ， 即当 时恒有 ． 故 ，即 ． 题型模版 1.特征：研究直线与曲线“有没有交点、有几个交点”，或求使交点存在的参数范围． 2.方法：联立消元后，先看二次项系数是否为 ，再算判别式；双曲线还要看交点落在哪一支（两根同号还是一正一负）． 3.提醒：直线与双曲线只有一个公共点，可能是相切，也可能是与渐近线平行；抛物线的“一个公共点”还包括平行于对称轴的情形，别漏解． 变式1-1 若直线 与双曲线 的右支交于不同的两点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：联立得 ．由题意 ，且 ，，． 由 得 ；结合 得 ；再由 得 ． 所以 ．故选 A． 变式1-2 已知双曲线 的两条渐近线分别为 ，． (1)求双曲线 的离心率； (2) 为坐标原点，动直线 分别交直线 于 两点（ 分别在第一、四象限），且 的面积恒为 ．试探究：是否存在总与直线 有且只有一个公共点的双曲线 ？若存在，求出双曲线 的方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)存在， 【详解】解：(1)由渐近线 得 ，所以 ． (2)设 ，，，则 ， 故 ．直线 的斜率 ，在 轴上的截距 ． 若 与 只有一个公共点，则 与 相切，于是 ． 代入 得 ， 所以 ，．故存在 ，对任意满足条件的 都相切． 变式1-3 已知抛物线 ，过点 的直线 与 只有一个公共点，则 的方程为           ． 【答案】 或 或 【详解】解：当 的斜率不存在时，，与 恰有一个公共点 ，符合题意． 当 的斜率存在时，设 ，代入 得 ． 由 得 ，此时 ． 故所求直线有三条：，，． 题型二、设线技巧与主元选择 典例2 设椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ，过点 且与 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 ． (1)求椭圆的方程； (2)设 分别为椭圆的左、右顶点，过点 且斜率为 的直线与椭圆交于 两点，若 ，求 ． 【答案】(1)；(2) 【详解】解：(1)由 得 ，． 当 时，， 所以截得的线段长为 ，，． 故椭圆方程为 ． (2)，，，设 ，． ， 所以 ． 联立 与椭圆得 ， ，． 于是 ． 由 得 ，所以 （此时 ）． 题型模版 1.特征：直线过 轴上的定点，或斜率可能不存在，直接设 需要分类． 2.方法：过 轴定点优先设 ，过 轴定点优先设 ；让“不出现分母”的那个变量做主元，就能把竖直线一并包含． 3.提醒：用 时 表示竖直线，不要重复讨论；设完线仍要用 与题设的位置关系筛选参数． 变式2-1 设椭圆 的左、右焦点分别为 ，右顶点为 ，上顶点为 ，已知 ． (1)求椭圆的离心率； (2)设 为椭圆上异于其顶点的点，以线段 为直径的圆经过 ，经过 的直线 与该圆相切，求直线 的斜率． 【答案】(1)；(2) 【详解】解：(1)，，由题意 ． 代入 得 ，所以 ． (2)不妨取 ，则 ，，，，． 设 ．由以 为直径的圆过 得 ， 即 ，所以 ． 代入 得 ，解得 （舍）或 ，故 ． 圆心为 的中点 ，半径 ． 设 ，即 ，由相切得 ， 化简得 ，所以 ． 变式2-2 已知椭圆 ，过点 的直线 与 交于 两点，且 （ 为坐标原点），则 的方程为           ． 【答案】 或 【详解】解：当 的斜率不存在时，，与 交于 ，此时 ，不合题意． 当 的斜率存在时，设 ，． 代入 得 ， ，． 由 得 ，而 ， 所以 ， 即 ，化简得 ，． 此时 ，符合题意．故 或 ． 题型三、韦达定理的整体代换 典例3 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 轴的交点为 ，与 的交点为 ，且 ． (1)求 的方程； (2)过 的直线 与 相交于 两点，若 的垂直平分线 与 相交于 两点，且 四点在同一圆上，求 的方程． 【答案】(1)；(2) 或 【详解】解：(1)由 得 ，所以 ，． 由 得 ，故 ，． (2)设 ，，则 ，， ， 的中点 ． 的方程为 ，即 ． 设 ，代入 得 ． 所以 ，． 又 ，计算得 ， 于是 ． 因为 且交点为 ，所以 四点共圆等价于 ． 而 ， 故 ，得 ，． 所以 或 ，即 或 ． 题型模版 1.特征：所求量关于 对称，如弦长、中点、向量数量积、斜率和、面积． 2.方法：联立后写出 与 ，把条件整体代入；遇到 就用 ，不要单独解根． 3.提醒：遇到 、 这类非对称结构，不能直接套“和积”，要先消元再代回，或改用点参． 变式3-1 已知椭圆 的离心率为 ，，，， 的面积为 ． (1)求椭圆 的方程； (2)设 是椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证： 为定值． 【答案】(1)；(2)定值 【详解】解：(1)由 得 ；由 得 ， 所以 ，，． 证明：(2)设 ，则 ． 直线 ，令 得 ； 直线 ，令 得 ． 所以 ，． 又 ， 所以 ，为定值． 变式3-2 已知椭圆 ，过点 作圆 的切线 交椭圆 于 两点． (1)求椭圆 的焦点坐标和离心率； (2)将 表示为 的函数，并求 的最大值． 【答案】(1)焦点 ，；(2)，最大值 【详解】解：(1)，，，焦点为 ，． (2)当 时，切线 ，代入椭圆得 ． 当 时，设 ，由 与单位圆相切得 ，即 ． 代入 得 ， ． 所以 ． 令 ，则 ，当 时取最大值 ． 故 的最大值为 ． 题型四、中点弦与点差法 典例4 平面直角坐标系 中，过椭圆 右焦点的直线 交 于 两点， 为 的中点，且 的斜率为 ． (1)求 的方程； (2) 为 上的两点，若四边形 的对角线 ，求四边形 面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【详解】解：(1)右焦点 在 上，所以 ． 由点差法 ，即 ，所以 ． 又 ，所以 ，，． (2)由 (1)得 ，与 联立得 ， 所以 ，，． 设 ，与 联立得 ，，即 ， ． 四边形 的面积为 ， 当且仅当 时取等号．故最大值为 ． 题型模版 1.特征：已知弦的中点，或已知两条弦斜率之积、之比，求曲线方程、直线方程或证明定值． 2.方法：设两端点坐标，把曲线方程相减，得到“中点坐标 × 弦斜率”的关系：椭圆 ，双曲线 ，抛物线 ． 3.提醒：点差法只给出必要条件，求出直线后必须回代检验 ，并确认中点确实在曲线内部． 变式4-1 设椭圆 的左、右顶点分别为 ，点 在椭圆上且异于 两点， 为坐标原点． (1)若直线 与 的斜率之积为 ，求椭圆的离心率； (2)若 ，证明：直线 的斜率 满足 ． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】解：(1)设 ，则 ． 由 得 ． 所以 ，． 证明：(2)由 得 ，即 ． 代入椭圆方程，令 ，，得 ， 解得 （另一根小于 ，舍去）． 因为 ，所以 ，又 ． 于是 ，即 ． 变式4-2 已知双曲线 的中心为原点， 是 的焦点，过 的直线 与 相交于 两点，且 的中点为 ，则 的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设 ，则 ． 由 ，点差得 ， 即 ，所以 ． 联立 得 ，．故选 B． 变式4-3 已知椭圆 ，则以点 为中点的弦所在直线的方程为           ． 【答案】 【详解】解：设弦端点 ，点差得 ． 由 ， 得 ，所以 ． 故所求直线为 ，即 ． 回代检验：代入椭圆得 ，有两个不同交点，，符合题意． 题型五、设点代点与参数化 典例5 已知动圆过定点 ，且在 轴上截得弦 的长为 ． (1)求动圆圆心的轨迹 的方程； (2)已知点 ，设不垂直于 轴的直线 与轨迹 交于不同的两点 ，若 轴是 的角平分线，证明：直线 过定点． 【答案】(1)；(2)定点 【详解】解：(1)设圆心为 ，半径为 ． 由圆过 得 ； 由圆在 轴上截得的弦长为 得 ． 两式相减得 ，故轨迹 ． 证明：(2)设 ，． 代入 得 ，所以 ，． 轴是 的角平分线等价于 ． 由 ，通分后分子为 ． 因为 ，所以 ． 故 恒过定点 ． 题型模版 1.特征：多个点在同一条曲线上，或条件本身是斜率之和、斜率之积，直接设线会把参数搅在一起． 2.方法：把点写成曲线上的坐标（如 上设 ），用曲线方程消元；斜率和为 常可转化为两点纵坐标或横坐标的关系，必要时用齐次化． 3.提醒：设点后要写出参数的允许范围；用斜率时要排除斜率为 或不存在的情形，最后回代检验． 变式5-1 已知椭圆 的离心率为 ，点 和点 都在椭圆 上，直线 交 轴于点 ． (1)求椭圆 的方程，并求点 的坐标（用 表示）； (2)设 为原点，点 与点 关于 轴对称，直线 交 轴于点 ，问： 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，；(2)存在， 【详解】解：(1)由 得 ；由 在椭圆上得 ，． 故 ． 直线 ，令 得 ，所以 ． (2)由对称性得 ，直线 ，令 得 ． 设 ．在 Rt 中，； 在 Rt 中，． 由 得 ． 又 在椭圆上，，所以 ， 故 ，． 所以存在点 或 ． 变式5-2 设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点．已知以 为圆心， 为半径的圆 交 于 两点． (1)若 ， 的面积为 ，求 的值及圆 的方程； (2)若 三点在同一直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公共点，求坐标原点到 距离的比值． 【答案】(1)，圆 ；(2) 【详解】解：(1)，．由 且 关于 轴对称知， 为等腰直角三角形， 到 的距离为 ，故圆半径 ，即 ． 设 ，由 及 得 ． 于是 ， 所以 ，圆 ． (2)由对称性不妨设 ，与 交于 ， 则 ． 由 得 ，取 在右侧，则 ， ．由 得 ，解得 ． 设 ，代入得 ，由 得 ． 原点到 的距离 ，到 的距离 ， 所以 ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的一个交点，若 ，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查抛物线定义与向量共线．先用向量关系表示 的坐标，再代回抛物线求纵坐标． 【详解】解：，．设 ，则 ． 由 得 ，所以 ． 因为 在 上，所以 ，． 于是 ．故选 B． 2．已知 为坐标原点， 是椭圆 的左焦点， 分别为 的左、右顶点， 为 上一点，且 轴，过点 的直线 与线段 交于点 ，与 轴交于点 ，若直线 经过 的中点，则 的离心率为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查椭圆的通径与截距．设出直线 的斜率，分别写出 的坐标，再用中点条件列方程． 【详解】解：，，．设 ，则 ，， 的中点为 ． 直线 的斜率为 ，在 轴上的截距为 ． 由题意 ，解得 ，所以 ．故选 A． 3．已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，且以线段 为直径的圆与直线 相切，则 的离心率为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆的方程与点到直线的距离．把相切转化为圆心到直线的距离等于半径，再化 关系． 【详解】解：以 为直径的圆为 ，圆心 到直线 的距离为 ，即 ． 平方得 ，所以 ，．故选 A． 4．已知 ，直线 ， 为 上的动点，过点 作 的切线 ，切点为 ．当 最小时，直线 的方程为 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的切点弦．先由 把最小值转化为 最小，再用极线求切点弦． 【详解】解：，圆心 ，半径 ． 设 ，则 ，所以 ，当 最小时取最小值． ，此时 ，垂足 ． 切点弦 为点 关于 的极线：， 即 ．故选 D． 5．已知椭圆 的中心在坐标原点，离心率为 ， 的右焦点与抛物线 的焦点重合， 是 的准线与 的两个交点，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查椭圆与抛物线的共同焦点．先由抛物线焦点定位椭圆的 ，再求准线被椭圆截得的弦长． 【详解】解：抛物线 的焦点为 ，所以椭圆中 ． 由 得 ，，． 准线 ，代入得 ，， 所以 ．故选 B． 6．在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 在 轴上，离心率为 ，过 的直线交 于 两点，且 的周长为 ，则 的方程为           ． 【答案】 【分析】本题考查椭圆定义．焦点三角形的周长恒为 ，先求 ，再由离心率求 ． 【详解】解：由椭圆定义， 的周长为 ，所以 ． 由 得 ，． 故 ．故答案为：． 7．已知 是椭圆 的两个焦点， 为 上一点，且 ，若 的面积为 ，则           ． 【答案】 【分析】本题考查椭圆的焦点三角形．用定义与勾股定理联立，面积自然转化为 ． 【详解】解：设 ，，则 ，． 由 得 ， 又 ，所以 ， 故 ，即 ，，．故答案为：． 8．设 是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为           ． 【答案】 【分析】本题考查椭圆的离心率与等腰三角形．先判断相等的腰，再用坐标表示 并代入长度关系． 【详解】解：由“底角为 ”知 ，且 ． 设 ，则 ， 所以 ． 又 ， 代入化简得 ，即 ， 所以 ．故答案为：． 9．设 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 上一点且 与 轴垂直，直线 与 的另一个交点为 ． (1)若直线 的斜率为 ，求 的离心率； (2)若直线 在 轴上的截距为 ，且 ，求 ． 【答案】(1)；(2)， 【分析】本题考查椭圆的通径、离心率与定比分点．(1)用通径长写斜率；(2)先由截距得 ，再由长度比得 的坐标． 【详解】解：(1)，，所以 ， 即 ．代入 得 ， 即 ，故 ，． (2)直线 的方程为 ，令 得 ，所以 ． 由 且 在线段 上，得 ， 所以 ，． 代入椭圆方程得 ， 结合 ， 得 ，解得 ， 所以 ，． 10．在平面直角坐标系 中， 分别是椭圆 的左、右焦点，顶点 的坐标为 ，连接 并延长交椭圆于点 ，过点 作 轴的垂线交椭圆于另一点 ，连接 ． (1)若点 的坐标为 ，且 ，求椭圆的方程； (2)若 ，求证：椭圆的离心率 ． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】本题考查椭圆的通径与垂直条件．(1)用 求 ，再代点求 ；(2)把 的坐标用 表示，用数量积为 化出 ． 【详解】解：(1)由 ，又 在椭圆上， 所以 ，即 ，解得 ． 故椭圆方程为 ． 证明：(2)设 ，，直线 ． 代入椭圆方程得 ， 所以 ，， 从而 ． 于是 ，． 由 得 ， 所以 ，． 11．已知曲线 ， 为直线 上的动点，过 作 的两条切线，切点分别为 ． (1)证明：直线 过定点； (2)若以 为圆心的圆与直线 相切，且切点为线段 的中点，求四边形 的面积． 【答案】(1)定点 ；(2) 或 【分析】本题考查抛物线的切线、切点弦与四边形面积．(1)用两切点的横坐标是同一个二次方程的两根；(2)分 与 两种情形． 【详解】解：(1)设 ，切点 ，． 由 得切线 ，代入 得 ，同理 ， 所以 是方程 的两根，，． 直线 的方程为 ，恒过定点 ． (2)设 ，其中点 ． 当 时，，，，符合题意． 此时 ，，， 到 的距离为 ， 到 的距离为 ， 所以 ． 当 时，由 得 ，即 ，． 取 ，则 ，，， 到 的距离为 ， 到 的距离为 ， 所以 ． 故四边形 的面积为 或 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 位置关系与运算优化 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判别式与位置关系 题型二、设线技巧与主元选择 题型三、韦达定理的整体代换 题型四、中点弦与点差法 题型五、设点代点与参数化 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 解析几何的运算量，八成消耗在“设什么、联立谁、怎么用韦达”这三步上．同一道题，设 要讨论斜率不存在，设 就把竖直线一并包含；先判二次项系数与判别式，能提前排除一批假解；把 与 当作整体，往往比解出两根省一半篇幅．本专题围绕位置关系与运算优化两条主线，把“先判、再设、后整体代换”的流程拆成五个可复用的模型． 五个模型的首步动作各不相同：判别式解决“有没有、有几个”，设线技巧解决“主元选谁”，韦达整体代换解决“对称结构怎么算”，点差法解决“已知中点怎么降维”，设点代点解决“点多、线多时怎么少设参数”．做题时先看条件属于哪一类，再动手；最后务必用判别式与隐含范围（双曲线的分支、抛物线的 、椭圆的 ）检验，避免“算得出、不成立”的假解． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判别式与位置关系 典例1 已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ，点 在椭圆上且位于第一象限，直线 被圆 截得的线段的长为 ，． (1)求直线 的斜率； (2)求椭圆的方程； (3)设动点 在椭圆上，若直线 的斜率大于 ，求直线 （ 为坐标原点）的斜率的取值范围． 题型模版 1.特征：研究直线与曲线“有没有交点、有几个交点”，或求使交点存在的参数范围． 2.方法：联立消元后，先看二次项系数是否为 ，再算判别式；双曲线还要看交点落在哪一支（两根同号还是一正一负）． 3.提醒：直线与双曲线只有一个公共点，可能是相切，也可能是与渐近线平行；抛物线的“一个公共点”还包括平行于对称轴的情形，别漏解． 变式1-1 若直线 与双曲线 的右支交于不同的两点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式1-2 已知双曲线 的两条渐近线分别为 ，． (1)求双曲线 的离心率； (2) 为坐标原点，动直线 分别交直线 于 两点（ 分别在第一、四象限），且 的面积恒为 ．试探究：是否存在总与直线 有且只有一个公共点的双曲线 ？若存在，求出双曲线 的方程；若不存在，说明理由． 变式1-3 已知抛物线 ，过点 的直线 与 只有一个公共点，则 的方程为           ． 题型二、设线技巧与主元选择 典例2 设椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ，过点 且与 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 ． (1)求椭圆的方程； (2)设 分别为椭圆的左、右顶点，过点 且斜率为 的直线与椭圆交于 两点，若 ，求 ． 题型模版 1.特征：直线过 轴上的定点，或斜率可能不存在，直接设 需要分类． 2.方法：过 轴定点优先设 ，过 轴定点优先设 ；让“不出现分母”的那个变量做主元，就能把竖直线一并包含． 3.提醒：用 时 表示竖直线，不要重复讨论；设完线仍要用 与题设的位置关系筛选参数． 变式2-1 设椭圆 的左、右焦点分别为 ，右顶点为 ，上顶点为 ，已知 ． (1)求椭圆的离心率； (2)设 为椭圆上异于其顶点的点，以线段 为直径的圆经过 ，经过 的直线 与该圆相切，求直线 的斜率． 变式2-2 已知椭圆 ，过点 的直线 与 交于 两点，且 （ 为坐标原点），则 的方程为           ． 题型三、韦达定理的整体代换 典例3 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 轴的交点为 ，与 的交点为 ，且 ． (1)求 的方程； (2)过 的直线 与 相交于 两点，若 的垂直平分线 与 相交于 两点，且 四点在同一圆上，求 的方程． 题型模版 1.特征：所求量关于 对称，如弦长、中点、向量数量积、斜率和、面积． 2.方法：联立后写出 与 ，把条件整体代入；遇到 就用 ，不要单独解根． 3.提醒：遇到 、 这类非对称结构，不能直接套“和积”，要先消元再代回，或改用点参． 变式3-1 已知椭圆 的离心率为 ，，，， 的面积为 ． (1)求椭圆 的方程； (2)设 是椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证： 为定值． 变式3-2 已知椭圆 ，过点 作圆 的切线 交椭圆 于 两点． (1)求椭圆 的焦点坐标和离心率； (2)将 表示为 的函数，并求 的最大值． 题型四、中点弦与点差法 典例4 平面直角坐标系 中，过椭圆 右焦点的直线 交 于 两点， 为 的中点，且 的斜率为 ． (1)求 的方程； (2) 为 上的两点，若四边形 的对角线 ，求四边形 面积的最大值． 题型模版 1.特征：已知弦的中点，或已知两条弦斜率之积、之比，求曲线方程、直线方程或证明定值． 2.方法：设两端点坐标，把曲线方程相减，得到“中点坐标 × 弦斜率”的关系：椭圆 ，双曲线 ，抛物线 ． 3.提醒：点差法只给出必要条件，求出直线后必须回代检验 ，并确认中点确实在曲线内部． 变式4-1 设椭圆 的左、右顶点分别为 ，点 在椭圆上且异于 两点， 为坐标原点． (1)若直线 与 的斜率之积为 ，求椭圆的离心率； (2)若 ，证明：直线 的斜率 满足 ． 变式4-2 已知双曲线 的中心为原点， 是 的焦点，过 的直线 与 相交于 两点，且 的中点为 ，则 的方程为（　　） A． B． C． D． 变式4-3 已知椭圆 ，则以点 为中点的弦所在直线的方程为           ． 题型五、设点代点与参数化 典例5 已知动圆过定点 ，且在 轴上截得弦 的长为 ． (1)求动圆圆心的轨迹 的方程； (2)已知点 ，设不垂直于 轴的直线 与轨迹 交于不同的两点 ，若 轴是 的角平分线，证明：直线 过定点． 题型模版 1.特征：多个点在同一条曲线上，或条件本身是斜率之和、斜率之积，直接设线会把参数搅在一起． 2.方法：把点写成曲线上的坐标（如 上设 ），用曲线方程消元；斜率和为 常可转化为两点纵坐标或横坐标的关系，必要时用齐次化． 3.提醒：设点后要写出参数的允许范围；用斜率时要排除斜率为 或不存在的情形，最后回代检验． 变式5-1 已知椭圆 的离心率为 ，点 和点 都在椭圆 上，直线 交 轴于点 ． (1)求椭圆 的方程，并求点 的坐标（用 表示）； (2)设 为原点，点 与点 关于 轴对称，直线 交 轴于点 ，问： 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由． 变式5-2 设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点．已知以 为圆心， 为半径的圆 交 于 两点． (1)若 ， 的面积为 ，求 的值及圆 的方程； (2)若 三点在同一直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公共点，求坐标原点到 距离的比值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的一个交点，若 ，则  （　　） A． B． C． D． 2．已知 为坐标原点， 是椭圆 的左焦点， 分别为 的左、右顶点， 为 上一点，且 轴，过点 的直线 与线段 交于点 ，与 轴交于点 ，若直线 经过 的中点，则 的离心率为 （　　） A． B． C． D． 3．已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，且以线段 为直径的圆与直线 相切，则 的离心率为 （　　） A． B． C． D． 4．已知 ，直线 ， 为 上的动点，过点 作 的切线 ，切点为 ．当 最小时，直线 的方程为 （　　） A． B． C． D． 5．已知椭圆 的中心在坐标原点，离心率为 ， 的右焦点与抛物线 的焦点重合， 是 的准线与 的两个交点，则  （　　） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 在 轴上，离心率为 ，过 的直线交 于 两点，且 的周长为 ，则 的方程为           ． 7．已知 是椭圆 的两个焦点， 为 上一点，且 ，若 的面积为 ，则           ． 8．设 是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为           ． 9．设 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 上一点且 与 轴垂直，直线 与 的另一个交点为 ． (1)若直线 的斜率为 ，求 的离心率； (2)若直线 在 轴上的截距为 ，且 ，求 ． 10．在平面直角坐标系 中， 分别是椭圆 的左、右焦点，顶点 的坐标为 ，连接 并延长交椭圆于点 ，过点 作 轴的垂线交椭圆于另一点 ，连接 ． (1)若点 的坐标为 ，且 ，求椭圆的方程； (2)若 ，求证：椭圆的离心率 ． 11．已知曲线 ， 为直线 上的动点，过 作 的两条切线，切点分别为 ． (1)证明：直线 过定点； (2)若以 为圆心的圆与直线 相切，且切点为线段 的中点，求四边形 的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $